χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι γνωτές οι υντεταγµένες των τριών κορυφών του Β, Γ, ε αυθαίρετο τοπικό ύτηµα. Β AB 36.70 m Χ Β.79 m Χ Γ 40.83 m A.37 m Y Β 35.5 m Υ Γ 00.00 m Α Χ 00.00 m Υ 00.00 m Γ Ζητούνται να υπολογιθούν:. Τα µήκη των διαγωνίων ΑΓ και Β. Η γωνία ΓΒ 3. Το εµβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓ Α 4. Το ύψος από την κορυφή Α την πλευρά Γ 5. Η γωνία α που χηµατίζει η διαγώνιος Β µε τον θετικό ηµιάξονα των Υ. Σηµείωη: Οι γωνίες να υπολογιτούν ε βαθµούς, ε µοίρες (δεκαδική και εξηκονταδική µορφή) και ε ακτίνια (rad), διατηρώντας την ίδια ακρίβεια (0 g.005) ΕΠ/ ΓΓ/ ΠΜ/ 08 0 08
χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί (Α.) Ο Ερατοθένης, που θεωρείται ο πατέρας της γεωδαιίας, υπολόγιε τον 3 0 π.χ. αιώνα την ακτίνα της γης, θεωρώντας την ως φαίρα. Παρατήρηε ότι κατά το θερινό ηλιοτάιο οι ακτίνες του ήλιου έπεφταν κάθετα ένα πηγάδι τη Σιήνη, ενώ ταυτόχρονα την Αλεξάνδρεια, που βρίκεται περίπου τον ίδιο µεηµβρινό, έπεφταν υπό γωνία ένα πύργο. Με τη βοήθεια της κιάς του πύργου υπολόγιε ότι η γωνία ήταν το /50 του κύκλου. Παράλληλα εκτίµηε ότι η απόταη των ηµείων ήταν 5000 τάδια. Υπάρχει αµφιβολία ως προς ποιο τάδιο χρηιµοποίηε αν µονάδα µήκους, το Αιγυπτιακό (57.7 m) ή το Αττικό (85.0 m). Υπολογίτε την ακτίνα της γης και για τις δύο τιµές του ταδίου και δώτε ποοτιαία (κ %) την διαφορά τους από τη µέη ακτίνα που θεωρούµε ήµερα (R637Km). (Β.) Ένα ηµείο Α θεωρείται ότι βρίκεται πάνω την επιφάνεια της φαίρας, αν αυτή θεωρηθεί αν γήινη επιφάνεια αναφοράς. Η κατακόρυφος που θεωρείται ότι ταυτίζεται µε την κάθετο, διέρχεται από το κέντρο της φαίρας. Ένα άλλο ηµείο Β βρίκεται τον ορίζοντα (οριζόντιο επίπεδο) του ηµείου Α όπως φαίνεται το αντίτοιχο χήµα. Η προβολή του ηµείου Β πάνω την επιφάνεια της φαίρας είναι το ηµείο Β. Αν D είναι η οριζόντια απόταη ΑΒ και το µήκος του τόξου ΑΒ πάνω την επιφάνεια της φαίρας, να υπολογιτεί η διαφορά τους D-. Επίης να υπολογιτεί η απόταη ΒΒ (υψοµετρική επίδραη της καµπυλότητας της γης). Οι υπολογιµοί να γίνουν για µήκος από 0 έως 50 Km µε βήµα 0 Km. Ζητείται επίης να χεδιατούν οι καµπύλες που εκφράζουν την µεταβολή των ποοτήτων (D-) και ΒΒ υναρτήει της απόταης ε κατάλληλη κλίµακα και να υγκριθούν τα αποτελέµατα. ΕΠ/ Μ / ΓΓ/ ΠΜ/ 3 0 08
χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη 3 Μετρήεις Υπαίθρου Προκειµένου να υπολογιθεί το εµβαδόν ενός γηπέδου (πολύγωνο), αρκεί να είναι γνωτά τα οριζόντια µήκη όλων των πλευρών του και κάποιων διαγωνίων του. Για την πραγµατοποίηη της άκηης αυτής θα χωριτείτε ε µικρές οµάδες (4-5 ατόµων), θα ορίετε και θα υλοποιήετε την περιοχή που θα εργατείτε ένα τυχαίο τετράπλευρο µε πλευρές µήκους της τάξης των 30 µέτρων. Οι πλευρές και οι διαγώνιοι θα µετρηθούν τουλάχιτον δύο φορές (µετάβαη επιτροφή) µε µετροταινία 30 m. Ειδικότερα µία πλευρά (η µικρότερη) να µετρηθεί αρκετές φορές (5-6) µε εκτίµηη mm και ε διαφορετικές αρχικές ενδείξεις της µετροταινίας (διαφορά αναγνώεων). Ζητούνται:. Να γίνει το καρίφηµα του τετραπλεύρου που υλοποιήατε το ύπαιθρο.. Να υπολογιτούν οι τελικές τιµές των µηκών των πλευρών και διαγωνίων του (µέοι όροι των µετρήεων). 3. Να υπολογιτεί το εµβαδόν του, χωρίζοντας το ε τρίγωνα, χρηιµοποιώντας και τις δύο διαγώνιους του (τύπος Ήρωνα). Σηµείωη: Οι µετρήεις και οι υπολογιµοί θα παραδοθούν ατοµικά από κάθε πουδατή. Επίης όλα τα µετρηµένα τοιχεία να διατηρηθούν το αρχείο του κάθε πουδατή, γιατί θα χρηιµοποιηθούν ε επόµενες ακήεις. ΕΠ/ Μ / ΓΓ/ ΠΜ/ 00 08
χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη 4 Στοιχεία από τη Θεωρία φαλµάτων. H θέη ενός ηµείου µπορεί να προδιοριτεί από ένα άλλο γνωτής θέης χρηιµοποιώντας πολική γωνία και απόταη. Αν η αβεβαιότητα την γωνία είναι 0 g.0005 (5 cc ) και η αβεβαιότητα την απόταη είναι 0.0m, να υπολογιτούν τα αναλογικά φάλµατα ε ppm και ε µορφή /Κ. Επίης να υπολογιτεί το γραµµικό φάλµα τον προδιοριµό της θέης του ηµείου την κάθετη προς την πλευρά διεύθυνη. Σε όλες τις περιπτώεις οι υπολογιµοί να γίνουν για αποτάεις 000m, 000m και 5000m.. Στην άκηη 3 µετρήθηκε µία πλευρά του τετραπλεύρου αρκετές φορές και υπολογίτηκε η µέη τιµή της απόταης. Ζητείται να υπολογιτεί το τυπικό φάλµα της µιας παρατήρηης ( ) και το τυπικό φάλµα της µέης τιµής ( ). 3. Μια γωνία µετρήθηκε 0 φορές και τα αποτελέµατα των µετρήεων είναι : 3 g.440 3 g.4490 3 g.4530 3 g.440 3 g.4480 3 g.4500 3 g.4550 3 g.4460 3 g.4430 3 g.450 Zητείται να υπολογιτεί το τυπικό φάλµα της µιας παρατήρηης ( ) και το τυπικό φάλµα της µέης τιµής ( ). ΕΠ/ Μ / ΓΓ/ ΠΜ/ 7 0 08
Γραµµική ( s ) Γωνιακή ακρίβεια ( α ) Ακρίβεια προδιοριµού θέης Μετατόπιη την κάθετη προς την πλευρά διεύθυνη ( s ) ta α κ ( rad) κ κ α arcta( ) ή κ ( αrad) ή (mm ) κ (cc) α (m) π *0 3 Η αναλογική ακρίβεια (φάλµα) της πλευράς ε ppm και ε µορφή K είναι: (ppm) s 6 s s 0 ή όπου K K s Το αναλογικό φάλµα την κάθετη προς την πλευρά διεύθυνη είναι το ίδιο το γωνιακό φάλµα (γωνιακή ακρίβεια) ε rad που µπορεί να εκφρατεί ε µορφή ή ε ppm και βέβαια είναι ανεξάρτητο της K απόταης, οπότε ιχύει. (rad) α K 00 *0000 ή K (cc) π α ή K (rad) α ( ppm) (rad κ ) α * 0 6 *0 6 K Ιοβαρείς Παρατηρήεις [ ] ± ( ) [ υυ] υ υ... υ ± ± όπου υ ι ι ±
χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη 5 Στοιχεία από τη Θεωρία φαλµάτων. Για να υπολογιτεί το εµβαδόν ενός τραπεζίου αρκεί να είναι γνωτές οι δύο βάεις του (α, β) και το αντίτοιχο ύψος του (υ). Τα τοιχεία αυτά µετρήθηκαν και δίνονται µε τις αντίτοιχες αβεβαιότητες τους : α.65 m 0.0 m β 36.84 m 0.06 m υ 6.34 m 0.008 m Να υπολογιτεί το εµβαδόν του τραπεζίου µε το τυπικό του φάλµα.. Μια γωνία µετρήθηκε ε 4 διαφορετικές ηµέρες. ίνονται οι µέοι όροι των µετρήεων της κάθε ηµέρας και την παρένθεη το πλήθος των µετρήεων από το οποίο προήλθαν. 53 g.3703 (6), 53 g.3694 (4), 53 g.3700 (0), 53 g.375 (8) Ζητείται να υπολογιτεί η µέη τιµή της γωνίας και το τυπικό της φάλµα, θεωρώντας τους ηµερήιους µέους όρους ανιοβαρείς παρατηρήεις. 3. Μια απόταη µετρήθηκε ε 3 διαφορετικές ηµέρες. ίνονται οι µέοι όροι των µετρήεων της κάθε ηµέρας µε το τυπικό τους φάλµα..38 0.005 m,.49 0.003 m,.3 0.004 m Ζητείται να υπολογιτεί η µέη τιµή της γωνίας µε το τυπικό της φάλµα. Επίης να υπολογιτούν τα a posteror τυπικά φάλµατα για τις µετρήεις της κάθε ηµέρας. ΕΠ/ Μ / ΓΓ/ ΠΜ/ 9 0 08
Νόµος µετάδοης φαλµάτων ),...,, ( f y... y f f f Ανιοβαρείς Παρατηρήεις [ ] [ ]...... β β β β β β [ ]... ˆ 0 ± ± υ υ υ υυ [ ] ˆ 0 ˆ β ± και ˆ 0 ˆ ι β ±
χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη 6 Υπολογιµοί το επίπεδο ίνονται οι επίπεδες ορθογώνιες υντεταγµένες των ηµείων Τ και Τ το Ελληνικό Γεωδαιτικό ύτηµα αναφοράς (ΕΓΣΑ87): T 55004.53 m y T 44508.3 m T 55.87 m y T 44594.4 m Προκειµένου να προδιοριτεί η θέη τριών νέων ηµείων, των Α, Β και Γ το ΕΓΣΑ87 µετρήθηκαν οι παρακάτω οριζόντιες γωνίες και οριζόντιες αποτάεις. β 348 g.5 T T A β 0 g.86 T AB β ΑΒΓ 45 g.54 T A 85.4m ΑΒ 7.8 m ΒΓ 08.75 m Ζητούνται να υπολογιτούν:. Οι επίπεδες ορθογώνιες υντεταγµένες (, y) των ηµείων Α, Β και Γ το ΕΓΣΑ87.. Η οριζόντια απόταη Γ T και η γωνία διεύθυνης α ΓT. 3. Αν οι υντεταγµένες του ηµείων Α και Β θεωρηθούν ταθερές (χωρίς φάλµα), να υπολογιτούν τα τυπικά φάλµατα των υντεταγµένων του ηµείου Γ, όταν το τυπικό φάλµα της γωνίας Β ( Β ) είναι ±,5 c και της απόταης ΒΓ ( ) είναι ±,5 cm. ΕΠ/ Μ / ΓΓ/ ΠΜ/ 05 08 ΒΓ
o Θεµελιώδες Πρόβληµα ( ιερεύνηη ιάγραµµα ροής για προγραµµατιµό ε H/Y) ta α y y y ή y Θεωρώντας Ιχύει : Αν 0 α arcta όπου -00 g <α <00 g α arcta (όπου η γωνία α είναι προηµαµένη) y Τότε Αν y 0 τότε είναι α 0 g Αν y <0 τότε είναι α 00 g Αν y 0 Τότε Αν >0 τότε είναι α 00 g Αν <0 τότε είναι α 300 g Αν y < 0 ( ηλαδή αν η πλευρά βρίκεται το ο () ή 3 ο () τεταρτηµόριο) Τότε α α 00 g Αν y > 0 Τότε Αν >0 ( ηλαδή αν η πλευρά βρίκεται το ο () τεταρτηµόριο) Είναι α α Αν <0 ( ηλαδή αν η πλευρά βρίκεται το 4 ο (V) τεταρτηµόριο) Είναι α α 400 g
χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη 7 Υπολογιµοί το επίπεδο. ίνονται οι επίπεδες καρτειανές υντεταγµένες τριών ηµείων Α, Β, Γ ε ένα ύτηµα αναφοράς Ι που είναι : 567,3 m A B 339,9 m Γ 334,44 m y 5863,75 m A B y 3933,59 m y Γ 84,6 m Σε ένα άλλο ύτηµα αναφοράς ΙΙ είναι γνωτές οι υντεταγµένες των δύο µόνο ηµείων των Α και Β που είναι : 56008,6 m A B 643,9 m y 68,6 m A B y 6337, m Ζητείται να υπολογιτούν οι υντεταγµένες του ηµείου Γ το ύτηµα αναφοράς ΙΙ, αφού προηγούµενα υπολογιτούν η κλίµακα παραµόρφωης (κ), η τροφή (ε) και η µετάθεη ( o, y o ), για την µετάβαη από το ύτηµα Ι το ύτηµα ΙΙ.. Να υπολογιτούν οι υντεταγµένες (, y) των κορυφών του τετραπλεύρου που υλοποιήατε το έδαφος την άκηη 3 ε ένα αυθαίρετο τοπικό ύτηµα αναφοράς. Ο υπολογιµός να γίνει µε εφαρµογή των θεµελιωδών προβληµάτων, αφού υπολογιτούν οι απαραίτητες γωνίες θλάης (κόπιµο είναι οι γωνίες να προκύψουν από ένα ζεύγος τριγώνων). Στη υνέχεια να υπολογίετε το εµβαδόν του από τις υντεταγµένες του και να το υγκρίνετε µε αυτό που υπολογίατε την άκηη 3. ΕΠ/ Μ / ΓΓ/ ΠΜ/ 3 08
Μεταχηµατιµός οµοιότητας Πολλές φορές την πράξη υπάρχει η ανάγκη να υχετιτούν χάρτες ή τοπογραφικά διαγράµµατα που αναφέρονται ε διαφορετικά υτήµατα υντεταγµένων. Στις περιπτώεις αυτές µπορεί να χρηιµοποιηθεί ο µεταχηµατιµός οµοιότητας (smlarty traformato) το επίπεδο, που είναι υνδυαµός µετάθεης κατά και y, τροφής και κλίµακας (ενιαία για το επίπεδο εφαρµογής). Η χαρακτηριτική ιδιότητα του µεταχηµατιµού είναι η διατήρηη της µορφής των χηµάτων. Στην πράξη αρκεί να υπάρχουν κοινά ηµεία που οι υντεταγµένες τους να είναι γνωτές και τα δύο υτήµατα υντεταγµένων. Σε πρώτη φάη πρέπει να προδιοριτούν οι παράµετροι που ορίζουν το µεταχηµατιµό, κάτι που υνήθως γίνεται µε τη µέθοδο των ελαχίτων τετραγώνων και που προϋποθέτει την ύπαρξη περιότερων δεδοµένων από τους 4 αγνώτους που πρόκειται να προδιοριτούν. Επιπλέον τα κοινά ηµεία πρέπει να είναι καλά κατανεµηµένα τη περιοχή εφαρµογής για πιο αξιόπιτα αποτελέµατα. Τέλος αφού οι παράµετροι του µεταχηµατιµού έχουν προδιοριτεί ακολουθεί ο µεταχηµατιµός των υντεταγµένων για όλα τα υπόλοιπα ηµεία. Η γενική χέη που υνδέει τις επίπεδες ορθογώνιες υντεταγµένες για µετάβαη από το ύτηµα Ι το ύτηµα ΙΙ µε βάη τον µεταχηµατιµό αυτό ε µορφή πινάκων είναι: ΙΙ Ι 0 cosε sε κ R όπου R ΙΙ Ι ε y y y