Μεζνδνινγία Κύθινπ Κύθινο νλνκάδεηαη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ελόο ζπλόινπ άπεηξσλ ζεκείσλ ηα νπνία ηζαπέρνπλ από έλα ζηαζεξό ζεκείν, ην θέληξν ηνπ. Άξα, έλαλ θύθιν ηνλ ραξαθηεξίδνπλ δύν ζηνηρεία, ην θέληξν (Κ) θαη ε αθηίλα ηνπ (ξ). Σην επίπεδν ζπλαληάκε ηηο δύν βαζηθέο πεξηπηώζεηο θύθισλ, απηώλ πνπ έρνπλ ην θέληξν ηνπο ζηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη απηώλ πνπ ην θέληξν ηνπο βξίζθεηαη νπνπδήπνηε αιινύ. Κένηπο ηο (0,0) Η εμίζσζε ελόο θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ είλαη ηεο κνξθήο: x 2 + y 2 = ρ 2 Καη ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ ζε έλα ζεκείν ηεο πεξηθέξεηάο ηνπ (ην ιεγόκελν ζεκείν επαθήο) A(x 1, y 1 ) είλαη: xx 1 + yy 1 = ρ 2 Οπζηαζηηθά, εθόζνλ γλσξίδνπκε ην θέληξν ηνπ θύθινπ καο κέλεη λα ππνινγίζνπκε κόλν ηελ αθηίλα ηνπ. Γηα παξάδεηγκα, Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ην (0,0) θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α(3,4). (*) Όπωρ ζηην εςθεία, έηζι και ζηον κύκλο όηαν δίνεηαι ένα ζημείο από ηο οποίο διέπσεηαι ο κύκλορ (ή βπίζκεηαι πάνω ζηον κύκλο), αςηό ηο ζημείο ικανοποιεί ηην εξίζωζή ηος. x 2 + y 2 = ρ 2 3 2 + 4 2 = ρ 2 ρ 2 = 25 ρ = 5 Πξνθαλώο, ε αθηίλα (απόζηαζε θέληξνπ από ηε πεξηθέξεηα) είλαη πάληνηε ζεηηθή. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ x 2 + y 2 = 4 ζηηο αθόινπζεο πεξηπηώζεηο: a) Τν ζεκείν επαθήο είλαη ην Α(1, 3) xx 1 + yy 1 = ρ 2 x + 3y = 4 b) Δίλαη παξάιιειε ζηελ επζεία ε : y = x + 2 16
1 νο ηξόπνο λ εφ = x 1 y 1 = λ ε = 1 x 1 = y 1 με y 1 0 Δπηζηξέθνπκε ζηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ θαη επεηδή ην ζεκείν A(x 1, y 1 ) είλαη ζεκείν ηνπ θύθινπ επαιεζεύεη ηελ εμίζσζή ηνπ νπόηε, x 1 2 + y 1 2 = 4 x 1 2 + x 1 2 = 4 x 1 = ± 2 = y 1 Άξα έρνπκε δύν εμηζώζεηο εθαπηνκέλσλ: 2 νο ηξόπνο: 2x + 2y = 4 και 2x 2y = 4 Δθόζνλ ε εθαπηόκελε είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία y = x + 2 ζα είλαη ηεο κνξθήο: y = x + α x + y α = 0 με α R (*) Κάθε εθαπηομένη ενόρ κύκλος απέσει από ηο κένηπο ηος απόζηαζη ίζη με ηην ακηίνα ηος κύκλος. Άξα ρξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν ηεο απόζηαζεο ζεκείνπ από επζεία. d 0, ε = 0 + 0 α = 2 α = 2 2 α = ±2 2 1 2 + 12 Άξα νη δύν επζείεο είλαη: 2x + 2y = 4 και 2x 2y = 4 c) Οκνίσο, αλ δίλεηαη θάζεηε πξνο ηελ δεηνύκελε εθαπηνκέλε επζεία, ηόηε γλσξίδνπκε όηη ην γηλόκελν ησλ ζπληειεζηώλ δηεύζπλζεο ηζνύηαη κε -1 θαη ζπλερίδνπκε όπσο ζην πξνεγνύκελν παξάδεηγκα. Έζησ ε θάζεηε, πξνο ηελ εθαπηνκέλε, επζεία ε : y = x + 2 Τόηε x 1 y 1 1 = 1 x 1 = y 1 με y 1 0 17
