Για να επιλεγεί το υποσύνολο Ν, η μέθοδος ELECTRE I λειτουργεί σε δύο φάσεις:

Transcript

1 Η Μέθοδος ELECTRE I 1. Εισαγωγή Η μέθοδος ELECTRE I [Roy, 1968] απαντά στην προβληματική της επιλογής (προβληματική α) και έχει ως στόχο την επιλογή της καλύτερης εναλλακτικής από ένα σύνολο Α εναλλακτικών. Αυτό επιτυγχάνεται με τη διαίρεση του συνόλου Α σε δύο υποσύνολα Ν και Α\Ν, με βάση τις σχέσεις υπεροχής που λαμβάνονται μετά από αξιολόγηση των εναλλακτικών του Α πάνω σε μια συνεπή οικογένεια κριτηρίων. Τα υ- ποσύνολα αυτά είναι συμπληρωματικά μεταξύ τους και τέτοια που: Το υποσύνολο Ν είναι όσο το δυνατό περισσότερο περιορισμένο και οι εναλλακτικές που ανήκουν σ αυτό είναι μη συγκρίσιμες μεταξύ τους, αποτελούν δε τις επιλεγμένες εναλλακτικές, μεταξύ των οποίων θα επιλεγεί η καλύτερη εναλλακτική. Το υποσύνολο Α\Ν το οποίο περιλαμβάνει τις εναλλακτικές που η καθεμία υπερέχεται από μία τουλάχιστον εναλλακτική του υποσυνόλου Ν. Οι εναλλακτικές αυτές συνιστούν τις απορριπτέες εναλλακτικές. Σημείωση: το Α\Ν σημαίνει σύνολο Α μείον σύνολο Ν. Για να επιλεγεί το υποσύνολο Ν, η μέθοδος ELECTRE I λειτουργεί σε δύο φάσεις: Διαμόρφωση μιας σχέσης υπεροχής S για κάθε διατεταγμένο ζεύγος εναλλακτικών του συνόλου Α. Θα λέμε ότι η εναλλακτική α υπερέχει της εναλλακτικής b (α S b), όταν η α είναι τουλάχιστον το ίδιο καλή με τη b. Επιλογή του υποσυνόλου N, με βάση τη μήτρα υπεροχών. Η μέθοδος ELECTRE I είναι χρονολογικά η πρώτη μέθοδος της οικογενείας των μεθόδων ELECTRE. Στις ενότητες που ακολουθούν, περιγράφεται πλήρως η λειτουργία της μεθόδου ELECTRE I.

2 2. Περιγραφή της Μεθόδου ELECTRE I Η λειτουργία της μεθόδου ELECTRE I περιγράφεται συνοπτικά στο διάγραμμα που ακολουθεί. Σύνολο Εναλλακτικών Α Καθορισμός συνεπούς οικογενείας πραγματικών κριτηρίων Πίνακας Πολυκριτήριων Εκτιμήσεων Κατώφλια veto : v Συντελεστές σημανικότητας (βάρη) Πίνακας Ασυμφωνιών : D Πίνακας Συμφωνιών : C Κατώφλι Συμφωνίας λ Μήτρα Ασυμφωνιών: D Μήτρα Συμφωνιών: C Μήτρα Υπεροχών S Γράφημα Υπεροχών Πυρήνας Σχήμα 3.1 : Διάγραμμα Λειτουργίας της μεθόδου ELECTRE I Το κεντρικό σημείο της ELECTRE I είναι η κατασκευή και αξιοποίηση των σχέσεων υπεροχής μεταξύ των εναλλακτικών του συνόλου Α. 2

3 2.1 Κατασκευή των Σχέσεων Υπεροχής Το προκαταρκτικό στάδιο, κάθε πολυκριτήριας ανάλυσης, συνίσταται στην κατασκευή μιας συνεπούς οικογένειας κριτηρίων, η οποία συγκεντρώνει τις θεωρήσεις του προβλήματος, μέσω των οποίων εκφράζονται οι προτιμήσεις του αποφασίζοντα. Η διαδικασία σύνθεσης, με την οποία κατασκευάζουμε τη σχέση υπεροχής, βασίζεται σε μια λογική που μοιάζει με αυτήν της ψηφοφορίας. Συνίσταται δηλαδή, στη σύγκριση των εναλλακτικών ανά δύο και περιλαμβάνει δύο πτυχές: αυτή της συμφωνίας, όπου μια πλειοψηφία κριτηρίων, αρκετά ισχυρή, υποστηρίζει την υπεροχή, και εκείνη της ασυμφωνίας, όπου η εναπομείνασα μειοψηφία κριτηρίων, μπορεί να εναντιωθεί στην επικύρωση αυτής της υπεροχής. Η μήτρα συμφωνιών λαμβάνεται ως εξής: για κάθε διατεταγμένο ζεύγος εναλλακτικών, υπολογίζουμε έναν δείκτη συμφωνίας ανά κριτήριο (δείκτης μερικής συμφωνίας). Ο δείκτης αυτός, για τη μέθοδο ELECTRE I, παίρνει τιμές 1 ή 0 και εκφράζει εάν συμφωνούμε ή όχι με τον ισχυρισμό η α είναι το ίδιο καλή με τη b. Στη συνέχεια, οι δείκτες μερικής συμφωνίας, ανά κριτήριο, συνθέτονται, λαμβάνοντας υπόψη τη σχετική σημαντικότητα (βάρος) του κάθε κριτηρίου και λαμβάνεται ο δείκτης συνολικής συμφωνίας, με τιμές στο διάστημα [0,1]. Η μήτρα ασυμφωνιών λαμβάνεται με τον εξής τρόπο: για κάθε διατεταγμένο ζεύγος εναλλακτικών, υπολογίζουμε έναν δείκτη ασυμφωνίας ανά κριτήριο (δείκτης μερικής συμφωνίας). Ο δείκτης αυτός, για τη μέθοδο ELECTRE I, παίρνει τιμές 1 ή 0 και δείχνει εάν οι επιδόσεις των εναλλακτικών, σε κάθε κριτήριο, προκαλούν την εναντίωση (άσκηση veto) του αντίστοιχου κριτηρίου στον ισχυρισμό η α είναι το ίδιο καλή με τη b. Εάν, έστω κι ένα κριτήριο εναντιωθεί στην υπεροχή της α έναντι της b, τότε ασκείται συνολικά veto και ο δείκτης συνολικής ασυμφωνίας παίρνει τιμή 1. Εάν κανένα κριτήριο δεν ασκήσει veto, τότε και συνολικά δεν ασκείται veto, οπότε η τιμή του δείκτη συνολικής ασυμφωνίας είναι 0. Η άσκηση ή μη του veto, συνδέεται με την τιμή του κατωφλίου veto. Η μήτρα υπεροχών κατασκευάζεται με βάση τη μήτρα συμφωνιών και τη μήτρα α- συμφωνιών, καθώς και με βάση ένα καθορισμένο από τον αποφασίζοντα κατώφλι συμφωνίας. Με βάση όσα προηγήθηκαν, για κάθε διατεταγμένο ζεύγος εναλλακτικών, γίνεται α- ποδεκτός ο ισχυρισμός η εναλλακτική a υπερέχει της b, όταν πληρούνται δύο συνθήκες: 1 η Συνθήκη: Έλεγχος Συμφωνίας Ο δείκτης συνολικής συμφωνίας πρέπει να είναι μεγαλύτερος ή τουλάχιστον ίσος με το κατώφλι συμφωνίας λ. Ο πρώτος αυτός έλεγχος εξασφαλίζει ότι υπάρχει μια 3

