EDMOND LULJA NERITAN BABAMUSTA LIBËR PËR MËSUESIN MATEMATIKA 10

EDMOND LULJA NERITAN BABAMUSTA LIBËR PËR MËSUESIN MATEMATIKA 10

Të gjitha të drejtat janë të rezervuara Pegi 2012 Të gjitha të drejtat lidhur me këtë botim janë ekskluzivisht të zotëruara nga shtëpia botuese Pegi sh.p.k. Ndalohet çdo riprodhim, fotokopjim, përshtatje, shfrytëzim ose çdo formë tjetër qarkullimi tregtar pjesërisht ose tërësisht pa miratimin paraprak nga botuesi. Shtëpia botuese: Tel: 042 374 947 cel: 069 40 075 02 botimepegi@botimepegi.al Sektori i shpërndarjes: Tel/Fax: 048 810 177 Cel: 069 20 267 73 Shtypshkronja: Tel: 048 810 179 Cel: 069 40 075 01 shtypshkronjapegi@yahoo.com

MATEMATIKA 10 3 PËRMBAJTJA I. PROGRAMI MËSIMOR I MATEMATIKËS PËR KLASËN X 5 II. MBI PLANIFIKIMIN VJETOR LËNDOR NGA MËSUESI 9 2.1 Përshkrimi i niveleve të arritjeve sipas komponentëve 12 2.2 Tre nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tre kategorive kryesore (arsyetim matematik, zgjidhja problemore, komunikimi matematik) 12 2.3 Ndarja e krerëve në njësi mësimore. 14 2.4 Objektivat sipas krerëve të tekstit (në tre nivele) 18 III. UDHËZIME TË PËRGJITHSHME METODOLOGJIKE 32 1. Matematika në jetën e përditshme 32 2. Matematika si lëndë shkollore 32 3. Kontributi i lëndës së matematikës në formimin tërësor dhe zhvillimin e personalitetit 33 4. Synimi dhe objektivat e përgjithshme të lëndës së matematikës në gjimnaz 34 5. Ndryshimet në konceptim, strukturë dhe përmbajtje 35 6. Zhvillimi i aftësive bazë 36 7. Lidhja e matematikës me lëndët e tjera 40 8. Parimet e përgjithshme të mësimdhënies së matematikës 40 9. Dy nga komponentët e mësimit të matematikës 48 10. Metodat e mësimdhënies 52

4 LIBËR PËR MËSUESIN 11. Planifikimi i mësimit 55 12. Mbi organizimin e punës në klasë 60 13. Vlerësimi i nxënësve 62 14. Aftësitë matematike të nxënësve dhe zhvillimi i tyre 75 15. Sistemi i punës i mësuesit të matematikës 80 16. Puna mbi projektet kurrikulare 83 IV. UDHËZIME PËR ZHVILLIMIN E ORËVE TË MËSIMIT 88 V. HORIZONTI I MËSUESIT 144 5.1. Mbi trajtimin e linjës së përmbajtjes Ekuacionet në gjimnaz 144 5.2. Aspekte teorike të trajtimit të ekuacioneve me një ndryshore në gjimnaz 146 5.3. Aspekte metodike të trajtimit të ekuacioneve me një ndryshore në gjimnaz 149 5.4. Mbi tendencat bashkëkohore në metodikën e mësimdhënies së matematikës 154

MATEMATIKA 10 5 LIBRI I MËSUESIN MATEMATIKA 10 I. Programi mësimor i matematikës për klasën X Synimi Lënda e matematikës në gjimnaz synon: Të japë ndihmesë në zhvillimin vetjak të nxënësit; ta aftësojë atë për të përdorur lehtësisht dhe në mënyrë organike, në fushat e tjera të të nxënit, njohuritë dhe shprehitë matematike, metodat matematike, arsyetimin matematik; ta pajisë nxënësin me njohuri dhe shprehi matematike të nevojshme për jetën dhe për arsimim të mëtejshëm; të kujdeset për të plotësuar nevojat dhe shprehitë e individit në përputhje me kërkesat e shoqërisë. Përshkrimi i linjave e nënlinjave Në klasën e 10-të lënda e matematikës të kurrikulit bërthamë zhvillohet me 3 orë në javë. Gjithsej: 36 javë x 3orë/javë = 108 orë vjetore Linja 1: Numri dhe veprimet me numra Përshkrimi i linjës. Aftësia për të zgjedhur numrat dhe veprimet e përshtatshme për një situatë të dhënë, për të parashikuar, për të gjetur dhe për të gjykuar rezultatet e veprimeve janë shprehi të nevojshme të kohëve moderne. Në klasën e 10-të linja në fjalë përfshin njohuri për marrëdhëniet ndërmjet bashkësive dhe veprimet me to duke përdorur simbolet matematike; logaritmin (natyror dhe dhjetor); parashikimin dhe kontrollin e rezultateve të njehsimeve. Orë të sugjeruara: 12 Linja 2: Matja Përshkrimi i linjës. Matjet e drejtpërdrejta ose jo të drejtpërdrejta na ndihmojnë të përshkruajmë botën rreth nesh duke përdorur numra. Linja Matjet, në klasën e 10-të, përqëndrohet kryesisht në matjet jo të drejtpërdrejta. Këtu përfshihen njohuri për trigonometrinë e trekëndëshit për të zgjidhur e interpretuar trekëndëshin e çfarëdoshëm dhe gjetjen e syprinave të figurave plane; përafrimi në matje; veprimet me vektorët në plan; largesa ndërmjet dy pikave. Orë të sugjeruara: 9

6 LIBËR PËR MËSUESIN Linja 3: Algjebra Përshkrimi i linjës. Algjebra është një gjuhë simbolike që shpreh marrëdhëniet matematikore. Nxënësit duhet të kuptojnë sesi madhësitë lidhen me njëra-tjetrën dhe sesi algjebra i analizon dhe i shpreh në mënyrë sintetike këto marrëdhënie. Në klasën e 10-të linja përfshin njohuri për rregullat bazë të shumëzimit, pjesëtimit dhe faktorizimit të polinomeve; interpretimin dhe zgjidhjen e ekuacioneve dhe inekuacioneve të fuqisë së parë dhe të dytë me një ndryshore si dhe sistemet e tyre. Kjo linjë, gjithashtu trajton zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve me dy ndryshore. Orë të sugjeruara: 23 Linja 4: Funksioni Përshkrimi i linjës. Funksioni është një nga konceptet më themelore dhe njësuese të matematikës moderne. Në shkollën e mesme përshkrimi i relacioneve bëhet duke përdorur gjuhën formale të algjebrës. Në klasën e 10-të linja studion relacionin; përshkrimin dhe interpretimin e funksioneve të ndryshëm dhe ndërtimin e grafikut të tyre. Në këtë linjë trajtohen edhe zbatime të formulave të termit dhe shumës në progresionin aritmetik dhe gjeometrik si dhe funksionet eksponencial dhe logaritmik. Orë të sugjeruara: 21 Linja 5: Gjeometria Përshkrimi i linjës. Nëpërmjet njohurive nga gjeometria në plan, shndërrimeve gjeometrike dhe gjeometrisë koordinative zgjerohet përfytyrimi i hapësirës dhe sigurohet lidhja e algjebrës me gjeometrinë. Në klasën e 10-të linja përfshin njohuri për interpretimin dhe zbatimin e rasteve të kongruencës, ngjashmërisë së trekëndëshave; izometrinë; ekuacionin e vijës në plan (drejtëza, rrethi) si dhe disa teorema e disa formula trigonometrike. Orë të sugjeruara: 29 Linja 6: Statistikë, probabilitet dhe matematikë diskrete Përshkrimi i linjës. Në botën e sotme të mbushur me informacion, nxënësi duhet të jetë në gjëndje të lexojë, të kuptojë dhe të interpretojë informacionin në mënyrë që të marrë vendimet e duhura. Në klasën e 10-të në këtë linjë përfshihen: popullimi, individi, ndryshorja (tipari); tipari diskret dhe i vazhdueshëm; paraqitja e të dhënave me tabela dhe grafikë; karakteristikat e shpërndarjes; kuptimi i zgjedhjes së rastit në statistikë; ngjarje të papajtueshme; probabiliteti i bashkimit të ngjarjeve si dhe disa nga ligjet e logjikës. Orë të sugjeruara: 14

