ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 1, Μέρος 2ο: ΠΕΡΙ ΣΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Με την ολοκλήρωση αυτής της ενότητας, θα είστε σε θέση: Να κατανοήσετε το μαθηματικό πλαίσιο που επιτρέπει την περιγραφή και μελέτη των σημάτων και να αποκτήσετε μια ολοκληρωμένη εικόνα για τις ιδιότητες των σημάτων. 4
Περιεχόμενα ενότητας (1) 1. Εισαγωγή στα Σήματα 2. Ταξινόμηση σημάτων 3. Α μέρος: Αναλογικά σήματα 4. Πραγματικά και μιγαδικά σήματα συνεχούς χρόνου 5. Ιδιότητες Σημάτων Συνεχούς Χρόνου 6. Απλά και Στοχαστικά σήματα 7. Περιοδικά και μη σήματα 8. Άρτια και Περιττά σήματα 5
Περιεχόμενα ενότητας (2) 9. Χαρακτηριστικές παράμετροι σημάτων συνεχούς χρόνου 10. Κρουστικό σήμα και οι ιδιότητές του κρουστικού παλμού 11. B μέρος: Διακριτά σήματα 12. Μεταβλητές 13. Σημαντικές ακολουθίες 14. Γ μέρος: μετασχηματισμοί της ανεξάρτητης μεταβλητής 15. Ασκήσεις εξάσκησης από την πρώτη διάλεξη 6
Εισαγωγή στα Σήματα (1) Σήμα είναι μία συνάρτηση η οποία αντιπροσωπεύει πληροφορίες για την κατάσταση συμπεριφοράς ενός φυσικού συστήματος. Στη θεωρία Συστημάτων σύστημα είναι η οντότητα εκείνη που επεξεργάζεται, μεταβάλλει, καταγράφει, ή μεταδίδει σήματα. 7
Εισαγωγή στα Σήματα (2) Ομιλία του ανθρώπου μια φωτογραφία η ηχώ του radar οι έξοδοι ενός ηλεκτροεγκεφαλογράφου Έστω V(t) τάση ενός πυκνωτή - συνάρτηση χρόνου. V εξαρτημένη μεταβλητή t ανεξάρτητη μεταβλητή Ο χρόνος είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή. Τα συστήματα επεξεργάζονται σήματα εισόδου για να παράγουν σήματα εξόδου 8
Ταξινόμηση σημάτων (Classification of signals) Σήματα συνεχούς χρόνου (CT) και διακριτού χρόνου (DT), (Continuous time and Discrete time signals): Τα σήματα συνεχούς χρόνου παίρνουν πραγματικές ή μιγαδικές τιμές και συμβολίζονται π.χ ως x(t). Τα σήματα διακριτού χρόνου παίρνουν πραγματικές ή μιγαδικές τιμές και συμβολίζονται π.χ ως x(n). 9
Σήματα συνεχούς χρόνου 10
Σήματα διακριτού χρόνου (1) 11
Αναλογικά και Διακριτά Σήματα Aναλογικά Σήματα: Είναι τα σήματα συνεχούς χρόνου που και η εξαρτημένη μεταβλητή παίρνει συνεχείς τιμές π.χ x(t) = 5t+2 Διακριτά Σήματα Συνεχούς Χρόνου ή Κβαντισμένα: Είναι σήματα συνεχούς χρόνου με μόνο διακριτές τιμές στην εξαρτημένη μεταβλητή. 12
Σήματα διακριτού χρόνου (2) Σήματα διακριτού χρόνου: Η ανεξάρτητη μεταβλητή (χρόνος) παίρνει διακριτές τιμές, και τα σήματα αυτά παριστάνονται ως ακολουθίες. s(n)= n (n για άρτιο) 2n +1 (n για περιττό) 13
