Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) Ενότητα: ΜΑΓΝΗΤΚΟ ΠΕΔΟ ΗΛΕΚΤΡΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής Δημήτρις Βλάχς Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής
Κεφάλαι 9 1 Δημήτρις Βλάχς Κεφάλαι 9 ΜΑΓΝΗΤΚΟ ΠΕΔΟ ΗΛΕΚΤΡΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Σύνψη Στ ένατ ετύτ κεφάλαι γίνεται η περιγραφή τυ μαγνητικύ πεδίυ τ πί δημιυργείται από ηλεκτρικό ρεύμα. Η περιγραφή γίνεται με τν νόμ των it και Svt και τν νόμ τυ Ampee. Επίσης μελετάται η μαγνητική δύναμη πυ αναπτύσσεται μεταξύ παραλλήλων ρευματφόρων αγωγών. Τέλς ρίζεται τ μαγνητικό πεδί στ εσωτερικό σωληνειδύς. 9.1 Εισαγωγικά Έως τώρα θεωρήσαμε άλλτε φανερά και άλλτε σιωπηρά ότι ένα μαγνητικό πεδί Β παράγεται από φυσικύς μαγνήτες (μαγνητικά δίπλα). Εντύτις γνωρίζυμε ότι μαγνητικά πεδία δημιυργύνται και από κινύμενα ηλεκτρικά φρτία ή αλλιώς από ηλεκτρικά ρεύματα. Η πρώτη φρά πυ παρατηρήθηκε πειραματικά η δημιυργία μαγνητικύ πεδίυ από ηλεκτρικό ρεύμα ήταν τ 180 από τν Δανό φυσικό Hns Chistin Oested (1777-1851), πίς παρατήρησε ότι μια μαγνητική βελόνη πυ ευρισκόνταν κντά σ έναν ρευματφόρ αγωγό, μετέβαλε τν πρσανατλισμό της και ευθυγραμμίζνταν με αυτόν 1. Τύτ σήμαινε την ύπαρξη μαγνητικής δύναμης πάνω στην μαγν ητική βελόνη και επμένως δημιυργία μαγνητικύ πεδίυ από τ ηλεκτρικό ρεύμα πυ διέρρεε τν αγωγό. Αντιθέτως εάν τ ηλεκτρικό ρεύμα διεκόπτετ, η αλληλεπίδραση με την βελόνη τερματίζνταν και αυτή έπαιρνε την γνωστή ευθυγράμμισή της με τ μαγνητικό πεδί της Γης. Στη συνέχεια θα εξετάσυμε πι λεπτμερειακά την δημιυργία μαγνητικών πεδίων από ηλεκτρικά ρεύματα δηλαδή από κινύμενα φρτία. Hns Chistin Oested (1777-1851) 9. Μαγνητικό πεδί κινύμενυ ηλεκτρικύ φρτίυ 1 Κάπιι υπστηρίζυν ότι ταλός Gin Dmenic Rmgnsi (1761-1835), ανακάλυψε πρώτς την σχέση ηλεκτρισμύ-μαγνητισμύ δυ δεκαετίες πριν τν Oested, αλλά η ανακάλυψή τυ πέρασε απαρατήρητη από την επιστημνική κινότητα της επχής, επειδή Rmgnsi την δημσίευσε σε δυό ιταλικές εφημερίδες!
Κεφάλαι 9 Δημήτρις Βλάχς Αναφέραμε πι πάνω ότι τ ηλεκτρικό ρεύμα παράγει μαγνητικό πεδί στν τριγύρω χώρ. Εφόσν πλλά κινύμενα φρτία παράγυν μαγνητικό πεδί, τότε και ένα μόν κινύμεν φρτί θα παράγει τ δικό τυ μαγνητικό πεδί τ πί θα είναι αρκετά ασθενέστερ από εκείν λκλήρυ τυ ρεύματς τυ αγωγύ. Ας εξετάσυμε αρχικά πρς χάριν απλότητας τ μαγνητικό πεδί πυ δημιυργεί ένα μόν κινύμεν ηλεκτρικό φρτί q, τ πί κινείται με ταχύτητα υ στ χώρ. Είναι πειραματικά απδεδειγμέν ότι τ μαγνητικό πεδί Β πυ παράγει ένα κινύμεν φρτί σε σημεί τυ χώρυ, είναι ανάλγ τυ φρτίυ q και της ταχύτητάς τυ υ και αντιστρόφως ανάλγ τυ τετραγώνυ της απόστασης πυ χωρίζει τ σημεί από την θέση τυ φρτίυ. Επίσης τ μέτρ τυ πεδίυ είναι ανάλγ τυ ημιτόνυ της γωνίας θ πυ ρίζεται από τ διάνυσμα της ταχύτητας και της διεύθυνσης της απόστασης. Η διεύθυνση τυ πεδίυ Β είναι κάθετη στ επίπεδ πυ ρίζεται από τις διευθύνσεις των διανυσμάτων της ταχύτητας και της απόστασης υ και αντιστίχως, όπως φαίνεται στ σχ. 9.1α. Η πι πάνω περιγραφή τυ πεδίυ Β ενός κινύμενυ ηλεκτρικύ φρτίυ, η πία είναι απτέλεσμα πειραματικής μελέτης, δύναται να εκφρασθεί μαθηματικά με τη διανυσματική σχέση όπυ τ μέτρ της μαγνητικής επαγωγής είναι qυ ˆ 4 (9.1) qsin 4 (9.) και η κατεύθυνσή τυ κάθετη στ επίπεδ των υ και. Βλέπυμε ότι υπάρχει μια σταθερά αναλγίας μ /4π, όπυ μ η διαπερατότητα τυ κενύ ίση με 4π 10-7 T.m/A, ή αλλιώς ίση με 1.6 10-6 heny/mete. Τ μαγνητικό πεδί τυ κινύμενυ ηλεκτρικύ φρτίυ περιγράφεται από τις μαγνητικές δυναμικές γραμμές πυ λόγω αξνικής συμμετρίας είναι μόκεντρι κύκλι γύρω από την διεύθυνση κίνησης τυ φρτίυ. Τ διάνυσμα Β είναι πάντα εφαπτμενικό των δυναμικών γραμμών και η φρά τυ δίνεται από τν κανόνα τυ δεξιόστρφυ κχλία (δεξιύ χεριύ) όπως φαίνεται στ σχ. 9.1β. Πρσέξτε ότι τ διάνυσμα Β γίνεται μικρότερ όσ απμακρυνόμαστε από τ φρτί και q θ υ (α) Σχήμα 9.1 () Μαγνητικό πεδί κινύμενυ ηλεκτρικύ φρτίυ. (β) Δυναμικές γραμμές μαγνητικύ πεδίυ από κινύμεν ηλεκτρικό φρτί.. υ (β) αυξάνεται η απόσταση. Επειδή για τ μαγνητικό πεδί ισχύει η αρχή της επαλληλίας, όπως ακριβώς ισχύει για τ ηλεκτρικό πεδί, πρεκτείνντας την πι πάνω συζήτηση μπρύμε να υπλγίσυμε τ πεδί Β πυ δημιυργεί ένα
