63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε θα έχει εξίσωση y = λx+ β, η οποία γράφεται λx+ ( 1) y+ β = 0 Αν η ευθεία ε είναι κατακόρυφη και διέρχεται από το σημείο Px ( 0, y0 ), τότε θα έχει εξίσωση x = x 0, η οποία γράφεται ισοδύναμα ε y Σ(0,β) Ο x x+ 0 y+ ( x ) = 0 Βλέπουμε, δηλαδή, ότι και στις δύο περιπτώσεις η εξίσωση της ευθείας ε παίρνει τη μορφή Ax + By + Γ = 0 με A 0 ή B 0 Αντιστρόφως, έστω η εξίσωση Ax + By + Γ = 0 με A 0 ή B 0 0 y Ο ε P(x 0,y 0 ) x Αν B 0, τότε η εξίσωση γράφεται A y = B x Γ B, που είναι εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης λ = A Γ και η οποία τέμνει τον άξονα yy στο σημείο 0, B B Αν B = 0, τότε, λόγω της υπόθεσης, είναι A 0 και η εξίσωση γράφεται x = Γ, που είναι εξίσωση ευθείας κάθετης στον άξονα x x στο σημείο του A Γ P,0 A Σε όλες λοιπόν τις περιπτώσεις η εξίσωση Ax + By + Γ = 0 με A 0 ή B 0 παριστάνει ευθεία Αποδείξαμε, δηλαδή, ότι ισχύει το επόμενο θεώρημα:
64 ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Ax + By + Γ = 0 με A 0 ή B 0 (1) και αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή Για παράδειγμα, η εξίσωση x+ y 6= 0 παριστάνει ευθεία Η εξίσωση αυτή γράφεται στη μορφή y = x+ 6 και βλέπουμε ότι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = και τέμνει τον άξονα yy στο σημείο (,) 06 Διάνυσμα Παράλληλο ή Κάθετο σε Ευθεία Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία του επιπέδου με εξίσωση Ax + By+ Γ = 0 Είδαμε προηγουμένως ότι: A Αν B 0, τότε η ε έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = και επομένως είναι B παράλληλη προς το διάνυσμα δ = ( B, A) Αν B = 0, τότε η ε είναι παράλληλη προς τον άξονα yy και επομένως παράλληλη και πάλι προς το διάνυσμα δ = ( B, A) Σε κάθε περίπτωση λοιπόν ισχύει ότι: Η ευθεία με εξίσωση Ax + By + Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = ( B, A) Όμως, το διάνυσμα δ = ( B, A) είναι κάθετο στο διάνυσμα n = ( A, B), αφού y δ n = ( B, A) ( A, B) = AB AB = 0 Επομένως: Η ευθεία με εξίσωση Ax + By + Γ = 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα n = ( A, B) Για παράδειγμα, η ευθεία x y+ 4= 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = ( 1, ) και κάθετη στο διάνυσμα n = (, 1) ε Ο δ =(1,) x n =(, 1)
65 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 Δίνεται η εξίσωση: (i) Να αποδειχτεί ότι ( x y+ 5) + λ(3x + y+ 7) = 0 (1), όπου λ R Για κάθε τιμή της παραμέτρου λ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία γραμμή Όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (1) (Οικογένεια ευθειών) διέρχονται από το ίδιο σημείο (ii) Ποια από τις παραπάνω ευθείες είναι κάθετη στην ευθεία ζ : y = x ; ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i) Η εξίσωση (1) γράφεται ισοδύναμα ( 1+ 3λ ) x + ( + λ) y + (5 + 7λ) = 0 () Επειδή δεν υπάρχει τιμή του λ για την οποία να μηδενίζονται και ο συντελεστής του x και ο συντελεστής του y, η εξίσωση () παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του λ R Για να δείξουμε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας (1) διέρχονται από το ίδιο σημείο, αρκεί να βρούμε ένα σημείο K( x 0, y0 ) του οποίου οι συντεταγμένες να επαληθεύουν την (1) για όλες τις τιμές του λ Το ζητούμενο σημείο θα είναι εκείνο του οποίου οι συντεταγμένες μηδενίζουν τις παραστάσεις x y + 5 και 3 x + y + 7, δηλαδή η λύση του συστήματος x y + 5 = 0 και 3 x + y + 7 = 0 Από την επίλυση του συστήματος βρίσκουμε ότι x = 3 και y 1 Επομένως, όλες 0 οι ευθείες της οικογένειας (1) διέρχονται από το σημείο K ( 3,1 ) (ii) Έστω ε ευθεία της οικογένειας (1) που είναι κάθετη στην ευθεία ζ Τότε θα ισχύει 0 = 1 λ ε λζ = 1 λε = 1 λε = (3) όμως, λόγω της (), ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε είναι ίσος με Επομένως, από την (3) έχουμε 1 + 3λ λ ε = λ 1+ 3λ 1 = + 6λ = + λ λ = 1, λ οπότε η ευθεία ε θα έχει εξίσωση x 4y = 0 που γράφεται x + y + 1 = 0
