Συστήματα Στήριξης Αποφάσεων Τμήμα: Μηχανικών Παραγωγής & ιοίκησης ιδάσκων: A.Π. Βαβάτσικος, Dip.Eng., PhD
H Μέθοδος PROMETHEE Η μέθοδος PROMETHEE (Preference Ranking Organization METHod for Enrichment Evaluations) αναπτύχθηκε στα μέσα της δεκαετίας του 80 από τους Brans & Vincke [1985] και ανήκει στην κατηγορία των μεθόδων σχέσεων υπεροχής (outranking relations methods). Σε αυτές η κατάταξη των εναλλακτικών σεναρίων είναι εφικτή μέσω των ανά ζεύγος συγκρίσεων των επιδόσεων των εναλλακτικών σεναρίων ως προς τα κριτήρια της ανάλυσης. Η μέθοδος περιλαμβάνει διάφορες παραλλαγές για την αντιμετώπιση διαφορετικών προβληματικών απόφασης. Αναλυτικότερα, ως PROMETHEE I παρέχει τη μερική (partial) κατάταξη των εναλλακτικών σεναρίων, ενώ ως PROMETHEE IΙ την πλήρη (complete) κατάταξή τους [Brans & Vincke 1985, Brans et al. 1986]. Η PROMETHEE ΙΙΙ επιτρέπει την προσέγγιση προβλημάτων σε στοχαστικό περιβάλλον απόφασης, ενώ η PROMETHEE IV την αντιμετώπιση προβλημάτων αξιολόγησης μεγάλου αριθμού εναλλακτικών σεναρίων. Επιπλέον, η μέθοδος παρέχει το πλαίσιο για την αντιμετώπιση προβλημάτων κατανομής πόρων (PROMETHEE V), τη διενέργεια αναλύσεων ευαισθησίας (PROMETHEE VI), καθώς και τη γραφική απεικόνιση του προβλήματος απόφασης (GAIA: Geometrical Analysis for Interactive Assistance). Η υποστήριξη του υπολογιστικού τμήματος της μεθόδου αρχικά από το λογισμικό PROMCALC [Brans & Mareschal 1994] και σήμερα πλέον από το Decision Lab [Gelderman & Zhang 2001, www.visualdecision.com] συνετέλεσαν τα μέγιστα στη διάδοση της μεθόδου και στην ανάπτυξη πληθώρας εφαρμογών σε πολλά επιστημονικά πεδία [Brans 2005].
H Μέθοδος PROMETHEE Η βασική δομή περιγραφής του πολυκριτήριου προβλήματος είναι ο πίνακας απόφασης με A={a 1,a 2,..,a i,,a n } το σύνολο των εναλλακτικών δράσεων F={f 1,f 2,..,f j,,f k } το σύνολο των κριτηρίων απόφασης a f 1 f 2 f j f k a 1 f 1 (a 1 ) f 2 (a 1 ) f j (a 1 ) f k (a 1 ) a 2 f 1 (a 2 ) f 2 (a 2 ) f j (a 2 ) f k (a 2 ) a i f 1 (a i ) f 2 (a i ) f j (a i ) f k (a i ) a n f 1 (a n ) f 2 (a n ) f j (a n ) f k (a n )
H Μέθοδος PROMETHEE Αν a,b δύο εναλλακτικές που εξετάζονται υπό το πρίσμα των κριτηρίων f 1 και f 2, τότε μια μέθοδος πολυκριτήριας αξιολόγησης πρέπει να απαντά στις περιπτώσεις Περίπτ. Ι Περίπτ. ΙΙ Περίπτ. ΙΙΙ Περίπτ. ΙV Περίπτ. V A f 1 f 2 f 1 f 2 f 1 f 2 f 1 f 2 f 1 f 2 a 100 100 100 20 100 99 100 99 100 100 b 30 20 30 100 20 100 99 100 99 99 Ι: Η a είναι