Κεφάλαι 9 3 Δημήτρις Βλάχς σύνλ κινύμενων ηλεκτρικών φρτίων μέσα σ έναν αγωγό. Δηλαδή πρσθέτντας τα επιμέρυς μαγνητικά πεδία όλων των κινυμένων φρτίων, μπρύμε να υπλγίζυμε τ συνλικό μαγνητικό πεδί πυ παράγεται από έναν ρευματφόρ αγωγό. 9.3 Μαγνητικό πεδί ρευματφόρυ αγωγύ Νόμς των it και Svt Έστω ότι ένας αγωγός διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα εντάσεως. Θεωρύμε ένα στιχειώδες τμήμα τυ με μήκς dl. Εάν η πυκνότητα όγκυ τυ αριθμύ των ηλεκτρικών φρτίων στν αγωγό είναι n, τότε τ στιχειώδες φρτί dq πυ κινείται στν στιχειώδες όγκ dv, πίς αντιστιχεί στ μήκς dl είναι dq nqadl (9.3) όπυ Α είναι η διατμή τυ αγωγύ και q τ μέγεθς κάθε κινύμενυ φρτίυ. Τα κινύμενα φρτία με ταχύτητα υ στ μήκς dl, ισδυναμύν με φρτί dq, πότε τ αντίστιχ στιχειώδες μαγνητικό πεδί d σε απόσταση δίνεται ως ˆ dqυ dqsin d n ˆ (9.4) 4 4 με διεύθυνση ˆn πάντα κάθετη στ επίπεδ πυ ρίζυν τα υ και διανύσματα, όπως φαίνεται στ σχ. 9.. H εξ. 9.4 μέσω της εξ. 9.3 δίνει Όμως η ένταση τυ ηλεκτρικύ ρεύματς δίνεται ως dq 9.3 nq A (9.6) dt πότε η εξ. 9.5 γίνεται d dl sin 4 (9.7) ή σε διανυσματική μρφή dl ˆ 4 d (9.8) Τ dl είναι διάνυσμα μήκυς dl και nqadl sin d (9.5) 4 κατεύθυνσης αυτής τυ ηλεκτρικύ ρεύματς εντός τυ αγωγύ. Ολκληρώνντας την εξίσωση 9.8 ως πρς τ μήκς l παίρνυμε ˆ dl Σχήμα 9. (α) Στιχειώδες μαγνητικό πεδί d, πυ πρκαλείται από στιχειώδες τμήμα ρευματφόρυ αγωγύ μήκυς dl. (β) Δυναμικές γραμμές μαγνητικύ πεδίυ πυ δημιυργεί ένας ευθύγραμμς ρευματφόρς αγωγός. ˆ 4 dl (9.9) θ υ (α) d d d d.
Κεφάλαι 9 4 Δημήτρις Βλάχς Η εξ. 9.9 υπλγίζει τ συνλικό μαγνητικό πεδί πυ δημιυργεί ρευματφόρς αγωγός στ σημεί τυ χώρυ πυ ρίζεται από την απόσταση, και είναι γνωστή ως νόμς των it και Svt. Oι Γάλλι Jen ptiste it (1774-186) και Felix Svt (1791-1841), μελέτησαν την σχέση τυ μαγνητισμύ με τα ηλεκτρικά ρεύματα και τ 180 ανακίνωσαν (όπως και Δανός Hns Chistin Oested) ότι ένας ρευματφόρς αγωγός ασκεί δύναμη πάνω σε μαγνήτες. Jen-ptiste it (1774-186) Felix Svt (1791-1841) 9.3.1 Μαγνητικό πεδί ευθύγραμμυ ρευματφόρυ αγωγύ Ας πρσπαθήσυμε τώρα να υπλγίσυμε τ μαγνητικό πεδί ενός ευθύγραμμυ ρευματφόρυ αγωγύ, με τν νόμ των it και Svt. Έστω L τ μήκς τυ αγωγύ. Ζητάμε να υπλγίσυμε τ μαγνητικό πεδί Β στην μεσκάθετ τυ αγωγύ σε απόσταση x απ αυτόν στ σημεί Ο όπως φαίνεται στ σχ. 9.3. Έστω στιχειώδες μήκς dl τυ αγωγύ τ πί είναι στην κάθετη διεύθυνση y. σχύει δηλαδή dy=dl. Εφαρμόζντας τν νόμ των it και Svt έχυμε για τ μέτρ τυ d L dy O y θ π-θ Άρα παίρνυμε x Σχήμα 9.3 Μαγνητικό πεδί Β στην μεσκάθετ ευθύγραμμυ ρευματφόρυ αγωγύ σε απόσταση x απ αυτόν. d x d όπυ, dy sin 4 (9.10) x y (9.11) Επμένως έχυμε dy sin d 4 x y Όμως, sin sin( ) x x y (9.1) (9.13) x dy d 4 ( x ) 3/ y (9.14) Για να βρύμε τ συνλικό πεδί Β τυ αγωγύ στ σημεί x θα πρέπει να λκληρώσυμε την εξ. 9.14 ως πρς y σε όλ τ μήκς τυ αγωγύ, δηλαδή από L σε L. Επμένως
