Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους

Π Δ Μ Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 23 Μαΐου 216

Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους 1 1.1 Βασικοί ορισμοί..................................... 2 1.2 Λύσεις μερικών διαφορικών εξισώσεων........................ 4 1.3 Γραμμικοί διαφορικοί τελεστές............................. 7 1.4 Παραδείγματα ΜΔΕ σε φυσικά προβλήματα...................... 9 1.4.1 H κυματική εξίσωση.............................. 9 1.4.2 Η εξίσωση θερμότητας............................. 1 1.4.3 Εξισώσεις plce και Poisson......................... 12 1.5 Προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών..................... 13 2 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 17 2.1 H εξίσωση u x + bu y =............................... 18 2.2 H γραμμική ΜΔΕ α τάξης................................ 21 2.3 H σχεδόν γραμμική ΜΔΕ α τάξης........................... 25 2.4 Το προβλημα Cuchy για σχεδόν γραμμικές ΜΔΕ................... 3 3 Γραμμικές Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις β Τάξης 37 3.1 Κατηγορίες γραμμικών ΜΔΕ β τάξης.......................... 37 4 Προβλήματα Ιδιοτιμών 45 5 H Εξίσωση plce 51 5.1 Η εξίσωση plce σε Καρτεσιανές συντεταγμένες με συνοριακές συνθήκες Dirichlet 51 5.2 Προβλήματα με συνοριακές συνθήκες Neumnn................... 59 5.3 Επίλυση της εξίσωσης plce σε πολικές συντεταγμένες............... 62 5.3.1 H εξίσωση plce σε κυκλικό δίσκο...................... 65 5.3.2 H εξίσωση plce σε κυκλικό δακτύλιο.................... 67 5.3.3 H εξίσωση plce στο εξωτερικό κυκλικού δίσκου.............. 67 5.4 Ο τύπος του Poisson.................................. 68 6 Σειρές και Oλοκληρώματα Fourier 71 6.1 Εισαγωγικά....................................... 71 6.2 Ορθογώνιες συναρτήσεις................................ 72 6.3 Σειρές Fourier...................................... 74 6.3.1 Σειρές Fourier συναρτήσεων με άρτια συμμετρία............... 78 6.3.2 Σειρές Fourier συναρτήσεων με περιττή συμμετρία.............. 79 6.4 Ολοκλήρωμα Fourier.................................. 81 i

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7 H Εξίσωση Διάχυσης 85 7.1 Πεπερασμένος χώρος με ομογενείς συνοριακές συνθήκες Dirichlet......... 85 7.2 Πεπερασμένος χώρος με μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες Dirichlet........ 88 7.3 Πεπερασμένος χώρος με ομογενείς συνοριακές συνθήκες Neumnn......... 89 7.4 Χώρος με άπειρο μέγεθος............................... 91 7.5 Ημιάπειρος χώρος με ομογενή συνοριακή συνθήκη Dirichlet............. 92 7.6 Επίλυση σε κυκλικό δίσκο με ομογενή συνοριακή συνθήκη Dirichlet......... 93 8 H Κυματική Εξίσωση 95 8.1 Περίπτωση τεντωμένης χορδής με σταθερά άκρα................... 95 8.2 Περίπτωση χορδής με ελεύθερα άκρα......................... 97 8.3 Ο τύπος D Alembert.................................. 99 8.4 Ημιάπειρη χορδή με ένα σταθερό άκρο........................ 1 8.5 Μελέτη παλλόμενης μεμβράνης............................ 11 ii

1 Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους Η μαθηματική μοντελοποίηση παίζει βασικό ρόλο στη περιγραφή και μελέτη ενός μεγάλου πλήθους φαινομένων και προβλημάτων των εφαρμοσμένων επιστημών, καθώς και ποικίλων τεχνικών και βιομηχανικών δραστηριοτήτων. Η χρήση του όρου μαθηματικό μοντέλο αναφέρεται σε ένα σύνολο μαθηματικών εξισώσεων ή/και άλλων μαθηματικών σχέσεων, οι οποίες είναι ικανές να συλλάβουν τα βασικά χαρακτηριστικά περίπλοκων φυσικών ή τεχνητών συστημάτων, με στόχο την περιγραφή, την πρόβλεψη και, ενδεχομένως, τον έλεγχο της συμπεριφοράς και εξέλιξής τους. Σχεδόν πάντα, το μαθηματικό μοντέλο παρέχει μια προσεγγιστική (αλλά αξιόπιστη μαθηματική περιγραφή του πραγματικού προβλήματος. Το εύρος των επιστημών όπου τα μαθηματικά μοντέλα είναι απαραίτητα και αξιοποιούνται σε σημαντικό βαθμό είναι μεγάλο και περιλαμβάνει, για παράδειγμα, τη φυσική, τη χημεία, τα οικονομικά, τη βιολογία, την επιστήμη υπολογιστών, την οικολογία κ.α. Η διαδικασία της μοντελοποίησης βασίζεται σε γενικούς νόμους (αρχές και θεμελιώδεις σχέσεις (οι οποίες συχνά προκύπτουν από πειραματικά δεδομένα και είναι, συνήθως, μια διαφορική εξίσωση ή ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων. Στα πλαίσια των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, οι λύσεις που αναζητούνται αποτελούν, όπως είναι γνωστό, συναρτήσεις μία μεταβλητής. Αν, για παράδειγμα, αυτή η μεταβλητή παριστάνει το χρόνο, τότε είναι εφικτή η παρατήρηση της εξέλιξης του υπό εξέταση μεγέθους στο χρόνο. Από την άλλη πλευρά, οι διαφορικές εξισώσεις που θα μελετηθούν από εδώ και πέρα έχουν λύσεις που είναι συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Αυτό σημαίνει ότι σε πολλές περιπτώσεις φυσικών προβλημάτων, οι λύσεις τους περιγράφουν μεγέθη που δεν είναι συναρτήσεις μόνο του χρόνου, αλλά ενδέχεται να εξαρτώνται επιπλέον από μία ή περισσότερες χωρικές μεταβλητές. Φυσικά θα δούμε ότι υπάρχουν και άλλα προβλήματα, των οποίων οι λύσεις δεν παρουσιάζουν κάποια μεταβολή στο χρόνο, αλλά διαφοροποιούνται μόνο ανάλογα με τη θέση στο χώρο (στατικά μοντέλα ή μοντέλα σταθερής κατάστασης. Στο παρόν κεφάλαιο γίνεται μια σύντομη αναφορά σε εισαγωγικά στοιχεία και βασικούς ορισμούς για τις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους, οι οποίες αποτελούν το βασικό αντικείμενο του μαθήματος. Παρουσιάζονται ομοιότητες και διαφορές σε σχέση με τις διαφορικές εξι- 1

1. Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους σώσεις συναρτήσεων μίας μεταβλητής. Τέλος, αναφερόμαστε πιο αναλυτικά σε συγκεκριμένες βασικές εξισώσεις που συναντώνται συχνά σε προβλήματα του μηχανικού και με την επίλυση των οποίων θα ασχοληθούμε πιο εκτενώς αργότερα. 1.1 Βασικοί ορισμοί Το αντικείμενο που θα μας απασχολήσει από εδώ και μετά είναι οι διαφορικές εξισώσεις πραγματικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Πιο συγκεκριμένα: Ορισμός 1.1 Έστω u μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών, δηλαδή u = u(x 1, x 2,..., x n. Μια μερική διαφορική εξίσωση (ΜΔΕ είναι μια εξίσωση που περιέχει τις ανεξάρτητες μεταβλητές x 1, x 2,..., x n, την εξαρτημένη μεταβλητή u και μερικές παραγώγους αυτής. Συνεπώς, η γενική μορφή μιας ΜΔΕ είναι F (x 1, x 2,..., x n, u, u x1,..., u xn, u x1 x 1, u x1 x 2,... = Υπενθυμίζονται οι συμβολισμοί που χρησιμοποιούνται για τις μερικές παραγώγους: u x1 = u x 1, u xi x j = 2 u x j x i,... Μια από τις βασικές κατηγοριοποιήσεις των ΜΔΕ είναι αυτή που βασίζεται στην τάξη της εξίσωσης: Ορισμός 1.2 Η τάξη μιας ΜΔΕ προσδιορίζεται από τη μερική παράγωγο μέγιστης τάξης που εμφανίζεται στη ΜΔΕ. Αν θεωρήσουμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών u = u(x, y, τότε οι ΜΔΕ α τάξης έχουν τη γενική μορφή F (x, y, u, u x, u y = ενώ η γενική μορφή των ΜΔΕ β τάξης είναι F (x, y, u, u x, u y, u xx, u yy, u xy = Στην περίπτωση συναρτήσεων τριών μεταβλητών, δηλαδή όταν u = u(x, y, z, οι ΜΔΕ α τάξης περιγράφονται γενικά ως F (x, y, z, u, u x, u y, u z = ενώ για τις β τάξης έχουμε την έκφραση F (x, y, z, u, u x, u y, u z, u xx, u yy, u zz, u xy, u yz, u zx = Στις παραπάνω περιγραφές των ΜΔΕ β τάξης υποθέσαμε ότι ισχύουν οι απαραίτητες συνθήκες συνέχειας που εξασφαλίζουν την ισότητα των μεικτών παραγώγων, π.χ. u xy = u yx. Παράδειγμα 1.1: Oι ΜΔΕ u x u y = 2 u x + uu y = 2