MATEMATIKA 10 7 Linja 7: Proceset matematike Përshkrimi i linjës. Kjo linjë është tërësisht e integruar në linjat e mësipërme Orë të sugjeruara: të integruara në linjat e tjera Kërkesa për zbatimin e programit Programi lëndor është vetëm një pjesë e tërësisë së dokumenteve zyrtare, të cilat janë hartuar për t u zbatuar në lëndën e matematikës. Dokumentet e tjera kryesore janë korniza kurrikulare e gjimnazit dhe standardet e fushës së matematikës. Hartimi i programit është mbështetur si te korniza kurrikulare, ashtu edhe te standardet e fushës. Për të siguruar përdorimin sa më të mirë të programit, është e nevojshme njohja me dokumentet e lartpërmendura. Te korniza kurrikulare vëmendje e veçantë i duhet kushtuar: - Synimeve të përgjithshme të kurrikulës së gjimnazit, - Synimeve të linjave ndërkurrikulare, - Vlerësimit të nxënësit me notë, - Parimeve të mësimdhënies e të mësimnxënies. Në mënyrë që tërësia e dokumenteve zyrtare (korniza kurrikulare, standardet e fushës së të nxënit dhe programi lëndor) të zbatohen më së miri në dobi të nxënësve, përdoruesit e tyre, në parim, duhet të njohin mirë programet lëndore të lëndës së matematikës për klasën paraardhëse dhe klasat pasardhëse. Gjithashtu, përdoruesve të këtyre dokumenteve u lind nevoja të njihen edhe me standardet e të gjitha fushave të tjera të të nxënit dhe të gjitha programet lëndore të të njëjtit vit. a) Objektivat e programit Programi lëndor është strukturuar në linja që vijnë njëra pas tjetrës dhe për secilën prej tyre janë hartuar një sërë objektivash. Por kjo nuk do të thotë se lënda duhet të zhvillohet në këtë renditje gjatë vitit shkollor. Në shumicën e rasteve linjat janë ndarë në nënlinja. Për secilën prej 6 linjave të para janë hartuar objektiva, të cilët nuk synojnë të përshkruajnë vetëm përmbajtjen, por edhe shprehi e qëndrime të cilat janë po aq të domosdoshme sa edhe përmbajtja. Linja 7, në ndryshim nga linjat e mëparshme që kanë të bëjnë kryesisht me përmbajtje konkrete, përshkruan vetëm proceset matematike, të cilat janë pjesë thelbësore e mësimdhënies dhe mësimnxënies së matematikës. Linjat dhe nënlinjat janë vendosur në kolonën e majtë dhe objektivat përkatës në kolonën e djathtë. Përdoruesi i programit vendos vetë për pasqyrimin e objektivave në tema, kapituj, si dhe për renditjen e tyre. Pavarësisht se objektivat janë hartuar për çdo linjë, në zbatim lënda duhet parë si një e tërë me ndërthurje të linjave me njëra-tjetrën. Objektivat e programit janë për të gjithë nxënësit. Kjo do të thotë se të gjithë nxënësve duhet t u jepet mundësia që të nxënë çka përshkruhet tek objektivat.

8 LIBËR PËR MËSUESIN Një objektiv përmbushet në nivele të ndryshme nga nxënës të ndryshëm. Mësuesi dhe autorët e materialeve mësimore duhet të mbulojnë të gjitha nivelet e nxënësve. Zbatimi i programit duhet të bëhet duke respektuar parimet e barazisë gjinore, etnike, racore, fetare etj. b) Orët mësimore Programi i matematikës për klasën e 10-të është strukturuar në linja që vijnë njëra pas tjetrës dhe për secilën janë përcaktuar një sasi orësh. Megjithëse shuma e orëve për secilën linjë është sa gjithë sasia e orëve të planifikuara në planin mësimor për të gjithë disiplinën, sasia e orëve mësimore për secilën linjë është rekomanduese. Përdoruesit e programit duhet të respektojnë sasinë e orëve vjetore të lëndës, kurse janë të lirë të ndryshojnë me 10% (shtesë ose pakësim) orët e rekomanduara për secilën linjë. Kjo nënkupton që mësuesi mund të vendosë të përparojë më ngadalë kur vë re se nxënësit e tij hasin vështirësi të veçanta në përmbushjen e objektivave të kapitullit, por mund të ecë më shpejt kur nxënësit e tij demonstrojnë një përvetësim të kënaqshëm. Në programin e lëndës së matematikës afërsisht 70% e tërësisë së orëve mësimore janë për shtjellimin e njohurive të reja lëndore dhe afërsisht 30% e tyre janë për përpunimin e njohurive (gjatë vitit dhe në fund të vitit shkollor). c) Përpunimi i njohurive Përpunimi i njohurive përmban: - Përsëritjen brenda një kapitulli të njohurive të tij bazë (konceptet themelore), - Testimin e njohurive-bazë, - Integrimin e njohurive të reja të një kapitulli me njohuritë e kapitujve paraardhës, - Integrimin e njohurive të reja me njohuritë e lëndëve të tjera (ndonëse këto integrime do të përshkojnë zhvillimin e çdo ore mësimi, gjatë përpunimit i duhet kushtuar kohë e posaçme), - Përsëritjen vjetore (pavarësisht nga ndarja në linja ose në kapituj, lënda në fund të vitit ka nevojë për një këndvështrim tërësor), - Testimin vjetor (nuk është i detyruar). Veçanërisht gjatë përpunimit të njohurive t i kushtohet kohë e posaçme kultivimit: - të aftësive të përgjithshme si: komunikimit, menaxhimit të informacionit, zgjidhjeve problemore, të menduarit kritik dhe krijues; - të aftësive të posaçme lëndore si: komunikimi, arsyetimi logjik, zgjidhja e problemave; - të formimit të qëndrimeve si: qëndrimi etiko-social dhe qëndrimi gjatë punës në grupe të vogla nxënësish. Gjatë orëve të përpunimit të njohurive është me vlerë t u krijohet mundësi nxënësve të punojnë detyra tematike, projekte kurrikulare, të zgjidhin situata problemore nga jeta, nga shkencat e tjera etj. Pjesë e përpunimit të njohurive është edhe rishqyrtimi tërësor vjetor, i cili ka për qëllim të nxjerrë në pah dhe të përforcojë në mënyrë të ndërthurur konceptet e metodat themelore të kësaj lënde.

