ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

Η Συγκριτική Στατική Ανάλυση ασχολείται με την σύγκριση διαφόρων καταστάσεων ισορροπίας οι οποίες συνδέονται με διαφορετικά σύνολα τιμών των παραμέτρων και των εξωγενών μεταβλητών Στη συγκριτική στατική ανάλυση αγνοούμε την διαδικασία προσαρμογής των μεταβλητών Απλά συγκρίνουμε την αρχική πριν την αλλαγή κατάσταση ισορροπίας με την τελική μετά την αλλαγή κατάσταση ισορροπίας Ποιοτική συγκριτική στατική ανάλυση: ενδιαφέρεται για την κατεύθυνση της μεταβολής Ποσοτική συγκριτική ανάλυση: ενδιαφέρεται για το μέγεθος της της μεταβολής Το βασικό πρόβλημα στην συγκριτική στατιστική ανάλυση είναι η εύρεση του ρυθμού μεταβολής ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Η μεταβολή του ανα μονάδα μεταβολής του : 0 0

Η έννοια της κλίσης της καμπύλης είναι η αντίστοιχη γεωμετρική έννοια της παραγώγου C C= C C C 0 }ΔC K A D F E B G H 0 0 Η κλίση της ευθείας KG μετράει την κλίση της καμπύλης συνολικού κόστους στο σημείο Α

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Κανόνας Σταθερής συνάρτησης 0 k Κανόνας Δυναμοσυνάρτησης n n n n n cn c Γενίκευση του κανόνα της δυναμοσυνάρτησης 3 3 3 4

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΔΥΟ Ή ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΙΔΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Κανόνας αθροίσματος διαφοράς ] [ g g g 3 3 45 5 5 3 3 3 3 3 3 3 45 8 7 6 9 6 9 6 9 5 πχ Γενίκευση του κανόνα αθροίσματος ] [ h g h g

o o 50 0 6 3 0 50-0 o 3 3 5 3 3 5 - ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΚΑΙ ΟΡΙΑΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Κανόνας γινομένου: ] [ g g g g g πχ 8 8 3 36 3 3 3 3 ] 33 [ Γενίκευση του κανόνα ] [ h g h g h g h g Οικονομικό παράδειγμα R MR AR R AR 5 5 5 5 MR AR MR R MR AR R AR

Κανόνας Πηλίκου: g g g g πχ 3 3 5 Οικονομικό παράδειγμα: Σχέση μεταξύ οριακού κόστους και μέσου κόστους C AC C / C [ C C ] C [ C ] MC 3 4 60 0 C C 0 ά ό ά C 60 Η κλίση της καμπύλης AC θα είναι θετική, μηδέν ή αρνητική εάν και μόνον εάν η καμπύλη του οριακού κόστους θα βρίσκεται επάνω, θα τέμνει ή θα βρίσκεται κάτω της καμπύλης AC 0 6 AC 60

Παράγωγοι βασικών Συναρτήσεων Συναρτήσεις =c σταθερά = Παράγωγοι =0 = = n =n n- =sin =cos =e =cos =-sin =e =ln = -

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Συναρτήσεις Παράγωγοι =+g = g = c = n = +g = g+ g =c =n n- =ln = - =log c = - ln c - =c = g =c ln c = g g = - =

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΝΟΝΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣΗΣ Εφαρμογή : Να υπολογισθεί η παράγωγος της συνάρτησης: 4 = Η συνάρτηση είναι γινόμενο σταθεράς επί συνάρτηση: Η παράγωγος της g είναι: Η παράγωγος της συνάρτησης είναι: = g όπου g' = g = 4 4 ' = 4 3 = g ' = g' = 4 = 8 3 3

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΝΟΝΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣΗΣ Εφαρμογή : Να υπολογισθεί η παράγωγος πολυωνυμικής συνάρτησης: 4 g = 4 3 = + + 3 + 5 + 3 h = Η συνάρτηση μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα συναρτήσεων: Οι παράγωγοι των επιμέρους συναρτήσεων είναι: Η παράγωγος του αθροίσματος συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων: i = 3 = g +h + j+i +k j = 5 k = ' ' ' 3 = 3 ' ' g' = = = 4 = 8 h' = 4 4 3 3 i' = 3 = 3 = 3 = 6 ' j' = 5 = 5 ' = 5 = 5 ' k' = = 0 ' = g' +h' + j' +i' +k' = 3 8 +3 +6 +5

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΝΟΝΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣΗΣ Εφαρμογή3 : Να υπολογισθεί η παράγωγος πηλίκου συναρτήσεων: g = h Γνωρίζουμε ότι αν = e Η συνάρτηση μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο συναρτήσεων: g = = g = gh h h ' - ' ' - - = ' τότε = e+ e g h = g h g h - Γνωρίζουμε ότι αν = [] n τότε =n [] n- Συνεπώς για την συνάρτηση h - : Οπότε έχουμε τελικά: ' - h = -h h = - h h ' ' ' ' - ' ' - ' = g h = g h - g h h ' = ' g h- gh h

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΝΟΝΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣΗΣ Εφαρμογή 4: Να υπολογισθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: 3 4 = 3 - + Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι της μορφής: Υπολογίζουμε την παράγωγο της : Γνωρίζουμε ότι αν = n =n n- τότε Συνεπώς για την συνάρτηση έχουμε: Οπότε έχουμε τελικά: = όπου 4 3 = 3 - + 3 ' = 3 - +' = 3-3 4 3 ' = [ ]' = 4 ' 3 3 ' = 43 - + 3-3