1.1 Βασικοί ορισμοί xyu x + e x u y + u z = sin(xz είναι α τάξης, οι ΜΔΕ u xx + u yy + u zz = u xx u t = u xx u tt = είναι β τάξης, ενώ η εξίσωση u t + u xxxx = είναι δ τάξης. Στη συνέχεια αναφέρονται μερικές από τις πιο χαρακτηριστικές ΜΔΕ που συναντώνται συχνά σε φυσικά και όχι μόνο προβλήματα: Η εξίσωση plce, 2 u = (1.1 όπου σε τρεις διαστάσεις η Λαπλασιανή μιας συνάρτησης u ορίζεται ως u = 2 u = u xx + u yy + u zz Η εξίσωση plce ικανοποιείται, για παράδειγμα, από το βαθμωτό ηλεκτρικό δυναμικό ενός στατικού ηλεκτρικού πεδίου σε χώρο ελεύθερο φορτίων. Οι λύσεις της (1.1 ονομάζονται αρμονικές συναρτήσεις. Η κυματική εξίσωση, 2 u 1 c 2 u tt = με c R +, η οποία περιγράφει τη διάδοση ηχητικών και ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, τη δόνηση τεντωμένη χορδής κλπ. Η εξίσωση διάχυσης, 2 u 1 σ u t = η οποία περιγράφει π.χ. τη μετάδοση θερμότητας σε στερεά σώματα. Οι εξισώσεις του Mxwell στον κενό (ελεύθερο πηγών χώρο, E = µ H t H = σe + ϵ E t E = H = οι οποίες είναι ένα σύστημα ΜΔΕ. Η εξίσωση μεταφοράς, u x + 1 c u t = 3

1. Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους η οποία έχει ως λύσεις κύματα που διαδίδονται κατά +x, αν c >. Η ΜΔΕ που περιγράφει το πρόβλημα της ελάχιστης επιφάνειας, ( 1 + u 2 y uxx 2u x u y u xy + ( 1 + u 2 x uyy = η λύση της οποίας είναι επιφάνεια με το μικρότερο εμβαδόν, όταν το σύνορό της είναι μια συγκεκριμένη καμπύλη. Όπως διαπιστώνεται, αν u x, u y << 1, δηλαδή στην περίπτωση μικρών κλίσεων, η συγκεκριμένη εξίσωση πρακτικά απλοποιείται στην εξίσωση plce. Η εξίσωση Korteweg-de Vries (KdV, u t 6uu x + u xxx = που συναντάται στη μελέτη κυμάτων νερού σε ρηχά στρώματα. Η εξίσωση Burger, u t + uu x = νu xx που συναντάται στη μη γραμμική κυματική διάδοση στη μηχανική ρευστών. Οι εξισώσεις Euler, u t + (u u + 1 ρ p = που σχετίζουν το πεδίο ταχυτήτων u και την πίεση p κατά τη ροή ενός ρευστού χωρίς ιξώδες. 1.2 Λύσεις μερικών διαφορικών εξισώσεων Ορισμός 1.3 Λύση μιας ΜΔΕ αποτελεί κάθε συνάρτηση η οποία, όταν αντικατασταθεί στη ΜΔΕ μαζί με τις παραγώγους της, τότε η ΜΔΕ γίνεται ταυτότητα. Παράδειγμα 1.2: Θα δείξουμε ότι η συνάρτηση u(x, y = ln x 2 + y 2 (1.2 αποτελεί λύση της εξίσωσης plce. Υπολογίζουμε τις παραγώγους: u x = 1 x 2 + y 2 x x 2 + y 2 = x x 2 + y 2 u xx = x2 + y 2 2x 2 (x 2 + y 2 2 = y2 x 2 (x 2 + y 2 2 u y = 1 x 2 + y 2 y x 2 + y 2 = y x 2 + y 2 u yy = x2 + y 2 2y 2 (x 2 + y 2 2 = x2 y 2 (x 2 + y 2 2 Τελικά συμπεραίνουμε ότι, όντως, η (1.2 ικανοποιεί την εξίσωση u xx + u yy = 4

1.2 Λύσεις μερικών διαφορικών εξισώσεων Όταν η λύση μιας ΜΔΕ αποτελεί μια συνάρτηση δύο μεταβλητών, δηλαδή u = u(x, y, γεωμετρικά παριστάνει μια επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο xyu. Αν, για παράδειγμα, η u περιγράφει τη θερμοκρασιακή κατανομή σταθερής κατάστασης στα σημεία (x, y ενός επίπεδου χωρίου, η τιμή της θερμοκρασίας σε ένα τυχαίο σημείο (x, y ισούται με το ύψος u(x, y του αντίστοιχου σημείου πάνω στη λύση, το οποίο προβάλλεται στο (x, y, του χώρου xyu. Το ίδιο ισχύει και στην περίπτωση που η μία μεταβλητή αντιστοιχεί σε χρόνο, δηλαδή κάθε λύση της μορφής u(x, t (π.χ. θερμοκρασία κατά μήκος μιας μπάρας είναι μια επιφάνεια του χώρου x, t, u. Ωστόσο, εναλλακτικά σε αυτές τις περιπτώσεις, μια γεωμετρική απεικόνιση της λύσης προκύπτει από διαδοχικά στιγμιότυπα της λύσης σε διάφορες χρονικές στιγμές t 1, t 2,.... Τα γραφήματα των επίπεδων καμπυλών u = u(x, t i, i = 1, 2,... είναι οι τομές της επιφάνειας u = u(x, t με τα επίπεδα t = t 1, t = t 2,... Όπως συμβαίνει στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ, έτσι και οι γενικές λύσεις των ΜΔΕ δεν προσδιορίζονται με μοναδικό τρόπο, δεδομένου ότι για να είναι αυτό εφικτό, είναι απαραίτητες επιπρόσθετες συνθήκες. Μια βασική διαφοροποίηση είναι ότι, ενώ στις ΣΔΕ η γενική λύση εξαρτάται από αυθαίρετες σταθερές, οι γενικές λύσεις των ΜΔΕ εμπεριέχουν αυθαίρετες συναρτήσεις. Αυτό γίνεται άμεσα κατανοητό από τα παραδείγματα που ακολουθούν. Παράδειγμα 1.3: Θα δείξουμε ότι η γενική λύση της ΜΔΕ u x + u y = (1.3 είναι της μορφής u(x, y = ϕ(x y (1.4 όπου ϕ αυθαίρετη παραγωγίσιμη συνάρτηση. Παραγωγίζοντας την (1.4, παίρνουμε: u x = ϕ (x y x (x y = ϕ (x y u y = ϕ (x y y (x y = ϕ (x y Συνεπώς, με απλή αντικατάσταση διαπιστώνεται ότι η (1.4 ικανοποιεί την (1.3. Αυτό σημαίνει ότι, για παράδειγμα, οι συναρτήσεις e x y, sin(x y και (x y 3 είναι λύσεις της (1.3. Όπως διαπιστώνεται στη συνέχεια, ορισμένες ΜΔΕ μπορούν να επιλυθούν χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία, με απλές ολοκληρώσεις. Το σημείο που χρειάζεται προσοχή έχει να κάνει με τις σταθερές ολοκλήρωσης, οι οποίες στην περίπτωση των ΜΔΕ είναι συναρτήσεις. Ωστόσο, είναι μάλλον φανερό ότι δεν υπάρχει κάποια γενική θεωρία που να αναφέρεται στην επίλυση όλων των ΜΔΕ. Είναι σχεδόν βέβαιο ότι μια τέτοια θεωρία είναι αδύνατο να βρεθεί, αν λάβουμε υπόψη τη μεγάλη ποικιλία των φαινομένων που μοντελοποιούνται από τις ΜΔΕ. Συνήθως επικεντρώνουμε το ενδιαφέρον μας σε ΜΔΕ που είναι σημαντικές στα πλαίσια διάφορων εφαρμογών και επιδιώκουμε να προσδιορίσουμε κάποια στοιχεία που θα διευκολύνουν την επίλυσή τους, μέσω της κατανόησης της προέλευσης αυτών των ΜΔΕ. Παράδειγμα 1.4: Ας θεωρήσουμε τη ΜΔΕ u xx = (1.5 5

1. Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους όπου u = u(x, y. Ολοκληρώνοντας μία φορά ως προς x, θα εμφανιστεί στο β μέλος μια σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία, όμως, μπορεί να εξαρτάται από το y. Συνεπώς, θα είναι u x = ϕ 1 (y Ολοκληρώνοντας δεύτερη φορά ως προς x και λαμβάνοντας υπόψη την προηγούμενη εξήγηση, τελικά παίρνουμε τη γενική λύση της (1.5: u(x, y = ϕ 1 (yx + ϕ 2 (y Εύκολα γίνονται αντιληπτές οι ομοιότητες και η διαφορές με την περίπτωση που η u είναι συνάρτηση μίας μεταβλητής και ικανοποιεί τη ΣΔΕ u =, με αποτέλεσμα η γενική λύση να έχει τη μορφή u(x = c 1 x + c 2, c 1, c 2 R. Παράδειγμα 1.5: Θεωρώντας ότι u = u(x, y, z, θα λύσουμε τη ΜΔΕ u xy = y + z (1.6 Ολοκληρώνοντας πρώτα ως προς y, αντιμετωπίζουμε τις δύο άλλες μεταβλητές ως σταθερές, οπότε η σταθερά ολοκλήρωσης θα είναι πρακτικά οποιαδήποτε συνάρτηση των x, z: u x = 1 2 y2 + yz + ϕ 1 (x, z Ολοκληρώνοντας πάλι ως προς x, προκύπτει η γενική λύση της (1.6: u(x, y, z = 1 2 xy2 + xyz + ˆ x ϕ 1 (t, z dt + ϕ 2 (y, z (1.7 Φυσικά, η παραπάνω έκφραση μπορεί να απλοποιηθεί περισσότερο, δεδομένου ότι ο όρος του ολοκληρώματος δεν αποτελεί τίποτε άλλο, παρά μια νέα συνάρτηση των x και z. Τα επόμενα παραδείγματα αντιμετωπίζουν το αντίστροφο πρόβλημα, δηλαδή το πώς μπορεί να προσδιοριστεί μια ΜΔΕ, εάν είναι διαθέσιμη η γενική λύση της. Παράδειγμα 1.6: Αναζητούμε τη ΜΔΕ που έχει γενική λύση συναρτήσεις της μορφής u = f ( x 2 + y 2 (1.8 Αυτό που επιδιώκουμε σε τέτοια προβλήματα είναι να απαλείψουμε τις αυθαίρετες συναρτήσεις και να καταλήξουμε σε μια σχέση μεταξύ των μερικών παραγώγων της λύσης. Παραγωγίζοντας την (1.8, παίρνουμε: u x = f ( x 2 + y 2 2x u y = f ( x 2 + y 2 2y Διαιρώντας κατά μέλη, προκύπτει u x u y = x y 6