Κεφάλαι 9 5 Δημήτρις Βλάχς L L xdy xdy x y L 3/ 3/ ( x y ) L( x y ) x x y x L x L L 4 4 4 4 (9.15) L Όταν τ μήκς τυ αγωγύ είναι πλύ μεγάλ, L>>x, η εξ. 9.15 γίνεται x (9.16) Η εξ. 9.16 δίνει τ μαγνητικό πεδί ευθύγραμμυ ρευματφόρυ αγωγύ σε απόσταση x απ αυτόν όταν τ μήκς τυ είναι αρκετά μεγαλύτερ απ αυτήν την απόσταση. Λόγω αξνικής συμμετρίας, τ μέτρ τυ πεδίυ Β είναι σταθερό σε κάθε σημεί τυ χώρυ τ πί απέχει απόσταση x, ενώ η διεύθυνση τυ Β είναι εφαπτμενική τυ κύκλυ ακτίνας x με φρά αυτή τυ δεξιόστρφυ κχλία (βλέπε σχήμα 9.β). 9.3. Μαγνητικό πεδί κυκλικύ ρευματφόρυ αγωγύ * Ας υπθέσυμε τώρα ότι έχυμε έναν κυκλικό αγωγό (βρόχ) ακτίνας και ζητάμε να υπλγίσυμε τ μαγνητικό πεδί Β στ σημεί Ο, τ πί απέχει απόσταση x από τ κέντρ Κ τυ βρόχυ και ανήκει στην κάθετη ευθεία πυ περνά από τ Κ όπως φαίνεται στ σχ. 9.4. Από τν νόμ των it και Svt, (εξ. 9.8) και θεωρώντας ότι dl ˆ και επμένως dl ˆ dl, και επίσης λαμβάνντας υπόψη ότι παίρνυμε τελικά x d 4 dl x (9.17) όπυ η κατεύθυνση τυ πεδίυ d είναι κάθετη στη διεύθυνση. Τ διάνυσμα d, αναλύεται σε δυ συνιστώσες, τις d x και d y, όπυ dx dcs και dy dsin. Επειδή τ πρόβλημα παρυσιάζει κυλινδρική συμμετρία γύρω από τν άξνα x, διότι για κάθε dl υπάρχει ένα αντιδιαμετρικό πυ δίνει αντίθετ d y. Τα αντιδιαμετρικά dl δίνυν τ ίδι d x άρα τελικά θα έχυμε μαγνητικό πεδί μόν στην ριζόντια συνιστώσα. Για την γωνία θ ισχύει ότι cs ( x ) (19.18) dx x Διότι ισχύει 3/ ( x ) x
Κεφάλαι 9 6 Δημήτρις Βλάχς Για να υπλγίσυμε τ συνλικό πεδί Β τυ κυκλικύ ρευματφόρυ αγωγύ σε απόσταση x από τ κέντρ τυ πάνω στην κάθετη διεύθυνση πυ περνά απ αυτό, πρέπει να λκληρώσυμε την εξ. 9.17 ως πρς dl πάνω σ όλη την περιφέρεια τυ αγωγύ. Άρα dl dl d dl x 3 3 4 x 4 ( x ) ( x ) 4 ( x ), (9.19) 3 3 4 ( x ) ( x ) Στ κέντρ της σπείρας, όπυ x =0, τ πεδί θα είναι ενώ στ κέντρ τυ πηνίυ θα είναι y K dl θ d y θ O d x Σχήμα 9.4 Μαγνητικό πεδί Β ενός κυκλικύ ρευματφόρυ αγωγύ σε απόσταση x από τ κέντρ και πάνω στην κάθετη ευθεία πυ περνά από αυτό. x x d z Τ μαγνητικό πεδί Β έχει διεύθυνση κάθετη στ επίπεδ τυ βρόχυ και φρά αυτή τυ d x σχήματς 9.4. Εάν έχυμε έναν ρευματφόρ αγωγό με Ν βρόχυς (σπείρες), όπως συμβαίνει στην περίπτωση ενός επαγωγέα ή αλλιώς πηνίυ, τότε κάθε βρόχς θα συνεισφέρει τ ίδι στ συνλικό πεδί Β πότε θα έχυμε (9.1) N (9.) N ( ) 3 x (9.0) Παράδειγμα 9.1 Μαγνητικό πεδί ημικυκλικύ ρευματφόρυ αγωγύ Τ σύρμα τυ σχήματς 9.5 διαρρέται από ρεύμα. Πια είναι η μαγνητική επαγωγή Β στ κέντρ C τυ ημικυκλικύ τμήματς ακτίνας R πυ πρέρχεται από α) καθένα ευθύγραμμ τμήμα μήκυς l, β) τ ημικυκλικό τμήμα και γ) λόκληρ τ σύρμα. Λύση l dl R Β C C Σχήμα 9.5 Ρευματφόρς αγωγός πυ απτελείται από ημικύκλι ακτίνας R και δυ ευθύγραμμα τμήματα μήκυς l τ καθένα (παράδειγμα 9.1). l
Κεφάλαι 9 7 Δημήτρις Βλάχς α) Από τν νόμ των it και Svt τ κάθε ευθύγραμμ τμήμα μήκυς l δημιυργεί στιχειώδες μαγνητικό πεδί ldl ˆ 4 d l (1) Όμως για τα ευθύγραμμα τμήματα ισχύει dl // ˆ, πότε dl ˆ 0. Άρα στ σημεί C τ d l =0, και επμένως τα ευθύγραμμα τμήματα δεν δημιυργύν μαγνητικό πεδί. β) Εφαρμόζντας την σχέση 1 για στιχειώδες τμήμα dl τυ ημικυκλίυ ακτίνας R, έχυμε ˆ sin 90 d l 4 R 4 R 4 R 4 R 4R R ldl dl d l dl R 0 γ) Τ λικό μαγνητικό πεδί στ σημεί C θα είναι τ άθρισμα τυ μαγνητικύ πεδίυ πυ δημιυργεί κάθε τμήμα τυ σύρματς. Επειδή όμως τα ευθύγραμμα τμήματα δίνυν μηδενικό πεδί θα έχυμε συνλικό πεδί στ C C 4R με κατεύθυνση πρς τα μέσα της σελίδας όπως φαίνεται στ σχήμα 9.5 (κανόνας δεξιύ χεριύ). Παράδειγμα 9. Μαγνητικό πεδί τετράγωνυ ρευματφόρυ αγωγύ Τετράγωνς βρόχς από σύρμα πλευράς α διαρρέεται από ρεύμα όπως δείχνει τ σχ. 9.6. Δείξτε ότι τ μαγνητικό πεδί Β στ κέντρ τυ βρόχυ δίνεται από την σχέση. Λύση Για να βρύμε τ μαγνητικό πεδί Β στ κέντρ τυ τετραγωνικύ βρόχυ, αρκεί να εύρύμε τ Β κάθε πλευράς τυ τετραγώνυ και να τα πρσθέσυμε. Έτσι υπλγίζω πρώτα τ μαγνητικό πεδί Β α πυ σχηματίζει η πλευρά α στ κέντρ. Ένα στιχειώδες μήκς dl της πλευράς δημιυργεί πεδί d α στ κέντρ πυ δίνεται από τν νόμ των it-svt ως Όμως και dl ˆ dl sin d α d α (1) 4 4 / sin sin () ( ) l (3) l dl θ α Σχήμα 9.6 Τετράγωνς ρευματφόρς βρόχς διαρρέεται από ρεύμα και σχηματίζει μαγνητικό πεδί Β στ κέντρ τυ (παράδειγμα 9.). α