Δπηζηξέθνπκε ζηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ θαη επεηδή ην ζεκείν A(x 1, y 1 ) είλαη ζεκείν ηνπ θύθινπ απηό επαιεζεύεη ηελ εμίζσζή ηνπ νπόηε, x 1 2 + y 1 2 = 4 x 1 2 + x 1 2 = 4 x 1 = ± 2 = y 1 Άξα έρνπκε δύν εμηζώζεηο εθαπηνκέλσλ: 2x + 2y = 4 και 2x 2y = 4 d) Γηέξρεηαη από ην ζεκείν Β(0,4) Η ζπγθεθξηκέλε πεξίπησζε ζεσξείηαη ηδηαίηεξα ζεκαληηθή, γηα λα δνύκε ην γηαηί. Αξρηθά, ζα πξέπεη λα εμεηάζνπκε αλ ην ζεκείν Β είλαη ζεκείν ηνπ θύθινπ: x 2 + y 2 = 4 0 2 + 4 2 = 4 16 = 4 αδύνατο Άξα ην Β δελ είλαη ζεκείν ηνπ θύθινπ. Οπόηε ην ζεκείν Β ηθαλνπνηεί ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ όσι θύθινπ για x. Σπλεπώο, 1 και y 1 αλλά για x και y Άξα, xx 1 + yy 1 = 4 0x 1 + 4y 1 = 4 y 1 = 1 Δθόζνλ βξήθακε ηνλ έλα από ηνπο δύν αγλώζηνπο (x 1, y 1 ) επηζηξέθνπκε ζηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ θαη έρνπκε: x 1 2 + y 1 2 = 4 x 1 2 + 1 = 4 x 1 = ± 3 Όπσο θαη πξνεγνπκέλσο έρνπκε δύν εμηζώζεηο εθαπηνκέλσλ νη νπνίεο είλαη: 3x + y = 4 και 3x + y = 4 (*) Από ένα ζημείο εκηόρ κύκλος διέπσονηαι πάνηοηε δύο εθαπηομένερ ππορ ηον κύκλο. 18
Κένηπο ηο Κ(x 0, y 0 ) Κάζε θύθινο αθηίλαο ξ πνπ έρεη ην θέληξν νπνπδήπνηε αιινύ εθηόο από ην (0,0) έρεη εμίζσζε ηεο κνξθήο: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = ρ 2 Αλ γηα παξάδεηγκα ζέινπκε λα βξνύκε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ην Κ(1,2) θαη αθηίλα 3, παίξλνπκε ηε παξαπάλσ εμίζσζε θαη αληηθαζηζηνύκε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ θέληξνπ Κ ζηα x 0, y 0 θαη ζηελ αθηίλα ξ=3 θαη έρνπκε: (x 1) 2 + (y 2) 2 = 3 2 Μία άιιε πεξίπησζε είλαη λα δίλεηαη ην θέληξν Κ(1,2) θαη λα κελ δίλεηαη ε αθηίλα ηνπ θύθινπ παξά κόλν κία επζεία ε y + x + 1 = 0 ε νπνία εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ, ηόηε (x 1) 2 + (y 2) 2 = ρ 2 Όπνπ ρ = 2+1+1 1+1 = 2 2 άξα (x 1)2 + (y 2) 2 = 8 Δπίζεο, αλ δίλεηαη ην θέληξν Κ(1,2) θαη έλα ζεκείν Α(1,0) από ην νπνίν δηέξρεηαη ν θύθινο ηόηε ην Α ηθαλνπνηεί ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ θαη κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηελ αθηίλα. Γειαδή, x 1 2 + y 2 2 = ρ 2 1 1 2 + 0 2 2 = ρ 2 4 = ρ 2 ρ = 2 Οπόηε, (x 1) 2 + (y 2) 2 = 4 Τέινο, έλα ζεκαληηθό παξάδεηγκα είλαη λα δίλεηαη κία επζεία, γηα παξάδεηγκα ε y = 3x 7, πάλσ ζηελ νπνία βξίζθεηαη ην θέληξν ηνπ θύθινπ θαζώο θαη δύν