Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f. Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση : f. Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση, θεωρούμε τον πίνακα : 0 f 7 9 9 7 και έχουμε : - 5 -
Για τη συνάρτηση αυτή και για κάθε συνάρτηση της γενικής μορφής : f α, με α έχουμε : Πεδίο ορισμού το Σύνολο τιμών το διάστημα 0, των θετικών πραγματικών αριθμών. Γνησίως αύξουσα, διότι για κάθε,, επειδή α ισχύει : αν α α Τέμνει τον άξονα yy στο σημείο A 0, και έχει ασύμπτωτη τον αρνητικό ημιάξονα. Θεωρούμε τη συνάρτηση : f και προκειμένου να κάνουμε τη γραφική της παράσταση, θεωρούμε τον πίνακα : 0 f 7 9 9 7 και έχουμε : - 6 -
Για τη συνάρτηση αυτή και για κάθε συνάρτηση της μορφής : f α με 0 α έχουμε : Πεδίο ορισμού το Σύνολο τιμών το διάστημα 0, των θετικών πραγματικών αριθμών. Γνησίως φθίνουσα, διότι για κάθε,, επειδή 0 α ισχύει : αν α α Τέμνει τον άξονα yy στο σημείο A 0, και έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα. Παρατηρήσεις :. Επειδή η εκθετική συνάρτηση : f α με 0 α είναι γνησίως μονότονη, ισχύει : αν α α. Επομένως με την επαγωγή σε άτοπο, μπορούμε να έχουμε : αν α α. Με την βοήθεια της συνεπαγωγής αυτής, μπορούμε να λύνουμε εκθετικές εξισώσεις, δηλαδή εξισώσεις που έχουν τον άγνωστο στον εκθέτη.. Για τις συναρτήσεις : παρατηρούμε ότι ισχύει : f α, g, 0 α α g α f, α Επομένως οι γραφικές παραστάσεις τους, είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα yy. α - 7 -
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 8 ii) 8 iii) 4 iv) 5 6 5 i) 4 8 4 ii) 4 8 4 4 4 4 4 6 4 iii) 5 iv) 5 5 5. Να λυθούν οι εξισώσεις : i) 9 ii) e e 8 4 iii) iv) 5 i) 9 9-8 -
ii) e 4 iii) e e e 8 4 4 6 iv) 7 9 0 5 5 5 0 ή.. Να λυθεί η εξίσωση : 54. 54 54 Θέτω y και η εξίσωση γίνεται : y y y 4y 54 7y 6 y 8 4 8. οπότε 4. Να λυθεί η εξίσωση : 9 4 0. 9 4 0 4 0 4 0 Θέτω y και η εξίσωση γίνεται : y y 4 0 που έχει ρίζες y και y 4. 0 Για y έχω : 0 Για y 4 έχω : 4 αδύνατη γιατί 0. - 9 -
5. Να λυθεί η εξίσωση : 8 0 9 0 () Η () ορίζεται όταν είναι φυσικός μεγαλύτερος του. Έτσι Θέτω Αν y Αν 9 0 9 0 9 0 9 0 y 9 y άρα έχω : y 0y 0 y ή τότε y. 9 9 τότε Απορρίπτεται 6. Να λυθεί το σύστημα : y 4 y 9. y y 0 y 0 () 9 y y y () Αφαιρώντας από τη () την () προκύπτει : y στην () έχουμε. και αντικαθιστώντας 7. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 5 4 0 ii) 5 4 iii) 8 9 0 iv) v) 4 0 i) 5 4 0 Θέτουμε t, οπότε η επιλύουσα της () είναι η : Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () είναι : 5 4 4 5 6 9 και επομένως οι ρίζες είναι : t 5t 4 0 (). 5 4 5 t 5-40 -
Αν Αν t 4 4 4 0 t 0 0 ii) 5 5 5 8 iii) 8 9 0 8 9 0 8 9 0 () t, οπότε η επιλύουσα της () είναι η : t 8t 9 0 (). Θέτουμε Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () είναι : 8 4 9 4 7 4 7 4 4 49 7 4 96 7 4 69 6 8 6 54 9 8 6 6 6 t 8 6 6 6 t 9 9 t και επομένως οι ρίζες είναι : Αν Αν 4 4 iv) 0 0 0 4 7 8 8 4 8 7 8 4 8 7 8 4 6 4 8 8 8 v) 4 4 4 4 4 4 4 4 8 4 6 4 4 8 4 4 4 4 4 4 4-4 -
