ΛΤΗ ΘΕΜΑΣΟ Σο σχήμα εριγράφει το φαινόμενο. (+) Σχήμα Θ.Φ.Μ F ΕΛ, ΔL m F ΕΛ, Θ.Ι.Τ.(m ) K W d x L 0 Τ.Θ N N W Α.Θ m m t = 0 W W F ΕΛ, F ΕΛ, (Ι) (ΙΙ) (ΙΙΙ) (ΙV) (V) (VI) (VII) Α. Για να δείξουμε ότι το σώμα μάζας m εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση, αρκεί να δείξουμε ότι σε μια τυχαία αομάκρυνση x αό τη θέση ισορροίας της ταλάντωσής του ισχύει: F = - D x (δηλαδή η συνισταμένη δύναμη είναι ανάλογη της αομάκρυνσης και έχει αντίθετη κατεύθυνση αό αυτή). Εειδή το ελατήριο είναι κατακόρυφο η θέση ισορροίας της ταλάντωσής του δεν ταυτίζεται με τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Έτσι στη θέση ισορροίας της ταλάντωσης (σχήμα - θέση II) ασκούνται στο σώμα μάζας m οι δυνάμεις του βάρους (W) αό το βαρυτικό εδίο της γης, και της δύναμης του ελατηρίου (FΕΛ, ) αό το ελατήριο. τη θέση ισορροίας της ταλάντωσης και στον άξονα ου ταυτίζεται με τη διεύθυνση της ταλάντωσης ισχύει (θεωρούμε θετικά ρος τα κάτω): Fy = 0 => - FΕΛ, + W = 0 => FΕΛ, = W () και εειδή για το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου ισχύει: FΕΛ, = k ΔL () αό τις σχέσεις () και () ροκύτει: k ΔL = m g () την τυχαία αομάκρυνση x (σχήμα - θέση IV) σημειώνουμε δυνάμεις στο σώμα μάζας m. Αυτές είναι η δύναμη του ελατηρίου (FΕΛ, ) και το βάρος του σώματος μάζας m (W). τον άξονα της ταλάντωσης (άξονας y y) έχουμε: Fy = - FΕΛ, + W (5) και εειδή για το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου ισχύει: FΕΛ, = k (ΔL + x) (6) αό τις σχέσεις (5) και (6) ροκύτει: Fy = - k (ΔL + x) + m g => Fy = - k ΔL - k x + m g => *λόγω της ()+ => Fy = - k x (7) Δηλαδή το σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με D = k = 00 N / m. Η ερίοδος της ταλάντωσης ισούται με: T = m m => T = => Σ = ( / 0) sec (8) D k
Παρατήρηση: τη διάρκεια ου ταλαντώνεται το σώμα μάζας m, το σώμα μάζας m είναι συνεχώς ακίνητο στο έδαφος και άρα για το σώμα μάζας m ισχύει: Fy = 0 Β. Ση χρονική στιγμή t = 0 ου ξεκινά η ταλάντωση το σώμα μάζας m βρίσκεται στη θέση x = + d = + 0, m (σχήμα - θέση III) και αφήνεται ελεύθερο (u = 0). Άρα το σώμα βρίσκεται σε ακραία θέση. Δηλαδή: A = d => A = 0, m (9) Πράγματι, εφαρμόζοντας την Α.Δ.Ε αό τη θέση x = + d έως τη θέση x = + A για την ταλάντωση ροσδιορίζουμε το λάτος Α: (/) D d + (/) m u = (/) D A => (/) D d + 0 = (/) D A => (/) D d = (/) D A => A = d => A = 0, m Ση χρονική στιγμή t = 0 το σώμα δε διέρχεται αό τη θέση ισορροίας του, άρα η ταλάντωση έχει αρχική φάση φ0. Σην αρχική φάση φ0 μορούμε να την υολογίσουμε τριγωνομετρικά ως εξής: x = Α ημ(ω t + φ0) => (για t = 0 και x = + 0, m) => 0, = 0, ημφ0 => ημφ0 = => φ0 = k + ( / ) (0) Πρέει: 0 φ0 < => *λόγω της (0)] => 0 k + ( / ) < => - / k < / => - / 4 k / 4 => k = 0 Άρα για k = 0 η (0) γίνεται: φ0 = ( / ) rad () Για την κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης ισχύει: ω = / Σ => ω = 0 rad / sec () Εομένως η εξίσωση x = f(t) είναι: x = A ημ(ω t + φ0) => *λόγω των σχέσεων (9), (), ()] => x = 0, ημ*0 t + (/)+, (S.I) () Η γραφική αράσταση της αομάκρυνσης με το χρόνο φαίνεται στο αρακάτω σχήμα. x (m) χήμα 0, /0 /0 0 /40 /40 t (sec) - 0, Γ. Η ενέργεια ου ροσφέρουμε στο σώμα για να το διεγείρουμε και να το θέσουμε σε ταλάντωση ισούται με την ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος. Εροσφ = EΣ => Εροσφ = D A => Εροσφ = (00N / m) (0, m) => Εροσφ = Joule Εειδή η δύναμη εαναφοράς είναι συντηρητική δύναμη, το έργο της μορούμε να το υολογίσουμε ως εξής: WFΕΠ = - ΔΕΔΤΝ,ΣΑΛ => WFΕΠ = ΕΔΤΝ,ΣΑΛ ΑΡΦ - ΕΔΤΝ,ΣΑΛ ΣΕΛ => WFΕΠ = (/) D A - (/) D x => WFΕΠ = Joule - (/) D {0, ημ[0 t + (/)]} =>WFΕΠ = Joule - 00 (0,05) Joule => WFΕΠ = 0,75 Joule
Δ. Όση ώρα το σώμα μάζας m εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση το σώμα μάζας m ισορροεί ακίνητο στο δάεδο υό την είδραση των δυνάμεων του βάρους (W) αό το βαρυτικό εδίο της γης, της δύναμης του ελατηρίου (FΕΛ, ) και της δύναμης Ν αό το δάεδο(σχήμα - θέση IV). Ισχύει: F = 0 => W + F ΕΛ, + Ν = 0 => W + FΕΛ, + Ν = 0 => Ν = - W - FΕΛ, (4) Αλλά αό τη σχέση (7) για το m ισχύει: F y = - k x => W + F ΕΛ, = - k x => W + FΕΛ, = - k x => FΕΛ, = - k x W (5) Ισχύει: F ΕΛ, = - F ΕΛ, => FΕΛ, = - FΕΛ, (6) Αό τις σχέσεις (4) και (6) είναι: Ν = - W + FΕΛ, => *λόγω της (5)+ => Ν = - m g - k x m g => Ν = - 5-00 x 5 => Ν = - 40-00 x, - 0, m x 0, m (S.I) (7) Η γραφική αράσταση φαίνεται στο διλανό σχήμα. Ν(Ν) χήμα - 0, 0 0, x (m) - 0-40 - 60 Ε. Αό το (Δ) ερώτημα είναι: Ν = - 40-00 x, - 0, m x 0, m (S.I) Αλλά αό τη σχέση () για το m ισχύει: x = 0, ημ*0 t + ( / )], (S.I) Άρα είναι: Ν = - 40-00 {0, ημ*0 t + ( / )]} => Ν = - 40-0 ημ*0 t + ( / )], (S.I) (8) Η γραφική αράσταση φαίνεται στο διλανό σχήμα 4. Ν(Ν) χήμα 4 0 /40 /0 / 0 t (s) - 0-40 - 60 Σ. Η μάζα m χάνει την εαφή της με το δάεδο όταν: Ν = 0 => *λόγω της σχέσης (7)] => - 40-00 x = 0 => 00 x = - 40 => x = - 0, m Δηλαδή η μάζα m χάνει την εαφή της με το δάεδο όταν βρίσκεται άνω αό τη θέση ισορροίας της ταλάντωσής της (γι αυτό x < 0) κατά x = 0, m. Άρα: Αmax = 0, m Z. Η μάζα m χάνει την εαφή της με το δάεδο όταν: Ν = 0 => *λόγω της σχέσης (7)] => - m g - m g - k x = 0
