5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα Γενικά, ένα λειτουργικό δομικό διάγραμμα έχει συγκεκριμένη δομή που περιλαμβάνει: Τις δομικές μονάδες (λειτουργικά τμήματα ή βαθμίδες) που συμβολίζουν συγκεκριμένες λειτουργίες. Στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας περιγράφονται από τις αντίστοιχες συναρτήσεις μεταφοράς. Τις διατάξεις ανίχνευσης σφαλμάτων που ενεργούν ως σημεία διακλάδωσης και σύγκρισης σημάτων. Συνήθως εκτελούν απλές μαθηματικές πράξεις, όπως πρόσθεση και αφαίρεση, και για το λόγο αυτό συχνά αναφέρονται ως αθροιστές ή σημεία άθροισης. Τους κόμβους ή σημεία λήψης σημάτων. Τα βέλη που συμβολίζουν τη ροή σημάτων. Η έννοια της χρήσης κάθε ενός από τα παραπάνω στοιχεία φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Στο πεδίο του χρόνου οι μεταβλητές συμβολίζονται με πεζά (μικρά) γράμματα, ενώ με κεφαλαία γράμματα συμβολίζονται οι μετασχηματισμοί Laplace των ποσοτήτων αυτών στο πεδίο της συχνότητας. Σήμα εισόδου x(t), Διάταξη ανίχνευσης σφάλματος e(t) = x(t) ± r(t) ± E(s) = ± R(s) Δομική μονάδα Περιγραφή λειτουργίας, Συνάρτηση μεταφοράς Κόμβος ή Σημείο λήψης y(t), Σήμα εξόδου y(t), r(t), R(s) y(t), Όπως γνωρίζουμε, η συνάρτηση μεταφοράς ενός σταθερού (χρονικά αμετάβλητου) γραμμικού συστήματος ορίζεται στο πεδίο της συχνότητας (πεδίο Laplace) θεωρώντας μηδενικές αρχικές συνθήκες και είναι ο λόγος του μετασχηματισμού Laplace του σήματος εξόδου προς το μετασχηματισμό Laplace του σήματος εισόδου : = /. Επομένως, η έξοδος μιας δομικής μονάδας (βαθμίδας) ισούται με το γινόμενο της εισόδου επί τη συνάρτηση μεταφοράς: =. Αν έχουμε n δομικές μονάδες (βαθμίδες) συνδεμένες σε σειρά, όπως στο παρακάτω σχήμα, με συναρτήσεις μεταφοράς G (s), G 2 (s), G 3 (s),, G n (s) αντίστοιχα, τότε το σύστημα αυτό είναι ισοδύναμο με μία δομική μονάδα με συνάρτηση μεταφοράς ίση με το γινόμενο των επιμέρους συναρτήσεων μεταφοράς: G = G (s)g 2 (s)g 3 (s) G n (s). X 0(s) G (s) G 2(s) G 3(s) X 3(s) X n(s)... G n(s) X n(s) X 0 (s) G (s)g 2 (s)g 3 (s)...g n (s) X n (s) Είναι προφανές ότι ισχύουν τα ακόλουθα: X (s) =G (s)x 0 (s) X 2 (s) =G 2 (s)x (s) = G 2 (s) [G (s)x 0 (s)] X 3 (s) =G 3 (s)x 2 (s) = G 3 (s) [G 2 (s)g (s)x 0 (s)].. X n (s) =G n (s)x n (s) = G n (s) [G n (s) G 3 (s)g 2 (s)g (s)x 0 (s)]