8. Να λύσετε τις εξισώσεις ημ i) ii) iii) i) ημ ημ συν 5 ημ 4 ημ ημ συν 9 ημ ημ ημ π ημ ημ ημ 6 π ημ ημ 6. Άρα ii) iii) κπ π π κπ 6 κπ 7π 7π κπ 6 ημ ημ 4ημ ημ συν ημ συν ημ συν 9 ημ συν 4ημ ημ συν ημ ημ συν συν συν ημ συν συν 0 συν ημ 0 συν 0 κπ ημ (αδύνατη) ημ ημ ημ ημ συν 5 ημ ημ ημ συν 5 ημ ημ συν 5 5 4 ημ ημ συν ημ ημ ημ συν ημ ημ ημ ημ ημ 0 ημ συν ημ συν ημ συν συν 0 συν συν π Από την σχέση () παίρνουμε: κπ ημ 0 κπ κπ, κ Από την σχέση () παίρνουμε : συν συν κπ 4κπ. 4κπ 4κπ 4κπ 4 4κπ - 4 -
9. Να λυθεί η εξίσωση : 6 9 56. 6 6 6 6 56 56 Θέτω Άρα 6 y y έχουμε : y y 56 y 56 y 64 8 6 6 6 64 6 6 0 ή 4 0. i) Να βρείτε το α 5 ώστε η αύξουσα. ii) Να βρείτε το α, α φθίνουσα. 0 ώστε η f α α 5 5 να είναι γνησίως g α να είναι γνησίως i) Για να είναι η f γνησίως αύξουσα θα πρέπει: α α α α 5 α 6 0 0 α 5 α 5 α 5 α 5 0 α 6 α 5 0 α α 5 0 α α 5 0 α,5. ii) Για να είναι η g γνησίως φθίνουσα θα πρέπει: 5 α 5 0 0 α α 5 0 α,0 5, 5 α α 0 α 5 5 0 5α 0 α 0 α α Επομένως πρέπει α 5.. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f k. i) Για ποιες τιμές του k ορίζεται η f ; ii) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές k για τις οποίες η f είναι γνησίως αύξουσα. iii) Να βρείτε το k ώστε η γραφική παράσταση της f να περνάει από το σημείο,. iv) Να βρείτε τις τιμές του k ώστε η γραφική παράσταση της f να περνάει από το σημείο,. - 4 -
i) Πρέπει: k 0 k k k, () ii) Για να είναι η f γνησίως αύξουσα πρέπει: k k 0 k 0 () Η () όμως είναι αδύνατη στο, άρα δεν υπάρχουν τιμές του k, για τις οποίες η f να είναι γνησίως αύξουσα. iii) Πρέπει να ισχύει: f k k k iv) Πρέπει να ισχύει: f k k k k 0 k 0 k αδύνατη. Να λύσετε τις ανισώσεις : i) 9 ii) 8 0 iii) e 0 i) 9 ii) iii) (γιατί >). 8 0 (γιατί >). ή 0 e e e e 0 0 (γιατί e ).. Να λύσετε την ανίσωση 5 5 6. 5 5 5 6 5 6 5 5 6 5 5 6 5 5 0 5 Θέτω 5 y Άρα η ανίσωση γίνεται y 6y 5 0. Είναι y 6y 5 0 y ή y 5 5 + _ + - 44 -
Άρα 0 y 5 5 5 5 5 5 0 (γιατί 5>). 4. Να λύσετε τα συστήματα. i) 9 y 4 8 y ii) 5 6 y 8 iii) y 4 y 9 iv) y 5 4 9 y 5 6 i) y y y 9 y 4 8 y y y y y 4 y 5 5 y y y y ii) 5 6 5 6 0 ή y 8 y 8 5 6 0 y 8 y 8 y 6 y 5 iii) y y 0 y 0 4 y 0 9 y y y y y y y y y y y 5 iv) 5 4 y y α,5 β y 9 5 6 α β 4 α β 4 9 9 α α α β 4 β 6 α 0 α 0α 9 0-45 -
α β 4 α β 4 β y α,5 β y 5 αδύνατη α α y α ή α 9 α,5 β y y α β 4 5 5 5 5 y α 9 9 5. Αν η ημιζωή ενός ραδιενεργού υλικού είναι 0 χρόνια και η αρχική ποσότητα είναι 0 γραμμάρια : i) να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική απόσβεση αυτού ii) να υπολογίσετε την ποσότητα που έχει απομείνει μετά από 0 χρόνια 5 iii) να βρείτε μετά από πόσα χρόνια θα έχουν απομείνει 56 γραμμάρια του ραδιενεργού υλικού. i) Επειδή η ποσότητα Q του ραδιενεργού υλικού ακολουθεί τον νόμο της ct εκθετικής απόσβεσης έχουμε: Q t Q e ct Επειδή Q0 0 γραμμάρια είναι Q t 0 e Αφού η ημιζωή είναι t 0 0 χρόνια έχουμε: Q 0c c 0 0 0 c Q t 0 0 Q 0 0 e 0 e e 0 c c 0 e e Άρα t ct c t 0 0 Q t 0 e 0 e 0 0 0 ii) Η ποσότητα που θα έχει απομείνει μετά από 0 χρόνια είναι: 0 0 Q 0 0 e 0 5 γραμμάρια iii) Έστω ότι μετά από t χρόνια θα έχουν απομείνει Είναι 5 5 56 56 t t Q t 0 0 0 0 t 00 5 56 γραμμάρια. χρόνια. - 46 -
