J. Dravieks Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē Mācību grāmata LSPA studetiem, maģistratiem, doktoratiem RĪGA - 004
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē SATURS IEVADS... 3 1. PAMATJĒDZIENI... 3 1.1. Matemātiskā statistika... 3 1.. Varbūtību teorija... 5 1.3. Kad izmato matemātiskās statistikas metodes?... 8. DATU ANALĪZE... 9.1. Novērojumu rezultātu pirmapstrāde... 9.. Aprakstošā statistika... 14..1. Vidējie rādītāji... 15... Variēšaas rādītāji... 17..3. Reprezetācijas kļūdas... 19 3. NORMĀLAIS SADALĪJUMS... 0 3.1. Teorētiskie sadalījumi... 0 3.. Ticamības itervâls... 4. PARAUGKOPAS STATISTISKĀ ANALĪZE... 3 4.1. Kvatitatîvas paraugkopas aalîze... 3 4.. Kvalitatīvas paraugkopas aalīze... 5 5. ATŠĶIRĪBU NOVĒRTĒŠANA... 6 5.1. Nulles hipotēze u tās pārbaude... 6 5.1.1. Ekstremālo rezultātu pārbaude... 7 5.1.. Empīriskā u teoretiskā sadaīîjuma atbilsīîbas pārbaude... 9 5.1.3. Saistītu paraugkopu atšķirību ovērtēšaa ar Stjūdeta t-kritēriju... 3 5.1.4. Saistītu paraugkopu atšķirību ovērtēšaa ar Vilkoksoa kritēriju... 34 5.1.5. Neatkarīgu paraugkopu saīdziāšaa ar Stjūdeta kritēriju... 36 5.1.6. Neatkarīgu paraugkopu saīdziāšaa ar Va der Vardea kritēriju... 38 5.1.7. Paraugkopu dispersiju saīîdziāšaa ar Fišera kritēriju... 39 5.1.8. Kvalitatīvu paraugkopu salīdziāšaa... 40 5.. Dispersijas aalīze... 40 5..1. Viea faktora dispersijas aaīîze... 40 5... Divu faktoru dispersijas aalīze... 47 6. KORELĀCIJAS UN REGRESIJAS ANALĪZE... 53 6.1. Fukcioālā atkarība u korelācija... 53 6.. Korelâcijas veidi... 54 6.3. Lieārā korelācija... 54 6.4. Lieārās pāru korelācijas koeficiets... 56 6.5. Lieārās regresijas aalīze... 59 6.5.1. Grafiskā metode... 60 6.5.. Vismazāko kvadrātu metode... 61 6.5.3. Progozēšaa... 6 6.6. Spīrmea ragu korelācijas koeficiets... 65 PIELIKUMI... 68
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē IEVADS Vārds "statistika" cēlies o latīņu "status" - stāvoklis. Tam ir vairākas ozīmes. Būtībā statistika ir ļoti sea ziāte, kurai daudz laika ir ziedojuši e tikai ziātieki, bet arī politiķi. Tādēļ saprotama statistikas defiīciju daudzveidība. Lūk, oficiāli visizplatītākās: ziātes ozare, kas pētī cilvēku sabiedrības, tautas saimiecības attīstības kvatitatīvās pārmaiņas u apstrādā šos datus ziātiskos u praktiskos olūkos; kvatitatīva masu parādību uzskaite; matemātiskā statistika - matemātikas ozare, kas aplūko matemātikas metodes, kuras lieto statistikas datu sistematizēšaā, apstrādāšaā u izmatošaā ziātiskiem u praktiskiem seciājumiem. Ar statistiku sastopamies arī sportā u fiziskajā audziāšaā. Visplašāk pazīstamā sporta statistika ir sacesību protokoli, dažādu rekordu saraksti, gada labāko sportistu saraksti u.c. Sporta mērījumu rezultātu apkopošaai u aalīzei izmato matemātiskās statistikas metodes. Pētot kādu sportista īpašību, uzkrājas liels skaitliskās iformācijas daudzums. Cilvēks spēj vielaicīgi orietēties e vairāk kā 7 skaitļos. Tāpēc iformācija jāapstrādā, padarot to kocetrētu u līdz ar to vieglāk uztveramu. Šo procedūru sauc par statistisko aalīzi. Tās rezultāts ir daži skaitļi - statistiskie rādītāji, kuri raksturo vispārējas tedeces. 1. PAMATJĒDZIENI 1.1. Matemātiskā statistika Šai odaļā aplūkosim galveos jēdzieus u termius, ar kuriem bieži sastapsimies u kurus turpmāk izmatosim. Statistika pēta masveida objektus u parādības. Mūsu gadījumā tie var būt sportisti, kas specializējas oteiktā veidā, kādas klases skolieki, kas piedalās fiziskās audziāšaas studā, cilvēki, kuri odarbojas veselības grupā u.c. Tādējādi statistikas pētījuma objekts ir kopa, ko veido tās elemeti (cilvēki). Lai iegūtu ziņas par kopu, kura mūs iteresē, jāovēro tās elemeti u jāreģistrē dati par svarīgākajām īpašībām, kas raksturo katru atsevišķu kopas elemetu u līdz ar to visu kopu. Datu savākšaas procedūru sauc par statistisko ovērošau. Pētīšaai izraudzītās īpašības statistikas valodā sauc par pazīmēm. Pazīmju apzīmēšaai izmato latīņu alfabēta lielos burtus X, Y, Z. No iepriekšējā materiāla mums jau ziāms, ka pazīmes, kuras var mērīt tieši vai etieši, sauc par kvatitatīvām, bet pazīmes, kuras mērīšaai epakļaujas - par kvalitatīvām pazīmēm. Pētāmo pazīmi mērot vai vērtējot (ekspertīzes ceļā) iegūtos - skaitļus sauc par variatēm. Variate ir atsevišķa mērījuma vai ovērojuma rezultāts, kura vispārīgai apzīmēšaai formulās lieto pazīmes apzīmējumam (alfabēta lielajam burtam) atbilstošo mazo latīņu burtu pievieojot ideksu, kas apzīmē variates umuru: x, y, z. Apsekojot vairākus objektus vai vairākkārt vieu u to pašu objektu, iegūto skaitļu - ovērojumu rezultātu ridu sauc par esakārtotu empīrisko ridu, bet šo skaitļu kopu - par paraugkopu. Novērojumos iegūto skaitļu ridu sakārto iegūstot variācijas 3
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē ridu jeb empīrisko sadalījumu. Šo procedūru sauc par datu pirmapstrādi. Paraugkopas variates pakļauj statistiskai aalīzei, aprēķiot empīriskā sadalījuma parametrus - statistiskos rādītājus. Tagad paaalizēsim situāciju. Paraugkopa ir iegūta apsekojot kādu daļu o visiem iespējamiem vieveidīgiem pētījuma objektiem. Lai formulētu pilīgi precīzus vispāriošus seciājumus par šo grupu, acīmredzot, būtu jāapseko visi iespējamie šāda tipa objekti. Tādā gadījumā iegūtās variates veidotu ģeerālkopu. Sarežģījumi sākas ar to, ka lielākajā daļā gadījumu praktiski av iespējams iegūt ģeerālkopu laika u līdzekļu trūkuma dēļ. Tādēļ izmato izlases metodi - ievērojot radomizācijas pricipu apseko daļu o visiem objektiem, aalizē iegūto paraugkopu u šīs aalīzes rezultātus attiecia uz visiem objektiem ar iepriekš pieņemtu ticamības līmei t.i. pieļaujot oteiktu kļūdas iespēju. Tādējādi ģeerālkopas vietā aalīzei pakļauj tās daļu - paraugkopu, bet iegūtos rezultātus vispāria uz ģeerālkopu izmatojot varbūtību teoriju. Lai paraugkopa būtu reprezetatīva t.i. pietiekoši precīzi atspoguļotu ģeerālkopu, tās sastādīšaai izstrādātas speciālas izlases metodes. Paraugkopas apjomam t.i. variašu (ovērojumu) skaitam jābūt pietiekoši lielam. Ticamu seciājumu iegūšaai epieciešamo paraugkopas apjomu osaka ar speciālām metodēm. Jāatceras, ka paraugkopas apjomu t.i. variašu skaitu tajā apzīmē ar, u pēc apjoma paraugkopas iedala mazās paraugkopās ( < 30) u lielās paraugkopās ( 30). Īpaša parādība, ar kuru sastopamies ga ikdieā ga visos statistikas