4 ικανοποιητική πλειοψηφία κριτηρίων που συμφωνούν με τον ισχυρισμό η εναλλακτική a είναι τουλάχιστον το ίδιο καλή με την εναλλακτική b. 2 η Συνθήκη: Έλεγχος Μη-Διαφωνίας Για το θεωρούμενο διατεταγμένο ζεύγος εναλλακτικών, πρέπει να μην υπάρχει κανένα κριτήριο για το οποίο οι επιδόσεις της α και b να απαγορεύουν την υπεροχή της α έναντι της b. Ο δεύτερος αυτός έλεγχος εξασφαλίζει ότι στο επίπεδο της μειοψηφίας των κριτηρίων που διαφωνούν με τον ισχυρισμό η εναλλακτική a είναι τουλάχιστον το ίδιο καλή με την εναλλακτική b, δεν υπάρχει κανένα κριτήριο για το οποίο το εύρος της διαφωνίας θα δικαιολογούσε την άσκηση veto. 2.2 Αξιοποίηση των Σχέσεων Υπεροχής και Λήψη Αποτελεσμάτων Μετά την αποτύπωση των σχέσεων υπεροχής, ακολουθεί αξιοποίηση αυτών των σχέσεων για τη λήψη των αποτελεσμάτων που θα μας οδηγήσουν στη λήψη της απόφασης. Ονομάζουμε γράφημα υπεροχών ένα σύνολο προσανατολισμένων τόξων μεταξύ των εναλλακτικών του συνόλου Α. Ένα τόξο από την εναλλακτική α προς την εναλλακτική b, σημαίνει ότι η εναλλακτική α υπερέχει της εναλλακτικής b. Ο σκοπός της ELECTRE I είναι να καθορίσει ένα υποσύνολο Ν, τέτοιο ώστε, κάθε εναλλακτική που δεν ανήκει στο Ν, οφείλει να υπερέχεται από μία τουλάχιστον εναλλακτική που ανήκει στο υποσύνολο Ν. Επιπρόσθετα, καμία εναλλακτική του Ν δεν πρέπει να υπερέχεται αυστηρά από μια άλλη εναλλακτική του Ν. Δηλαδή, το υποσύνολο Ν περιλαμβάνει εναλλακτικές ανά δύο υποχρεωτικά μη συγκρίσιμες. Με μαθηματικούς όρους, το υποσύνολο Ν αντιστοιχεί στον πυρήνα του γραφήματος υπεροχών. Με βάση τον πυρήνα του γραφήματος, επιλέγεται η καλύτερη για τον αποφασίζοντα, εναλλακτική. 3. Πίνακας Πολυκριτήριων Εκτιμήσεων 3.1 Το Σύνολο των Εναλλακτικών Ενεργειών Κατ αρχήν, προσδιορίζεται το σύνολο των εναλλακτικών δράσεων Α, που θα αντιμετωπισθούν στο συγκεκριμένο πρόβλημα απόφασης. Εδώ πρέπει να τονισθεί ότι οι ε- ναλλακτικές του συνόλου Α πρέπει να είναι ομοειδείς μεταξύ τους. Σε καμιά περίπτωση δεν πρέπει να συγκρίνονται ανόμοια πράγματα. Συνήθως, από ένα μεγάλο αρχικό σύνολο εναλλακτικών, στο τελικό σύνολο εναλλακτικών περιλαμβάνονται μόνο εκείνες που έχουν, κατά κάποιο τρόπο κοινά χαρακτηριστικά και αντιστοιχούν στον προτιμησιακό στόχο του αποφασίζοντα. Από τις εναλλακτικές αυτές, η μέθοδος θα 4

5 επιλέξει την καλύτερη, την πλέον ικανοποιητική εναλλακτική για το συγκεκριμένο αποφασίζοντα. Στις ενότητες που ακολουθούν αναπτύσσεται πλήρως η διαδικασία υποστήριξης της απόφασης στο πρόβλημα αγοράς αυτοκινήτου. Η αγορά αυτοκινήτου είναι προσωπική υπόθεση και αφορά αποκλειστικά το συγκεκριμένο δυνητικό αγοραστή αποφασίζοντα, καθώς οι επιπτώσεις μιας τέτοιας απόφασης αφορούν μόνο τον ίδιο. Το σύνολο των εναλλακτικών περιλαμβάνει τα μοντέλα αυτοκινήτων στα οποία ο δυνητικός αγοραστής έχει καταλήξει, μετά από σχετική έρευνα αγοράς και μετά από κάποια προεπιλογή, ώστε το σύνολο εναλλακτικών να περιέχει μόνο τα αυτοκίνητα μιας καθορισμένης γκάμας, που ενδιαφέρουν τον συγκεκριμένο αγοραστή και όχι όλα τα μοντέλα της αγοράς αυτοκινήτου. Ο αριθμός των εναλλακτικών (αυτοκινήτων) του συνόλου Α, στην περίπτωση αυτή, δεν υπερβαίνει συνήθως τον αριθμό 10 ή Καθορισμός Συνεπούς Οικογένειας Κριτηρίων Το επόμενο βήμα, μετά τον ορισμό των εναλλακτικών, είναι να ορισθούν τα κριτήρια, με βάση τα οποία θα γίνει η επιλογή της καλύτερης εναλλακτικής. Προφανώς, ανάλογα με τα χαρακτηριστικά των εναλλακτικών κάθε συνόλου Α, προκύπτει και το α- ντίστοιχο σετ κριτηρίων. Τα κριτήρια αυτά, θα πρέπει να πληρούν τις τρεις συνθήκες: μονοτονία, επάρκεια και μη πλεονασμός, ώστε να συγκροτούν μια συνεπή οικογένεια κριτηρίων, που θα είναι κατάλληλη για την αξιολόγηση των εν λόγω εναλλακτικών. Εδώ θα πρέπει να σημειώσουμε ότι για τη μέθοδο ELECTRE I, τα κριτήρια αυτά είναι πραγματικά κριτήρια, ενώ στη μέθοδο ELECTRE IS, μπορεί να είναι ημικριτήρια ή ψευδοκριτήρια. Ο αριθμός των κριτηρίων σε ένα πολυκριτήριο πρόβλημα απόφασης είναι από 3 έως 7, με ανώτατο όριο το 10. Για κάθε κριτήριο, θα πρέπει να ορίζονται τα ακόλουθα: o Όνομα κριτηρίου o Μονάδα μέτρησης o Εύρος τιμών o Κλίμακα (αύξουσα ή φθίνουσα) o Τύπος κριτηρίου (ποσοτικό, ποιοτικό) Μερικά από τα πλέον σημαντικά χαρακτηριστικά, τα οποία θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν ως κριτήρια, για την αξιολόγηση των υποψήφιων προς αγορά αυτοκινήτων, είναι: 5

6 Κριτήρια Μονάδα μέτρησης Εύρος τιμών Κλίμακα - αύξουσα (+) - φθίνουσα (-) Ποσοτικό Ποιοτικό Τιμή αγοράς Ευρώ Ποσοτικό Αξιοπιστία Ποιοτικό Ιπποδύναμη PS Ποσοτικό Κατανάλωση lt/100km 8,9-10,7 - Ποσοτικό Άνεση Ποιοτικό Η επιλογή των κριτηρίων πρέπει να γίνει με τέτοιο τρόπο, ώστε η θεώρηση του προβλήματος απόφασης να είναι σφαιρική και πλήρης. Από την άλλη, όμως, τα κριτήρια που θα επιλεγούν πρέπει να είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και να μην ε- παναλαμβάνονται με τη μορφή παρόμοιων κριτηρίων. 3.3 Βάρος Κριτηρίων Το επόμενο βήμα είναι ο καθορισμός των βαρών των κριτηρίων. Το βάρος του κριτηρίου απεικονίζει το βαθμό σημαντικότητας που αποδίδει ο συγκεκριμένος αποφασίζων σε κάθε κριτήριο. Πρόκειται για θετικά βάρη των κριτηρίων, χωρίς συγκεκριμένη φυσική σημασία, που υπακούουν στη σχέση κανονικότητας : p 1 + p 2 + p p n = 1. Ένας αρκετά αξιόπιστος τρόπος για τη βαροδότηση των κριτηρίων είναι η μέθοδος ανταλλαγής βαρών. Παρακάτω, θα δώσουμε ένα παράδειγμα βαροδότησης με τη μέθοδο ανταλλαγής βαρών. Για την αγορά αυτοκινήτου: ο συγκεκριμένος αποφασίζων υποψήφιος αγοραστής επιλέγει το πλέον σημαντικό, γι αυτόν, κριτήριο που θα αποτελέσει το κριτήριο αναφοράς, με βάση το οποίο θα δοθούν βάρη στα υπόλοιπα κριτήρια. Έστω, ότι ο αποφασίζων επιλέγει, ως κριτήριο αναφοράς, το κριτήριο τιμή αγοράς, το οποίο εξ ορισμού έχει βάρος 100. Τα υπόλοιπα κριτήρια κατατάσσονται με σειρά σημαντικότητας και για το κάθε ένα υποβάλλεται στον αποφασίζοντα μια ερώτηση κι εκείνος αποκρίνεται με μια απάντηση. Ερώτηση 1: Σε τι τιμή αγοράς είσαι διατεθειμένος να αγοράσεις το αυτοκίνητο, προκειμένου να έχεις την πλέον επιθυμητή αξιοπιστία. Απάντηση 1: ευρώ. Η τιμή αυτή αντιστοιχεί σε μια θυσία = ευρώ. Ερώτηση 2: Σε τι τιμή αγοράς είσαι διατεθειμένος να αγοράσεις το αυτοκίνητο, προκειμένου να έχεις την πλέον επιθυμητή άνεση. Απάντηση 2: ευρώ. Η τιμή αυτή αντιστοιχεί σε μια θυσία = ευρώ. 6