ζεκεία Α(1,1) θαη Β(2,-1) από ηα νπνία δηέξρεηαη ν θύθινο. Τόηε, 1 νο ηξόπνο: Έζησ Κ(x 0, y 0 ) ην θέληξν ηνπ θύθινπ, ην νπνίν ηθαλνπνηεί ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο εθόζνλ είλαη ζεκείν ηεο: y = 3x 7 y 0 = 3x 0 7 (1) Έπεηηα ρξεζηκνπνηνύκε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ κε ηα ζεκεία Α θαη Β: Γηα ην Α: (1 x 0 ) 2 + (1 y 0 ) 2 = ρ 2 (2) 19
Γηα ην Β: (2 x 0 ) 2 + ( 1 y 0 ) 2 = ρ 2 (3) Έηζη έρνπκε έλα ζύζηεκα 3 εμηζώζεσλ ησλ: (1), (2) θαη (3) κε 3 αγλώζηνπο ηνπο x 0, y 0 και ρ. Λύλνληαο ην ζύζηεκα βξίζθνπκε: x 0 = 5 2, y 0 = 1 2, ρ = 5 2 Άξα ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ είλαη ε: (x 5 2 )2 + (y 1 2 )2 = 5 2 2 νο ηξόπνο: Όηαλ έρνπκε δύν ζεκεία ηεο πεξηθέξεηαο ελόο θύθινπ απηά ζρεκαηίδνπλ κία ρνξδή ηνπ θύθινπ κε άθξα ηα Α, Β. από ηελ Δπθιείδεηα Γεσκεηξία γλσξίδνπκε όηη: (*) Η μεζοκάθεηορ οποιαζδήποηε σοπδήρ ενόρ κύκλος διέπσεηαι από ηο κένηπο ηος κύκλος. Άξα βξίζθνπκε ηε κεζνθάζεην (κ) ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΑΒ, λ ΑΒ = 2 οπότε λ ΑΒ λ μ = 1 λ μ = 1 2 Η κεζνθάζεηνο δηέξρεηαη από ην κέζν Μ ηνπ ΑΒ ην νπνίν έρεη ζπληεηαγκέλεο Μ( 3 2, 0) άξα μ : y 0 = 1 2 x 3 2 y = 1 2 x 3 4 Οπόηε, ιύλνληαο ην ζύζηεκα: y = 1 x 3 2 4 y = 3x 7 x = 2 y = 1 2 5 Άξα, Κ 5 2, 1 2 και ρ = ΑΚ = ΒΚ = 9 4 + 1 4 = 5 2 Σπλεπώο θαηαιήγνπκε ζηελ ίδηα εμίζσζε θύθινπ κε πξηλ, ζηελ: (x 5 2 )2 + (y 1 2 )2 = 5 2 (*) Το ζημείο ηομήρ ηων μεζοκαθέηων δύο οποιονδήποηε σοπδών ενόρ κύκλος είναι ηο κένηπο ηος κύκλος. 20
Παπαηήπηζη Έζησ έλαο θύθινο κε θέληξν ην Κ(x 0, y 0 ) ν νπνίνο εθάπηεηαη ησλ αμόλσλ, ηόηε: Η απόζηαζε ηνπ θέληξνπ ηνπ θύθινπ από ηoλ άμνλα yy είλαη x 0. Η απόζηαζε ηνπ θέληξνπ ηνπ θύθινπ από ηoλ άμνλα xx είλαη y 0. Εξίζωζη Εθαπηομένηρ Κύκλος με κένηπο Κ(x 0, y 0 ) Όηαλ ν θύθινο δελ έρεη θέληξν ην (0,0) δελ έρνπκε θάπνην ηύπν γηα ηελ εύξεζε ηεο εθαπηνκέλεο ζε έλα ζεκείν ηεο πεξηθέξεηάο ηνπ. Σε απηή ηε πεξίπησζε αθνινπζνύκε ηε παξαθάησ κέζνδν ε νπνία παξνπζηάδεηαη κέζσ ελόο παξαδείγκαηνο. Έζησ ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ (x 1) 2 + (y + 2) 2 = 25 Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ζην ζεκείν ηνπ Α(4,2). Όπσο έρνπκε ήδε αλαθέξεη, ζην ζεκείν επαθήο εθαπηνκέλεο θαη θύθινπ ε αθηίλα ηνπ θύθινπ πέθηεη θάζεηα πάλσ ζηελ εθαπηνκέλε. Απηό είλαη ηδηαίηεξα βνιηθό γηαηί καο επηηξέπεη λα ζρεκαηίζνπκε δύν θάζεηα δηαλύζκαηα από ηα νπνία ζα πξνθύςεη ε εμίζσζε ηεο δεηνύκελεο εθαπηνκέλεο. Πξνθαλώο ην έλα