καλύτερη της b καθώς επικρατεί και στα δύο κριτήρια της ανάλυσης ΙΙ: Κάθε μία από τις εναλλακτικές επικρατεί με διαφορά σε ένα κριτήριο της ανάλυσης επομένως δεν είναι άμεσα συγκρίσιμες ΙΙΙ: ιαπιστώνεται ισοδυναμία σε ένα κριτήριο αλλά και η σαφής υπεροχή της b στο άλλο. Επομένως η a είναι αποδοτικότερη ΙV: Οι δύο εναλλακτικές είναι εξίσου αποδοτικές στα κριτήρια της ανάλυσης επομένως είναι μεταξύ τους αδιάφορες V: Η a επικρατεί με βραχεία κεφαλή της b, επομένως πρέπει να διερευνηθεί ο βαθμός σπουδαιότητας της επικράτησης αυτής
H Μέθοδος PROMETHEE Επομένως η συγκρότηση μιας συγκροτημένης προσέγγισης πρέπει να πληροί τις παρακάτω προϋποθέσεις: Π1: Η αξιολόγηση πρέπει να στηρίζεται στο εύρος της διαφοράς των επιδόσεων των εναλλακτικών Π2: Οι επιδόσεις των εναλλακτικών πρέπει να κανονικοποιούνται προκειμένου να αντιμετωπίζεται το πρόβλημα των διαφορετικών κλιμάκων μέτρησης των κριτηρίων Π3: Όταν συγκρίνονται δύο σενάρια πρέπει να προκύπτει μια από τις τρεις καταστάσεις: Η προτίμηση του ενός έναντι του άλλου (apb) Η ισοδυναμία (αδιαφορία) μεταξύ των σεναρίων (aib) Η ασυμβατότητα των εξεταζόμενων σεναρίων (arb) Π4: Η εφαρμογή μιας μεθόδου απαιτεί την κατανόησή της από τους Λήπτες Απόφασης Π5: Η χρησιμοποιούμενη μέθοδος δεν πρέπει να περιλαμβάνει τεχνικές παραμέτρους χωρίς οικονομική σημασία Π6: Οι αντιθέσεις μεταξύ αντικρουόμενων στόχων πρέπει να γίνονται αντιληπτές απότον αποφασίζοντα προκειμένου να καταγράφονται αντίστοιχα οι προτιμήσεις του στα εναλλακτικά σενάρια Π7: Πρέπει να υπάρχει ξεκάθαρη άποψη για τη βαρύτητα των κριτηρίων της ανάλυσης
H Μέθοδος PROMETHEE Το θέμα του υπολογισμού της σχετική επικράτησης w j των κριτηρίων της ανάλυσης δεν εξετάζεται στη μέθοδο η οποία θεωρεί ότι η πληροφορία αυτή δηλώνεται από τους λήπτες απόφασης αρκεί να τηρείται ο τυπικός περιορισμός 1 Ως βάση για την απόδοση του συστήματος αξιών των ληπτών απόφασης η μέθοδος PROMETHEE χρησιμοποιεί τους πίνακες των ανά ζεύγος συγκρίσεων των εναλλακτικών σεναρίων. Τα στοιχεία τους αποδίδουν το μέτρο της μεταξύ των σεναρίων επικράτησης, ως διαφορά των επιδόσεων των σεναρίων d j (a,b) για κάθε κριτήριο f j της ανάλυσης, όπου:, - Η αναγωγή των διαφορών που καταγράφονται στις επιδόσεις των εναλλακτικών σεναρίων σε κοινή κλίμακα μέτρησης (κλίμακα προτιμήσεων) P j για κάθε κριτήριο της ανάλυσης πραγματοποιείται με τη χρήση συναρτησιακών σχέσεων F j, και για τις οποίες ισχύει: P,, 0P, 1