Ψηφιακά Σήματα Υλοποιούνται πολύ εύκολα με υπολογιστές ή ειδικά ψηφιακά κυκλώματα. Υλοποιούν μετασχηματισμούς οι οποίοι είναι αδύνατον να πραγματοποιηθούν με αναλογικά κυκλώματα. Προέρχονται από δειγματοληψία αναλογικών σημάτων. 14
Παραδείγματα (1) Αναλογικό σήμα Σήμα διακριτού χρόνου 15
Παραδείγματα (2) Σήμα διακριτού χρόνου Κβαντισμένο σήμα 16
Παραδείγματα - Ψηφιακά σήματα Παίρνουν διακριτές τιμές μέσα στο χρόνο. Το δυαδικό σήμα, έχει δυο καταστάσεις (1 ή 0) και συνήθως αντιστοιχούν σε ηλεκτρικές τάσεις +5 Volt (ένας παλμός) και (0 Volt) (απουσία παλμού) Οι παλμοί έχουν το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα. 17
Αναλογικό Ψηφιακό Σήμα Το αναλογικό σήμα περιέχει τιμές σε κάθε χρονική στιγμή. Κατά την διάρκεια της δειγματοληψίας (sampling) παίρνουμε τιμές (ή αλλιώς δείγματα samples) του σήματος ανά τακτά χρονικά διαστήματα. Το ψηφιακό σήμα εδώ προέρχεται από το αναλογικό σήμα και κωδικοποιείται με δυαδικούς αριθμούς (0 ή 1). Άρα: Αναλογικό Ψηφιακό Σήμα παρόλο που μοιάζουν μεταξύ τους. 18
Α ΜΕΡΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ (Analog signals)
Αναλογικά σήματα (1) Αναλογικά σήματα: σήματα συνεχή ως προς τον χρόνο και το πλάτος τους. Παραδείγματα: Το σήμα της τάσης στην έξοδο ενός μικροφώνου, που μεταβάλλεται ανάλογα με τα χαρακτηριστικά του ήχου που διεγείρει το μικρόφωνο. Όλες οι φυσικές ποσότητες (θερμοκρασία, πίεση, δύναμη κλπ) μεταβάλλονται με αναλογικό τρόπο. 20
Αναλογικά σήματα (2) Ο ακουστικός ήχος είναι ένα αναλογικό σήμα. Μια νότα είναι ένας απλός ήχος μιας συχνότητας (πχ. 4 KHz). Η ομιλία είναι ένα σύνθετο σήμα. 21
Αναλογικό Σήμα από μικρόφωνο Για παράδειγμα ένα μικρόφωνο μετατρέπει την φωνή μας σε ένα αναλογικό σήμα. 22
Πραγματικά και μιγαδικά σήματα συνεχούς χρόνου (Real and complex signals) (1) Μια σημαντική κατηγορία σημάτων είναι CT σήματα της μορφής x (t) = e st Όπου s είναι μιγαδικός αριθμός. Το σήμα συνεχούς χρόνου x(t) είναι μια μιγαδική ποσότητα και έχει ένα πραγματικό και ένα φανταστικό μέρος ή ένα πλάτος και μια φάση. 23
Πραγματικά και μιγαδικά σήματα συνεχούς χρόνου (Real and complex Για παράδειγμα, υποθέτουμε ότι s = jπ/8 και x(t) = e ^( jπ /8t) τότε τα πραγματικά μέρη είναι: Για το αναλογικό σήμα Re{x(t)} = Re{e jπt /8} = cos(πt/8), και για το διακριτό σήμα Re{x[n]} = Re{e jπn /8} = cos[πn/8] signals) (2) 24
Eκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου της μορφής x (t) = e st 25
Πραγματικό μέρος του e (σ+jω)t e(σ+jω)t 26
Φανταστικό μέρος του e (σ+jω)t 27