1.3 Γραμμικοί διαφορικοί τελεστές και, τελικά, η ζητούμενη ΜΔΕ: yu x xu y = (1.9 Παράδειγμα 1.7: Τώρα προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη ΜΔΕ που έχει ως λύσεις συναρτήσεις της μορφής u(x, y = f(x + y + g(x y (1.1 όπου f, g συναρτήσεις που είναι τουλάχιστον δύο φορές παραγωγίσιμες. Με διαδοχικές παραγωγίσεις παίρνουμε: u x = f (x + y + g (x y u xx = f (x + y + g (x y u y = f (x + y g (x y u yy = f (x + y + g (x y Συνεπώς η ζητούμενη ΜΔΕ είναι η u xx u yy = (1.11 1.3 Γραμμικοί διαφορικοί τελεστές Μια ΜΔΕ μπορεί να γραφεί και ως (u = f, όπου ένας διαφορικός τελεστής¹. Ορισμός 1.4 O διαφορικός τελεστής ονομάζεται γραμμικός, αν έχει την ιδιότητα (c 1 u 1 + c 2 u 2 = c 1 (u 1 + c 2 (u 2 όπου c 1, c 2 πραγματικές σταθερές και u 1, u 2 πραγματικές συναρτήσεις. Κάθε διαφορικός τελεστής που δεν είναι γραμμικός, ονομάζεται μη γραμμικός. Παράδειγμα 1.8: O τελεστής 2 = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 είναι γραμμικός διότι: (c 1 u 1 + c 2 u 2 = 2 (c 1 u 1 + c 2 u 2 x 2 + 2 (c 1 u 1 + c 2 u 2 y 2 + 2 (c 1 u 1 + c 2 u 2 z 2 2 u 1 = c 1 x 2 + c 2 u 1 1 y 2 + c 2 u 1 1 ( 2 u 1 = c 1 x 2 + 2 u 1 y 2 + 2 u 1 z 2 = c 1 (u 1 + c 2 (u 2 z 2 + c 2 2 u 2 x 2 + c 2 u 2 2 y 2 + c 2 u 2 2 z 2 ( 2 u 2 + c 2 x 2 + 2 u 2 y 2 + 2 u 2 z 2 ¹Υπενθυμίζεται ότι οι τελεστές απεικονίζουν συναρτήσεις σε συναρτήσεις. Για παράδειγμα, ο διαφορικός τελεστής α + β + γ απεικονίζει μια συνάρτηση u στη συνάρτηση αu x y x + βu y + γu 7

1. Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους Παράδειγμα 1.9: Ο τελεστή που ορίζεται ως εξής: δεν είναι γραμμικός, διότι: (u = u t + u u x (1.12 (u + v (u + v (u + v = + (u + v t x = u t + v t + uu x + uv x + vu x + vv x και (u + (v = u t + uu x + v t + vv x δηλαδή (u + v (u + (v Άρα ο τελεστή (1.12 δεν ικανοποιεί τις απαιτήσεις που εξασφαλίζουν τη γραμμικότητα. Ορισμός 1.5 Αν είναι ένας γραμμικός διαφορικός τελεστής, τότε κάθε ΜΔΕ της μορφής (u = ονομάζεται ομογενής γραμμική, ενώ κάθε ΜΔΕ της μορφής (u = f ονομάζεται μη ομογενής γραμμική. Παράδειγμα 1.1: H ΜΔΕ xyu x + ( x 2 + 2y u y = e x cos y είναι μη ομογενής γραμμική εξίσωση α τάξης, ενώ η αντίστοιχη ομογενής εξίσωση είναι η xyu x + ( x 2 + 2y u y = Οι γραμμικοί διαφορικοί τελεστές παίζουν σημαντικό ρόλο στις ΜΔΕ και μια από τις πιο βασικές ιδιότητές τους αναφέρεται στην αρχή της υπέρθεσης, η οποία θα αξιοποιηθεί ιδιαίτερα στην επίλυση ΜΔΕ με τη μέθοδο χωρισμού των μεταβλητών: Θεώρημα 1.1 Αν είναι ένας γραμμικός διαφορικός τελεστής και ϕ i, i = 1,..., n είναι λύσεις των γραμμικών εξισώσεων (u i = f i, τότε κάθε γραμμικός συνδυασμός v = c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ 2 +... + c n ϕ n αποτελεί λύση της ΜΔΕ (u = c 1 f 1 + c 2 f 2 +... + c n f n 8

1.4 Παραδείγματα ΜΔΕ σε φυσικά προβλήματα T( x + Dx, t q ( x + Dx, t T( x, t q( x, t x x + Dx Σχήμα 1.1: Δυνάμεις σε στοιχειώδες τμήμα μιας τεντωμένης χορδής. Ουσιαστικά το παραπάνω θεώρημα επιτρέπει την κατασκευή περίπλοκων λύσεων από απλούστερες μορφές. Από το ίδιο θεώρημα προκύπτει άμεσα ότι οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός n λύσεων μιας ομογενούς γραμμικής ΜΔΕ αποτελεί και αυτός λύση της ίδιας ΜΔΕ. Επιπλέον, αν u 1, u 2 αποτελούν λύσεις της μη ομογενούς γραμμικής ΜΔΕ (u = f, τότε η διαφορά τους u 1 u 2 αποτελεί λύση της αντίστοιχης ομογενούς εξίσωσης (u =. Τέλος, η γενική λύση της γραμμικής ΜΔΕ (u = f προκύπτει από το άθροισμα της γενικής λύσης V h της αντίστοιχης ομογενούς εξίσωσης (u = και μιας λύσης v p της μη ομογενούς εξίσωσης, δηλαδή u = V h + v p. Είναι σημαντικό το γεγονός το ότι πολλές από τις ΜΔΕ που αποτελούν αντικείμενο ενδιαφέροντος και μελέτης για τους μηχανικούς είναι γραμμικές εξισώσεις β τάξης, χωρίς βέβαια αυτό να σημαίνει ότι δεν εμφανίζονται συχνά και άλλου τύπου ΜΔΕ. Σε γενικές γραμμές, η πολυπλοκότητα της λύσης μια γραμμικής ΜΔΕ εξαρτάται, πέρα από την τάξη της, και από το πλήθος των ανεξάρτητων μεταβλητών. 1.4 Παραδείγματα ΜΔΕ σε φυσικά προβλήματα 1.4.1 H κυματική εξίσωση Θεωρούμε μια λεπτή τεντωμένη οριζόντια χορδή με σταθερή γραμμική πυκνότητα μάζας ρ, με τη συνάρτηση u(x, t να περιγράφει την κατακόρυφη μετατόπιση ενός τυχαίου σημείου της χορδής στη θέση x τη χρονική στιγμή t. Θεωρούμε πως α δεν είναι δυνατή η κίνηση της χορδής κατά τη διαμήκη διεύθυνση και β σε κατάσταση ηρεμίας, η χορδή βρίσκεται πάνω στον άξονα των x. Για να προσδιορίσουμε τη ΜΔΕ που ικανοποιεί η u, εξετάζουμε ένα μικρό τμήμα της χορδής που αντιστοιχεί σε οριζόντια απόσταση ίση με x. Τότε το μήκος του συγκεκριμένου τμήματος είναι περίπου ίσο με x 2 + u 2, όπου u = u(x + x, t u(x, t. Λαμβάνοντας υπόψη ότι x 2 + u 2 x + 1 2 x u2 σε συνδυασμό με το ότι θεωρούμε μόνο πολύ μικρές κατακόρυφες μετατοπίσεις, διαπιστώνουμε ότι το μήκος αυτό μπορεί να θεωρηθεί ίσο με x (πρακτικά δεχόμαστε πως το μήκος της χορδής δεν αλλάζει, παρά την παραμόρφωση που υφίσταται. Άρα η μάζα του θα είναι ίση με m = ρ x. Επιπλέον, θεωρούμε αμελητέα τη βαρυτική δύναμη, οπότε δεν τη λαμβάνουμε υπόψη. Εφαρμόζοντας το β νόμο του Νεύτωνα κατά το x-άξονα και απαιτώντας μηδενική οριζόντια επιτάχυνση (σχήμα 1.1, παίρνουμε: T (x, t cos[θ(x, t] + T (x + x, t cos[θ(x + x, t] = 9

1. Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους οπότε T (x, t cos[θ(x, t] = T (x + x, t cos[θ(x + x, t] = T (1.13 όπου T (x, t η τάση της χορδής, η οποία είναι εφαπτομενική στη χορδή. Εφόσον η κατακόρυφη επιτάχυνση των σημείων της χορδής ισούται με u tt, κατά τον κατακόρυφο άξονα θα έχουμε: ή, με αντικατάσταση της (1.13, T (x, t sin[θ(x, t] + T (x + x, t sin[θ(x + x, t] = m u tt T tn[θ(x, t] + T tn[θ(x + x, t] = m u tt Όμως, σε κάθε σημείο της χορδής είναι tn θ = u x (από την κλίση της εφαπτόμενης ευθείας, με αποτέλεσμα να είναι u x (x + x, t u x (x, t T = ρu tt x Θεωρώντας ότι x, προκύπτει T u xx = ρu tt και αν θέσουμε T /ρ = c 2, παίρνουμε την εξίσωση κύματος σε μία διάσταση: u xx = 1 c 2 u tt (1.14 Όπως μπορεί να διαπιστωθεί εύκολα, η σταθερά c έχει διαστάσεις ταχύτητας. Παράδειγμα 1.11: Θα δείξουμε ότι συναρτήσεις της μορφής u(x, t = f(x ct + g(x + ct (1.15 αποτελούν λύσεις της κυματικής εξίσωσης (1.14. Παραγωγίζοντας, παίρνουμε τα ακόλουθα: u x = f (x ct + g (x + ct u xx = f (x ct + g (x + ct u t = cf (x ct + cg (x + ct u tt = c 2 f (x ct + c 2 g (x + ct Mε απλή αντικατάσταση διαπιστώνεται η επαλήθευση της κυματικής εξίσωσης. Οι συναρτήσεις (1.15 παριστάνουν κύματα που διαδίδονται κατά ±x με ταχύτητα c. 1.4.2 Η εξίσωση θερμότητας Θα μελετήσουμε το πρόβλημα της μετάδοσης θερμότητας κατά μήκος μιας ράβδου ομοιόμορφης διατομής εμβαδού A. Θεωρούμε ότι η ράβδος είναι πλήρως μονωμένη από το περιβάλλον (με πιθανώς εξαιρούμενα τα δύο άκρα της, έτσι ώστε να μην είναι δυνατή η ανταλλαγή θερμότητας μέσω των τοιχωμάτων. Πρακτικά θεωρούμε πως η θερμοκρασία μεταβάλλεται μόνο ως προς τη 1

1.4 Παραδείγματα ΜΔΕ σε φυσικά προβλήματα A q( x, t q( x + Dx, t Dx Σχήμα 1.2: Ροή θερμότητας σε στοιχειώδες τμήμα ράβδου. θέση κατά μήκος της ράβδου και ως προς το χρόνο. Αν το συνολικό μήκος της ράβδου είναι l, η θέση κατά μήκος της ράβδου περιγράφεται από τη μεταβλητή x με x [, l] (σχήμα 1.2. Έστω ένα λεπτό τμήμα της ράβδου πάχους x, στο οποίο θα εφαρμόσουμε τη διατήρηση της ενέργειας, θεωρώντας απουσία εξωτερικών πηγών θερμότητας. Στη γενική περίπτωση (πρόβλημα σε τρεις διαστάσεις, η ροή της θερμότητας ανά μονάδα επιφάνειας και χρόνου περιγράφεται από την εξίσωση q = k T (1.16 όπου T η θερμοκρασία και k > η θερμική αγωγιμότητα. H εξίσωση (1.16 απλά δηλώνει την ιδιότητα της θερμικής ενέργειας να ρέει προς σημεία με χαμηλότερες θερμοκρασίες. Μάλιστα, όσο μεγαλύτερες είναι οι θερμοκρασιακές μεταβολές, τόσο εντονότερη είναι η θερμική ροή (αν, από την άλλη πλευρά, δεν υπάρχει χωρική μεταβολή της θερμοκρασίας, τότε η κλίση της είναι μηδενική, με αποτέλεσμα να μην υπάρχει ροή θερμότητας, δηλαδή q =. Στην περίπτωση του προβλήματός μας που είναι χωρικά μονοδιάστατο, θα ισχύει q = k T x Λαμβάνουμε υπόψη, επιπλέον, τη σύνδεση μεταξύ της μεταβολής θερμότητας και της αντίστοιχης προκαλούμενης αλλαγής στη θερμοκρασία: Q = mc T (1.17 Από την (1.17 προκύπτει ότι ο ρυθμός με τον οποίο μεταβάλλεται η θερμότητα στο στοιχειώδες τμήμα της ράβδου είναι Q t = ρa xc T t όπου ρ είναι, όπως και πριν, η πυκνότητα μάζας της ράβδου. To παραπάνω μέγεθος θα πρέπει να είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ του ρυθμού μεταβολής εισερχόμενης και εξερχόμενης θερμότητας στο στοιχειώδες τμήμα. Συνεπώς, μπορούμε να γράψουμε [ k T (x, t x ( k T (x + x, t x ] A = ρa xc T t ή T x (x + x, t T x (x, t x = ρc k T t Παίρνοντας την οριακή περίπτωση όπου x, καταλήγουμε στην εξίσωση θερμότητας, απουσία πηγών: T xx = 1 σ T t 11

1. Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους Σε τρεις διαστάσεις, η αντίστοιχη εξίσωση που περιγράφει τη μετάδοση θερμότητας θα έχει τη μορφή 2 T = 1 σ T t (1.18 Σημειώνεται ότι πέρα από τη θερμοκρασία, υπάρχουν και άλλα μεγέθη που ικανοποιούν τη συγκεκριμένη εξίσωση. Για το λόγο αυτό, η (1.18 είναι γνωστή και ως εξίσωση διάχυσης (για παράδειγμα, η εξίσωση διάχυσης μπορεί να περιγράφει τη μεταβολή της συγκέντρωσης μιας ουσίας που διαλύεται. 1.4.3 Εξισώσεις plce και Poisson Αν στο πρόβλημα της προηγούμενης υποενότητας δεχτούμε την απουσία χρονικής μεταβολής της θερμοκρασίας (σταθερή κατάσταση, τότε προκύπτει ότι η θερμοκρασία ικανοποιεί την εξίσωση plce, η οποία σε τρεις διαστάσεις έχει τη μορφή 2 T = 2 T x 2 + 2 T y 2 + 2 T z 2 = (1.19 Ας αναφερθούμε τώρα σε ένα διαφορετικό πρόβλημα, αυτό του στατικού (ως προς το χρόνο ηλεκτρικού πεδίου. Αν E είναι η ηλεκτρική πεδιακή ένταση και ϕ το βαθμωτό ηλεκτρικό δυναμικό, τότε είναι γνωστό ότι ισχύει E = ϕ δεδομένου ότι το διανυσματικό πεδίο είναι συντηρητικό. Αν θεωρήσουμε μια κλειστή επιφάνεια S που περικλείει όγκο V, το συνολικό φορτίο που περικλείεται από την S είναι Q totl = ρ dv Το ίδιο φορτίο υπολογίζεται και από την εξερχόμενη από την επιφάνεια S ηλεκτρική ροή: Q totl = ϵe ds S V απ όπου, εφαρμόζοντας το θεώρημα Guss, παίρνουμε: Q totl = ϵ E dv = V V ϵ 2 ϕ dv Από τους δύο τρόπους υπολογισμού του φορτίου προκύπτει ότι ( ρ + ϵ 2 ϕ dv = V Εφόσον η επιφάνεια S είναι αυθαίρετη, η παραπάνω εξίσωση συνεπάγεται ότι η υπό ολοκλήρωση ποσότητα είναι μηδενική. Συνεπώς το βαθμωτό δυναμικό ικανοποιεί τη ΜΔΕ 2 ϕ = ρ ϵ που ονομάζεται εξίσωση Poisson. Όπως διαπιστώνεται, σε περιοχές όπου δεν υπάρχουν φορτία, το δυναμικό ικανοποιεί την εξίσωση plce 2 ϕ =. 12

1.5 Προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών 1.5 Προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών Είναι φανερό ότι όταν χρειάζεται να προσδιοριστεί με μοναδικό τρόπο μια συγκεκριμένη λύση κάποιας ΜΔΕ, είναι απαραίτητη η ύπαρξη επιπλέον πληροφοριών, πέρα από την ίδια τη ΜΔΕ. Αυτές οι πληροφορίες παρέχονται από βοηθητικές (συμπληρωματικές συνθήκες. Μια ΜΔΕ που υπόκειται σε συγκεκριμένους περιορισμούς με τη μορφή αρχικών συνθηκών χαρακτηρίζεται ως πρόβλημα αρχικών τιμών, ενώ όταν πρέπει να ικανοποιούνται συγκεκριμένες συνθήκες στο σύνορο της περιοχής επίλυσης, τότε αποτελεί πρόβλημα συνοριακών τιμών. Ενδέχεται να απαιτείται ο συνδυασμός και των δύο τύπων συνθηκών, οπότε τότε κάνουμε λόγο για προβλήματα αρχικώνσυνοριακών τιμών. Όπως διαπιστώνεται από τις παραπάνω ονομασίες, οι αρχικές συνθήκες ικανοποιούνται από την άγνωστη συνάρτηση ή/και της παραγώγους της σε ένα σημείο που χαρακτηρίζεται ως αρχικό, ενώ οι συνοριακές συνθήκες ικανοποιούνται στα σημεία του συνόρου του τόπου όπου αναζητείται η λύση της ΜΔΕ. Σε σύγκριση με τις ΣΔΕ, η εύρεση της λύσης μιας ΜΔΕ που ικανοποιεί βοηθητικές συνθήκες είναι δυσκολότερη διαδικασία, κυρίως λόγω της εξάρτησης των γενικών λύσεων από αυθαίρετες συναρτήσεις και όχι απλώς από σταθερές. Σε τέτοιες περιπτώσεις βασικό ρόλο παίζουν μεθοδολογίες που χτίζουν τη ζητούμενη λύση της ΜΔΕ γύρω από τις εκάστοτε συμπληρωματικές συνθήκες. Παράδειγμα 1.12: To πρόβλημα { u xx + u yy =, x 2 + y 2 < 1 u(x, y = 1, x 2 + y 2 = 1 αποτελεί ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών. Στη συγκεκριμένη περίπτωση αναζητούμε εκείνη τη συνάρτηση δύο μεταβλητών που ικανοποιεί την εξίσωση plce σε κυκλικό δίσκο ακτίνας 1 και, ταυτόχρονα, έχει μοναδιαία τιμή στα σημεία της περιφέρειας του κύκλου. Παράδειγμα 1.13: To πρόβλημα u xx u t =, x (, 1, t (, + u(x, = f(x, x (, 1 u(, t = g 1 (t, t (, + u(1, t = g 2 (t, t (, + (1.2 αποτελεί ένα πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών. Θα μπορούσε να περιγράφει το πρόβλημα προσδιορισμού της θερμοκρασίας κατά μήκος μιας ράβδου μήκους 1, όταν είναι γνωστή αρχικά (για t = η θερμοκρασία κατά μήκος της ράβδου και, επιπλέον, είναι γνωστή (κάθε χρονική στιγμή η θερμοκρασία στα άκρα της ράβδου. Αν Ω ο τόπος στον οποίο αναζητείται η λύση της ΜΔΕ, τότε οι συνοριακές συνθήκες ανήκουν γενικά σε μία από τις παρακάτω κατηγορίες: Συνθήκες Dirichlet, οι οποίες προδιαγράφουν την τιμή της συνάρτησης u στο σύνορο του Ω: u(x, y, z = f(x, y, z, (x, y, z Ω όπου f γνωστή συνάρτηση. 13

1. Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους ˆn W W Σχήμα 1.3: Τυπική περιοχή Ω και το κάθετο διάνυσμα στο σύνορό της. Συνθήκες Neumnn, οι οποίες προδιαγράφουν την τιμή της παραγώγου της u κατά την κάθετη στο σύνορο του Ω διεύθυνση (σχήμα (1.3: όπου g γνωστή συνάρτηση. u (x, y, z = g(x, y, z, n (x, y, z Ω Συνθήκες Robin, οι οποίες προσδιορίζουν ένα συνδυασμό της u και της κάθετης παραγώγου στα σημεία του συνόρου του Ω: όπου h γνωστή συνάρτηση. A u (x, y, z + Bu(x, y, z = h(x, y, z, n (x, y, z Ω Σε αυτό το σημείο εισάγουμε την έννοια του καλά τοποθετημένου προβλήματος, παραθέτοντας τις ιδιότητες που συνήθως είναι επιθυμητό να διαθέτουν τα προβλήματα ΜΔΕ. Ορισμός 1.6 εάν: Ένα πρόβλημα αρχικών/συνοριακών τιμών χαρακτηρίζεται καλά τοποθετημένο, έχει τουλάχιστον μία λύση, έχει ακριβώς μία λύση, μικρές αλλαγές στις αρχικές/συνοριακές συνθήκες προκαλούν αντίστοιχα μικρές μεταβολές στη λύση, δηλαδή υπάρχει συνεχής εξάρτηση της λύσης από τις αρχικές/συνοριακές συνθήκες. Είναι πολύ σημαντικό και σε κάποιες περιπτώσεις απαραίτητο τα μαθηματικά μοντέλα να έχουν τις παραπάνω ιδιότητες, αφού η ύπαρξη λύσεων εξασφαλίζει εν μέρει το γεγονός ότι το μοντέλο περιγράφει με λογικό τρόπο το αντίστοιχο πρόβλημα, ενώ η μοναδικότητα και ευστάθεια (η τρίτη ιδιότητα των λύσεων αυξάνουν τις πιθανότητες τα αποτελέσματα που προκύπτουν να είναι αξιόπιστα. Από την οπτική γωνία της επίλυσης ΜΔΕ με αριθμητικές μεθόδους, τόσο ο χώρος επίλυσης, όσο και τα δεδομένα που σχετίζονται με τις αρχικές και συνοριακές συνθήκες του προβλήματος, δεν αναπαράγονται με ακριβή τρόπο στο προσεγγιστικό μοντέλο. Επιπρόσθετη πηγή σφαλμάτων αποτελεί η πεπερασμένη ακρίβεια σε αναπαραστάσεις και πράξεις που συνδέεται με τη λειτουργία των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ωστόσο, αν ένα πρόβλημα είναι καλά τοποθετημένο, τότε είναι πιθανό να είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε μια ικανοποιητική προσέγγιση της ακριβούς λύσης, 14

1.5 Προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών με την προϋπόθεση ότι τα δεδομένα του προβλήματος προσεγγίζονται και αυτά ικανοποιητικά. Μια τέτοια προοπτική δεν είναι καθόλου αυτονόητη, αν το πρόβλημα υπό μελέτη δεν είναι καλά τοποθετημένο. 15

1. Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους 16

2 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Μια ΜΔΕ α τάξης μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται από μια διπαραμετρική οικογένεια επιφανειών του R 3. Όντως, αν μια τέτοια οικογένεια περιγράφεται ως όπου, b R, τότε με παραγώγιση παίρνουμε: u = f(x, y,, b (2.1 u x = f x (x, y,, b u y = f y (x, y,, b (2.2α (2.2β Απαλείφοντας τις παραμέτρους από τις (2.1 και (2.2, καταλήγουμε σε μια εξίσωση της μορφής F (x, y, u, u x, u y = η οποία είναι η γενική περιγραφή των ΜΔΕ α τάξης. Αρχικά θα ασχοληθούμε με τις γραμμικές ΜΔΕ α τάξης. Όπως ειπώθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, η έννοια της γραμμικότητας σε μια ΜΔΕ αναφέρεται στην άγνωστη συνάρτηση u και τις παραγώγους αυτής. Συνεπώς, αν u = u(x, y, τότε η γενική μορφή μιας γραμμικής ΜΔΕ α τάξης είναι (x, yu x + b(x, yu y = c(x, yu + d(x, y Όταν d(x, y =, η εξίσωση είναι ομογενής, ενώ είναι μη ομογενής όταν d(x, y. Μια ΜΔΕ που είναι γραμμική μόνο ως προς τις μερικές παραγώγους με τη μέγιστη τάξη (η οποία, υπενθυμίζεται, είναι και η τάξη της ΜΔΕ και οι συντελεστές των παραγώγων αυτών εξαρτώνται μόνο από τις ανεξάρτητες μεταβλητές ονομάζεται ημιγραμμική. Η γενική μορφή μιας ημιγραμμικής ΜΔΕ α τάξης είναι (x, yu x + b(x, yu y = c(x, y, u Τέλος, μια ΜΔΕ που είναι γραμμική ως προς τις παραγώγους μέγιστης τάξης (έστω m, αλλά οι συντελεστές αυτών εξαρτώνται όχι μόνο από τις ανεξάρτητες μεταβλητές, αλλά και από την εξαρτημένη μεταβλητή, όπως και από παραγώγους αυτής με τάξη μικρότερη του m, ονομάζεται σχεδόν 17

2. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης γραμμική. Άρα, η σχεδόν γραμμική ΜΔΕ α τάξης έχει τη γενική μορφή (x, y, uu x + b(x, y, uu y = c(x, y, u Είναι φανερό ότι τόσο οι γραμμικές, όσο και οι ημιγραμμικές ΜΔΕ μπορούν να θεωρηθούν ότι αποτελούν υποπεριπτώσεις σχεδόν γραμμικών εξισώσεων. Παράδειγμα 2.1: Από τις ΜΔΕ α τάξης, xu x + y 2 u y = xyu + e x 3u x + 1 y u y = u 2 + 2x xuu x + (x + 3u y = ye u (u x 2 + u x u y + u x = xyu 2 η πρωτη είναι γραμμική, η δεύτερη ημιγραμμική, η τρίτη σχεδόν γραμμική και η τέταρτη πλήρως μη γραμμική. 2.1 H εξίσωση u x + bu y = Στην παρούσα ενότητα θα ασχοληθούμε με την επίλυση της ομογενούς γραμμικής ΜΔΕ u x + bu y = (2.3 όπου, b πραγματικές σταθερές και u = u(x, y. Aν v = i + bj, τότε η (2.3 παίρνει τη μορφή v u = αφού u = u x i + u y j. Η παραπάνω σχέση πρακτικά δηλώνει ότι η παράγωγος της λύσης u κατά την κατεύθυνση που προσδιορίζεται από το διάνυσμα v είναι μηδενική. Ορισμός 2.1 Αν u : A R 2 R είναι μια λύση της ΜΔΕ, τότε η επιφάνεια με εξίσωση u = u(x, y ονομάζεται ολοκληρωτική επιφάνεια. Δεδομένου ότι το v είναι σταθερό διάνυσμα, η διεύθυνσή του προσδιορίζει ευθείες γραμμές με κλίση ίση με b/¹, δηλαδή τις λύσεις της ΣΔΕ dy dx = b Αυτές οι ευθείες έχουν εξίσωση y = (b/x + c 1, ή bx y = c Οι συγκεκριμένες ευθείες αποτελούν τις χαρακτηριστικές της ΜΔΕ (2.3. Επομένως, η (2.3 ουσιαστικά υπονοεί ότι η συνάρτηση u είναι σταθερή πάνω στις χαρακτηριστικές της, αφού κατά μήκος ¹Αν = και b, τότε u y δίνουμε στη συνέχεια. = u(x, y = f(x. Αυτή η περίπτωση περιλαμβάνεται στη γενική λύση που 18