uzdevumos, ir pazīmes variēšaa - rezultātu maiīgums atkārtotos mērījumos vai ovērojumos. Mērot pētāmo pazīmi vieveidīgu objektu grupā, piemēram, veseliem 5. klases zēiem, iegūstam atšķirīgus rezultātus. Tā ir variācija dotajā skolieku grupā. Sastopama arī idividuālā variācija, piemēram, sportists sacesībās izpildot vairākus mēģiājumus ik reizi sasiedz atšķirīgu rezultātu. Variē e tikai dzīvu, bet arī edzīvu (fizikālu) objektu mērīšaas rezultāti. Pazīmes variēšaas cēloņi ir eparedzētas vides izmaiņas u mērīšaas kļūdas, bet dzīviem objektiem arī tā saucamie iekšējie faktori - paša objekta maiīgums. Variē kā kvatitatīvas tā arī kvalitatīvas pazīmes. Kvatitatīvām pazīmēm raksturīga diskrēta vai epārtraukta variēšaa. Šie variēšaas veidi jāzi, lai prastu izvēlēties piemērotas aalīzes metodes. Diskrētās variēšaas gadījumā starp divām pazīmes skaitliskām vērtībām ir galīgs, oteikts citu vērtību skaits. Praksē par diskrēti variējošām pazīmēm pieņemts uzskatīt tās, kuru variates ir veseli skaitļi, piemēram, vigriājuma izpildes reižu skaits, puktu skaits šaušaā u.c. Pazīmei variējot epārtraukti, starp tās divām vērtībām teorētiski ir bezgalīgi daudz citu vērtību. Par epārtraukti variējošām pieņemts uzskatīt tās pazīmes, kuru variates ir skaitļi ar decimālldaļu. Sīkāk paaalizējot pazīmes variēšaas epārtrauktības būtību kļūst saprotams, ka variēšaas epārtrauktība ir relatīvs jēdzies u tieši atkarīga o mēristrumeta precizitātes. Piemēram, reģistrējot distaces veikšaas laiku ar rokas hroometru, var olasīt rezultātu ar precizitāti līdz 0.1 s, bet ar elektroisko hroometru - līdz 0.01 s. Tas ozīmē, ka abos gadījumos itervalā o 10 s līdz 11 s var fiksēt galīgu vērtību skaitu: pirmajā gadījumā - 10 dažādus rezultātus, bet otrajā - 100, u pazīmes variēšaas "epārtrauktība" palieliās pieaugot mēristrumeta precizitātei. Kvalitatīvām pazīmēm raksturīga alteratīva vai ealteratīva variēšaa. 4
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē Pazīmei variējot alteratīvi, sastopamies ar tās klātbūti vai iztrūkumu u vērtējumiem "jā" vai "ē", "izpildīts" vai "eizpildīts", "ir" vai "av". Skaitliski pazīmes klātbūti vērtē ar "1", iztrūkumu - ar "0". Piemēram, basketbolā spēlētāja meistarības vērtēšaai skaitam iemestos u eiemestos metieus. Nealteratīvās variēšaas gadījumā pētamos objektus var iedalīt dažādās gradācijas grupās, pēc tā kādā veidā vai cik lielā mērā pētamā pazīme objektam piemīt. 1.. Varbūtību teorija Matemātiskās statistikas teorētiskā bāze ir varbūtību teorija - ziāte, kas pēta masveida gadījumotikumu likumsakarības. Tā saistīta ar cetieiem ovērtēt dažādu parādību u otikumu iespējamību, paredzēt to turpmāko attīstību. Pirmo statistikas datu vākšaa attiecas uz tālu seati u saistīti galveokārt ar iedzīvotāju uzskaiti. Normadijas hercogs Vilhelms I Iekarotājs (107-1087.g.) pēc Aglijas iekarošaas 1066. g. lika sastādīt "Briesmīgās tiesas grāmatu" - dokumetu, kurā bija ziņas par karaļa, bazīcas u feodāļu īpašumiem, to lielumu, lopu skaitu u ivetāru. Šo dokumetu izmatoja zemes odokļu uzlikšaai. Sistemātiski u plaši statistiski pētījumi sākas kapitalistisko attiecību veidošaās laikā, attīstoties tirdziecībai u audas operācijām, tai skaitā saistītām ar apdrošiāšau. 14. gs. Itālijā u Niderladē odibiājās pirmās jūras pārvadājumu apdrošiāšaas sabiedrības, kurām bija jārisia uzdevumi, kas saistīti ar risku fiasu operācijās. Reesases laikmetā strauji attīstījās dabasziātes, radās jautājumi par ovērojumu rezultātu apstrādi - gadījumkļūdu ovērtēšau. Visi šie otikumi veiciāja varbūtību teorijas attīstību. Lielākā daļa pirmatējo varbūtības teorijas uzdevumu saistīti ar azarta spēlēm. Daudzi autori uzskata, ka pirmie darbi, kuros veidojās varbūtību teorijas pamatjēdziei 16-17. gs. saistīti ar cetieiem izveidot azarta spēļu teoriju. Patiesībā azarta spēles veiciāja varbūtību teorijas attīstību kā piemērots modelis ar savu termioloģiju, kas derēja daudzu parādību u uzdevumu aprakstam. Varbūtību teorijas pamatjēdziei ir izmēģiājums u otikums. Izmēģiājums ir oteiktu apstākļu kompleksa radīšaa. Notikums ir izmēģiājuma rezultāts. Piemēram, basketbolists metot bumbu groza virzieā piešķir tai oteikta virziea paātriājumu. Šī izmēģiājuma rezultātā iespējami divi otikumi: 1) bumba trāpa grozā; ) bumba etrāpa grozā. Abi otikumi saistīti ar ziāmu eoteiktību - av garatijas, kurš o otikumiem oteikti iestāsies. Notikumus, kuri izmēģiājuma rezultātā var iestāties vai eiestāties sauc par gadījumotikumiem. Ja izmēģiājuma rezultāts ir iepriekš ziāms, otikumu sauc par determiētu otikumu. Ja izmēģiājuma rezultātā mūs iteresējošais otikums ekad eiestājas, to sauc par eiespējamu otikumu, bet, ja izdarot kaut vieu izmēģiājumu, otikums viemēr iestājas, tas ir eovēršams otikums. Piemēram, sportistam metot rīku - disku, šķēpu vai graātu, eovēršams otikums ir rīka piezemēšaās pēc lidojuma, bet eiespējams otikums, ka rīks tam piešķirtā paātriājuma dēļ pārvarēs zemes pievilkšaas spēku u sāks riņķot ap zemi kaut kādā orbitā. Kas attiecas uz gadījumotikumu iespējamību, tad evar paredzēt viea izmēģiājuma rezultātu, bet, atkārtojot izmēģiājumus daudz reižu u reģistrējot otikuma iestāšaās reižu skaitu, var ovērtēt šāda otikuma iestāšaās iespēju. Tādējādi esam oākuši līdz varbūtību teorijas galveajam jēdzieam - 5
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē otikuma varbūtībai, kas ir otikuma iespējamības mērs - skaitlis, kas atrodas itervalā o 0 līdz 1 u raksturo otikuma iespējamību. Neiespējama otikuma varbūtības vērtība ir 0, eovēršama otikuma - 1. Gadījumotikuma varbūtības vērtība atrodas starp šīm divām robežvērtībām. Varbūtības vērtībai tuvojoties 1, otikuma iespējamība palieliās, bet tuvojoties 0 - samaziās. Notikuma varbūtības klasiskā defiīcija: otikuma A varbūtība P(A) ir šim otikumam labvēlīgo gadījumu skaita m attiecība, pret visu iespējamo gadījumu kopskaitu, pie osacījuma, ka visos gadījumos saglabājas vieādi apstākļi u gadījumi ir esavieojami, vieādi iespējami u vieīgi iespējami: m P ( A) = (1.1) Frāze "visu iespējamo gadījumu kopskaitu" šai defiīcijā dara mūs uzmaīgus, jo ar līdzīgu sastapāmies iepazīstot jēdzieus "ģeerālkopa" u "paraugkopa", kad oācām pie slēdziea, ka "visi iespējamie" bieži vie ozīmē bezgalīgi lielu skaitli u praktiski av realizējami. Pēc klasiskās defiīcijas otikuma