.Ισχύει ότι: i) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ii) 5 για κάθε Σ Λ iii) για κάθε Σ Λ iv) αν χ ακέραιος Σ Λ v) αν χ ακέραιος Σ Λ.Ισχύει ότι: i) αν χ= Σ Λ ii) αν χ=0 Σ Λ iii) αν χ= Σ Λ.Ισχύει ότι: i) 0,8 0,8 ii),5,5 iii) y e e y αν <y Σ Λ y αν <y Σ Λ αν >y Σ Λ 4.Δίνεται η f( ) 5 i) H f έχει πεδίο ορισμού το R Σ Λ ii)h f έχει σύνολο τιμών το R Σ Λ iii)h f είναι γνησίως αύξουσα στο R Σ Λ iv) Ισχύει ότι f()>f(/5) Σ Λ v) Ισχύει ότι 999 000 f( ) f( ) Σ Λ Σ Λ - 47 -
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν f()= a a είναι γνησίως αύξουσα, Q, να βρεθεί το α ώστε η συνάρτηση f()να. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) + =8 δ) =5 η) e + = 5 β) γ) 4 = 6 8 ε) 9 = ζ) 8 - =4 -χ ι) e κ) 6 χ- = 4 θ) 5 -χ+ = λ) =4 8+5 5 5. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 49 7 ii) 4 iii) 4 8 v) iv) 9 7 vi) 9 9 4. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 4-5 =4 γ) 5 5-4= 5 β) 5 - + 5 + -80=0 δ) e + e = 0 5. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 8 6 ii) 9 6 iii) 0-48 -
6. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 4 = 8 8 β) 5-7 5 5 +5 7 + =0 γ) 5 = +4 δ) + - = - + + 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 5 - =0-5 + β) + 5 =00 γ) + 6 - - =9 δ) 7 + -5 + = +4-5 + 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) - + 5-6 +5-5 =5-4 + -4 β) 5 - -= 5 γ) 5 - - 5 - = δ) + =9 χ- ε)7 + +4 + =7 +4 +4 + ζ) -4 +6 5 - = - +5 - η) 5 + + -5 + = +4 9. Να λυθούν οι εξισώσεις. α) 4-5 4 +4=0 β) γ) 4 - = - = δ) 5-6 5 +5=0 0. Να λυθούν οι εξισώσεις : α) + + +.+ =4094 β) 6 6 4 6 6..6 =6 8 γ) 4. + =7. Να λυθούν οι εξισώσεις : α) 5 ημχ-ημχ = β) ημχ +8 -ημχ =6 γ) 4 ημ χ +4 συνχ =5 δ) ημχ +7 -ημχ = ε) e συνχ + e -συνχ = - 49 -
. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) 7-5 < ε) > β) 4 ++5 < ζ) 5 5 +7 > 5 - γ) 5+ > 7 η) 7 5 >5 +6 δ) 7 > θ) 6-7 4 +6 >0. Να λύσετε τις ανισώσεις : i) 4 9 8 0 9 4 0 e e 0 ii) iii) 4. Να λύσετε την ανίσωση : 8 8 7 5. Να λύσετε την ανίσωση : ημ συν 4 4 5. 6. Να λυθούν τα συστήματα : α) +5 y =4 β) - y =7 9 5 y =56 4-9 y =75 γ) 4 y- = δ) y =54 + y-4 =7 y =4 ε) - y+ =5 ζ) 4 - y- =8 y - - = - y-4 = 7. Nα λυθούν τα συστήματα: α) 4 8 y =56 β) 5 4 y+ =9 64 4-8 y =0 5 - +4=69 γ) =8 y+ δ) 5 5 4y =5 8 9 y = -9 7 y 5 5 = 7 5-50 -
8. Δίνεται η συνάρτηση f()=e. Δείξτε ότι για κάθε, R με ισχύει f( )+f( )>f. 9. Αν η ημιζωή ενός ραδιενεργού υλικού είναι 8 χρόνια, δείξτε ότι η t συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική απόσβεση είναι:q(t)=q 0 8. ln Π.0. Δίνεται η f ln i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να λυθεί η εξίσωση f Π.. Δίνεται η συνάρτηση : συν 4ημ f α α 4α i) Για ποιες τιμές του α η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ii) Να λυθεί η εξίσωση f αν 0 α α 4α - 5 -
ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ Γενικά η λύση της εξίσωσης : α θ () όπου α 0 με α και θ 0 είναι μοναδική, αφού η εκθετική συνάρτηση f α είναι γνησίως μονότονη και το θ ανήκει στο σύνολο τιμών της. Την μοναδική λύση της (), ονομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση α και τη συμβολίζουμε : log θ α Δηλαδή όταν είναι α 0 με α και θ 0, ισχύει η ισοδυναμία : α θ logα θ Σύμφωνα με τα παραπάνω, μπορούμε να διατυπώσουμε ότι : Ο λογάριθμος με βάση α του θ logα θ, είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε το α, για να πάρουμε το θ. Χαρακτηριστικά είναι τα παραδείγματα : log9 διότι 9 6 log 4 διότι 6 6 4 4 log0 0,000 4 διότι 0 0,000 log 9 4 διότι 4 9 Σύμφωνα με τον ορισμό που δώσαμε, αν α 0 με α για κάθε και για κάθε θ 0, έχουμε: και logα θ logα α α 0 Ακόμη επειδή α και α α, ισχύουν : θ Μη ξεχνάτε: α θ - 5 -