MATEMATIKA 10 9 II. MBI PLANIFIKIMIN VJETOR LËNDOR NGA MËSUESI Përpara se të planifikojë punën vjetore në lëndën Matematika 10, është e domosdoshme që secili mësues të njohë në thellësi programin përkatës, si dhe programet e klasave paraardhëse (e në mënyrë të veçantë atë të klasës së nëntë). Në këtë planifikim mësuesi duhet të udhëhiqet nga këto parime. Së pari, programet e matematikës duke filluar nga klasa e parë fillore janë tanimë të unifikuara. Ato shtjellohen jo sipas kapitujve, por sipas linjave që janë të njëjta për të gjitha klasat. Nga ana tjetër programet janë të materializuara në tekste alternative. Teksti që ju keni përzgjedhur i autorëve Edmond Lulja dhe Neritan Babamusta është i ndarë në 10 kapituj. Kjo tregon që e njëjta linjë është ndarë në disa kapituj. Madje edhe i njëjti kapitull mund të përmbajë pjesë nga disa linja të ndryshme. Kjo shpërndarje si dhe ndërthurja e tyre është realizuar me synimin e konceptimit tërësor të lëndës duke zbatuar në këtë mënyrë një nga kërkesat themelore të programeve të matematikës. Konkretisht shpërndarja e orëve sipas kapitujve dhe linjave jepet në tabelën e mëposhtme: KREU ORËT SIPAS KREUT LINJA PËRKATËSE ORËT SIPAS LINJAVE 1. Bashkësitë dhe numrat realë. 10 Matja. Numrat dhe veprimet me numra. 2. Elemente të logjikës matematike. 5 Statistikë, probabilitet dhe matematikë diskrete. 3. Shprehjet me ndryshore. 6 Shprehjet shkronjore. 6 4. Plotësime të planimetrisë. 12 Matja. Gjeometria në plan. Shndërrimet dhe koordinatat. 5. Funksioni dhe vargu numerik. 14 Funksioni. 14 6. Ekuacione, inekuacione, sisteme. 14 Ekuacione, inekuacione, sisteme. 14 7. Trigonometri. 8 Matja. Trigonometri. 8. Funksioni eksponencial dhe logaritmik. 11 Numrat dhe veprimet me numra. Funksioni. Ekuacione, inekuacione. sisteme. 9. Metoda e koordinatave 15 Matja Shndërrimet dhe koordinatat 1 9 5 1 7 4 2 6 2 7 2 4 11 10. Statistikë e probabilitet. 8 Statistikë, probabilitet dhe matematikë diskrete 11. Projekte kurrikulare 5 SHUMA E ORËVE SIPAS KRERËVE 108 SHUMA E ORËVE SIPAS LINJAVE 8 108

10 LIBËR PËR MËSUESIN Së dyti, theksimi hap pas hapi i karakterit deduktiv, pa synuar vërtetimin e plotë të të gjitha teoremave apo pohimeve. Gjatë gjithë shtjellimit të lëndës, janë vërtetuar vetëm disa teorema apo pohime, ndërsa disa të tjera pranohen pa vërtetim. Në varësi të nivelit të klasës vetë mësuesi duhet të vendosë se cilat teorema të vërtetojë, e cilat të pranohen pa vërtetim. Por kjo nuk do të thotë në asnjë mënyrë që asnjë teoremë të mos vërtetohet! Së treti, përparësia e kuptimit të koncepteve në raport me aspektet algoritmike. Në këtë kuptim mësuesi nuk duhet të kënaqet (e madje të mos e stimulojë) mbajtjen mend apo përsëritjen e formulave, apo riprodhimin mekanik të vërtetimit të një teoreme, duke e shkëputur atë nga zbatimet e shumta e të larmishme. Ai duhet të ngulë këmbë në përvetësimin e konceptit, fillimisht nëpërmjet të kuptuarit e tij, e më pas nëpërmjet zbatimeve të shumta e të larmishme. Mjaft ushtrime të përfshira në tekst kanë të bëjnë pikërisht me këtë aspekt. Së katërti, lënda e matematikës, për nga vetë specifika e saj ka një avantazh në krahasim me lëndët e tjera. Ky avantazh konsiston në zgjidhjen e ushtrimeve e problemeve, ku nxënësi zbulon në mënyrë të pavarur varësi ndërmjet madhësive të ndryshme të panjohura për të më parë. Në këtë mënyrë ai zhvillon veprimtari krijuese e zbuluese, që pa gabuar mund ta konsiderojmë si një punë shkencore në miniaturë. Matematika ka privilegjin që në mësimdhënie realizohet zgjidhja e problemeve, fillimisht si zbatime (për të kuptuar konceptin) dhe më pas si modele të punës së pavarur. Në mënyrë të veçantë vetë zgjidhja e problemeve duhet të stimulojë debatin dhe pjesëmarrjen e të gjithë nxënësve në mësim. Është e njohur tendenca e mjaft mësuesve që në klasë të zgjidhin sa më shumë ushtrime. Kjo tendencë, në parim nuk ka pse të qortohet, sidomos në rastet kur kërkohet përvetësimi i saktë i një procedure. Por në mjaft raste, përvojat më të mira rekomandojnë që më e rëndësishme nuk është numri i problemeve të zgjidhur, por mënyrat e ndryshme të zgjidhjes së tyre. Parimi i njohur më mirë të zgjidhet një problem në tri mënyra se sa të zgjidhen tri probleme të ndryshëm tashmë e ka fituar të drejtën e qytetarisë në shkolla. Së pesti, teksti i matematikës është një mjet për të realizuar synimet dhe objektivat e programit. Këto objektiva janë për të gjithë nxënësit, por ato realizohen në nivele të ndryshme nga nxënës të ndryshëm. Ky fakt i ngarkon mësuesit që të programojnë objektiva të niveleve të ndryshme dhe njëkohësisht të planifikojnë detyra të niveleve të ndryshme. Teksti ka material të bollshëm në këtë drejtim. Por në tekstin plotësues të ushtrimeve mund të gjenden edhe materiale të tjerë shtesë. Së gjashti, për të lehtësuar planifikimin vjetor të mësuesit, teksti është i ndarë pikërisht në 108 njësi mësimore (aq sa janë edhe orët në dispozicion). Por mësuesi, duke gjykuar nga niveli i arritjeve të nxënësve dhe në mbështetje të Udhëzimit Nr. 35, datë 09.10.2007 të Ministrisë së Arsimit dhe Shkencës për Lirinë e mësuesit për orët mësimore të parashikuara në programin lëndor ka të drejtë ta zhvillojë një kapitull ose linjë lëndore deri në 10% më shumë ose deri 10% më pak orë mësimore, kundrejt numrit të orëve të parashikuara në programin përkatës lëndor, por pa ndryshuar totalin e orëve mësimore që programi për cakton për lëndën, pra 108 orë.

MATEMATIKA 10 11 Së shtati, në tekst janë përfshirë 7 modele testesh. Edhe në këtë drejtim, mësuesi është i lirë të planifikojë apo realizojë vetëm disa prej tyre apo edhe të tjerë. Madje edhe testet e propozuar mund të lehtësohen apo rëndohen në varësi të nivelit të klasës. Testet janë dhënë për vlerësim me pikë, duke realizuar në këtë mënyrë një përqasje me provimet e pjekurisë. Koha e planifikuar për një testim në varësi të mundësive konkrete edhe mund edhe të zgjatet. Së teti, objektivat e linjave i përmban programi. Për të lehtësuar planifikimin vjetor të punës së mësuesit, po japim objektivat sipas krerëve në tri nivele. Kjo ndarje presupozon që niveli më i lartë përfshin nivelin më të ulët. Për sa i përket objektivave të orës së mësimit, ato i harton vetë mësuesi, duke u bazuar në objektivat sipas krerëve. Përpjekja për unifikimin e tyre jo vetëm që nuk ndihmon punën e gjallë në klasë, por përkundrazi e frenon atë, duke stimuluar një sterotipizim të procesit mësimor, risi kjo jo vetëm e gabuar, por e dëmshme. Niveli bazë, merr në konsideratë synimin që ai mundësisht të arrihet nga të gjithë nxënësit. Nxënësit e arrijnë këtë nivel kur janë në gjendje të zbatojnë procedurat rutinë që ndeshen shpesh në orën e mësimit. Këta nxënës përkufizojnë konceptet, rregullat dhe teoremat kryesore; zgjidhin ushtrime të thjeshta, duke imituar modele të ndryshme; riprodhojnë pjesë nga materiali mësimor teorik; përdorin metoda tradicionale arsyetimi dhe të zgjidhjes së problemeve; realizojnë detyra pa synuar zgjerim e thellim të mëtejshëm; komunikojnë e bashkëveprojnë me shokët dhe mësuesin. Niveli mesatar, merr në konsideratë synime tej procedurave rutinë apo imituese. Nxënësit e këtij niveli marrin përsipër zgjidhjen e detyrave më komplekse, duke kombinuar njohuritë që ata disponojnë. Këta nxënës jo vetëm riprodhojnë tërësisht materialin e mësuar, por edhe shqyrtojnë ligjësitë, identifikojnë problemet, duke bërë dallimin ndërmjet njohurive esenciale nga ato të dorës së dytë. Këta nxënës përdorin njohuritë teorike, duke zgjidhur detyra jo vetëm sipas modeleve, por edhe më komplekse. E rëndësishme është që me këta nxënës të synohet që ata të mund të nxjerrin vetë konkluzione. Këta nxënës njëkohësisht demonstrojnë aftësi të komunikimit afektiv dhe të bashkëveprimit. Niveli i lartë, ka për objektiv jo vetëm të kuptuarit apo riprodhimin e materialit mësimor, por përpunimin e tij, zbatimin në mënyrë të pavarur e krijues, në situata të reja, të panjohura më parë për to. Këta nxënës duhet të jenë në gjendje të sintetizojnë njohuritë, shkathtësitë, të përcaktojnë rrugët e mënyrat e veprimit, të parashikojnë pasojat, të vlerësojnë qëndrimet nga këndvështrime të ndryshme. Sikurse e thekson programi i lëndës, zgjidhja e problemeve është pjesë thelbësore e të mësuarit e matematikës dhe ka të bëjë me secilën linjë të përmbajtjes. Synimet e mësuesit të matematikës duhet të jenë që nxënësit e tij të përvetësojnë njohuritë e shkathtësitë matematike, për t i përdorur ato në zgjidhjen e problemeve sipas niveleve.