varbūtības vērtību var oteikt tikai elemetāriem otikumiem izmatojot oteiktas aksiomas. Piemēram, spēļu kauliņš mūsu izpratē ir kubveida, homoges u simetrisks ķermeis. Tādēļ var uzskatīt, ka okrītot uz līdzeas virsmas jebkuras kuba skaldes atrašaās virspusē ir vieādi iespējama (aksioma). Protams virspusē parādās tikai viea o visām sešām skaldēm, līdz ar to izslēdzot pārējo skaldņu parādīšaos (arī aksioma). Ja vēlamies aprēķiāt "sešieka" uzmešaas varbūtību, tad ziot, ka "sešieks" ir vies o iespējamiem sešiem izākumiem (kuba 6 skaldes), izskaitļojam attiecību 1 : 6 = 0,166666... Praktiskajā dzīvē pārsvarā sastopamies ar sarežģītiem otikumiem, kad visi iespējamie izākumi av ziāmi. Šādu otikumu iespējamības vērtēšaai izmato klasiskajai varbūtībai līdzīgu jēdzieu - "statistisko varbūtību" jeb otikuma relatīvo biežumu (frekveci), kuru aprēķia pēc praktisku ovērojumu rezultātiem, kuros fiksēts kopējais izmēģiājumu skaits u otikuma iestāšaās reižu skaits. Notikuma A statistiskā varbūtība ω(a) ir to izmēģiājumu skaita m, kuros otikums A iestājies, attiecība pret veikto izmēģiājumu skaitu : m A = ( ) ω (1.) Notikuma statistiskā varbūtība ir skaitlis, kurš palielioties kopējam izmēģiājumu skaitam arvie vairāk tuvojas otikuma teorētiskās varbūtības vērtībai. To pierāda agļu statistiķa Kārļa Pirsoa mēģiājums. Ģērboņa parādīšaās teorētiskā varbūtība metot moētu ir 1 : = 0.5 (1 labvēlīgais izākums o iespējamiem). K.Pirsoa eksperimetā moētu meta divās sērijās pa 1000 reižu katrā (1. tabula). 6
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē 1. tabula K. Pirsoa mēģiājums Mēģiājumu skaits Ģerboņa parādīšaās Ģerboņa parādīšaās reižu skaits statistiskā varbūtība 1000 6019 0,5016 4000 101 0,5005 Tabulā redzamie rezultāti apliecia, ka liela izmēģiājumu skaita gadījumā ģerboņa parādīšaās statistiskās varbūtības vērtība maz atšķiras o teorētiskās u divkāršojot mēģiājumu skaitu vēl vairāk tuvojas tai. Pamatojoties uz šādiem apsvērumiem praksē otikumu progozēšaai izmato statistisko varbūtību (relatīvo frekveci), ko aprēķia pēc praktisku ovērojumu rezultātiem. Novērojumu rezultāti var uzkrāties daudzu gadu laikā. Piemēram, laika progoze ir vies o dotajā gadalaikā, datumā u situācijā iespējamiem variatiem ar vislielāko statistisko varbūtību. Progozes pamatā ir ilggadīgu ikdieas meteoroloģisko ovērojumu rezultāti. Vairāk eiedziļioties varbūtību teorijā pievērsīsimies diviem jēdzieiem, kuri labi jāizprot izmatojot matemātiskās statistikas metodes. Paraugkopas aalīzes rezultātus evar absolūti pārest uz ģeerālkopu. Vispāriāšaa otiek aptuvei t.i. ar kļūdu, kura edrīkst pārsiegt kādu iepriekš pieņemtu vērtību, kas raksturo vispāriošo seciājumu precizitāti. Šo seciājumu eapstrīdamības varbūtību P sauc par rezultātu ticamības līmei, bet kļūdas varbūtību α - par rezultātu būtiskuma līmei. Tās ir divu pretēju otikumu varbūtības, ko saista sakarība α = 1 - P, u kā vieu tā otru var izmatot seciājumu precizitātes raksturošaai. Rezultātu ticamības līmeņa vai būtiskuma līmeņa skaitlisko vērtību izvēlas atkarībā o risiāmā uzdevuma satura - pēc tā, cik precīziem jābūt seciājumiem, lai pēc tiem varētu vadīties praksē. Pieņemtās ticamības u atbilstošās būtiskuma līmeņu vērtības dotas. tabulā.. tabula Pieņemtie rezultātu ticamības u būtiskuma līmeņi Ticamības līmeņi P 0,9 0,95 0,99 0,999 Būtiskuma līmeņi α = 1 - P 0,1 0,05 0,01 0,001 Atsevišķos gadījumos pat visaugstākais ticamības līmeis av pietiekošs, piemēram, ja rua ir par to, vai jauais ārstiecības līdzeklis av āvējošs cilvēkam. Pedagoģiskos u bioloģiskos pētījumos pietiekošs seciājumu ticamības līmeis ir 0,95. Viekāršoti var teikt, ka seciājumi realizēsies praksē 95 gadījumos o 100, ja vie praksē ievēros tos pašus apstākļus, kādi bija ovērojumu vai eksperimeta laikā. Jāatgādia, ka katru attiecību var izteikt procetos, ja to reizia ar 100. Tādēļ lasītājam evajadzētu samulst, sastopot atsevišķos literatūras avotos orādes par 95% ticamības vai 5% būtiskuma līmei. Rakstot seciājumus, iekavās jāorāda pieņemtais ticamības vai būtiskuma līmeis, piemēram, (P = 0,95) vai (α = 0,05). 7
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē 1.3. Kad izmato matemātiskās statistikas metodes? Sporta ziātē u praksē sastopami galveokārt sekojoši statistiskās aalīzes variati: 1) Aalizējot sportistu grupas sacesību vai testēšaas rezultātus (paraugkopu), aprēķia vidējo rādītāju (vidējo aritmētisko, mediāu vai modu), kurš kopumā raksturo dotās grupas sagatavotības līmei. Aprēķia variēšaas rādītājus - stadartovirzi u variācijas koeficietu, kuri raksturo rezultātu blīvumu (izkliedi ap vidējo aritmētisko) jeb sportistu sagatavotības vieveidību. Variācijas koeficietam ir praktiska ozīme - pēc tā var vadīties orgaizējot turpmāko treiņa procesu - izlemt vai grupas sportistiem piemērojama vieāda treiņa slodze (blīvu rezultātu gadījumā) vai arī tā jāplāo idividuāli. Slodzes lielumu savukārt izvēlas atbilstoši sagatavotības līmeim u.t.t. Pēc vidējā aritmētiskā stadartkļūdas var spriest par vidējā aritmētiskā precizitāti attiecībā uz visiem dotās kategorijas sportistiem (ģeerālkopu). ) Treiņu metodes efektivitāti var vērtēt pēc sportista sasiegumu pieauguma oteiktā laika periodā, tomēr jāņem vērā mērīšaas objekta emitīgais maiīgums, kura ietekmē idivīda rezultātu pieaugums e viemēr atbilst kopējai tedecei treiņa grupā. Tāpēc aprēķia grupas vidējo rezultātu pieaugumu u ovērtē tā ticamību, izmatojot oteiktu iepriekš pieņemtu ticamības līmei. Šai procedūrā lieto statistikas metodes, ko sauc par atšķirību kritērijiem. Līdzīgi rīkojas, ja vēlas oskaidrot, vai kopumā ņemot viea sportistu grupa sagatavota labāk ekā otra - ovērtē grupu vidējo rezultātu starpības ticamību. 3) Sporta treiņā sastopamies ar parādību, ko sauc par treētības pārešau - treējoties vieā fiziskajā vigriājumā bieži ovērojam rezultātu pieaugumu arī kādā citā vigriājumā, kuram līdzīga kustību struktūra u tas pats fizioloģiskais mehaisms. Lai ovērtētu, kā sasiegumi vieā vigriājumā ietekmē sasiegumus citā vigriājumā, izmato korelācijas aalīzi. Aprēķiātais korelācijas koeficiets ir sasiegumu savstarpējās atkarības mērs. Ar tā palīdzību izvēlas efektīvākos treiņa u kotroles vigriājumus - testus. 4) Lai progozētu, piemēram, gaidāmo sportista sasiegumu sacesībās pēc kotroles vigriājuma rezultāta vai arī pasaules rekordu ākošo Olimpisko spēļu gadā izmato regresijas aalīzē iegūto vieādojumu - izteiksmi, kura aptuvei apraksta šo lielumu savstarpējo atkarību. 5) Sacesību rezultātu vai kotrolvigriājumu rezultātu pārvēršaai puktos izmato dažādas vērtēšaas skalas (viekāršākais šādas skalas piemērs ir daudzcīņas puktu tabula). Tā saukto stadarta skalu gadījumā puktu aprēķiāšaai par atskaites sākuma puktu izmato rezultātu vidējo aritmētisko, bet par mērvieību - stadartovirzi. Matemātiskās statistikas metožu arseāls ir ļoti plašs, tās izmato arī eksperimeta plāošaai, kuras pamatuzdevums oteikt miimālo ovērojamu skaitu, kas garatē ticamus rezultātus. 8
