ΣΥΝΟΛ 6ο ΓΕΛ ΛΜΙΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΝΤΦΥΛΛΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚΟΣ
ΣΥΝΟΛ Στοιχεία θεωρίας Σύνολο είναι μια συλλογή από αντικείμενα. Το σύνολο όλων των ελληνικών ποδοσφαιρικών ομάδων. Το σύνολο όλων των χωρών της Ευρώπης. Τα αντικείμενα ενός συνόλου ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου. Για κάθε αντικείμενο θα πρέπει να μπορούμε να αναγνωρίσουμε με σιγουριά, αν είναι στοιχείο ενός συνόλου. Για παράδειγμα, ο "Ολυμπιακός" είναι αδιαμφισβήτητα μια ελληνική ομάδα, ή τα γράμματα, είναι στοιχεία του συνόλου των γραμμάτων της ελληνικής αλφαβήτου. Ο ορισμός του συνόλου κατά τον G. Cantor: Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόηση μας. Είναι καλά ορισμένα, και διακρίνονται το ένα από το άλλο". Κάθε στοιχείο ενός συνόλου θα πρέπει κατά τον ορισμό να ικανοποιεί δυο προϋποθέσεις: Να είναι διακεκριμένο, δηλαδή να μην είναι ίδιο με κανένα άλλο στοιχείο του συνόλου (να μην πάρουμε κάποιο στοιχείο περισσότερες από μια φορές). Να είναι καλώς ορισμένο, δηλαδή τα στοιχεία του να μπορούν να αναγνωρίζονται με σιγουριά. Για παράδειγμα, δεν έχει νόημα να μιλάμε για το σύνολο των ψηλών μαθητών του 6 ου Λυκείου, αν δεν καθορίσουμε τι σημαίνει ψηλός μαθητής. ν όμως θεωρήσουμε ψηλό μαθητή αυτόν που έχει ύψος πάνω από 180 cm, τότε έχουμε ορίσει σαφώς το σύνολο. Για να συμβολίσουμε ένα σύνολο στα Μαθηματικά, χρησιμοποιούμε ένα από τα κεφαλαία γράμματα του Ελληνικού ή του Λατινικού αλφαβήτου, ενώ για τα στοιχεία του χρησιμοποιούμε τα μικρά γράμματα αυτών συνήθως το χ. Το σύνολο που δεν έχει καθόλου στοιχεία, λέγεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με ή { }. Το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου, ονομάζεται πληθικός αριθμός του συνόλου και συμβολίζεται Ν (). Για παράδειγμα: ν = {3,8,45,56}, τότε Ν () = 4. ν = { }, τότε Ν () = 0. Για να δηλώσουμε ότι το χ είναι στοιχείο του συνόλου, γράφουμε: x και διαβάζουμε "το x ανήκει στο ". Για να δηλώσουμε ότι το χ δεν είναι στοιχείο του συνόλου, γράφουμε: x και διαβάζουμε "το x δεν ανήκει στο ". Κάθε φορά που εργαζόμαστε με σύνολα, θεωρούμε ότι αντλούμε τα στοιχεία τους απο ένα ευρύτερο σύνολο που λέγεται βασικό σύνολο ή σύνολο αναφοράς και συμβολίζεται Ω. Γνωστά βασικά σύνολα που χρησιμοποιούμε στα μαθηματικά είναι: Χρίστος Τριανταφύλλου Σελίδα 1
Ν = {0,1,2,3,4,...}, το σύνολο των Φυσικών ριθμών. Ζ = {...-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,...}, το σύνολο των κεραίων αριθμών. x Q / x, y Z, y 0 το σύνολο των Ρητών αριθμών y R το σύνολο των Πραγματικών αριθμών. Λύση Ο συμβολισμός Ν*, Ζ*, R*, Q* υποδηλώνει ότι από όλα αυτά τα σύνολα εξαιρείται το 0. Π.χ πό τις παρακάτω ιδιότητες ορίζουν σύνολα: α) Οι θετικοί άρτιοι αριθμοί. β) Οι πολίτες με οικολογικό ενδιαφέρον που διαμένουν μόνιμα στη Λαμία. γ) Οι μαθητές ενός σχολείου με μέση βαθμολογία πάνω από 18,5. α) Η ιδιότητα "Οι θετικοί άρτιοι αριθμοί" ορίζει σαφώς και χωρίς καμία αμφιβολία ένα σύνολο αριθμών. β) Η ιδιότητα «Οι πολίτες με οικολογικό ενδιαφέρον που διαμένουν μόνιμα στη Λαμία» είναι εντελώς υποκειμενική, άρα δεν ορίζει σύνολο, γ) Η ιδιότητα "Οι μαθητές ενός σχολείου με μέση βαθμολογία πάνω από 18,5" ορίζει σύνολο, διότι καθορίζεται με σαφήνεια ποιοι από τους μαθητές του σχολείου αποτελούν στοιχεία του συνόλου, Τρόποι αναπαράστασης συνόλων Ένα σύνολο παριστάνεται: ) Με αναγραφή των στοιχείων του. Όταν δίνονται όλα τα στοιχεία του και είναι λίγα σε πλήθος, τότε γράφουμε τα στοιχεία αυτά μεταξύ δύο αγκίστρων, από μία φορά το καθένα, χωρίζοντάς τα με το κόμμα. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται "παράσταση συνόλου με αναγραφή των στοιχείων του". Για παράδειγμα το σύνολο = {2,4,6,8}. ) Με περιγραφή των στοιχείων του. Γενικά αν από ένα σύνολο Ω επιλέξουμε εκείνα τα στοιχεία του, που έχουν μια ορισμένη ιδιότητα I, τότε φτιάχνουμε ένα νέο σύνολο που συμβολίζεται {x Ω / x έχει την ιδιότητα Ι}. υτό λέγεται "παράσταση συνόλου με περιγραφή των στοιχείων του". Για παράδειγμα, το σύνολο των άρτιων φυσικών αριθμών μεταξύ του 10 και του 100 παριστάνεται: Χρίστος Τριανταφύλλου Σελίδα 2
