ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ ) 5 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ημερομηνία Ανάρτησης Μαρτίου 4 Ημερομηνία Παράδοσης της εργασίας από τον Φοιτητή Απριλίου 4 Πριν από την λύση των ασκήσεων να μελετώνται τα παραδείγματα και οι λυμένες ασκήσεις των ενοτήτων στα συγγράμματα και στο βοηθητικό υλικό. Οι ασκήσεις της πέμπτης εργασίας αναφέρονται στα: Ενότητα 9 (Το ολοκλήρωμα) Ενότητα (Γενικευμένη Ολοκλήρωση) Ενότητα (Εφαρμογές των ολοκληρωμάτων) Ενότητα :..4 (Σειρές Fourier) του συγγράμματος του ΕΑΠ «Λογισμός μιας Mεταβλητής» του Γ. Δάσιου. Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα μελετήσετε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στο φάκελο ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ στο study.eap.gr ή στην ιστοσελίδα http://edu.eap.gr/pli/pli/students.htm ως εξής: Συνοδευτικό Εκπαιδευτικό Υλικό : Λογισμός Ολοκληρώματα, Ολοκληρώματα, Σειρές Fourier. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι -Η κατανόηση των εννοιών του αόριστου, του ορισμένου και του γενικευμένου ολοκληρώματος. -Η εκμάθηση βασικών τεχνικών ολοκλήρωσης και η εφαρμογή τους στα προαναφερθέντα είδη ολοκληρωμάτων. -H κατανόηση των εφαρμογών των ολοκληρωμάτων. -Η κατανόηση του υπολογισμού και της σημασίας των σειρών Fourier. Αιτιολογήστε προσεκτικά ΟΛΕΣ τις απαντήσεις σας ΠΛΗ ΕΡΓ_5 3-4 <ΟΝΟΜ/ΝΥΜΟ ΦΟΙΤΗΤΗ> /7
Άσκηση ( μονάδες) Α) (Μον. ) Να υπολογίσετε τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα, χρησιμοποιώντας κατάλληλη αντικατάσταση (για παράδειγμα την προτεινόμενη): ( ) 3 (i) K (u=+) (ii) cos sin 4 45 ( w sin ) (iii) M ( y ) (iv) N ( 4 z /4 ) n Β) Θεωρούμε το αόριστο ολοκλήρωμα I ( ) e, n,,,... n (i) (Μον. 4) Χρησιμοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση, αποδείξτε ότι για n ισχύει n In( ) e nin ( ). (ii) (Μον. 3) Δείξτε με τη μέθοδο της επαγωγής ότι όπου c ( ) k n( n ) n ( k ) k n n k I ( ) e e c, n n k, για κάθε k n. Στη συνέχεια, να υπολογίσετε το I ( ). 3 n a (iii)(μον. ) Για a δείξτε ότι e I ( a ), n n n,,,... a k ΠΛΗ ΕΡΓ_5 3-4 <ΟΝΟΜ/ΝΥΜΟ ΦΟΙΤΗΤΗ> 3/7
Άσκηση ( μονάδες) Α) (Μον. ) Να υπολογίσετε τα ακόλουθα ορισμένα ολοκληρώματα: n 4 e (i), n, (ii), (iii) 4 ln sin B) (Μον. 5) Αφού εκφράσετε το γενικευμένο ολοκλήρωμα ως το άθροισμα απείρων όρων (συγκλίνουσας) δυναμοσειράς, να προσεγγίσετε την τιμή του με ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων. Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε ολοκλήρωση όρο-προς-όρο κατάλληλης σειράς Maclaurin. Γ) (Μον. 3) Για ποιούς πραγματικούς αριθμούς ab, ισχύει η σχέση ln a C ; ( a)( b) b ΠΛΗ ΕΡΓ_5 3-4 <ΟΝΟΜ/ΝΥΜΟ ΦΟΙΤΗΤΗ> 4/7