Αό το ερώτημα (στ) φαίνεται ότι η μέγιστη συχνότητα είναι αυτή για την οοία η εαφή θα χαθεί στη θέση x = - A. Άρα: - m g - m g - m ω (-Α) = 0 => m ω Α = m g + m g => ω = (m / A m) g + g / A => ω = 800 => 4 fmax = 800 => fmax = 0 => fmax = 0 => fmax = 0 => fmax = 0 => fmax = Hz ΛΤΗ ΘΕΜΑΣΟ Α. Για να δείξουμε ότι το σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση, αρκεί να δείξουμε ότι σε μια τυχαία αομάκρυνση x αό τη θέση ισορροίας της ταλάντωσής του ισχύει: F = - D x (δηλαδή η συνισταμένη δύναμη είναι ανάλογη της αομάκρυνσης και έχει αντίθετη κατεύθυνση αό αυτή). Εειδή το ελατήριο βρίσκεται σε κεκλιμένο είεδο η θέση ισορροίας της ταλάντωσής του δεν ταυτίζεται με τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Έτσι στη θέση ισορροίας της ταλάντωσης ασκούνται στο σώμα οι δυνάμεις του βάρους (W) αό το βαρυτικό εδίο της γης, της δύναμης του ελατηρίου (FΕΛ) αό το ελατήριο και της δύναμης Ν αό το κεκλιμένο είεδο. τη θέση ισορροίας της ταλάντωσης και στον άξονα ου ταυτίζεται με τη διεύθυνση της ταλάντωσης ισχύει (θεωρούμε θετικά ρος τα κάτω κατά μήκος του κεκλιμένου ειέδου): Fx = 0 => - FΕΛ + Wx = 0 => FΕΛ = Wx () και εειδή για το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου ισχύει: FΕΛ = k ΔL () αό τις σχέσεις () και () ροκύτει: k ΔL = m g ημφ () (I) k, L 0 (+) Θ.Φ.Μ (IV) (III) (II) τον άξονα ου είναι κάθετος στη διεύθυνση της ταλάντωσης (άξονας ου ταυτίζεται με τη διεύθυνση της δύναμης Ν) ασκούνται οι δυνάμεις Ν και Wy και το σώμα ισορροεί. Άρα: Fy = 0 (4) την τυχαία αομάκρυνση x σημειώνουμε δυνάμεις. Αυτές είναι η δύναμη του ελατηρίου (F ΕΛ), το βάρος του σώματος (W) και η δύναμη Ν αό το κεκλιμένο είεδο. τον άξονα της ταλάντωσης (άξονας x x) έχουμε: Fx = - F ΕΛ + Wx (5) Wy F ΕΛ φ F ΕΛ ΔL d = x N φ u t = 0 Wx W N u Wy φ Wx W φ φ Θ.Ι.Τ φ A 4
και εειδή για το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου ισχύει: F ΕΛ = k (ΔL + x) (6) αό τις σχέσεις (5) και (6) ροκύτει: Fx = - k (ΔL + x) + m g ημφ => Fx = - k ΔL - k x + m g ημφ => *λόγω της ()+ => Fx = - k x (7) Αό τις σχέσεις (4) και (7) ροκύτει: F = Fx => F = - k x (8) Δηλαδή το σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με D = k. B. Αό τη σχέση () είναι: k ΔL = m g ημφ => k ΔL = 0 N (9) Αό τη γραφική αράσταση φαίνεται ότι στη θέση x = - A της ταλάντωσης ισχύει: ΕΔ,ΕΛ = 0 Άρα το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Εομένως ισχύει: ΔL= A (0) Αό τις σχέσεις (9) και (0) ροκύτει: k A = 0 N () Αό τη γραφική αράσταση φαίνεται ότι στη θέση x = + A της ταλάντωσης ισχύει: ΕΔ,T = 0,5 j => (/) D A = 0,5 j => (D = k) => (/) k A = 0,5 j => (/) k A A = 0,5 j => => (λόγω της ) => 0 A = m => Α = 0,05 m () Αό τις σχέσεις () και () ροκύτει: k 0,05 m = 0 N => k = 400 N/m Γ. Για τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου στη θέση x = + A ισχύει: ΕΔ, ΕΛ = (/) k (ΔL + A) => *λόγω της σχέσης 0+ => ΕΔ, ΕΛ = (/) k ( A) => => ΕΔ, ΕΛ = (/) (400 N / m) (0, m) => ΕΔ, ΕΛ = Joule Δ. Ση χρονική στιγμή t = 0 το σώμα διέρχεται αό τη θέση ισορροίας του με αρνητική ταχύτητα. Άρα η ταλάντωση έχει αρχική φάση φ0. Σην αρχική φάση φ0 μορούμε να την υολογίσουμε τριγωνομετρικά ως εξής: x = Α ημ(ω t + φ0) => (για t = 0 και x = 0) => 0 = 0,05 ημφ0 => ημφ0 = 0 => φ0 = k () Πρέει: 0 φ0 < => *λόγω της ()+ => 0 k < => 0 k < => k = 0 ή k = Άρα για k = 0 η () γίνεται: φ0, = 0 Όμως: u = ω Α συν(ω t + φ0) => (για t = 0) => u = ω Α συν(0) > 0 Η λύση αυτή αορρίτεται διότι ρέει u < 0. Για k = η () γίνεται: φ0, = rad Όμως: u = ω Α συν(ω t + φ0) => (για t = 0) => u = ω Α συν() < 0 Η λύση αυτή είναι δεκτή εειδή ρέει u < 0. Άρα η αρχική φάση είναι: φ0 = φ0, = rad Η ερίοδος της ταλάντωσης ισούται με: m m T = => T = => Σ = ( / 5) sec D k Για την κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης ισχύει: 5
