Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΣΥΣΤΗΜΑ 2Χ2 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2 (2 εξισώσεις Χ 2 άγνωστοι) στη γενική του μορφή: a 11 X 1 +a 12 X 2 b 1 a 21 X 1 +a 22 X 2 b 2 όπου Χ 1, Χ 2 οι 2 άγνωστοι Μπορούμε να ορίσουμε τους πίνακες: Α a 11 a 12 a 21 a 22, X X 1 X 2, B b 1 b 2 Ισχύει Α*ΧΒ δηλ. a 11 a 12 X 1 b 1 > a 11X 1 +a 12 X 2 b 1 > a 11X 1 +a 12 X 2 b 1 a 21 a 22 X 2 b 2 a 21 X 1 +a 22 X 2 b 2 a 21 X 1 +a 22 X 2 b 2 Α: πίνακας συντελεστών των αγνώστων Χ: πίνακας αγνώστων Β: πίνακας σταθερών όρων Προφανώς μπορώ να λύσω χρησιμοποιώντας Πίνακες: Α*ΧΒ > Α -1 *Α*ΧΑ -1 *Β > Ι*ΧΑ -1 *Β >ΧΑ -1 *Β Με την προϋπόθεση ότι υπάρχει ο αντίστροφος Α -1 του Α (δηλ. ορίζουσα Α 0) 2 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΣΥΣΤΗΜΑ 3Χ3 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 3Χ3 (3 εξισώσεις Χ 3 άγνωστοι) στη γενική του μορφή: a 11 X 1 +a 12 X 2 +a 13 X 3 b 1 a 21 X 1 +a 22 X 2 +a 23 X 3 b 2 όπου Χ 1, Χ 2, Χ 3 οι 3 άγνωστοι a 31 X 1 +a 32 X 2 +a 33 X 3 b 3 Μπορούμε να ορίσουμε τους πίνακες: a 11 a 12 a 13 X 1 Α a 21 a 22 a 23, X X 2, B a 31 a 32 a 33 X 3 b 1 b 2 b 3 Ισχύει Α*ΧΒ δηλ. 3 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 X 1 X 2 X 3 Α: πίνακας συντελεστών των αγνώστων, Χ: πίνακας αγνώστων, Β: πίνακας σταθερών όρων Προφανώς μπορώ να λύσω: Α*ΧΒ > Α -1 *Α*ΧΑ -1 *Β > Ι*ΧΑ -1 *Β >ΧΑ -1 *Β Με την προϋπόθεση ότι υπάρχει ο αντίστροφος Α -1 του Α (δηλ. Α 0) b 1 b 2 b 3 ΓΙΑ ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ nxn ΜΠΟΡΩ ΝΑ ΛΥΣΩ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΣΥΣΤΗΜΑ 3Χ3 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (1) Έστω το παρακάτω σύστημα 3Χ3: X 1 +2X 2 +4X 3 5 3X 1 +X 2 +2X 3 10 6X 1 +2X 3 15 4 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr όπου Χ 1, Χ 2, Χ 3 οι 3 άγνωστοι Μπορούμε να ορίσουμε τους πίνακες: 1 2 4 X 1 5 Α 3 1 2, X X 2, B 10 6 0 2 X 3 15 Α: πίνακας συντελεστών των αγνώστων, Χ: πίνακας αγνώστων, Β: πίνακας σταθερών όρων Ισχύει Α*ΧΒ δηλ. 1 2 4 3 1 2 6 0 2 X 1 X 2 X 3 5 10 15 επειδή Α 1 2 4 3 1 2 6 0 2 Α -10 0, μπορώ να λύσω: Α*ΧΒ > Α -1 *Α*ΧΑ -1 *Β > Ι*ΧΑ -1 *Β > ΧΑ -1 *Β ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΩ ΤΟΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ Α -1-2* 3 2 6 2 +1* 1 4 6 2-2*(-6)+(-22)-10

Α ΣΥΣΤΗΜΑ 3Χ3 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (2) 1 2 4 3 1 2 6 0 2 > Α 1 1 Α Α+ όπου Α -10 0 1 2 + 0 2 2 4 0 2 2 4 + 1 2 2 4 0 6 22 10 6 12 5 Πίνακας αλγεβρικών συμπληρωμάτων του Α: Αναστρέφω και προκύπτει ο Α + Α 1 1 Α Α+ - 1 10 2 4 0 6 22 10 6 12 5 ΧΑ -1 *Β- 1 10 2 4 0 6 22 10 6 12 5 * 5 10 15 3 2 6 2 1 4 + 6 2 1 4 3 2 3 1 + 6 0 1 2 6 0 1 2 + 3 1-1 10 2 5+( 4) 10+0 15 6 5+( 22) 10+10 15 ( 6) 5+12 10+( 5) 15-1 10 30 40 15 2 6 6 4 22 12 0 10 5 3 4 3/2 Χ 1 3 > Χ 2 4 Χ 3 3/2 ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ Α*ΧΒ : ορίζουσα Α 0 >αντίστροφος Α 1 1 Α Α+ >λύση ΧΑ -1 *Β 5 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ nxn ME ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α nxn *Χ nx1 Β nx1 1. ΥΠΟΛΟΓΙΖΩ ΤΗΝ ορίζουσα Α 0, αν Α 0 δεν υπάρχει μοναδική λύση 2. Α 0, υπολογίζω τον αντίστροφο Α 1 1 Α Α+ 3. Υπολογίζω τη λύση ΧΑ -1 *Β Χρησιμοποιώ τα παρακάτω: 1. Υπολογισμός ορίζουσας Α nxn 2. Υπολογισμός αντίστροφου Α -1 (Α + :ανάστροφος πίνακα Αλγεβρικών συμπληρωμάτων Α) 3. Γινόμενο πινάκων Α -1 *Β 6 