ΘΕΜΑ 1 ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 10) Μια βιοτεχνία καθαρισμού ρούχων λειτουργεί καθημερινά 8 ώρες. Η βιοτεχνία δέχεται κατά μέσο όρο 4 παραγγελίες την ημέρα για καθαρισμό ενδυμάτων. (ι). Να υπολογισθεί η πιθανότητα να δεχτεί 4 παραγγελίες την επόμενη ώρα. (ιι). Να υπολογισθεί η πιθανότητα να δεχτεί το πολύ παραγγελίες την επόμενη ώρα. (ιιι). Αν υποθέσουμε ότι το πλυντήριο καθαρισμού έπαθε κάποια βλάβη και χρειάστηκαν ώρες να επισκευαστεί, ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός παραγγελιών στο διάστημα αυτό, και ποια είναι η πιθανότητα η βιοτεχνία να έχει δεχθεί τουλάχιστον 3 παραγγελίες στο συγκεκριμένο δίωρο; ΛΥΣΗ 1ΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Οι παραγγελίες ακολουθούν την κατανομή Poisson. Σύμφωνα με τα δεδομένα ο 4 μέσος αριθμός παραγγελιών είναι 4 παραγγελίες ανά ημέρα, δηλαδή λ 3 8 παραγγελίες την ώρα. Με βάση τα παραπάνω έχουμε: ΕΡΩΤΗΜΑ 1 (i) 3 4 e *3 P(4 παραγγελίες την ώρα) Ρ(Χ4 λ 3) 0,168 4! Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 16,8%. ΕΡΩΤΗΜΑ 1 (ii) P (το πολυ παραγγελίες την ώρα) P ( ) P ( 0) + P ( 1) + P ( ) 3 0 e *3 P ( 0 λ 3) 0.0498 0! 3 1 e *3 P ( 1 λ 3) 0.1494 1! 3 e *3 P ( λ 3) 0.40! Επομένως P (το πολυ παραγγελίες την ώρα)0.0498+0.1494+0.400.43. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 4,3%.
ΕΡΩΤΗΜΑ 1 (iii) Ο αναμενόμενος αριθμός παραγγελιών στις ώρες ισούται με το μέσο της κατανομής Poisson για το διάστημα αυτό. Δηλαδή, αναμένουμε λ 3* 6 παραγγελίες. Ζητάμε την πιθανότητα η βιοτεχνία να έχει δεχθεί τουλάχιστον 3 παραγγελίες στο συγκεκριμένο δίωρο. Δηλαδή, P (τουλάχιστον 3 παραγγελίες το δίωρο) P ( 3) 1 P ( 0) P ( 1) P ( ) 6 0 e *6 P ( 0 λ 6) 0.005 0! 6 1 e *6 P ( 1 λ 6) 0.0149 1! 6 e *6 P ( λ 6) 0.0446! Επομένως P (τουλάχιστον 3 παραγγελίες το δίωρο) 1-0.005-0.0149-0.04460.9380 Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 93,80%. ΘΕΜΑ ο α. Επιχείρηση παραγωγής μηχανημάτων εκτιμά ότι η πιθανότητα ένα μηχάνημα να επιστραφεί για αντικατάσταση λόγω ελαττώματος είναι 5%. Η επιχείρηση παρήγαγε 0 μηχανήματα τον προηγούμενο μήνα. i. Ποια η πιθανότητα κανένα να μην χρειαστεί αντικατάσταση; ii. Ποια η πιθανότητα να χρειαστούν αντικατάσταση το πολύ 4 μηχανήματα; iii. Ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός των μηχανημάτων που θα χρειαστούν αντικατάσταση; β. Από μια ομάδα που περιλαμβάνει 4 γυναίκες και 6 άντρες επιλέγουμε τυχαία μια τριμελή επιτροπή. i. Αν υποθέσουμε ότι όλα τα μέλη της επιτροπής είναι ισότιμα, να υπολογιστεί το πλήθος των δυνατών τριμελών επιτροπών.