12 LIBËR PËR MËSUESIN 2.1 Përshkrimi i niveleve të arritjeve sipas komponentëve Komponenti Përshkrimi i komponentit Niveli I-rë i arritjeve Niveli i II-të i arritjeve Niveli i III-të i arritjeve Njohuritë matematike Terminologjia dhe simbolika. Përkufizimet e koncepteve. Faktet matematike (aksioma, teorema, formula, rregulla). Metodat matematike (të zgjidhjes, njehsimit, ndërtimit, vërtetimit). Zotërim i njohurive bazë në shkallën minimale; zotërim i pjesshëm i njohurive, ilustrim me 1-2 shembuj Zotërim solid i njohurive, ilustruar me shembuj të shumtë. Zotërim njohurish të gjëra, të plota, ilustruar me shembuj të larmishëm nga kontekste të ndryshme. Aftësitë matematike Për identifikim, përshkrim, shpjegim, zbatim, analizë, sintezë, vlerësim, formulim hipoteze, vërtetim. Shfaqje e kufizuar e aftësive. Shfaqje aftësish të zhvilluara në situata të njohura. Shfaqje të aftësive të zhvilluara në situata të reja, në mënyrë të pavarur. Zotësitë, shkathtësitë, shprehitë matematike Për të kryer: Njehsime, matje, ndërtime, skicime, zgjidhje, përdorim të burimeve të informacionit, përdorim të teknologjisë, lexim të modeleve numerike e hapësinore, krijim të modeleve numerikë dhe hapësinorë Shfaqje të kufizuara. Shfaqje solide. Shfaqje të avancuara. Qëndrimet dhe vlerat Pjesëmarrje në diskutim, bashkëpunim, kërkim e dhënie ndihme, verifikim, respektim i mendimit të të tjerëve, marrje e përgjegjësive personale, vëmendje, demonstrim vullneti, respektim i rregullave, përmbushje e detyrave. Tentativa për të mbajtur qëndrime të caktuara; zotërim minimal i vlerave. Arritje për të mbajtur qëndrime të caktuara; zotërim i vlerave kryesore. Mbajtje qëndrimesh të pavarura; marrja e përgjegjësive mbi vete; zotërim i tërësisë së vlerave. 2.2 Tre nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tre kategorive kryesore (arsyetim matematik, zgjidhja problemore, komunikimi matematik) Niveli I Nxënësi zgjidh probleme: - me ndihmën e mësuesit - me anën e një numri të kufizuar metodash - me gabime ose me mangësi të shumta

MATEMATIKA 10 13 Nxënësi përdor arsyetime matematike: - me ndihmën e mësuesit - që janë nga më të thjeshtat - me gabime ose mangësi Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: - me ndihmën e mësuesit - me një mënyrë të paqartë dhe të pasaktë - duke përdorur rrallë terminologjinë e përshtatshme matematike. Niveli II Nxënësi zgjidh probleme: - me ndihmë të kufizuar të mësuesit - me anën e një numri jo të madh strategjish bazale - me gabime ose me mangësi të pjesshme Nxënësi përdor arsyetime matematike: - me një ndihmë të kufizuar të mësuesit - të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve - me disa gabime ose mangësi të vogla Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: - në mënyrë të pavarur - me një farë qartësie e saktësie në terminologji - duke përdorur herë pas here simbolikën e përshtatshme matematike. Niveli III Nxënësi zgjidh probleme: - në mënyrë të pavarur - duke zgjedhur strategji e duke krijuar strategji që janë të reja për të - zakonisht me saktësi Nxënësi përdor arsyetime matematike: - në mënyrë të pavarur - të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve madje duke shpjeguar zgjidhjen që jep vetë Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: - në mënyrë të pavarur - qartë dhe saktë - duke përdorur terminologjinë dhe simbolikën e përshtatshme matematike. Niveli bazë: Nxënësi zgjidh probleme të thjeshtë: - Më ndihmën e mësuesit. - Duke aplikuar një numër të kufizuar metodash. - Me gabime e me mangësi.

14 LIBËR PËR MËSUESIN Niveli mesatar: Nxënësi zgjidh probleme: Niveli i lartë: Nxënësi zgjidh probleme: - Me pak ndihmë e udhëzime nga mësuesi. - Duke përdorur një numër të vogël strategjish bazë. - Me pak gabime e mangësi. - Në mënyrë të pavarur e krijuese. - Duke zgjedhur strategjinë më të përshtatshme, por edhe duke e modifikuar këtë strategji. - Në mënyrë të saktë 2.3 Ndarja e krerëve në njësi mësimore. Kolonën e pestë (mjetet mësimore) dhe të gjashtë (materiali burimor) i plotëson vetë mësuesi sipas gjendjes konkrete. NR KREU TEMAT PËR ÇDO ORË MËSIMI Orët Mjetet mësimore Materiali burimor 1. Bashkësitë dhe numrat realë. (10 orë) * Bashkësia dhe ndryshorja. Nënbashkësia. * Prerja e dy bashkësive. * Bashkimi i dy bashkësive. * Prodhimi kartezian i dy bashkësive. * Ushtrime. * Bashkësia Z. Bashkësia N. Matja e segmenteve. * Bashkësia e numrave racionalë. Numri irracional. * Numri real. Bashkësia R. Paraqitja e numrave realë në boshtin numerik. * Nënbashkësi të veçanta të R. Prerjet dhe bashkimi i tyre. * Zbatoni njohuritë tuaja. * Test për kreun 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 Teksti bazë; Teksti i ushtrimeve. 2. Elemente të logjikës matematike. (5 orë) * Pohimi. Mohimi. * Lidhëza logjike dhe. Konjunksioni. * Lidhëza logjike ose. Disjunksioni. * Implikimi logjik. * Teorema. Teorema e anasjellë. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