Κεφάλαι 9 8 Δημήτρις Βλάχς Οι εξισώσεις και 3 στην 1 δίνυν d α dl dl dl d 4 [( ) l ] [( ) l ] 4 [( ) l ] 4 [( ) l ] α 1/ 3/ 3/ Ολκληρώνντας την εξ. 4 ως πρς l από l/ έως l/ παίρνυμε (4) α / dl / dl dl ( ) ( ) 4 / 3/ 4 / 3/ 4 1/ [( ) l ] [( ) l ] ( ) [( ) l ] ( ) 1 4 ( ) [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] 4 ( ) [( ) ] 4 1/ 1/ 1/ (5) Επειδή όλες ι πλευρές τυ τετραγωνικύ βρόχυ είναι ισδύναμες, για να βρύμε τ λικό μαγνητικό πεδί στ κέντρ πλλαπλασιάζυμε την εξ. 5 επί 4. Έτσι παίρνυμε τελικά 4 4 Η κατεύθυνση τυ μαγνητικύ πεδίυ είναι κάθετη στ επίπεδ της σελίδας και πρς τα «μέσα». / / 3 Παράδειγμα 9.3 Μαγνητικό πεδί περιστρεφόμενυ φρτισμένυ δίσκυ Θεωρείστε ότι ένας λεπτός δίσκς ακτίνας R είναι τπθετημένς έτσι ώστε να περιστρέφεται γύρω από τν άξνα z στ επίπεδ xy. Ο δίσκς έχει θετική σταθερή επιφανειακή πυκνότητα φρτίυ σ και γωνιακή ταχύτητα ω. Απδείξτε ότι τ μαγνητικό πεδί στ κέντρ τυ δίσκυ είναι Λύση 1 R. Καταρχήν εφόσν δίσκς είναι πλύ λεπτός θα θεωρήσυμε ότι είναι δισδιάστατς δηλαδή έχει μηδενικό πάχς. Έστω τώρα ένα στιχειώδες τμήμα τυ κυκλικύ δίσκυ με πλάτς d ώστε να δημιυργείται ένας κυκλικός δακτύλις, πίς περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω. Λόγω της περιστρφής z ω Β y Σχήμα 9.7 Φρτισμένς λεπτός δίσκς ακτίνας R περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω (παράδειγμα 9.3). R d x 3 dx x Τ αόριστ λκλήρωμα της μρφής, με k μια σταθερά, έχει λύση. Εδώ έχυμε k=α/. 3/ 1/ ( x k ) k ( x k )
Κεφάλαι 9 9 Δημήτρις Βλάχς τυ δακτυλίυ τ φρτί dq τυ δακτυλίυ κινείται σε κυκλική τρχιά ώστε να δημιυργείται ένα ρεύμα dq (1) dt Τ φρτί dq τυ δακτυλίυ είναι dq da () ενώ τ εμβαδόν τυ δακτυλίυ είναι da d (3) Η εξ. από την 3 γίνεται dq d (4) Η γωνιακή ταχύτητα τυ δίσκυ είναι (5) Θεωρώντας τν δακτύλι σαν έναν κυκλικό ρευματφόρ αγωγό με ρεύμα γράφυμε για ένα στιχειώδες μήκς dl τυ δακτυλίυ dl ˆ sin 90 d d dl d dq dl (6) 4 4 4 dt Η ταχύτητα τυ φρτίυ dq στν κυκλικό δακτύλι είναι (5) dl dl (7) dt dt Η εξ. 6 λόγω των 4 και 7 γίνεται d 4 4 (8) d d d Τ στιχειώδες πεδί d δημιυργείται από τν κυκλικό δακτύλι πάχυς d και είναι κάθετ στ επίπεδ τυ δίσκυ στ κέντρ τυ όπως φαίνεται στ σχ. 9.6. Για να υπλγίσυμε τ συνλικό πεδί Β όλυ τυ δίσκυ πρέπει να λκληρώσυμε την εξ. 8 ως πρς την ακτίνα. Έτσι έχυμε R 4 R d d 0. (α) F F Σχήμα 9.8 Δύ ρευματφόρι αγωγί δημιυργύν τέτια μαγνητικά πεδία ώστε ι μαγνητικές δυνάμεις πυ ασκύνται πάνω στν καθένα αγωγό να έχυν σαν απτέλεσμα ι αγωγί (α) να έλκνται όταν τα ρεύματα είναι μόρρπα και (β) να απωθύνται όταν τα ρεύματα είναι αντίρρπα... (β) F F τ πί είναι κάθετ στ κέντρ τυ δίσκυ όπως δείχνει τ σχ. 9.7. 9.4 Μαγνητική δύναμη μεταξύ παραλλήλων ρευματφόρων αγωγών Είδαμε πρηγυμένως ότι ένας ευθύγραμμς ρευματφόρς αγωγός
Κεφάλαι 9 10 Δημήτρις Βλάχς μεγάλυ μήκυς παράγει μαγνητικό πεδί πυ δίνεται από την εξίσωση 9.16. Ας υπθέσυμε ότι έχυμε δυ παράλληλυς ρευματφόρυς αγωγύς 1 και ι πίι διαρρένται από μόρρπα ρεύματα 1 και, όπως φαίνεται στ σχ. 9.8α. Οι αγωγί απέχυν μεταξύ τυς απόσταση α, και τ μαγνητικό πεδί πυ δημιυργεί ένας αγωγός στ χώρ θα εξασκεί μια μαγνητική δύναμη F στν άλλ αγωγό και αντίστρφα. Έτσι λιπόν τ πεδί πυ δημιυργεί αγωγός 1 στην περιχή τυ 1 αγωγύ είναι 1, πότε η δύναμη F πυ ασκείται στν αγωγό είναι 1l F l 1 F l1, ή αλλιώς F, όπυ l είναι τ μήκς τυ αγωγύ. Η δύναμη ανά F 1 μνάδα μήκυς