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē. DATU ANALĪZE.1. Novērojumu rezultātu pirmapstrāde Novērojumos iegūto skaitļu ridu sakārto, lai tā būtu pārskatāma u rastos priekšstats par pētamās pazīmes variēšaas īpatībām. Datu pirmapstrādes paņēmiei atkarīgi o paraugkopas apjoma u pazīmes rakstura (kvatitatīva vai kvalitatīva). Maza apjoma paraugkopas variates ražē. Ar šo procedūru viemēr sastopamies oformējot sacesību protokolu, kurā sportistu rezultātus ieraksta sasiegumu labuma secībā. Ražēšaa ir rezultātu sakārtošaa pieaugošā vai dilstošā kārtībā. Matemātiskajā statistikā variates ražē pieaugošā kārtībā (eatkarīgi o sporta sasieguma labuma). Tas jāievēro, lai ovērstu kļūdaius slēdzieus, kad vielaicīgi pētot vairākas pazīmes, aprēķios izmato variašu ragus. Pēc sakārtošaas katrai variatei pieraksta tās ragu - skaitli, kas atbilst variates vietai ražētajā ridā. Vieādām variatēm dod vieādus ragus - variašu vietu vidējo aritmētisko. Piemēram, 100 m skrējieā reģistrēti šādi rezultāti: 11,6 10,5 11,0 11,6 10,8 11,1 11,6 10,8 11,7. Šīs paraugkopas pirmapstrādes rezultāti attēloti 3. tabulā. Ražēšaa Numurs Variate Rags pēc kārtas 1 10,5 1 10,8,5 3 10,8,5 4 11,0 4 5 11,1 5 6 11,6 7 7 11,6 7 8 11,6 7 9 11,7 9 3. tabula Lielas paraugkopas variates grupē. Pazīmes diskrētās u epārtrauktās variēšaas gadījumā izmato atšķirīgus grupēšaas paņēmieus. Apskatīsim grupēšaas operācijas pazīmes diskrētas variēšaas gadījumā. LSPA 1.kursa studetu-vīriešu vispārējās fiziskās sagtavotības sacesībās vigriājumā "pievilkšaās pie stieņa" (reižu skaits) reģistrēti šādi rezultāti: 11, 11, 9, 11, 13, 11, 11, 9, 1, 13, 11, 8, 11, 11, 9, 10, 11, 5, 11, 11, 8, 11, 1, 10, 11, 11, 7, 9, 7, 11, 8, 11, 10, 11, 11, 8, 11, 7, 10, 11, 9, 11, 10, 1, 11, 9, 10, 11, 7, 11, 13, 1, 13, 1, 1, 11, 10, 1, 11, 10, 11, 6, 1, 13, 1, 1, 13, 1, 11, 11, 8, 7, 9. Saskaitām variates - = 73. Izveidojam darba tabulu (4. tabula), kuras otrajā stabiņā pieaugošā kārtībā ierakstām variašu vērtības bez atkārtošaās - katru tikai vieu reizi. Tādējādi katrai o tām tabulā atbilst viea rida. Izskata ovērojumu rezultātus u saskaita, cik reižu 9
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē katra variate atkārtojas. Skaitli, kas rāda, cik reižu atkārtojas dotā variate, sauc par variates frekveci - i. To ieraksta atbilstošajā ridā tabulas 3.stabiņā. Variate x i Empīriskā sadalījuma sastādīšaa Variates Relatīvā frekvece frekvece ω i Kumulatīvā relatīvā frekvece 5 1 0.014 0.014 6 1 0.014 0.08 7 5 0.068 0.096 8 5 0.068 0.164 9 7 0.096 0.60 10 8 0.110 0.370 11 9 0.397 0.767 1 11 0.151 0.918 13 6 0.08 1.000 Σ i =73 Σω =1 4. tabula Lai gūtu priekšstatu par, katra rezultāta parādīšaās iespēju atsevišķā izmēģiājumā u oteiktu, kādu paraugkopas daļu veido dotās variates vērtības, aprēķia variates relatīvo frekveci jeb statistisko varbūtību: ω i i = (.3) u ieraksta tabulas 4.stabiņā. Lai būtu redzams, kā uzkrājas ovērojumu skaits pieaugot variašu vērtībām, aprēķia kumulatīvo relatīvo frekveci. Tā ir vieāda ar dotās u par to mazāko variašu relatīvo frekveču summu, u rāda, kādu paraugkopas daļu veido dotā u par to mazākas variates. Aprēķiāto vērtību ieraksta tabulas 5. stabiņā. Variašu frekveču summa Σ i ir vieāda ar paraugkopas apjomu, bet relatīvo frekveču summa u lielākās variates kumulatīvā relatīvā frekvece vieāda ar 1 (aprēķiot relatīvās frekveces oapaļošaas rezultātā var veidoties kļūda-ovirze 0,001-0,00). Šīs sakarības izmato pārbaudei, vai saskaitot variašu frekveces u veicot iepriekšējos aprēķius av pielaistas kļūdas. Pa pāriem saistīto skaitļu - variašu u to frekveču virki sauc par variāciju ridu jeb sakārtotu empīrisko sadalījumu. Empīriskā sadalījuma uzskatāmai attēlošaai var izmatot divus grafiskos attēlus: empīriskā sadalījuma poligou (1. att.) u empīriskā sadalījuma kumulātu (. att.). 10
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē Relatīvā frekvece 0,400 0,300 0,00 0,100 0,000 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 Pievilkšaās reižu skaits 1. att. Empīriskā sadalījuma poligos Kumulatīvā relatīvā frekvece 1,000 0,800 0,600 0,400 0,00 0,000 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 Pievilkšaās reižu skaits. att. Empīriskā sadalījuma kumulāta 11
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē Zīmējot abus grafikus uz abscisu ass attēlo variašu vērtības, bet uz ordiātas poligoam - variašu relatīvās frekveces, kumulātai - kumulatīvās relatīvās frekveces. Koordiātu plakē atliek pa pāriem saistīto skaitļu (variašu u frekveču) puktus. Blakus esošām variašu vērtībām atbilstošos puktus savieo ar taises ogriežņiem. Uzzīmētos grafikus sauc par sadalījuma poligou u kumulātu. Pazīmei variējot epārtraukti, variates grupē klasēs. Grupēsim 1. kursa studetuvīriešu vieglatlētikas sacesību rezultātus lodes grūšaā: 9,73 10,68 9,36 9,50 9,0 10,7 10,00 9,63 11,40 9,83 8,80 9,30 9,04 10,08 10, 9,80 9,34 9,45 9,3 10,00 8,40 8,95 9,35 9,50 6,99 10,45 11,14 11,00 9,33 9,00 9,0 10,00 10,00 11,10 9,78 8,80 9,00 9,30 8,80 10,00 9,0 7,88 9,00 9,80 9,1 9,10 8,90 11,00 9,10 8,90 11,43 10,48 9,49 8,0 9,87 8,80 7,80 9,50 9,48 8,97 9,80 9,00 10,55 9,4 9,45 9,00 Paraugkopas apjoms = 66, x mi = 6,99, x max = 11,43. Variēšaas itervālu starp x mi u x max sadala vairākos vieādos itervālos - klasēs, kuru skaitu osaka pēc formulas: k = 1 + 3, 3lg = 1 + 3, 3lg 67 7 (.4) Klases itervāla garumu aprēķia, oapaļojot uz augšu - uz pāra skaitli: c = x x k 1 max mi 1, 17 6, 99 7 1 = 074, (.5) Aprēķia 1. klases miimālo robežu, pieņemot, ka x mi atrodas šī itervāla vidū: t 0 c 074, = x = 699 66 mi,, (.6) Ik reizi pieskaitot pa klases itervālam aprēķia pārējās klašu robežas t 1 = 6,6 + 0,74 = 7,36; t = 8,10; t 3 = 8,84; t 4 = 9,58; t 5 = 10,3; t 6 = 11,06; t 7 = 11,80 u ieraksta darba tabulas (5. tabula). stabiņā. Pirmās klases maksimālā 1