Ιδιότητες Σημάτων Συνεχούς Χρόνου Απλά και Στοχαστικά Σήματα Αιτιατά και μη Αιτιατά Σήματα Σήματα Πεπερασμένου Πλάτους Σήματα Πεπερασμένης και Σήματα Άπειρης Διάρκειας Περιοδικά Σήματα Δεξιόπλευρα και Αριστερόπλευρα Σήματα Άρτια και Περιττά Σήματα 28
Απλά και Στοχαστικά σήματα Απλό ή αιτιοκρατικό ονομάζεται ένα σήμα για το οποίο είμαστε πάντα σε Θέση να γράψουμε μία μαθηματική σχέση που να το περιγράφει πλήρως σε κάθε χρονική στιγμή, άρα και να το προσδιορίσουμε πριν συμβεί. Αντίθετα, στοχαστικό ή τυχαίο ονομάζεται ένα σήμα το οποίο δεν είναι δυνατό να το προσδιορίσουμε επακριβώς πριν συμβεί, δηλαδή δεν μπορούμε να γράψουμε μία αναλυτική μαθηματική έκφραση που να το περιγράφει. Στην περίπτωση αυτή εντάσσεται ο θόρυβος καθώς και πληθώρα άλλων πραγματικών σημάτων. Για τη μελέτη των σημάτων αυτών χρησιμοποιείται η Θεωρία Πιθανοτήτων. 29
Αιτιατά και μη αιτιατά σήματα 30
Σήματα πεπερασμένου πλάτους 31
Σήματα πεπερασμένης και άπειρης διάρκειας 32
Πεπερασμένα και μη πεπερασμένα σήματα (Bounded and unbounded signals) 33
Περιοδικά και μη σήματα (1) 34
Περιοδικά και μη σήματα (2) περιοδικά σήματα μη περιοδικά σήματα 35
Περιοδικότητα Αθροίσματος σημάτων (1) 36
Περιοδικότητα Αθροίσματος σημάτων (2) 37
Δεξιό- και αριστερό- πλευρα σήματα (Right- and left- sided signals) Ένα δεξιόπλευρο σήμα είναι μηδενικό για t<t και ένα αριστερόπλευρο σήμα είναι μηδενικό για t>t 38
Άρτια και Περιττά σήματα (Even and odd signals) Τα άρτια xe(t) και τα περιττά σήματα x0(t) καθορίζονται ως εξής xe (t) = xe (-t) και x0 (t) = - x0 (- t). Οποιοδήποτε σήμα είναι ένα άθροισμα από μοναδικά άρτια και περιττά σήματα δηλαδή x(t) = xe(t) + x0(t) 39
Even and Odd CT Functions 40
Άρτια και Περιττή συνιστώσα 41
Παράδειγμα Να προσδιορίσετε την άρτια και την περιττή συνιστώσα του σήματος συνεχούς χρόνου: x(t) = e jωt 42
Λύση 43
Συνδυασμοί άρτιων και περιττών σημάτων Τύπος σήματος Άθροισμα Διαφορά Γινόμενο Διαίρεση Both even Even Even Even Even Both odd Odd Odd Even Even Even and odd Neither Neither Odd Odd 44
Παράδειγμα (1) Δύο άρτια σήματα 45
Παράδειγμα (2) Ένα άρτιο και ένα περιττό σήμα 46
Παράδειγμα (3) Δύο περιττά σήματα 47
Χαρακτηριστικές παράμετροι σημάτων συνεχούς χρόνου (1) 48
Χαρακτηριστικές παράμετροι σημάτων συνεχούς χρόνου (2) 49
Σήματα Ενέργειας και Ισχύος (1) Ένα σήμα με πεπερασμένη ενέργεια λέγεται σήμα ενέργειας. Ένα σήμα με άπειρη ενέργεια και πεπερασμένη ισχύ λέγεται σήμα ισχύος. 50
Σήματα Ενέργειας και Ισχύος (2) 51
