1 3 ΠΛΛΗΛΟΜΜΟ ΟΘΟΩΝΙΟ ΤΤΩΝΟ ΟΜΟΣ ΤΠΙΟ ΙΣΟΣΛΣ ΤΠΙΟ ΘΩΙ Παραλληλόγραµµο Λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες. ( // και // ) άσεις και ύψη στο παραλληλόγραµµο άθε πλευρά του µπορεί να ονοµαστεί βάση του παραλληλογράµµου. Η απόσταση της βάσης από την απέναντι πλευρά λέγεται ύψος του παραλληλογράµµου. Στο διπλανό σχήµα, για τις βάσεις και ύψος είναι το, ενώ για τις βάσεις και ύψος είναι το ιδικά παραλληλόγραµµα Ορθογώνιο : το παραλληλόγραµµο που όλες οι γωνίες του είναι ορθές. όµβος : το παραλληλόγραµµο που όλες οι πλευρές του είναι ίσες. Τετράγωνο : το παραλληλόγραµµο που όλες οι γωνίες του είναι ορθές και όλες οι πλευρές του είναι ίσες. 4. Τραπέζιο ίναι το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες πλευρές λέγονται βάσεις και η απόσταση των βάσεων λέγεται ύψος του τραπεζίου. Στο διπλανό σχήµα, οι, είναι οι βάσεις και το είναι το ύψος
2 5. Ισοσκελές τραπέζιο Λέγεται το τραπέζιου του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. ( // και = ) ΣΧΟΛΙ Σχεδίαση παραλληλογράµµου : ν µας ζητηθεί να σχεδιάσουµε ένα παραλληλόγραµµο όχι συγκεκριµένου είδους, τότε σχεδιάζουµε πλάγιο παραλληλόγραµµο και τίποτα άλλο. Σχεδίαση τραπεζίου : ν µας ζητηθεί να σχεδιάσουµε ένα τραπέζιο τότε σχεδιάζουµε τυχαίο τραπέζιο και όχι ισοσκελές. Ύψη ορθογωνίου τετραγώνου : Σε ένα ορθογώνιο ή τετράγωνο οι πλευρές είναι και ύψη. ΣΗΣΙΣ Να σχεδιάσετε ένα παραλληλόγραµµο µε = 120 ο και να φέρετε τις διχοτόµους των γωνιών του. ν, Λ, Μ και είναι τα σηµεία τοµής των διχοτόµων, να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου Λ Μ. ατασκευάζουµε γωνία x y = 120 ο. πό τυχαίο σηµείο της x φέρνουµε z // y. πό τυχαίο σηµείο της z φέρνουµε // x, η οποία τέµνει την y στο. Tο τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο µε = 120 ο Φέρνουµε τις διχοτόµους των γωνιών του παραλληλογράµµου. Στο παραλληλόγραµµο δύο διαδοχικές γωνίες είναι παραπληρωµατικές ως εντός και επί τα αυτά. ποµένως + = 180 ο, οπότε θα είναι Άρα η τρίτη γωνία ɵ του τριγώνου θα είναι 90 ο. Οµοίως και οι άλλες γωνίες προκύπτει ότι είναι 90 ο η κάθε µία y 1 Λ Μ 1 z + = 90 ο, δηλαδή 1 + 1= 90 ο 2 2 x
3 Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο και να φέρετε τις διχοτόµους των γωνιών του. ν, Λ, Μ και είναι τα σηµεία τοµής των διχοτόµων, να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΛΜ και να συγκρίνεται τις πλευρές του. Τι παρατηρείτε ; Τι είδους τετράπλευρο είναι αυτό ; A Λ B Στο διπλανό σχήµα φαίνεται το ορθογώνιο Μ και οι διχοτόµοι των γωνιών του που τέµνονται στα, Λ, Μ και. Όπως και στην