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē robeža ir otrās klases miimālā robeža, otrās klases maksimālā robeža ir trešās klases miimālā robeža u.t.t. Pieņemot, ka 1. klases itervāla vidus jeb vidējā vērtība ir x 1 = x mi, aprēķia pārējo klašu vidējās vērtības, ik reizi pieskaitot pa klases itervālam: x = x 1 + c = 6,99 + 0,74 = 7,73; t 3 = 8,47; x 4 = 9,1; x 5 = 9,95; x 6 = 10,69; x 7 = 11,43 u ieraksta darba tabulas 4. stabiņā. Izskatot ovērojumu rezultātus saskaita, cik variašu ietilpst katrā klasē. Iegūto skaitli sauc par klases frekveci. To ieraksta darba tabulas (6. tabula) 3. stabiņā. Variati, kura ir uz klases robežas, iedala klasē ar zemākām vērtībām. Turpmāk darba tabulu izpilda tāpat kā grupējot variates diskrēti variējošas pazīmes gadījumā: aprēķia relatīvās u kumulatīvās relatīvās klašu frekveces. Pirmapstrādes rezultātu pareizības pārbaudei izmato klašu frekveču summu u klašu relatīvo frekveču summu i = ω i = 1,000. Pirmapstrādē iegūtās klašu vidējās vērtības u klašu frekveces veido itervālu variāciju ridu. Šāda empīriskā sadalījuma grafiskai attēlošaai izmato stabiņveida diagrammu, ko sauc par histogrammu (3. zīm.). Uz abscisas attēlo pazīmes skaitliskās vērtības - klašu robežas, bet uz ordiātas - statistiskās varbūtības - klašu relatīvās frekveces. Nr Klases robe as Itervālu variāciju ridas sastādīšaa Klases Klases Klases videja frekvece relativa vertiba frekvece 5. tabula Kumulativa frekvece k x i x k i ω i ω i 1 6,6 7,36 6,99 1 0,013 0,013 7,36 8,10 7,73 0,030 0,043 3 8,10 8,84 8,47 6 0,090 0,133 4 8,84 9,58 9,1 31 0,463 0,596 5 9,58 10,3 9,95 17 0,54 0,850 6 10,3 11,06 10,69 6 0,090 0,940 7 11,06 11,80 11,43 4 0,060 1,000 = 67 i ω i = 1,000 Histogrammā visu stabiņu pamates ir vieādas u atbilst klases itervāla garumam, bet stabiņa augstums - klases relatīvai frekvecei. Itervālu variāciju ridā katras klases variates tiek pielīdziātas klases vidējai vērtībai, tādēļ zīmējot empīriskā sadalījuma kumulātu uz abscisu ass attēlo klašu vidējās vērtības, bet uz ordiātas - kumulatīvās relatīvās frekveces. Paraugkopas pirmapstrādes rezultātus, kas iegūti grupējot variates, turpmāk var izmatot aprēķiot empīriskā sadalījuma parametrus - statistiskos rādītājus. Lielu paraugkopu gadījumā tas atvieglo aprēķius, ja av pieejams dators. Visas aprakstītās ovērojumu rezultātu pirmapstrādes operācijas var automatizēt izmatojot datoru u kādu o tabulu procesoriem, o kuriem šodie eapšaubāmi populārākais it MICROSOFT EXCEL. 13
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē Relatīvā frekvece 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0 6,99 7,73 8,47 9,1 9,95 10,69 11,43 Rezultāts lodes grūšaā, m 3. att. Empīriskā sadalījuma histogramma.. Aprakstošā statistika Ražēta paraugkopa u grupējot izveidotais sakārtotais empīriskais sadalījums ir diezga grūti pārskatāmas skaitļu ridas, to vieīgais kompaktais raksturojums ir paraugkopas apjoms. Statistiskās aalīzes uzdevums - raksturot pētāmās pazīmes vidējo vērtību u variēšau. Bez tam jāzi, cik ticami ir šie raksturpjumi - cik labi paraugkopa reprezetē ģeerālkopu. Uz šiem jautājumiem var atbildēt aprēķiot trīs skaitļus, kuri kocetrētā veidā satur epieciešamo, derīgo iformāciju. Tos sauc par statistiskajiem rādītājiem jeb empīriskā sadalījuma parametriem. Ir trīs statistisko rādītāju grupas: vidējie rādītāji, variēšaas jeb izkliedes rādītāji u reprezetācijas jeb stadartkļūdas. Vidējie rādītāji: vidējais aritmētiskais, vidējais ģeometriskais, vidējais kvadrātiskais, vidējais harmoiskais, mediāa, moda raksturo pazīmes vidējo vērtību. Katrā kokrētā uzdevumā izmato vieu - piemērotāko o šiem rādītājiem - kvatitatīvām pazīmēm visbiežāk vidējo aritmētisko. Variēšaas rādītāji raksturo variašu izkliedi ap vidējo aritmētisko. Tie ir: vidējā absolūtā ovirze, dispersija, stadartovirze (vidējā kvadrātiskā ovirze), variācijas koeficiets, ormētā ovirze. Visbiežāk izmato stadartovirzi u variācijas koeficietu. Reprezetācijas kļūdas raksturo eprecizitāti, kas rodas aizstājot ģeerālkopas raksturojumus ar paraugkopas statistiskajiem rādītājiem. Tās ovērtēšaai katram vidējam u katram izkliedes rādītājam aprēķia stadartkļūdu. 14
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē..1. Vidējie rādītāji Vidējais aritmētiskais x, vidējais ģeometriskais x g, vidējais kvadrātiskais x kv, vidējais harmoiskais x h, vidējais kubiskais x q, mediaa (Me) u moda (Mo) pēc vērtības savstarpēji atšķiras. Vidējo rādītāju ovietojums variēšaas itervālā ir šāds: x < x < x < x < x < x < x (.7) mi h g kv q Mediāa u moda šai ridā var atrasties dažādās vietās, atkarībā o pazīmes variēšaas īpatībām. Tādēļ aprakstot pētīšaas metodes jāorāda, kurš o rādītājiem izmatots. Visbiežāk izmato vidējo aritmētisko, bet kvalitatīvu pazīmju raksturošaai - mediāu vai modu. Pārējie rādītāji oderīgi atsevišķos gadījumos, par ko var smelties iformāciju speciālajā literatūrā. Iepazīstoties ar vidējo aritmētisko, mediāu u modu, piemēram aplūkosim šādu paraugkopu: 4 4 5 7 10 Moda ir variate ar vislielāko frekveci jeb pazīmes vērtība, kas sastopama visbiežāk. Mūsu piemērā: Mo = 4 Mediāa ir variate, kas atrodas ražētas paraugkopas vidū. Mūsu piemērā: Me = 5 Vidējais aritmētiskais ir paraugkopas visu variašu summa dalīta ar variašu skaitu: 4 x = + 4 + 5 + 7 + 10 = 5 Ģeerālkopai šis rādītājs av izskaitļojams, jo evar iegūt u apstrādāt visas šīs kopas variates. Paraugkopas vidējam aritmētiskam atbilstošo lielumu ģeerālkopā sauc par vidējo ģeerālo jeb pazīmes vidējo vērtību u apzīmē ar grieķu burtu µ (mī). Mēdz teikt, ka vidējais ģeerālais ir vidējā aritmētiskā matemātiskā cerība. Dotajā piemērā vidējais aritmētiskais ir svarīgākais o aplūkotajiem rādītājiem, jo ir "visjūtīgākais" - tā vērtība maiās, maioties jebkurai variatei. Turpretī mediāas vai modas vērtība maiās tikai dažreiz. Piemēram, ja aplūkotajā kopā variati 7 aizvieto ar 17, ražētā rida izskatās šādi: 6 max 15