δηάλπζκα είλαη ην ΚΑ και το άλλο το ΑΜ, ηα νπνία είλαη κεηαμύ ηνπο θάζεηα θαη ην Μ(x,y) είλαη έλα ηπραίν ζεκείν ηεο εθαπηνκέλεο θαη όπνπ Κ ην θέληξν ηνπ θύθινπ. Άξα, ΚΑ ΑΜ = 0 3,4 4 x, 2 y = 0 12 3x + 8 4y = 0 3x + 4y = 20 : ε εθαπηνκέλε Γενική μοπθή εξίζωζηρ κύκλος Η εμίζσζε ηεο κνξθήο x 2 + y 2 + Ax + By + Γ = 0 (#) Με Α 2 + Β 2 4Γ > 0 Παξηζηάλεη θύθιν κε θέληξν Κ( Α, Β ) και ακτίνα ρ = Α2 2 2 +Β 2 4Γ 2 Σηε πεξίπησζε πνπ έρνπκε Α 2 + Β 2 4Γ = 0, ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη κόλν ην ζεκείν Κ( Α 2, Β 2 ). 21
Καη αλ Α 2 + Β 2 4Γ < 0, ηόηε ε παξαπάλσ εμίζσζε είλαη αδύλαηε. Γηα παξάδεηγκα ε εμίζσζε, x 2 + y 2 + 3x + 4y + 6 = 0 Με 3 2 + 4 2 4 6 = 1 > 0 Παξηζηάλεη θύθιν κε θέληξν Κ( 3 2, 2) και ακτίνα ρ = 1 2 Εθαπηομένη κύκλος Η εμίζσζε (#) είλαη ε γεληθόηεξε κνξθή εμίζσζεο θύθινπ όπνπ ην θέληξν ηνπ δελ είλαη ην (0,0). Οπόηε, αθνινπζνύκε ηε κεζνδνινγία κε ηα θάζεηα δηαλύζκαηα. Όπσο γηα παξάδεηγκα, Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ x 2 + y 2 + 4x 6y + 1 = 0 ζην ζεκείν ηνπ Α 1,3 + 3 Όπσο παξαηεξείηε ην ζεκείν Α επαιεζεύεη ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ δηόηη 1 2 + (3 + 3) 2 + 4 6 3 + 3 + 1 = 0 0 = 0 Τν θέληξν ηνπ είλαη ην Κ(-2,3) θαη έρεη αθηίλα ρ = 48 Οπόηε, ζρεκαηίδνπκε ηα δηαλύζκαηα ΚΑ, ΑΜ θαη εθόζνλ είλαη κεηαμύ ηνπ θάζεηα παίξλνπκε ηε ζρέζε ηνπ εζσηεξηθνύ ηνπο γηλνκέλνπ θαη βξίζθνπκε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ ζην ζεκείν ηνπ Α: ΚΑ ΑΜ = 0 3, 3 x 1, y 3 3 = 0 y = 3x + 2 3 + 3 2 Διάθοπερ πεπιπηώζειρ αζκήζεων 1. Γηα λα δείμνπκε όηη κία δνζκέλε επζεία εθάπηεηαη ζε θύθιν αξθεί λα δείμνπκε όηη ε απόζηαζε ηνπ θέληξνπ ηνπ θύθινπ από ηελ επζεία είλαη ίζε κε ηελ αθηίλα ξ ηνπ θύθινπ. Έζησ ν θύθινο x 2 + y 2 = 9 θαη ε επζεία (ε): x = 3 ηόηε, 22
d K, ε = 3 = ρ άρα εφάπτοντα Γεληθά: a. Αλ d K, ε = ρ ηόηε ν θύθινο θαη ε επζεία εθάπηνληαη. Η ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο θύθινπ θαη επζείαο έρεη δηαθξίλνπζα Γ=0 (κία ιύζε δηπιή, ην ζεκείν επαθήο). b. Αλ d K, ε > ρ ηόηε ν θύθινο θαη ε επζεία δελ έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν. Η ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο θύθινπ θαη επζείαο έρεη δηαθξίλνπζα Γ<0 (δελ ππάξρνπλ ιύζεηο). c. Αλ d K, ε < ρ ηόηε ν θύθινο θαη ε επζεία ηέκλνληαη ζε δύν ζεκεία. Η ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο θύθινπ θαη επζείαο έρεη δηαθξίλνπζα Γ>0 (δύν ιύζεηο, ηα δύν θνηλά ζεκεία ). 