ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ Σηµειώσεις Μη Γραµµικού Προγραµµατισµού Β Κούτρας ΧΙΟΣ

Β Κούτρας ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΙΣΜΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κοµµάτι αυτό του Μαθηµατικού Προγραµµατισµού ασχοούµαστε µε προβήµατα βετιστοποίησης όπου οι αντικειµενικές συναρτήσεις ή/και οι περιορισµοί δεν είναι γραµµικές συναρτήσεις Κατηγορίες προβηµάτων ΜΓΠ Προβήµατα ΚΛΑΣΜΑΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΙΣΜΟΥ όπου η αντικειµενική συνάρτηση είναι κάσµα Προβήµατα ΙΑΧΩΡΙΣΙΜΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΙΣΜΟΥ όπως για παράδειγµα προβήµατα µεταφοράς προϊόντων όπου το κόστος µεταφοράς ανά µονάδα προϊόντος δεν είναι σταθερό αά µειώνεται όσο αυξάνεται η ποσότητα του µεταφερόµενου προϊόντος Προβήµατα ΕΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΙΣΜΟΥ όπου οι περιορισµοί είναι γραµµικοί και η αντικειµενική συνάρτηση είναι πουώνυµο δευτέρου βαθµού Μαθηµατική διατύπωση του γενικού προβήµατος ΜΓΠ Πρόβηµα µεγιστοποίησης : ma i b i i m Πρόβηµα εαχιστοποίησης : mi b i m i i Σηµειώσεις: Για το πήθος των περιορισµών και το πήθος των µεταβητών ισχύει m Η διαφορά mείναι οι βαθµοί εευθέριας του προβήµατος

Β Κούτρας Η κατεύθυνση των ανισοτήτων στους περιορισµούς είναι απά συµβοική αφού ένας περιορισµός της µορφής i bi µπορεί εύκοα να µετατραπεί σε περιορισµό µε ποαπασιάζοντας και τα δύο µέρη της ανίσωσης µε - 4 Ένας εξισωτικός περιορισµός i bi µπορεί εύκοα να µετατραπεί σε δύο ανισωτικούς περιορισµούς b και i bi i i Μία ακόµα τυπική διατύπωση του προβήµατος ΜΓΠ εκφράζεται ως εξής : m a m όπου και εδώ m και οι συναρτήσεις είναι -διαφορίσιµες συναρτήσεις επί του R και συνεχείς ο γεγονός ότι οι παραπάνω συναρτήσεις πρέπει να είναι -διαφορίσιµες είναι σηµαντικό γιατί εφόσον ψάχνουµε εάχιστο ή µέγιστο θα πρέπει να εξετάσουµε πρώτες και δεύτερες παραγώγους

Β Κούτρας 4 ΜΑΘΗΜΑΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Στην συνέχεια ακοουθούν κάποια βασικά θεωρήµατα και ορισµοί απαραίτητα για την επίυση προβηµάτων ΜΓΠ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω : R R διαφορίσιµη συνάρτηση ο ανάδετα της σε σηµείο είναι το διάνυσµα και ο πίνακας Hesse της στο είναι ο : ο ανάδετα και ο πίνακας Hesse στον ογισµό ποών µεταβητών έχουν την έννοια της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου αντίστοιχα Ικανές και αναγκαίες συνθήκες για να είναι ένας πραγµατικός πίνακας Α συµµετρικός και θετικά ορισµένος: i Οι ιδιοτιµές του Α να είναι θετικές ii Οι οδηγοί κύριες εάσσονες ορίζουσες να είναι θετικές Παρακάτω δίνονται κάποια βασικά θεωρήµατα ύπαρξης τοπικού και οικού µεγίστου τα οποία θα βοηθήσουν στην επίυση προβηµάτων µε περιορισµούς αά και χωρίς περιορισµούς : ΘΕΩΡΗΜΑ Αναγκαία συνθήκη τοπικού µεγίστου Έστω : R R - διαφορίσιµη και συνεχής συνάρτηση µε τοπικό µέγιστο R ότε i ii Ο πίνακας H είναι αρνητικά ηµιορισµένος