Αν έχουμε n δομικές μονάδες (βαθμίδες) συνδεμένες παράλληλα, όπως στο παρακάτω σχήμα, με συναρτήσεις μεταφοράς G (s), G 2 (s), G 3 (s),, G n (s) αντίστοιχα, τότε το σύστημα αυτό είναι ισοδύναμο με μία δομική μονάδα με συνάρτηση μεταφοράς ίση με το άθροισμα των επιμέρους συναρτήσεων μεταφοράς: G = G (s) G 2 (s) G 3 (s) G n (s). X 0(s) G (s) X 0(s) X 0(s) X 0(s) G 2(s) G 3(s) X 3(s) X 0(s) G (s) G 2(s) G 3(s) G n(s)... X 0(s) G n(s) X n(s) Είναι προφανές ότι ισχύουν τα ακόλουθα: X (s) =G (s)x 0 (s) X 2 (s) =G 2 (s)x 0 (s) X 3 (s) =G 3 (s)x 0 (s).. X n (s) =G n (s)x 0 (s) και Υ(s) = X (s) X 2 (s) X 3 (s) X n (s) = [G (s) G 2 (s) G 3 (s) G n (s)]x 0 (s) 5. Κανονική μορφή συστήματος ελέγχου με ανάδραση Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η βασική σύνθεση ενός γραμμικού συστήματος ελέγχου με ανάδραση, όπου όλες οι ποσότητες εμφανίζονται με την μετασχηματισμένη Laplace μορφή τους. Οι ποσότητες και H(s) είναι οι συναρτήσεις μεταφοράς που αντιστοιχούν στα στοιχεία που παριστάνονται από τις δομικές μονάδες. E(s) = R(s) Απευθείας κλάδος ή πρόσω διαδρομή Κλάδος ανάδρασης R(s) F(s) Όπου: = = R(s) = E(s) = = F(s) = F(s) = / = είσοδος αναφοράς (εντολή) έξοδος (ελεγχόμενη μεταβλητή) σήμα ανάδρασης σήμα διέγερσης (σήμα σφάλματος όταν F(s) = ) συνάρτηση μεταφοράς απευθείας κλάδου (πρόσω διαδρομής) συνάρτηση μεταφοράς της ανάδρασης συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου ή συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος 2
Με βάση τα παραπάνω στοιχεία, για τον υπολογισμό της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου H(s) = / έχουμε ότι: R(s) = F(s) = E(s) = [ R(s)] = [ F(s)] = F(s) Άρα: ή F(s) = [ F(s)] = Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου δίνεται από τη σχέση: Προφανώς, η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: F(s) = 0. Μερικές φορές είναι χρήσιμο να υπολογίσουμε την ποσότητα E(s)/ που είναι η συνάρτηση μεταφοράς του σφάλματος (απόκλισης) προς την είσοδο: Επομένως: 5.2 Σύστημα με μοναδιαία ανάδραση Αν η ανάδραση του συστήματος κλειστού βρόχου είναι F(s) =, τότε πλέον αναφερόμαστε σε σύστημα μοναδιαίας αρνητικής ανάδρασης. Κάθε σύστημα μη μοναδιαίας ανάδρασης μπορεί να μετασχηματιστεί σε σύστημα μοναδιαίας ανάδρασης. Ο μετασχηματισμός αυτός τις περισσότερες φορές μπορεί να μην έχει φυσική σημασία, αλλά σαν μαθηματικός μετασχηματισμός διευκολύνει πολύ στη μελέτη του συστήματος. Το ισοδύναμο σύστημα με μοναδιαία αρνητική ανάδραση του κανονικού συστήματος ελέγχου με ανάδραση F(s) είναι το ακόλουθο: /F(s) F(s) F(s) Κανονικό σύστημα με ανάδραση F(s) Ισοδύναμο σύστημα με μοναδιαία αρνητική ανάδραση Η ισοδυναμία των δύο συστημάτων αποδεικνύεται εύκολα υπολογίζοντας από το δομικό διάγραμμα του ισοδύναμου συστήματος τη συνάρτηση μεταφοράς /: 5.3 Απλοποίηση σύνθετων δομικών διαγραμμάτων Τα περισσότερα συστήματα ελέγχου περιγράφονται από πολυσύνθετα δομικά διαγράμματα. Για τη μελέτη αυτών των συστημάτων μπορούμε πάντα να προβούμε σε 3