66 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(,3), Β(4,1) και Γ(5λ-1,λ), λ R Να αποδείξετε ότι το κέντρο βάρους του τριγώνου κινείται σε μια ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο R ΛΥΣΗ Αν G( x, y) το κέντρο βάρους του τριγώνου, τότε + 4 + 5λ 1 5λ + 5 x = = και 3 3 5λ + 5 3 + 1 + λ λ + 4 x = 3 3x = 5λ + 5 y = = Έχουμε λοιπόν το σύστημα 3 3 λ + 4 3y = λ + 4 y = 3 Απαλείφουμε το λ από τις εξισώσεις και βρίσκουμε 3 x 15y + 15 = 0 ή ισοδύναμα x 5 y + 5 = 0 Άρα, το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ κινείται στην ευθεία χ 5 y+ 5= 0 3 Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών : x y 1 ΛΥΣΗ ε =0 και ε : x + y 3 0 1 + = Οι ευθείες ε1 και ε έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ 1 = 1 και λ = Άρα, είναι παράλληλες προς τα διανύσματα δ 1 = (1,1 ) και δ = (1, ) Επομένως, η οξεία γωνία των ευθειών και ε είναι ίση ή παραπληρωματική της γωνίας φ των θ ε1 διανυσμάτων δ 1 και δ Όμως, είναι: δ1 δ συνφ = δ δ 0 Επομένως, συν θ =, οπότε θ 7 1 1 1+ 1( ) = = 5 1 =
67 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 1 Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματική τιμή του μ η εξίσωση ( μ 1) x+ μy + μ = παράλληλη προς τον άξονα αρχή των αξόνων; 0 παριστάνει ευθεία γραμμή Πότε η ευθεία αυτή είναι x x, πότε προς τον y y και πότε διέρχεται από την Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Α (,3) και είναι κάθετη στην ευθεία x 3y+ 6= 0 Ποιο είναι το σημείο τομής των δύο ευθειών; 3 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών x 5 y + 3= 0 και x 3y 7= 0 και είναι κάθετη στην ευθεία 4 x + y = 1 4 Τα σημεία Α ( 4,6) και Γ ( 1,1 ) είναι οι απέναντι κορυφές ενός παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ Οι πλευρές ΒΓ και ΓΔ του παραλληλόγραμμου ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις x + 3 y = και x y += 0 αντιστοίχως Να υπολογίσετε: (i) Τις συντεταγμένες της κορυφής Δ (ii) Το συνημίτονο της οξείας γωνίας των διαγωνίων του παραλληλόγραμμου 5 Να βρείτε την τιμή του λ R, ώστε οι ευθείες ( λ 1) x+ λy+ 8= 0 και λx+ 3 y+ 1 λ= 0 να είναι κάθετες 6 Να βρείτε την τιμή του κ R, ώστε η ευθεία 3 x + 3y+ κ = 0 να διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών 3 x + 4y+ 6= 0 και 6 x + 5y 9= 0 Β ΟΜΑΔΑΣ 1 Να σχεδιάσετε τις γραμμές τις οποίες παριστάνουν οι εξισώσεις: (i) x y + 4y 4 = 0 (ii) x y 4x + y + 3 = 0 Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της μορφής (α + α+ 3) x+ ( α α+ 1) y+ (3α + 1) = 0, διέρχονται από το ίδιο σημείο α R
68 3 Να αποδείξετε ότι οι ευθείες x + 4 y= 5, 3 x y= 1 και 7 x 8y+ 1= 0 διέρχονται από το ίδιο σημείο 4 Να βρείτε την οξεία γωνία την οποία σχηματίζουν οι ευθείες y = μx και ( 1+ μ) x = (1 μ) y 5 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και x y x y από το σημείο τομής των ευθειών + = 1 και + = 1 α β β α 6 Δίνεται η ευθεία 3 x + y= 3 και το σημείο Α (1, ) Να βρείτε τις συντεταγμένες της προβολής του Α στην ευθεία αυτή x y 7 Δίνεται η ευθεία ε : + = 1 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία είναι α β κάθετη στην ε στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα x x