ω = / Σ => ω = 0 rad / sec Εομένως οι εξισώσεις x = f(t), u = f(t) και FΕΛ = f(t) είναι: x = A ημ(ω t + φ0) => x = 0,05 ημ(0 t + ) (S.I.), u = ω Α συν(ω t + φ0) => u = 0,5 συν(0 t + ) (S.I.) FΕΛ = - k (ΔL + x) = - 400 [0,05 + 0,05 ημ(0 t + )] => FΕΛ = - 0 0 ημ(0 t + ), (S.I.) Ε. Ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης υολογίζεται ως εξής: Η δύναμη εαναφοράς ου ασκείται σε ένα σώμα ου εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση είναι δύναμη συντηρητική. Έτσι: ΣΑΛ dwf dwfεπ = - dεδτν,σαλ => = - ΕΠ ΣΑΛ F => = - ΕΠ dx => ΣΑΛ dx ΣΑΛ ΣΑΛ = - FΕΠ => = - FΕΠ u => = - (-D x) u => ΣΑΛ ΣΑΛ = D x u => = 400 0,05 ημ(0 t + ) 0,5 συν(0 t + ) => ΣΑΛ [t = ( / 0) sec] => = 0 ημ*0 (/0) + + συν*0 (/0) + + => ΣΑΛ dεδτν, ΣΑΛ => = 0 ημ( ) συν( ) => = 0 Ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του βαρυτικού εδίου υολογίζεται ως εξής: Η δύναμη του βάρους είναι δύναμη συντηρητική. Έτσι: ΒΑΡ dw dww = - dεδτν,βαρ => = - W ΒΑΡ W => = - x dx => ΒΑΡ dx ΒΑΡ ΒΑΡ => = - Wx => = - Wx u => = - m g ημφ u => ΒΑΡ => = - m g ημφ 0,5 συν[0 t + ] => [t = ( / 0) sec] => ΒΑΡ = - 4 0 0,5 0,5 συν*0 (/0) + + => ΒΑΡ dεδτν, ΒΑΡ = - 0 συν*0 (/0) + + => = - 0 J / sec Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ταλάντωσης υολογίζεται ως εξής: dk dwf ΕΠ dk FΕΠ dx dk dx dk dκ = dwfεπ => = => = => = FΕΠ => = FΕΠ u => dk dk => = - D x u => = - 400 0,05 ημ*0 t + + 0,5 συν*0 t + + => [t = ( / 0) sec] => dk dk = - 400 0,05 ημ*0 (/0) + + 0,5 συν*0 (/0) + + => = - 0 ημ( ) συν( ) => dk = 0 6
ΛΤΗ ΘΕΜΑΣΟ Α. Για όσο χρονικό διάστημα τα δύο σώματα βρίσκονται σε εαφή, κινούνται ως ένα σώμα. Οι δυνάμεις ου ασκούνται άνω τους σε μια τυχαία θέση της ταλάντωσης είναι οι εξής: το σώμα μάζας m ασκείται η δύναμη του ελατηρίου (FΕΛ) αό το ελατήριο και η δύναμη (F) αό το σώμα μάζας m. Η φορά αυτών των δυνάμεων φαίνεται στο σχήμα. το σώμα μάζας m ασκείται μόνο η δύναμη (F) αό το σώμα μάζας m. Η φορά αυτής της δύναμης φαίνεται στο σχήμα. Για να δείξουμε ότι το σύστημα των δύο σωμάτων εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση, αρκεί να δείξουμε ότι σε μια τυχαία αομάκρυνση x αό τη θέση ισορροίας της ταλάντωσής του ισχύει: F = - D x (+) Θ.Φ.Μ t = 0 u Σχήμα (δηλαδή η συνισταμένη δύναμη είναι ανάλογη της αομάκρυνσης και έχει αντίθετη κατεύθυνση F x F αό αυτή). την τυχαία αομάκρυνση x F ΔΛ (σχήμα ) ισχύει: F = F - FΕΛ F () Οι δυνάμεις F και F είναι δυνάμεις δράσης Τ.Θ αντίδρασης οότε: F = - F () και για το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου ισχύει: FΕΛ = k x () Αό τις σχέσεις (), () και () ροκύτει: F = F - k x F => F = - k x (4) Άρα το σύστημα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με D = k = 400 N / m. Η ερίοδος της ταλάντωσης του συστήματος ισούται με: m T = + m D sec 0 (5) Β. Εφόσον τα δύο σώματα βρίσκονται συνεχώς σε εαφή ταλαντώνονται με ίδια ερίοδο T άρα και ίδια γωνιακή συχνότητα ω. Έχουν όμως διαφορετική σταθερά εαναφοράς διότι έχουν διαφορετική μάζα. Για το σώμα μάζας m ισχύει: F = - D x => [F = F] => F = - m ω x (6) Η εαφή των δύο σωμάτων χάνεται όταν μηδενίζεται η δύναμη εαφής F. Αό τη σχέση (+) Θ.Φ.Μ Σχήμα (6) φαίνεται ότι αυτό γίνεται στη θέση x = 0. Πράγματι: F = 0 => - m ω x = 0 => x = 0 Δηλαδή η εαφή των δύο σωμάτων χάνεται όταν u αυτά ερνούν για ρώτη φορά αό τη θέση x ισορροίας της ταλάντωσής τους. Γ. Μετά το χάσιμο της εαφής τα δύο σώματα F ΔΛ κινούνται ξεχωριστά το ένα αό το άλλο. Σο Τ.Θ 7
σώμα μάζας m εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση διότι η συνισταμένη των δυνάμεων ου δέχεται είναι μηδέν (δύναμη του βάρους και κάθετη δύναμη στήριξης), ενώ το σώμα μάζας m αραμένει δεμένο στο ελατήριο και εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. Πράγμα-τι (σχήμα ) στην τυχαία αομάκρυνση x (σχήμα ) ισχύει: F = FΕΛ (7) για το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου ισχύει: FΕΛ = k x (8) Αό τις σχέσεις (7) και (8) ροκύτει: F = - k x (9) Δηλαδή το σώμα μάζας m εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με D = k = 400 N / m. Η ερίοδος της ταλάντωσης του σώματος μάζας m ισούται με: T = m D => Σ = sec (0) 0 Δ. Όταν τα δύο σώματα βρισκόταν σε εαφή στη θέση ισορροίας τους είχαν ταχύτητα μέτρου m / sec. Οότε ισχύει: u = ω Α => u = A => A = T u T => A = 0,45 m Όταν τα δύο σώματα ειστρέφουν για ρώτη φορά στη θέση ισορροίας τους έχουν ταχύτητα μέτρου m / sec. Αό εκείνη τη στιγμή και μετά τα δύο σώματα κινούνται ως διαφορετικά σώματα. Σο σώμα μάζας m στη θέση ισορροίας του είχε άλι ταχύτητα μέτρου m / sec. Οότε ισχύει: u T u = ω Α => u = A => A = => A = 0, m T Ε. Ση χρονική στιγμή t = 0 τα δύο σώματα εκτοξεύονται αό τη θέση ισορροίας τους με ταχύτητα μέτρου m / sec ρος τα αριστερά (θετικά). Ση χρονική στιγμή t = T / = sec τα δύο σώματα ερνούν ξανά για ρώτη φορά αό τη θέση ισορροίας 0 τους με αρνητική ταχύτητα (σχήμα ). Εκείνη τη χρονική στιγμή αοχωρίζονται. Σο σώμα μάζας m εκτελεί αλή (+) Θ.