(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α η συάρτηση f είαι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, α αποδείξετε με τη χρήση του ορισμού της παραγώγου ότι (c f (x)) = c f (x), για κάθε x R Μοάδες 7 Α. Πότε μια συάρτηση f λέγεται γησίως φθίουσα σε έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μοάδες 4 Α3. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή λέγεται διακριτή και πότε συεχής; Μοάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που ατιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, α η πρόταση είαι σωστή, ή Λάθος, α η πρόταση είαι λαθασμέη. α) Α για τη συάρτηση f ισχύει f (x0) = 0, για x0 (α,β), και η παράγωγός της f διατηρεί πρόσημο εκατέρωθε του x0, τότε η f είαι γησίως μοότοη στο (α,β) και δε παρουσιάζει ακρότατο στο διάστημα αυτό. (μοάδες ) β) Για δύο οποιαδήποτε εδεχόμεα Α, Β εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(B) P(A B) (μοάδες ) γ) Σε μια καοική ή περίπου καοική καταομή το 95% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκοται στο διάστημα (x s, x + s), όπου x η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω. (μοάδες ) δ) Α x είαι τιμή μιας ποσοτικής μεταβλητής X, τότε η αθροιστική συχότητα Ν εκφράζει το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι μεγαλύτερες της τιμής x (μοάδες ) ε) Το κυκλικό διάγραμμα είαι έας κυκλικός δίσκος χωρισμέος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή, ισοδύαμα, τα τόξα τω οποίω είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες v ή τις σχετικές συχότητες f τω τιμώ x της μεταβλητής. (μοάδες ) Μοάδες 0 ΘΕΜΑ Β Στο παρακάτω σχήμα φαίεται το ιστόγραμμα συχοτήτω, το οποίο παριστάει τις πωλήσεις σε χιλιάδες ευρώ που έγια από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια εός έτους.

Β. Να βρείτε το πλήθος τω πωλητώ της εταιρείας. Μοάδες 5 Β. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας το παρακάτω πίακα συχοτήτω της καταομής τω πωλήσεω κατάλληλα συμπληρωμέο, δικαιολογώτας τη στήλη με τις σχετικές συχότητες f, =,, 3, 4 Μοάδες 8 Β3. α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή τω πωλήσεω του έτους. (μοάδες 6) β) Να βρείτε το πλήθος τω πωλητώ που έκαα πωλήσεις τουλάχιστο 4,5 χιλιάδω ευρώ (θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είαι ομοιόμορφα καταεμημέες). (μοάδες 6) Μοάδες ΘΕΜΑ Γ Έα δοχείο περιέχει κόκκιες (Κ), άσπρες (Α) και πράσιες (Π) μπάλες. Επιλέγουμε

τυχαία μία μπάλα. Η πιθαότητα α προκύψει κόκκιη μπάλα είαι P(Κ) = x, εώ η πιθαότητα α προκύψει άσπρη μπάλα είαι P(Α) = x, όπου x,x είαι οι θέσεις τω τοπικώ ακροτάτω της συάρτησης Γ. Να βρείτε τις πιθαότητες P(Κ), P(A) και P(Π), όπου P(Π) η πιθαότητα α προκύψει πράσιη μπάλα. Μοάδες 0 Γ. Α α βρείτε τις πιθαότητες τω παρακάτω εδεχομέω: Γ: «η μπάλα που επιλέγεται τυχαία α είαι κόκκιη ή άσπρη» Δ: «η μπάλα που επιλέγεται τυχαία α είαι ούτε κόκκιη ούτε άσπρη» Ε: «η μπάλα που επιλέγεται τυχαία α είαι άσπρη ή α μη είαι πράσιη». Μοάδες 9 Γ3. Α οι άσπρες μπάλες είαι κατά τέσσερις (4) λιγότερες από τις πράσιες μπάλες, α βρείτε πόσες μπάλες έχει το δοχείο. Μοάδες 6 ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε έα κουτί σχήματος ορθογωίου παραλληλεπιπέδου με βάση ορθογώιο και αοικτό από πάω. Δ. Να αποδείξετε ότι η συολική επιφάεια του κουτιού ως συάρτηση του x είαι E(x) = x + 0x + 00, x (0, 0) και α βρείτε για ποια τιμή του x το κουτί έχει μέγιστη επιφάεια. Στη συέχεια, θεωρούμε τα σημεία Μοάδες 8 με

Δ. Α το δείγμα τω τετμημέω x, =,,...,5 τω παραπάω σημείω A (x,y ) δε είαι ομοιογεές έχει μέση τιμή x = 8 και τυπική απόκλιση s τέτοια, ώστε τότε: α) α αποδείξετε ότι s = β) α βρείτε τη μέση τιμή τω S - 5s + = 0 (μοάδες 4) Δ3. Επιλέγουμε τυχαία έα από τα παραπάω σημεία (μοάδες 4) Μοάδες 8 A (x, y,), =,,...,5 Να βρείτε τη πιθαότητα του εδεχομέου: Μοάδες 9