H Μέθοδος PROMETHEE Στην περίπτωση όπου το κριτήριο είναι αύξον και η επίδοση του a μεγαλύτερη του b τότε η προτίμηση της a έναντι της bp j υπολογίζεται από τη σχέση: P, 0 P, 0 P j ( a, b) Στην περίπτωση όπου το κριτήριο είναι φθίνον πρέπει να λαμβάνεται το αντίθετο της διαφοράς των επιδόσεων έτσι ώστε d j ( a, b) P,, b
H Μέθοδος PROMETHEE Ορίζοντας ως q και p τα κατώφλια αδιαφορίας και προτίμησης, όπου: q j (indifference threshold): Η μεγαλύτερη τιμή της διαφοράς d για την οποία οι εναλλακτικές λύσεις είναι μεταξύ τους αδιάφορες για το κριτήριο j. p j (preference threshold): Η μικρότερη τιμή της της διαφοράς d στο κριτήριο j πάνω από την οποία υπάρχει σαφής προτίμηση. Τούτων δοθέντων η μέθοδος PROMETHEE ορίζει έξι τύπους γενικευμένου κριτηρίου, που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των ανά κριτήριο προτιμήσεων 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1/2 0 1 0 1 0 1
H Μέθοδος PROMETHEE Ό υπολογισμός των προτιμήσεων P τoυ σεναρίου a έναντι του b για κάθε κριτήριο της ανάλυσης επιτρέπει τον υπολογισμό του βαθμού υπεροχής του σεναρίου a έναντι του σεναρίου b, π(a,b) για το σύνολο των κριτηρίων της ανάλυσης σύμφωνα με τη σχέση:,, Αντίστοιχα ο βαθμός υπεροχής του σεναρίου b έναντι του a δίνεται από τη σχέση,, Πρακτικά ο βαθμός υπεροχής συγκροτεί ένα πίνακα nxn σε κάθε θέση του οποίου τοποθετείται το άθροισμα των αντίστοιχων σταθμισμένων με το βάρος του κριτηρίου w j προτιμήσεων P j. Με την προϋπόθεση πάντα ότι 1
H Μέθοδος PROMETHEE Ο προσδιορισμός των π(a,b) και π(b,a) επιτρέπει την κατασκευή του γράφου υπεροχής με την αποτύπωση του βαθμού υπεροχής στο σύνολο των εναλλακτικών δράσεων Ο πίνακας υπεροχής ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:, 0 0, 1 0, 1 0,, 1 Αν π(a,b) 0 τότε υπάρχει μια ασθενής συνολική προτίμηση της a έναντι της b Αν π(a,b) 1 τότε υπάρχει μια ισχυρή συνολική προτίμηση της a έναντι της b
H Μέθοδος PROMETHEE Αν Α=(a 1,a 2,,a i,,a n ) το σύνολο των εναλλακτικών σεναρίων τότε κάθε εναλλακτική τίθεται αντιμέτωπη με n-1 εναλλακτικά σενάρια Τότε το μέτρο της υπεροχής τoυ εναλλακτικού σεναρίου a i έναντι των υπολοίπων στην ανάλυση υπολογίζεται από την θετική ροή κατάταξης Φ +. Φ 1 1, Αντίστοιχα η αρνητική ροή κατάταξης Φ - δηλώνει το μέτρο της επικράτησης των υπόλοιπων σεναρίων έναντι του a i. Φ 1 1,