Άσκηση 3. ( μονάδες) Α) (Μον. 6) Να υπολογίσετε το συνολικό εμβαδόν των κλειστών χωρίων, που περικλείονται μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f ( ), g( ) 4 6 και των ευθειών με εξισώσεις και 5 αντίστοιχα. Υπόδειξη: Οδηγηθείτε στους υπολογισμούς σας βρίσκοντας πρώτα τα σημεία τομής και την σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των f και g. Β) (Μον. 7) Μια έλλειψη με ημιάξονα a στον άξονα και ημιάξονα b στον yy άξονα y περιγράφεται από την κλειστή καμπύλη. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν της, επιλύστε την a b παραπάνω εξίσωση ως προς y y( ) επιλέγοντας το θετικό πρόσημο για το άνω ήμισυ της καμπύλης. Ακολούθως, να υπολογίσετε το εμβαδόν της έλλειψης μέσω του τύπου E y( ) και να αποδείξετε ότι E ab με δύο τρόπους: (α) χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση asin και (β) με κατά παράγοντες ολοκλήρωση. Γ) (Μον. 7) Να υπολογίσετε τον όγκο V ενός βαρελιού που σχηματίζεται περιστρέφοντας την γραφική παράσταση της συνάρτησης y( ) γύρω από τον άξονα, από μέχρι. a a ΠΛΗ ΕΡΓ_5 3-4 <ΟΝΟΜ/ΝΥΜΟ ΦΟΙΤΗΤΗ> 5/7
Άσκηση 4 ( μονάδες) Α) (Μον. ) Θεωρούμε τις συναρτήσεις g ( ) και e e cosh h( ) e για (, ). (i) Να υπολογίσετε τα γενικευμένα ολοκληρώματα g( ) (χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση u e ) και ( ) h. Το καθένα εκφράζει το εμβαδόν της περιοχής μεταξύ της γραφικής παράστασης της αντίστοιχης συνάρτησης και του άξονα. Παρατηρήστε ότι αν και η περιοχή ολοκλήρωσης εκτείνεται στο άπειρο το εμβαδόν της είναι πεπερασμένο. (ii) Χωρίς επιπλέον υπολογισμούς ολοκληρωμάτων να υπολογίσετε τις τιμές των γενικευμένων ολοκληρωμάτων g ( ) και h( ), χρησιμοποιώντας μόνο το Α(i). Υπόδειξη: Εξετάστε αν οι συναρτήσεις g( ), h( ) είναι άρτιες ή περιττές στο (, ) καθώς και το πρόσημό τους. Β) (Μον. 8) d (i) Να αποδείξετε τον τύπο tan C cos. (ii) Να υπολογίσετε τα γενικευμένα ολοκληρώματα χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό I και 3/ ( ) sin και το (i). I, ΠΛΗ ΕΡΓ_5 3-4 <ΟΝΟΜ/ΝΥΜΟ ΦΟΙΤΗΤΗ> 6/7
Άσκηση 5 ( μονάδες) Α) (Μον. ) (i) Θεωρούμε την περιοδική συνάρτηση f ( ), που ορίζεται στο διάστημα 3 3 με περίοδο T 6. Nα υπολογίσετε τη σειρά Fourier της συνάρτησης f( ). (ii) Χρησιμοποιώντας τη σειρά Fourier που βρήκατε στο Α(i) και για κατάλληλη τιμή του, να υπολογίσετε το άθροισμα της σειράς. (n ) n Β) (i) (Μον. ) Θεωρούμε την περιοδική συνάρτηση, h ( ), με περίοδο T. Να υπολογίσετε τη σειρά Fourier της συνάρτησης h ( ). Σε τι διαφέρει η μορφή αυτής της σειράς Fourier από εκείνην που υπολογίσατε στο Α(i); Σε ποια ιδιότητα της συνάρτησης οφείλεται αυτό; Υπενθύμιση: Μια συνεχής συνάρτηση f :[, ], που επεκτείνεται - περιοδικά μπορεί να αναπαρασταθεί από την τριγωνομετρική σειρά (σειρά Fourier της f ) n n f ( ) ancos bnsin, όπου a f ( ) n, και n an f ( )cos, n bn f ( )sin, n,, ΠΛΗ ΕΡΓ_5 3-4 <ΟΝΟΜ/ΝΥΜΟ ΦΟΙΤΗΤΗ> 7/7