logα 0 α και log α Ιδιότητες των λογαρίθμων. Για α 0 με α, για οποιουσδήποτε θ,θ,θ 0 και για κάθε k, ισχύουν:. logα θ θ logα θ logα θ Απόδειξη: Έστω ότι είναι : logαθ και logαθ y () από τις οποίες προκύπτουν : y α θ και α θ Πολλαπλασιάζοντας αυτές κατά μέλη, έχουμε: α α θ θ α θ θ y y Από την παραπάνω σχέση, σύμφωνα με τον ορισμό του λογαρίθμου, έχουμε : logα θ θ y από την οποία λόγω των ισοτήτων (), προκύπτει: logα θ θ logα θ logα θ. θ log log θ log θ α α θ Η απόδειξη γίνεται όπως και στην προηγούμενη ιδιότητα, με συνέπεια να έχουμε: θ log log θ log θ α α θ - 5 -
k. logαθ Απόδειξη: k log θ α Έστω ότι : Αυτό σημαίνει: Σύμφωνα με τον ορισμό, έχουμε: logα θ () k k α θ α θ log θ με συνέπεια από την (), να προκύπτει: α k k log θ α k k log θ α Δεκαδικοί λογάριθμοι. Όταν η βάση του λογαρίθμου ενός θετικού αριθμού θ είναι το 0, τότε λέμε ότι έχουμε τον δεκαδικό λογάριθμο του θ ή απλά τον λογάριθμο του θ και συμβολίζουμε: logθ Φυσικά ισχύει η ισοδυναμία: logθ 0 θ Χαρακτηριστικά είναι τα παραδείγματα: log000 διότι 0 000 4 log0,000 4 διότι 0 0,000 Φυσικοί λογάριθμοι Είναι γνωστός ο αριθμός e και η χρησιμότητα του στην περιγραφή διαφόρων φαινομένων. Εξίσου χρήσιμοι είναι και οι λογάριθμοι με βάση τον e, που ονομάζονται φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθμοι και για κάθε θετικό αριθμό θ, συμβολίζονται ln θ. Δηλαδή έχουμε: ln θ e θ - 54 -
Λογαριθμική συνάρτηση Θεωρούμε τον α 0, α. Γνωρίζουμε ότι για κάθε 0, ορίζεται ο αριθμός με τύπο: logα. Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε 0, αντιστοιχίζεται ο logα, επομένως έχουμε τη συνάρτηση : f : 0, f log α Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση το α. Επειδή ισχύει η ισοδυναμία : y logα y α () Αν είναι α για τη συνάρτηση y logα έχουμε να παρατηρήσουμε ότι: Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα : A 0, Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα στο σημείο A,0 και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα του yy. Είναι γνησίως αύξουσα, δηλαδή ισχύει: αν τότε ισχύει logα log α Όπως εμφανίζεται και στο σχήμα που ακολουθεί, είναι logα 0 αν 0 και log 0 αν α - 55 -
Αν είναι 0 α τότε για τη συνάρτηση y logα, έχουμε να παρατηρήσουμε ότι: Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα : A 0, Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Έχει γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα στο σημείο A,0 και έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα του yy. Είναι γνησίως φθίνουσα, δηλαδή ισχύει: αν, τότε είναι log log. α α Όπως εμφανίζεται και στο σχήμα, έχουμε: logα 0 αν 0 και logα 0 αν Επειδή η λογαριθμική συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, ισχύει:, τότε είναι και logα logα αν Από την συνεπαγωγή αυτή με την απαγωγή σε άτοπο, καταλήγουμε στην ισοδυναμία: y log log y α α - 56 -