άσκηση (1), προκύπτει ότι οι γωνίες του τετραπλεύρου ΛΜ είναι ορθές. Συγκρίνοντας τις πλευρές του ΛΜ διαπιστώνουµε ότι είναι ίσες µεταξύ τους, συνεπώς το ΛΜ είναι τετράγωνο Να σχεδιάσετε τετράγωνο µε περίµετρο 16 cm άθε πλευρά του τετραγώνου θα είναι 16 : 4 = 4cm. Σχεδιάζουµε ευθύγραµµο τµήµα = 4 cm και στα σηµεία και φέρνουµε κάθετες στο. Πάνω στις κάθετες αυτές παίρνουµε σηµεία και, τέτοια ώστε = = 4 cm. Το τετράπλευρο είναι το ζητούµενο τετράγωνο 4. Να σχεδιάσετε µε κανόνα και διαβήτη ένα ισοσκελές τραπέζιο µε µία βάση του 4cm, ύψος 2cm και µη παράλληλες πλευρές 2,5 cm. Σχεδιάζουµε ευθύγραµµο τµήµα = 4 cm. Η Σε τυχαίο σηµείο αυτού φέρνουµε κάθετη στο και παίρνουµε σ αυτή τµήµα Η = 2 cm. πό το Η φέρνουµε ευθεία ε παράλληλη προς το. Με κέντρα τα και και ακτίνα 2,5cm γράφουµε κύκλους που τέµνουν την ε στα, και, αντίστοιχα. Τα τετράπλευρα και είναι ισοσκελή τραπέζια µε τα καθοριζόµενα στοιχεία
4 5. Να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές τραπέζιο και να βρείτε τα µέσα των πλευρών του. Με το διαβήτη να συγκρίνετε τις πλευρές του τετραπλεύρου που έχει κορυφές τα µέσα των πλευρών. Τι παρατηρείτε ; Λ Στο διπλανό ισοσκελές τραπέζιο βρίσκουµε τα µέσα των πλευρών του και τα ενώνουµε. Συγκρίνοντας τα τµήµατα Λ, ΛΜ, Μ και Μ διαπιστώνουµε τι είναι ίσα 6. Να σχεδιάσετε ένα παραλληλόγραµµο µε = 50 ο και να φέρετε τα ύψη του από την κορυφή. ατασκευάζουµε γωνία = 50 ο και µετά όπως στην άσκηση 1 το διπλανό παραλληλόγραµµο Προεκτείνουµε τις πλευρές και και στην συνέχεια φέρνουµε και Τα και είναι τα ζητούµενα ύψη 50ο 7. Να σχεδιάσετε µε κανόνα και διαβήτη ένα τραπέζιο που µία βάση του να είναι 3cm, το ύψος του να είναι 2,5 cm και οι µη παράλληλες πλευρές του να έχουν µήκη 3cm και 4 cm. Η ε 3cm 3cm 2,5cm 4cm 4cm Σχεδιάζουµε ευθύγραµµο τµήµα = 3 cm. Σε τυχαίο σηµείο του φέρνουµε κάθετη στο και παίρνουµε σ αυτή τµήµα Η = 2,5 cm. πό το Η φέρνουµε ευθεία ε παράλληλη προς το. Με κέντρο το και ακτίνα 3 cm γράφουµε κύκλο που τέµνει την ε στα και. Με κέντρο το και ακτίνα 4 cm γράφουµε κύκλο που τέµνει την ε στα, αντίστοιχα. Τα τραπέζια, και έχουν τα καθοριζόµενα από το πρόβληµα στοιχεία
5 8. Σε ένα παραλληλόγραµµο φέρουµε τα ύψη και αυτού. Τι είδους τετράπλευρο είναι το ; ικαιολογήστε την απάντηση σας. πειδή // και ɵ = 90 ο, θα είναι και ɵφ = 90 ο ως εντός και επί τα αυτά. ια τον ίδιο λόγο είναι και ω = 90 ο. κόµα είναι // σαν κάθετες στην ίδια ευθεία. φού λοιπόν // και //, το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο και όλες του οι γωνίες είναι ορθές συνεπώς είναι ορθογώνιο. φ ω