7 Ερώτηση 3: Τι θυσία είσαι διατεθειμένος να κάνεις στην τιμή αγοράς, πέραν της ελάχιστης τιμής των ευρώ, προκειμένου το αυτοκίνητο να έχεις την πλέον επιθυμητή κατανάλωση. Απάντηση 3: Επιπλέον ευρώ. Αυτό αντιστοιχεί σε μια θυσία = ευρώ. Ερώτηση 4: Πόσα επιπλέον χρήματα είσαι διατεθειμένος να δώσεις, πέραν της ελάχιστης τιμής των ευρώ, προκειμένου να αγοράσεις αυτοκίνητο που να έχει την πλέον επιθυμητή ιπποδύμαμη. Απάντηση 4: Επιπλέον ευρώ. Αυτό αντιστοιχεί σε μια θυσία = ευρώ. Όπως, παρατηρούμε οι ερωτήσεις για τον προσδιορισμό του σχετικού βάρους του κάθε κριτηρίου, μπορούν να έχουν ελαφρώς διαφορετικές διατυπώσεις. Με βάση τις παραπάνω απαντήσεις του αποφασίζοντα, είναι δυνατόν να υπολογισθούν τα σχετικά βάρη των κριτηρίων (σε σχέση με το κριτήριο αναφοράς). Εύρος τιμής αγοράς = = ευρώ Στα θυσιάζουμε για αξιοπιστία για άνεση για κατ/ση για ιπποδ/μη Στα 100 Χ1; Χ2; Χ3; Χ4; Χ1 = 6.000*100/9.000 = 67% Χ2 = 4.500*100/9.000 = 50% Χ3 = 3.000*100/9.000 = 33% Χ4 = 2.000*100/9.000 = 22% Τα παραπάνω ποσοστά σημαίνουν ότι το κριτήριο αξιοπιστία (Κ2) έχει το 67% του βάρους της τιμής αγοράς, η άνεση (Κ3) το 50%, η κατανάλωση (Κ4) το 33% και η ιπποδύναμη (Κ5) το 22% του βάρους της τιμής αγοράς (κριτήριο αναφοράς: Κ1). Τα παραπάνω σχετικά βάρη πρέπει να κανονικοποιηθούν στο 1 ή στο 100%. Σύνολο βαρών = = 272 Στα 272 μ.β έχουμε 100 μ.β για Κ1 67 μ.β για Κ2 50 μ.β για Κ3 33 μ.β για Κ4 22 μ.β για Κ5 Στα 100 Χ1; Χ2; Χ3; Χ4; Χ5; όπου μ.β: μέρη βάρους Χ1 = 100*100/272 = 36,8%, για το κριτήριο Κ1: τιμή αγοράς Χ2 = 67*100/272 = 24,6%, για το κριτήριο Κ2: αξιοπιστία Χ3 = 50*100/272 = 18,4%, για το κριτήριο Κ3: άνεση Χ4 = 33*100/272 = 12,1%, για το κριτήριο Κ4: κατανάλωση 7

8 Χ2 = 22*100/272 = 8,1%, για το κριτήριο Κ5: ιπποδύναμη Τα παραπάνω βάρη κριτηρίων εμφανίζονται συνοπτικά στον ακόλουθο πίνακα. Κριτήρια Σχετικά Βάρη Κανονικοποιημένα Βάρη Κ1: Τιμή αγοράς ,8% Κ2: Αξιοπιστία 67 24,6% Κ3: Άνεση 50 18,4% Κ4: Κατανάλωση 33 12,1% Κ5: Ιπποδύναμη 22 8,1% ,0% 3.4 Πίνακας Πολυκριτήριων Εκτιμήσεων Για κάθε πρόβλημα απόφασης καταρτίζεται ο πίνακας πολυκριτήριων εκτιμήσεων. Ο πίνακας αυτός περιλαμβάνει τα ακόλουθα: Τις εναλλακτικές απόφασης Τα κριτήρια με τις μονάδες μέτρησης Τις επιδόσεις των εναλλακτικών στα κριτήρια Τις κλίμακες των κριτηρίων Τα βάρη των κριτηρίων Ο πίνακας πολυκριτήριων εκτιμήσεων, για το παραπάνω πρόβλημα απόφασης, θα μπορούσε να είναι ο ακόλουθος: Εναλλακτικές Ενέργειες Πίνακας Πολυκριτήριων Εκτιμήσεων Κριτήρια K1 K2 K3 K4 K5 Τιμή αγοράς (Ευρώ) Αξιοπιστία (1-10) Άνεση (1-5) Κατανάλωση (lt/100km) Ιπποδύναμη (PS) E1: Citroen C ,7 117 E2: Ford Focus ,9 102 E3: Renault Laguna ,2 110 E4: Skoda Octavia ,6 102 E5: Opel Signum ,4 122 E6: Peugeot ,4 116 E7: Opel Vectra ,2 122 Κλίμακα Σχετικά Βάρη Κανονικοποιημένα Βάρη 36,8% 24,6% 18,4% 12,1% 8,1% Κατώφλια Veto ,2 15 Κατώφλι Συμφωνίας (λ) 0,6 8

9 Στη βάση του παραπάνω πίνακα, υπάρχουν επιπλέον τα κατώφλια veto και το κατώφλι συμφωνίας, για τα οποία θα μιλήσουμε στις επόμενες ενότητες. 4. Πίνακας Συμφωνιών και Μήτρα Συμφωνιών Ο πίνακας συμφωνιών και η μήτρα συμφωνιών αποτυπώνουν το κατά πόσο υπάρχει συμφωνία για την υπεροχή asb κάθε διατεταγμένου ζεύγους εναλλακτικών (α,b). Προκειμένου να γίνει αποδεκτός ο ισχυρισμός asb, πρέπει να επαληθεύεται η συνθήκη της συμφωνίας, με βάση την αρχή της συμφωνίας: Μια πλειοψηφία κριτηρίων, λαμβανομένης υπόψη της σημαντικότητάς τους, οφείλει να υποστηρίξει τον ισχυρισμό asb (αρχή της πλειοψηφίας). Ο έλεγχος της συμφωνίας γίνεται στον πίνακα συμφωνιών και τη μήτρα συμφωνιών. 4.1 Έλεγχος Συμφωνίας Ο έλεγχος συμφωνίας γίνεται σε δύο φάσεις: 1 η φάση: Πίνακας Συμφωνιών 2 η φάση: Μήτρα Συμφωνιών Πίνακας Συμφωνιών Στον πίνακα συμφωνιών, ο έλεγχος συμφωνίας γίνεται σε δύο επίπεδα: σε επίπεδο κάθε κριτηρίου, ο έλεγχος γίνεται με το δείκτη μερικής συμφωνίας. Σε επίπεδο όλων των κριτηρίων, ο έλεγχος γίνεται με το δείκτη συνολικής συμφωνίας. Δείκτης Μερικής Συμφωνίας Η μέθοδος ELECTRE I υπολογίζει έναν δείκτη συμφωνίας για κάθε διατεταγμένο ζεύγος εναλλακτικών (a,b) πάνω σε κάθε κριτήριο g j. Αυτός ο δείκτης c j (a,b) παίρνει τιμές 1 ή 0 και επιτρέπει να αποφανθούμε εάν συμφωνούμε ή όχι με τη δήλωση η a είναι τουλάχιστον το ίδιο καλή, όσο και η b (asb). Η μέθοδος ELECTRE I βασίζεται σε πραγματικά κριτήρια, οπότε η συμφωνία υπεροχής για κάθε κριτήριο εκφράζεται με ρητό και ξεκάθαρο τρόπο: [συμφωνία 1, διαφωνία 0]. Δεν υπάρχουν περιπτώσεις ασάφειας, με ενδιάμεσες τιμές του δείκτη, όπως συμβαίνει στην περίπτωση του ψευδοκριτηρίου (ELECTRE TRI). 9