MATEMATIKA 10 15 3. Shprehjet me ndryshore. (6 orë) 4. Plotësime të planimetrisë. (12 orë) * Shprehjet identike. Monomet dhe polinomet * Disa identitete të rëndësishme. * Faktorizimi i polinomeve. * Ushtrime. * Polinomet me një ndryshore. * Mbetja e pjesëtimit të polinomit me (x-c). Skema e Hornerit. * Zbatoni njohuritë tuaja * Kongruenca e trekëndëshave. * Kongruenca e trekëndëshave kënddrejtë. * Ushtrime. * Ngjashmëria e trekëndëshave. * Ushtrime. * Zbatime të ngjashmërisë së trekëndëshave. Zbatoni njohuritë tuaja * Shumëkëndëshat e rregullt. * Vetitë e shumëkëndëshave të rregullt. * Ndërtimi i shumëkëndëshave të rregullt. * Simetria e shumëkëndëshave të rregullt. * Ushtrime * Test për kreun 4 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 5. Funksioni dhe vargu numerik (14 orë) * Relacioni. * Funksioni. * Grafiku i funksionit numerik. * Bashkësia e përcaktimit e funksionit numerik. * Funksioni rritës (zbritës). Shpejtësia mesatare e ndryshimit të funksionit. * Funksioni y = x. * Ushtrime. * Vargu numerik. * Progresioni aritmetik. Formula për kufizën e përgjithshme të tij. * Shuma e n kufizave të fillimit të progresionit aritmetik. * Progresioni gjeometrik. Formula për kufizën e çfarëdoshme të tij. * Shuma e n kufizave të fillimit të progresionit gjeometrik. * Ushtrime. * Test për kreun 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14

16 LIBËR PËR MËSUESIN 6. Ekuacione, inekuacione, sisteme. (14 orë) 7. Trigonometri. (8 orë) * Njëvlefshmëria e ekuacioneve me një ndryshore. Ekuacioni ax=b; Ekuacioni ax 2 +bx+c=0. * Ekuacione që sillen në ekuacione të fuqisë së dytë me futjen e një ndryshoreje ndihmëse. * Ekuacione të trajtës f(x) g(x)=0. * Shndërrime jo të njëvlershme të ekuacioneve me një ndryshore. * Ekuacione irracionalë të thjeshta. * Ushtrime. Zbatoni njohuritë tuaja. * Zbërthimi në faktorë i trinomit të fuqisë së dytë me një ndryshore. * Studimi i shenjës së trinomit të fuqisë së dytë. * Inekuacione të fuqisë së dytë me një ndryshore. * Zgjidhja grafike e ekuacioneve dhe inekuacioneve të fuqisë së dytë me një ndryshore. * Inekuacione të trajtës f(x) g(x)³0. * Sisteme inekuacionesh me një ndryshore. * Sisteme ekuacionesh me dy ndryshore. * Ushtrime. * Test për kreun 6. * Funksionet trigonometrike të këndit të ngushtë. * Funksionet trigonometrike të këndit të gjerë. * Varësia ndërmjet funksioneve trigonometrike të këndeve shtuese. * Teorema e kosinusit. * Teorema e sinusit. * Zbatime. Zbatoni njohuritë tuaja * Sipërfaqja e trekëndëshit. * Ushtrime. * Test për kreun 7 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8

MATEMATIKA 10 17 8. Funksioni eksponencial dhe funksioni logaritmik. (11 orë) 9. Metoda e koordinatave. (15 orë) 10. Statistikë dhe probabilitet. (8 orë) * Funksioni eksponencial y=a x ; x Q. * Funksioni eksponencial y=a x ; x R. Grafiku i tij. * Vetitë e funksionit eksponencial. Funksioni y=e x. * Ushtrime. * Kuptimi i logaritmit. * Veti të logaritmit. * Funksioni logaritmik. Grafiku i tij. * Vetitë e funksionit logaritmik y=log a x (0<a<1) * Ekuacione eksponenciale; ekuacione logaritmike. * Ushtrime. * Test për kreun 8 * Mbledhja dhe zbritja e vektorëve. * Shumëzimi i vektorit me një numër. * Koordinatat e vektorit në plan. * Mesi i segmentit. * Prodhimi numerik i dy vektorëve. * Vetitë e prodhimit numerik. * Ushtrime. * Shprehja e prodhimit numerik në koordinata. * Ushtrime. * Ekuacioni i vijës në plan. * Ekuacioni i drejtëzës. * Ekuacioni i thjeshtë dhe i përgjithshëm i drejtëzës. * Ekuacioni i rrethit. * Ushtrime. * Test për kreun 9. * Mesataret. * Ushtrime. * Shmangiet nga mesatarja. * Ushtrime. * Probabiliteti. * Numri i elementeve të bashkësisë A B. * Probabiliteti i bashkimit të ngjarjeve. Ngjarjet e papajtueshme. * Ushtrime. * Ushtrime. Zbatoni njohuritë tuaja 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.14 9.15 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8

18 LIBËR PËR MËSUESIN 2.4 Objektivat sipas krerëve të tekstit (në tre nivele) Kreu I: Bashkësitë dhe numrat realë Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të përdorin saktë simbolikën për përkatësinë, përfshirjen, prerjen, bashkimin, prodhimin kartezian të bashkësive. Të shkruajnë e të lexojnë saktë mënyrën e dhënies së bashkësive, me anë të ndryshores, p.sh. { x R / > 4} A = x. Të dallojnë nëse janë të barabarta dy bashkësi, të dhëna me emërtim apo me përshkrim, në raste të thjeshta. Të shkruajnë gjithë nënbashkësitë e një bashkësie të fundme. Të gjejnë prerjen, bashkimin, prodhimin kartezian të dy bashkësive të fundme, të dhëna me emërtim. Të dallojnë se në A B hyjnë vetëm ata elementë, që gëzojnë njëherësh vetitë karakteristike të A; B. Të dallojnë se në A B hyjnë vetëm ata elementë, që gëzojnë të paktën njërën nga vetitë karakteristike të A; B. Të japin kuptimin e numrit racional dhe atë të numrit irracional. Të kthejnë numrat dhjetorë periodikë në trajtën n m. Të paraqitin numrat racionalë me pika në boshtin numerik. Të shkruajnë relacionet e përfshirjes së bashkësive numerike (N Z Q R), duke i ilustruar me diagrama të Venit. Të përdorin faktin që R=I Q, në situata të thjeshta matematikore; ta ilustrojnë këtë fakt me diagram të Venit. Të përdorin saktë simbolet, për të gjitha llojet e intervaleve numerike. T i paraqesin intervalet numerike në boshtin numerik. Të gjejnë prerjen dhe bashkimin e dy intervaleve numerikë, duke i paraqitur në të njëjtin bosht numerik. Të përcaktojnë gabimin absolut në matjet e drejtpërdrejta. Të gjejnë gabimin relativ në matjet e drejtpërdrejta, si raport D x. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të dallojnë barazimin e dy bashkësive, dhënë me anë të ndryshores. Të dallojnë nëse A është nënbashkësi e B, kur të dyja jepen me veti karakteristike. Të formulojnë dhe të vërtetojnë vetitë e prerjes dhe të bashkimit të dy bashkësive. Të riprodhojnë vërtetimet e disa teoremave të thjeshta, lidhur me veprimet me bashkësitë [p.sh. (A B dhe B C) A C)]. Të paraqesin intervalet numerike, si edhe prerjet e bashkimet e tyre, me anë të ndryshores. x m