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να αποδείξετε ότι : i) log4 log0 log ii) ln 4 ln 7 ln 6 ln i) 80 log 4 log 0 log log 4 0 log log80 log8 log log0 8 ii) ln 4 ln 7 ln 6 ln 4 ln 7 ln 6 ln 4 ln 7 ln 6 6 ln ln ln 6 ln ln ln 6 ln ln 9 ln 6 8 ln 9 ln 6 ln8 ln 6 ln ln 6. Έστω η συνάρτηση 5 f ln 5. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii) Να δείξετε ότι η f είναι περιττή. i) Πρέπει 5 0 5 5 0 5 5 5 Άρα A 5,5 ii) Για κάθε A είναι α) A β) 5 5 5 5 f ln ln ln ln f 5 5 5 5 Άρα η f είναι περιττή.. - 57 -
. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) log log ii) log log iii) log log log 4 log iv) ln ln i) Πρέπει: 0 0, (). Η δοσμένη σχέση γράφεται : log: log log 0 0 (δεκτή). ii) Πρέπει: 0, 0 γράφεται : log log log log0 log log: (). Η δοσμένη σχέση log log 0 0 0 0 9 9 iii) Πρέπει: (δεκτή). 0 0 0 0, 0 4 0 Η δοσμένη σχέση γράφεται : 4, 4 log log log 4 log log log 4 0 Οι ρίζες της () είναι : (δεκτή) ή (). 4 4... 6 5 0 5 6 (δεκτή). () - 58 -
iv) Πρέπει να είναι: 0 0, και η δοσμένη γράφεται: ln 0 (απορρίπτεται) ln ln ln ln ln 4 4 (δεκτή) 4. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) log0 log5 log 4 ii) iii) log 9 i) Πρέπει: log 4 4 log log log 4 log4 0 4 0 4 log 4 log log 4 log log 4 Η δοσμένη εξίσωση γράφεται: α 0 0 log0 log 5 log 4 log log 4 log log 5 5 0 α α 0 7 8 * α 4 άρα 4 (δεκτή) 7 6 α άρα (άτοπο) (*) Είναι : log 46 log 4 log 4 ii) Πρέπει: 0 log log log log log log () log Η δοσμένη εξίσωση γράφεται : log 0-59 -
log 4 4 log log 4 4 log log log 4 4 log 4 4 4 4 α 4 4 0 α α 4 0 5 8 * α 4 άρα 4 (δεκτή) 5 α άρα (άτοπο) (*) Είναι : log6 log log 5. Δίνονται οι συναρτήσεις : f ln e e και g ln ln e i) Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους ii) Να λύσετε την εξίσωση: f iii) Να λύσετε την ανίσωση : f g g (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00) i) Η συνάρτηση f ln e e ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: e e 0 e e 0 Θέτοντας e y 0, η προηγούμενη ανίσωση γράφεται : y y 0 () Παρατηρούμε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι : 4 4 8 0 Επομένως η () ισχύει και κάθε y. Άρα και η ανίσωση : ισχύει για κάθε συνάρτησης f είναι : e e 0. Αυτό σημαίνει ότι το πεδίο ορισμού της A - 60 -
Η συνάρτηση g ln ln e ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει : 0 e 0 e e e Δεδομένου ότι η συνάρτηση e είναι γνησίως αύξουσα, προκύπτει: 0 Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g, είναι : A 0, ii) Από τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f,g προκύπτει ότι οι ρίζες της εξίσωσης : f g () πρέπει να περιέχονται στο A 0,, αφού πρέπει να έχουν νόημα και οι δύο συναρτήσεις. Παρατηρούμε ότι ισχύουν οι ισοδυναμίες : f g ln e e ln ln e ln e e ln e e e e e 5e 6 0 e 5e 6 0 Θέτοντας e ω 0, προκειμένου να λύσουμε την προηγούμενη, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση : ω 5ω 6 0 της οποίας οι ρίζες είναι : ω ή ω Επομένως οι ρίζες της (), είναι : Για Για ω e ln ω e ln iii) Παρατηρούμε ότι για κάθε 0 ισχύουν οι ισοδυναμίες: f g ln e e ln e ln e e ln e e e e Η e είναι γνησίως αύξουσα. - 6 -