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē 4 4 5 10 17 Mediāas u modas vērtības emaiās, bet vidējā aritmētiskā vērtība ir 8. Mediāa iegūtu citu vērtību tikai tad, ja cetrālās variates 5 vietā būtu cits skaitlis. Mediāu bieži izmato sporta sacesību tieseši. Ja av av elektroiskās laika mērīšaas sistēmas, distaces veikšaas laiku reģistrē ar trim rokas hroometriem u par sacesību rezultātu pieņem mediāu t.i. atmet labāko u sliktāko rezultātu (riteņbraukšaas hitos, kalu slēpošaā, vieglatlētikas spritā, peldēšaā, ātrslidošaā). Vidējais aritmētiskais - labi raksturo pazīmes vidējo vērtību - sportistu grupas vidējo sacesību vai kotroles vigriājuma rezultātu, fukcioālās sagatavotības vidējo līmei u.c. Vidējo aritmētisko aprēķia pēc formulas: x xi = (.8), kur x i - variate; - variašu skaits. Ja veicot paraugkopas pirmapstrādi sastādīta variāciju rida, vidējo aritmētisko var aprēķiāt izmatojot formulu: x x k i = (.9), kur x i - variates vērtība vai klases vidējā vērtība; i - variates vai klases frekvece; - variašu skaits. Ja grupējot sastādīta itervālu variācijas rida, tad pēc formulas (1.9) aprēķiāto vidējo sauc par svērto vidējo aritmētisko, jo visas vieā klasē ietilpstošās variates tiek pielīdziātas klases vidējai vērtībai. Vidējais aritmētiskais tāpat kā pārējie vidējie rādītāji ir osaukts skaitlis - tam ir tā pati mērvieība, kas atsevišķai variatei. Noapaļojot aprēķiāto vidējo, jāņem vērā, ka evar precīzāk aprēķiāt ekā mērīts - oapaļo līdz tādai precizitātei, ar kādu dotas paraugkopas variates vai arī atstājot aiz komata vieu decimālzīmi vairāk, ja skaitlis tiks ievietots formulās turpmākiem aprēķiiem. Svarīga vidējā aritmētiskā īpašība ir tā, ka visu variašu cetrālo oviržu (variates ovirze o vidējā) summa ir 0: ( x) = 0 x i (.10) Nejaušu cēloņu radīto idividuālo gadījumu skaitliskās dažādības savstarpējās līdzsvarošaās (dzēšaās) procesu statistikā sauc par lielā skaita likumu. Neierobežoti palieliot pazīmes (gadījumlieluma) savstarpēji eatkarīgu ovērojumu skaitu, iegūto rezultātu vidējā vērtība tuvojas oteiktam kostatam lielumam. Proti, ja x 1, x,...x ir eatkarīgi gadījummaiīgie ar vieu u to pašu sadalījumu, u, tad 16
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē x + x +... + x 1 it kā ir paraugkopas smaguma cetrs. tuvojas x matemātiskai cerībai µ. Tādējādi vidējais aritmētiskais... Variēšaas rādītāji Vidējie rādītāji av uiversāli, jo pazīmes ar vieādiem vidējiem var atšķirties pēc variēšaas lieluma u rakstura. Variēšaas sioīmi o statistikas viedokļa ir jēdziei: rezultātu izkliede, blīvums, vieveidība, maiīgums. Tie visi, katrs savā veidā raksturo vieu parādību - pazīmes variēšau kā variašu jeb ovērojumu rezultātu atšķirības: jo mazākas ir paraugkopas variašu savstarpējās atšķirības, jo pazīme variē mazāk, jo variates vairāk savstarpēji atšķiras, jo pazīme variē stiprāk. Arī sportista meistarību raksturo e tikai atkārtotos mēģiājumos sasiegtais vidējais vai augstākais rezultāts, bet arī rezultātu stabilitāte atkārtotos mēģiājumos. Tādēļ, kopā ar vidējo rādītāju pazīmes raksturošaai izmato arī variēšaas rādītājus. Tie var būt variēšaas itervāla robežas - miimālā u maksimālā variate: x mi u x max, variācijas itervāla garums (amplitūda) l = x max - x mi. Jo stiprāk variē pazīme, jo lielāka variācijas amplitūda u otrādi. Tie ir maziformatīvi variēšaas rādītāji, jo vieāda itervāla robežās, dažādu paraugkopu variates var būt sadalītas dažādi, bet vidējie aritmētiskie tai pat laikā var būt vieādi. Pilīgāk pazīmes variēšau var raksturot izpētot variašu izkliedi ap vidējo aritmētisko, kurš, kā iepriekš oskaidrojām, ir it kā paraugkopas smaguma cetrs. Par pamatu šādam variēšaas vērtējumam, var izmatot variašu cetrālās ovirzes xi x. Vies o iespējamiem izkliedes rādītājiem var būt vidējā absolūtā ovirze: ( x) x δ = i (.11) Tomēr šo rādītāju izmato reti, ērtāka u iformatīvāka ir vidējā kvadrātiskā ovirze jeb stadartovirze, kuru aprēķia kā pozitīvu kvadrātsaki o dispersijas - s. Dispersija ir variašu cetrālo oviržu kvadrātu summas vidējais aritmētiskais: s = ( x x) i (.1) Dispersijai piemīt vairākas vērtīgas īpašības, kuras izmato statistiskās aalīzes metodēs, kas pazīstamas ar osaukumu - dispersijas aalīze. Pirmkārt, ar dispersiju var ovērtēt kā grupas tā idividuālo variāciju. Otrkārt, ja pazīme atkarīga o vairākiem ārējiem faktoriem, dispersiju var sadalīt kompoetēs, o kurām katra raksturo viea faktora ietekmes svaru. Kā patstāvīgu izkliedes rādītāju dispersiju eizmato, šim olūkam lieto stadartovirzi: 17
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē s = ( x x) i (.13) Aprēķiot mazas paraugkopas stadartovirzi, vērtējuma precizitātes paaugstiāšaas olūkā aizvieto ar - 1. Praktiskiem aprēķiiem formula ir eērta daudzo skaitļošaas operāciju dēļ, u to izmatojot parādās papildkļūda - vidējā aritmētiskā oapaļošaas rezultātā. Tādēļ aprēķiiem izmato formulas pārveidoto t.i. darba variatu: s = x i ( x ) 1 i (.14) Palielioties pazīmes variēšaai pieaug stadartovirzes vērtība, savukārt mazāka stadartovirze atbilst blīvākiem, vieveidīgākiem rezultātiem. Stadartovirze ir osaukts skaitlis, tai ir tā pati mērvieība, kas variatēm. Aprēķiāto stadartovirzes vērtību oapaļo līdz precizitātei, ar kādu dotas variates. Stadartovirzei ir divi trūkumi, kuru dēļ to evar viemēr izmatot. Pēc formulas (1.13) redzams, ka stadartovirzes vērtība atkarīga o vidējā aritmētiskā. Tādēļ, ja vēlas salīdziāt rezultātu variēšau divām sportistu grupām, stadartovirzi var izmatot šim olūkam tikai tad, ja abu grupu vidējie (aritmētiskie) rezultāti ir vieādi. Ja vēlas salīdziāt divu dažādu pazīmju variēšau, traucē arī mērvieība - stadartovirzes, kas izteiktas dažādās mērvieībās av salīdziāmas. Šo iemeslu dēļ variēšaas vērtēšaai parasti izmato stadartovirzes relatīvo vērtību - variācijas koeficietu. Tas ir stadartovirzes attiecība pret vidējo aritmētisko procetos: s s x = 100 (.15) % % Variācijas koeficiets ir uiversāls izkliedes rādītājs, tādēļ, ka ir eosaukts skaitlis. Aprēķiāto variācijas koeficietu oapaļo līdz vieai decimālzīmei aiz komata. Svarīgi ir atcerēties variācijas koeficieta robežvērtību - 10%. Ja s% 10%, ovērojumu rezultāti ir vieveidīgi, pretējā gadījumā tos par vieveidīgiem uzskatīt evar u jāoskaidro lielās variācijas cēloņi. Tie var būt rupjas mērīšaas kļūdas vai arī dotai grupai etipiska objekta klātbūte ovērojumos. Šai gadījumā pārbauda ekstremālās variates - x mi u x max u, ja eapstipriās to piederība ģeerālkopai (skat. Ekstremālo rezultātu pārbaude ) atmet kā aalīzei ederīgas. Variācijas 18