Β Κούτρας ΘΕΩΡΗΜΑ Ικανή συνθήκη τοπικού µεγίστου Έστω : R R διαφορίσιµη συνάρτηση και R i ii Ο πίνακας H είναι αρνητικά ηµιορισµένος ότε το είναι τοπικό µέγιστο ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω ένα σύνοο V και V ο V ονοµάζεται κυρτό σύνοο αν για κάθε V και R µε + V i ΘΕΩΡΗΜΑ Οικού µεγίστου Έστω : R R κοίη συνάρτηση και κυρτό σύνοο ότε κάθε τοπικό µέγιστο της είναι και οικό µέγιστο και συνεπώς ύση του προβήµατος ΜΓΠ χωρίς περιορισµούς ma R ΘΕΩΡΗΜΑ 4 Καθορισµού κυρτότητας/κοιότητας Έστω : R R - διαφορίσιµη και συνεχής συνάρτηση Η είναι κυρτή κοίη αν και µόνο αν ο πίνακας H είναι θετικά αρνητικά ηµιορισµένος R κυρτή συνάρτηση κοίη συνάρτηση 5

Β Κούτρας ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΓΠ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Παράδειγµα R ma + + Λύση: Η αναγκαία συνθήκη τοπικού µεγίστου δίνει : + [ ] Λύνοντας το σύστηµα προκύπτει ότι το 4 είναι πιθανό µέγιστο Στην συνέχεια εξετάζουµε τον πίνακα Hesse σε τυχαίο σηµείο H Παρατηρούµε ότι ο πίνακας είναι συµµετρικός Εάν δείξω ότι είναι αρνητικά ορισµένος τότε όγω της ικανής συνθήκης ύπαρξης τοπικού µεγίστου το θα είναι τοπικό µέγιστο Υποογίζουµε τις ιδιοτιµές του πίνακα και παρατηρούµε ότι αυτές είναι - - - δηαδή είναι όες αρνητικές και άρα ο πίνακας H είναι αρνητικά ορισµένος Επίσης επειδή οι ιδιοτιµές είναι αρνητικές οδηγούµαστε στο συµπέρασµα ότι η είναι κοίη συνάρτηση και αφού η περιοχή R είναι κυρτό σύνοοεδώ δεν έχουµε περιορισµούς το σηµείο άρα ύση του προβήµατος ΜΓΠ 4 είναι και οικό µέγιστο και 6

Β Κούτρας ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υθεί το παρακάτω πρόβηµα ΜΓΠ ma4 + 6 R Να υθεί το παρακάτω πρόβηµα ΜΓΠ ma + + R Μία εταιρία θέει να εγκαταστήσει ένα εργοστάσιο που παράγει τόνους τσιµέντου την ηµέρα και το οποίο το διανέµει στις πόεις Α Β Γ σε ποσότητες 5 τόνων αντίστοιχα Η πόη Β βρίσκεται m βόρεια και 4 m ανατοικά από την πόη Α και η πόη Γ βρίσκεται m βόρεια και 5 m ανατοικά της Α Αν η µεταφορά ενός τόνου προς οποιαδήποτε πόη κοστίζει /m να διατυπωθεί ένα πρόβηµα ΜΓΠ για την εύρεση της θέσης του εργοστασίου που εαχιστοποιεί το ηµερήσιο κόστος µεταφοράς 4 Ένα µονοπώιο που παράγει ένα και µόνο συγκεκριµένο προϊόν έχει δύο πεάτες Αν q µονάδες παράγονται για τον πεάτη τότε αυτός προτίθεται να πηρώσει µία τιµή 7-4q Αν q µονάδες παράγονται για τον πεάτη τότε αυτός προτίθεται να πηρώσει µία τιµή 5-5q Για q > το κόστος κατασκευής q µονάδων του προϊόντος είναι + 5q Πόσο προϊόν πρέπει το µονοπώιο να πουήσει σε κάθε πεάτη έτσι ώστε να µεγιστοποιήσει το κέρδος του; 7

Β Κούτρας 4 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΓΠ ΜΕ ΕΞΙΣΩΙΚΟΥΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ 4 ιατύπωση του γενικού προβήµατος ΜΓΠ µε εξισωτικούς περιορισµούς Η γενική µορφή προβηµάτων αυτού του τύπου είναι : ma m όπου R m και οι συναρτήσεις και είναι -διαφορίσιµες επί του R Αν θεωρήσουµε τους περιορισµούς µε την µορφή διανύσµατος δηαδή [ m ] τότε το πρόβηµα ΜΓΠ µε εξισωτικούς περιορισµούς παίρνει την µορφή: ma R 4 Μαθηµατικό Υπόβαθρο ΟΡΙΣΜΟΣ Για κάθε το ανάδετα της στο σηµείο ορίζεται ως m m m m m πίνακας 8