e e 9e 9 8e 4 8e 6e 6 0 e e 0 Θέτοντας e ω 0, έχουμε την ανίσωση : ω ω 0 4 () Η διακρίνουσα του τριωνύμου ω ω 4 είναι : Επομένως έχει τις ρίζες: ω, 4 4 4 ω ω Άρα οι λύσεις της (), είναι : ω Συνεπώς οι τιμές του που ικανοποιούν την ανίσωση f g είναι : e ln ln ln ln Η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα Επειδή πρέπει 0, συνεπάγεται ότι οι λύσεις της ανίσωσης : f g είναι : 0 ln 6. Να λυθεί η ανίσωση: log log 5 (). Οι ρίζες της ανίσωσης (), πρέπει να ικανοποιούν τις συνθήκες : - 6 -
0 ή 5 0 5 5 5 Για τον προσδιορισμό των λύσεων του παραπάνω συστήματος, μας βοηθά η ευθεία των πραγματικών αριθμών: - 5 Άρα οι λύσεις του παραπάνω συστήματος, επομένως και οι τιμές του που μπορούν να ικανοποιούν την (), είναι : ή 5 () Η βάση του λογάριθμου είναι 0, άρα η λογαριθμική συνάρτηση είναι αύξουσα, με συνέπεια ισοδύναμα της () να έχουμε : 5 6 0 ή Από τις λύσεις αυτές θα κάνουμε δεκτές εκείνες που ικανοποιούν και τις συνθήκες (). Η επιλογή θα γίνει και πάλι με την βοήθεια των πραγματικών αριθμών: - - 5 Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης είναι : ή 5 log 7. i) Να υπολογίσετε τον αριθμό 00 log log log ii) Να λύσετε την εξίσωση: 00 0-6 -
log log log log log i) Έχουμε: 00 0 0 0 0 ii) Πρέπει 0, οπότε η δοσμένη σχέση γράφεται: i) log log log log log log log 00 0 0 0 () log Θέτουμε στην σχέση () t, οπότε η επιλύουσα της () είναι : t t 0 () Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () είναι : 4 4 6 και οι ρίζες είναι : t 4 6 4 4 δίοτι t 0) Έτσι είναι : log t log 0 0. (Η τιμή t απορρίπτεται 8. Να λύσετε την εξίσωση : log 00. Πρέπει 0 Θέτουμε t, οπότε η επιλύουσα της δοσμένης εξίσωσης είναι : log t log00 t 00t log t 00t log t log t 00 log t t log t log t log t log t log t log t log t 0 () Θέτουμε log t ω, οπότε η επιλύουσα της () είναι η : ω ω 0 () Το τριώνυμο της σχέσης () έχει διακρίνουσα : 4 8 9 και ρίζες: ω 4, οπότε έχουμε τις λύσεις : - 64 -
Αν ω log t t 0 00 99 (δεκτή) 9 Αν ω log t t 0 t 0 0 0 (δεκτή) 0. Να βρείτε τον θετικό αριθμό ώστε να ισχύει: 5 ν log log log... log ν 5 ν Είναι : log log log... log ν 5 ν 5 ν ν log ν 0 5... ν ν ν 0 0 00 ν Σημείωση Υπολογισμός του αθροίσματος : 5... ν () Αν ο όρος ν κατέχει την κ τάξη, τότε: α α κ ω ν κ ν κ ν κ ν κ κ Δηλαδή το πλήθος των όρων στο άθροισμα () είναι ν. ν Άρα : 5... ν ν ν ν ν. log y log 0. i) Να αποδείξετε ότι y με, y 0. ii) Να λύσετε το σύστημα: log y log y 0 log y iii) Αν οι λύσεις του ii) είναι ρίζες της εξίσωσης: * log log log θ 0 0 να βρείτε το θ. i) ος Τρόπος log y Έστω ότι : log y log y log log log y log y log log log y (αληθής). - 65 -
ος Τρόπος Είναι : log log y log y log y logy logy logy log y log y y y y. ος Τρόπος Έστω ότι : t log t 0 () Τότε: α log y α 0 y () () log y t α αt 0 0 () log α t αt y 0 0 log y y log ii) Πρέπει 0 και y 0 log y log log y log y i) log y y 0 0 0 0 () log y log y log0 y 0 Η σχέση () γράφεται : y 00 () () log 00 log y log00 log log log 0 0 0 0 log log0 log log log log log 0 log 0 log 0 Η σχέση () για 0 δίνει : y 0. Άρα, y 0,0. iii) Για 0 η δοσμένη εξίσωση γράφεται: log log 00 0 log θ 0 0 log log 00 0 log θ 0 log log 00 0 log θ 0 log 00 0 log θ 0 log0 00 0 log θ 0 0 0 log θ 0 log θ θ 0 θ 00-66 -