απλοποίηση των δομικών διαγραμμάτων τους ώστε να καταλήξουμε σε πιο απλό και κατανοητό σύστημα. Τα ισοδύναμα συστήματα που προκύπτουν δεν έχουν κάποια φυσική σημασία αφού η απλοποίηση είναι μόνο μαθηματικός μετασχηματισμός. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι πλέον συνηθισμένοι μετασχηματισμοί. Η συνηθισμένη μεθοδολογία που ακολουθούμαι για την απλοποίηση ενός δομικού διαγράμματος είναι η ακόλουθη:. Συνδυάζουμε όλες τις δομικές μονάδες που είναι σε σειρά, καθώς και όλες τις μονάδες που είναι σε παράλληλη σύνδεση. 2. Αναγνωρίζουμε εσωτερικά τοπικά συστήματα κλειστού βρόχου και τους αντικαθιστούμε με τις ισοδύναμες απλές δομικές μονάδες. 3. Προσπαθούμε να μεταφέρουμε όλα τα σημεία άθροισης αριστερά (μπροστά) από τον μεγαλύτερο βρόχο και όλα τα σημεία λήψης δεξιά (μετά) από αυτόν. 4. Επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα μέχρι να καταλήξουμε σε ένα διάγραμμα κανονικής μορφής. 5. Στην περίπτωση πολλών εισόδων εφαρμόζουμε την αρχή της επαλληλίας (υπέρθεσης): i. Θεωρούμε διαδοχικά μία μόνο είσοδο κάθε φορά και μηδενίζουμε τις υπόλοιπες. ii. Εφαρμόζουμε τους μετασχηματισμούς για την επιλεγμένη κάθε φορά είσοδο και υπολογίζουμε την απόκριση που οφείλεται σε αυτήν την είσοδο. iii. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία για κάθε μία είσοδο. iv. Η συνολική απόκριση του συστήματος θα είναι το αλγεβρικό άθροισμα όλων των επιμέρους αποκρίσεων. Παράδειγμα : Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς H(s)=/ του συστήματος που περιγράφεται από το παρακάτω δομικό διάγραμμα: G (s) G 2(s) G 3(s) F 2(s) F 3(s) F (s) Για να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς H(s)=/ του συστήματος απαιτείται η απλοποίηση του δομικού διαγράμματος. Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχουν δομικές μονάδες συνδεμένες σε σειρά ή παράλληλα. Αναγνωρίζουμε ένα εσωτερικό υποσύστημα κλειστού βρόχου που περιλαμβάνει τις δομικές μονάδες G 2 (s) και F 2 (s): G (s) G 2(s) G 3(s) F 2(s) F 3(s) F (s) 4
Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Αρχικό δομικό διάγραμμα Ισοδύναμο δομικό διάγραμμα Σύνδεση δομικών μονάδων σε σειρά X0(s) G(s) X(s) G2(s) X 0(s) G (s)g 2(s) Παράλληλη σύνδεση δομικών μονάδων X0(s) X0(s) X0(s) G(s) G2(s) X(s) X0(s) G(s) G2(s) Μετατροπή κανονικού συστήματος σε σύστημα με μοναδιαία ανάδραση /F(s) F(s) F(s) Μετακίνηση σημείου άθροισης μετά από δομική μονάδα X(s) Μετακίνηση σημείου άθροισης μπροστά από δομική μονάδα X(s) / Μετακίνηση σημείου λήψης μπροστά από δομική μονάδα X(s) X3(s) X 3(s) Μετακίνηση σημείου λήψης μετά από δομική μονάδα X(s) X3(s) X(s) X3(s) / Εναλλαγή σημείων άθροισης X(s) X3(s) X 3(s) X(s) X3(s) X 3(s) 5