MATEMATIKA 10 19 Të riprodhojnë vërtetimin e teoremës për 2. Të përdorin kuptimin e prerjes e të bashkimit të dy bashkësive, në situata të thjeshta reale. Të përdorin formulat për gabimin relativ të një madhësie, që është shumë (ndryshore), herës apo prodhim dy madhësish të tjera. Të përdorin saktë lidhëzat dhe ; ose. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të paraqesin në planin koordinativ prodhimin kartezian AxB, ku A; B janë intervale numerike. Të vërtetojnë teorema, lidhur me veprimet me bashkësitë (p.sh. A (A B)=A etj.). Të vërtetojnë teorema lidhur me përfshirjen e bashkësive. Të njehsojnë gabimin relativ dhe të gjejnë kufijtë, për vlerën e saktë në matjet e tërthorta të madhësisë. Kreu II: Elementë të logjikës matematike Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të dallojnë fjalitë që janë pohime dhe fjalitë me ndryshore. Të formulojnë mohimin e një fjalie me ndryshore. Të gjejnë bashkësinë e vërtetësisë të një fjalie me ndryshore të thjeshtë; të gjejnë bashkësinë e vërtetësisë së mohimit të saj. Të japin përkufizimin e konjunksionit të dy pohimeve; ta përdorin atë në raste të drejtpërdrejta. Të japin përkufizimin e disjunksionit të dy polinomeve; ta përdorin në raste të drejtpërdrejta. Të përdorin saktë, në raste të thjeshta shënimin p q. Të shprehin me fjalë, në trajta të ndryshme, këtë shënim. Për teoremat e dhëna në trajtën standard x E, p(x) q(x), të tregojnë mjedisin, kushtin, përfundimin. Të formulojnë në këtë trajtë, teoremat kryesore të njohura për ta (p.sh., vetitë e trekëndëshit dybrinjënjëshëm, të paralelogramit etj.). Të formulojnë fjalitë e anasjella të teoremave kryesore të njohura. Të përshkruajnë kuptimin e kundërshembullit. Të përdorin, në raste të veçanta, teoremat kryesore për të argumentuar zgjidhjen e problemave të thjeshta, me njehsim. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje; Të përdorin saktë lidhëzat dhe, ose, sjell. Të përdorin saktë simbolikën për fjalitë me ndryshore. Të përshkruajnë kuptimin e konjunksionit të dy fjalive me ndryshore; të tregojnë që bashkësia e vërtetësisë së tij është P Q. Të përshkruajnë kuptimin e disjunksionit të dy fjalive me ndryshore; të tregojnë që bashkësia e vërtetësisë së tij është P Q. Të ndajnë në pjesët përbërëse një fjali, që është konjunksion apo disjunksion dy fjalish më të thjeshta.

20 LIBËR PËR MËSUESIN Të përdorin sistemin si konjunksion fjalish me ndryshore. Të sqarojnë kuptimin e shënimeve p(x) q(x); p(x) q(x), dhe t i përdorin në raste të thjeshta. Të japin përkufizime të koncepteve të thjeshta gjeometrikë, në trajta të njëvlershme. Të shqyrtojnë vërtetësinë e fjalive të anasjella të teoremave kryesore të njohura. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të gjejnë bashkësinë e vërtetësisë së fjalive të zakonshme me ndryshore. = /. Të tregojnë që nga implikimi p(x) q(x), rrjedh P Q dhe anasjellas. Të tregojnë që nga njëvlershmëria p(x) q(x), rrjedh P=Q dhe anasjellas. Të paraqesin çdo teoremë të dhënë në trajtën standard x E, p(x) q(x). Të formulojnë në trajta të njëvlershme teoremat kryesore të njohura, duke dhënë dhe vërtetimet përkatëse. Të tregojnë që bashkësia e vërtetësisë e mohimit është P { x E x P} Kreu III: Shprehjet me ndryshore Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të japin kuptimin e shprehjeve identike në E. Të dallojnë lloje të ndryshme shprehjesh me ndryshore, duke emërtuar monomet, polinomet, thyesat racionale. Të gjejnë vlerën e një shprehje me një apo dy ndryshore, për vlera të thjeshta të ndryshores. Të gjejnë bashkësinë e vlerave të palejuara të x, në shprehje të trajtës ; ;, ku P(x) është polinom, kurse (ax+b) është binom i fuqisë së parë. Të sjellin në trajtë të rregullt një polinom me 1-2 ndryshore. Të shumëzojnë një monom me një polinom. Të shumëzojnë binom me trinom me 1-2 ndryshore. Të shkruajnë e të përdorin, në raste të thjeshta, identitetet për: (a ± b) 2 ; (a-b)(a+b); (a ± b) 3. Të bëjnë faktorizime të thjeshta me: a) nxjerrje në dukje të faktorit të përbashkët; b) përdorim të identiteteve të rëndësishme. Të përdorin skemën e Hornerit, për pjesëtimin e një polinomi me një ndryshore (deri tek fuqia e katërt) me x-c. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të vërtetojnë e të përdorin, në raste të thjeshta, formulën për (a ± b ± c) 2. Të shumëzojnë dy polinome çfarëdo me 1-2 ndryshore. Të bëjnë faktorizime me grupim.

MATEMATIKA 10 21 Të bëjnë faktorizime me kombinim të mënyrave të ndryshme. Të gjejnë vlerat e palejuara të ndryshores, në shprehje të tipave: f ( x) ± g( x), ku f(x), g(x) janë binome të fuqisë së parë. Të shkruajnë trajtën e përgjithshme të një polinomi të fuqisë sa tretë. Të përdorin metodën e koeficientëve të pacaktuar, për pjesëtimin e një polinomi (deri tek fuqia e tretë) me (x-c). Të vërtetojnë që mbetja e pjesëtimit të një polinomi me (x-c) është P(c). Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të përdorin formulat për a 3 +b 3 ; a 3 -b 3 për të bërë faktorizime të shprehjeve. Të vërtetojnë identitete me 1-2 ndryshore, duke përdorur formulat e rëndësishme. Të përdorin metodën e koeficientëve të pacaktuar, për pjesëtimin e një polinomi të fuqisë së katërt me (x-c), apo x 2 +bx+c. Të gjejnë me tjetër mënyrë, mbetjen e pjesëtimit të një polinomi me (x-a)(x-b). Kreu IV: Plotësime të planimetrisë Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të listojnë vetitë kryesore të figurave të thjeshta. Të përshkruajnë figurat e thjeshta, me anë të vetive specifike të tyre. Të përshkruajnë kongruencën e figurave. Të paraqesin shkurt tri rastet e kongruencës së trekëndëshave. T i përdorin ato në problema shumë të thjeshta me njehsim. Të formulojnë rastet e ngjashmërisë së trekëndëshave kënddrejtë dhe t i zbatojnë në raste të drejtpërdrejta. Të japin përkufizimin e trekëndëshave të ngjashëm. Të zbatojnë, në raste të thjeshta, vetitë mbi raportin e perimetrave dhe sipërfaqeve të trekëndëshave të ngjashëm. Të formulojnë tri rastet e ngjashmërisë së trekëndëshave. T i përdorin ato në raste të drejtpërdrejta e shumë të thjeshta. Të japin përkufizimin e shumëkëndëshit të rregullt. Të tregojnë që trekëndëshi barabrinjës dhe katrori janë shumëkëndësha të rregullt. Të përdorin formulën, për masën e këndit të brendshëm të n-këndëshit të rregullt, në raste të thjeshta. Të ndërtojnë, me anë të ndarjes së rrethit në n pjesë të barabarta, n-këndëshin e rregullt (kur n=3; 4; 6). Të përdorin, në raste të thjeshta, formulat që japin brinjët e n-këndëshave të rregullt, të brendashkruar në rrethin me rreze R (n=3; 4; 6). Të dallojnë boshtet e simetrisë dhe qendrat e simetrisë së shumëkëndëshave të rregullt.