Παράδειγμα #1 Να υπολογιστεί η μέση τιμή του σήματος x(t) ως συνάρτηση των α και K. 52
Λύση Από τη γραφική παράσταση παρατηρούμε πως το σήμα x(t) είναι περιοδικό με περίοδο Τ και πλάτος Κ. 53
Παράδειγμα #2 Να υπολογιστεί η ενέργεια του σήματος x(t) = e [t] 54
Λύση 55
1. Μοναδιαία κρούση Βασικά Σήματα Συνεχούς Χρόνου (Unit Impulse) Η μοναδιαία κρούση δ(t) ορίζεται από το ολοκλήρωμα 56
Κρουστικό σήμα Το κρουστικό σήμα ονομάζεται και συνάρτηση δέλτα ή συνάρτηση Dirac. Επιτρέπει την περιγραφή φαινομένων με στιγμιαία διάρκεια. Το μοναδιαίο κρουστικό σήμα μπορεί να θεωρηθεί σαν μία συνάρτηση που μηδενίζεται για κάθε t 0 και το συνολικό εμβαδόν του τμήματος του επιπέδου που περικλείεται από την καμπύλη δ(t) και τον άξονα των t είναι ίσο με την μονάδα. 57
Γραφική αναπαράσταση του κρουστικού παλμού 58
Ιδιότητες του κρουστικού παλμού 59
2. Μοναδιαία βηματική συνάρτηση (Unit step) (1) 60
2. Μοναδιαία βηματική συνάρτηση The Unit Step Function (2) 61
2. Μοναδιαία βηματική συνάρτηση The Unit Step Function (3) 62
3.The Signum Function Η συνάρτηση προσήμου 63
4. The Unit Ramp Function Η αναρριχητική συνάρτηση (ράμπα) 64
5. The Exponential Function Η εκθετική συνάρτηση 65
6. The Rectangular Pulse Function Ο τετραγωνικός παλμός 66
7. The Unit Triangle Function Η μοναδιαία τριγωνική συνάρτηση 67
8. The Unit Sinc Function Η συνάρτηση δειγματοληψίας 68
Sinc function Η συνάρτηση sinc είναι μια συνάρτηση, που καλείται επίσης και συνάρτηση δειγματοληψίας (sampling function), και εμφανίζεται συχνά στην επεξεργασία σήματος και στη θεωρία των μετασχηματισμών Fourier. Το πλήρες όνομα της συνάρτησης αυτής είναι sine cardinal (απόλυτο ημίτονο) αλλά συνήθως αναφέρεται με τη συντόμευση sinc. 69
9. The Dirichlet Function Η συνάρτηση Dirichlet είναι το άθροισμα πολλών συναρτήσεων sinc άπειρης διάρκειας. 70
10. The Sinusoid Function Η ημιτονοειδής συνάρτηση (1) 71
10. The Sinusoid Function Η ημιτονοειδής συνάρτηση (2) 72
10. The Sinusoid Function Η ημιτονοειδής συνάρτηση (3) Δύο ημίτονα με την ίδια φάση και συχνότητα, αλλά με διαφορετικά πλάτη. 73
10. The Sinusoid Function Η ημιτονοειδής συνάρτηση (4) Δύο σήματα με το ίδιο πλάτος και φάση, αλλά με διαφορετικές συχνότητες. 74
10. The Sinusoid Function Η ημιτονοειδής συνάρτηση (5) 75
Μονάδες της περιόδου και της συχνότητας 76
Β ΜΕΡΟΣ ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΣΗΜΑΤΑ (Discrete time signals)
Σήματα διακριτού χρόνου Discrete-time signals 78