Β Κούτρας ΟΡΙΣΜΟΣ Για κάθε και m R ορίζουµε τον πίνακα H i H m όπου [ m] διάνυσµα και H i ο πίνακας Hesse της συνάρτησης i στο i i ΟΡΙΣΜΟΣ Εφαπτόµενο επίπεδο M της στο ορίζεται το σύνοο των παραγώγων στο όων των διαφορίσιµων καµπυών που περνάνε από το ΟΡΙΣΜΟΣ 4 Σηµείο έγεται κανονικό σηµείο των περιορισµών εάν τα διανύσµατα m είναι γραµµικά ανεξάρτητα ΘΕΩΡΗΜΑ Ορισµός εφαπτόµενου επιπέδου Έστω ένα κανονικό σηµείο των περιορισµών που ορίζουν την επιφάνεια ότε το εφαπτόµενο επίπεδο M της στο είναι ίσο µε { } M y R : y Με βάση τους παραπάνω ορισµούς και το Θεώρηµα θα αναπτύξουµε τις συνθήκες για τα τοπικά µέγιστα όταν έχουµε πρόβηµα ΜΓΠ µε εξισωτικούς περιορισµούς ΘΕΩΡΗΜΑ Ασθενής αναγκαία συνθήκη τοπικού µεγίστου Έστω : R R :R R m m -διαφορίσιµες συναρτήσεις και η επιφάνεια που ορίζεται από του περιορισµούς Έστω ακόµα κανονικό σηµείο των περιορισµών το οποίο είναι τοπικό µέγιστο της υπό τους περιορισµούς ότε y y M 9

Β Κούτρας ΘΕΩΡΗΜΑ Αναγκαία συνθήκη τοπικού µεγίστου Έστω : R R :R R m m -διαφορίσιµες συναρτήσεις και η επιφάνεια που ορίζεται από του περιορισµούς Αν το είναι τοπικό µέγιστο της υπό τους περιορισµούς και επιπέον είναι κανονικό σηµείο της εφικτής περιοχής τότε m i Υπάρχει [ m] R τέτοιο ώστε ii Ο πίνακας L H H είναι αρνητικά ηµιορισµένος στο εφαπτόµενο πεδίο M δηαδή ισχύει ότι y L y y M ΘΕΩΡΗΜΑ 4 Ικανή συνθήκη τοπικού µεγίστου Έστω : R R :R R m m διαφορίσιµες συναρτήσεις και η επιφάνεια που ορίζεται από του περιορισµούς Έστω m και R τέτοια ώστε i ii Ο πίνακας L H H είναι αρνητικά ηµιορισµένος στο εφαπτόµενο πεδίο ότι y L y< για y M και y M δηαδή ισχύει ότε το είναι τοπικό µέγιστο της υπό τους περιορισµούς Από τις συνθήκες που αναπτύξαµε γίνεται φανερό ότι για την εύρεση των τοπικών ακρότατων είναι πού σηµαντική η συνάρτηση Larae : l όπου οι περιορισµοί και οι αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη των τοπικών ακρότατων γράφονται : l

Β Κούτρας ή πιο αναυτικά: i i i m i Επίσης ο πίνακας L µπορεί να θεωρηθεί ως ο πίνακας Hesse της l όπου τα θα θεωρηθούν ως παράµετροι και όχι ως µεταβητές κι έτσι θα πάρουµε παραγώγους µόνο ως προς τα 4 Μεθοδοογία επίυσης για την εύρεση τοπικού µεγίστου Κατασκευάζουµε την συνάρτηση Larae l και επιύουµε την l Εέγχουµε για κάθε ύση ξεχωριστά εάν ο L είναι αρνητικά ορισµένος Εάν η εφικτή περιοχή είναι φραγµένη τότε το µεγαύτερο από τα τοπικά µέγιστα θα είναι και οικό µέγιστο και άρα θα είναι ύση του προβήµατος ΜΓΠ Η παραπάνω µέθοδος είναι γνωστή ως ΜΕΘΟ ΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΩΝ LAGRANGE 44Παράδειγµα επίυσης προβήµατος ΜΓΠ µε εξισωτικούς περιορισµούς Παράδειγµα ma υπό τον περιορισµό + + Σηµείωση : ο πρόβηµα θα µπορούσε να διατυπωθεί και ως να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης όταν + + > µε Λύση: Η συνάρτηση Larae είναι:

Β Κούτρας + + l + + l l l l l Ποαπασιάζοντας την πρώτη εξίσωση µε την δεύτερη µε και την τρίτη µε προκύπτει ότι : Αντικαθιστώντας στην τέταρτη εξίσωση για να βρω το και κρατώντας από τις εξισώσεις και τον περιορισµό > ότι βρίσκω ότι 6 και εποµένως 6 Στην συνέχεια θα υποογίσουµε το επίπεδο M ] [ ] [ ] [ οπότε για το επίπεδο έχουµε : { } { } [ ] : [ ] : [ ] : M y y y y R y y y y y R y y y y y y y R y y y + + + + Πρέπει να υποογίσουµε τώρα και το L το οποίο όπως αναφέρθηκε θα είναι ο πίνακας των δεύτερων παραγώγων του l µόνο ως προς

Β Κούτρας l + + 6 και άρα l l l l l l L l l l Για να αποδείξουµε τώρα ότι το L είναι αρνητικά ορισµένος πίνακας στο M πρέπει να πάρουµε µία βάση του M ο M είναι ένας χώρος που περιγράφεται ως : { y y y y ] R : y + y + y } [ Οπότε για να βρούµε µία βάση που παράγει το χώρο αυτό αρκεί να εκφράσουµε το ένα από τα y y y ως συνάρτηση των άων δύο Αυτό µπορεί να γίνει για παράδειγµα ως εξής :[ y y y y ] και άρα η βάση του χώρου M M θα έχουµε: { y [ y y y ] R : y+ y + y } {[ y y y y ] : y y R} T T { y [ ] + y [ ] :} y y R Στην συνέχεια εέγχουµε το πρόσηµο της τετραγωνικής µορφής οποία είναι : y T L y η [ y y y y y y ] y + y y y y y

Β Κούτρας Η τεευταία παράσταση για y y R και y y είναι < Άρα το σηµείο είναι τοπικό µέγιστο Επειδή η εφικτή περιοχή που ορίζεται από τον περιορισµό + + είναι φραγµένη το τοπικό αυτό µέγιστο θα είναι και οικό µέγιστο 4

Β Κούτρας ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθούν τα τοπικά µέγιστα της συνάρτησης y z + y+ z όταν + y και + y+ z 7 Να υθεί το παρακάτω πρόβηµα ΜΓΠ ma[ αν + R + 5 4 ] Οι προτιµήσεις ενός καταναωτή µεταξύ δύο αγαθών και y δίνονται από την συνάρτηση χρησιµότητας U y + y+ Οι τιµές των αγαθών και y είναι και αντίστοιχα και το κεφάαιο του καταναωτή είναι Ποιες ποσότητες από το κάθε αγαθό πρέπει να διαέξει ο καταναωτής ώστε να µεγιστοποιήσει την χρησιµότητα; 4 Μία επιχείρηση σχεδιάζει να ξοδέψει σε µία διαφηµιστική καµπάνια ο κόστος διαφήµισης στην τηεόραση είναι το επτό και το αντίστοιχο κόστος για το ραδιόφωνο είναι το επτό Αν η επιχείρηση αγοράσει επτά τηεοπτικής διαφήµισης και y επτά ραδιοφωνικής διαφήµισης τότε τα έσοδα της σε χιιάδες δίνονται από την συνάρτηση: y y + y+ 8+ y Με ποιο τρόπο µπορεί η επιχείρηση να µεγιστοποιήσει το κέρδος της; 5