πυ ασκείται από τν αγωγό 1 στν αγωγό είναι. l Με ανάλγ τρόπ αγωγός δημιυργεί μαγνητικό πεδί Β στ χώρ τυ αγωγύ 1, με μέτρ. Η δύναμη μαγνητική δύναμη F 1 πυ ασκείται πάνω στν αγωγό 1 από τ μαγνητικό 1l πεδί Β τυ αγωγύ είναι F1 1l F1 1l, δηλαδή η δύναμη F 1 είναι ίση και αντίθετη της δύναμης F πυ ασκείται στν αγωγό από τ μαγνητικό πεδί Β 1 τυ αγωγύ 1. Απδείξαμε λιπόν ότι όταν τα ρεύματα των αγωγών είναι μόρρπα, ι αγωγί έλκνται. Αναλόγως μπρεί να απδειχθεί ότι όταν τα ρεύματα των αγωγών είναι αντίρρπα ι αγωγί απωθύνται όπως φαίνεται στ σχήμα 9.8β. Παράδειγμα 9.4 Άπωση ρευματφόρων αγωγών Δυ παράλληλι αγωγί μήκυς 0.5 m καθένας, διαρρένται από αντίρρπα ρεύματα μέτρυ 10 Α όπως φαίνεται στ σχ. 9.9. α) Πόσ πρέπει να απέχυν μεταξύ τυς ι αγωγί εάν πρέπει να απωθύνται με δύναμη 1 Ν. Δίνεται μ =4π10-7 Wb/A. Λύση F Β Ο κάθε αγωγός δημιυργεί στη θέση τυ άλλυ μαγνητικό πεδί (1) α Β 1 Σχήμα 9.9 Μαγνητικές δυνάμεις μεταξύ παραλλήλων ρευματφόρων αγωγών με αντίρρπα ρεύματα (παράδειγμα 9.4). Έτσι κάθε αγωγός ασκεί στν άλλ δύναμη F F l () Η δύναμη F είναι αμιβαία απωστική λόγω των μόρρπων ρευμάτων. Έτσι η εξ. 1 στη δίνει
Κεφάλαι 9 11 Δημήτρις Βλάχς 7 l l 4π 10 Wb/A.m 10 0.5m F l F 10μm πf π 1Ν Παράδειγμα 9.5 Μαγνητικό πεδί παραλλήλων ρευματφόρων αγωγών Δυ μακριά ευθύγραμμα σύρματα πυ απέχυν απόσταση d, διαρρένται από ίσα αντιπαράλληλα ρεύματα όπως φαίνεται στ σχ. 9.10. Δείξτε ότι τ μαγνητικό πεδί Β στ σημεί P πυ ισαπέχει από τα σύρματα δίνεται από την σχέση d. (4 R d ) Λύση Στ σημεί P κάθε αγωγός δημιυργεί μαγνητικό πεδί κάθετ στην απόσταση στ επίπεδ xy, όπως φαίνεται στ σχ. 9.10. Τα πεδία των δυ αγωγών είναι 1 και και έχυν ίσα μέτρα 1 (1) Για να βρύμε τ συνλικό πεδί στ σημεί P πρσθέτυμε διανυσματικά τα 1 και και έχυμε: d R φ Β 1y Σχήμα 9.10 Μαγνητικό πεδί δυ παράλληλων ρευματφόρων αγωγών σε απόσταση R από την μεσκάθετ της απόστασής τυς d (παράδειγμα 9.5). P Β y y φ θ 1 Β 1x Β x Β x Στν άξνα x: Σν άξνα y: cs cs cs. () x 1x x (1) x 1 x 1 sin sin 0 (3) y 1y y (1) y 1 y Έτσι στ σημεί P υπάρχει μόν Β x συνιστώσα για τ μαγνητικό πεδί Β, όπυ cs cs (4) Από την γεωμετρία τυ σχήματς 9.10 συμπεραίνυμε ότι 90 cs sin (5) σχύει όμως d/ d sin sin (6) Οι εξισώσεις 5 και 6 στην 4 δίνυν d (7) 1 b F F 1 F 3 + - F 4 Σχήμα 9.11 Ορθγώνις βρόχς πυ διαρρέεται από ρεύμα σε περιχή μαγνητικύ πεδίυ ρευματφόρυ αγωγύ (παράδειγμα 9.6). c
Κεφάλαι 9 1 Δημήτρις Βλάχς Ξανά από την γεωμετρία τυ σχήματς παίρνυμε d d ( ) R R (8) 4 Η εξ. 8 στην 7 δίνει d d d d d 4 R ( d 4 R ) ( R ) ( ) 4 4 Τ πεδί Β είναι στην κατεύθυνση τυ άξνα +x. Παράδειγμα 9.6 Μαγνητική δύναμη σε ρθγώνι ρευματφόρ βρόχ Τ ευθύγραμμ μεγάλυ μήκυς σύρμα τυ σχήματς 9.11 διαρρέεται από ρεύμα 1 =0 Α. Ο ρθγώνις βρόχς τυ πίυ ι μεγάλες πλευρές είναι παράλληλες στ σύρμα διαρρέεται από ρεύμα =8 Α. Υπλγίστε τ μέτρ και την κατεύθυνση της συνισταμένης δύναμης πυ ασκείται στν βρόχ από τ μαγνητικό πεδί τυ σύρματς. Δίννται ι απστάσεις =1. cm, b=3.8 cm και c=6. cm. Λύση 1 Τ μαγνητικό πεδί πυ δημιυργεί ευθύγραμμς αγωγός είναι, όπυ είναι η απόσταση από τν αγωγό. Η συνισταμένη δύναμη πυ ασκείται πάνω στν βρόχ από τ μαγνητικό πεδί Β τυ αγωγύ θα είναι τ άθρισμα των τεσσάρων δυνάμεων πυ ασκύνται στα τέσσερα τμήματα τυ ρθγωνίυ βρόχυ F = F1 F F3 F 4 Γενικά η δύναμη πάνω σε κάθε τμήμα τυ βρόχυ είναι κάθε τμήμα μήκυς l ισχύει F l. Επειδή τ Β είναι κάθετ σε F l. Τα δυ κάθετα στν αγωγό τμήματα τυ βρόχυ δεν συνεισφέρυν στην συνισταμένη δύναμη διότι ι δυνάμεις είναι αντίθετες και εξυδετερώννται F F. Επμένως ισχύει 4 F F F, όπυ η F 1 είναι αντίθετης κατεύθυνσης από την F 3. σχύει Ομίως F l F c 1 3 1 1 1 1 1 όπυ l 1 =c=6. cm και =1. cm.