ii. Ποια η πιθανότητα να επιλέξουμε άνδρες και μία γυναίκα στη τριμελή επιτροπή; ΛΥΣΗ ΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ ΕΡΩΤΗΜΑ α Το παραπάνω πείραμα είναι πείραμα Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας p0,05. Αν συμβολίσουμε με το συνολικό αριθμό επιτυχιών στις 0 (ανεξάρτητες) επαναλήψεις του πειράματος, δηλαδή στη παραγωγή 0 μηχανημάτων, τότε είναι προφανές ότι η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n 0 και p 0,05 δηλαδή, ~B(0, 0,05). Έχουμε λοιπόν: ΕΡΩΤΗΜΑ α (i) P( 0) (0,05) 0!(0 0)! 0 (1 0,05) 0 0 (0,05) 1* 0 (0,95) 0 0,3585 ή χρησιμοποιούμε τους πίνακες από το Βιβλίο του Δ. ΙΩΑΝΝΙΔΗ, σελ. 317, που δίνουν απευθείας την πιθανότητα. ΕΡΩΤΗΜΑ α (ii) P( 4) P( 0) + P( 1) + P( ) + P( 3) + P( 4) επειδή P( 1 1) (0,05) (1 0,05) 1!(0 1)! 0 1 1*19! (0,05) 1 (0,95) 19 0,3774 P( ) (0,05) (1 0,05)!(0 )! 0 (0,05) *18! (0,95) 18 0,1887 P( 3 3) (0,05) (1 0,05) 3!(0 3)! 0 3 (0,05) 6*17! 3 (0,95) 17 0,0596 P( 4 4) (0,05) (1 0,05) 4!(0 4)! 0 4 (0,05) 4*16! 4 (0,95) 16 0,0133 είναι Ρ(Χ 4)0,3585+0,3774+0,1887+0,0596+0,01330,9974 ή χρησιμοποιούμε τους πίνακες διωνυμικής κατανομής του Δ. ΙΩΑΝΝΙΔΗ, σελ. 317 που δίνουν απευθείας την πιθανότητα Ρ(Χ 4)0,9974 ΕΡΩΤΗΜΑ α (iii) E np 0*0,05 1 μηχανήματα
ΕΡΩΤΗΜΑ β (i) Το ζητούμενο πλήθος είναι οι συνδυασμοί των 10 ανά 3. 10! 7!*8*9*10 8*9*10 C( 10,3) 4*3*10 10 3!(10 3)! 3!7! 1* *3 ΕΡΩΤΗΜΑ β (ii) Η ζητούμενη πιθανότητα, επειδή δεν μας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής είναι: 6! 4! * τριάδες με Ακαι1Γ C(6,)* C(4,1) P (Α + 1Γ)!4! 1!3! όλες οι δυνατές τριάδες C(10, 3) 10! 3!7! 5*6 4 * 1* 1 15* 4 60 0,50 10 10 10 Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 0,50. ΘΕΜΑ 3 ο Ένας ασφαλιστής συνεργάζεται με κάποια αντιπροσωπεία αυτοκινήτων. Ο ασφαλιστής έχει ασφαλίσει 15 αυτοκίνητα της αντιπροσωπείας τα οποία έχουν το ίδιο έτος κατασκευής και προέρχονται από την ίδια κατασκευάστρια εταιρεία. Από παλιότερα δεδομένα που έχει συλλέξει η εταιρεία, έχει εκτιμηθεί ότι κάθε αυτοκίνητο με αυτά τα χαρακτηριστικά έχει πιθανότητα 5% να παρουσιάσει βλάβη σε ένα έτος. α. Ποια η πιθανότητα σε ένα έτος: i. να παρουσιάσουν βλάβη αυτοκίνητα; ii. να μην παρουσιάσει βλάβη κανένα από τα 15 αυτοκίνητα; iii. να παρουσιάσουν βλάβη τουλάχιστον αυτοκίνητα; β. Αν κάθε αυτοκίνητο που παρουσιάζει βλάβη μέσα στο έτος λαμβάνει αποζημίωση 500 ευρώ, ποιο είναι το συνολικό ποσό που αναμένεται να πληρώσει η ασφαλιστική εταιρεία; Ποια είναι η τυπική απόκλιση για τη συνολική αποζημίωση που θα πληρώσει η εταιρεία;
ΛΥΣΗ 3ΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ ΕΡΩΤΗΜΑ 3 α Έστω Χ ο αριθμός των αυτοκινήτων που παρουσιάζει βλάβη μέσα στο έτος. Τότε η τ.μ. Χ θα ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή με n15 και p0,05, δηλ. Bnp (, ). Άρα: 15 P x x x x 15 x (0,05) (1 0,05), 0,1,...,15 Και οι ζητούμενες πιθανότητες θα είναι i. 15 P ( ) (0, 05) (1 0, 05) 15 15 ( 0, 05) ( 0,95) 13 105 0,005 0,510,13 15 0 15 0 15 ii. P ( 0) (0, 05) (1 0, 05) (0,95) 0, 46 0 iii. P ( ) 1 P ( 0) P ( 1) 15 15 1 (0,05) (1 0,05) (0,05) (1 0,05) 0 1 1 0,46 0,37 0,17 0 15 0 1 15 1 ΕΡΩΤΗΜΑ 3β Η συνολική αποζημίωση που θα πληρώσει η εταιρεία μετά το ένα έτος δίνεται από την τ.μ. Y 500. Άρα ισχύει: EY 500 E( ) και Var Y 500 Var( ). Για τη διωνυμική κατανομή γνωρίζουμε ότι E np 15 0,05 0,75 και Var( ) np(1 p) 15 0,05 0,95 0,71.