Η σύνθεσή τους δίνει την ισοδύναμη δομική μονάδα G 4 (s) = G 2 (s)/[g 2 (s)f 2 (s)]. G (s) G 4 (s) G 3 (s) F 3 (s) F (s) Μετακινούμε το σημείο λήψης που βρίσκεται πριν την είσοδο της μονάδας G3(s), μετά τη μονάδα αυτή: G (s) G 4 (s) G 3 (s) F 3 (s) F (s) /G 3 (s) Οι δομικές μονάδες G 3 (s) και G 4 (s) είναι σε σειρά και δίνουν την ισοδύναμη δομική μονάδα G 5 (s)= G 3 (s)g 4 (s). Ομοίως, οι δομικές μονάδες F (s) και /G 3 (s) είναι σε σειρά και δίνουν την ισοδύναμη δομική μονάδα F 4 (s)= F 3 (s)/g 3 (s). G (s) G 5 (s) F 3 (s) F 4 (s) Αναγνωρίζουμε ένα εσωτερικό υποσύστημα κλειστού βρόχου που περιλαμβάνει τις δομικές μονάδες G 5 (s) και F 3 (s). Η σύνθεσή τους δίνει την ισοδύναμη δομική μονάδα G 6 (s) = G 5 (s)/[g 5 (s)f 3 (s)]. G (s) G 6 (s) F 4 (s) 6
Οι δομικές μονάδες G (s) και G 6 (s) είναι σε σειρά και δίνουν την ισοδύναμη δομική μονάδα G 7 (s)= G (s)g 6 (s). Έτσι, καταλήγουμε σε ένα σύστημα κλειστού βρόχου κανονικής μορφής με συνάρτηση μεταφοράς απευθείας κλάδου την G 7 (s) και συνάρτηση μεταφοράς του κλάδου ανάδρασης την F 4 (s): G 7 (s) F 4 (s) Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: Παράδειγμα 2: Να υπολογιστεί η απόκριση του συστήματος που περιγράφεται από το παρακάτω δομικό διάγραμμα: G (s) G 2(s) G 3(s) F 3(s) F 2(s) F (s) Το σύστημα έχει δύο εισόδους X (s) και X 2 (s). Δεν υπάρχουν δομικές μονάδες συνδεμένες σε σειρά ή παράλληλα. Μετακινώντας και τα δύο σημεία άθροισης, που βρίσκονται πριν και μετά τη δομική μονάδα G 2 (s,) μπροστά από τη μονάδα G (s) προκύπτει το ακόλουθο ισοδύναμο δομικό διάγραμμα: G (s) G 2 (s) G 3 (s) /G (s) F 2 (s) /G (s) /G 2 (s) F 3 (s) F (s) 7
Παρατηρούμε ότι προκύπτουν δομικές μονάδες συνδεμένες σε σειρά σε τρεις κλάδους. Επομένως, με εφαρμογή του σχετικού μετασχηματισμού και θέτοντας G 4 (s)=g (s)g 2 (s), F 4 (s)=f 2 (s)/g (s) και F 5 (s)=f 3 (s)/g (s)g 2 (s), προκύπτει το ακόλουθο ισοδύναμο διάγραμμα: X (s) G 4 (s) X 2 (s) G 3 (s) F 4 (s) F 5 (s) F (s) Αναγνωρίζουμε ένα εσωτερικό υποσύστημα κλειστού βρόχου που περιλαμβάνει τις δομικές μονάδες G 4 (s) και F 4 (s). Θέτουμε G 5 (s) = G 4 (s)/[g 4 (s)f 4 (s)]. Επίσης παρατηρούμε ότι έχουμε δύο παράλληλους κλάδους ανάδρασης. Θέτοντας F 6 (s)=f (s)f 5 (s) προκύπτει το ακόλουθο ισοδύναμο δομικό διάγραμμα: X (s) G 5 (s) X 2 (s) G 3 (s) F 6 (s) Εφαρμόζοντας την αρχή της επαλληλίας έχουμε: Όταν =0, τότε: Όταν X(s)=0, τότε: Οπότε, η ζητούμενη απόκριση του συστήματος θα είναι: ή 8