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē koeficieta izmatošaa ir ierobežota - tas av derīgs, ja mērīšaa otiek itervālu skalā, piemēram, mērot leņķus vai temperatūru. Normētā ovirze ir rādītājs, kurš raksturo atsevišķu variati, parādot, cik stadartoviržu attālumā o vidējā aritmētiskā tā atrodas: t = x i s x (.16) Normētā ovirze ir eosaukts skaitlis, tādēļ šo rādītāju izmato ļoti dažādu uzdevumu risiāšaai. Pazīmes variēšaas īpatības - empīriskā sadalījuma obīdi uz abscisu ass o variēšaas itervāla vidus raksturo asimetrijas rādītājs: A ( x ) 3 3 x x x i i i i + = (.17) 3 s Jo lielāka sadalījuma asimetrija, jo lielāka - cetrālo oviržu kubu summa. Asimetrijas rādītājs ir eosaukts pozitīvs vai egatīvs skaitlis, pilīgi simetriska sadalījuma gadījumā tas ir 0. Labās (egatīvās) asimetrijas gadījumā lielākā daļa variašu grupējas sadalījuma labajā pusē, A < 0 u Mo > Me. Ja sadalījums obīdīts pa kreisi (pozitīvā asimetrija), A > 0 u Mo < Me < x. Kā simetriski, tā asimetriski rādītāji var būt ekscesīvi. Pozitīva ekscesa gadījumā variašu lielākā daļa sablīvējas ap vidējo aritmētisko, bet pie egatīva ekscesa - variates blīvāk ovietotas pie abām paraugkopas robežām. Ekscesu raksturo ekscesa raditajs: E ( x ) ( x ) 3 4 4 4 x x 6 x 3 x i i i i i i + 3 = (.18) 4 s Ekscesa rādītājs ir eosaukts pozitīvs, vai egatīvs skaitlis. Ja sadalījumā ekscess av ovērojams, tas vieāds ar 0...3. Reprezetācijas kļūdas Reprezetācijas jeb stadartkļūdu aprēķia katram vidējam u izkliedes rādītājam. Tā raksturo eprecizitāti, kas rodas vispāriot paraugkopas rādītāju uz ģeerālkopu. Stadartkļūdas apzīmē ar burtu s, pievieojot ideksā rādītāja apzīmējumu, kuram kļūda aprēķiāta. 19
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē Vidējā aritmētiskā stadartkļūda: = s sx (.19) Stadartovirzes stadartkļūda: Variācijas koeficieta stadartkļūda: s ss = (.0) % = s% s% 1+ 100 s s (.1) Vidējā aritmētiskā u stadartovirzes stadartkļūdas ir osaukti skaitļi, ar to mērvieību, kas variatēm. Stadartkļūdas oapaļo līdz precizitātei, ar kādu dotas variates. Seciājumos, tekstā u tabulās parasti stadartkļūdu raksta kopā ar atbilstošo rādītāju, kuram tā aprēķiāta: x % s x ± s, ss s ±, s ± s %. 3. NORMĀLAIS SADALĪJUMS 3.1. Teorētiskie sadalījumi Katrai pazīmei raksturīgas oteiktas variēšaas īpatības - likumsakarības. Daļēji tās atspoguļo sakārtots empīriskais sadalījums - pazīmes vērtības (variates) u to statistiskās varbūtības (relatīvās frekveces): x 1, x, x 3,... x -1, x ω 1, ω, ω 3,... ω -1, ω Pieņemsim, ka mēs eierobežoti palieliām ovērojumu skaitu -, tad variašu statistisko varbūtību vērtības tuvojas teorētisko varbūtību vērtībām, kas būtībā ir pazīmes skaitliskās vērtības fukcija - ϕ(x). Šādi iegūtās skaitļu ridas veido tā sauktā teorētiskā sadalījuma ridas u vispārīgā veidā attēlo dotās pazīmes variēšaas likumsakarības: x 1, x, x 3,... x -1, x ϕ 1, ϕ, ϕ 3,... ϕ -1, ϕ 0
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē Aprakstot šo sakarību ar atbilstošu vieādojumu iegūstam teorētisko sadalījumu - dotās pazīmes variēšaas vispārīgo likumu jeb matemātisko modeli. Ziāmi vairāki teorētiskie sadalījumi, plašāk pazīstami u bioloģijā izmatotie ir biomiālais, ormālais u Stjūdeta sadalījumi. Bioloģiskās pazīmes bieži variē abilstoši ormālā sadalījuma likumam. Tas ir vies o pazīmes epārtrauktas variēšaas vispārīgajiem likumiem. Pirmo reizi 1733.g. to formulējis A.Muaurs, pēc tam eatkarīgi vies o otra Laplass u K.Gauss. Uiversālas likumsakarības formulēšaai izmato stadartizētu ormālo sadalījumu. Tajā pazīmes vērtības aizstāj ar to ormētajām ovirzēm, tādējādi otiek atbrīvošaās o mērvieības. Tad atbilstošās varbūtību vērtības paliek emaiīgas, stadartovirze kļūst par mērvieību - σ = 1, bet vidējā vērtība kļūst par atskaites sākuma puktu - µ = 0. Stadartizēto ormālo sadalījumu apraksta vieādojums: t ϕ( ) 1 t = e (3.), π kur ϕ(t) - vērtības x ormētās ovirzes t varbūtība; t - pazīmes vērtības ormētā ovirze; e - aturālā logaritma bāze (,71881). 4. att. Normālā sadalījuma poligos 1
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē Sadalījuma poligos ir simetriska, zvaveida līke (9.3.zīm). Ja pazīme variē atbilstoši ormālajam likumam, tad variašu izvietojumu ap vidējo vērtību raksturo daži zīmīgi skaitļi. Vieas stadartovirzes itervālā ap vidējo vērtību atrodas 68,3% visu pazīmes vērtību, divu stadartoviržu itervālā - 95,5%, bet trīs stadartovižu itervālā - 99,7%. Šo parādību sauc arī par triju stadartoviržu likumu, jo praktiski visas variates izņemot 3 o tūkstoša atrodas trīs stadartoviržu itervālā ap vidējo vērtību. Varbūtību, kas raksturo iespēju, ka mērot iegūtās variate iekļūs oteiktā itervālā ap vidējo vērtību, sauc par varbūtību itegrāli u apzīmē ar Φ(t). Triju stadartoviržu likumu raksturo šādas varbūtību itegrāļa vērtības: Φ(1) = 0,683, Φ() = 0,955, Φ(3) = 0,997. Ņemot par pamatu ormālā sadalījuma likumu, ir izstrādātas daudzas statistiskās aalīzes metodes. To izmatošaa kokrētā gadījumā pieļaujama tikai tad, ja av šaubu, ka pētamā pazīme variē atbilstoši ormālajam likumam. Lai par to pārlieciātos izmato dažādas pārbaudes metodes. Bioloģiskajos u sporta pētījumos bieži sastopamies ar eliela apjoma paraugkopām. Ja pazīme variē atbilstoši ormālajam likumam, šādā paraugkopā biežāk sastopamas variates, kas tuvāk vidējai vērtībai. Ņemot vērā šo parādību, agļu statistiķis V.Gossets izstrādāja ormālā sadalījuma modeli (variatu) mazām kopām, ko publicējot osauca autora pseidoīma vārdā par Stjūdeta sadalījumu. Tā svarīgākais lielums ir Stjūdeta sadalījuma ormētā ovirze - t, kuras vērtība atkarīga o brīvības pakāpju skaita u pieņemtā ticamības līmeņa. Stjūdeta sadalījuma ormēto ovirzi izmato kā palīglielumu dažādās tā paša autora izstrādātās statistikas metodēs. Šī rādītāja atbilstošo vērtību var olasīt tā sauktajā Stjūdeta tabulā (1.pielikums). 3.. Ticamības itervâls Kā ziāms o iepriekšējā materiāla, paraugkopas aalīzē iegūtie statistiskie rādītāji vispāriāmi uz ģeerālkopu. Tieša šo rādītāju vērtību izmatošaa būtu ekorekta. Proti, ja o vieas ģeerālkopas ir sastādītas vairākas paraugkopas, tad šo paraugkopu statistiskie rādītāji, piemēram, vidējie aritmētiskie variē - tiem ir dažādas vērtības. Kura tad būtu pareizā? Nevieu o šīm vērtībām evar vieozīmīgi izmatot, kā vidējo ģeerālo, bet katra o tām ir derīga, lai atbilstoši pieņemtajam ticamības līmeim aprēķiātu itervāla robežas, kurā šis rādītājs atrodas. Itervālu, kurā ar pieņemto ticamības līmei atrodas ģeerālkopas statistiskais rādītājs sauc par ticamības jeb reprezetācijas itervālu. Ticamības itervāla robežas aprēķia, lai raksturotu mūs iteresējošo ģeerālkopas rādītāju - dotu tā vērtējumu. Vidējā aritmētiskā ticamības itervāla robežas aprēķia izmatojot izteiksmi: x s t < µ < x + s t kur µ - vidējais ģeerālais; x - paraugkopas vidējais aritmētiskais; x αν ; x αν ; (3.3),