Μεταβλητές Η ανεξάρτητη μεταβλητή λαμβάνει μόνο διακριτές τιμές, ενώ η εξαρτημένη μεταβλητή μεταβάλλεται σε ένα διάστημα (παίρνει συνεχείς τιμές). 79
Συνάρτηση και Γραφική απεικόνιση 1. Συνάρτηση με τη μορφή της : 80
Δείγματα 81
Ταξινόμηση των διακριτών ακολουθιών 82
Βασικά Σήματα Διακριτού Χρόνου 1. Μοναδιαία κρουστική ακολουθία δ(n) Έχει ένα μη μηδενικό στοιχείο Πολύ σημαντική σαν ακολουθία εισόδου σε ένα ψηφιακό σύστημα Η ακολουθία εξόδου ονομάζεται κρουστική απόκριση και παρέχει πληροφορίες για την συμπεριφορά του συστήματος 83
Σημαντικές ακολουθίες (1) Unit-sample sequence (n) ( n) 1 0 n n 0 0 (n) n -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 84
Κάθε σήμα γράφεται σαν άθροισμα κρουστικών συναρτήσεων 85
1. Διακριτή συνάρτηση επιβράδυνσης δ(n-k) 86
2. Μοναδιαία Βηματική Ακολουθία (unit step function u(n) 87
Σημαντικές ακολουθίες (2) 88
3. Μοναδιαία Αναρριχητική ακολουθία The Unit Ramp Function, 0 n n n ramp u 1 0, n 0 m n m 89
4. Μοναδιαία ακολουθία τετραγώνου The Rectangle Function 1, n Nw rect N n, N 0, ακέραιος w w Nw 0, n Nw 90
5. Πραγματική εκθετική ακολουθία Real exponential sequence x( n) n a x(n)...... n -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 91
6. Ημιτονοειδής ακολουθία (1) Sinusoidal sequence x( n) Acos( n ) 0 x(n) n 92
6. Ημιτονοειδής ακολουθία (2) 93
6. Ημιτονοειδής ακολουθία (3) 94
6. Ημιτονοειδής ακολουθία (4) Η διακεκομμένη γραμμή είναι η συνάρτηση συνεχούς χρόνου. 95
Εκθετικές ακολουθίες Για ευκολία, τα ημιτονοειδή σήματα συνήθως εκφράζονται με εκθετικές ακολουθίες. 96
7. Μιγαδική εκθ. ακολουθία Complex exponential sequence x( n) e ( j 0 ) n 97
Άρτια και περιττά σήματα 98
Συνδυασμοί-πράξεις μεταξύ άρτιων και περιττών σημάτων διακριτού χρόνου Τύπος Άθροισμα Διαφορά Γινόμενο Δύο άρτια Άρτιο Περιττό Άρτιο Δύο περιττά Περιττό Περιττό Άρτιο Άρτιο και περιττό Άρτιο ή Περιττό Άρτιο ή Περιττό Περιττό 99
Π.χ Γινόμενο (1) 100
Π.χ Γινόμενο (2) 101
Π.χ Γινόμενο (3) 102
Περιοδική ακολουθία Μία ακολουθία x(n) είναι περιοδική με περίοδο N εαν x( n) x( n N) για κάθε N 103
Περιοδικά αναλογικά και ψηφιακά σήματα 104
Παραδείγματα Periodic Random Κάντε κλικ στα εικονίδια, για να ακούσετε το ηχητικό. 105
Frequency Σήματα ήχου Time 106
4 Περιοδικά ημίτονα διακριτού χρόνου 107
An Aperiodic Sinusoid Ένα ημιτονοειδές σήμα διακριτού χρόνου δεν είναι απαραίτητα περιοδικό 108
Ντετερμινιστικά και Τυχαία σήματα διακριτού χρόνου Deterministic signals -Δεν υπάρχει αβεβαιότητα για τις τιμές των δειγμάτων του π.χ sin(3t) Random signals - Δεν γνωρίζουμε τις τιμές του με βεβαιότητα 109