6. Διαγράμματα Ροής Σημάτων Το διάγραμμα ροής σημάτων είναι μια γραφική απεικόνιση (γράφημα) του συστήματος των εξισώσεων που περιγράφουν ένα σύστημα. Απεικονίζει τη διάδοση των διαφόρων σημάτων μέσα στο σύστημα, δηλαδή τις σχέσεις εισόδου εξόδου μεταξύ των μεταβλητών ενός συνόλου γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων που περιγράφουν το σύστημα. Ένα γραμμικό σύστημα μπορεί να περιγραφεί από ένα σύνολο N αλγεβρικών εξισώσεων: Αυτές οι N εξισώσεις είναι γραμμένες στη μορφή σχέσεων αιτίου αποτελέσματος: Αυτό είναι το μοναδικό αξίωμα στη διαμόρφωση του συνόλου των αλγεβρικών εξισώσεων για τα διαγράμματα ροής σημάτων. Όταν το σύστημα περιγράφεται από ένα σύνολο ολοκληρωδιαφορικών εξισώσεων, πρέπει πρώτα να τις μετασχηματίσουμε σε αλγεβρικές εξισώσεις με τη χρήση των μετασχηματισμών Laplace, οπότε θα έχουμε αντίστοιχα: όπου G ij (s) η συνάρτηση μεταφοράς. Το διάγραμμα ροής σημάτων παρέχει την ίδια πληροφορία που μας δίνει και το δομικό διάγραμμα του συστήματος. Η ολική όμως συνάρτηση μεταφοράς υπολογίζεται ευκολότερα με την εφαρμογή του κανόνα του Mason, που θα δούμε στη συνέχεια, χωρίς να απαιτείται να κάνουμε απλοποιήσεις. 6. Βασικά στοιχεία των διαγραμμάτων ροής σημάτων Ορισμοί Τα βασικά δομικά στοιχεία ενός διαγράμματος ροής σημάτων είναι ο κόμβος, ο κλάδος και η απολαβή του κλάδου: Κόμβος: Είναι ένα σημείο που αντιπροσωπεύει μια μεταβλητή ή ένα σήμα. Κλάδος: Είναι μια γραμμή η οποία συνδέει δύο κόμβους και έχει καθορισμένη κατεύθυνση, οριζόμενη με ένα βέλος που δείχνει τη φορά ροής (κατεύθυνση διάδοσης) του σήματος. Απολαβή κλάδου: Είναι η απολαβή μεταξύ δύο κόμβων. Όταν οι μεταβλητές των κόμβων είναι μετασχηματισμένες κατά Laplace, εκφράζεται από τη συνάρτηση μεταφοράς μεταξύ των δύο κόμβων. x i a ij x j Εκτός από τους κόμβους και τους κλάδους, οι ακόλουθοι όροι είναι χρήσιμοι για τη μελέτη των διαγραμμάτων ροής σημάτων: 9
Κόμβος εισόδου: Είναι ο κόμβος που έχει μόνο εξερχόμενα σήματα και αντιστοιχεί σε ανεξάρτητη μεταβλητή (είσοδος). Κόμβος εξόδου: Είναι ο κόμβος που έχει μόνο εισερχόμενα σήματα και αντιστοιχεί σε εξαρτημένη μεταβλητή (έξοδος). Μικτός κόμβος: Είναι ο κόμβος που έχει και εισερχόμενα και εξερχόμενα σήματα και αντιπροσωπεύει γραμμικό συνδυασμό σημάτων. Δρόμος: Είναι ένα σύνολο διαδοχικών κλάδων που έχουν την ίδια φορά. Εάν κανένας κόμβος δεν προσπερνιέται περισσότερες από μία φορές, τότε ο δρόμος λέγεται ανοιχτός. Εάν ο δρόμος καταλήγει στον κόμβο από τον οποίο αρχίζει και δεν περνάει από κάποιον άλλο κόμβο περισσότερες από μία φορές, τότε ο δρόμος λέγεται κλειστός. Βρόχος: Είναι ένας κλειστός δρόμος. Εάν ο βρόχος αρχίζει και καταλήγει στον ίδιο κόμβο, χωρίς να περνάει από άλλο κόμβο, λέγεται αυτοβρόχος ή αυτόκλειστος βρόχος. Απολαβή βρόχου: Είναι το γινόμενο των απολαβών όλων των κλάδων που αποτελούν το βρόχο. Μη εγγίζοντες βρόχοι: Είναι οι βρόχοι που δεν διέρχονται από τον ίδιο κόμβο (δεν έχουν κοινό κόμβο). Ευθύς δρόμος: Είναι ένας δρόμος που αρχίζει από τον κόμβο εισόδου, καταλήγει στον κόμβο εξόδου και δεν περνάει περισσότερες από μια φορά από κανένα κόμβο. Απολαβή ευθύ δρόμου: Είναι το γινόμενο των απολαβών όλων των κλάδων που αποτελούν τον συγκεκριμένο ευθύ δρόμο. 