22 LIBËR PËR MËSUESIN Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të japin përkufizime të sakta të objekteve kryesore gjeometrike. Të argumentojnë varësitë ndërmjet tyre. Të përdorin saktë simbolet, gjatë formulimit të vetive kryesore gjeometrike. Të vërtetojnë rastet e kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë. Të zbatojnë kongruencën dhe ngjashmërinë e trekëndëshave, për zgjidhjen e problemave të thjeshta, me njehsim e me vërtetim. Të formulojnë e të përdorin, në raste të thjeshta, teoremën e Talesit. Të riprodhojnë vërtetimin e teoremës, mbi ndarjen e rrethit në pjesë të barabarta. Të vërtetojnë teoremat për rrethin e brendashkruar e jashtëshkruar katrorit. Të nxjerrin me vërtetim formulën, për masën e këndit të brendshëm të n-këndëshit të rregullt. Të argumentojnë mënyrën e ndërtimit të trekëndëshit barabrinjës, katrorit, gjashtëkëndëshit të rregullt të brendashkruar në rreth. Të nxjerrin me vërtetim formulat për brinjët e tyre në varësi të R. Të zbatojnë simetrinë boshtore apo simetrinë qendrore të shumëkëndëshit të rregullt (për n=3; 4; 6), në zgjidhjen e problemave të thjeshta. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të përshkruajnë figura në plan, me anë të fjalive, që janë të njëvlershme me vetitë e tyre karakteristike. Të nxjerrin e vërtetojnë veti të reja të trekëndëshave kongruentë apo të ngjashëm. Të zbulojnë veti të reja në figurat e njohura dhe t i vërtetojnë ato me kongruencë e ngjashmëri (p.sh. vetia e përgjysmores së trekëndëshit). Të zbatojnë kongruencën, ngjashmërinë e trekëndëshave dhe teoremën e Talesit në situata të reja, jo standarde, matematikore apo reale. Të vërtetojnë teoremën që shumëkëndëshit të rregullt i brendashkruhet e jashtëshkruhet rrethi. Të zgjidhin problema të kombinuara, për rrathët e brendashkruar e jashtëshkruar n-këndëshit të rregullt (n=3; 4; 6). Kreu V: Funksioni dhe vargu numerik Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të përshkruajnë kuptimin e relacionit. Për relacionet e dhënë me diagram shigjetor, të tregojnë bashkësinë e fillimit, bashkësinë e mbarimit, grafin. Të japin përkufizimin e funksionit. Për funksionet me bashkësi përcaktimi të fundëm, të kalojnë nga një mënyrë dhënie në një tjetër. Të japin kuptimin e grafikut të funksionit numerik. Për një vijë të thjeshtë, dhënë në planin xoy, të tregojnë nëse është apo jo grafik funksioni. Për një funksion të thjeshtë, dhënë me grafik, të gjejnë:

MATEMATIKA 10 23 a) vlerën e x, kur njihet vlera e y dhe anasjellas; b) bashkësinë e përcaktimit; c) bashkësinë e vlerave. Të skicojnë grafikët e funksioneve y=ax+b; y= x k ; y=ax2. Të ndërtojnë praktikisht me tri pika, (njëra është kulmi) grafikun e funksionit y=ax 2 +bx+c. Të gjejnë bashkësinë e përcaktimit të funksionit, të dhënë me formulë, kur arrijnë në inekuacione të fuqisë së parë apo sisteme inekuacionesh të fuqisë së parë. Të përshkruajnë kuptimin e funksionit rritës (zbritës) në A. Të gjejnë nga grafiku intervalet e monotonisë së funksionit. Të listojnë vetitë e funksionit y = x dhe të skicojnë grafikun e tij. Të gjejnë, për një varg të thjeshtë dhënë me formulë, kufizën kur njihet treguesi i saj. Të japin vargun e fundëm të kufizave në trajtë tabelore dhe të ndërtojnë grafikun e tij. Të japin përkufizimin e progresionit aritmetik dhe përkufizimin e progresionit gjeometrik. Të kontrollojnë, nëse një varg i fundëm është progresion aritmetik apo progresion gjeometrik. Të përdorin formulën, për kufizën y n në progresionin aritmetik apo në progresionin gjeometrik, për gjetjen e njërës ndryshore, kur njihen vlerat e tri të tjerave. Të përdorin formulën, për shumën S n në progresionin aritmetik apo në progresionin gjeometrik, për gjetjen e njërës ndryshore, kur njihen tri të tjerat. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të përshkruajnë kuptimin e grafit të relacionit. Të dallojnë funksionet, në një bashkësi të dhënë relacionesh. Të ndërtojnë grafikun e funksionit të fuqisë së dytë y=ax 2 +bx+c dhe të studiojnë, në bazë të grafikut, monotoninë e tij. Të japin saktë përkufizimet e koncepteve kryesore (grafik funksioni, funksion rritës, varg etj.). Të gjejnë bashkësinë e përcaktimit të funksioneve të thjeshtë, në situata praktike. Të argumentojnë metodën për studimin e monotonisë së funksionit, me anë të shenjës së raportit f ( x x 2 ) f ( x1 ) 2 x 1. Të studiojnë monotoninë e funksioneve y=ax+b; y=ax 2 ; y= x a, sipas shenjës së a. Të argumentojnë vetitë e funksionit y = x. Të përdorin saktë shënimet y,, n yn 1 yn+ 1; me dhënien e y n të shkruajnë shprehjet për y n 1 ; n+ 1 y. n 1 Të vërtetojnë formulat y n =y 1 +(n-1) d; y n = y1 q. Të vërtetojnë formulat për S n në progresionin aritmetik dhe në progresionin gjeometrik. T i përdorin formulat për y n dhe S n në progresionin aritmetik (progresionin gjeometrik), si sistem për të gjetur dy ndryshore, kur njihen tri të tjerat. Të zgjidhin problema të thjeshta në situata të njohura, për progresionin aritmetik apo gjeometrik. Të kontrollojnë nëse një numër është kufizë e një vargu të dhënë.

24 LIBËR PËR MËSUESIN Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të dallojnë relacionet funksionale kur jepen me fjali, ekuacion apo inekuacion me dy ndryshore. Të interpretojnë tendencën e ndryshimit të një madhësie, kur ajo jepet me formulë të thjeshtë. Të gjejnë shpejtësinë mesatare të ndryshimit të funksionit: y=ax+b; y=ax 2 +bx+c. Të argumentojnë përfundimet që nxjerrin, duke realizuar vërtetime teoremash të thjeshta. Të studiojnë algjebrikisht monotoninë e funksionit y=ax 2 +bx+c. Të japin me formulë vargun e dhënë, nëpërmjet një fjalie me ndryshore. Të zbulojnë, në raste të thjeshta, rregullën për ndërtimin e një vargu, duke njohur disa kufiza të tij. Të zbulojnë dhe të vërtetojnë veti të reja për progresionin aritmetik apo gjeometrik. Për vargje të thjeshtë, të dhënë me formulën y n =f(n), të kontrollojnë nëse janë progresione aritmetike apo gjeometrike. Të zgjidhin problema në situata të reja, për progresionin aritmetik apo gjeometrik. Kreu VI: Ekuacione, inekuacione, sisteme Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të japin përkufizimin e rrënjës së ekuacionit me një ndryshore. Të japin përkufizimin e ekuacioneve të njëvlershëm në E. Të formulojnë tri teoremat për njëvlershmërinë e ekuacioneve me një ndryshore; t i përdorin ato në raste direkte. Të dallojnë, sipas shenjës së dallorit, tri raste për zgjidhjen e ekuacionit ax 2 +bx+c=0. Të zgjidhin ekuacionin ax 2 +bx+c=0 me koeficientë të plotë. Të shkruajnë e të përdorin në raste direkte formulat e Vietës. Të zgjidhin ekuacionin ax 4 +bx 2 +c=0 me koeficientë të plotë. Të zgjidhin ekuacione të trajtës (ax 2 +bx+c) f(x)=0, ku f(x)=ax+b apo f ( x) = ax + b. Të zgjidhin ekuacione me ndryshore në emërues, të trajtës, ku f(x)=cx+d apo f(x)=cx 2 +dx+e. Të zgjidhin ekuacione irracionalë të trajtës ax + b = cx + d. Të zbërthejnë në faktorë linearë trinomin e fuqisë së dytë, me koeficientë të plotë. Të studiojnë shenjën e binomit të fuqisë së parë apo të trinomit të fuqisë së dytë, me koeficientë të plotë. Të zgjidhin inekuacione të trajtës ax 2 +bx+c>0, me koeficientë të plotë. f ( x) Të zgjidhin inekuacione të trajtës f(x) g(x)>0; > 0, g( x) ku f(x), g(x) janë binome të fuqisë së parë apo trinome të fuqisë së dytë. Të zgjidhin sisteme të trajtës f ( x) > 0, ku f(x), g(x) janë binome të fuqisë së parë apo g( x) < 0