Έτσι, έχουμε: EY 500 0, 75 375 ευρώ, Var( Y ) 500 0, 71 177500 και σ Var( Y ) 177500 41,31 ευρώ. Y ΘΕΜΑ 4 ο Σε ένα κατάστημα ηλεκτρονικών ειδών οι πελάτες φτάνουν σύμφωνα με την κατανομή Poisson με μέσο όρο 30 πελάτες την ώρα. α. Να υπολογιστεί ο συντελεστής μεταβλητότητας του αριθμού των πελατών που έρχονται στο κατάστημα από τις 10:30 έως τις 11:00. β. Ποια η πιθανότητα να μην έρθει στο κατάστημα κανένας πελάτης σε ένα 5λεπτο; γ. Ποια η πιθανότητα να έρθουν στο κατάστημα το πολύ πελάτες σε ένα 5λεπτο; δ. Ποια η πιθανότητα σε κάθε ένα από δύο διαφορετικά 5λεπτα να μην εμφανιστεί πελάτης; ΛΥΣΗ 4ΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Ο αριθμός των αφίξεων στο κατάστημα ηλεκτρονικών ειδών ακολουθεί την κατανομή Poisson. ΕΡΩΤΗΜΑ 4α Βρίσκουμε το μέσο αριθμό των αφίξεων από 10:30 έως 11:00. Στα 60 έρχονται 30 πελάτες Στα 30 έρχονται λ15 πελάτες Γνωρίζω ότι στην Poisson ισχύει: μ σ λ Άρα 15 CV σ λ 0, 58 μ λ 15 ή 5,8% ΕΡΩΤΗΜΑ 4β Στα 60 έρχονται 30 πελάτες
5 Στα 5 έρχονται λ 30,5 πελάτες κατά μέσο όρο, άρα ο αριθμός των 60 αφίξεων ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο λ, 5 και συνάρτηση πιθανότητας x λ λ,5,5 P x e e, x 0, 1,, x! x! Ζητείται η πιθανότητα ώστε σε ένα πεντάλεπτο να μην εμφανισθεί πελάτης, άρα,5 e P 0 0, 08. x ΕΡΩΤΗΜΑ 4γ Ζητείται η πιθανότητα P P ( 0) + P ( 1) + P ( ). P( ),5 0! P( ),5 1!,5 P( ) e! 0,5 0 e 0, 08 1,5 1 e 0,05,5 0,56 Άρα η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με P( ) 0,08+0,05+0,56 0,543 ΕΡΩΤΗΜΑ 4δ Tα ενδεχόμενα άφιξης πελάτη σε κάθε 5λεπτο είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με: P(καμία άφιξη στο πρώτο 5λεπτο) P(καμία άφιξη στο δεύτερο 5λεπτο) P( ) P 0 0 0,08 0,08 0,0067. ΘΕΜΑ 5 ο Είναι γνωστό ότι κατά την διάρκεια μιας μέρας σε ένα πολυκατάστημα τρία προϊόντα Α, Β και Γ έχουν την εξής αναλογία ζήτησης 1::1. Αν 10 πελάτες του πολυκαταστήματος κατά την διάρκεια μιας μέρας αγοράσουν (ανεξάρτητα ο ένας από
τον άλλο) ένα μόνον προϊόν και υποθέτοντας ότι το πλήθος των προϊόντων είναι ικανοποιητικά μεγάλο, ώστε να μην επηρεάζεται η αναλογία, να υπολογιστεί: α. i. Η πιθανότητα να μην αγοράσει κανένας τους το προϊόν Α. ii. Το μέσο πλήθος αγορών του προϊόντος Α, καθώς και η διακύμανση. iii. Η πιθανότητα το πλήθος των αγορών που πραγματοποιούνται για το προϊόν Α να είναι σε απόσταση μίας τυπικής απόκλισης εκατέρωθεν του μέσου. β. Να επαναληφθεί το ερώτημα α για το προϊόν Β και να τα συγκρίνετε τα αποτελέσματα. ΛΥΣΗ 5ΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Με βάση την αναλογία ζήτησης προκύπτει ότι ένας πελάτης