Φ.Μ Σχήμα αρμονική ταλάντωση με ερίοδο T ενώ το σώμα μάζας m t = sec 0 εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή u κίνηση. Ση χρονική στιγμή t = 5 sec τα σώματα κινούνται 0 για χρόνο: 5 5 t = sec Δt = sec - sec = sec 0 0 0 0 d Ο χρόνος αυτός για το m ου u u εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση αντιστοιχεί σε: m m Δt = sec = 0 Σ sec = 0 Σο σώμα μάζας m στο χρόνο αυτό έχει φθάσει στην ακραία αρνητική αομάκρυνση x = - A και έχει ειστρέψει ξανά στη θέση ισορροίας του, για ρώτη φορά, αμέ- 8
σως μετά τη χρονική στιγμή t = s (εκεί αοχωρίστηκαν τα σώματα). Σο σώμα 0 μάζας m στον ίδιο χρόνο Δt έχει διανύσει αόσταση: d = u Δt => d = ( m / sec) [( / 0) sec] => d = ( / 0) m 5 Οότε τη χρονική στιγμή t = sec τα δύο σώματα θα αέχουν (σχήμα ): 0 d = m 0 ΛΤΗ ΘΕΜΑΣΟ 4 Α. Ση χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε το σώμα ελεύθερο αό τη θέση (Ι) στο αρακάτω σχήμα. χήμα Θ.Υ.Μ Σ.Θ. t = 0 k (Ι) Αρχική u = 0 Σελική Θ.Ι (+) Θ.Ι (ΙΙ) k N FΕΛ, FΕΛ, Wx (ΙΙΙ) Wy Wx N F ΕΛ, F ΕΛ, Wy (IV) (III) Ν W x F ΕΛ, F ΕΛ, Ν Σστ (IV) W y Wx Wy (V) φ = 0 Ο x x Δl = A Δl = A Α.Θ Η θέση αυτή είναι ακραία θέση για την ταλάντωση του σώματος διότι στη θέση αυτή είναι u = 0. Η θέση ισορροίας του σώματος είναι η θέση (ΙΙ) του σχήματος. τη θέση αυτή το σώμα ισορροεί, οότε ισχύει: Fy = 0 => N Wy = 0 => N = Wy => N = m g συν0 Ο => N = 0 Ν και Fx = 0 => Fελ, + Fελ, Wx = 0 => Fελ, + Fελ, = Wx => k Δl + k Δl = m g ημ0 Ο () 9
Αό την () έχουμε: 60 m N Δl + 40 m N Δl = 0 N => Δl = 0,05 m () την τυχαία θέση (ΙΙΙ) είναι: Fy = 0 και Fx = F ελ, + F ελ, Wx => Fx = k (Δl x) + k (Δl x) m g ημ0 Ο => Fx = k Δl k x + k Δl k x m g ημ0 Ο => *λόγω της ()+ => Fx = k Δl k x + k Δl k x k Δl k Δl => Fx = k x k x => Fx = (k + k) x Άρα το σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά εαναφοράς D = k + k = 00 N / m () Β. Ση χρονική στιγμή t = 0 το σώμα έχει u = 0 άρα βρίσκεται στην ακραία θέση x = + A. Οότε η αρχική του φάση είναι: x = A ημ(ω t + φ0) => [t = 0, x = +A] => + A = A ημφ0 => ημφ0 = + => φ0 = k + => [0 φ0 < => k = 0+ => φ0 = rad Σο λάτος Α είναι η αόσταση μεταξύ θέσης ισορροίας και ακραίας θέσης. Οότε: Α = Δl => *Λόγω της ()+ => Α = 0,05 m Για την κυκλική συχνότητα ω ισχύει: D = m ω => 00 m N = ( Κg) ω => ω = 0 rad / sec Οότε για την εξίσωση της αομάκρυνσης είναι: x = A ημ(ω t + φ0) => x = 0,05 ημ(0 t + ), S.I Γ. Ση χρονική στιγμή ου αφήνουμε το σώμα άνω στο σώμα και τα δύο σώματα έχουν u = 0, άρα το σύστημα βρίσκεται είσης σε ακραία θέση, η οοία είναι η ίδια ου ήταν και για το σώμα (εκεί τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος). Εειδή άλλαξε η μάζα του συστήματος, άλλαξε και η θέση ισορροίας της νέας ταλάντωσης. Νέα θέση ισορροίας έχουμε στη θέση (IV) του σχήματος. Εκεί ισχύει: Fy = 0 => N W y = 0 => N = W y => N = (m + m) g συν0 Ο => N = 40 Ν και Fx = 0 => F ελ, + F ελ, W x = 0 => F ελ, + F ελ, = W x => N N k Δl + k Δl = (m+ m) g ημ0 Ο => 60 Δl + 40 Δl = 40 N => Δl = 0, m (4) m m Σο λάτος Α είναι η αόσταση μεταξύ νέας θέσης ισορροίας και ακραίας θέσης. Οότε: Α = Δl => *Λόγω της (4)+ => Α = 0, m Εφόσον το δεν ολισθαίνει άνω στο το σύστημα συμεριφέρεται ως ένα σώμα μάζας: m = m + m = 8 Kg και σύμφωνα με το ερώτημα (Δ) εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά εαναφοράς: 0
D = 00 m N Αλλάζει όμως η κυκλική συχνότητα ω διότι αλλάζει η μάζα του σώματος (D = m ω με D = σταθερό). Έτσι είναι: D = m ω => 00 m N = (8 Κg) ω => ω = 5 rad / sec Σο εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με κυκλική συχνότητα ω ίδια με την κυκλική συχνότητα ω του συστήματος. Οότε για την σταθερά εαναφοράς της ταλάντωσης του είναι: D = m ω => D = (6 Κg) (5 rad / sec) => D = 50 N / m Δ. Η θέση (V) του σχήματος είναι τυχαία θέση για το σύστημα άρα είναι τυχαία θέση και για το. Οι δυνάμεις ου ασκούνται στο στη διεύθυνση της ταλάντωσης (άξονας x x) είναι η συνιστώσα Wx του βάρους του σώματος και η στατική τριβή Σστ (σχήμα, θέση V). τη θέση αυτή είναι: F x = D x => T στ + W, X = D x => Tστ + W,x = D x => Tστ + ( m g ημ0 Ο ) = 50 x => Tστ 0 = 50 x => Tστ = 0 50 x, S.I με - Α x A => - 0, m x 0, m Η μέγιστη τιμή ου αίρνει η στατική τριβή είναι για x = - 0, m: Tστ, = 0-50 (- 0,) Ν => Σ = 60 Ν (5) Για να μην ολισθαίνει το άνω στο ρέει: Σ Σστ,Max => *λόγω της (5)+ => 60 Ν μστ Ν (6) τον άξονα y y το σώμα δέχεται τις δυνάμεις Ν αό το σώμα και τη συνιστώσα W,y του βάρους του. Ισχύει: Fy = 0 => N W,y = 0 => N = W,y => N = m g συν0 Ο => Ν = 0 Ν Αό τις σχέσεις (5) και (6) είναι: 60 Ν μστ 0 Ν => μστ => μστ,min = Ε = C ΛΤΗ ΘΕΜΑΣΟ 5 Α. Η ολική ενέργεια του κυκλώματος «L C» είναι: Q => Q = E C => Q = (8 0-6 J) ( 4 0-6 F) => Q = 8 0-6 C B. Εειδή τη χρονική στιγμή t ο υκνωτής C είναι λήρως φορτισμένος με θετικό ολισμό τον Κ ισχύει: Φρονική στιγμή Πυκνωτής C Υορτίο ολισμού Κ Ένταση ρεύματος t + Q 0 T t + 4 0 - I (δεξιόστροφη) T t + 4 - Q 0 T t + 4 0 + Ι (αριστερόστροφη)
T Εομένως τη χρονική στιγμή t = t + ου μεταφέρεται ακαριαία ο μεταγωγός 4 στη θέση (Β) όλη η ενέργεια του κυκλώματος «L C» βρίσκεται στο ηνίο ως ενέργεια μαγνητικού εδίου. Αυτή η ενέργεια μεταφέρεται στο κύκλωμα «L C» και είναι η ολική ενέργεια ταλάντωσης του νέου κυκλώματος. Δηλαδή: UL = Ε = UL = Ε () Σα κύκλωμα «L C» ξεκινά με μέγιστη ένταση Ι, η οοία είναι ίση με την ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα «L C» τη στιγμή t ου μετακινήθηκε ο μεταγωγός στη θέση (Β). Πράγματι: ριν την μετακίνηση: UL = L I () μετά την μετακίνηση: UL = L I () Αό (), () και () είναι: Ι = I = Ι (4) Σο κοινό ρεύμα Ι υολογίζεται ως εξής: Ε = Ε = UL = L I => 8 0-6 J = (0,0 Η) Ι => Ι = 0,04 Α Γ. Σο μέτρο της μέγιστης ΗΕΔ αό αυτεαγωγή στα άκρα του ηνίου ισούται με την μέγιστη τάση στα άκρα του υκνωτή C. Είναι: Q = C V,max => V,max = Q / C (5) Αλλά: Ι = ω Q => Q = Ι / ω (6) και ω = => ω = 500 rad / sec (7) LC Αό (5), (6) και (7) είναι: Οότε: V, max = Volt ΕΑΤΣ,, ΜΑΦ = Volt T Δ. Ση χρονική στιγμή t = t + κατά την οοία ο μεταγωγός στρέφεται ακαριαία 4 αό τη θέση (α) στη θέση (Β) το ρεύμα στο ηνίο φαίνεται στο σχήμα. Σχήμα Ζ Α Β Γ Σχήμα Ζ Α Β Γ Κ μ Μ C C Λ Ν I L Κ μ Μ C C Λ Ν I L Ε Δ Ε Δ Γ Γ Λόγω φαινόμενου αυτεαγωγής το ηνίο διατηρεί στιγμιαία τη φορά και την τιμή της έντασης του ρεύματος έτσι όταν ο μεταγωγός στραφεί στη θέση (Β) το ρεύμα στιγμιαία θα έχει την ίδια τιμή και την ίδια φορά (σχήμα ). Εειδή η συμβατική φορά του ρεύματος ισοδυναμεί με κίνηση θετικού φορτίου άρα ρώτος θα φορτιστεί θετικά ο ολισμός Μ του υκνωτή C.
ΛΤΗ ΘΕΜΑΣΟ 6 Α. α. τη διάρκεια της ταλάντωσης ασκούνται στο σώμα η δύναμη εαναφοράς ου έχει άντοτε κατεύθυνση ρος τη θέση ισορροίας και η δύναμη της αόσβεσης ου έχει άντοτε φορά αντίθετη της ταχύτητας του σώματος. Έτσι τη χρονική στιγμή t ου το σώμα έχει ταχύτητα ρος τα αρνητικά η δύναμη αντίστασης έχει κατεύθυνση ρος τα θετικά. Οι δυνάμεις τη χρονική στιγμή t φαίνονται στο σχήμα. Η δύναμη εαναφοράς έχει μέτρο: FΕΠ = D x =>[D = k] => FΕΠ = k x => FΕΠ = (400 N/m) (+ 0,5m) => FΕΠ = 60 N Σο μέτρο της συνισταμένης δύναμης είναι: du F = m α => F = m => F = ( Κg) (0 m / sec ) => F = 40N Παρατηρούμε ότι: F < FΕΠ α FΕΠ F u Και εειδή οι δυνάμεις FΕΠ και FΑΠ είναι συγγραμμικές, οι δυνάμεις FΕΠ και FΑΠ είναι αντίρροες και ισχύει: F = FΕΠ - FΑΠ => 40Ν = 60Ν - FΑΠ => FΑΠ = 0Ν => b u = 0N => m 4 Kg b 5 = 0N => b = sec sec β. Αφού οι δυνάμεις FΕΠ και FΑΠ είναι αντίρροες το σώμα τη χρονική στιγμή t = t λησιάζει στη θέση ισορροίας του. ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ!!! τη φθίνουσα μηχανική ταλάντωση όταν το σώμα λησιάζει στη θέση ισορροίας της ταλάντωσής του η δύναμη εαναφοράς έχει φορά ρος τη θέση ισορροίας και η δύναμη αόσβεσης έχει αντίθετη φορά, ενώ όταν το σώμα αομακρύνεται αό τη θέση ισορροίας της ταλάντωσής του η δύναμη εαναφοράς έχει φορά ρος τη θέση ισορροίας και η δύναμη αόσβεσης έχει ίδια φορά, (βλέε αρακάτω σχήμα). x FΑΠ (+) Σο σώμα Θ.Η.Τ (+) λησιάζει στη θέση ισορροίας FΕΠ F u α FΑΠ Σο σώμα Θ.Η.Τ (+) αομακρύνεται αό τη θέση ισορροίας FΕΠ FΑΠ F u α u α F u α F FΑΠ FΕΠ FΑΠ FΕΠ FΑΠ FΑΠ
Β. α. το τέλος κάθε εριόδου το λάτος της ταλάντωσης μειώνεται κατά 50%, δηλαδή υοδιλασιάζεται. Σα λάτη Α και Α στο τέλος της ρώτης και της δεύτερης εριόδου αντίστοιχα είναι: A = A0 / () και Α = Α / => *λόγω της ()+ => Α = Α0 / 4 Η εί τοις εκατό μείωση της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης είναι: ΔΕ(%) = E 0 - E 00 % = E 0 DA 0 - DA 0 DA A 00 % = 0 - A 00 % => A 0 A 0 A 0 - ( ) - ΔΕ(%) = 4 00 % => ΔΕ(%) = 6 5 00 % => ΔΕ(%) = 00 % => A 0 6 ΔΕ(%) = 9,75% β. Σο έργο της δύναμης FΑΠ είναι ίσο με τη μεταβολή της ενέργειας της ταλάντωσης. Εομένως: A W F = ΔΕ = Ε - Ε0 = D A - D A0 = k A - k A0 = k ( 0 ) - k A0 ΑΠ 4 => 5 W F = k A0 ( - ) => W ΑΠ 6 F = - k A0 => ΑΠ 6 W F = - 0,075 