MATEMATIKA 10 25 trinome të fuqisë së dytë. Të japin përkufizimin e zgjidhjes së një ekuacioni (sistemi) me dy ndryshore. Të zgjidhin sisteme dy ekuacionesh të fuqisë së parë me dy ndryshore. Të zgjidhin sisteme ekuacionesh me dy ndryshore të trajtës, ku f(x, y) është polinomi i fuqisë së dytë, me dy ndryshore, me koeficientë të plotë. Të shkruajnë ekuacione me një ndryshore (të fuqisë së parë apo të dytë), në të cilat çojnë situata të thjeshta problemore nga fusha të ndryshme, me arsyetime të thjeshta. Të zgjidhin problema shumë të thjeshta. a) Me ekuacion të fuqisë së parë apo të dytë me një ndryshore. b) Me sisteme dy ekuacionesh të fuqisë së parë me dy ndryshore, me ndihmën e shokëve apo të mësuesit. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të argumentojnë metodat standarde të zgjidhjes së ekuacioneve dhe të sistemeve të ekuacioneve. Të zgjidhin ekuacione të tipave të njohur, me koeficientë shkronjorë. Të zgjidhin ekuacione trinome të trajtës, me koeficientë racionalë. Të vërtetojnë teoremat për bashkësinë e zgjidhjeve të ekuacionit f(x) g(x)=0. Të zgjidhin ekuacione të thjeshtë me ndryshore në emërues. Të vërtetojnë teoremën, për ngritjen në katror të dy anëve të ekuacionit f(x)=g(x). Të nxjerrin me vërtetim formulën për zbërthimin e trinomit të fuqisë së dytë, kur D 0. Të thjeshtojnë, duke vënë kushtet, raportin e dy trinomeve të fuqisë së dytë. Të nxjerrin me vërtetim rregullën për studimin e shenjës së trinomit të fuqisë së dytë. Të zgjidhin ekuacione që sillen në format: ax 2 +bx+c=0; ax 4 +bx 2 +c=0; ax + b = cx + d me shndërrime të thjeshta identike apo të njëvlershme. Të zgjidhin inekuacione, që sillen në trajtën ax 2 +bx+c 0, me shndërrime të njëvlershme apo identike. f ( x) Të zgjidhin inekuacione, që sillen në trajtat f(x) g(x)>0; < 0, ku f(x), g(x) janë binome g( x) të fuqisë së parë apo trinome të fuqisë së dytë, me shndërrime të thjeshta identike apo të njëvlershme. Të zgjidhin grafikisht inekuacionin ax 2 +bx+c 0, me koeficientë racionalë. Të krijojnë ekuacione e sisteme ekuacionesh, për të modeluar situata të thjeshta problemore. Të zgjidhin problema të thjeshta me: a) Ekuacione të fuqisë së parë apo fuqisë së dytë me një ndryshore. b) Sisteme dy ekuacionesh të fuqisë së parë apo të dytë me dy ndryshore. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të zgjidhin ekuacione, që sillen në të fuqisë së dytë me zëvendësim të ndryshores. Të zbërthejnë trinomin e fuqisë së dytë me koeficientë shkronjorë. Të vërtetojnë që kur D<0, trinomi i fuqisë së dytë nuk zbërthehet në faktorë linearë.

26 LIBËR PËR MËSUESIN Të studiojnë shenjën e shprehjeve, që sillen në trinome të fuqisë së dytë, me anë të zëvendësimit të ndryshores. Të shpjegojnë varësinë e zgjidhjes së ekuacioneve (inekuacioneve) apo sistemeve nga mjedisi. Të diskutojnë për numrin dhe shenjën e rrënjëve të ekuacioneve me një ndryshore. Të zgjidhin ekuacione të trajtës. Të krijojnë sisteme ekuacionesh (inekuacionesh), për të modeluar situata të reja për to. Të zgjidhin probleme me ekuacione apo sisteme nga situata të reja jo standarde, të simuluara apo reale. Kreu VII: Trigonometri Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të përdorin tabelën e vlerave të funksioneve trigonometrikë të këndit të ngushtë: a) Për gjetjen e vlerës së funksionit, kur jepet këndi. b) Për gjetjen me përafërsi të vlerës së këndit, kur jepet vlera e një funksioni. Të japin përkufizimin e funksioneve trigonometrikë të këndit të ngushtë; të njehsojnë vlerat e tyre në trekëndëshin kënddrejtë, ku njihen dy brinjë. Të shkruajnë tri lidhjet kryesore të pavarura të trigonometrisë: sinα 2 2 cosα ( sin α + cos α = 1) ; = ; cot gα = ; t i përdorin ato për të thjeshtuar cosα sinα shprehje të thjeshta. Të gjejnë vlerat e funksioneve trigonometrikë të α, kur njihet sin α ( cos α ). Të japin përkufizimin e sinusit (kosinusit) të këndit nga [,π ] trigonometrik. Të shkruajnë e të përdorin, në raste direkte, formulat për: o o,, sin ( 180 α ), ( 180 α ) cos. Të shkruajnë e të zbatojnë, në raste të drejtpërdrejta, teoremën e kosinusit. Të gjejnë nga barazimi a 2 =b 2 +c 2-2 b c cos α : a) vlerën e a, kur njihen b, c, α ; b) vlerën e cos α, kur njihen a, b, c. Të shkruajnë e të përdorin, në raste të drejtpërdrejta, teoremën e sinusit. Të gjejnë me anë të saj: a) vlerën e njërës ndryshore në barazimin a=2rsin α ; b) vlerën e një ndryshore në barazimin a b =. sinα sin β Të përdorin, në raste të drejtpërdrejta, formulat: 1 abc S= b c sinα ; S=. 2 4 R 0, nëpërmjet gjysmërrethit

MATEMATIKA 10 27 Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të gjejnë vlerat e funksioneve të tjerë të α, kur jepet. Të studiojnë shenjën e sinx (cosx) në kuadrantin e parë apo të dytë. Të gjejnë, sipas përkufizimit, vlerat e funksioneve trigonometrikë të këndeve: 0 0 ; 90 0 ; 180 0 ; 120 0 ; 135 0 ; 150 0. cos. Të riprodhojnë vërtetimet e teoremave të sinusit dhe të kosinusit për α 0, π 2. Të përdorin barazimin a 2 =b 2 +c 2-2 b c cos α, për të gjetur vlerat e njërës ndryshore, kur njihen vlerat e tri të tjerave. Të zgjidhin trekëndëshin, kur njihen: a) një brinjë dhe dy këndet afërndenjës; b) dy brinjë dhe këndi midis tyre. o o Të nxjerrin me vërtetim formulat për sin ( 180 α ), ( 180 α ) 1 Të nxjerrin me vërtetim formulat: S= c sinα 2 b ; S= abc. 4 R T i përdorin këto formula në probleme të thjeshta, me njehsim e vërtetim. Të argumentojnë mënyrën e gjetjes praktike të largesës ndërmjet dy pikave të paarritshme, apo lartësinë e objekteve, duke matur elementët e duhur. Të vërtetojnë identitete të thjeshta trigonometrike. Të zbatojnë teoremën e sinusit dhe të kosinusit në situata problemore të thjeshta, reale apo të simuluara. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:. Të vërtetojnë identitete, duke u bazuar në tri lidhjet e pavarura të trigonometrisë. Të nxjerrin për trekëndëshin formula të tjera, duke u bazuar tek teorema e sinusit dhe ajo e kosinusit. Të përdorin teoremën e sinusit, teoremën e kosinusit dhe formulat për sipërfaqen e trekëndëshit, në zgjidhjen e problemave me situata komplekse. Të vërtetojnë teoremën e kosinusit për α [ 0,π ] Kreu VIII. Funksioni eksponencial dhe funksioni logaritmik Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të formulojnë e të përdorin, në raste të drejtpërdrejta, pesë vetitë e fuqive me eksponentë realë. Të plotësojnë tabelën për vlerat e funksionit ndërtojnë me pika grafikun e tij. Të skicojnë grafikun e funksionit eksponencial x y = a, ku a është natyror dhe x Q ; të x y = a, x R, kur a>1 dhe kur 0<a<1.