αγοράζει το προϊόν Α με πιθανότητα 1/(1++1)0,5. Ας θεωρήσουμε ως επιτυχία το ενδεχόμενο αγορά του προϊόντος Α και αποτυχία το συμπληρωματικό του, δηλ. την μη αγορά του Α. Τότε η τυχαία μεταβλητή Χ, που εκφράζει το πλήθος των αγορών του προϊόντος Α από τους 10 πελάτες, ακολουθεί την Διωνυμική κατανομή:~b(10,0,5). ΕΡΩΤΗΜΑ 5 αi Η πιθανότητα να μην αγοράσει κανένας από τους 10 πελάτες το προϊόν Α αντιστοιχεί στο να έχουμε 0 και δίνεται από τον τύπο της διωνυμικής: 10 0 0 10 0 10 P( 0) (0, 5) (1 0, 5) (0, 75) 0, 0563 ΕΡΩΤΗΜΑ 5 αii Το μέσο πλήθος αγορών του προϊόντος Α δίνεται από τον τύπο: E() np 10*0, 5,5 ενώ η διακύμανση από τον τύπο: Var() np( 1 p) 10*0, 5* ( 1 0, 5) 1,875 ΕΡΩΤΗΜΑ 5 αiii Η τυπική απόκλιση της μεταβλητής είναι s Var() 1,875 1,3693 Ενδιαφερόμαστε για την πιθανότητα το πλήθος των αγορών του προϊόντος Α που μπορεί να γίνουν από τους 10 πελάτες να είναι στο διάστημα: [ E() s, E() + s ] [,5 1,3693,,5 + 1,3693] [ 1,1307, 3,8693] Δοθέντος ότι η μεταβλητή Χ λαμβάνει τις διακεκριμένες τιμές 0,1,,...10 η πιθανότητα να λάβει τιμές εντός του παραπάνω διαστήματος είναι:
P E() s E() + s P 1,1307 3,8693 P( ) + P( 3) 10 10 10 3 10 3 (0, 5) (1 0, 5) + (0, 5) (1 0, 5) 3 10! 10! + +!(10 )! 3!(10 3)! 8 3 7 (0,5) (0,75) (0,5) (0,75) 0,816 0,503 0,5319 ΕΡΩΤΗΜΑ 4 β Το προϊόν Β αντίστοιχα με τα όσα αναφέρθηκαν στο ερώτημα α, επιλέγεται με πιθανότητα /(1++1)0,5. Θεωρούμε λοιπόν ως επιτυχία το ενδεχόμενο αγορά του προϊόντος Β και αποτυχία την μη αγορά του Β. Τότε η τυχαία μεταβλητή Υ που εκφράζει το πλήθος των αγορών του προϊόντος Β από τους 10 πελάτες, ακολουθεί την Διωνυμική κατανομή: Y ~ B(10,0,5). i. Η πιθανότητα να μην αγοράσει κανένας από τους 10 πελάτες το προϊόν Β αντιστοιχεί στο να έχουμε Y 0 και δίνεται από τον τύπο της Διωνυμικής: 10 0 0 10 0 10 P(Y 0) (0,5) (1 0,5) (0,5) 0, 00097 ii. Το μέσο πλήθος αγορών του προϊόντος Β δίνεται από τον τύπο: E(Y) np 10 0,5 5 ενώ η διακύμανση από τον τύπο: Var() np( 1 p) 10*0,5* ( 1 0,5),5 iii. Η τυπική απόκλιση της μεταβλητής Υ είναι sy Var(Y),5 1,5811 Ενδιαφερόμαστε για την πιθανότητα το πλήθος των αγορών του προϊόντος Β που μπορεί να γίνουν από τους 10 πελάτες να είναι στο διάστημα: [ E(Y) s, E(Y) + s ] [ 5 1,5811, 5 + 1,5811] [ 3,4189, 6,5811] Y Y Δοθέντος ότι η μεταβλητή Υ λαμβάνει τις διακεκριμένες τιμές 0,1,,...10 η πιθανότητα να λάβει τιμές εντός του παραπάνω διαστήματος είναι:
P E(Y) s Y E(Y) + s P 3,4189 Y 6,5811 Y P(Y 4) + P(Y 5) + P(Y 6) Y 10 10 10 (0,5) (1 0,5) (0,5) (1 0,5) (0,5) (1 0,5) 4 5 6 10! 10 10! 10 10! 10 (0,5) + (0,5) + (0,5) 4!(10 4)! 5!(10 5)! 6!(10 6)! 4 10 4 5 10 5 6 10 6 + + 10 10 + 5 + 10 (0,5) 0,6563 Στο ερώτημα β έχουμε το ίδιο πλήθος επαναλήψεων με το ερώτημα α (n10) έχει όμως αλλάξει η πιθανότητα επιτυχίας του διωνυμικού πειράματος από 0,5 σε 0,5. Παρατηρούμε: Για το ερώτημα i η πιθανότητα να μην έχουμε καμία επιτυχία τώρα είναι μικρότερη. Για το ερώτημα ii η μέση τιμή αυξάνει όπως και η διακύμανση (η οποία σημειωτέον στο 0,5 λαμβάνει και την μέγιστη τιμή για την Διωνυμική κατανομή). Για το ερώτημα iii η αυξημένη τιμή της διακύμανσης στο β οδηγεί στο να έχουμε περισσότερες διακεκριμένες τιμές της τυχαίας μεταβλητής Y στο διάστημα (κέντρου της κατανομής) που μας ενδιαφέρει (δηλ. μια τυπική απόκλιση εκατέρωθεν του μέσου) οδηγώντας σε υψηλότερη πιθανότητα.
ΘΕΜΑ 5 ο Mια επιχείρηση που παράγει ηλεκτρικά καλώδια γνωρίζει πως ο αριθμός των ελαττωμάτων σε κάποιο συγκεκριμένο τύπο καλωδίων ακολουθεί την κατανομή Poisson με μέσο πλήθος ελαττωμάτων 4 ανά 100 μέτρα καλωδίου. i. Ποια είναι η πιθανότητα να βρει κανείς ακριβώς 5 ελαττώματα σε ένα καλώδιο 50 μέτρων; ii. Να υπολογισθεί ο συντελεστής μεταβλητότητας του αριθμού των ελαττωμάτων που εμφανίζονται σε καλώδιο 50 μέτρων, καθώς και σε καλώδιο 100 μέτρων. Τι συμπεραίνετε; iii. Ποια είναι η πιθανότητα να βρει κάποιος ελαττώματα, σε ένα καλώδιο 100 μέτρων, ξέροντας πως υπάρχει τουλάχιστον ένα ελάττωμα; iv. Ποια η πιθανότητα σε δυο διαφορετικά καλώδια 50 μέτρων το καθένα να μην εμφανιστεί ελάττωμα. ΛΥΣΗ 5ΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Έστω η τ.μ. : αριθμός ελαττωμάτων σε καλώδιο 100 μέτρων. ~Poisson 4. Γνωρίζουμε ότι ΕΡΩΤΗΜΑ 5i. Θεωρούμε την τ.μ. Y : αριθμός ελαττωμάτων σε καλώδιο 50 μέτρων. 1 1 Θα ισχύει ότι Y ~ Poisson λ λ 4. Η ζητούμενη πιθανότητα υπολογίζεται ως εξής: 5 5 e λ λ e P Y 5 P( Y 5) 0.0360894. 5! 5! ΕΡΩΤΗΜΑ 5ii. Γνωρίζω ότι στην Poisson ισχύει : μ σ λ. Στην σ περίπτωση των καλωδίων 50 μέτρων έχω λ, και επομένως CV 0,7, ενώ μ στην περίπτωση των καλωδίων 100 μέτρων λ4. σ Επομένως CV 0,5. μ 4 Στην πρώτη περίπτωση έχω μεγαλύτερη μεταβλητότητα.
ΕΡΩΤΗΜΑ 5iii. Είμαστε στην περίπτωση καλώδιο 100 μέτρων, δηλ. όπου μας ενδιαφέρει ο αριθμός των ελαττωμάτων σε ~ Poisson 4. Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η P( 1) η οποία μπορεί να υπολογισθεί χρησιμοποιώντας τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας: λ 4 e λ /! e 4 /! 8 λ 0 4 4 P, 1 P P P( 1) P 1 P 1 1 P 0 ΕΡΩΤΗΜΑ 5iv. 0,14959 1 e λ /0! 1 e e 1 Τα ενδεχόμενα να υπάρχει ελάττωμα σε δυο διαφορετικά καλώδια 50 μέτρων είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με P( 0)P( 0) e *e 0, 018