PROMETHEE I Μερική Κατάταξη Ο υπολογισμός των θετικών Φ + και αρνητικών Φ - ροών κατάταξης επιτρέπει την κατάταξη των εναλλακτικών σεναρίων με τη χρήση των τριών δομών προτίμησης P,I και R σύμφωνα με τις σχέσεις Φ Φ Φ Φ ό Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Ι ό Φ Φ Φ Φ R ό Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
PROMETHEE ΙI Πλήρης Κατάταξη Η μέθοδος PROMETHEE II αποτελεί επέκταση της μεθόδου στον προσδιορισμό της πλήρους κατάταξης των εναλλακτικών σεναρίων της αξιολόγησης και διαμορφώνεται με τηχρήσητων δομών προτίμησης P, I. O βαθμός ικανοποίησης των στόχων της ανάλυσης υπολογίζεται σύμφωνα με το μέγεθος της καθαρής ροής κατάταξης των σεναρίων Φnet η οποία υπολογίζεται από τη διαφορά της θετικής Φ+ με την αρνητική ροή Φ- κατάταξης Φ Φ Φ ό Φ Φ Ι ό Φ Φ 0Φ 1 Φ 0
Μέθοδος PROMETHEE - Παράδειγμα Στον Πίνακα απόφασης δίνονται τα χαρακτηριστικά προβλήματος αξιολόγησης έξι εναλλακτικών σεναρίων υπό το πρίσμα έξι κριτηρίων απόφασης Κριτήρια Εναλλακτικά Σενάρια Πίνακας Απόφασης C1 C2 C3 C4 C5 C6 Βαρύτητες w j 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Αύξον/Φθίνον Min Max Min Min Min Max Τύπος Κριτηρίου II III V IV I VI q= 10 0,5 1 p= 30 5 6 σ= 5 A1 80 90 6 5,4 8 5 A2 65 58 2 9,7 1 1 A3 83 60 4 7,2 4 7 A4 40 80 10 7,5 7 10 A5 52 72 6 2 3 8 A6 94 96 7 3,6 5 6 Πλήθος Εναλλακτικών 6
Μέθοδος PROMETHEE - Παράδειγμα Βήμα 1: Προσδιορισμός του πίνακα διαφορών για κάθε κριτήριο d j =g(a)-g(b) dc1 80 65 83 40 52 94 80 A1 0 15 3 40 28 14 65 A2 15 0 18 25 13 29 83 A3 3 18 0 43 31 11 40 A4 40 25 43 0 12 54 52 A5 28 13 31 12 0 42 94 A6 14 29 11 54 42 0 dc3 6 2 4 10 6 7 6 A1 0 4 2 4 0 1 2 A2 4 0 2 8 4 5 4 A3 2 2 0 6 2 3 10 A4 4 8 6 0 4 3 6 A5 0 4 2 4 0 1 7 A6 1 5 3 3 1 0 dc5 8 1 4 7 3 5 8 A1 0 7 4 1 5 3 1 A2 7 0 3 6 2 4 4 A3 4 3 0 3 1 1 7 A4 1 6 3 0 4 2 3 A5 5 2 1 4 0 2 5 A6 3 4 1 2 2 0 dc2 90 58 60 80 72 96 90 A1 0 32 30 10 18 6 58 A2 32 0 2 22 14 38 60 A3 30 2 0 20 12 36 80 A4 10 22 20 0 8 16 72 A5 18 14 12 8 0 24 96 A6 6 38 36 16 24 0 dc4 5,4 9,7 7,2 7,5 2 3,6 5,4 A1 0 4,3 1,8 2,1 3,4 1,8 9,7 A2 4,3 0 2,5 2,2 7,7 6,1 7,2 A3 1,8 2,5 0 0,3 5,2 3,6 7,5 A4 2,1 2,2 0,3 0 5,5 3,9 2 A5 3,4 7,7 5,2 5,5 0 1,6 3,6 A6 1,8 6,1 3,6 3,9 1,6 0 dc6 5 1 7 10 8 6 5 A1 0 4 2 5 3 1 1 A2 4 0 6 9 7 5 7 A3 2 6 0 3 1 1 10 A4 5 9 3 0 2 4 8 A5 3 7 1 2 0 2 6 A6 1 5 1 4 2 0 Παρατήρηση: Όταν το κριτήριο είναι φθίνον λαμβάνεται το αντίθετο της διαφοράς του στοιχείου γραμμής με το στοιχείο στήλης -d j =g(b)-g(a)