10 Πιο αναλυτικά, ο έλεγχος συμφωνίας, για την υπεροχή asb, ανάλογα με το είδος της κλίμακας του κριτηρίου, γίνεται ως εξής: Αύξουσα κλίμακα (+): Εάν g j (a) g j (b)}, τότε c j =1, αλλιώς c j =0. Φθίνουσα κλίμακα (-) : Εάν g j (a) g j (b)}, τότε c j =1, αλλιώς c j =0. Δείκτης Συνολικής Συμφωνίας Προκειμένου να εκτιμήσουμε τη συνολική συνεισφορά του συνόλου των κριτηρίων στον ισχυρισμό asb, υπολογίζουμε το δείκτη συνολικής συμφωνίας C(a,b) [0,1]. Ο δείκτης συνολικής συμφωνίας C(a,b) εκφράζει το κατά πόσο συμφωνούμε με την υ- περοχή της εναλλακτικής a έναντι της b, στο επίπεδο όλων των κριτηρίων μαζί. Με άλλα λόγια, ο δείκτης C(a,b) εκφράζει το κατά πόσο οι επιδόσεις των εναλλακτικών a και b, πάνω σε όλα τα κριτήρια είναι σε συμφωνία με τη δήλωση η a υπερέχει της b. Λαμβάνοντας υπόψη τη σχετική σημαντικότητα των κριτηρίων, ο δείκτης συνολικής συμφωνίας υπολογίζεται ως εξής: Μη κανονικοποιημένα βάρη C(a,b) = n j= 1 kj * cj( a, b) n j= 1 kj όπου k j : το σχετικό βάρος, μη κανονικοποιημένο, του κριτηρίου g j. Κανονικοποιημένα βάρη C(a,b) = n j= 1 pj * cj( a, b) όταν: p 1 +p 2 +p 3 + +p n =1 = p 1 *c 1 (a,b)+ p 2 *c 2 (a,b)+.+ p n *c n (a,b) Μια πιο απλοποιημένη μορφή του τύπου υπολογισμού του δείκτη συνολικής συμφωνίας, στην περίπτωση των κανονικοποιημένων βαρών, προκύπτει από την παρατήρηση, ότι o δείκτης μερικής συμφωνίας c j (a,b) παίρνει αποκλειστικά τιμές 1 ή 0: C(a, b) = j pj, όπου j ji / g j (a) g j (b)} Η ποσότητα C(a, b) είναι, δηλαδή, το άθροισμα των βαρών των κριτηρίων, για τα οποία η εναλλακτική a προτιμάται ή είναι ισοδύναμη της b. Επειδή όμως, ισχύει η σχέση κανονικότητας, η ποσότητα αυτή δεν είναι σε καμία περίπτωση μεγαλύτερη από τη μονάδα. 10

11 4.1.2 Μήτρα Συμφωνιών Με βάση τον παραπάνω πίνακα συμφωνιών, κατασκευάζεται η μήτρα συμφωνιών, η οποία παρέχει, για κάθε διατεταγμένο ζεύγος εναλλακτικών (a,b), το δείκτη συνολικής συμφωνίας C(a,b), ως εξής: κάθε γραμμή της μήτρας συμφωνιών είναι μια στήλη C j (α,b) του πίνακα συμφωνιών, όπου περιλαμβάνονται οι τιμές του αντίστοιχου δείκτη συνολικής συμφωνίας. Στην περίπτωση της ELECTRE I, o έλεγχος της συνθήκης συμφωνίας γίνεται μέσω του κατωφλίου συμφωνίας, στο επίπεδο της μήτρας υπεροχών. Κατώφλι Συμφωνίας Είναι μια παράμετρος (λ) που ορίζεται από τον αποφασίζοντα και παίρνει τιμές: 0,5 λ 1 - min( kj) n j= 1 kj, για την περίπτωση που k j αντιπροσωπεύει σχετικά βάρη, ή 0,5 λ 1 min (k j ), για την περίπτωση που k j αντιπροσωπεύει κανονικοποιημένα βάρη [Roy et Bouyssou (1993)]. Από τη στιγμή που έχει κατασκευασθεί η μήτρα συμφωνιών, είναι δυνατόν να επαληθεύσουμε τη συνθήκη συμφωνίας για κάθε διατεταγμένο ζεύγος εναλλακτικών (a,b). Έτσι, η συνθήκη συμφωνίας για τον ισχυρισμό asb ικανοποιείται εάν C(a,b) λ, όπου λ είναι το κατώφλι συμφωνίας. Σε επόμενη ενότητα, θα περιγραφεί η λειτουργία του κατωφλίου συμφωνίας, σε επίπεδο μήτρας υπεροχών. Σημειώνεται δε, ότι, στα παραδείγματα που παρατίθενται, ο έλεγχος συμφωνίας γίνεται σε επίπεδο μήτρας υπεροχών. 4.2 Πίνακας Συμφωνιών Ο πίνακας συμφωνιών περιλαμβάνει, για όλες τις εναλλακτικές, τους δείκτες μερικής συμφωνίας και τους δείκτες συνολικής συμφωνίας. Σημειώνεται ότι η φορά διάταξης του ζεύγους εναλλακτικών, για το οποίο κάθε φορά εξετάζεται η υπεροχή asb, είναι: Ε i (b) E j (a). Ο πίνακας συμφωνιών, για το παραπάνω πρόβλημα απόφασης, είναι η ακόλουθος: Πίνακας Συμφωνιών Εναλλακτικές Ε1 E2 E3 Ενέργειες Κ1 Κ2 Κ3 Κ4 Κ5 C1 Κ1 Κ2 Κ3 Κ4 Κ5 C2 Κ1 Κ2 Κ3 Κ4 Κ5 C3 E1: Citroen C , , ,74 E2: Ford Focus , , ,88 E3: Renault Laguna , , ,00 11

12 E4: Skoda Octavia , , ,63 E5: Opel Signum , , ,49 E6: Peugeot , , ,74 E7: Opel Vectra , , ,74 E4 E5 E6 E7 Κ1 Κ2 Κ3 Κ4 Κ5 C4 Κ1 Κ2 Κ3 Κ4 Κ5 C5 Κ1 Κ2 Κ3 Κ4 Κ5 C6 Κ1 Κ2 Κ3 Κ4 Κ5 C , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Για την υπεροχή: Ε1 Ε3, για παράδειγμα, οι τιμές των δεικτών μερικής συμφωνίας και του δείκτη συνολικής συμφωνίας, λαμβάνονται όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Εναλλακτικές Ενέργειες K1 K2 K3 K4 K5 Τιμή αγοράς (Ευρώ) Αξιοπιστία (1-10) Άνεση (1-5) Κατανάλωση (lt/100km) Ιπποδύναμη (PS) E1: Citroen C ,7 117 E3: Renault Laguna ,2 110 Κλίμακα Κανονικοποιημένα Βάρη 36,8% 24,6% 18,4% 12,1% 8,1% Σχέση τιμών Ε1 και Ε > > 7 5 > 3 10,7 > 9,2 117 > 110 Έλεγχος υπεροχής: Ε1S Ε3 Ε1$ Ε3 Δεν ισχύει Ε1S Ε3 Ισχύει Ε1S Ε3 Ισχύει Ε1$ Ε3 Δεν ισχύει Ε1S Ε3 Ισχύει Δείκτης Μερικής Συμφωνίας Δείκτης Συνολικής Συμφωνίας : 0, , , ,081 Με βάση τον το δείκτη συνολικής συμφωνίας του πίνακα συμφωνιών, λαμβάνεται η αντίστοιχη μήτρα συμφωνιών. Μήτρα Συμφωνιών Εναλλακτικές Ενέργειες E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 Ε1 1 0,51 0,51 0,51 0,55 0,88 0,43 Ε2 0,49 1 0,12 0,63 0,49 0,49 0,49 Ε3 0,74 0,88 1 0,63 0,49 0,74 0,74 Ε4 0,49 0,63 0,37 1 0,49 0,49 0,49 Ε5 0,63 0,51 0,51 0,51 1 0,63 0,51 Ε6 0,37 0,51 0,51 0,51 0,49 1 0,43 Ε7 0,82 0,51 0,51 0,51 0,57 1,