Κεφάλαι 9 13 Δημήτρις Βλάχς F l F c b 1 3 3 3 3 όπυ l 3 =c=6. cm και b=3.8 cm. 1c 1 1 Άρα F F1 F 3 F ( ). b Τελικά παίρνυμε F c b b 4.56 10 m 7 1 4 10 (W/Am ) 08A 6.10 m (3.8 1.) 10 m 4 ( ) F 1.1310 N 4 9.5 Ο νόμς τυ Ampee Στην περίπτωση τυ ηλεκτρισμύ, είδαμε ότι για να υπλγίσυμε τ ηλεκτρικό πεδί γύρω από κάπιες συμμετρικές κατανμές φρτίυ, νόμς τυ Guss είναι πλύ πι εύχρηστς από τν νόμ τυ Culmb. Κάτι αντίστιχ συμβαίνει και στν μαγνητισμό. Σε περιπτώσεις μεγάλης συμμετρίας των ηλεκτρικών ρευμάτων, τα μαγνητικά πεδία πυ σχηματίζνται μπρύν να υπλγιστύν πι εύκλα εφαρμόζντας τν νόμ τυ Ampee αντί τυ νόμυ των it-svt. Ο νόμς τυ Ampee εκφράζεται από τ επικαμπύλι λκλήρωμα τυ μαγνητικύ πεδίυ Β σε μια κλειστή διαδρμή, δηλαδή. dl. Ο υπλγισμός τυ λκληρώματς μπρεί να γίνει σχετικά εύκλα για ρισμένα απλά και συμμετρικά ηλεκτρικά ρεύματα. Για παράδειγμα, είδαμε πι πάνω ότι για τν μεγάλυ μήκυς ευθύγραμμ αγωγό, (εδάφι 9.3.1), τ μαγνητικό πεδί παρυσιάζει μια κυκλική συμμετρία γύρω από τν αγωγό όπως φαίνεται στ σχ. 9.1. Έτσι αν υπλγίσυμε τ λκλήρωμα. dl για κύκλ ακτίνας γύρω από ευθύγραμμ αγωγό μεγάλυ μήκυς, έχυμε.dl dl cs0 dl dl d.dl (9.3) Η εξ. 9.3 είναι γνωστή ως νόμς τυ Ampee, όπυ λέγει ότι τ επικαμπύλι λκλήρωμα τυ εσωτερικύ γινμένυ τυ μαγνητικύ πεδίυ και της απόστασης κατά μήκς μιας κλειστής καμπύλης είναι ανάλγ τυ ρεύματς πυ περικλείει η κλειστή καμπύλη. Ο νόμς ανακαλύφθηκε από τν Γάλλ φυσικό και μαθηματικό Andé-Mie Ampèe (1775 1836) τ 186, γι αυτό και φέρει τ όνμά τυ. Όπως αναφέραμε στ κεφ. 6, πρς τιμήν τυ μεγάλυ Γάλλυ επιστήμνα, η μνάδα τυ ηλεκτρικύ ρεύματς ρίστηκε να είναι τ Ampee (1A). Αντιστρόφως εάν γνωρίζυμε την ισχύ τυ νόμυ τυ Ampee, μπρύμε να υπλγίσυμε την ένταση τυ μαγνητικύ πεδίυ πυ δημιυργεί κάθετς ευθύγραμμς ρευματφόρς αγωγός dl Σχήμα 9.1 Μαγνητικό πεδί ευθύγραμμυ ρευματφόρυ αγωγύ σε σταθερή απόσταση από αυτόν.
Κεφάλαι 9 14 Δημήτρις Βλάχς τυ σχήματς 9.1 σε απόσταση. Λόγω συμμετρίας τυ πρβλήματς για σταθερό δεν θα πρέπει να αλλάζει η ένταση τυ πεδίυ Β. Έτσι επιλέγντας την κλειστή κυκλική διαδρμή ακτίνας γύρω από τν αγωγό (σχ. 9.1) και εφαρμόζντας τν νόμ τυ Ampee, έχυμε.dl dl cs0 dl dl Παρατηρύμε ότι η σχέση για τ πεδί Β πυ καταλήξαμε εφαρμόζντας τν νόμ τυ Ampee είναι η ίδια με αυτήν πυ καταλήξαμε για τ ίδι πρόβλημα εφαρμόζντας τν νόμ των it και Svt (βλέπε εξ. 9.16). Η διαφρά με την εφαρμγή τυ νόμυ τυ Ampee είναι ότι δηγηθήκαμε στ ίδι συμπέρασμα αρκετά πι εύκλα. Αυτό δεν ισχύει πάντα και εξαρτάται από την φυσική τυ πρβλήματς και τν βαθμό συμμετρίας πυ παρυσιάζει. Στην πρηγύμενη περίπτωση για τν υπλγισμό τυ λκληρώματς. dl διαλέξαμε μια συγκεκριμένη συμμετρική διαδρμή γύρω από τν αγωγό, η πία ήταν κυκλική. Ας δκιμάσυμε τώρα να υπλγίσυμε τ κλειστό επικαμπύλι λκλήρωμα. dl σε μια τυχαία κλειστή διαδρμή όπως δείχνει τ σχ. 9.13. Τότε θα έχυμε. dl dl cs (9.4) ds d όπυ cs cs (9.5) dl dl με την dφ να είναι η γωνία με την πία φαίνεται η απόσταση dl από τν αγωγό, και επειδή η απόσταση ds είναι απειρελάχιστη ισχύει ds=dφ (σχ.9.13). Η εξ. 9.5 στην 9.4 δίνει d.dl d.dl d d d Επμένως καταλήγυμε ότι τ κλειστό επικαμπύλι λκλήρωμα. dl στην κλειστή διαδρμή γύρω από έναν ρευματφόρ αγωγό, δεν εξαρτάται από την καμπύλη λκλήρωσης ύτε και από την σχετική τυ θέση ως πρς τν αγωγό, και είναι πάντα ίσ με τ γινόμεν της διαπερατότητας τυ κενύ επί τ περικλείν ρεύμα περ πυ διαρρέει τν αγωγό. Αυτή είναι και η ακριβής διατύπωση τυ νόμυ τυ Ampee πυ μαθηματικά εκφράζεται (α) (β) Σχήμα 9.13 α) Τυχαία κλειστή διαδρμή γύρω από ευθύγραμμ ρευματφόρ αγωγό μεγάλυ μήκυς. β) Η ίδια διαδρμή σε κάθετη άπψη. Τ μαγνητικό πεδί Β ρίζεται σε τυχαία απόσταση από τν ρευματφόρ αγωγό.. dφ θ ds dl