Joule ΑΠ ΛΤΗ ΘΕΜΑΣΟ 7 Α. Σο λάτος του φορτίου του υκνωτή μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση: Q = 4 0-4 e -(ln6) t, (S.I) Αλλά: Q = Q0 e -Λ t Άρα: Q0 = 4 0-4 C και Λ = ln6 sec - Ση χρονική στιγμή t το λάτος του φορτίου έχει υοτετραλασιαστεί, οότε: Q 0 ln4 ln4 ln = Q0 e -Λ t => ln ln4 = -Λ t lne => - ln4 = - Λ t => t = => t = => t = 4 Λ ln6 4ln => t = 0,5 sec Εομένως ο αριθμός των ταλαντώσεων είναι: Ν = t / T => N = 500 ταλαντώσεις Β. Η θερμότητα ου έχει εκλυθεί στο εριβάλλον αό τον αντιστάτη μετά αό 50 ταλαντώσεις ισούται με την αώλεια ενέργειας κατά τη διάρκεια αυτών των φθίνουσων ταλαντώσεων. QR = ΕΑΠΩΛ = ΕΑΡΦ - ΕΣΕΛ () Αλλά: Q ΕΑΡΦ = 0 (4 0-4 ) => ΕΑΡΦ = => ΕΑΡΦ = 0,04 Joule () C 0-6 4
Για να γίνουν N = 50 ταλαντώσεις έρασε χρόνο: t = N T => t = 50 0 - sec => t = 0,5 sec Σο λάτος φορτίου του υκνωτή εκείνη τη στιγμή είναι: Q = 4 0-4 e -(ln6) 0,5 => Q = 4 0-4 e -4 (ln) 0,5 => Q = 4 0-4 e -ln => Q = 0-4 C Οότε η τελική ενέργεια είναι: Q ( 0-4 ) ΕΣΕΛ = => ΕΣΕΛ = => ΕΣΕΛ = 0,0 Joule () C 0-6 Αό (), () και () είναι: QR = 0,04 Joule 0,0 Joule => QR = 0,0 Joule Γ. Ση χρονική στιγμή t = N T είναι: QΝ = Q0 e -Λ t => QΝ = Q0 e -Λ N T (4) Ση χρονική στιγμή t = (N+) T είναι: QΝ+ = Q0 e -Λ t => QΝ+ = Q0 e -Λ (N+) T (5) Αό (4) και (5) είναι: Για Ν = 0 είναι: Για Ν = είναι: Άρα: Q N Q N + = - e e - ΛNT Λ(N + )T = Q 0 Q Q Q - e e - ΛNT ΛNT - ΛT = e Λ T = e Λ T Q 0 Q = Q Q = e Λ T = σταθερό ΛΤΗ ΘΕΜΑΣΟ 8 Α. α. Καθώς ο τροχός εριστρέφεται ολύ αργά με συχνότητα ου τείνει στο μηδέν το σώμα δεν εκδηλώνει αδράνεια. Έτσι το ελατήριο διατη-ρεί το μήκος του σταθερό και το σώμα αλινδρομεί κατακόρυφα μεταξύ δύο ακραίων θέσεων ου αέχουν (σχήμα ): L = d Άρα το λάτος της ταλάντωσης του σώματος είναι: L d Α = => Α = => Α = d => Α = 0, m β. Σο σύστημα ταλαντώνεται με μηδενική αόσβεση (b = 0). Εομένως όταν η συχνότητα εριστροφής του τροχού γίνει ακριβώς ίση με την ιδιοσυχνότητα f0 το σύστημα συντονίζεται και αοκτά ολύ μεγάλο λάτος ταλάντωσης, θεωρητικά άειρο (σχήμα ). Σχήμα k L Σ m Τρ. fδ, Α χήμα b = 0 0, 0 f0 fδ 5
γ. (i) H γωνιακή συχνότητα εριστροφής του τροχού (ω) είναι ίση με τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης του συστήματος. Οότε είναι: ω = ωσαλ = 6 rad / sec Για τη συχνότητα f της ταλάντωσης ισχύει: ωσαλ = f => f = ωσαλ / ( ) => f = (6 / ) => f = Ηz (ii) Η ιδιοσυχνότητα του συστήματος είναι: f0 = k m => f0 = 400 Ν / m 4 kg => f0 = 5 Hz Σο λάτος ταλάντωσης του συστήματος αυξάνε-ται όσο η συχνότητα της ταλάντωσης είναι μικρό-τερη αό την ιδιοσυχνότητα του συστήματος και λησιάζει την ιδιοσυχνότητα f0. Εειδή είναι: f = Hz < f = 4 Hz < f0 = 5 Hz Σο λάτος της ταλάντωσης θα αυξηθεί αό Α = 0, m σε Α (βλέε σχήμα ). Α(m) χήμα b = 0 b = 0 A 0, 0, 0 4 5 fδ (Hz) Β. τη θέση με αομάκρυνση x = + 0, m η συνισταμένη δύναμη ου δέχεται το σώμα έχει τιμή: F = m α = (4 kg) (- 6 m / s ) => F = - 4 N Σο σώμα δέχεται κάθε στιγμή τη δύναμη εαναφοράς, τη δύναμη αόσβεσης και τη δύναμη του διεγέρτη. Η δύναμη εαναφοράς του συστήματος είναι η συνισταμένη των συντηρητικών δυνάμεων του ελατηρίου και του βάρους και δίνεται αό τη σχέση: 6
FΕΠ = - D x => [D = k] => FΕΠ = - k x => FΕΠ = - (400 Ν / m) (+ 0, m) => FΕΠ = - 40 N Για τη συνισταμένη δύναμη ισχύει: F = F ΕΠ + F Δ + F ΑΠ Εειδή οι δυνάμεις είναι συγγραμμικές η ιο άνω σχέση γίνεται: F = FΕΠ + FΔ + FΑΠ => - 4 Ν = - 40 Ν + 0 Ν + FΑΠ => FΑΠ = - 4 Ν => - b u = - 4 N => - b (+ m / sec) = - 4 N => b = Kg / sec Γ. Η ενέργεια ου ροσφέρει η δύναμη του διεγέρτη σε χρόνο μιας εριόδου στο σύστημα είναι: *με αόδειξη]: W (0 Σ) = b ω A => W (0 Σ) = ( Kg / sec) rad/sec (0, m) F Δ F Δ W =,08 Joule => (0 Σ) F Δ Η δύναμη εαναφοράς είναι συντηρητική δύναμη και στη διάρκεια μιας εριόδου ισχύει: W F ΕΠ = - ΔUΣΑΛ = - (UΣΑΛ, ΣΕΛ UΣΑΛ, ΑΡΦ) = UΣΑΛ, ΑΡΦ UΣΑΛ, ΣΕΛ = D A - D A => W F ΕΠ = 0 ΛΤΗ ΘΕΜΑΣΟ 9 Α. α. Σο μέγιστο φορτίο ου έχει ο υκνωτής τη χρονική στιγμή t = 0 είναι το φορτίο ου αέκτησε αό τη φόρτισή του αό την ηγή. Άρα: Q0 = C V0 Q0 = 0-6 F 50 Volt Q0 = 0-4 C δ β. Η ολική ενέργεια ου έχει το κύκλωμα τη χρονική στιγμή t = 0 είναι η ενέργεια ου είναι δ αοθηκευμένη στον υκνωτή εκείνη τη στιγμή. Άρα: L t = 0 C Q0 ΕΣ = UE,max = (0-4 ) ΕΣ = ΕΣ =,5 0 C 0-6 - Joule γ. Ισχύει: Q Q0 UE = UB UE = (ET UE) 4 UE = ET 4 = C C R 4 Q = Q0 Q = Q0 / 4 Q = ± Q0 Q = ± 0-4 Q = ± 5 0-5 C Β. Όταν κλείνουμε το διακότη δ και ανοίγουμε το διακότη δ το κύκλωμα μετατρέεται σε κύκλωμα R L C και άρα εκτελεί φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Ση χρονική στιγ μή t = T το φορτίο στον υκνωτή είναι Q = Q0 = 0-4 C διότι το ιδανικό κύκλωμα L C έχει ολοκληρώσει μια λήρη ταλάντωση και άρα έχει εανέλθει στην κατάσταση ου βρισκόταν τη χρονική στιγμή t = 0. Οότε και η ενέργεια του κυκλώματος R L C τη χρονική στιγμή t = T είναι όση ήταν τη χρονική στιγμή t = 0. Δηλαδή: ΕΣ =,5 0 - Joule δ R L t = T C δ 7
