Κεφάαιο 7 Μέθοδος υνάµεων Όπως είδαµε, οι ιδιοτιµές παίζουν σηµαντικό ρόο στην αριθµητική επίυση των γραµµικών συστηµάτων. Σε ποές εφαρµογές προέχει ο αριθµητικός υποογισµός των ιδιοποσών (ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων) ενός µητρώου. Θα πρέπει να τονισθεί ότι ο υποογισµός ιδιοποσών µεγάων µητρώων από την επίυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης φ() = det(a-i) = 0 (βαθµού ) και του οµογενούς συστήµατος (Α-Ι) = 0, είναι συνήθως διαδικασία πούποκη και ασύµφορη όγω συσσώρευσης αθών στρογγύευσης. Για το σκοπό αυτό έχουν αναπτυχθεί άες αποδοτικότερες µέθοδοι. Η απούστερη είναι η µέθοδος υνάµεων, ενώ γενική απάντηση στο πρόβηµα παρέχει η µέθοδος QR. Στο κεφάαιο αυτό περιγράφεται µόνον η µέθοδος των δυνάµεων. Η µέθοδος των δυνάµεων εφαρµόζεται για τον προσεγγιστικό υποογισµό της φασµατικής ακτίνας ρ(α)= ma και του αντίστοιχου ιδιοδιανύσµατος ενός µητρώου το οποίο έχει γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα (είναι γνωστό ότι δεν συµβαίνει πάντα αυτό) και ma >, µε ma. ηαδή ή κατ απόυτη τιµή µεγαύτερη ιδιοτιµή ma είναι απή και ως εκ τούτου πραγµατική. Κατά συνέπεια, η µέθοδος προσφέρεται για τον υποογισµό της φασµατικής ακτίνας συµµετρικών και ερµιτιανών µητρώων (στα οποία η ύπαρξη ανεξάρτητων ιδιοδιανυσµάτων είναι εξασφαισµένη από το φασµατικό θεώρηµα), για τα οποία ισχύει ma >, ma. Με τις παραπάνω παραδοχές ισχύει το παρακάτω θεώρηµα. Θεώρηµα 7.. - Μέθοδος υνάµεων Αν ένα µητρώο Α έχει ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα (διαγωνιοποιήσιµο) και για τις ιδιοτιµές του ισχύει η διάταξη > 2 3..., τότε η ακοουθία = A -, =,2,... 0 0 αυθαίρετο διάνυσµα (7..) συγκίνει στο ιδιοδιάνυσµα v που αντιστοιχεί στη φασµατική ακτίνα ρ(α)=. Επίσης, για κάθε συνιστώσα,2,... ισχύει: lm, = (7..2) Α όδειξη. Αφού τα {v},2,... είναι γραµµικά ανεξάρτητα, το 0 γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός τους: 0 = c v για κάποια c R. Επίσης, αν τα είναι ιδιοτιµές, τότε ισχύει Α v = v,,2,...,. Από τις παρακάτω σχέσεις και την (7..) προκύπτει: = A 0 = A c v = c A v = ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/204
VII-2 = κ c v ι = c v + κ c v = 2 = [ c v + ( ) cv ] 2 Επειδή είναι / <, για κάθε > προκύπτει lm = c v (7..3) και συνεπώς τα και v τείνουν να γίνουν συγγραµµικά. Αά και το c v είναι ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην, και εποµένως η { } συγκίνει σε ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην. Εξ' άου, αν = (, 2,..., ) Τ, έχουµε:, = j cv + ( ) cvj j= 2 j cv + ( ) cvj j= 2 Aν c 0, επιέγουµε ένα τέτοιο ώστε vj 0, οπότε το παραπάνω κάσµα συγκίνει στο για. Αν είναι c =0, τότε επιέγουµε άο κατάηο 0 τέτοιο ώστε c 0. Η σχέση (7..2) υπαγορεύει µια επαναηπτική διαδικασία εύρεσης της σαν όριο του όγου /,-, όπου είναι η -συνιστώσα του και, - η -συνιστώσα του -. Παρατηρούµε όµως ότι οι συνιστώσες του τείνουν στο 0 όταν <, ενώ όταν > τείνουν στο ±. Για να αποφύγουµε οιπόν ενδεχόµενο διαίρεσης µε 0 ή επερχείησης, αά και σφάµατα από απώειες ψηφίων στους υποογισµούς µε διαιρέσεις µε πού µικρούς αριθµούς, διαιρούµε σε κάθε επανάηψη το µε τη νόρµα 2 (µοναδιαίο διάνυσµα). Τότε ισχύει: lm 2 = v (7..4) όπου v 2 =. Ένας