Διακριτά σήματα πεπερασμένα Finite-length signal : μη μηδενικό για μία πεπερασμένη περιοχή nmin< n< nmax Infinite-length singal : δεν έχει πεπερασμένο αριθμό δειγμάτων ή άπειρης διάρκειας 110
Σήματα Ενέργειας και Ισχύος (1) Η ενέργεια ενός σήματος x[n] είναι: 111
Σήματα Ενέργειας και Ισχύος (2) Η ισχύς ενός σήματος x[n] είναι: Για ένα περιοδικό σήμα x[n] η μέση ισχύς είναι: 112
Σήματα Ενέργειας και Ισχύος (3) Ένα σήμα με πεπερασμένη ενέργεια λέγεται σήμα ενέργειας (energy signal). Ένα σήμα με πεπερασμένη ισχύ λέγεται σήμα ισχύος (power signal). 113
Γ ΜΕΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ της ανεξάρτητης μεταβλητής
Μετατροπές της ανεξάρτητης μεταβλητής Υπάρχουν τρεις τύποι μετασχηματισμού της ανεξάρτητης μεταβλητής ενός σήματος Χρονική μετατόπιση (time shift) Αναστροφή χρόνου (time reversal) ή κατοπτρισμός Χρονική κλιμάκωση (time scaling) 115
Μετασχηματισμοί της ανεξάρτητης μεταβλητής (1) Ολίσθηση (time shift): Αν T>0, το x(t Τ) καθυστερεί κατά T σε σχέση με το x(t), δηλ. μετατοπίζεται δεξιά στον άξονα των t. Το x(t+t) προηγείται του x(t), δηλ. μετατοπίζεται αριστερά. Ανάκλαση (time reversal): Το x( t) είναι το συμμετρικό του x(t) ως πρός τον κατακόρυφο άξονα. Κλιμάκωση (time scaling): Αν α>1, το x(αt) συμπιέζεται στο χρόνο (διαρκεί α φορές λιγότερο από το x(t)). Αν 0<α<1, το x(αt) εκτείνεται στο χρόνο. 116
Μετασχηματισμοί της ανεξάρτητης μεταβλητής (2) Χρονική μετατόπιση (time shift) x n x n 3 n n x t x t 4 4 t 8 t 117
Μετασχηματισμοί (1) Αναστροφή χρόνου (time reversal) ή κατοπτρισμός x n x n n n x t x t t t 118
Μετασχηματισμοί (2) Χρονική κλιμάκωση ή συμπίεση Time scaling x t 2 x 2t 2 t 1 x t / 2 1 t 4 4 t 119
Παράδειγμα 1 Ένα σήμα συνεχούς χρόνου x(t) απεικονίζεται παρακάτω: x(t)= 0, for t<1 = t-2, for 1<t<3 = 0, for t>3 120
1. Υπολογισμός του σήματος 2x(t) x(t)= 0, for t<1 = t-2, for 1<t<3 = 0, for t>3 2x(t)= 0, for t<1 = 2t-4, for 1<t<3 = 0, for t>3 121
2. Υπολογισμός του σήματος -2x(t) x(t)= 0, for t<1 = t-2, for 1<t<3 = 0, for t>3-2x(t)= 0, for t<1 = -2t+4, for 1<t<3 = 0, for t>3 122
3. Υπολογισμός του σήματος 0.5x(t) x(t)= 0, for t<1 = t-2, for 1<t<3 = 0, for t>3 0.5 x(t)= 0, for t<1 = 0.5t-1, for 1<t<3 = 0, for t>3 123
4. Υπολογισμός του σήματος -0.5x(t) x(t)= 0, for t<1 = t-2, for 1<t<3 = 0, for t>3-0.5 x(t)= 0, for t<1 = -0.5t+1, for 1<t<3 = 0, for t>3 124
Παράδειγμα 2 Ας θεωρήσουμε την παρακάτω συνάρτηση g(t) 125