Β Κούτρας 5 ΣΥΝΘΗΚΕΣ KUHN-TUCKER ΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΓΠ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Όπως έχουµε ήδη αναφέρει η γενική µορφή του προβήµατος ΜΓΠ είναι : m a m R ΟΡΙΣΜΟΣ Ο ανισωτικός περιορισµός του προβήµατος ΜΓΠ ονοµάζεται ενεργός για ένα σηµείο της εφικτής περιοχής αν ισχύει σαν ισότητα δηαδή αν ιαφορετικά έγεται ανενεργός Ένας εξισωτικός περιορισµός θεωρείται πάντα ενεργός ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω σηµείο που ικανοποιεί τους περιορισµούς ζ το σύνοο των ενεργών περιορισµών για το ότε το και έστω δηαδή ζ { : } ονοµάζεται κανονικό σηµείο των περιορισµών αν τα διανύσµατα i m και ζ είναι γραµµικά ανεξάρτητα i α τοπικά µέγιστα αν υπάρχουν επηρεάζονται µόνο από τους ενεργούς περιορισµούς Έτσι αν γνωρίζουµε εκ των προτέρων ποιοι περιορισµοί σε µία ύση είναι ενεργοί αγνοούµε τους ανενεργούς µετατρέπουµε σε εξισωτικούς τους ενεργούς και ύνουµε ένα πρόβηµα ΜΓΠ µε εξισωτικούς περιορισµούς σύµφωνα µε την µέθοδο των ποαπασιαστών Larae 6

Β Κούτρας Ένας τρόπος επίυσης θα ήταν να επιέγαµε ένα υποσύνοο ανισωτικών περιορισµών να τους µετατρέπαµε σε εξισωτικούς και αγνοώντας τους υπόοιπους να ύναµε το πρόβηµα ΜΓΠ µε αυτούς Αυτό θα πρέπει να γίνει για όους τους δυνατούς συνδυασµούς περιορισµών Οι ύσεις που θα προέκυπταν θα ήταν ύσεις του αρχικού προβήµατος εφόσον ικανοποιούν τις συνθήκες του αρχικού προβήµατος Η διαδικασία αυτή είναι αναποτεεσµατική αφού οι δυνατοί συνδυασµοί περιορισµών για την δηµιουργία υποσυνόων εξισωτικών περιορισµών είναι Παρακάτω ακοουθεί µία διαδικασία που αποτεεί γενίκευση των όσων έχουν αναφερθεί µέχρι τώρα για προβήµατα µε εξισωτικούς περιορισµούς Οι συνθήκες αναγκαίες και ικανές που χαρακτηρίζουν την παρακάτω µεθοδοογία επίυσης προβηµάτων ΜΓΠ µε ανισωτικούς περιορισµούς ονοµάζονται συνθήκες Ku-Tucer ΘΕΩΡΗΜΑ Αναγκαία συνθήκη τοπικού µεγίστου Έστω : R R :R R m m -διαφορίσιµες συναρτήσεις και εφικτή περιοχή που ορίζεται από τους περιορισµούς και Αν το είναι τοπικό µέγιστο της υπό τους περιορισµούς και επιπέον είναι κανονικό σηµείο της τότε : m i Υπάρχουν [ m] R και µ [ µ µ µ ] R µ τέτοια ώστε : µ µ T T ii Ο πίνακας L H H H µ είναι αρνητικά ηµιορισµένος στο εφαπτόµενο επίπεδο περιορισµών στο M µε { y R : y y ζ} M των ενεργών και ζ { : } δηαδή ισχύει ότι T y L y y M Οι συνθήκες του i µαζί µε τους περιορισµούς ονοµάζονται συνθήκες Ku-Tucer 7

Β Κούτρας Αν ενισχύσουµε τη συνθήκη ii Παίρνουµε τις ικανές συνθήκες τοπικού µεγίστου ΘΕΩΡΗΜΑ Ικανή συνθήκη τοπικού µεγίστου Έστω : R R :R R m :R R -διαφορίσιµες συναρτήσεις και εφικτή περιοχή που ορίζεται από τους περιορισµούς και Έστω m R i µ ii R µ R : µ µ T Ο πίνακας T L είναι αρνητικά ηµιορισµένος στον υπόχωρο M και { : µ > } ' H H H µ { y R : y y ζ } ζ το σύνοο των ανισωτικών ενεργών περιορισµών του για τους οποίους ο συντεεστής µ είναι και µεγαύτερος από το µηδέν Θυµηθείτε ότι για το γεγονός του αρνητικά ορισµένου πίνακα ισχύει ότι y T L y y M και y Εάν ισχύουν τα i και ii τότε το περιορισµούς και είναι τοπικό µέγιστο υπό τους Οι συνθήκες Ku-Tucer µαζί µε τους περιορισµούς µπορούν να γραφούν αναυτικά ως εξής : µ m i i µ i µ i m i 8