13 Η πρώτη γραμμή της μήτρας συμφωνιών είναι η πρώτη στήλη C 1 του πίνακα συμφωνιών, η δεύτερη γραμμή της μήτρας συμφωνιών είναι η δεύτερη στήλη C 2 του πίνακα συμφωνιών, κ.ο.κ.. Όπως παρατηρούμε, η κύρια διαγώνιος της μήτρας συμφωνιών έχει τιμές 1, καθώς υπάρχει πάντα συμφωνία για την υπεροχή μιας εναλλακτικής με τον εαυτό της σε όλα τα κριτήρια (αsα: ισχύει πάντα, σε όλα τα κριτήρια, άρα C j = 0). Σημειώνεται, ότι η διάταξη των σχέσεων υπεροχής, στη μήτρα συμφωνιών, είναι α- ντίστροφη από εκείνη στον πίνακα συμφωνιών: Ε i (α) E j (b) 5. Πίνακας Ασυμφωνιών και Μήτρα Ασυμφωνιών Ο πίνακας ασυμφωνιών αποτυπώνει το κατά πόσο υπάρχει ασυμφωνία για την υπεροχή κάθε διατεταγμένου ζεύγους εναλλακτικών (α, b). Προκειμένου να γίνει αποδεκτός ο ισχυρισμός asb, πρέπει να επαληθεύεται η συνθήκη της μη-διαφωνίας, με βάση την αρχή της μη-διαφωνίας: Μεταξύ των κριτηρίων που δεν υποστηρίζουν τον ισχυρισμό asb, κανένα από αυτά δεν πρέπει να εκφράσει μια διαφωνία τόσο μεγάλη, που θα το οδηγούσε να θέσει veto (αρχή σεβασμού της μειοψηφίας). Έτσι, ακόμη κι αν όλα τα κριτήρια, πλην ενός g j, συμφωνούν με τον ισχυρισμό a είναι τουλάχιστον το ίδιο καλή, όσο και η b, μπορεί η διαφορά g j (b)- g j (a) να είναι τόσο μεγάλη που είναι αδύνατο να μη ληφθεί υπόψη. Θα πρέπει λοιπόν, να επαληθεύεται η μηδιαφωνία, για κάθε κριτήριο g j για το οποίο δεν ισχύει asb. Με βάση τον πίνακα ασυμφωνιών, κατασκευάζεται τη μήτρα ασυμφωνιών, η οποία εκφράζει, με δυαδικές τιμές 0 ή 1, εάν η μη-διαφωνία επαληθεύεται ή όχι. 5.1 Έλεγχος Μη-διαφωνίας Ο έλεγχος της μη-διαφωνίας γίνεται σε δύο φάσεις, με τον υπολογισμό των αντίστοιχων δεικτών: 1 η φάση: Πίνακας Ασυμφωνιών 2 η φάση: Μήτρα Ασυμφωνιών Πριν όμως μιλήσουμε για τους παραπάνω δείκτες, θα πρέπει να αναφερθούμε σε μια έννοια, που είναι απαραίτητη για τον καθορισμό των δεικτών αυτών. Είναι η έννοια του veto (αρνησικυρίας) Veto Veto είναι το δικαίωμα του κάθε κριτηρίου να αρνείται την υπεροχή της εναλλακτικής a έναντι της εναλλακτικής b (asb), όταν στο κριτήριο αυτό η εναλλακτική b έχει καλύτερη επίδοση από την a. Με άλλα λόγια, το veto είναι ένας μηχανισμός ακύρωσης 13

14 της υπεροχής μιας εναλλακτικής a έναντι μιας άλλης b, έστω κι αν η a υπερέχει σε όλα τα κριτήρια της b, εκτός από το εν λόγω κριτήριο. Δεν είναι υποχρεωτικό να ασκούν veto όλα τα κριτήρια. Ο αποφασίζων, με βάση το προτιμησιακό του προφίλ, θα αποφασίσει ποια κριτήρια έχουν τη δυνατότητα να α- σκήσουν veto, ενώ, για τα υπόλοιπα κριτήρια, μπορεί να επιλέξει να μην γίνει χρήση του δικαιώματος άσκησης veto. Κατώφλι veto Έστω, για τις εναλλακτικές (α,b), η διαφορά επιδόσεών τους στο κριτήριο g j, είναι u = g j (b)-g j (a). Ας υποθέσουμε ότι η διαφορά αυτή είναι όχι μόνο αρκετά μεγάλη για να προτιμάται η b της a, στο κριτήριο g j, αλλά είναι τόσο μεγάλη, ώστε να μπορούμε να πούμε ότι: η b είναι τόσο καλύτερη της a, στο κριτήριο g j, που σε καμιά περίπτωση δεν θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι η a είναι σφαιρικά καλύτερη της b, οποιεσδήποτε κι αν είναι οι επιδόσεις των a και b στα άλλα κριτήρια. Ονομάζουμε, λοιπόν, κατώφλι veto του κριτηρίου g j,και σημειώνεται ως v j, τη διαφορά επιδόσεων u = g j (b)-g j (a), πάνω από την οποία(ή ίση με την οποία) είναι φρόνιμο να αρνηθούμε κάθε αξιοπιστία, όσον αφορά την υπεροχή της εναλλακτικής a έναντι της εναλλακτικής b (asb), ακόμη κι αν όλα τα υπόλοιπα κριτήρια είναι σε συμφωνία με αυτήν την υπεροχή. Στην περίπτωση αυτή, η διαφορά επιδόσεων u υπέρ της εναλλακτικής b υπερβαίνει (ή ισούται με) το κατώφλι βέτο v j του συγκεκριμένου κριτηρίου (u v j ), οπότε το κριτήριο αυτό θέτει βέτο στην υπεροχή της a έναντι της b. Το κατώφλι veto σημειώνει το όριο, πέραν του οποίου εκτιμάται ότι η αντίθεση του κριτηρίου g j στον ισχυρισμό της υπεροχής asb, κρίνεται αρκετά βίαιη, ώστε να προκαλεί την απόρριψη αυτού του ισχυρισμού (χωρίς αυτό να επιδρά στην αξιοπιστία του αντίστροφου ισχυρισμού). Το κατώφλι veto v j μπορεί να είναι είτε σταθερό, είτε αναλογικό (ανάλογο με τις επιδόσεις των εναλλακτικών). Επίσης, πρέπει να σημειώσουμε ότι μια πολύ μεγάλη τιμή του veto ισοδυναμεί με την απουσία veto. Καθορισμός του κατωφλίου veto Ένας απλός τρόπος που μπορεί να μας καθοδηγήσει στον ορισμό του κατωφλίου veto, είναι ο εξής: Υπολογίζουμε τη μεγαλύτερη διαφορά των επιδόσεων των εναλλακτικών για το συγκεκριμένο κριτήριο: Δ=Ε max -E min. Τριχοτομώντας το διάστημα [0,Δ], λαμβάνουμε τρεις (3) περιοχές κατωφλίου veto, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 14