2.1 H εξίσωση u x + bu y = τους μηδενίζεται η παράγωγος της u. Άρα η ζητούμενη λύση εξαρτάται μόνο από την παράσταση bx y, με αποτέλεσμα να έχει τη μορφή u(x, y = f(bx y (2.4 όπου f αυθαίρετη συνάρτηση. Από τη γενική λύση διαπιστώνεται ότι για τη συγκεκριμένη ΜΔΕ, οι χαρακτηριστικές καμπύλες δεν είναι άλλες από τις ισοσταθμικές καμπύλες της επιφάνειας u = u(x, y. Εναλλακτικά, στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να καταλήξουμε πραγματοποιώντας μια κατάλληλη αλλαγή του συστήματος συντεταγμένων. Αν ξ, η είναι οι μεταβλητές του νέου συστήματος, μια κατάλληλη επιλογή είναι { ξ = bx y η = x + by ώστε και οι νέοι άξονες να είναι κάθετοι μεταξύ τους. Εφαρμόζοντας τον κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης, υπολογίζονται οι μερικές παράγωγοι: Αντικαθιστώντας στη (2.3, παίρνουμε: u x = u ξ ξ x + u η η x = bu ξ + u η u y = u ξ ξ y + u η η y = u ξ + bu η bu ξ + 2 u η bu ξ + b 2 u η = ( 2 + b 2 u η = Θεωρώντας την προφανή περίπτωση όπου οι συντελεστές, b δε μηδενίζονται ταυτόχρονα, η ΜΔΕ παίρνει τελικά την απλή μορφή u η = u = f(η δηλαδή και πάλι καταλήγουμε στο αποτέλεσμα u(x, y = f(bx y. Είναι φανερό ότι αυτή η επιλογή των νέων μεταβλητών μετατρέπει τη ΜΔΕ πρακτικά σε ΣΔΕ (αφού εμφανίζεται η παράγωγος μόνο ως προς τη μία μεταβλητή, η οποία επιλύεται εύκολα. Συνεπώς, μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα ότι η συγκεκριμένη μεθοδολογία μπορεί να εφαρμοστεί και στην περίπτωση που η ΜΔΕ (2.3 περιέχει και μη ομογενή όρο. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι, αν και είναι απαραίτητο να επιλέξει κάποιος ως μία από τις νέες μεταβλητές εκείνη που προσδιορίζεται από τις χαρακτηριστικές καμπύλες, έχει περισσότερη ελευθερία ως προς την επιλογή της δεύτερης. Με άλλα λόγια, δεν είναι απαραίτητο οι άξονες του νέου συστήματος συντεταγμένων να είναι κάθετοι μεταξύ τους. Για παράδειγμα, αν επιλέξουμε { ξ = bx y τότε παίρνουμε η = y u x = bu ξ u y = u ξ + u η με αποτέλεσμα η ΜΔΕ να παίρνει τώρα τη μορφή bu η = 19

2. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης u 2 1 1 2 2 1 y x 1 1 2 2 Σχήμα 2.1: Η λύση του παραδείγματος 2.2. Mε έντονη γραμμή απεικονίζεται η καμπύλη που αντιστοιχεί στη συνθήκη (2.6. Υπό την προϋπόθεση ότι b, προκύπτει, προφανώς, η ίδια λύση με πριν (αν είναι b =, τότε οι δύο νέοι άξονες είναι παράλληλοι μεταξύ τους, οπότε οι νέες μεταβλητές δεν αποτελούν ορθή επιλογή. Παράδειγμα 2.2: Στο παράδειγμα αυτό αναζητούμε τη λύση της ΜΔΕ 3u x 2u y = (2.5 που ικανοποιεί τη συνθήκη u(x, = x 2 + 1 (2.6 Σύμφωνα με την ανάλυση που προηγήθηκε, οι χαρακτηριστικές της (2.5 είναι οι ευθείες 2x 3y = c οπότε η γενική λύση έχει τη μορφή f(2x + 3y = Εφαρμόζοντας τη συνθήκη (2.6, παίρνουμε Συνεπώς, η ζητούμενη λύση (σχήμα 2.1 είναι η f(2x = x 2 + 1 f(x = 1 4 x2 + 1 u(x, y = 1 4 (2x + 3y2 + 1 (2.7 Στο παράδειγμα που προηγήθηκε λάβαμε υπόψη τη βοηθητική συνθήκη (2.6. Ουσιαστικά απαιτήσαμε η ζητούμενη λύση να παίρνει συγκεκριμένες τιμές (ίσες με x 2 +1 κατά μήκος μιας επίπεδης δοθείσας καμπύλης (αυτής που παραμετροποιείται ως x = x, y =, δηλαδή του άξονα των x. Από γεωμετρική άποψη, προσδιορίστηκε η ολοκληρωτική επιφάνεια που περιλαμβάνει μια συγκεκριμένη καμπύλη, αυτή που περιγράφεται παραμετρικά στον τρισδιάστατο χώρο ως x = s, y =, u = s 2 + 1. 2

2.2 H γραμμική ΜΔΕ α τάξης 3 2 t 1 1..5 u 1. 5 x Σχήμα 2.2: Αντιπροσωπευτική λύση του παραδείγματος 2.3. H κόκκινη καμπύλη παριστάνει τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος και η μπλε ευθεία αντιστοιχεί σε μία χαρακτηριστική της εξίσωσης μεταφοράς. Παράδειγμα 2.3: H εξίσωση μεταφοράς u t + u x =, R (2.8 περιγράφει φαινόμενα μεταφοράς με σταθερή ταχύτητα (ίση με, στην περίπτωση που δεν υφίσταται κάποιος όρος που να αντιστοιχεί σε πηγή. Οι χαρακτηριστικές της (2.8 είναι οι ευθείες x t = c Όπως μπορεί να διαπιστωθεί εύκολα, στην περίπτωση που η (2.8 συμπληρώνεται από κάποια βοηθητική συνθήκη, τότε τα αρχικά δεδομένα διαδίδονται κατά τα θετικά x, χωρίς να μεταβάλλεται καθόλου το σχήμα τους. Ας θεωρήσουμε ότι = 2 και ότι η ζητούμενη λύση u(x, t πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη u(x, = e (x 52 (2.9 Δεδομένου ότι η γενική λύση έχει τη μορφή u(x, t = f(x 2t διαπιστώνεται πως η λύση του συγκεκριμένου προβλήματος θα είναι η u(x, t = e (x 2t 52 (2.1 Στο σχήμα 2.2 απεικονίζεται η συνάρτηση (2.1, καθώς και η καμπύλη που αντιστοιχεί στα αρχικά δεδομένα (2.9. Όπως μπορεί να διαπιστωθεί, η αρχική καμπύλη μεταφέρεται παράλληλα προς τις χαρακτηριστικές της ΜΔΕ, διατηρώντας αμετάβλητο το σχήμα της. 2.2 H γραμμική ΜΔΕ α τάξης Στην παρούσα ενότητα θα ασχοληθούμε με την επίλυση της ΜΔΕ α τάξης (x, yu x + b(x, yu y = c(x, yu + d(x, y (2.11 21

2. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Θα επιχειρήσουμε να απλοποιήσουμε τη (2.11 και να τη φέρουμε σε μια μορφή που μπορούμε να διαχειριστούμε ευκολότερα. Ας θεωρήσουμε τον άγνωστο προς το παρόν μετασχηματισμό { ξ = ξ(x, y η = η(x, y Με εφαρμογή της αλυσιδωτής παραγώγισης, παίρνουμε: Με αντικατάσταση στη (2.11, η εξίσωση γίνεται: u x = u ξ ξ x + u η η x u y = u ξ ξ y + u η η y (ξ x + bξ y u ξ + (η x + bη y u η = cu + d Είναι φανερό ότι ένας τρόπος για να απλοποιηθεί η παραπάνω εξίσωση είναι να επιλέξουμε τη συνάρτηση ξ με τέτοιον τρόπο, ώστε να ισχύει ξ x + bξ y = (2.12 Όπως μπορεί να διαπιστωθεί εύκολα, μια κατάλληλη επιλογή είναι να θεωρήσουμε ότι η ξ(x, y = c παριστάνει τη λύση της διαφορικής εξίσωσης dy b(x, y = dx (x, y (2.13 Αυτή είναι η διαφορική εξίσωση που ικανοποιούν οι χαρακτηριστικές της (2.11. Όντως, αν οι καμπύλες ξ(x, y = c επαληθεύουν την (2.13, τότε λαμβάνοντας υπόψη ότι είναι ξ x dx + ξ y dy =, προκύπτει άμεσα ότι θα ισχύει και η (2.12. Συνεπώς, επιλέγοντας με το συγκεκριμένο τρόπο τη συνάρτηση ξ, η ΜΔΕ παίρνει τη μορφή ή, πιο απλά, (η x + bη y u η = cu + d (2.14 A(ξ, ηu η = C(ξ, ηu + D(ξ, η (2.15 η οποία μπορεί να αντιμετωπιστεί όπως μια γραμμική ΣΔΕ α τάξης. Η μετάβαση από τη (2.14 στη (2.15 προϋποθέτει την αντικατάσταση των x, y από συναρτήσεις x(ξ, η, y(ξ, η, δηλαδή την αντιστροφή του μετασχηματισμού (2.2. Για να είναι αντιστρέψιμος ο μετασχηματισμός, θα πρέπει η Ιακωβιανή ορίζουσα (ξ, η J = (x, y = ξ x ξ y να είναι μη μηδενική. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι υπάρχει ελευθερία ως προς την επιλογή της μεταβλητής η, αρκεί να εξασφαλίζεται ότι J. η x η y Παράδειγμα 2.4: Έστω η ΜΔΕ u x + 3u y = u + 2 (2.16 Για τις χαρακτηριστικές της (2.16 έχουμε: dy dx = 3 y = 3x + c y 3x = c 1 22

2.2 H γραμμική ΜΔΕ α τάξης Επιλέγουμε το μετασχηματισμό { ξ = y 3x η = y για τον οποίο βρίσκουμε: { ξx = 3, ξ y = 1 η x =, η y = 1 Η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού είναι: 3 1 J = 1 = 3 οπότε είναι αντιστρέψιμος. Με αλυσιδωτή παραγώγιση, προκύπτει ότι: { ux = 3u ξ u y = u ξ + u η Αντικαθιστώντας τις παραπάνω εκφράσεις στη (2.16, παίρνουμε τα εξής: Άρα η γενική λύση της (2.16 είναι 3u ξ + 3u ξ + 3u η = u + 2 u η u + 2 = 1 3 (ln u + 2 = η η ( 1 3 η ln u + 2 = 1 3 η + ϕ 1(ξ u + 2 = e η/3+ϕ 1(ξ u = ϕ(ξe η/3 2 η οποία μπορεί να πάρει εναλλακτικά τη μορφή u(x, y = ϕ(y 3xe y/3 2 (2.17 u(x, y = ψ(y 3xe x 2 (2.18 Παράδειγμα 2.5: Ας θεωρήσουμε τη ΜΔΕ yu x 2xyu y = 2xu (2.19 για την οποία αναζητείται εκείνη η λύση που ικανοποιεί τη συνθήκη Προσδιορίζουμε αρχικά της χαρακτηριστικές καμπύλες: dx y = u(, y = y 3 (2.2 dy 2xy 2x dx = dy x2 = y + c 23

2. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης δηλαδή y + x 2 = c Εφαρμόζουμε τον ακόλουθο μετασχηματισμό: } ξ = y + x 2 ξ x = 2x, ξ y = 1 η = y η x =, η y = 1 οπότε u x = 2xu ξ, u y = u ξ + u η Αντικαθιστώντας, παίρνουμε yu η = u ηu η = u Την εξίσωση αυτή την επιλύουμε ως εξής: με αποτέλεσμα u η η = 1 η ln u = ln η + ln ϕ 1(ξ ln u = ln ϕ 1(ξ η u = ϕ(ξ η Αναιρώντας την αλλαγή μεταβλητών, τελικά προκύπτει ότι Τέλος, εφαρμόζεται η βοηθητική συνθήκη: u(x, y = ϕ(y + x2 y u(, y = y 3 ϕ(y y = y 3 δηλαδή ϕ(y = y 4 Άρα η ζητούμενη λύση της (2.19 είναι (σχήμα 2.3 u(x, y = (y + x2 4 y (2.21 Παράδειγμα 2.6: τη μορφή Οι χαρακτηριστικές της (2.22 είναι: Θα ασχοληθούμε με την εξίσωση μεταφοράς με απόσβεση, η οποία έχει Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό } ξ = x t u t + u x = λu,, λ R (2.22 dt = dx t = x + c 1 x t = c η = x ξ x = 1, ξ t = η x = 1, η t = 24

2.3 H σχεδόν γραμμική ΜΔΕ α τάξης.2.5.1. u.1.5. x. y.5.5 Σχήμα 2.3: Η λύση του παραδείγματος 2.5. Mε έντονη γραμμή απεικονίζεται η καμπύλη που αντιστοιχεί στη συνθήκη (2.2. παίρνουμε u x = u ξ + u η, u t = u ξ οπότε η (2.22 απλοποιείται ως ακολούθως: Άρα η γενική λύση της (2.22 είναι u η = λ u u η u = λ ln u = λ η + f 1(ξ u = f(ξe λ η u(x, t = f(x te λ x και, όπως είναι φανερό, μπορεί να γραφεί και με τη μορφή u(x, t = g(x te λt Ας υποθέσουμε ότι λ = = 1 και ότι η λύση της συγκεκριμένης εξίσωσης ικανοποιεί τη συνθήκη u(x, = ϕ(x, όπου ϕ γνωστή συνάρτηση. Τότε η λύση του συγκεκριμένου προβλήματος θα είναι u(x, t = ϕ(x te t Στο σχήμα 2.4 απεικονίζεται μια τέτοιου είδους λύση, όπου μπορεί να διαπιστωθεί ότι τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος μεταφέρονται με βάση τις χαρακτηριστικές της ΜΔΕ, αλλά ταυτόχρονα υφίστανται και απόσβεση. 2.3 H σχεδόν γραμμική ΜΔΕ α τάξης Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με την επίλυση της σχεδόν γραμμικής ΜΔΕ α τάξης (x, y, uu x + b(x, y, uu y = c(x, y, u (2.23 25

2. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 1. u.5 1.5 2.. 1. t x 5.5 1. Σχήμα 2.4: Μια αντιπροσωπευτική λύση του παραδείγματος 2.6 (μεταφορά με απόσβεση. H κόκκινη καμπύλη παριστάνει τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος και η μπλε ευθεία αντιστοιχεί σε μία χαρακτηριστική της εξίσωσης μεταφοράς με απόσβεση. u ( u, u,-1 x y Διεύθυνση (, b, c x O Χαρακτηριστική καμπύλη Εφαπτόμενο επίπεδο u = u( x, y y Σχήμα 2.5: Γεωμετρική ερμηνεία της σχεδόν γραμμικής ΜΔΕ. Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφεί και ως εξής: (i + bj + ck (u x i + u y j k = δηλαδή τα διανύσματα i + bj + ck και u x i + u y j k είναι κάθετα μεταξύ τους. Aν η συνάρτηση u = u(x, y αποτελεί λύση της (2.23 και F (x, y, u = u(x, y u, τότε η ζητούμενη λύση σε πεπλεγμένη μορφή θα είναι F (x, y, u =. Κατά τα γνωστά, το διανυσματικό πεδίο F = F x i + F y j + F u k = u x i + u y j k είναι κάθετο στην ισοσταθμική επιφάνεια F (x, y, u =. Η τελευταία, βέβαια, δεν είναι άλλη από την επιφάνεια που αντιστοιχεί στη λύση u = u(x, y. Άρα η ΜΔΕ δηλώνει ότι το διανυσματικό πεδίο i + bj + ck είναι εφαπτομενικό στις ολοκληρωτικές επιφάνειες. H διεύθυνση που προσδιορίζεται από το διάνυσμα (x, y, ui + b(x, y, uj + c(x, y, uk σε ένα τυχαίο σημείο (x, y, u αποτελεί τη χαρακτηριστική διεύθυνση της ΜΔΕ στο σημείο αυτό, η οποία, προφανώς, παίζει σημαντικό ρόλο στον προσδιορισμό της λύσης. Συνοψίζοντας, διαπιστώνουμε ότι μια επιφάνεια u = u(x, y αποτελεί λύση της (2.23, αν και μόνο αν το πεδίο διευθύνσεων i+bj+ck βρίσκεται στο εφαπτομενικό επίπεδο της επιφάνειας F (x, y, z =, σε κάθε σημείο στο οποίο είναι F (σχήμα 2.5. 26

2.3 H σχεδόν γραμμική ΜΔΕ α τάξης Έστω τώρα μια τυχαία καμπύλη r(t = x(ti + y(tj + u(tk πάνω σε μια ολοκληρωτική επιφάνεια. Είναι γνωστό ότι για μια συγκεκριμένη τιμή του t, το διάνυσμα r (t = x (ti + y (tj + u (tk είναι εφαπτομενικό στην καμπύλη αυτή, στο σημείο που προκύπτει για τη δεδομένη τιμή του t, άρα και στην επιφάνεια. Κάθε καμπύλη της οποίας το εφαπτομενικό διάνυσμα σε κάθε σημείο ταυτίζεται με τη χαρακτηριστική διεύθυνση της ΜΔΕ αποτελεί χαρακτηριστική καμπύλη της ΜΔΕ. Όπως διαπιστώνεται, σε αντίθεση με τις γραμμικές εξισώσεις, οι χαρακτηριστικές καμπύλες των σχεδόν γραμμικών ΜΔΕ εξαρτώνται από τις λύσεις, με αποτέλεσμα να είναι πλήρως καθορισμένες μόνο μετά την επίλυση της ΜΔΕ. Ορισμός 2.2 Οι καμπύλες μιας ολοκληρωτικής επιφάνειας που ικανοποιούν τις συνθήκες x (t = (x, y, u y (t = b(x, y, u (2.24 u (t = c(x, y, u αποτελούν τις χαρακτηριστικές καμπύλες της (2.23 και το παραπάνω σύστημα αποτελείται από τις χαρακτηριστικές εξισώσεις της σχεδόν γραμμικής εξίσωσης. Είναι φανερό ότι το χαρακτηριστικό σύστημα (2.24 είναι αυτόνομο, δηλαδή η παράμετρος t δεν εμφανίζεται στο β μέλος των εξισώσεων. Επιπλέον, αν οι συντελεστές, b, c έχουν συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους, τότε εξασφαλίζεται ότι από κάθε σημείο (x, y, u διέρχεται μία και μοναδική χαρακτηριστική καμπύλη. Αυτό σημαίνει ότι δύο διαφορετικές χαρακτηριστικές καμπύλες δε μπορούν να τέμνονται. Αν δύο ολοκληρωτικές επιφάνειες έχουν ένα κοινό σημείο, τότε αναγκαστικά τέμνονται κατά μήκος της χαρακτηριστικής καμπύλης που διέρχεται από το σημείο αυτό. Εναλλακτικά, το σύστημα εξισώσεων που ικανοποιούν οι χαρακτηριστικές καμπύλες μπορεί να πάρει και τη μορφή dx (x, y, u = dy b(x, y, u = du c(x, y, u στην οποία δεν εμφανίζεται η παράμετρος t. Είναι φανερό ότι, σε αντίθεση με τις γραμμικές και ημιγραμμικές ΜΔΕ, δε μπορούν να λυθούν στη γενική περίπτωση οι δύο πρώτες εξισώσεις του συστήματος ανεξάρτητα από την τρίτη. Στην πράξη υπάρχουν μόνο δύο ανεξάρτητες ΣΔΕ στο σύστημα (2.24. Συνεπώς, η λύση του συστήματος αποτελείται από μια διπαραμετρική οικογένεια καμπυλών στο χώρο (x, y, u. Αν μια επιφάνεια S αποτελεί την ένωση χαρακτηριστικών καμπυλών, τότε είναι ολοκληρωτική επιφάνεια της (2.23. Αντίστροφα, κάθε ολοκληρωτική επιφάνεια της (2.23 αποτελείται από χαρακτηριστικές καμπύλες. Η προβολή μιας χαρακτηριστικής καμπύλης στο επίπεδο u = αποτελεί μια χαρακτηριστική βάσης ή απλά χαρακτηριστική της σχεδόν γραμμικής εξίσωσης. Κάθε χαρακτηριστική είναι επίπεδη καμπύλη με κλίση dy b(x, y, u = dx (x, y, u Άρα, στην περίπτωση που οι συντελεστές, b είναι σταθεροί αριθμοί, οι χαρακτηριστικές έχουν σε κάθε σημείο σταθερή κλίση, δηλαδή είναι ευθείες (γεγονός που έχουμε ήδη επιβεβαιώσει σε προηγούμενη παράγραφο. Από το χαρακτηριστικό σύστημα διαπιστώνεται επιπλέον ότι, όταν είναι c(x, y, u =, oι λύσεις είναι σταθερές κατά μήκος των χαρακτηριστικών. Για τον προσδιορισμό της γενικής λύσης μιας σχεδόν γραμμικής ΜΔΕ αξιοποιείται το ακόλουθο θεώρημα: 27

2. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Θεώρημα 2.1 H γενική λύση της ΜΔΕ (2.23 είναι F (ϕ, ψ = όπου F είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση δύο μεταβλητών και οι ϕ(x, y, u = c 1, ψ(x, y, u = c 2 αποτελούν λύσεις των χαρακτηριστικών εξισώσεων dx = dy b = du c Απόδειξη Αν θεωρήσουμε ότι οι ϕ(x, y, u = c 1, ψ(x, y, u = c 2 ικανοποιούν το σύστημα των χαρακτηριστικών εξισώσεων, λαμβάνοντας υπόψη ότι δεν είναι δύσκολο να διαπιστωθεί ότι ισχύει Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι dϕ = ϕ x dx + ϕ y dy + ϕ u du = dψ = ψ x dx + ψ y dy + ψ u du = ϕ x + bϕ y + cϕ u = ψ x + bψ y + cψ u = (ϕ,ψ (y,u = b (ϕ,ψ (u,x = c (ϕ,ψ (x,y (2.25 όπου υπενθυμίζεται ότι οι όροι στους παρανομαστές συμβολίζουν Ιακωβιανές ορίζουσες. Από την άλλη πλευρά, αν θεωρήσουμε ότι f(ϕ, ψ =, όπου f αυθαίρετη συνάρτηση και ϕ = ϕ(x, y, u, ψ = ψ(x, y, u (χωρίς απαραίτητα οι ϕ, ψ να έχουν την ιδιότητα που δεχτήκαμε παραπάνω, τότε με παραγώγιση ως προς x και y παίρνουμε f ϕ (ϕ x + ϕ u u x + f ψ (ψ x + ψ u u x = f ϕ (ϕ y + ϕ u u y + f ψ (ψ y + ψ u u y = Για να έχει το συγκεκριμένο σύστημα μη τετριμμένες λύσεις, θα πρέπει ϕ x + ϕ u u x ψ x + ψ u u x ϕ y + ϕ u u y ψ y + ψ u u y = Αναπτύσσοντας την ορίζουσα, οδηγούμαστε στην εξίσωση (ϕ, ψ (y, u u (ϕ, ψ x + (u, x u (ϕ, ψ y = (x, y (2.26 Αν οι ϕ(x, y, u = c 1, ψ(x, y, u = c 2 είναι και λύσεις του χαρακτηριστικού συστήματος, τότε θα ισχύει η (2.25, η οποία σε συνδυασμό με τη (2.26 οδηγεί στη σχεδόν γραμμική εξίσωση (x, y, uu x + b(x, y, uu y = c(x, y, u 28

2.3 H σχεδόν γραμμική ΜΔΕ α τάξης Παράδειγμα 2.7: Θα χρησιμοποιήσουμε το προηγούμενο θεώρημα για να προσδιορίσουμε τη γενική λύση της γραμμική ΜΔΕ xu x + yu y = 2u (2.27 Oι χαρακτηριστικές καμπύλες προκύπτουν από τις εξισώσεις dx x = dy y = du 2u Έχουμε: dx x = dy y ln y = ln x + ln c 1 y = c 2 x y x = c 2 και du 2u = dx x ln u = 2 ln x + ln c 3 u = c 4 x 2 u x 2 = c 4 Άρα η γενική λύση της (2.27 είναι ( y F x, u x 2 = (2.28 ή, ισοδύναμα, u ( y ( y x 2 = f u(x, y = x 2 f x x Παράδειγμα 2.8: Αναζητούμε τώρα τη λύση της ΜΔΕ x(y uu x + y(u xu y = (x yu (2.29 που περιέχει την καμπύλη με την παραμετρική περιγραφή x = s, y = s, u = s Κατά τα γνωστά, θα πρέπει να προσδιοριστούν ολοκληρώματα του συστήματος dx x(y u = dy y(u x = Αξιοποιώντας τις ιδιότητες των αναλογιών, παίρνουμε dx x(y u = dy y(u x = du (x yu du d(x + y + u yu dx + xu dy + xy du = = = d(xyu (x yu Οι όροι με τα μηδενικά στους παρανομαστές ερμηνεύονται ως d(x + y + u dt =, Άρα οι ζητούμενες οικογένειες επιφανειών είναι d(xyu dt = x + y + u = c 1, xyu = c 2 και η γενική λύση είναι xyu = f(x + y + u 29

2. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 1. x.5....5 y 1..5 u 1. Σχήμα 2.6: Η λύση του παραδείγματος 2.8. Με έντονη γραμμή σχεδιάζεται η καμπύλη με τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος. Αντικαθιστώντας τις παραμετρικές περιγραφές της καμπύλης που δόθηκε, παίρνουμε f(s = s 3 Άρα η ζητούμενη ολοκληρωτική επιφάνεια (σχήμα 2.6 είναι η xyu = (x + y + u 3 (2.3 2.4 Το προβλημα Cuchy για σχεδόν γραμμικές ΜΔΕ Έστω ότι η σχεδόν γραμμική εξίσωση (2.23 συμπληρώνεται από μια συνθήκη της μορφής u(x (s, y (s = u (s Αυτό σημαίνει ότι αναζητούμε εκείνη την ολοκληρωτική επιφάνεια της σχεδόν γραμμικής εξίσωσης, η οποία περιέχει την καμπύλη x = x (s, y = y (s, u = u (s την οποία συμβολίζουμε με Γ(s. Μέχρι τώρα, για να αντιμετωπίσουμε ένα τέτοιο πρόβλημα, υπολογίζουμε τη γενική λύση και, στη συνέχεια, προσδιορίζεται εκείνη η λύση που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες. Στην ενότητα αυτή, για να βρεθεί απευθείας η ζητούμενη επιφάνεια, αρκεί να προσδιοριστούν οι χαρακτηριστικές καμπύλες που διέρχονται από τα σημεία της Γ(s (σχήμα 2.7. Το πρόβλημα προσδιορισμού της u με δεδομένη τη Γ(s αποτελεί πρόβλημα Cuchy². Συνεπώς, η ζητούμενη λύση μπορεί να προσδιοριστεί από την επίλυση του συστήματος x t = y t = b u t = c ²Ένα πρόβλημα αρχικών τιμών μπορεί να θεωρηθεί ως μια ειδική μορφή προβλήματος Cuchy, όπου η μεταβλητή y ερμηνεύεται ως χρόνος, με αποτέλεσμα η καμπύλη Γ(s να έχει την περιγραφή x = x (s, y =, u = u (s. 3

χαρακτηριστικές καμπύλες x z 2.4 Το προβλημα Cuchy για σχεδόν γραμμικές ΜΔΕ αρχική καμπύλη y Σχήμα 2.7: Διαδικασία προσδιορισμού της ολοκληρωτικής επιφάνειας στο πρόβλημα Cuchy, με τη βοήθεια της αρχικής καμπύλης. θεωρώντας τις αρχικές συνθήκες x(, s = x (s, y(, s = y (s και u(, s = u (s. Με άλλα λόγια, ερμηνεύουμε το πρόβλημα Cuchy ως ένα πρόβλημα αρχικών τιμών. Όπως φαίνεται, επιλέξαμε την παράμετρο t με τέτοιο τρόπο, ώστε για t = να προκύπτουν σημεία των χαρακτηριστικών καμπυλών που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη Γ(s. Η Γ(s αποτελεί την αρχική καμπύλη. Η διανυσματική συνάρτηση x(t, si + y(t, sj + u(t, sk περιγράφει τη ζητούμενη ολοκληρωτική επιφάνεια³. Η ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης ενός προβλήματος Cuchy αποτελεί το αντικείμενο του επόμενου θεωρήματος. Θεώρημα 2.2 Έστω ότι οι συντελεστές της σχεδόν γραμμικής ΜΔΕ (2.23 έχουν συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους και ότι η αποτελεί μια λεία αρχική καμπύλη. Αν ισχύει x = x (s y = y (s u = u (s (x (s, y (s, u (sy (s b(x (s, y (s, u (sx (s τότε υπάρχει μία και μοναδική λύση u = u(x, y που ορίζεται σε μια περιοχή της αρχικής καμπύλης και ικανοποιεί την αρχική συνθήκη u (s = u(x (s, y (s H γεωμετρική ερμηνεία της συνθήκης που εμφανίζεται στο παραπάνω θεώρημα είναι ότι η ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του προβλήματος Cuchy εξασφαλίζεται, όταν η προβολή της αρχικής καμπύλης στο επίπεδο u = δεν ταυτίζεται με χαρακτηριστική ή δεν εφάπτεται σε χαρακτηριστικές βάσης. Αν ισχύει (x(s, y(s, u(sy (s b(x(s, y(s, u(sx (s =, τότε υπάρχουν δύο ενδεχόμενα: το πρόβλημα είτε έχει άπειρες λύσεις (όταν η Γ ταυτίζεται με χαρακτηριστική καμπύλη, είτε δεν έχει καμία λύση. ³Το ότι η συγκεκριμένη περιγραφή αντιστοιχεί σε ολοκληρωτική επιφάνεια επιβεβαιώνεται από το γεγονός ότι οι καμπύλες με εξίσωση s = σταθ. είναι οι χαρακτηριστικές καμπύλες, αφού το εφαπτομενικό διάνυσμα σε οποιοδήποτε σημείο τους είναι x t i + y t j + u t k = i + bj + ck. 31