Β Κούτρας Οι συνθήκες Ku-Tucer βοηθούν στην επίυση προβηµάτων ΜΓΠ µέσω του εντοπισµού τοπικών µεγίστων Για µία σηµαντική κατηγορία προβηµάτων όµως εξασφαίζουν οικά µέγιστα Η κατηγορία αυτή ονοµάζεται Κυρτός Προγραµµατισµός και αφορά προβήµατα χωρίς εξισωτικούς περιορισµούς της µορφής : m a όπου η είναι κοίη συνάρτηση και είναι κυρτές συναρτήσεις άρα και η εφικτή περιοχή είναι κυρτό σύνοο α προβήµατα αυτά ονοµάζονται προβήµατα Κυρτού Προγραµµατισµού ΚΠ ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω το πρόβηµα ΚΠ m a µε εφικτή περιοχή Αν υπάρχουν R µ R τέτοια ώστε τότε το µ µ µ είναι ύση του προβήµατος ΚΠ είναι δηαδή οικό µέγιστο της υπό τους περιορισµούς 9

Β Κούτρας ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω το πρόβηµα ΜΓΠ ma µε κοίη συνάρτηση Αν υπάρχει τέτοιο ώστε τότε το είναι ύση του προβήµατος ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω το πρόβηµα ΜΓΠ m a µε κοίη συνάρτηση και κυρτές συναρτήσεις Αν υπάρχουν R καιµ R τέτοια ώστε : µ µ µ µ τότε το είναι ύση του προβήµατος

Β Κούτρας Παράδειγµα Να υθεί το πρόβηµα ΜΓΠ Λύση ma[l + + Στην περίπτωση αυτή έχουµε 5 + ] l+ + + 5 Η συνάρτηση ως γραµµική είναι κυρτή ενώ η είναι κοίη Παίρνοντας την πρώτη παράγωγο ως προς ή ως προς αυτή δίνει και ο πίνακας Hesse της είναι + + + + H + + + + + + c c c c + + όπου c και c αφού Παίρνοντας τις κύριες εάσσονες ορίζουσες του παραπάνω πίνακα παρατηρούµε ότι αυτές είναι - c όες άρα ο H είναι αρνητικά ηµιορισµένος στον R και άρα η συνάρτηση είναι κοίη Από το πόρισµα έχουµε

Β Κούτρας µ + + + + µ + + + + µ µ + + 5 5 µ µ ΣΚ _ ΣΚ _ ΣΚ _ ΣΚ _ 4 ΣΚ _ 5 ΣΚ _ 6 ΣΚ _ 7 ΣΚ _ 8 ΣΚ _ 9 Οι παραπάνω συνθήκες είναι οι συνθήκες Ku-Tucer του προβήµατος Η επίυση του συστήµατος αυτού δεν είναι εύκοη Ο πιο εύκοος τρόπος είναι να ξεχωρίσουµε περιπτώσεις ανάογα µε το αν µ ή> ή> ή Έτσι έχουµε 8 περιπτώσεις > Η µοναδική περίπτωση που µας δίνει ύση είναι αυτή κατά την οποία µ µε 5 και 6 ma l ΑΣΚΗΣΗ Να επιυθεί το πρόβηµα ΜΓΠ mi +

Β Κούτρας ΕΠΑΝΑΛΗΠΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υθεί το πρόβηµα µη γραµµικού προγραµµατισµού mi4 + + 4 + 4 Να υθεί το πρόβηµα µη γραµµικού προγραµµατισµού + ma+ 4+ 5 5 e Να υθεί το πρόβηµα µη γραµµικού προγραµµατισµού + mi l 4 + 6 4 Να υθεί το πρόβηµα κυρτού τετραγωνικού προγραµµατισµού + ma 4 4 + 6 5 Να υθεί το πρόβηµα µη γραµµικού προγραµµατισµού mi + + 4 6 Να υθεί το πρόβηµα µη γραµµικού προγραµµατισµού + + ma 4 + 8 4

Β Κούτρας 7 Να αποδειχθεί ότι το πρόβηµα µη γραµµικού προγραµµατισµού + + + mi 4 6 5-4 είναι πρόβηµα κυρτού προγραµµατισµού και να επιυθεί χρησιµοποιώντας τις συνθήκες Ku-Tucer 8 Να υθεί το πρόβηµα κυρτού τετραγωνικού προγραµµατισµού για όες τις τιµές του α + ma 6 8 4 6 + a 4