A = { x N / x ά ρ τ ι ο ς κ α ι 1 0 < x < 1 0 0 }. Γ) Με διάγραμμα Venn. Τα διαγράμματα Venn αποτελούν μια εποπτική παρουσίαση των συνόλων και των μεταξύ τους σχέσεων, δηλαδή η απόδοσή τους γίνεται με γεωμετρικά σχήματα. Σύμφωνα με το διάγραμμα Venn: Το βασικό σύνολο Ω συμβολίζεται με το εσωτερικό ενός ορθογώνιου.τα σύνολα που τα στοιχεία τους προέρχονται από το Ω, παριστάνονται με το εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης που περιέχεται στο ορθογώνιο. Π.χ Ω={1,2,3,4,5,6} ={4,3,6} Για τα σύνολα (φυσικών αριθμών), (ακεραίων), (ρητών), ρρήτων και (πραγματικών) ισχύει: Ν Z Q Ά ρρητοι αριθμοί Χρίστος Τριανταφύλλου Σελίδα 3
Ιδιότητες συνόλων Δύο σύνολα και λέγονται ίσα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. "Δύο σύνολα και λέγονται ίσα, όταν κάθε στοιχείο του είναι στοιχείο του και αντιστρόφως κάθε στοιχείς του είναι και στοιχείο του ". Παράδειγμα Τα σύνολα = {-1,1}, B = { x R / x 2-1 = 0 } έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία, άρα είναι ίσα. Ένα σύνολο λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου, όταν κάθε στοιχείο του είναι και στοιχείο του. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε AB. Εφαρμογή 1. Δίνονται τα σύνολα ={2013, 2014, λ-2} και ={2λ-4,3λ-8,2014, 2013, λ+1}. Να βρείτε τις τιμές του λr ώστε Εφαρμογή 2. Να βρείτε όλα τα υποσύνολα του συνόλου ={1,2,3} πάντηση :, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {3,1}, {1,2,3} Για τα υποσύνολα ισχύουν οι εξής ιδιότητες: A, για κάθε σύνολο ν A B και Γ, τότε Γ (μεταβατική ιδιότητα) ν A και B A, τότε = Σχόλιο: Προφανώς ισχύει η ισοδυναμία A B A B Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου και είναι μοναδικό. Πράξεις με σύνολα Χρίστος Τριανταφύλλου Σελίδα 4
Ένωση δύο συνόλων, λέγεται το σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία και των δύο συνόλων,. Συμβολίζεται A B Ω π.χ. = δηλ. ={xω / xa ή xb } α γ β 1 x 2 0 3-2 y ν τότε = Συμπλήρωμα ενός συνόλου λέγεται το σύνολο που περιέχει εκείνα τα στοιχεία του βασικού συνόλου Ω που δεν ανήκουν στο. Συμβολίζεται Δηλ. ={xω / xa } A π.χ. ή αλλιώς -={xω/ xa και xb} ή αλλιώς Ω A-B B-A={xΩ/ xb και xa} ( ) ( ) ή αλλιώς ( ) ( ) Ω B -A Ω (-)U(B-A) ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω Ω={1,2,3,...,10} ένα βασικό σύνολο και τρία υποσύνολα αυτού ={1,2,4,7,8}, ={3,4,8,10} και Γ={2,4,5,10} Χρίστος Τριανταφύλλου Σελίδα 5
α) Να παραστήσετε τα σύνολα Ω,, και Γ με διάγραμμα Venn. β) Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους καθώς και με διαγράμματα Venn τα σύνολα: i) AB ii) Γ iii) (ΠΓ) iv) (AB) Γ v) Γ 2. Στο παρακάτω σχήμα παριστάνονται με διάγραμμα Venn ένα βασικό σύνολο Ω και τρία υποσύνολά του, και Γ. α) Ποιο είναι το πλήθος των στοιχείων των συνόλων, και Γ; β) Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα: i) AB ii) Γ iii) (Γ) iv) Γ v) A' 3. Έστω Ω = {l,2,3,...,10} ένα βασικό σύνολο και δύο υποσύνολά και = {1,2,3,4,5} = {2,3,5,7}. Να βρείτε τα σύνολα: i ) A B ii) A B iii) iv. B-A v. B-A A-BB-A 4. Δίνονται τα σύνολα 7 x Z / Z x και ={xr/x 3-4x=0} Να αποδείξετε ότι τα σύνολα και είναι ξένα μεταξύ τους. Χρίστος Τριανταφύλλου Σελίδα 6