15 Ορισμός Κατωφλίου Veto Αυστηρό Ουδέτερο veto Χαλαρό 1/3*Δ 2/3*Δ 0 Δ Διάστημα [0,1/3*Δ) 0 V<1/3*Δ Αυστηρό Κατώφλι Veto. Στο διάστημα αυτό οι τιμές του κατωφλίου είναι χαμηλές. Αυτό σημαίνει ότι όλο και περισσότερα ζεύγη εναλλακτικών θα έχουν διαφορά επιδόσεων u η οποία θα υπερβαίνει την τιμή του κατωφλίου veto. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα το veto να α- σκείται όλο και πιο συχνά, άρα μιλάμε για αυστηρό κατώφλι veto. Διάστημα [1/3*Δ,2/3*Δ] 1/3*Δ V 1/3*Δ Ουδέτερο Κατώφλι Veto. Το διάστημα αυτό περιλαμβάνει τιμές που βρίσκονται εκατέρωθεν του μέσου του διαστήματος [0,Δ]. Είναι τιμές που δεν είναι ούτε πολύ υψηλές, ούτε πολύ χαμηλές. Έτσι, το κατώφλι veto που αντιστοιχεί σε αυτήν την περιοχή, μπορεί χαρακτηρισθεί ως ουδέτερο. Με ένα ουδέτερο κατώφλι veto οι περιπτώσεις ά- σκησης veto δεν είναι ούτε πολλές, ούτε λίγες, εξού και ο χαρακτηρισμός ουδέτερο κατώφλι veto. Διάστημα (2/3*Δ,Δ] 2/3*Δ<V Δ Χαλαρό Κατώφλι Veto. Στο διάστημα αυτό οι τιμές του κατωφλίου είναι υψηλές, πράγμα που σημαίνει ότι όλο και λιγότερα ζεύγη εναλλακτικών θα έχουν διαφορά επιδόσεων u η οποία θα υπερβαίνει την τιμή του κατωφλίου veto. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα το veto να α- σκείται όλο και πιο σπάνια, άρα μιλάμε για χαλαρό κατώφλι veto. Σύμφωνα, λοιπόν, με τα παραπάνω, ο αποφασίζων θα πρέπει να έχει υπόψη ότι: Όσο κινείται από το μέσο του διαστήματος [0,Δ], προς τα αριστερά, τόσο το κατώφλι veto θα μεταβάλλεται από ουδέτερο σε αυστηρό. Αντίθετα, όσο κινείται από το μέσο του διαστήματος [0,Δ], προς τα δεξιά, τόσο το κατώφλι veto θα μεταβάλλεται από ουδέτερο σε χαλαρό. Πάντως, είναι καθαρά θέμα δικής του επιλογής, σε ποιο σημείο του διαστήματος [0,Δ] θα επιλέξει το κατώφλι veto για το συγκεκριμένο κριτήριο. Η υπόθεση που γίνεται, για την εκτίμηση του κατωφλίου veto, είναι ότι στο διάστημα [0,Δ] η κατανομή των επιδόσεων των εναλλακτικών είναι ομοιόμορφη. Στην αντίθετη περίπτωση, τα αποτελέσματα της διαδικασίας καθορισμού του κατωφλίου veto θα είναι υπερεκτιμημένα προς την κατεύθυνση του χαλαρού κατωφλίου veto. 15

16 Εδώ, πρέπει να τονίσουμε, ότι η παραπάνω διαδικασία ορισμού του κατωφλίου veto είναι καθαρά ενδεικτική και προτείνεται μόνο ως ένας μπούσουλας, κυρίως για α- ποφασίζοντες που δεν είναι πολύ εξοικειωμένοι με τις έννοιες αυτές. Αυτό που πρέπει να επαναλάβουμε είναι, ότι το κατώφλι βέτο είναι καθαρά θέμα επιλογής και ο καθορισμός του εξαρτάται από το προτιμησιακό προφίλ του συγκεκριμένου αποφασίζοντα. Εξάλλου, σύμφωνα με τη φιλοσοφία της των συστημάτων υποστήριξης αποφάσεων και της προσέγγισης της πολυκριτήριας ανάλυσης, ο στόχος είναι να λαμβάνονται εξατομικευμένες αποφάσεις που θα ικανοποιούν τον συγκεκριμένο αποφασίζοντα, οπότε μια ομογενοποίηση των προτιμήσεων, μέσω μεθόδων γενικής χρήσης, πρέπει να αποφεύγεται αυστηρά Πίνακας Ασυμφωνιών Στον πίνακα ασυμφωνιών, ο έλεγχος της μη-διαφωνίας γίνεται σε δύο επίπεδα: σε επίπεδο κάθε κριτηρίου, ο έλεγχος γίνεται με το δείκτη μερικής ασυμφωνίας. Σε επίπεδο όλων των κριτηρίων, ο έλεγχος γίνεται με το δείκτη συνολικής α- συμφωνίας. Δείκτης Μερικής Ασυμφωνίας Η μέθοδος ELECTRE I υπολογίζει έναν δείκτη ασυμφωνίας για κάθε διατεταγμένο ζεύγος εναλλακτικών (a,b) πάνω σε κάθε κριτήριο g j. Αυτός ο δείκτης d j (a,b) παίρνει τιμές 1 ή 0 και επιτρέπει, σε κάθε κριτήριο, να εκδηλώσει ή όχι τη διαφωνία του στη δήλωση η a είναι τουλάχιστον το ίδιο καλή, όσο και η b (asb). Η μέθοδος ELECTRE I βασίζεται σε πραγματικά κριτήρια, οπότε η ασυμφωνία υπεροχής για κάθε κριτήριο εκφράζεται με ρητό και ξεκάθαρο τρόπο: [μη-διαφωνία 0, διαφωνία 1]. Δεν υπάρχουν περιπτώσεις ασάφειας, με ενδιάμεσες τιμές του δείκτη, όπως συμβαίνει στην περίπτωση του ψευδοκριτηρίου (ELECTRE TRI). Έλεγχος ασυμφωνίας Ο έλεγχος ασυμφωνίας γίνεται για να διαπιστωθεί αν για την υπεροχή asb του διατεταγμένου ζεύγους εναλλακτικών (a, b) ικανοποιείται τη συνθήκη της μη-διαφωνίας. Έτσι, η συνθήκη της μη-διαφωνίας ισχύει, όταν: g j (b) g j (a) < u j, όπου j {j / g i (a)< g i (b)}. O δείκτης j ανήκει στο σύνολο των κριτηρίων για τα οποία η εναλλακτική b προτιμάται της a, ενώ u j είναι το κατώφλι βέτο του κριτηρίου j. Σε περίπτωση που μια διαφορά εκτιμήσεων υπέρ της δραστηριότητας b υπερβαίνει το κατώφλι βέτο ενός κριτηρίου, το κριτήριο αυτό θέτει βέτο στην υπεροχή της a έναντι της b. 16

17 Διαδικασία άσκησης veto Για να διαπιστώσουμε αν ασκείται veto, στην υπεροχή asb, ακολουθούμε μια διαδικασία δύο βημάτων: βήμα 1 ο : Εξετάζεται εάν τίθεται θέμα άσκησης Veto; - Αύξουσα κλίμακα (+): Εάν g j (a) g j (b), τότε δεν τίθεται θέμα άσκησης veto και d j =0. - Φθίνουσα κλίμακα (-): Εάν g j (a) g j (b), τότε δεν τίθεται θέμα άσκησης veto και d j =0. Εάν δεν ισχύει η παραπάνω (κατά περίπτωση) σχέση, τότε τίθεται θέμα ά- σκησης veto και προχωρούμε στο 2 ο βήμα. βήμα 2 ο : Εξετάζεται εάν τελικά ασκείται το Veto; Για να διαπιστώσουμε αν τελικά ασκείται veto, υπολογίζουμε τη διαφορά: δ = b a - Εάν δ<v j, τότε δεν ασκείται τελικά veto και d j =0. - Εάν δ v j, τότε ασκείται veto d j =1. Άρα, στο θέμα άσκησης veto, έχουμε 3 περιπτώσεις: 1 η Περίπτωση: Δεν τίθεται θέμα άσκησης veto 2 η Περίπτωση: Τίθεται θέμα άσκησης veto, αλλά τελικά δεν ασκείται 3 η Περίπτωση: Τίθεται θέμα άσκησης veto, και ασκείται. Δείκτης Συνολικής Ασυμφωνίας Εκφράζει το αν διαφωνούμε ή όχι με την υπεροχή asb, στο επίπεδο όλων των κριτηρίων μαζί. Για την άσκηση συνολικού veto ισχύουν τα εξής: Εάν ένα τουλάχιστο κριτήριο, οποιοδήποτε και να είναι το βάρος του, θέτει veto στην υπεροχή της εναλλακτικής a έναντι της εναλλακτικής b, τότε ασκείται συνολικά veto, οπότε ο δείκτης συνολικής ασυμφωνίας D(a,b) = 1. Αντίθετα, εάν κανένα κριτήριο δεν θέτει veto στην υπεροχή της εναλλακτικής a έναντι της εναλλακτικής b, τότε δεν ασκείται συνολικά veto, οπότε ο δείκτης συνολικής ασυμφωνίας D(a,b) = 0. Πρέπει να σημειώσουμε, ότι ο D(a,b) παίρνει τιμές είτε 0, είτε 1 και όχι τιμές μέσα στο διάστημα [0,1] Μήτρα Ασυμφωνιών 17

