ΘΕΜΑ 1 ο Ένας φοιτητής απαντά σε ερωτήσεις ενός διαγωνίσματος πολλαπλής επιλογής με 4 απαντήσεις ανά ερώτηση, εκ των οποίων μόνο η μία είναι σωστή κάθε φορά. Η πιθανότητα να γνωρίζει ο φοιτητής την σωστή απάντηση μιας ερώτησης είναι 70%. Στις περιπτώσεις που ο φοιτητής δε γνωρίζει τη σωστή απάντηση, επιλέγει στην τύχη μία από τις 4 απαντήσεις. Σημειώστε ότι οι απαντήσεις σε διαφορετικές ερωτήσεις είναι ανεξάρτητες. α. Αν ο φοιτητής απάντησε σωστά σε μια ερώτηση, ποια η πιθανότητα να γνώριζε τη σωστή απάντηση; β. Αν το διαγώνισμα αποτελείται από τέτοιες ερωτήσεις, ποια η πιθανότητα να απαντήσει σωστά και στις ερωτήσεις; ΘΕΜΑ ο Το τμήμα δανείων μιας τράπεζας που είναι αρμόδιο για τη δανειοδότηση ιδιωτών, έχει 800 πελάτες. Οι 600 από αυτούς έχουν πάρει στεγαστικό δάνειο. Οι 60 από τους 800 πελάτες έχουν πάρει καταναλωτικό δάνειο. Επιλέγουμε τυχαία ένα πελάτη της τράπεζας. (i) Να υπολογιστεί η πιθανότητα ο πελάτης να πήρε στεγαστικό και καταναλωτικό δάνειο. (ii) Να υπολογιστεί η πιθανότητα ο πελάτης να πήρε καταναλωτικό αν ξέρουμε ότι πήρε στεγαστικό δάνειο. (iii) Η τράπεζα θέλει να διαφημίσει μια ειδική προσφορά καταναλωτικών δανείων ΛΥΣΗ σε όσους πήραν στεγαστικό και δεν πήραν καταναλωτικό δάνειο. Σε πόσους πελάτες της πρέπει να στείλει διαφημιστική επιστολή; Ορίζουμε τα παρακάτω ενδεχόμενα. Σ : Ο πελάτης πήρε στεγαστικό δάνειο Κ: Ο πελάτης πήρε καταναλωτικό δάνειο Γνωρίζουμε ότι Ρ(Σ)=600/800=0,75 και ότι Ρ(Κ)=60/800=0,45 (i) Ζητείται η πιθανότητα Ρ(Σ Κ)
Αφού όλοι οι πελάτες του τμήματος δανείων έχουν πάρει δάνειο θα είναι P( Σ Κ) = 1 Γνωρίζουμε ότι P ( Σ Κ) = Ρ( Σ) + Ρ( Κ) Ρ( Σ Κ) και επομένως Ρ( Σ Κ) = Ρ( Σ) + Ρ( Κ) P( Σ Κ) Ρ( Σ Κ) = 0,75 + 0,45 1 = 0,0 (ii) Ζητείται η πιθανότητα P( Κ Σ) 0,0 P ( Κ Σ) = = = 0,667 P( Σ) 0,75 (iii) Στο προηγούμενο ερώτημα βρήκαμε την πιθανότητα ένας πελάτης να πήρε καταναλωτικό δάνειο αν ξέρουμε ότι πήρε στεγαστικό δάνειο ίση με 0,667. Η πιθανότητα ένας πελάτης που πήρε στεγαστικό δάνειο να μην πήρε καταναλωτικό θα είναι 1-0,667=0,7 Δηλαδή ο αριθμός των πελατών που δεν πήραν καταναλωτικό ενώ πήραν στεγαστικό δάνειο, θα είναι 600*0,7=440 πελάτες. Επομένως η τράπεζα πρέπει να στείλει 440 διαφημιστικές επιστολές. Θέμα ο ) Κάποιος ενδιαφέρεται να αγοράσει ομόλογα από τα 4 ομόλογα που τον προτείνουν. Από αυτά θα παρουσιάσουν κέρδη στα επόμενα χρόνια μόνο δύο, γεγονός που δεν είναι γνωστό στον αγοραστή. Θεωρούμε ότι αγοράζει τα δύο ομόλογα από τα τέσσερα τυχαία. Ποιος είναι ο διγματοχώρος, και ποια πιθανότητα των εξής ενδεχομένων, Α τουλάχιστον μία φορά επιλέγεται ένα κερδοφόρο ομόλογο, Β τουλάχιστον μία φορά επιλέγεται / / ένα μη κερδοφόρο ομόλογο, A, A B / όπου A είναι το συμπληρωματικό του Α. Λύση:
4 4! = = *4 = 1 = 6 δυνατός συνδυασμός!*!! 6 Έστω τα ομόλογα είναι 1,,,4 τότε η πιθανές επιλογές είναι { (1,), (1,), (1,4), (,), (,4), (,4) } = Ω ( διματοχώρος ) Έστω τα κερδοφόρα ομόλογα είναι το 1, τότε η ευνοϊκές περιπτώσεις ( Α) είναι : (1,) (1,) (1,4) (,) (,4) Άρα Ρ (Α) =5/6 =0,8 Τα μη κερδοφόρα είναι, 4 (1,) (1,4) (,) (,4) (,4) Ρ (Β) = 5/6 =0,8 / / Ρ ( A ) = 1/6 =0,166 Ρ ( A B) = 1/6 = 0,166 ΘΕΜΑ 4 ο Μία αεροπορική εταιρεία πρέπει να δρομολογήσει μία έκτακτη πτήση. Το πλήρωμα της καμπίνας πρέπει να αποτελείται από 6 άτομα και ο υπεύθυνος για τη σύνθεση των πληρωμάτων έχει στη διάθεσή του τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή 9 άνδρες και 5 γυναίκες. Με βάση τα στοιχεία αυτά: (i) Να υπολογιστεί με πόσους τρόπους μπορεί να επιλέξει το πλήρωμα της καμπίνας. (ii) Αν επιλέξει τυχαία 6 άτομα να υπολογιστεί η πιθανότητα το πλήρωμα να περιλαμβάνει τουλάχιστον τρεις άνδρες. (iii) Αν ο αριθμός των ανδρών και των γυναικών στο πλήρωμα πρέπει να είναι ΛΥΣΗ ίσος και επιπλέον θα πρέπει να υπάρχουν στο πλήρωμα ταυτόχρονα ένας συγκεκριμένος άνδρας και μία συγκεκριμένη γυναίκα να βρεθεί με πόσους τρόπους μπορεί να επιλέξει το πλήρωμα. (i)
Ο συνολικός αριθμός των ατόμων από τα οποία η εταιρεία μπορεί να επιλέξει το πλήρωμα καμπίνας είναι 9+5 =14. Από αυτά πρέπει να επιλέξει 6. Άρα οι δυνατοί τρόποι επιλογής είναι: 14 14! 9*10*11*1*1*14 = = = 00. 6 6!*8! 1***4*5*6 (ii) Η ζητούμενη πιθανότητα είναι P(το πλήρωμα περιλαμβάνει τουλάχιστον τρεις άνδρες)= 9 5 9 5 9 5 9 5 * * * * 4 5 1 6 0 840 + 160 + 60 + 84 + + + = = 0.97 14 14 14 14 00 6 6 6 6 (iii) Εφόσον ένας συγκεκριμένος άνδρας και μία συγκεκριμένη γυναίκα θα πρέπει να βρίσκονται ταυτόχρονα στο αεροπλάνο η εταιρεία θα επιλέξει τους υπόλοιπους άνδρες του πληρώματος από τους 8 εναπομείναντες άνδρες και τις γυναίκες από τις 4. Έτσι οι δυνατοί τρόποι συμπλήρωσης του πληρώματος είναι 8 4 * = 8*6 = 168 Θέμα 5 Τα νοικοκυριά μιας πόλης κατηγοριοποιούνται συμφωνά με τον επόμενα πίνακα Τηλεφέαση Υψηλό εισόδημα (Β 1 ) Μεσαίο εισόδημα (Β ) Χαμηλό εισόδημα (Β ) Κανονική ( Α 1 ) 0,04 0,1 0,04 Μερική (Α ) 0,10 0,11 0,06 Ποτέ (Α ) 0,1 0,17 0, Όπου P ( A B ) 0. 04, P( A B ) 0. 17 1 1 = = κτλ.