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΝΑΤΡΗΣΕΩΝ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ο Αλυσιδωτός κανόνας z Γενίκευση του κανόνα Οικονομικό παράδειγμα: z z w z g z g w έ g έ z g h w R R L g L R L g L R/=MR /L= MPP L R/L=MRP L MRP L =MR*MPP L

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΝΑΤΡΗΣΕΩΝ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Μονοτονικές συναρτήσεις Ο κανόνας της αντίστροφης συνάρτησης πχ Αύξουσα ή μονοτονικά αύξουσα συνάρτηση Φθίνουσα ή μονοτονικά φθίνουσα συνάρτηση 5 5 4 5 4 0 ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ,, 3, n i Η μερική παράγωγος του ως προς i

Συμβολισμός Υπάρχουν αρκετοί εναλλακτικοί τρόποι συμβολισμού για την μερική παράγωγο:

Βρίσκω την Μερική Παράγωγο Η μερική παράγωγο ως προς το είναι η παράγωγος της συνάρτησης με μία μεταβλητή όταν το παραμένει σταθερό:

Παράδειγμα Έστω, = 3 + 3, βρείτε την, an, Λύση: Διατηρώντας την μεταβλητή σταθερή παραγωγίζοντας ως προς, έχουμε και ως εκ τούτου, = 3 + 3, = 3 + 3 = 6

Λύση Διατηρώντας την σταθερή και παραγωγίζοντας ως προς, έχουμε και ως εκ τούτου, = 3 4, = 3 4 = 8

Γεωμετρική ερμηνεία

Γεωμετρική ερμηνεία Σημειώστε ότι C είναι το γράφημα της συνάρτησης =, b, έτσι η κλίση της εφαπτομένης T στο σημείο P είναι a = a, b; C είναι το γράφημα της συνάρτησης = a,, έτσι η κλίση της εφαπτομένης T στο P είναι b = a, b Συνεπώς και αποτελούν τις κλίσεις των εφαπτομένων γραμμών στο σημείο Pa, b, c των C και C

Ερμηνεία 3 Η μερική παράγωγος μπορεί να ερμηνευτεί ως ρυθμός μεταβολής Εάν z =,, τότε z/ αντιπροσωπεύει τον ρυθμό μεταβολής της z σε κάθε αλλαγή του όταν η παραμένει σταθερή Ομοίως, z/ αντιπροσωπεύει τον ρυθμό μεταβολής της z ως προς όταν η παραμένει σταθερή

Παράδειγμα Εάν, = 4, βρείτε την, και, Ερμηνεύστε αυτά τα νούμερα ως κλίσεις Λύση: Έχουμε

Παράδειγμα Το γράφημα της είναι παραβολή z = 4 και το κάθετο επίπεδο = τέμνει την παραβολή z =, = Η κλίση της εφαπτομένης ευθείας σε αυτή τη παραβολή στο σημείο,, είναι, = Ομοίως, το επίπεδο = τέμνει το γράφημα της στην παραβολή z = 3, =

Παράδειγμα 3 Η κλίση της εφαπτομένης ευθείας στην παραβολή στο σημείο,, είναι, = 4:

Παράδειγμα Εάν,, να βρεθούν an Λύση: Χρησιμοποιώντας το Αλυσιδωτό Κανόνα, έχουμε:

Παράδειγμα 3 Βρείτε τις z/ και z/ εάν z έχει οριστεί ως συνάρτηση των και ως 3 + 3 + z 3 + 6z = Λύση: Για να βρούμε z/, παραγωγίζουμε προς, και ως σταθερό όρο το :

Λύση Λύνοντας ως προς z/, παίρνουμε Ομοίως, παραγώγιση ως προς το δίνει

Περισσότερες από δύο μεταβλητές Μερική παραγώγιση μπορεί να εφαρμοστεί σε συναρτήσεις τριών ή/και περισσοτέρων μεταβλητών, πχ Εάν w =,, z, τότε = w/ είναι ο ρυθμός μεταβολής του w σε σχέση με την αλλαγή του όταν και z διατηρούνται σταθερά

Περισσότερες από δύο μεταβλητές Γεωμετρική ερμηνεία δεν υπάρχει μιας και το σχήμα της ανήκει στον 4-διάστατο χώρο Γενικά, εάν u =,,, n, τότε και επίσης μπορεί να γραφτεί

Παράδειγμα Να βρεθούν οι,, και z εάν,, z = e ln z Λύση: Διατηρώντας και z σταθερά και παραγωγίζοντας ως προς, έχουμε Ομοίως, = e ln z = e ln z an z = e /z

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΤΙΚ ΑΝΑΛΥΣΗ a bp c P a, b 0 c, 0 Παράγωγοι συγκριτικής στατικής P a c b a bc b P a b P 0 b a c a c b b b P a P c 0 α α Αύξηση του α S D Αύξηση του b D S P P c b a P 0 b a c a c P b b b P b P 0 Αύξηση του c D S S P D S S D P Αύξηση του D -C P P -C

ΙΑΚΩΒΙΑΝΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Οι μερικές παράγωγοι αποτελούν έναν τρόπο ελέγχου της συναρτησιακής γραμμικής ή μη εξάρτησης μεταξύ των στοιχείων ενός συνόλου n συναρτήσεων n μεταβλητών n n n n J Η Ιακωβιανή J θα είναι ταυτοτικά μηδέν για όλες τις τιμές των,, n εάν και μόνο εάν οι n συναρτήσεις είναι συναρτησιακά γραμμικά ή μη εξαρτημένες 9 4 3

Εφαρμογή των Διαφορικών στην Ελαστικότητα σημείου = = A A 0 θ α 0 θ m B 0 θ α θ m B 0