Κεφάλαι 9 15 Δημήτρις Βλάχς από την εξίσωση.dl (9.6) περικλείν Πρέπει να σημειώσυμε ότι νόμς τυ Ampee όπως διατυπώθηκε παραπάνω ισχύει για σταθερά ρεύματα και μαγνητικά πεδία πυ δεν μεταβάλλνται με τ χρόν. Επίσης εάν η κλειστή διαδρμή πυ επιλέγυμε να εφαρμόσυμε τν νόμ τυ Ampee περιέχει περισσότερυς από έναν ρευματφόρυς αγωγύς, τ συνλικό περικλείν ρεύμα θα είναι τ αλγεβρικό άθρισμα των ρευμάτων όπυ μόρρπα ρεύματα πρστίθενται και αντίρρπα αφαιρύνται. Παράδειγμα 9.7 Να ευρεθεί η έκφραση τυ μαγνητικύ πεδίυ σε απόσταση από τ κέντρ μακριύ κυλινδρικύ σύρματς ακτίνας R όπυ <R. Τ σύρμα διαρρέεται από ρεύμα i μιόμρφα απλωμέν πάνω στην κάθετη τμή τυ όπως φαίνεται στ σχ. 9.14. Λύση Εφόσν τ ρεύμα στν αγωγό είναι μιόμρφα κατανεμημέν στην διατμή τυ, η πυκνότητα ρεύματς J είναι σταθερή ίση με J i A i R J (1) Ζητάμε την ένταση τυ μαγνητικύ πεδίυ Β σε απόσταση από τ κέντρ τυ αγωγύ. Η τιμή τυ πεδίυ εξαρτάται μόν από την απόσταση. Για την κλειστή κυκλική διαδρμή ακτίνας, τ πεδί Β είναι σταθερύ μέτρυ και εφαπτόμεν πάντα στην περιφέρεια (κανόνας δεξιύ χεριύ, σχ. 9.1). Εφαρμόζντας τ νόμ τυ Ampee και λόγω της κυκλικής συμμετρίας γράφυμε.dl i () όπυ i είναι τ περικλειώμεν ρεύμα στην κλειστή κυκλική διαδρμή. Τ ρεύμα i μπρεί να υπλγιστεί από την πυκνότητα ρεύματς γράφντας i i J J i J (3) A Η εξ. 3 λόγω της 1 δίνει i i i i (4) R R Η εξ. γράφεται τελικά i i.dl R R i. i dl Σχήμα 9.14 Κάθετη τμή κυλινδρικύ αγωγύ πυ διαρρέεται από σταθερό ρεύμα i. Κυκλικός δρόμς ακτίνας για τν υπλγισμό τυ μαγνητικύ πεδίυ Β στην απόσταση από τ κέντρ τυ αγωγύ (παράδειγμα 9.7) R
Κεφάλαι 9 16 Δημήτρις Βλάχς Παρατηρύμε ότι για =R η επαγωγή δίνεται από την γνωστή σχέση 9.16 i R b Σχήμα 9.15 Ομαξνικό καλώδι πυ διαρρέεται από αντίρρπα ρεύματα (παράδειγμα 9.8). 1 c Παράδειγμα 9.8 Ομαξνικό καλώδι Συμπαγής κυλινδρικός αγωγός ακτίνας α περιβάλλεται από μνωτικό περίβλημα ακτίνων α και b, πυ με τη σειρά τυ περιβάλλεται από αγώγιμ περίβλημα ακτίνων b και c, όπως δείχνει τ σχήμα 9.15. Αν κεντρικός αγωγός διαρρέεται από ρεύμα 1 και τ αγώγιμ περίβλημα από ρεύμα σε αντίθετες κατευθύνσεις τ ένα ως πρς τ άλλ, να εύρετε μια σχέση για τ μέτρ τυ μαγνητικύ πεδίυ α) σε σημεία πυ απέχυν από τ κέντρ απόσταση, όπυ <<b, και β) σε σημεία έξω από τ σύστημα, >c. γ) Εάν τα ρεύματα είναι της ίδιας φράς πως είναι η απάντηση των α και β ερωτημάτων. Λύση α) Για <<b θεωρώ κυκλική διαδρμή ακτίνας και εφαρμόζω τ νόμ Ampee όπυ 1.dl 1. dl 1 dl 1 1. β) Για >c εφαρμόζυμε ξανά τν νόμ τυ Ampee για κυκλική διαδρμή ακτίνας και έχυμε 1.dl. dl 1 dl 1 1 Ανάλγα τ πι ρεύμα είναι μεγαλύτερ, ανάλγη θα είναι και η κατεύθυνση τυ μαγνητικύ πεδίυ σύμφωνα με τν κανόνα τυ δεξιύ χεριύ. γ) Όταν ι κατευθύνσεις των δυ ρευμάτων 1 και είναι ίδιες τότε η απάντηση στ α ερώτημα δεν αλλάζει ενώ για τ β ερώτημα τα ρεύματα πρστίθενται και τελικά παίρνυμε ( 1 ) 9.6 Μαγνητικό πεδί σωληνειδύς Ας θεωρήσυμε τ σωληνειδές τυ σχήματς 9.16 τ πί διαρρέεται από σταθερό ρεύμα και έχει γραμμική πυκνότητα σπειρών n. Έχυμε ήδη υπλγίσει παραπάνω ότι τ μαγνητικό πεδί στ εσωτερικό μιας κυκλικής σπείρας δίνεται από την εξ. 9.1. Για να υπλγίσυμε τ μαγνητικό
Κεφάλαι 9 17 Δημήτρις Βλάχς πεδί Β στ εσωτερικό τυ πηνίυ, μπρύμε να εφαρμόσυμε τ νόμ τυ Ampee διαλέγντας τη διαδρμή ACD τυ σχήματς 9.16. Έτσι λιπόν έχυμε διότι και C C D A A.dl.dl.dl.dl.dl 0 0 0 L D περικλείν περικλείν A C D.dl.dl 0, εφόσν d C.dl 0, μιας και Β=0 σε μεγάλη απόσταση από τ πηνί σημειώστε ότι τις πλευρές A και CD τυ δρόμυ ACD μπρύμε να την θεωρήσυμε όσ μακριά θέλυμε από τ πηνί. Τ περικλείν ρεύμα είναι τ ρεύμα πυ διαρρέει κάθε σπείρα επί τν αριθμό των σπειρών πυ αντιστιχύν στ μήκς L τυ πηνίυ. Εάν τ πηνί περιέχει n σπείρες ανά μνάδα μήκυς και είναι τ ρεύμα πυ διαρρέει την κάθε σπείρα, τ συνλικό ρεύμα πυ περικλείεται στν κλειστό