Μέθοδος PROMETHEE - Παράδειγμα Βήμα 2: Υπολογισμός του δείκτη προτίμησης P j Εφαρμογή γενικευμένων κριτηρίων Από την εκφώνηση είναι γνωστό ότι q 1 =10 dc1 80 65 83 40 52 94 80 A1 0 15 3 40 28 14 65 A2 15 0 18 25 13 29 83 A3 3 18 0 43 31 11 40 A4 40 25 43 0 12 54 52 A5 28 13 31 12 0 42 94 A6 14 29 11 54 42 0 0 1 C1 A1 0 0 0 0 0 1 A2 1 0 1 0 0 1 A3 0 0 0 0 0 1 A4 1 1 1 0 1 1 A5 1 1 1 0 0 1 A6 0 0 0 0 0 0
Μέθοδος PROMETHEE - Παράδειγμα Βήμα 2: Υπολογισμός του δείκτη προτίμησης P j Εφαρμογή γενικευμένων κριτηρίων Από την εκφώνηση είναι γνωστό ότι p 2 =30 dc2 90 58 60 80 72 96 90 A1 0 32 30 10 18 6 58 A2 32 0 2 22 14 38 60 A3 30 2 0 20 12 36 80 A4 10 22 20 0 8 16 72 A5 18 14 12 8 0 24 96 A6 6 38 36 16 24 0 0 0 0 1 C2 A1 0,00 1,00 1,00 0,33 0,60 0,00 A2 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 A3 0,00 0,07 0,00 0,00 0,00 0,00 A4 0,00 0,73 0,67 0,00 0,27 0,00 A5 0,00 0,47 0,40 0,00 0,00 0,00 A6 0,20 1,00 1,00 0,53 0,80 0,00
Μέθοδος PROMETHEE - Παράδειγμα Βήμα 2: Υπολογισμός του δείκτη προτίμησης P j Εφαρμογή γενικευμένων κριτηρίων Από την εκφώνηση είναι γνωστό ότι q 3 =1, p 3 =5 dc3 6 2 4 10 6 7 6 A1 0 4 2 4 0 1 2 A2 4 0 2 8 4 5 4 A3 2 2 0 6 2 3 10 A4 4 8 6 0 4 3 6 A5 0 4 2 4 0 1 7 A6 1 5 3 3 1 0 0 1 C3 A1 0,00 0,00 0,00 0,78 0,00 0,11 A2 0,78 0,00 0,33 1,00 0,78 1,00 A3 0,33 0,00 0,00 1,00 0,33 0,56 A4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 A5 0,00 0,00 0,00 0,78 0,00 0,11 A6 0,00 0,00 0,00 0,56 0,00 0,00
Μέθοδος PROMETHEE - Παράδειγμα Βήμα 2: Υπολογισμός του δείκτη προτίμησης P j Εφαρμογή γενικευμένων κριτηρίων Από την εκφώνηση είναι γνωστό ότι q 4 =1, p 4 =6 dc4 5,4 9,7 7,2 7,5 2 3,6 5,4 A1 0 4,3 1,8 2,1 3,4 1,8 9,7 A2 4,3 0 2,5 2,2 7,7 6,1 7,2 A3 1,8 2,5 0 0,3 5,2 3,6 7,5 A4 2,1 2,2 0,3 0 5,5 3,9 2 A5 3,4 7,7 5,2 5,5 0 1,6 3,6 A6 1,8 6,1 3,6 3,9 1,6 0 0 0 1/2 0 1 C4 A1 0,00 0,50 0,50 0,50 0,00 0,00 A2 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 A3 0,00 0,50 0,00 0,00 0,00 0,00 A4 0,00 0,50 0,00 0,00 0,00 0,00 A5 0,50 1,00 0,50 0,50 0,00 0,50 A6 0,50 1,00 0,50 0,50 0,00 0,00
Μέθοδος PROMETHEE - Παράδειγμα Βήμα 2: Υπολογισμός του δείκτη προτίμησης P j Εφαρμογή γενικευμένων κριτηρίων dc5 8 1 4 7 3 5 8 A1 0 7 4 1 5 3 1 A2 7 0 3 6 2 4 4 A3 4 3 0 3 1 1 7 A4 1 6 3 0 4 2 3 A5 5 2 1 4 0 2 5 A6 3 4 1 2 2 0 0 0 1 0 C5 A1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 A2 1,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 A3 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 A4 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 A5 1,00 0,00 1,00 1,00 0,00 1,00 A6 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00