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ.Αν 0 a και θ>0 ισχύει η ισοδυναμία log a a Σ Λ. Αν 0 a ισχύει ότι:log a Σ Λ a a a log a. Αν 0 a ισχύει ότι: Σ Λ 4. Αν 0 a ισχύει ότι: log a Σ Λ 5.Αν 0 a ισχύει ότι: log a Σ Λ 6.Ισχύει ότι i) log ln e για κάθε χ>0 Σ Λ ii) log ln e για κάθε χ>0 Σ Λ iii) log0 Σ Λ iv) log e Σ Λ 0 v) log log e e Σ Λ 7.Αν <y τότε log<logy Σ Λ 8.Αν <y τότε ln>lny Σ Λ 9.Αν <y τότε log log y Σ Λ 0.Αν <y τότε log log y Σ Λ - 67 -
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Δείξτε ότι: α) log +log-log=log β) log 6+ log8 + 4 log 8=log+log. Δείξτε ότι: log+log( +)+log(+ )+log(- )=log. Δείξτε ότι: α) log00=log+log5 β) log 5 log 7 log log5 log 8 4. Δείξτε ότι οι αριθμοί α, a,β με α,β>0 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου όταν και μόνο όταν οι αριθμοί logα, log a,logβ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 5. Να προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f()=α και την λογαριθμική συνάρτηση g()=log α χ, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις περνούν από το σημείο α) (,9) β) (-4, ) γ)(,-) δ) (-5,-6) 6 7 6. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : α) f ln β) f log γ) δ) f ln 8 ε) f ln e στ) f ln 5 e f ln e - 68 -
7. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) log( -)=log(+5) β) log( +)-log(+)=log γ) log(-)+log(-)=log δ) log-log4=log(+)- 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) log(+4)=-log β) log( +6)-log=log5 γ) log(-)=log-log δ) log9+log=log+log ε) ln+ln(+5)=ln50 9. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) log(+)=-log 5 β) log(+)+log =+log 0. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) ln ln β) ln ln ln 4 γ) log log δ) log 9 log ε) log log log. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) log 0 β) log log 0 γ) 4ln 0 δ) log 5log 0. Nα συγκριθούν οι αριθμοί: α) log(-4) και log(-) β) log(+ ) και log.. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) log + 5-log = β) log + 4 log =5 γ) log- = 00 δ) +log =0 ε) log- =00-69 -
4. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) ln ln ln 4 e 0 β) γ) ημ ημ ημ συν ημ ln ln ln ln 5 6 4 0 δ) 5 5 5. Να λυθούν οι ανισώσεις : α) log+ <0 5 β) log[log( -4-)] 0 γ) log[log( -)]>0 δ) log- 0 6 6. Να λύσετε τις ανισώσεις : α) log log β) ln ln γ) ln 5ln 6 0 δ) ln ln 7. Να λυθούν τα συστήματα: α) log-logy=log β) log+logy= log(-y)= 9 -y y =8 γ) logy =00 δ) log +5 logy =4 y=000 9 log -5 logy =56 8. Να λυθούν τα συστήματα: α) log-logy=log β) log+logy= log(+y)= log -logy 4 = γ) +y=65 δ) log(y)= log+logy= log-logy= ε) log + logy = ζ) log - logy = 9 log -4 logy =77 4 log +9 logy =5-70 -
9. Να λυθούν τα συστήματα: log y 000 α) log log y 4 β) y y 7 4 6 4 log log y 0. Nα λυθεί η εξίσωση: log[log(0 - +)+]=log+log. α) Αν,y>0,δείξτε ότι logy =y log β) Να λυθεί το σύστημα: logy +y log =0 log y =. Να λυθεί η εξίσωση: log log8 log78 log log Π.. i) Να αποδείξετε ότι: 00 log ii) Να λύσετε την εξίσωση: log log 00 0 Π.4 Δίνονται οι συναρτήσεις f ln e και g ln 5e. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των f και g ii) Να λύσετε την εξίσωση f g Π.5. Α. Να λυθούν οι ανισώσεις i) ln ln 0 ln ln 0 ii) Β. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f ln ln ln ln Π.6. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f log 4 log i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f ii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν τέμνει τον άξονα ψψ iii) Να λύσετε την εξίσωση f 0-7 -