1) Να υπολογισθούν πιθανότητες Ρ (Α 1 ), Ρ (Α ), Ρ (Α ) ) Να υπολογισθούν οι Ρ P ( B A 1 1 ), P ( B ) A, P( B A ) ) Είναι η τηλεθέαση ανεξάρτητη εισοδήματος ; Λύση προβλήματος : Ai 1) PA ( i ) είναι ( ) Α 1 = 0,1, Α = 0,7, Α = 0,5 & αντίστοιχα j ) είναι ( Bj ) B 1 = 0, 7, B = 0, 41, B = 0, από εδώ και πέρα λύνουμε το πρόβλημα : P A = P A B + P A B + P A B 0. ( 1 ) ( 1 1 ) ( 1 ) ( ) = 1 ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = P A P A B P A B P A B 1 0.7 P A P A B P A B P A B 1 0,5 PA ( B) 0,04 ( ) = = = 0,19 ( ) 0,1 A) 0,17 A) = = = 0, PA ( ) 0,5 A) 0, A) = = = 0,4 PA ( ) 0,5 1 1 ) PB1 A1 PA1 ) Θα πρέπει PA ( B) = PA ( )* ) για ανεξαρτησία στον i=1 & j=1 i i i j τότε έχω PA ( 1 B ) 1) = PA ( 1)* 1 & 0,04=0,1* 0,7 & 0,04=0,0567 Άτοπα Άρα η τηλεθέαση δεν είναι ανεξάρτητη του εισοδήματος Θέμα 6 ο Ο επόμενος πίνακας αναφέρεται σε 500 εργαζομένους ενός εργοστασίου, και αναφέρεται στις απόψεις αυτών σύμφωνα με το φύλο τους, αν προτιμούν αύξηση του μισθού τους ή την ικανοποίηση άλλων ευεργετημάτων (π.χ. περισσότερες άδειες,καλυτέρευση συνθηκών εργασίας κ.τ.λ.) Να υπολογισθεί η πιθανότητα όπως ένας εργαζόμενος επιλεγόμενα τυχαία να είναι α) να είναι γυναικά και συμφωνά με την χορήγηση ευεργετημάτων β) να είναι ουδέτερος γ) Σύμφωνα με την αύξηση του μισθού, όταν δίνεται ότι είναι γυναίκα δ) Να είναι άντρας ή να συμφωνεί με την αύξηση του μισθού. ε) Είναι οι γνώμες ανεξάρτητες φύλου.
Αύξηση Μισθού Ουδέτεροι Χορήγηση Ευεργετημάτων Β1 Β Β Άνδρας Α1 900 00 400 1500 Γυναίκα Α 00 100 600 1000 Σύνολα 100 00 1000 500 Απάντηση: 600 Α) PA ( B) = = 0, 4 500 00 Β) ) = = 0,1 500 00 1 A) Γ) 500 A) = = = 0, PA ( 1000 ) 500 1500 100 900 ( ) = ( ) + ( ) ( ) = + = 0,7 500 500 500 Δ) PA1 B1 PA1 PB1 PA1 B1 900 1500 100 Ε) PA ( 1 B1) = PA ( 1)* 1) = * = 0, 6 Άρα δεν είναι 500 500 500 ανεξάρτητα Θέμα 7 ο Οι 00 φοιτητές το μαθήματος στατιστικής ταξινομήθηκαν ως εξής : Χώρο που θέλουν να Φύλλο εργασθούν Άνδρας Γυναίκα Δημόσιο τομέα 4 9 Ιδιωτικό τομέα 78 87 Επιλέγεται ένας φοιτητής.ποια είναι πιθανότητα όπως : α) Επιλεγεί ένας άντρας β) Το άτομο που θέλει να εργασθεί στον ιδιωτικό τομέα δοθέντος ότι είναι γυναίκα γ) Το άτομο να είναι άντρας δοθέντος ότι επιθυμεί να εργαστεί στο δημόσιο τομέα δ) Είναι οι προτιμήσεις εργασίας ανεξάρτητου φύλλο Λύση : Φ j j=1, & Φ 1 = Α Φ = Γ Π i Α Γ
i = 1, Π 1 Δ 4 9 15 Π Ι 78 87 165 10 180 00 4 78 10 i PA ( ) = PA ( Δ ) = + = = 0,4 ή 40 % 00 00 00 87 4 Ι Ρ( Ι Γ) 00 87 Α Ρ( Α Δ) 00 4 ip = = = = 0, 48 i P 0,1 ( ) 180 = = = = Γ Ρ Γ 180 Δ Ρ( Δ) 15 15 00 00 Για να είναι ανεξάρτητα θα πρέπει να ισχύει Ρ( Φ j Π i) = P( Φ j) + P( Π i ) Έστω ότι j=1 & i=1 έχω ΡΦ ( 1 Π 1) = P( Φ1)* P( Π 1 ) το οποίο είναι ισοδύναμο με : 4 15 10 P( Δ Α ) =Ρ( Δ)* Ρ( Α) * 00 00 00 Άρα δεν είναι ανεξάρτητα