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē t α;ν - Stjūdeta sadalījuma ormētā ovirze, kuru olasa tabulā (1. pielikums) pēc būtiskuma līmeņa α = 0,05 u brīvības pakāpju skaita = - 1. Aplūkojot šo izteiksmi u vidējā aritmētiskā stadartkļūdas aprēķiāšaas formulu varam seciāt, ka ticamības itervāls saīsiās t.i. vērtējuma precizitāte paaugstiās pieaugot ovērojumu skaitam t.i. paraugkopas apjomam. Stadartovirzes, variācijas koeficieta u citu rādītāju ticamības itervāla robežu aprēķiāšaai izmatojamās metodes šeit eapskatīsim, tas var iepazīt izmatojot speciālo literatūru. 4. PARAUGKOPAS STATISTISKĀ ANALĪZE 4.1. Kvatitatîvas paraugkopas aalîze Piemērs. Aprēķiāt LVFKI. kursa studetu - vīriešu vieas mācību grupas vidējo rezultātu tāllēkšaā, ovērtēt rezultātu izkliedi (7. tabula). Novērtēt visu. kursa studetu - vīriešu vidējo rezultātu. 6. tabula Darba tabula x i x i 5 5 15 65 5,05 5,505 18,78765 650,3775063 5,06 5,6036 19,55416 655,544333 5,1 6,01 13,651 676,501 5, 7,484 14,36648 74,475306 5,9 7,9841 148,035889 783,109858 5,4 9,3764 159,0088 86,97877 5,43 9,4849 160,103007 869,35938 5,5 30,5 166,375 915,065 5,6 31,5844 177,50438 997,574334 5,7 3,49 185,193 1055,6001 5,7 3,49 185,193 1055,6001 5,74 3,9476 189,1194 1085,544346 5,8 33,64 195,11 1131,6496 6 36 16 196 6,04 36,4816 0,348864 1330,907139 6,05 36,605 1,44515 1339,743006 6,15 37,85 3,608375 1430,541506 6,7 39,319 46,491883 1545,504106 x i =106,14 x i =595,8314 3 x i =3360,9797 4 x i =19049,0860614 x i 3 3 x i 4
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē Aalizējot uzdevuma saturu, varam seciāt, ka dotajā situācija ģeerālkopas apjoms ir ierobežots, jo visi iespējamie vieveidīgie pētījuma objekti ir LSPA. kursa studeti - vīrieši. Tādējādi ovērtējamais ģeerālkopas rādītājs - vidējais ģeerālais ir visu LSPA.kursa studetu vidējais rezultāts. Sacesību rezultātus ierakstām darba tabulas (6.tabula) 1. stabiņā, aprēķiām u ierakstām atbilstošajos stabiņos variašu kvadrātus, kubus u ceturtās pakāpes, bet pēc tam - summas katrā 3 4 x i x i x i stabiņā - x i ; ; ; izmato turpmākiem aprēķiiem pēc formulām. 1) Izmatojot formulu (1.8) aprēķia vidējo aritmētisko: ) Aprēķia stadartovirzi (1.14):. Ar darba tabulas palīdzību iegūtās summas 106, 14 x = = 5, 5863157 5, 59 19 σ = 595 ( 106, 14) 19 18 = 0, 4013776 0, 40 3) Aprēķia variācijas koeficietu (1.15): 0401 s% =, 100% = 7, 178661 7, % 5586, 4) Aprēķia vidējā aritmētiskā stadartkļūdu (1.19): 0, 401 19 s x = = 0, 09199571 0, 09 5) Aprēķia vidējā aritmētiskā ticamības itervāla robežas (1.3): 5,586-0,09,101 µ 5,586 + 0,09,101 µ 539, 578, 6) Lai būtu iespēja ovērtēt empīriskā sadalījuma atbilstību ormālajam sadalījumam, aprēķia asimetrijas rādītāju, izmatojot formulas (1.17) darba variatu: 4
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē A = 3 i x x x x 3 i i i + 3 ( ) s 3 (4.4) A = 189719, 09 39148, 71 3360, 98 + 19 361 1, 8607 = 0, 06355 0, 06 7) Izmatojot formulas (1.18) darba variatu, aprēķia ekscesa rādītāju, kurš arī izmatojams sadalījuma ovērtēšaai: E = x 4 i 3 x x x x x 4 6 ( ) 3( ) i i i i i + 3 4 s 4 (4.5) 146937, 36 4074745, 39 19049, 09 + E = 19 361 0, 4931357 38074796, 43 6859 = = 1,643 1,6 Seciājumi: 1) LVFKI. kursa studetu - vīriešu mācību grupas vidējais rezultāts tāllēkšaā ir (5,59 ± 0,09) m. ) Grupas sagatavotību tāllēkšaā var uzskatīt par vieveidīgu (s% < 10%). 3) LVFKI. kursa visu studetu - vīriešu vidējais rezultāts ir robežās o 5,39 līdz 5,78 m (P = 0,95). 4.. Kvalitatīvas paraugkopas aalīze Aalizējot kvalitatīvu paraugkopu, osaka, kādai pētāmo objektu daļai piemīt vai epiemīt mūs iteresējošā pazīme (alteratīvas kopas) vai arī kāda paraugkopas daļa atbilst tai vai citai pētāmās pazīmes gradācijas pakāpei vai kvalifikācijas grupai (ealteratvās kopas). Šo paraugkopas daļu izteiktu ar decimāldaļskaitli vai procetos sauc par pazīmes īpatsvaru. Citiem vārdiem ruājot, šeit ir darīšaa ar procetu rēķiiem. Tipisks šādas aalīzes veids ir aptaujas aketu apstrāde, kad tiek apkopotas daudzu respodetu domas par vieiem u tiem pašiem jautājumiem. Alteratīvas kvalitatīvas paraugkopas pazīmes īpatsvars: 5
Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē p = 1 (4.6) kur 1 - pazīmei atbilstošais ovērojumu skaits; - kopējais ovērojumu skaits jeb paraugkopas apjoms. Pretējās pazīmes īpatsvars: q = 1 - p (4.7) Alteratīvas kvalitatīvas paraugkopas pazīmes stadartovirze: s= p(1 p) (4.8) Nealteratīvas kvalitatīvas paraugkopas atsevišķas klases īpatsvaru aprēķia pēc formulas: p i i = (4.9) kur i = 1,, 3,..., k. Šai gadījumā k ir pazīmes gradācijas klasu skaits. 5. ATŠĶIRĪBU NOVĒRTĒŠANA 5.1. Nulles hipotēze u tās pārbaude Pieņēmumu par kādu ģeerālkopas īpašību sauc par statistisku hipotēzi, kuru pārbauda sastādot u aalizējot paraugkopu. Statistiskās hipotēzes izvirza par atsevišķu kopas parametru vai par visu sadalījumu. Veicot ovērojumu rezultātu apstrādi bieži jārisia šādi jautājumi: 1) vai variate, kura ievērojami atšķiras o pārējām, pieder pētāmai kopai vai arī jāatmet kā ederīga; ) vai empīriskais sadalījums būtiski atšķiras o teorētiskā sadalījuma; 3) vai starp divām paraugkopām ir būtiskas atšķirības? Miētos jautājumus risia pārbaudot ulles hipotēzi. Tā ir pieņēmums, ka divu ģeerālkopu rādītāju starpība ir ulle t.i., bezgalīgi palieliot salīdziāmo paraugkopu apjomus, iegūst vieu u to pašu ģeerālkopu. Pārbaudes rezultātā ulles hipotēzi pieņem vai oraida. Lēmumu pieņem evis kā absolūtu patiesību, bet ga ar izvēlēto ticamības līmei (mūsu vajadzībām P = 0,95). Tātad 5% gadījumu iespējama kļūda. Attiecībā uz ulles hipitēzes pārbaudi iespējamas divu veidu kļūdas. Ja hipotēze ir pareiza, bet statistiskās pārbaudes rezultātā to oraida, sastopamies ar pirmā veida kļūdu. Ja hipotēze epareiza, bet statistiskās pārbaudes rezultātā to pieņem, radusies 6