1. Amplitude Scaling (1) 126
1. Amplitude Scaling (2) g t Ag t 127
2. Time shifting 128
3. Time scaling (1) 129
3. Time scaling (2) 130
Παράδειγμα 3 Ένα σήμα διακριτού χρόνου x(n) απεικονίζεται παρακάτω: x(n)= 0, for n<1 = -1, for n=1 = 0, for n=2 = +1, for n=3 = 0, for n>3 131
1. 2x(n) (Amplification) x(n)= 0, for n<1 = -1, for n=1 = 0, for n=2 = +1, for n=3 = 0, for n>3 2x(n)= 0, for n<1 = -2, for n=1 = 0, for n=2 = +2, for n=3 = 0, for n>3 132
2. 2x(n) (Amplification with negative x(n)= 0, for n<1 = -1, for n=1 = 0, for n=2 = +1, for n=3 = 0, for n>3 value) -2x(n)= 0, for n<1 = +2, for n=1 = 0, for n=2 = -2, for n=3 = 0, for n>3 133
3. 0.5x(n) (Attenuation) x(n)= 0, for n<1 = -1, for n=1 = 0, for n=2 = +1, for n=3 = 0, for n>3 0.5x(n)= 0, for n<1 = +0.5, for n=1 = 0, for n=2 = -0.5, for n=3 = 0, for n>3 134
4. x(-n) (Time Reversal) x(n)= 0, for n<1 = -1, for n=1 = 0, for n=2 = +1, for n=3 = 0, for n>3 x(-n)= 0, for n>-1 = -1, for n=-1 = 0, for n=2 = +1, for n=-3 = 0, for n<-3 135
5. x(n-1) (Time Shifting : Delaying) x(n)= 0, for n<1 = -1, for n=1 = 0, for n=2 = +1, for n=3 = 0, for n>3 x(n-1)= 0, for n<2 = -1, for n=2 = 0, for n=3 = +1, for n=4 = 0, for n>4 136
6. x(n+1) (Time Shifting : Advancing) x(n)= 0, for n<1 = -1, for n=1 = 0, for n=2 = +1, for n=3 = 0, for n>3 x(n+1)= 0, for n<0 = -1, for n=0 = 0, for n=1 = +1, for n=2 = 0, for n>2 137
7. x(0.5n) (Time Scaling : Expansion) X(n)= 0, for n<1 = -1, for n=1 = 0, for n=2 = +1, for n=3 = 0, for n>3 x(0.5n)= 0, for n<2 = -1, for n=2 = 0, for n=4 = +1, for n=6 = 0, for n>6 138
Πολλαπλοί Μετασχηματισμοί 139
Differentiation- Διαφόριση 140
Integration Ολοκλήρωση 141
Ολοκλήρωση άρτιων και περιττών σημάτων 142
Ασκήσεις εξάσκησης από την πρώτη διάλεξη
Άσκηση 1 Έστω σήμα συνεχούς χρόνου x(t). 144
ΛΥΣΗ της 1ης Άσκησης (1) 1α) x(t-1) 145
ΛΥΣΗ της 1ης Άσκησης (2) 1β) x(t+2) 146
ΛΥΣΗ της 1ης Άσκησης (3) 1γ) x(-t) 147
ΛΥΣΗ της 1ης Άσκησης (4) 1δ) x(2t) 148
ΛΥΣΗ της 1ης Άσκησης (5) 1ε) x(t/2) 149
Άσκηση 2 Για το παρακάτω σήμα διακριτού χρόνου x[n] σχεδιάστε όσα από τα παρακάτω σήματα ορίζονται : 150
ΛΥΣΗ της 2ης Άσκησης (1) 2α) x[n-3] 151
ΛΥΣΗ της 2ης Άσκησης (2) 2β) x[n+2] 152
ΛΥΣΗ της 2ης Άσκησης (3) 2γ) x[2n] 153
ΛΥΣΗ της 2ης Άσκησης (4) 2δ) x[n/2] 154
ΛΥΣΗ της 2ης Άσκησης (5) 2ε) x[-n] 155
Άσκηση 3 Σχεδιάστε τη συνάρτηση x(t) όπου x(t) = e t/4 δ (t + 4). 156
ΛΥΣΗ της Άσκησης 3 157
Άσκηση 4 Να εξεταστεί ποια από τα παρακάτω σήματα είναι ενέργειας, ισχύος ή τίποτα από τα δύο. 158