δρόμ ACD είναι πότε περικλείν περικλείν nl.dl L nl n (9.7) Η εξ. 9.7 εκφράζει τ μαγνητικό πεδί στ εσωτερικό μέρς τυ πηνίυ. Δεδμένυ ότι η πλευρά A δεν συμπίπτει με τν άξνα τυ σωληνειδύς, τ πεδί Β στ κέντρ τυ είναι σταθερό σ όλ τ μήκς τυ πηνίυ εξαιρυμένων των περιχών κντά στα άκρα. Συμπερασματικά λιπόν τ μαγνητικό πεδί Β ενός σωληνειδύς πυ διαρρέεται από ρεύμα, είναι μγενές στ εσωτερικό τυ, ανεξάρτητ της θέσης μέσα σ αυτό. Η διεύθυνση τυ πεδίυ Β, καθρίζεται από τν κανόνα τυ δεξιύ χεριύ με τα δάκτυλα να δείχνυν την φρά τυ ρεύματς και τν αντίχειρα αυτή τυ πεδίυ. A Σχήμα 9.16 Σωληνειδές με γραμμική πυκνότητα σπειρών n διαρρέεται από ρεύμα. Θεωρώντας κλειστή διαδρμή ACD και εφαρμόζντας τν νόμ τυ Ampee μπρύμε να υπλγίσυμε τ μαγνητικό πεδί Β στ εσωτερικό τυ πηνίυ. C D ΕΡΩΤΗΣΕΣ ΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΟΥ 9 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Κεφάλαι 9 18 Δημήτρις Βλάχς Κ Π9.1 Υπλγίστε τ μαγνητικό πεδί πυ δημιυργείται στ σημεί Ο, Ο α α θ Λ Μ από τ ρευματφόρ τμήμα τυ αγωγύ ΚΛΜΝ τυ σχήματς 9.17. Τ τμήμα ΛΜ είναι τμήμα κύκλυ ακτίνας α και επίκεντρης γωνίας θ. Τ ρεύμα τυ αγωγύ είναι. Απάντηση: μ = 4 πα. Ν Σχήμα 9.17 Πρόβλημα Π9.1. Π9. Δυ ευθύγραμμι μεγάλυ μήκυς ρευματφόρι αγωγί είναι παράλληλι μεταξύ τυς όπως δείχνει τ σχ. 9.18. Τα ρεύματά τυς είναι αντιπαράλληλα με 1 =5 Α και =10 Α. Να εύρετε τ μέτρ και την κατεύθυνση τυ μαγνητικύ πεδίυ πυ δημιυργείται στ σημεί O, όπυ 1 =5 cm και =15 cm. Εάν στ σημεί Ο τπθετηθεί ένας τρίτς παράλληλς ευθύγραμμς αγωγός με ρεύμα 3 = Α πρς τα επάνω, και μήκς m, να ευρεθεί τ μέτρ η κατεύθυνση της δύναμης πυ θα ασκηθεί επάνω τυ. Δίνεται η διαπερατότητα τυ κενύ ίση με μ = 4π 10-7 T.m/A. Απάντηση: 1.310-4 Ν. (Τμήμα Χημείας, Σεπτέμβρις 008). Π9.3 Κάθε ένας από τυς κτώ αγωγύς τυ σχήματς 9.19 διαρρέεται από ρεύμα Α με φρά πρς τα μέσα ή πρς τα έξω της σελίδας. Υπλγίστε τ λκλήρωμα.dl για κάθε μια διαδρμή α και β. 1 1 3 Ο Δίνεται μ =4π 10-7 T.m/A. (Τμήμα Πληρφρικής, ύνις 01). Σχήμα 9.18 Πρόβλημα Π9..... (α) (β) Σχήμα 9.19 Πρόβλημα Π9.3.. Π9.4 Κίλς κυλινδρικός αγωγός έχει εσωτερική και εξωτερική ακτίνα και b αντίστιχα και διαρρέεται από ρεύμα μιόμρφα κατανεμημέν στην διατμή τυ. Να ευρεθύν ι εκφράσεις για τ μαγνητικό πεδί () στις περιχές α) <, β) i ( ) <<b και γ) >b. Απάντηση: α) 0, β), και γ) ( b ). Π9.5 Ένα σωληνωειδές πηνί με μήκς 1.33 m και διάμετρ.60 cm διαρέεται από ρεύμα 17.8 Α. Τ μαγνητικό πεδί μέσα στ πηνί είναι.4 mt. Να εύρετε τ μήκς τυ σύρματς πυ χρησιμπιήθηκε για να κατασκευασθεί τ πηνί. Απάντηση: 109 m.
Ανικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμι ωαννίνων Τέλς Ενότητας
Χρηματδότηση Τ παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια τυ εκπαιδευτικύ έργυ τυ διδάσκντα. Τ έργ «Ανικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στ Πανεπιστήμι ωαννίνων» έχει χρηματδτήσει μόν τη αναδιαμόρφωση τυ εκπαιδευτικύ υλικύ. Τ έργ υλπιείται στ πλαίσι τυ Επιχειρησιακύ Πργράμματς «Εκπαίδευση και Δια Βίυ Μάθηση» και συγχρηματδτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κινωνικό Ταμεί) και από εθνικύς πόρυς. Σημειώματα Σημείωμα Αναφράς Cpyight Πανεπιστήμι ωαννίνων, Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής Δημήτρις Βλάχς. «Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός). ΜΑΓΝΗΤΚΟ ΠΕΔΟ ΗΛΕΚΤΡΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ». Έκδση: 1.0. ωάννινα 014. Διαθέσιμ από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecuse.ui.g/cuse/view.php?id=111. Σημείωμα Αδειδότησης Τ παρόν υλικό διατίθεται με τυς όρυς της άδειας χρήσης Cetive Cmmns Αναφρά Δημιυργύ - Παρόμια Διανμή, Διεθνής Έκδση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://cetivecmmns.g/licenses/by-s/4.0/.