6.2 Βασικές ιδιότητες των διαγραμμάτων ροής σημάτων Οι πιο βασικές ιδιότητες των διαγραμμάτων ροής σημάτων είναι οι ακόλουθες: Τα διαγράμματα ροής σημάτων (ΔΡΣ) εφαρμόζονται μόνο σε γραμμικά συστήματα. Οι εξισώσεις για τις οποίες σχεδιάζεται ένα ΔΡΣ πρέπει να είναι αλγεβρικές εξισώσεις της μορφής αιτίου αποτελέσματος. Οι κόμβοι χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση μεταβλητών και διατάσσονται από την είσοδο προς την έξοδο (συνήθως από αριστερά προς τα δεξιά), ακολουθώντας την αλληλουχία των σχέσεων αιτίας αποτελέσματος που διέπουν το σύστημα. Ένας κλάδος δηλώνει εξάρτηση ενός σήματος από ένα άλλο. Το σήμα διαδίδεται από τον ένα κόμβο στον άλλο μόνο κατά την κατεύθυνση του υποδεικνύεται από το βέλος του κλάδου. Ο κλάδος που κατευθύνεται από τον κόμβο x i στον κόμβο x j αναπαριστά την εξάρτηση της μεταβλητής x j από την μεταβλητή x i αλλά όχι το αντίστροφο. Το σήμα x i ρέει (διαδίδεται) κατά μήκος του κλάδου μεταξύ των κόμβων x i και x j πολλαπλασιασμένο με την απολαβή του κλάδου a ij ώστε ένα σήμα a ij x i μεταφέρεται στο x j. Σε κάθε κόμβο αθροίζονται όλα τα εισερχόμενα σήματα από όλους τους εισερχόμενους κλάδους (τους κλάδους που καταλήγουν στον κόμβο) και το άθροισμά τους μεταδίδεται σε όλους τους εξερχόμενους κλάδους (τους κλάδους που ξεκινούν) από τον συγκεκριμένο κόμβο. Παράλληλοι κλάδοι προς την ίδια κατεύθυνση μπορούν να αντικατασταθούν από έναν κλάδο με απολαβή ίση με το άθροισμα των απολαβών των επιμέρους παράλληλων κλάδων. 0
Κλάδοι σε σειρά προς την ίδια κατεύθυνση μπορούν να αντικατασταθούν από ένα κλάδο με απολαβή ίση με το γινόμενο των απολαβών των επιμέρους σε σειρά κλάδων. Το ΔΡΣ για ένα σύστημα δεν είναι μονοσήμαντο, αλλά εξαρτάται από τον τρόπο που είναι γραμμένες οι εξισώσεις του συστήματος. Όμως η προκύπτουσα ολική συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι πάντα η ίδια. Παράδειγμα : Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το ΔΡΣ του συστήματος που περιγράφεται από τις ακόλουθες εξισώσεις: x 2 = a 2 x a 22 x 2 a 32 x 3 a 22 x 3 = a 3 x a 23 x 2 a 2 x 2 x : κόμβος εισόδου x a 23 a 32 x 2 και x 3 : κόμβοι εξόδου a 3 x 3 Παράδειγμα 2: Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το ισοδύναμο ΔΡΣ του βασικού δομικού διαγράμματος συστήματος ελέγχου με ανάδραση. E(s) F(s) Οι εξισώσεις του συστήματος είναι: = E(s) E(s) = F(s) Επομένως, το ισοδύναμο ΔΡΣ είναι: E(s) F(s) ή E(s) F(s) Παράδειγμα 3: Να σχεδιαστεί το ισοδύναμο ΔΡΣ του παρακάτω δομικού διαγράμματος. E (s) E 2(s) E 3(s) E 4(s) G (s) G 2(s) G 3(s) F 2(s) F (s)