18 Με βάση τον παραπάνω πίνακα ασυμφωνιών, κατασκευάζεται η μήτρα ασυμφωνιών, η οποία, για κάθε διατεταγμένο ζεύγος εναλλακτικών (a,b), παρέχει το δείκτη συνολικής ασυμφωνίας D(a,b), ως εξής: κάθε γραμμή της μήτρας ασυμφωνιών, είναι μια στήλη D j (α,b) του πίνακα ασυμφωνιών, όπου περιλαμβάνονται οι τιμές του αντίστοιχου δείκτη συνολικής ασυμφωνίας. 5.2 Πίνακας Ασυμφωνιών Ο πίνακας ασυμφωνιών περιλαμβάνει, για όλες τις εναλλακτικές, τους δείκτες μερικής ασυμφωνίας και τους δείκτες συνολικής ασυμφωνίας. Σημειώνεται ότι η φορά διάταξης του ζεύγους εναλλακτικών, για το οποίο κάθε φορά εξετάζεται η υπεροχή asb, είναι: Ε i (b) E j (a). Ο πίνακας ασυμφωνιών, για το παραπάνω πρόβλημα απόφασης, είναι η ακόλουθος: Εναλλακτικές Πίνακας Ασυμφωνιών E1 E2 Ε3 Ενέργειες Κ1 Κ2 K4 K5 D1 Κ1 Κ2 K4 K5 D2 Κ1 Κ2 K4 K5 D3 E1: Citroen C E2: Ford Focus E3: Renault Laguna E4: Skoda Octavia E5: Opel Signum E6: Peugeot E7: Opel Vectra Ε4 Ε5 Ε6 Ε7 Κ1 Κ2 K4 K5 D4 Κ1 Κ2 K4 K5 D5 Κ1 Κ2 K4 K5 D6 Κ1 Κ2 K4 K5 D Για την υπεροχή: Ε1 Ε3, για παράδειγμα, οι τιμές των δεικτών μερικής ασυμφωνίας και του δείκτη συνολικής ασυμφωνίας, λαμβάνονται όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: 18

19 Εναλλακτικές Ενέργειες K1 K2 K4 K5 Τιμή αγοράς (Ευρώ) Αξιοπιστία (1-10) Κατανάλωση (lt/100km) Ιπποδύναμη (PS) E1: Citroen C ,7 117 E3: Renault Laguna ,2 110 Κλίμακα Έλεγχος υπεροχής: Ε1S Ε3 Ε1$ Ε3 Δεν ισχύει Ε1S Ε3 Ισχύει Ε1$ Ε3 Δεν ισχύει Ε1S Ε3 Ισχύει Τίθεται θέμα άσκησης veto; Ναι Όχι Ναι Όχι Κατώφλια Veto (v) ,2 15 Διαφορά Ε3 - Ε1 δ = δ = 1, > ,5 > 1,2 Ασκείται τελικά veto (δ>=v); Δεν ασκείται Δεν ασκείται Ασκείται Ασκείται Δείκτης Μερικής Ασυμφωνίας Δείκτης Συνολικής Ασυμφωνίας 1 Με βάση τον το δείκτη συνολικής ασυμφωνίας του πίνακα ασυμφωνιών, λαμβάνεται η αντίστοιχη μήτρα ασυμφωνιών. Εναλλακτικές Ενέργειες Μήτρα Ασυμφωνιών E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Η πρώτη γραμμή της μήτρας ασυμφωνιών είναι η πρώτη στήλη D 1 του πίνακα συμφωνιών, η δεύτερη γραμμή της μήτρας ασυμφωνιών είναι η δεύτερη στήλη D 2 του πίνακα ασυμφωνιών, κ.ο.κ. Όπως παρατηρούμε, η κύρια διαγώνιος της μήτρας ασυμφωνιών έχει τιμές 0, καθώς υπάρχει πάντα συμφωνία για την υπεροχή μιας εναλλακτικής με τον εαυτό της σε όλα τα κριτήρια, οπότε κανένα κριτήριο δεν ασκεί veto και άρα D j = 0. Σημειώνεται, ότι η διάταξη των σχέσεων υπεροχής, στη μήτρα ασυμφωνιών, είναι αντίστροφη από εκείνη στον πίνακα ασυμφωνιών: Ε i (α) E j (b) 19

20 6. Μήτρα Υπεροχών Η σχέση υπεροχής για κάθε ζεύγος εναλλακτικών (a, b), ορίζεται ως εξής : asb το ζεύγος εναλλακτικών (a, b) ικανοποιεί τις συνθήκες συμφωνίας και μη-διαφωνίας. Με άλλα λόγια, προκειμένου να αποδειχθεί η αλήθεια του ισχυρισμού asb (η a υπερέχει της b), η ELECTRE I στηρίζεται στις ακόλουθες δύο βασικές αρχές: Αρχή της Συμφωνίας: Μια πλειοψηφία κριτηρίων, λαμβανομένης υπόψη της σημαντικότητάς τους, οφείλει να υποστηρίξει τον ισχυρισμό asb (αρχή της πλειοψηφίας). Αρχή της μη-διαφωνίας: Μεταξύ των κριτηρίων που δεν υποστηρίζουν τον ισχυρισμό asb, κανένα από αυτά δεν πρέπει να εκφράσει μια διαφωνία τόσο μεγάλη, που θα το οδηγούσε να θέσει veto (αρχή σεβασμού της μειοψηφίας). Όπως έχουμε δει παραπάνω, ο έλεγχος της συμφωνίας πραγματοποιείται στο επίπεδο του πίνακα συμφωνιών και της αντίστοιχης μήτρας συμφωνιών, ενώ ο έλεγχος της μηδιαφωνίας πραγματοποιείται στο επίπεδο του πίνακα ασυμφωνιών και της μήτρας α- συμφωνιών. Στην ELECTRE I, για την κατασκευή της μήτρας υπεροχών, πραγματοποιείται πρώτα ο έλεγχος μη-διαφωνίας, μέσω της μήτρας ασυμφωνιών, και κατόπιν, σε δεύτερο βήμα, επαληθεύεται η συνθήκη συμφωνίας C(a,b) λ, μέσω της μήτρας συμφωνιών. Έτσι, η μήτρα υπεροχών προκύπτει από το συγκερασμό των αντίστοιχων συνολικών δεικτών της μήτρας ασυμφωνιών και της μήτρας συμφωνιών και αποτυπώνει την τελική υπεροχή κάθε εναλλακτικής έναντι όλων των υπολοίπων εναλλακτικών, στο επίπεδο όλων των κριτηρίων. Η διαδικασία, για την κατασκευή της Mήτρας Yπεροχών (Μ.Υ), περιγράφεται με μια διαδικασία δύο βημάτων, ελέγχοντας το αντίστοιχο κελί της μήτρας συμφωνιών (Μ.Σ) και μήτρας ασυμφωνιών (Μ.Α), ως εξής: βήμα 1 ο : Μήτρα Ασυμφωνιών (Μ.Α) : - εάν τ.κ-μ.α = 1, τότε τ.κ-μ.υ 0 - αλλιώς, βήμα 2 ο. βήμα 2 ο : Μήτρα Συμφωνιών (Μ.Σ) : - εάν τ.κ-μ.σ λ, τότε τ.κ-μ.υ 1 - αλλιώς, τ.κ-μ.υ 0. (όπου τ.κ = τιμή κελιού της αντίστοιχης μήτρας) Κατώφλι λ και αξιοπιστία της απόφασης Από την παραπάνω διαδικασία, βλέπουμε ότι ο έλεγχος συμφωνίας γίνεται στο επίπεδο της μήτρας υπεροχών. Στην περίπτωση αυτή, το κατώφλι συμφωνίας λ λειτουργεί 20