Μέθοδος PROMETHEE - Παράδειγμα Βήμα 2: Υπολογισμός του δείκτη προτίμησης P j Εφαρμογή γενικευμένων κριτηρίων Από την εκφώνηση είναι γνωστό ότι σ 5 =5 dc6 5 1 7 10 8 6 5 A1 0 4 2 5 3 1 1 A2 4 0 6 9 7 5 7 A3 2 6 0 3 1 1 10 A4 5 9 3 0 2 4 8 A5 3 7 1 2 0 2 6 A6 1 5 1 4 2 0 0 1 C6 A1 0,00 0,27 0,00 0,00 0,00 0,00 A2 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 A3 0,08 0,51 0,00 0,00 0,00 0,02 A4 0,39 0,80 0,16 0,00 0,08 0,27 A5 0,16 0,62 0,02 0,00 0,00 0,08 A6 0,02 0,39 0,00 0,00 0,00 0,00
Μέθοδος PROMETHEE - Παράδειγμα Βήμα 3: Υπολογισμός του βαθμού υπεροχής των σεναρίων,, π(α,β) A1 0,000 1,774 1,500 1,611 0,600 1,111 A2 2,778 0,000 2,333 2,000 1,778 3,000 A3 1,410 1,080 0,000 2,000 0,333 2,575 A4 2,393 3,035 1,831 0,000 1,344 1,274 A5 2,665 3,091 2,920 2,278 0,000 2,688 A6 1,720 2,393 1,500 2,589 0,800 0,000
Μέθοδος PROMETHEE - Παράδειγμα Βήμα 4i: Υπολογισμός των θετικών ροών προτίμησης των εναλλακτικών σεναρίων Φ 1 1, π(α,β) A1 0,000 1,774 1,500 1,611 0,600 1,111 A2 2,778 0,000 2,333 2,000 1,778 3,000 A3 1,410 1,080 0,000 2,000 0,333 2,575 A4 2,393 3,035 1,831 0,000 1,344 1,274 A5 2,665 3,091 2,920 2,278 0,000 2,688 A6 1,720 2,393 1,500 2,589 0,800 0,000 Φ+ 1,319 2,378 1,480 1,976 2,728 1,800 Φ 2,193 2,275 2,017 2,096 0,971 2,130
Μέθοδος PROMETHEE - Παράδειγμα Βήμα 4ii: Υπολογισμός των αρνητικών ροών προτίμησης των εναλλακτικών σεναρίων Φ 1 1, π(α,β) A1 0,000 1,774 1,500 1,611 0,600 1,111 A2 2,778 0,000 2,333 2,000 1,778 3,000 A3 1,410 1,080 0,000 2,000 0,333 2,575 A4 2,393 3,035 1,831 0,000 1,344 1,274 A5 2,665 3,091 2,920 2,278 0,000 2,688 A6 1,720 2,393 1,500 2,589 0,800 0,000 Φ+ 1,319 2,378 1,480 1,976 2,728 1,800 Φ 2,193 2,275 2,017 2,096 0,971 2,130
Μέθοδος PROMETHEE - Παράδειγμα Βήμα 5: PROMETHEE Ι partial ranking Φ Φ Φ Φ ό Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Ι ό Φ Φ Φ Φ R ό Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ+ 1,319 2,378 1,480 1,976 2,728 1,800 Φ 2,193 2,275 2,017 2,096 0,971 2,130 A1 I R P 1 P 1 P 1 P 1 A2 I R R P 1 R A3 I R P 1 R A4 I P 1 P A5 I P A6 I
Μέθοδος PROMETHEE - Παράδειγμα Βήμα 6: PROMETHEE ΙI complete ranking Φ Φ Φ ό Φ Φ Ι ό Φ Φ Φ+ 1,319 2,378 1,480 1,976 2,728 1,800 Φ 2,193 2,275 2,017 2,096 0,971 2,130 Φnet 0,874 0,103 0,537 0,120 1,757 0,329 Rank 6 2 5 3 1 4
Καλό διάβασμα