ΛΥΣΗ της Άσκησης 4 (1) 159
ΛΥΣΗ της Άσκησης 4 (2) 160
Άσκηση 5 Να εκφραστούν τα σήματα που φαίνονται στα παρακάτω σχήματα με τη βοήθεια του βηματικού σήματος. 161
ΛΥΣΗ της Άσκησης 5 162
Άσκηση 6 Έστω το σήμα x(t). Να σχεδιαστούν τα σήματα x(t-3) και x(t+6). 163
ΛΥΣΗ της 6ης Άσκησης (1) Το σήμα x(t-3) προκύπτει από την μετατόπιση του αρχικού σήματος κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά. Λέμε ότι το σήμα x(t-3) καθυστερεί έναντι του x(t) κατά 3 μονάδες. Το σήμα x(t+6) προκύπτει από την χρονική μετατόπιση του αρχικού σήματος κατά 6 μονάδες προς τα αριστερά. Λέμε ότι το σήμα x(t+6) προπορεύεται έναντι του x(t) κατά 6 μονάδες. 164
Σήματα x(t-3) και x(t+6) 165
Να σχεδιαστούν τα σήματα x(2t) και x(t/3) Το σήμα x(2t) προκύπτει διαιρώντας τις τετμημένες του αρχικού σήματος δια 2. Ενώ το αρχικό σήμα εκτείνεται από την χρονική στιγμή t=-2 έως την t=3, το x(2t) εκτείνεται από την χρονική στιγμή t=-1 έως την t=1.5. Λέμε ότι έχει γίνει συστολή του αρχικού σήματος κατά ένα παράγοντα 2. Το σήμα x(t/3) προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τις τετμημένες του αρχικού σήματος επί 3. 166
Σήματα x(2t) και x(t/3) 167
Άσκηση 7 Έστω το σήμα x(t). Να σχεδιαστεί το σήμα x( 1.5t+1) 168
ΛΥΣΗ της 7ης Άσκησης Το x(t) υφίσταται διαδοχικά ολίσθηση, συμπίεση και ανάκλαση: 169
Άσκηση 8 Έστω το σήμα x(t). Να εκφραστεί συναρτήσει στοιχειωδών συναρτήσεων (u(t), r(t) κλπ). 170
ΛΥΣΗ της 8ης Άσκησης x(t) = u(t) r(t 1)u(t-1) + r(t 2)u(t- 2) 171
Άσκηση 9 Έστω το σήμα x(n). Να σχεδιαστούν τα σήματα x(n-3) και x(n+6). 172
ΛΥΣΗ της 9ης Άσκησης Το σήμα x(n-3) προκύπτει από την μετατόπιση του αρχικού σήματος κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά. Λέμε ότι το σήμα x(n-3) καθυστερεί έναντι του x(n) κατά 3 μονάδες. Το σήμα x(n+2) προκύπτει από την χρονική μετατόπιση του αρχικού σήματος κατά 2 μονάδες προς τα αριστερά. Λέμε ότι το σήμα x(n+2) προπορεύεται έναντι του x(n) κατά 2 μονάδες. 173
Σήματα x(n-3) και x(n+2) 174
Να σχεδιαστεί το σήμα x(-n) Το σήμα x(-n) είναι το συμμετρικό του αρχικού σήματος ως προς τον κατακόρυφο άξονα. 175
Άσκηση 10 Δίνεται το σήμα x(n). Να σχεδιαστούν τα σήματα x(3n) και x(n/2). 176
ΛΥΣΗ της 10ης Άσκησης Το σήμα x(3n) προκύπτει διαιρώντας τις τετμημένες του αρχικού σήματος δια 3. Το σήμα x(n/2) προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τις τετμημένες του αρχικού σήματος επί 2. x[3 n ] συστολή κατά 3 2 xn διαστολή κατά 2 177
Τέλος Ενότητας