21 ως φίλτρο το οποίο αφήνει να περνούν μόνο οι ισχυρές σχέσεις υπεροχής, ενώ αποκόβει τις ασθενείς σχέσεις υπεροχής. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του λ, τόσο πιο στενό είναι το φίλτρο, αφήνοντας να περάσουν μόνο οι πιο ισχυρές σχέσεις υπεροχής. Έτσι, όσο το λ πλησιάζει στο 1, τόσο αυξάνεται η αξιοπιστία της απόφασης, καθώς βασίζεται σε ισχυρές σχέσεις υπεροχής, ενώ αντίθετα, όσο το λ πλησιάζει στο 0,5, τόσο η αξιοπιστία της απόφασης αποδυναμώνεται. Από την άλλη, όσο μεγαλύτερο είναι το λ, τόσο λιγότερες θα είναι οι σχέσεις υπεροχής μεταξύ των εναλλακτικών, πράγμα που σημαίνει ότι θα αυξηθούν ίσως και οι α- συγκρισιμότητες μεταξύ των εναλλακτικών. Αυτό θα έχει, ως αποτέλεσμα, τη μη πλήρη αποτύπωση των σχέσεων υπεροχής μεταξύ των εναλλακτικών. Θα πρέπει λοιπόν να βρεθεί μια κατάλληλη τιμή του λ, που να εξασφαλίζει, αφενός ένα ικανοποιητικό δίκτυο σχέσεων υπεροχής, αφετέρου δε, μια αρκετά υψηλή αξιοπιστία της απόφασης. Για το πρόβλημα απόφασης επιλογής αυτοκινήτου, και προκειμένου να γίνει κατανοητή η κατασκευή της μήτρας υπεροχών, σύμφωνα με τα παραπάνω, παραθέτουμε και τις αντίστοιχες μήτρες συμφωνιών και ασυμφωνιών. Μήτρα Συμφωνιών Εναλλακτικές Ενέργειες E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 Ε1 1 0,51 0,51 0,51 0,55 0,88 0,43 Ε2 0,49 1 0,12 0,63 0,49 0,49 0,49 Ε3 0,74 0,88 1 0,63 0,49 0,74 0,74 Ε4 0,49 0,63 0,37 1 0,49 0,49 0,49 Ε5 0,63 0,51 0,51 0,51 1 0,63 0,51 Ε6 0,37 0,51 0,51 0,51 0,49 1 0,43 Ε7 0,82 0,51 0,51 0,51 0,57 1,00 1 Μήτρα Ασυμφωνιών Εναλλακτικές Ενέργειες E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε

22 Εναλλακτικές Ενέργειες Μήτρα Υπεροχών E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε Όπως παρατηρούμε, η κύρια διαγώνιος της μήτρας υπεροχών έχει τιμές 1, καθώς υ- πάρχει πάντα συμφωνία για την υπεροχή μιας εναλλακτικής με τον εαυτό της σε όλα τα κριτήρια (αsα: ισχύει πάντα). Σημειώνεται δε, ότι η διάταξη των σχέσεων υπεροχής, στη μήτρα υπεροχών, είναι της ίδιας φοράς με εκείνη στη μήτρα συμφωνιών και μήτρα ασυμφωνιών. Οι τιμές της γραμμής Ε5, που αντιστοιχούν στην υπεροχή της εναλλακτικής Ε3 έναντι όλων των άλλων, Ε5 Ε i, λαμβάνονται, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: λ=0,6 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 Τιμές της Ε5 στη Μήτρα Συμφωνιών 0,63 0,51 0,51 0,51 1,00 0,63 0,51 Τιμές της Ε5 στη Μήτρα Ασυμφωνιών Ασκείται Veto στην υπεροχή Ε5S Εi; Όχι Ναι Ναι Ναι Όχι Όχι Ναι Δείκτης Συμφωνίας >= λ; 0,63 > 0,6 1 > 0,6 0,63 > 0,6 Δείκτης υπεροχής Ανάλυση Αποτελεσμάτων Γράφημα Υπεροχών Με βάση την παραπάνω μήτρα υπεροχών, κατασκευάζεται το γράφημα υπεροχών, ως εξής: κάθε υπεροχή αναπαρίσταται με ένα βέλος. Η φορά του βέλους είναι από την εναλλακτική που υπερέχει προς την εναλλακτική που υπερέχεται. 22

23 E5 E4 E6 E3 E7 E2 E1 Υπενθυμίζεται η αντιστοίχιση των εναλλακτικών: E1: Citroen C5 1.8 E2: Ford Focus 1.6 E3: Renault Laguna 1.6 E4: Skoda Octavia 1.6 E5: Opel Signum 1.8 E6: Peugeot E7: Opel Vectra 1.8 Εμφάνιση Κυκλωμάτων Όταν μεταξύ δύο εναλλακτικών Ei και Ej, υπάρχει αμφίδρομη σχέση υπεροχής, τότε λέμε ότι οι εναλλακτικές αυτές σχηματίζουν κύκλωμα (C i,j ). Στο γράφημα υπεροχών, το κύκλωμα C i,j αντικαθιστά τις δύο ισοδύναμες εναλλακτικές Ei και Ej. Στο παραπάνω γράφημα υπεροχών, οι εναλλακτικές E 2 και E 4 υπερέχουν και υπερέχονται η μια της άλλης, οπότε σχηματίζουν το κύκλωμα C 2,4 το οποίο αντικαθιστά τις δύο ισοδύναμες εναλλακτικές. Έτσι, το γράφημα υπεροχών παίρνει τη μορφή: 23

24 E5 C2,4 E6 E3 E7 E1 Κατασκευή Πυρήνα Ορίζουμε ως πυρήνα του γραφήματος υπεροχής, ένα υποσύνολο Π του συνόλου Α των εναλλακτικών, για το οποίο ισχύουν οι δύο παραπάνω ιδιότητες : (1) b A Π, a Π για το οποίο a S b (2) α Π και α Π a $ a και a $ a a x x b1 Π a' x x b2 Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, ο πυρήνας θα περιέχει τις εναλλακτικές οι οποίες δεν υπερέχονται από καμία άλλη εναλλακτική, ενώ εκτός πυρήνα θα βρίσκονται εκείνες που υπερέχονται, από μία τουλάχιστον εναλλακτική. Επομένως, μέσα στον πυρή- 24

25 να, ο αποφασίζων θα βρεί εκείνες τις εναλλακτικές οι οποίες διαθέτουν όλες τις προϋποθέσεις, ώστε μία από αυτές να αποτελέσει την καλύτερη εναλλακτική. Ένα γράφημα υπεροχών, που έχει κυκλώματα, μπορεί να μην περιέχει πυρήνα ή αντίθετα, να περιέχει περισσότερους από έναν πυρήνες. Απεναντίας, γράφημα χωρίς κανένα κύκλωμα περιέχει πάντα έναν και μοναδικό πυρήνα. Για το εν λόγω γράφημα υπεροχών, ο πυρήνας φαίνεται στο παρακάτω γράφημα: C2,4 E3 E6 Πυρήνας E7 E5 E1 Η Απόφαση : Επιλογή της Καλύτερης Εναλλακτικής Η καλύτερη εναλλακτική επιλέγεται από τις εναλλακτικές που περιλαμβάνονται στον πυρήνα. Στην προκειμένη περίπτωση, οι εναλλακτικές του πυρήνα είναι οι: Ε 3 και Ε 5. Ο αποφασίζων επιλέγει ως καλύτερη την Ε 3 γιατί η εναλλακτική αυτή έχει πολύ περισσότερες υπεροχές, σε σχέση με την Ε 5. Έτσι, για το συγκεκριμένο αποφασίζοντα, η πλέον ικανοποιητική εναλλακτική είναι η Ε 3 : Renault Laguna