Π.7. Α. Δίνονται οι συναρτήσεις: f ln e e και g ln ln e. Β. Να λύσετε την εξίσωση f g. Π.8. Να λυθεί η εξίσωση : log log 4. ν Π.9. Δίνεται η ακολουθία αν, 0 i) Να υπολογιστεί το άθροισμα Sν ln α lnα... lnα ν ii) Να λυθεί η εξίσωση Sν ν ln Π.0. Ο τρίτος όρος μιας αριθμητικής προόδου (α ν ) είναι α η διαφορά της είναι ω log5. i) Να δείξετε ότι ο πρώτος όρος α είναι.605 με τη διαφορά ω. ii) Να υπολογίσετε το άθροισμα A α α... α 9. Π.. Δίνεται η συνάρτηση f ln ln, όπου πραγματικός log5 και αριθμός. i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. ii) Να βρείτε σε ποια σημεία η συνάρτηση f τέμνει τους άξονες και yy. iii) Να λύσετε την ανίσωση f f e. Π.. Δίνεται η συνάρτηση f i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της ii) Να λυθεί η εξίσωση f ln ln 5. iii) Αν 6 να λυθεί η ανίσωση f Π.. Δίνεται η συνάρτηση : f log 4 8. i) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η συνάρτηση. ii) Να λύσετε την εξίσωση: f log7 log. - 7 -
Π.4. Α. Να λυθεί το σύστημα : 8 y 9 y 9 Β. Να λυθεί η ανίσωση : log 6 log 4. Π.5. Δίνονται οι συναρτήσεις: f log και g log log Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f και g. Β. Να λύσετε την εξίσωση f g. Π.6. Αν f ln ln, να λυθεί η εξίσωση 0 f f. Π.7. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων log0 log5 log 4 και ln log e 0. 5 Π.8. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος α ν με α ln 4 και α ln 4. i) Να βρείτε την διαφορά ω της προόδου. ii) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα S ν των ν πρώτων όρων της, δίνεται από τον τύπο Sν ν ln. Π.9. Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f log 5 6 log Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Γ. Για λ = 5, να λύσετε την ανίσωση e λ e 6 0. λ 0. Π.40. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ln 5ln 6. Β. Να λυθεί η εξίσωση : 5 00 005 log log log... log log 00. - 7 -
Π.4 Δίνεται η e f ln e 5. i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να λυθεί η εξίσωση f ln. ii) Να λυθεί η ανίσωση f 0. Π.4. Έστω f ln g 5, g 5 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες. iii) Να λυθεί στο η εξίσωση : 6 g g 4 g 6...g 0,04. Π.4. Α. Να λυθεί η εξίσωση : log log log. Β. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : f 4 log 4 5. Π.44. Έστω η συνάρτηση f log 5 5 4 και η ευθεία ε : y log. Α. Να βρείτε τις πραγματικές τιμές του για τις οποίες ορίζεται η f. Β. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας (ε Π.45. Έστω η f με f log 0, i) Να αποδείξετε ότι f log για κάθε. ii) Να αποδείξετε ότι f log log. iii) Να λύσετε την εξίσωση: f. Π.46. Να λύσετε την εξίσωση : 00 log00 0 8 0. Π.47. Δίνεται η συνάρτηση : f ln. Α. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii) Να λύσετε την εξίσωση: f ln 4. Β. Να λυθεί η ανίσωση : 6 004 005 005 004-74 -