άος τρόπος άρσης του πιο πάνω µειονεκτήµατος, βασίζεται στη κανονικοποίηση του µε τη νόρµα, δηαδή στο σχηµατισµό του διανύσµατος (c +) - (c + η µεγαύτερη συνιστώσα του κατ απόυτη τιµή). Τότε, η µεγαύτερη σε απόυτη τιµή συνιστώσα του θα είναι το. Η µέθοδος των δυνάµεων διαµορφώνεται έτσι: u = A και += και θα ισχύει: lm c = vκαι lm c + u (7..5) = (7..6) ιαπιστώνεται εύκοα ότι η σύγκιση της µεθόδου των δυνάµεων είναι γραµµική. Παράδειγµα 7.. Έστω το µητρώο ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/204
VII-3 A = Εφαρµόζουµε τη µέθοδο των δυνάµεων µε κανονικοποίηση. Ξεκινάµε µε 0 =(,,) T και µε διαδοχικές επαναήψεις των (7..5) βρίσκουµε τα και c : η επανάηψη: 2 η επανάηψη:... 7 η επανάηψη: Η ακοουθία { } συγκίνει στο ιδιοδιάνυσµα v=(0.4, 0.6,.0), ενώ η ακοουθία { } συγκίνει στην ιδιοτιµή =4. 7..2. Εφαρµογή Μεθόδου υνάµεων σε Συµµετρικό πίνακα Η µέθοδος των δυνάµεων µπορεί να εφαρµοσθεί για τον υποογισµό όων των ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων των συµµετρικών µητρώων, τα οποία έχουν ως γνωστόν πραγµατικές ιδιοτιµές. Αποδεικνύουµε αρχικά το εξής ήµµα. Λήµµα 7... Αν οι ιδιοτιµές ενός ραγµατικού συµµετρικού ίνακα είναι διακεκριµένες, τότε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα είναι ορθογώνια µεταξύ τους. Α όδειξη Έστω, 2,, οι διακεκριµένες ιδιοτιµές µε αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα v, v 2,, v θα δείξουµε ότι <v, v j>= v t v j=0 για j. Από την A v v έχουµε v t A= v t. Ποαπασιάζοντας µε v j (j ) παίρνουµε v t Avj = v t vj = jvj t vj ή (-j)v t vj = 0. Επειδή -j 0 προκύπτει v Τ vj = 0. Βάσει του φασµατικού θεωρήµατος, τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα συνιστούν ορθογώνια βάση του ιδιοχώρου. Από αυτήν µπορεί προφανώς να εξαχθεί µια ορθοκανονική βάση. Το σχήµα (7..) µπορεί τώρα να χρησιµοποιηθεί επαναηπτικά, προκειµένου να προσεγγιστούν όες οι ιδιοτιµές ενός συµµετρικού ή ερµιτιανού µητρώου που έχει διακεκριµένες ιδιοτιµές. Αυτό εξασφαίζεται από τη διαπίστωση ότι, αν τα q, q 2 q είναι ορθοκανονικά ιδιοδιανύσµατα του Α, τότε το µητρώο Α=Α-qq Τ έχει τις ίδιες ιδιοτιµές πην της, συν την µηδενική: 0, 2,3,, µε τα ίδια αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα q 2 q : Θεώρηµα 7..2 Power method deflato Αν {v},,2,, είναι ορθογώνια και µοναδιαία ( v 2=) ιδιοδιανύσµατα ενός συµµετρικού (ή ερµιτιανού) µητρώου A, το οποίο έχει διαφορετικές ιδιοτιµές, 2,,, τότε οι ιδιοτιµές του µητρώου A = A - vv Τ είναι 0, 2,, µε αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα {v},,2,,. ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/204
VII-4 Α όδειξη Εύκοα δείχνεται ότι το µητρώο A είναι και αυτό συµµετρικό. Επίσης, είναι v 2=v Τ v=, άρα Α v =(A- v v Τ)v = Av - v (v Τv ) = v - v = 0= v 0, εποµένως το 0 είναι ιδιοτιµή του Α µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το v. Για 2, είναι v Τ v = 0, οπότε παίρνουµε Αv = Av - v(vv Τ ) =Av - v 0 =Av v και εποµένως το j, 2, είναι ιδιοτιµή του Α µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το v. To Θ7..2 υπαγορεύει τη διαδικασία υποογισµού όων των ιδιοτιµών ενός συµµετρικού ή ερµιτιανού πίνακα µε διακεκριµένες ιδιοτιµές. Αν υποθέσουµε ότι ισχύει η διάταξη > 2 > 3 >, τότε η µεγαύτερη ιδιοτιµή του Α είναι η 2, η οποία υποογίζεται µε εφαρµογή της µεθόδου των δυνάµεων στον πίνακα Α. Θέτοντας αρχικά Α 0=Α και επανααµβάνοντας για 2,,- τη διαδικασία αυτή, υποογίζουµε στην επανάηψη µε τη µέθοδο των δυνάµεων την ιδιοτιµή + του πίνακα Α I =A - - v v Τ, ο οποίος έχει ιδιοτιµές 0,,0, +,, (- µηδενικά) και τα ίδια ιδιοδιανύσµατα µε τον Α. Το παραπάνω επαναηπτικό σχήµα µπορεί να διαµορφωθεί από τον εξής αγόριθµο: s 0 =[,, ] T ; [, v ] = powerm(α, s 0 ); for : - do q =v / v ; Α =Α - - q q T [, v ]= powerm(α, q ); ed; Παράδειγµα 7..2 [Matlab] Τροποποιηµένη Μέθοδος των υνάµεων Με την προϋπόθεση ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ 7..2. ( διακεκριµένες ιδιοτιµές), υοποιούµε εδώ τη µέθοδο των δυνάµεων, εφαρµόζοντάς την για την προσέγγιση των ιδιοτιµών και των ιδιοδιανυσµάτων ενός συµµετρικού µητρώου ή ερµιτιανού µητρώου. Η fucto (Μ-fle) της Matlab power_method_deflato που ακοουθεί, είναι εφαρµόσιµη σε συµµετρικά µητρώα και υοποιεί τη µέθοδο µε εφαρµογή κανονικοποίησης µε τη νόρµα 2 για την αποφυγή σφαµάτων στρογγύευσης στον υποογισµό των πηίκων. fucto [LV EV I] = power_method_deflato(a, prec, tres) % INPUT % A: symmetrc matr % prec: tolerace % tres: ma umber of teratos % OUTPUT % LV: vector of egevalues % EV: matr of egevectors % I: vector of the umber of teratos for each egevalue f = sequal(a, A'); % checg f matr s symmetrc f(f == ) for = : sze(a) f( == ) % usg as startg vector a vector of oes st terato [m ] = sze(a); = oes(,); [v l V L ter doe] = power_method(a, prec, tres, ); v = v / orm(v,2); % ormalzg egevector A = A - l * v * v'; % updatg A for the et egevalue LV = l; % storg the egevalue ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/204
VII-5 EV = v; % storg the egevector I = ter; % umber of teratos for each egevalue else [v l V L ter doe] = power_method(a, prec, tres, v); v = v / orm(v,2); % ormalzg egevector A = A - l * v * v'; % updatg A for the et egevalue LV = [LV; l]; % storg the egevalues EV = [EV, v]; % storg the egevectors I = [I; ter]; % storg the umber of teratos for every egevalue ed ed else dsp('the matr etered as put s ot a symmetrc oe. Abortg Eecuto...'); ed ed Εφαρµογή Θα βρούµε όες τις ιδιοτιµές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα του συµµετρικού µητρώου Β = [ 20 5 0; 20 2 9 5; 5 9 3 7 ; 0 5 7 4]. Είσοδος: B = [ 20 5 0; 20 2 9 5; 5 9 3 7; 0 5 7 4]; [l v I] = power_method_deflato(b, 0.00000, 00) Έξοδος: l = 36.6885-20.339-6.203-0.3532 v = 0.5989 0.7735-0.292-0.62 0.5234-0.578-0.4762-0.452 0.4827-0.2389 0.842-0.0283 0.3666-0.327-0.278 0.8947 I = 22 4 4 3 Eπαηθεύουµε στο Matlab: >> eg(b) as = -20.339-6.203-0.3532 36.6885 ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/204
VII-6 Άσκηση Να εφαρµοσθεί η µέθοδος των υνάµεων για τον υποογισµό των ιδιοτιµών και των ιδιοδιανυσµάτων του µητρώου Α = [2, 4, -; 4, 6, ; -,, 4]. Να γίνουν όα τα απαραίτητα υποογιστικά βήµατα και να δοθούν οι τεικές προσεγγίσεις για όα τα ιδιοποσά. Βιβιογραφία:., «Εισαγωγή στις Αριθµητικές Μεθόδους και Περιβάοντα Υοποίησής τους», 2007. 2. Μιχ. Ν. Βραχάτης, «Αριθµητική Ανάυση». ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/204