Οι εξισώσεις του συστήματος είναι: = E 4 (s)g 3 (s) E 4 (s) = E 3 (s)g 2 (s) E 2 (s) F 2 (s) E 3 (s) = E 2 (s) E 2 (s) = E (s)g (s) E (s) = Χ(s) F (s) Επομένως, το ισοδύναμο ΔΡΣ είναι: G (s) G 2(s) G 3(s) E (s) E 2(s) E 3(s) E 4(s) F 2(s) F (s) 6.3 Κανόνας του Mason για τον υπολογισμό της ολικής συνάρτησης μεταφοράς Ο υπολογισμός της ολικής συνάρτησης μεταφοράς, όταν το σύστημα περιγράφεται με διάγραμμα ροής σημάτων, μπορεί να γίνει με απλοποίηση του διαγράμματος όπως και με τα δομικά διαγράμματα. Μπορούμε όμως να υπολογίσουμε την ολική συνάρτηση μεταφοράς H(s) του συστήματος με εφαρμογή του κανόνα του Mason: όπου: = η είσοδος του συστήματος, = η έξοδος του συστήματος, N = το πλήθος των απευθείας δρόμων μεταξύ εισόδου και εξόδου του συστήματος, Q k (s) = η απολαβή του k απευθείας δρόμου, Δ(s) = η ορίζουσα του συστήματος: με: ΣL = το άθροισμα των απολαβών όλων των βρόχων, ΣL 2 = το άθροισμα του γινομένου ανά δύο των απολαβών όλων των δυνατών συνδυασμών των μη εγγιζόντων ανά δύο βρόχων, ΣL 3 = το άθροισμα του γινομένου ανά τρεις των απολαβών όλων των δυνατών συνδυασμών των μη εγγιζόντων ανά τρεις βρόχων, ΣL n = το άθροισμα του γινομένου ανά n το πλήθος των απολαβών όλων των δυνατών συνδυασμών των μη εγγιζόντων ανά n το πλήθος βρόχων, Δ k (s) = η τιμή την τιμή της ορίζουσας Δ(s), εάν δεν λάβουμε υπόψη μας όλους τους βρόχους που εγγίζουν (έχουν κοινό κόμβο με) τον k απευθείας δρόμο. Να σημειωθεί ότι η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος δίνεται από τη σχέση Δ(s)=0. 2
Παράδειγμα 4: Δίνεται το δομικό διάγραμμα του σχήματος. F 2(s) G (s) G 2(s) G 3(s) F (s) Να σχεδιαστεί το ισοδύναμο ΔΡΣ του συστήματος και να υπολογιστεί η ολική συνάρτηση μεταφοράς με εφαρμογή του κανόνα του Mason. Το ισοδύναμο ΔΡΣ του συστήματος είναι το ακόλουθο: F 2 (s) G (s) G 2 (s) G 3 (s) A B Γ Δ Ε F (s) Υπάρχει μόνο ένας απευθείας δρόμος μεταξύ εισόδου και εξόδου, ο ΑΒΓΔΕ, με απολαβή: Q (s) = G (s)g 2 (s)g 3 (s) Υπάρχουν τρεις βρόχοι, οι ΑΒΓΔΕΑ, ΒΓΔΒ και ΓΔΕΓ, με απολαβές: B (s) = G (s)g 2 (s)g 3 (s)() = G (s)g 2 (s)g 3 (s) B 2 (s) = G (s)g 2 (s)[f (s)] = G (s)g 2 (s)f (s) B 3 (s) = G 2 (s)g 3 (s)[f 2 (s)] = G 2 (s)g 3 (s)f 2 (s) Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχουν μη εγγίζοντες βρόχοι αφού όλοι οι βρόχοι έχουν κοινούς κόμβους με τον απευθείας δρόμο. Επίσης, παρατηρούμε ότι όλοι οι βρόχοι έχουν κοινούς βρόχους μεταξύ τους. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι έχουν κοινά γράμματα στην ονομασία τους (τα γράμματα αντιστοιχούν σε κόμβους). Επομένως ΣL 2 = 0 και ΣL 3 = 0. Οπότε έχουμε: και Δ(s) = ΣL = [B (s) B 2 (s) B 3 (s)] = Δ (s) = = [ G (s)g 2 (s)g 3 (s) G (s)g 2 (s)f (s) G 2 (s)g 3 (s)f 2 (s)] = = G (s)g 2 (s)g 3 (s) G (s)g 2 (s)f (s) G 2 (s)g 3 (s)f 2 (s) 3