sε cos 0 Όπου ( 0, y 0 ) οι υντεταγµένες της αρχής του υτήµατος (Ι) ως προς το ύτηµα (ΙΙ) ή οι τιµές µετάθεης για µετάβαη από το ύτηµα (Ι) το (ΙΙ). Η κλίµακα κ (υνήθως κλίµακα παραµόρφωης) ορίζεται µε το λόγο ενός µήκους (,j) το j ύτηµα ΙΙ προς το αντίτοιχο µήκος το ύτηµα Ι, δηλαδή κ Η γωνία τροφής (ε) είναι η γωνία µε την οποία πρέπει να τραφούν δεξιότροφα οι άξονες του υτήµατος Ι για να γίνουν παράλληλοι µε τους άξονες του υτήµατος ΙΙ. j Σε µορφή γραµµικών χέεων η προηγούµενη χέη γίνεται : κ cos( ε) κ s( ε) y y κ s( ε) κ cos( ε) y y 0 0 Επειδή οι άγνωτοι παράµετροι του µεταχηµατιµού είναι 4, θεωρητικά αυτοί µπορούν να προδιοριτούν αρκεί να είναι γνωτές οι υντεταγµένες τουλάχιτον ηµείων (έτω Α και Β) και τα υτήµατα υντεταγµένων. Τότε οι άγνωτοι παράµετροι µπορούν να προδιοριτούν από τις παρακάτω χέεις : κ AB AB ε α α AB AB κ cos( ε) 0 A A κ s( ε) y A 0 y A κ s( ε) A κ cos( ε) y A y όπου οι χέεις µπορούν να εφαρµοτούν ή για το ηµείο Α ή για το Β.
χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη 8 Υπολογιµοί την επιφάνεια της φαίρας ίνονται 3 ηµεία Α, Β και Γ την επιφάνεια αναφοράς της γης που θεωρείται ότι είναι φαίρα ακτίνας 637 Km. Είναι γνωτά τα µήκη των τριών πλευρών (µήκη τόξων µέγιτων κύκλων) του φαιρικού τριγώνου ΑΒΓ που είναι: ΑΒ 6834 m, ΒΓ 84635 m και ΓΑ 4433 m Ζητούνται να υπολογιτούν :. Οι 3 γωνίες (Α, Β και Γ) του φαιρικού τριγώνου ΑΒΓ ε µοίρες ε εξηκονταδική µορφή. Εδικά η γωνία Α να υπολογιτεί ε µοίρες (δεκαδική και εξηκονταδική µορφή), ε ακτίνια και ε βαθµούς διατηρώντας την ίδια ακρίβεια, που πρέπει να είναι για όλες τις γωνίες της τάξης του.. Η φαιρική υπεροχή (Ε) του φαιρικού τριγώνου ε δευτερόλεπτα και το εµβαδόν του (Τ) ε m. ΕΠ/ Μ / ΓΓ/ ΠΜ/ 8 08
χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη 9 Υπολογιµοί την επιφάνεια της φαίρας ίνονται 3 ηµεία Α, Β και Γ την επιφάνεια αναφοράς της γης που θεωρείται ότι είναι φαίρα ακτίνας 637 Km. Για τα ηµεία αυτά είναι γνωτή η θέη τους και δίνονται οι γεωγραφικές (γεωδαιτικές) υντεταγµένες τους που είναι: φ Α 38 39,6 λ Α 5 3,8 φ Β 38 39,6 λ Β 4 8,4 φ Γ 39 5 4, λ Γ 5 3,8 Ένα άλλο ηµείο βρίκεται νότια του ηµείου Β, τον ίδιο µεηµβρινό και ε απόταη Β 9743 m. Ζητούνται να υπολογιτούν :. Στον µεηµβρινό που διέρχεται από τα ηµεία Α και Γ τα ακόλουθα µήκη τόξων. Το µήκος του τόξου ΑΓ, το µήκος του τόξου από τον Ιηµερινό µέχρι το ηµείο Α και τα µήκη των τόξων που αντιτοιχούν ε και ε.. Στον παράλληλο κύκλο που διέρχεται από τα ηµεία Α και Β τα ακόλουθα µήκη τόξων. Το µήκος του τόξου ΑΒ και τα µήκη των τόξων που αντιτοιχούν ε και ε. Όλα τα µήκη των τόξων να υπολογιτούν µε ακρίβεια m. 3. Οι γεωγραφικές (γεωδαιτικές) υντεταγµένες του ηµείου µε ακρίβεια 0, Σηµείωη: Να γίνει καρίφηµα όπου να φαίνεται η θέη των ηµείων και των αντίτοιχων τόξων. ΕΠ/ Μ / ΓΓ/ ΠΜ/ 5 08
χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη 0 Υπολογιµοί την επιφάνεια της φαίρας ίνονται ηµεία Α και Β την επιφάνεια αναφοράς της γης που θεωρείται ότι είναι φαίρα ακτίνας 637 Km. Τα ηµεία αυτά βρίκονται τον ίδιο παράλληλο κύκλο και οι γεωδαιτικές (γεωγραφικές) τους υντεταγµένες είναι: φ Α 38 4 8,43 λ Α 39 58,74 φ Β 38 4 8,43 λ Β 4 43,375 Ζητούνται να υπολογιτούν :. Το µήκος του τόξου ΑΒ του µέγιτου κύκλου ( AB ) που διέρχεται από τα ηµεία αυτά και το αζιµούθιο της πλευράς (τόξου) ΑΒ (Α ΑΒ ). Ο υπολογιµός του αζιµουθίου να γίνει ε µοίρες (εξηκονταδική µορφή) και µε ακρίβεια 0,0, ενώ του µήκους µε ακρίβεια mm.. Στο παράλληλο κύκλο που διέρχεται από τα ηµεία Α και Β, το µήκος του τόξου ΑΒ µε την ίδια ακρίβεια και να υγκριθεί µε το µήκος του τόξου ΑΒ του µέγιτου κύκλου. 3. Οι γεωδαιτικές (γεωγραφικές) υντεταγµένες ενός άλλου ηµείου Γ, όταν δίνονται το αζιµούθιο της πλευράς ΑΓ, (Α ΑΓ 90 ) και η απόταη (µήκος τόξου) ΑΓ, η οποία θα θεωρηθεί ίη µε το µήκος του τόξου ΑΒ του παραλλήλου κύκλου. Ο υπολογιµός τους να γίνει ε µοίρες (εξηκονταδική µορφή) και µε ακρίβεια της τάξης του 0,000. Σηµείωη: Να γίνει καρίφηµα όπου να φαίνεται η χετική θέη των ηµείων και των αντίτοιχων τόξων. ΕΠ/ Μ / ΓΓ/ ΠΜ/ 8 0 09
χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Συτήµατα αναφοράς ίνονται ηµεία Α και Β. Για το ηµείο Α είναι γνωτή η θέη του την επιφάνεια αναφοράς της γης που θεωρείται ότι είναι φαίρα ακτίνας 637 Km και δίνονται οι γεωδαιτικές (γεωγραφικές) υντεταγµένες του που είναι: φ Α 38 37,348 λ Α 5 3,8736 Για το ηµείο Β είναι γνωτή η θέη του τον χώρο και δίνονται οι τριορθογώνιες καρτειανές υντεταγµένες του (X, Y, Z) που είναι: X Β 455698,83 m Y Β 044857,875m Z Β 3955488,75 m Ζητούνται να υπολογιτούν :. Οι τριορθογώνιες καρτειανές υντεταγµένες (X, Y, Z) του ηµείου Α, αν θεωρηθεί ότι το «υψόµετρο» του (h) πάνω από την επιφάνεια της φαίρας είναι 5,434 m.. Οι γεωδαιτικές (γεωγραφικές) υντεταγµένες και το «υψόµετρο» (φ, λ, h) του ηµείου Β. ΕΠ/ Μ / ΓΓ/ ΠΜ/ 04 0 09
χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Συτήµατα αναφοράς - Υπολογιµοί την προβολή του ΕΓΣΑ87 Για ένα οικόπεδο ε περιοχή της Κέρκυρας, είναι γνωτές οι υντεταγµένες των ορίων του Α, Β, Γ, το προβολικό επίπεδο του ΕΓΣΑ87 και οι οποίες είναι: Α 3854,740 m Β 38303,55 m Γ 3837,6 m 3844,354 m και y Α 44083,980 m και y Β 44083,959 m και y Γ 440763,97 m και y 44076,89 m Τα όρια Α και Β είναι υλοποιηµένα το έδαφος, ενώ αντίθετα τα όρια Γ και δεν είναι επειδή αυτά κατατράφηκαν κατά την διάρκεια των εργαιών της κατακευής του κτίµατος (34). Προκειµένου να γίνουν εργαίες χάραξης των πίω ορίων του οικοπέδου χρηιµοποιήθηκαν ως τάεις οργάνου και τα δύο όρια Α και Β επειδή δεν υπήρχε ορατότητα εξ αιτίας της ύπαρξης του κτίµατος. Παράλληλα κρίθηκε κόπιµο να προδιοριτούν και οι υντεταγµένες των ηµείων που ορίζουν το περίγραµµα του κτίµατος. Για τον λόγο αυτό, παράλληλα µε τις εργαίες χάραξης, µετρήθηκαν από τα ηµεία Α και Β και τα απαραίτητα τοιχεία (γωνίες και οριζόντιες αποτάεις) για τον προδιοριµό των υντεταγµένων τους. Τα ηµεία, και 4 µετρήθηκαν από το ηµείο Α, ενώ το ηµείο 3 από το ηµείο Β. Τα αποτελέµατα των µετρήεων είναι: A 39,47 m, A 0,57 m, A4 36,863 m, B3 35,48 m B Â 3 g,4, B Â,74, B Â 4,504, A ˆB 3 3 g,66 Ζητούνται να υπολογιτούν:. Τα τοιχεία χάραξης (οριζόντιες γωνίες, αποτάεις) για τα ηµεία Γ και.. Οι υντεταγµένες του ηµείων (,,3,4) που ορίζουν το περίγραµµα του κτίµατος το προβολικό επίπεδο του ΕΓΣΑ87. Σηµείωη: Θα πρέπει να γίνουν οι κατάλληλες αναγωγές, αφού υπολογιτεί µια µέη κλίµακα παραµόρφωης το κέντρο βάρους της περιοχής (Κ.Β.) από την παρακάτω χέη. Οι αναγωγές τις γωνίες είναι αµελητέες. κ ΚΒ 3 ( ΚΒ 0,5) 400 ε ppm, όπου ΚΒ ε Mm ΕΠ/ Μ / ΓΓ/ ΠΜ/ 0 09
Το προβολικό επίπεδο του ΕΓΣΑ87 Στο προβολικό επίπεδο, οι πλευρές (αποτάεις) πρέπει να ανάγονται πάντοτε µε βάη τη κλίµακα παραµόρφωης. Είναι γνωτό ότι η κλίµακα παραµόρφωης (k ΑΒ ) για πεπεραµένο µήκος ορίζεται αν το πηλίκο του µήκους την προβολή (s Α Β ) προς το αντίτοιχο πραγµατικό µήκος το ελλειψοειδές αναφοράς ( ΑΒ ). Οπότε το µήκος την προβολή προκύπτει πολλαπλαιάζοντας το πραγµατικό µήκος επί την κλίµακα. s A'B' k AB ή s A'B' k AB AB AB Στην πράξη η κλίµακα προδιορίζεται από την απλοποιηµένη χέη: κ ΑΒ 3 ( / 0.5) 400 ε ppm, όπου / ε Mm A B Το / αναφέρεται το µέο της απόταης Α-Β ( / ) Και k ΑΒ κ ΑΒ 0-6 Ελλειψοειδές Προβολικό Επίπεδο
χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη 3 Συτήµατα αναφοράς - Υπολογιµοί την προβολή του ΕΓΣΑ87 Για τις ανάγκες µιας τοπογραφικής εργαίας χρηιµοποιήθηκαν υπάρχοντα τριγωνοµετρικά ηµεία Α, Β του κρατικού δικτύου. Οι υντεταγµένες τους την προβολή του ΕΓΣΑ87 είναι: Χ Α 3584,358 m Χ Β 39343,47 m και Υ Α 4408654,7 m και Υ Β 440558,990 m Για τον προδιοριµό των υντεταγµένων του ηµείου Γ µετρήθηκαν η οριζόντια γωνία ABΓ και η πλευρά BΓ. Το µήκος της πλευράς και η γωνία, αναγµένα την επιφάνεια αναφοράς (ελλειψοειδές) είναι: BΓ 304,3 m ABΓ 5 g,43 Ζητούνται να υπολογιτούν:. Οι υντεταγµένες του ηµείου Γ αφού προηγούµενα γίνουν οι κατάλληλες αναγωγές των µετρηµένων µεγεθών την προβολή του ΕΓΣΑ87.. Το µήκος της πλευράς ΑΒ την επιφάνεια αναφοράς. 3. Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το ηµείο Β και το προβολικό επίπεδο. Σηµείωη: ίνονται η διόρθωη για την γωνία ΑΒΓ που είναι 8 cc και η προεγγιτική χέη υπολογιµού της γραµµικής κλίµακας παραµόρφωης για το προβολικό επίπεδο του ΕΓΣΑ87 που είναι: κ 3 ( / -0,5) - 400 ε ppm, όπου / ε Μm ΕΠ/ Μ / ΓΓ/ ΠΜ/ 6 0 09
χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη 4 Στοιχεία από τη Θεωρία φαλµάτων. Μια απόταη µετρήθηκε 9 φορές και τα αποτελέµατα των µετρήεων είναι : 98,64 m 98,60 m 98,63 m 98,68 m 98,66 m 98,6 m 98,60 m 98,67 m 98,64 m Ζητείται να υπολογιτεί ή µέη τιµή της απόταης και το τυπικό της φάλµα από όλες τις µετρήεις. Παρατηρώντας καλύτερα τα αποτελέµατα των µετρήεων είναι εµφανές ότι µία µέτρηη διαφέρει αρκετά από τις υπόλοιπες. Επαναπροδιορίτε την καλύτερη τιµή της απόταης και το τυπικό της φάλµα αγνοώντας αυτή την µέτρηη. Τι παρατηρείτε;. Μια γωνία µετρήθηκε ε 4 διαφορετικές ηµέρες. ίνονται οι µέοι όροι των µετρήεων της κάθε ηµέρας µε το τυπικό τους φάλµα όπως αυτό προδιορίτηκε ή το πλήθος των µετρήεων από το οποίο προήλθαν. 38 g,648 (6) 38 g,646 5 cc (8) 38 g,64 6 cc 38 g,64 3 cc Ζητείται να υπολογιτεί η µέη τιµή της γωνίας και το τυπικό της φάλµα, θεωρώντας τους ηµερήιους µέους όρους ανιοβαρείς παρατηρήεις. Επίης να υπολογιτούν τα a posteror τυπικά φάλµατα για τις µετρήεις της κάθε ηµέρας. 3. Οι υντεταγµένες δύο τριγωνοµετρικών ηµείων (T, T ) το προβολικό επίπεδο του ΕΓΣΑ87 είναι: T 55004,43 m y T T 55,70 m y T 44508,5 m 44594,3 m Υπολογίτε την γωνία διεύθυνης at T και την απόταη T T όπως αυτά υπολογίζονται από το δεύτερο θεµελιώδες πρόβληµα. Επίης υπολογίτε τα τυπικά τους φάλµατα µε και χωρίς εφαρµογή του νόµου µετάδοης φαλµάτων, αν θεωρηθεί για το ηµείο T ότι δεν υπάρχει φάλµα τον προδιοριµό της θέης του και ότι η αβεβαιότητα το προδιοριµό της θέης του ηµείου T είναι 3 cm. Τι παρατηρείτε; ΕΠ/ Μ / ΓΓ/ ΠΜ/ 8 0 09
Ιοβαρείς Παρατηρήεις [ ] ± ( ) [ υυ] υ υ... υ ± ± όπου υ ι ι ± Ανιοβαρείς Παρατηρήεις β β [ β] β β... [ ]... β ˆ 0 ± [ υυ] ± υ υ... υ ˆ 0 ˆ β ± και [ ] ˆ ι β ± ˆ 0 Γραµµική Γωνιακή ακρίβεια Ακρίβεια προδιοριµού θέης r κ ( rad) κ κ α arcta( ) ή (cc) α (m) κ (m) 00 0000 π Νόµος µετάδοης φαλµάτων y f (,,..., ) f y f... f