το τέλος της μιας εριόδου το κύκλωμα έχει χάσει το 50% της ενέργειας ΕΣ. άρα ισχύει: Q Q0 Ε Σ = ΕΣ 50% ΕΣ => Ε Σ = ΕΣ / => = => Q = Q0 / => C C Q = ± Q0 => Q = ± 0-4 C => Q = ± 5 0-5 C Και εειδή είναι στο τέλος της εριόδου ισχύει: Q = + 5 0-5 C Γ. Κάοια χρονική στιγμή t το κύκλωμα R L C βρίσκεται σε εαγωγική σύζευξη με ένα δεύτερο κύκλωμα L - C, R το οοίο αίζει το ρόλο του διεγέρτη για το ρώτο δ κύκλωμα. δ α. Σο αρχικό κύκλωμα θα ταλαντώνεται λέον με C L L C την συχνότητα ου του ειβάλλει ο διεγέρτης (fδ). o κύκλωμα o κύκλωμα Για τη συχνότητα του διεγέρτη ισχύει: 5 0 fδ = fδ = fδ = L C L C Hz Άρα: fσαλ = fδ = 5 0 β. Για να ταλαντώνεται το αρχικό κύκλωμα έχοντας το μέγιστο δυνατό φορτίο ρέει να βρίσκεται σε συντονισμό με το δεύτερο κύκλωμα. Σο μέγιστο δυνατό φορτίο του ρώτου κυκλώματος είναι αυτό ου αέκτησε ο υκνωτής χωρητικότητας C όταν φορτίστηκε αό την ηγή. Άρα ρέει: f δ = f0 όου f0 η ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος L - C. Άρα: = L C LC Hz => L C = L C => L C = L C => C = 4 0-6 F ΛΤΗ ΘΕΜΑΣΟ 0 Αό τη δοθείσα γραφική αράσταση αρατηρούμε ότι τη χρονική στιγμή t0 = 0 το λάτος της ταλάντωσης δεν είναι μέγιστο, (όως το διακρότημα στη γραφική αράσταση ου δίνει το σχολικό βιβλίο). Άρα ο εξισώσεις των ειμέρους αλών αρμονικών ταλαντώσεων θα έχουν αρχική φάση. Οότε είναι: x = A ημ(ω t + φ0,) () και x = A ημ(ω t + φ0,) () Για τη σύνθετη ταλάντωση ισχύει: x = x + x => x = A ημ(ω t + φ0,) + A ημ(ω t + φ0,) => ω t + φ 0, -ω t - φ 0, ω ω t φ 0, x = A συν ημ t + φ 0, + + => 8
με ω φ 0, -φ 0, x = A συν t -ω t +( ) ω ω t φ 0, φ 0, ημ t + +( + ) => ω x = A συν( -ω φ 0, - φ 0, ω t + ) ημ( + ω φ 0, + φ 0, t + ) => φ 0, -φ 0, φ 0,+ φ 0, x = A συν(ωλάτους t + ) ημ(ωταλ t + ) () Αό τη σχέση () ροκύτει: Α = A συν(ωλάτους t + φ 0, -φ 0, ) (4) ω -ω ω ωπλασοτ = (5) και ωσαλ = + ω (6) Είσης αό τη δοθείσα γραφική αράσταση ροκύτει: Σδ = sec => Σδ = sec => = sec => f f -f -f = Hz => f -f = rad / sec => ω -ω = rad / sec => *έστω ω > ω] => ω ω = ( ) rad / sec (7) Είσης αό τη δοθείσα γραφική αράσταση ροκύτει ότι σε χρόνο sec το σώμα έχει εκτελέσει λήρεις ταλαντώσεις. Άρα: TΣΑΛ = ΣΠΛΑΣΟΤ => ω ΣΑΛ = sec => ωσαλ = ( ) rad / sec => ω + ω = ( ) rad / sec => ω + ω = (6 ) rad / sec (8) Αό τις σχέσεις (7) και (8) ροκύτει: ω = (4 ) rad / sec (9) και ω = ( ) rad / sec (0) Αό τις σχέσεις (5), (9) και (0) ροκύτει: ω ωπλασοτ = -ω => ωπλασοτ = rad / sec () Αό τις σχέσεις (6), (9) και (0) ροκύτει: ω ω ωσαλ = + => ωσαλ = rad / sec () Αό τις σχέσεις (), () και () ροκύτει: φ 0, -φ 0, φ 0,+ φ 0, x = A συν( t + ) ημ( t + ) () ρέει: 0 φ0, < (4) και 0 φ0, < (5) Άρα: φ0, - φ0, < (6) Αό τη δοθείσα γραφική αράσταση ροκύτει ότι τη χρονική στιγμή t0 = 0 είναι: φ 0, -φ 0, Α = 0 => *λόγω της (4)+ => A συν(ωλάτους t + ) = 0 => [t = 0] => φ 0, - φ 0, φ 0, - φ 0, A συν( ) = 0 => = k + => φ0, - φ0, = k + (7) Αό τις σχέσεις (6), (7)ροκύτει: k = 0 Αό τη σχέση (7) ροκύτει: φ0, φ0, = rad (8) 9
Αό τη δοθείσα γραφική αράσταση ροκύτει ότι τη χρονική στιγμή: t = TΣΑΛ / = ( ) / ωσαλ) = / ( ) = ( / ) sec (9) είναι: φ 0, -φ 0, φ 0,+ φ 0, x = 0 => *λόγω της ()+ => A συν(ωλάτους t + ) ημ(ωταλ t + ) = 0 => φ 0, + φ 0, *λόγω των (), (), (8)] => A συν* (/) + (/)+ ημ[ (/) + ] = 0 => *εειδή τη στιγμή t = TΣΑΛ / το λάτος Α είναι διάφορο του μηδενός+ => φ 0,+ φ 0, φ 0,+ φ 0, φ 0,+ φ 0, ημ* (/) + ] = 0 => ημ( + ) = 0 => + = k => φ 0, + φ 0, = (k ) (0) Η τιμή k = 0 αορρίτεται διότι για k = 0 η σχέση (0) γίνεται: φ 0, + φ 0, = - => φ0, + φ0, = - δηλαδή ένα αό τη φ0, ή τη φ0, είναι αρνητικό. Η τιμή k = αορρίτεται διότι για k = η σχέση (0) γίνεται φ 0, + φ 0, = 0 => φ0, + φ0, = 0 δηλαδή ένα αό τη φ0, ή τη φ0, είναι αρνητικό ή και τα δύο είναι μηδέν. αυτή την ερίτωση θα έρεε το λάτος τη στιγμή μηδέν να είναι μέγιστο και όχι μηδέν όως φαίνεται στη γραφική αράσταση ου μας δίνει η άσκηση. Η τιμή k = αορρίτεται διότι για k = η σχέση (0) γίνεται φ 0, + φ 0, = => φ0, + φ0, = 4 δηλαδή ένα αό τη φ0, ή τη φ0, είναι μεγαλύτερη αό ή και οι δύο είναι ίσες με. άτοο. Ομοίως συμβαίνει και για k >. Άρα η δεκτή τιμή είναι k =. Για k = η σχέση (0) γίνεται φ 0, + φ 0, = => φ0, + φ0, = () Αό τις σχέσεις (8) και () ροκύτει: φ0, = ( / ) rad () και φ0, = ( / ) rad () Είσης αό τη δοθείσα γραφική αράσταση ροκύτει ότι: ΑMAX = 0, m => Α = 0, m => A = 0, m (4) Άρα οι εξισώσεις των αλών αρμονικών ταλαντώσεων είναι: x = 0, ημ[4 t + ( /), (S,I) και x = 0, ημ[ t + (/), (S,I) Παρατήρηση: Αν ήταν ω > ω τότε οι εξισώσεις θα ήταν: x = 0, ημ[ t + (/), (S,I) και x = 0, ημ[4 t + ( /), (S,I) ή Αό τη δοθείσα γραφική αράσταση αρατηρούμε ότι τη χρονική στιγμή t0 = 0 το λάτος της ταλάντωσης δεν είναι μέγιστο, (όως το διακρότημα στη γραφική 0