2. Γηα λα βξνύκε ηε ζρεηηθή ζέζε δύν θύθισλ Κ 1, ρ 1 και (Κ 2, ρ 2 ) ζπγθξίλνπκε ην κήθνο ηεο δηαθέληξνπ (ε απόζηαζε ησλ δύν θέληξσλ) κε ην άζξνηζκα ή ηε δηαθνξά ησλ αθηηλώλ ηνπο. a. Αλ Κ 1 Κ 2 = ρ 1 + ρ 2 νη δύν θύθινη εθάπηνληαη εμσηεξηθά (1 θνηλό ζεκείν). b. Αλ Κ 1 Κ 2 > ρ 1 + ρ 2 νη δύν θύθινη δελ έρνπλ θνηλά ζεκεία. c. Αλ ρ 1 ρ 2 < Κ 1 Κ 2 < ρ 1 + ρ 2 νη δύν θύθινη ηέκλνληαη (2 θνηλά ζεκεία). d. Αλ Κ 1 Κ 2 = ρ 1 ρ 2 νη δύν θύθινη εθάπηνληαη εζσηεξηθά (1 θνηλό ζεκείν). e. Αλ Κ 1 Κ 2 < ρ 1 ρ 2 ν θύθινο (Κ 2, ρ 2 ) βξίζθεηαη ζην εζσηεξηθό ηνπ θύθινπ Κ 1, ρ 1. 3. Όηαλ δίλεηαη κία παξακεηξηθή εμίζσζε θύθινπ, είλαη δειαδή κία εμίζσζε ε νπνία παξηζηάλεη έλα ζύλνιν (ή κία νηθνγέλεηα) θύθισλ, γηα λα δείμνπκε όηη όινη απηνί νη θύθινη δηέξρνληαη από ζηαζεξό ζεκείν κεηαηξέπνπκε ηελ εμίζσζε ζε πνιπώλπκν σο πξνο ηε παξάκεηξν θαη εμηζώλνπκε ηνπο ζπληειεζηέο κε ην κεδέλ. 23
Έζησ ε παξακεηξηθή εμίζσζε θύθινπ x 2 + y 2 2λx + 2y + 1 = 0, λ R Να βξεζεί ην ζηαζεξό ζεκείν Α από ην νπνίν δηέξρνληαη όινη νη θύθινη. Έζησ ην πνιπώλπκν P λ = x 2 + y 2 2λx + 2y + 1 = 0 ηόηε x 2 + y 2 + 2y + 1 = 0 2x = 0 y2 + 2y + 1 = 0 x = 0 y = 1 x = 0 άρα Α(0, 1) Έπεηηα επηζηξέθνπκε ζηελ αξρηθή εμίζσζε θαη αληηθαζηζηνύκε ζηα x,y ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ Α γηα λα επηβεβαηώζνπκε όηη επαιεζεύνπλ ηελ αξρηθή παξακεηξηθή εμίζσζε. 4. Όηαλ δεηείηαη ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλε ελόο θύθινπ θαη δίλεηαη έλα ζεκείν ηεο επζείαο θαη όρη ην ζεκείν επαθήο, έλαο ρξήζηκνο ηξόπνο γηα λα βξνύκε ηελ εμίζσζε είλαη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηε γλσζηή ζρέζε ΚΑ ΑΜ = 0, αιιά ηώξα ην άγλσζην ζεκείν είλαη ην ζεκείν επαθήο Α. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ x 2 + y 2 = 4 (1) Όηαλ απηή δηέξρεηαη από ην ζεκείν Μ(0,3). Έζησ Α(x 0, y 0 ), Κ(0,0) θαη ξ=2 ηόηε, ΚΑ ΑΜ = 0 x 0, y 0 x 0, 3 y 0 = 0 x 0 2 y 0 2 + 3y 0 = 0 (2) Τώξα ππάξρνπλ δύν ηξόπνη γηα λα ζπλερίζνπκε. Ή ιύλνπκε ην ζύζηεκα ησλ εμηζώζεσλ (1), (2) θαη βξίζθνπκε ην Α, ή εθκεηαιιεπόκαζηε ην γεγνλόο όηη ε απόζηαζε ηνπ Κ από ην Α ηζνύηαη κε ηελ αθηίλα ηνπ θύθινπ, δειαδή (ΚΑ) = ρ θαη έπεηηα θαηαιήγνπκε πάιη ζε έλα ζύζηεκα 2 εμηζώζεσλ (2 νπ βαζκνύ) ζε δύν αγλώζηνπο. Αο δνύκε κόλν ηνλ πξώην ηξόπν: x 0 2 y 0 2 + 3y 0 = 0 x 0 2 + y 0 2 = 4 3y 0 = 4 x 0 2 + y 0 2 = 4 y 0 = 4 3 x 0 = ± 20 9 24
Άξα Α 4 3, 20 9 ή Α( 4, 20 ) θαη νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ είλαη: 3 9 4 3 x + 20 9 y = 4 και 4 3 x 20 9 y = 4 25
26