ΘΕΜΑ Α Α. Σχ. βιβλίο σελ. 30 Α. Σχ. βιβλίο σελ. 3 Α3. Σχ. βιβλίο σελ. 59 Α4. α. Σ β. Λ γ. Λ δ. Λ ε. Σ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β. Το εμβαδό κάθε ιστού εκφράζει τη συχότητα της ατίστοιχης κλάσης (θεωρώτας το μήκος της βάσης κάθε ιστού ως μοάδα). Άρα από το ιστόγραμμα συχοτήτω έχουμε: 3 4 8 4 6 40. Β. ΚΛΑΣΕΙΣ x f Χιλιάδες [, 4) 3 0,3 [4, 6) 5 8 0, [6, 8) 7 4 0,35 [8, 0) 9 6 0,5 Σύολο 40,00 Από το f,,3,4 έχουμε: 8 4 6 f 0,3, f 0,, f3 0,35, f4 40 40 0 40 0,5 xv 36 40 98 54 8 Β3. α) x 5,7 χιλιάδες v 40 40 β) Τουλάχιστο 4,5 χιλιάδες : Στη κλάση [4,6) έχουμε: στη υποκλάση [4,5, 6): 3 3 8 6 πωλητές (Λόγω ομοιόμορφης καταομής τω παρατηρήσεω) 4 4 Στις κλάσεις [6,8) έχω 4 πωλητές, [8,0) πωλητές 6 Συολικά : 6 πωλητές ΘΕΜΑ Γ Γ. Η f (x) 3 7 4x x x x Rμε f (x) x 7x f (x) 0 x 7x 0, Δ 49 48 είαι παραγωγίσιμη ως πολυωυμική για κάθε 7 x, ή 4 3 4 f (x) 0 για x (, ) (, 4 3 ) και f (x) Επειδή ισχύει x x τότε x 4 και x 3. Άρα η f για x η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. 4 και για x η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. 3 0 για x (, ) 4 3

Άρα Ρ(Κ) 4 και Ρ(Α). 3 4 3 5 Επειδή Ρ(Α) Ρ(Κ) Ρ(Π) Ρ(Π) Ρ(Π) 4 3 3 4 Γ. Ρ(Γ) Ρ(Κ) Ρ(Α) διότι τα εδεχόμεα Κ, Α είαι ξέα = 3 4 7 3 4 5 7 Ρ(Δ) Ρ(Π), Ρ(Ε) Ρ(Α Π ) Ρ(Α) Ρ(Κ) 5 Ρ(Δ) Ρ(Π), Ρ(Ε) Ρ(Α Π ) Ρ(Α) Ρ(Κ) 7 Γ3. Ν(Α) Ν(Π) 4 Α Ν(Ω) το πλήθος από τις μπάλες του δοχείου τότε: Ν(Α) Ν(Π) 4 4 5 4 4 5 Ρ(Α) Ρ(Π) Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) 3 Ν(Ω) Ν(Ω) 3 4 Ν(Ω) 48. Ν(Ω) ΘΕΜΑ Δ Δ. Αφού η περίμετρος της βάσης είαι 0dm, τότε: x y 0 x y 0 y 0 x (), 0 x 0 Το κουτί αποτελείται από 5 τετράπλευρα: το καθέα έχει εμβαδό: x 5, x 5, y 5, y 5, y x Άρα η συολική επιφάεια είαι: () E (5x) (5y) yx E x 0x 0(0 x) (0 x)x ολ 0x 00 0x 0x x x 0x 00 0 x 0 Για x (0,0) E (x) x 0 E (x) 0 x 5 Είαι x 0 0 0 x 0 x 5, εώ x 0 0 0 x x 5 και x 0 συεπώς για x 5dm η επιφάεια μεγιστοποιείται. Δ. Η τυπική απόκλιση του δείγματος είαι: s 5s 0, 5 3 Δ 5 4 5 6 9 S, ή Για S και x 8 4 έχουμε CV 5% Εώ για S και x 8 έχουμε CV 6,5% 8 4 6 ομοιογεές. Άρα δεκτή τιμή S. ( x ) Από τη σχέση S x έχουμε: x S (x) S x (x) 4 x 64 x 68 Στο διάστημα [5,9] η Ε(x) είαι γησίως φθίουσα αφού Ε (x) <0 για 5 x 0 Άρα E(5) 5 50 00 5dm

E(9) 8 90 00 09dm Άρα R E(5) E(9) 6 Δ3. Ααζητώ A(x, y ) για τα οποία y 4x 9R ισοδύαμα x 0x 00 4x 9 6 x 0x 00 4x 45 0 x 4x 45 0 () Το παραπάω τριώυμο έχει ρίζες τις 5 και 9 άρα για Δηλαδή Ν(Β) 3 Ν(Β) 5 3. Ρ(Β). Ν(Ω) 5 5 x 9 αληθεύει η αίσωση() ΚΡΙΤΙΚΗ Τα θέματα ήτα βατά, εύκολα, στο πεύμα του σχολικού βιβλίου, με εξαίρεση το θέμα Δ3 που απαιτούσε συδυαστική σκέψη, ευχέρεια στις πράξεις και καταόηση τω τύπω στατιστικής και πιθαοτήτω. Ο χρόος επαρκούσε καθώς σε ατίθεση με τα περυσιά θέματα τα υποερωτήματα ήτα λιγότερα και με σύτομη λύση. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΠΥΡΟΥ ΧΡΗΣΤΟΣ, ΓΑΛΑΡΗΣ Σ. ΓΙΩΡΓΟΣ