αράσταση ου δίνει το σχολικό βιβλίο). Άρα ο εξισώσεις των ειμέρους αλών αρμονικών ταλαντώσεων θα έχουν αρχική φάση. Οότε είναι: x = A ημ(ω t + φ0,) () και x = A ημ(ω t + φ0,) () Αό τη δοθείσα γραφική αράσταση ροκύτει ότι σε χρόνο sec το σώμα έχει εκτελέσει λήρεις ταλαντώσεις. Άρα: TΣΑΛ = sec => TΣΑΛ = sec Άρα: ωσαλ = => ωσαλ = ( ) rad / sec => T ΣΑΛ Αό τη δοθείσα γραφική αράσταση ροκύτει είσης ότι: Α = 0, m => Α = 0, m = Α = Α Για τη σύνθετη ταλάντωση ισχύει: x =A ημ(ωταλ t + φ0) () με Α = A ημ(ωλάτους t + φ0 ) (4) Για τη σύνθετη ταλάντωση ισχύει: την t = 0, x = 0, u >0 άρα: φ0 = 0 (5) Για τη συνάρτηση Α ισχύει: την t = 0, x = 0, u >0 άρα: φ0 = 0 (6) Αό τη δοθείσα γραφική αράσταση ροκύτει ότι η συνάρτηση Α έχει ερίοδο: T Α = sec Άρα: ωλάτους = => ωλάτους = rad / sec (7) T A Αό τις σχέσεις (), (4), (5), (6) και (7) ροκύτει: x = 0, ημ( t) ημ( t) (8) Όμως είναι: με και συνα συνβ = ημ A + B A + B ημ B - A (9) = t => Α + Β = 6 t (0) B - A = t => Β - Α = t () Αό τις σχέσεις (0) και () ροκύτει: Α = t () Β = 4 t () Αό τις σχέσεις (8), (9), (0), (), () και () ροκύτει: x = 0, ημ( t + ) + 0, ημ(4 t + ) => x = x + x
Άρα οι εξισώσεις των αλών αρμονικών ταλαντώσεων είναι: x = 0, ημ[4 t + ( /), (S,I) και x = 0, ημ[ t + (/), (S,I) ή x = 0, ημ[ t + (/), (S,I) και x = 0, ημ[4 t + ( /), (S,I) ΛΤΗ ΘΕΜΑΣΟ Α. Εειδή οι δύο ταλαντώσεις () και () έχουν την ίδια γωνιακή συχνότητα ω, οι εξισώσεις των δύο ταλαντώσεων είναι: x = Α ημ(ω t + φ0,) () και x = Α ημ(ω t + φ0,) () Αό το διάγραμμα για τη χρονική στιγμή t = είναι: ω φ = φ0, => *λόγω της ()+ => ω t + φ0, = φ0, => *αό εκφώνηση: φ0, = φ0,] => ω + φ0, = φ0, => φ0, = rad () ω Αό εκφώνηση: φ0, = φ0, => *λόγω της ()+ => φ0, = rad (4) Β. Όως φαίνεται αό το ρώτο ερώτημα οι δύο ταλαντώσεις () και () έχουν διαφορά φάσης και ροηγείται η ταλάντωση (). Ισχύει: Δφ = φ φ = ω t + φ0, - ω t - φ0, => Δφ = φ0, - φ0, => *λόγω (), (4)+ => Δφ = rad (5) Για το λάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι: Α = A + A + A A συνδφ => *λόγω της (5)+ => Α = A + A => => *αό εκφώνηση: Α = Α+ => Α = Α => => *αό εκφώνηση: Α = m] => Α = m Αό εκφώνηση: Α = Α => Α = m Γ. α. Για την ταλάντωση () αό τη σχέση () για ω = 0 rad / sec, Α = m και φ0, = rad είναι: x = ημ(0 t + ), (S.I) Για την ταλάντωση () αό τη σχέση () για ω = 0 rad / sec, Α = rad είναι: x = ημ(0 t + ), (S.I) Για την σύνθετη ταλάντωση είναι: x = Α ημ(ω t + φ0, + θ) (5) με ημ A εφθ = ημδφ => εφθ = A + A συνδφ + συν => θ = 6 rad => εφθ = m και φ0, = => εφθ = => θ = 0 ο
Για τη σύνθετη ταλάντωση αό τη σχέση (5) για ω = 0 rad / sec, Α = m, φ0, = rad και θ = 6 rad είναι: x = ημ(0 t + + ) => x = ημ(0 t + ) (S.I) (6) 6 για να φτιάξουμε τις γραφικές αραστάσεις εργαζόμαστε ως εξής: T = Π / ω => T = / 5 sec Βρίσκουμε ου μηδενίζεται η συνάρτηση x = f(t): x = 0 => [λόγω της (6)+ => ημ(0 t + ) = 0 => 0 t + = k => => => *για την ρώτη ερίοδο+ => t = / 0 sec και t = 4 / 0 sec Βρίσκουμε ότε είναι x = - A για τη σύνθετη ταλάντωση x = f(t): x = - Α => [λόγω της (6)+ => ημ(0 t + ) = - => 0 t + = k + => => => *για την ρώτη ερίοδο+ => t = / sec Βρίσκουμε ότε είναι x = + A για τη σύνθετη ταλάντωση x = f(t): x = + Α => [λόγω της (6)+ => ημ(0 t + ) = + => 0 t + = k + => => => *για την ρώτη ερίοδο+ => t = / 60 sec Οι γραφικές αραστάσεις φαίνονται στο αρακάτω σχήμα. x, x, x (m) 0 0 0 5 0 7 60 5 t (sec) - - -
Δ. Εφόσον η δύναμη αόσβεσης αρχίζει να ενεργεί όταν το σώμα βρίσκεται σε ακραία θετική αομάκρυνση και η δύναμη αόσβεσης είναι της μορφής: FΑΝΣ = - b u το λάτος (μέγιστη θετική αομάκρυνση) δίνεται αό τη σχέση: Α = Α0 e -Λ t, με Α0 = m (7) Για Δt = 6 sec μετά την στιγμή ου άρχισε να δρα η δύναμη αντίστασης είναι: ln Α = Α0 e -Λ Δt =>[Α = Α0 /, Δt = 6 sec] => = e -6 Λ => ln = 6 Λ => Λ = sec - (8) 6 Για A = A0 / 6 αό τη σχέση (7) είναι: Α = Α0 e -Λ Δt =>[Α = Α0 / 6] => ln6 = Λ Δt => *Λ = ln sec - ] => 4 ln = 6 ln Δt => 6 Δt = 4 sec Δηλαδή το λάτος θα γίνει Α0 / 6, 4 sec μετά τη στιγμή ου άρχισε να δρα η δύναμη αντίστασης. 4