Σύμφωνα με τον κανόνα του Mason η ολική συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: ή Παράδειγμα 5: Για το σύστημα του Παραδείγματος 3 να υπολογιστεί η ολική συνάρτηση μεταφοράς με εφαρμογή του κανόνα του Mason. Το ΔΡΣ του συστήματος, όπως είδαμε στο Παράδειγμα 3, είναι το ακόλουθο: G (s) G 2 (s) G 3 (s) A B Γ Δ Ε F 2 (s) F (s) Υπάρχουν δύο απευθείας δρόμοι μεταξύ εισόδου και εξόδου, οι ΑΒΓΔΕ και ΑΒΔΕ, με αντίστοιχες απολαβές: Q (s) = G (s)g 2 (s)g 3 (s) Q 2 (s) = G (s)g 3 (s) Υπάρχουν τέσσερις βρόχοι, οι ΑΒΓΔΕΑ, ΑΒΔΕΑ, ΔΕΔ και ΓΔΕΓ, με απολαβές: B (s) = G (s)g 2 (s)g 3 (s)[f (s)] = G (s)g 2 (s)g 3 (s)f (s) B 2 (s) = G (s)g 3 (s)[f (s)] = G (s)g 3 (s)f (s) B 3 (s) = G 3 (s)[f 2 (s)] = G 3 (s)f 2 (s) B 4 (s) = G 2 (s)g 3 (s)() = G 2 (s)g 3 (s) Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχουν μη εγγίζοντες βρόχοι αφού όλοι οι βρόχοι έχουν κοινούς κόμβους με τους απευθείας δρόμους. Επίσης, παρατηρούμε ότι όλοι οι βρόχοι έχουν κοινούς βρόχους μεταξύ τους. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι έχουν κοινά γράμματα στην ονομασία τους (τα γράμματα αντιστοιχούν σε κόμβους). Επομένως ΣL 2 = 0, ΣL 3 = 0 και ΣL 4 = 0. Οπότε έχουμε: Δ(s) = ΣL = [B (s) B 2 (s) B 3 (s) B 4 (s)] = = [G (s)g 2 (s)g 3 (s)f (s) G (s)g 3 (s)f (s) G 3 (s)f 2 (s) G 2 (s)g 3 (s)] = 4
= G (s)g 2 (s)g 3 (s)f (s) G (s)g 3 (s)f (s) G 3 (s)f 2 (s) G 2 (s)g 3 (s) και Δ (s) =, Δ 2 (s) = Σύμφωνα με τον κανόνα του Mason η ολική συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: 5
Πηγές: Για τη σύνθεση αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήθηκε υλικό από την παρακάτω βιβλιογραφία: Θεωρία και Προβλήματα στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Αναλογικών και Ψηφιακών Συστημάτων, Joshef J. Distefano III, Allen R. Stubberud, Ivan J. Williams Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και προβλήματα, Πακτίτης Σπύρος Α. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Τρ. Ποιμενίδης Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Δ. Καλλιγερόπουλος Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο, Π. Ν. Παρασκευόπουλος Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Θεωρία, Κ. Λουκάς Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Benjamin C. Kuo, Farid Golnaraghi Σύγχρονα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Richard C. Dorf, Robert H. Bishop Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές με το MATLAB, Ogata K. 6