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ KANONA CRAMER ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α nxn *Χ nx1 Β nx1 Κανόνας Cramer: X i A Xi A ( κάθε άγνωστος είναι πηλίκο 2 οριζουσών) A Xi είναι η ορίζουσα που προκύπτει αν αντικαταστήσουμε στην ορίζουσα του Α τη στήλη που αντιστοιχεί στον άγνωστο X i με τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα Β Παράδειγμα 3Χ3: Α*ΧΒ δηλ. X 1 A X1 A 1 2 4 3 1 2 6 0 2 5 2 4 10 1 2 15 0 2 1 2 4 3 1 2 6 0 2 X 1 X 2 X 3 X 2 A X2 A 5 10 15 1 5 4 3 10 2 6 15 2 1 2 4 3 1 2 6 0 2 X 3 A X3 A 1 2 5 3 1 10 6 0 15 1 2 4 3 1 2 6 0 2 Χρειάζεται να υπολογίσω μόνο 4 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ για να λύσω το σύστημα εξισώσεων! 7 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΣΥΣΤΗΜΑ 3Χ3 ΜΕ CRAMER: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω το προηγούμενο σύστημα 3Χ3: X 1 +2X 2 +4X 3 5 1 2 4 3X 1 +X 2 +2X 3 10 σε μορφή πινάκων: Α 3 1 2 6X 1 +2X 3 15 6 0 2 Κανόνας Cramer: X i A Xi (πηλίκο 2 οριζουσών) A 1 2 4 Α 3 1 2-2* 3 2 6 2 +1* 1 4 6 2 6 0 2 8 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr, X Πρέπει να υπολογίσω τις 3 ορίζουσες A X1, A X2, A X3 5 2 4 A X1 10 1 2 15 0 2 A X2 A X3 1 5 4 3 10 2 6 15 2 1 2 5 3 1 10 6 0 15 X 1 X 2 X 3, B 5 10 15-2*(-6)+(-22)-10 0 άρα υπάρχει μοναδική λύση -2* 10 2 15 2 +1* 5 4 15 2-0* -2*(-10)+(-50)20-50-30 > X 1 A X1 A 30 10 3 1* 10 2 15 2-3* 5 4 15 2 +6* 5 4 10 2-10-3*(-50)+6*(-30)-10+150-180-40 > X 2 A X2 A 40 10 4-2* 3 10 6 15 +1* 1 5 6 15 +0* -2*(-15)+(-15)+030-15-15 > X 3 A X3 A 15 10-3/2 ΜΕ ΤΗ ΜΈΘΟΔΟ CRAMER ΜΠΟΡΟΎΜΕ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΟΥΜΕ ΞΕΧΩΡΙΣΤΑ ΚΆΘΕ ΑΓΝΩΣΤΟ

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ-CRAMER ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α nxn *Χ nx1 Β nx1 ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΙΝΑΚΑ: 1. ΥΠΟΛΟΓΙΖΩ ΤΗΝ ορίζουσα Α 0, αν Α 0 δεν υπάρχει μοναδική λύση 2. Α 0, υπολογίζω τον αντίστροφο Α 1 1 Α Α+ 3. Υπολογίζω τη λύση ΧΑ -1 *Β >όλοι οι άγνωστοι μαζί ΜΕΘΟΔΟΣ CRAMER: 1. ΥΠΟΛΟΓΙΖΩ ΤΗΝ ορίζουσα Α 0, αν Α 0 δεν υπάρχει μοναδική λύση 2. Α 0, υπολογίζω τις n ορίζουσες A Xi, Κανόνας Cramer: X i A Xi A >κάθε άγνωστος ξεχωριστά 9 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΤΑΞΗ (RANK) ΠΙΝΑΚΑ nxm Η τάξη (rank) ενός πίνακα Α nxm rank(a) είναι ο μέγιστος αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών του. Γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα είναι αυτά που η αντίστοιχη ορίζουσα είναι διάφορη του 0. Έστω πίνακας A 2 3 2 3, είναι Α -10 0, επομένως rank(a)2, τα διανύσματα 4 1 4 1 2 4, 3 1 γραμμικά ανεξάρτητα, όπως και τα 2 3, 4 2 γιατί 4-10 0 1 3 1 Έστω πίνακας B 2 4 2 4 είναι B 0, επομένως rank(β)<2, επειδή o B έχει 4 8 4 8 τουλάχιστο 1 μη μηδενικό στοιχείο rank(β)1 2 2 3 2 2 2 3 C έχουμε 0 ενώ -2 0 επομένως rank(c)2 4 4 5 4 4 4 5 2 1 5 2 1 F έχουμε 4 2 10 4 2 0, 2 5 1 5 0, 0 επομένως rank(f)<2 >rank(f)1 4 10 2 10 Ένας πίνακας Α mxn έχει τάξη k αν υπάρχει υπο-ορίζουσα των γραμμών ή στηλών του kxk 0 10 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΤΑΞΗ (RANK) ΠΙΝΑΚΑ 3Χ3 Η τάξη (rank) ενός πίνακα Α nxm rank(a) είναι ο μέγιστος αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών του (διάσταση μέγιστης ορίζουσας ή υπο-ορίζουσας 0). Γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα είναι αυτά που η αντίστοιχη ορίζουσα είναι διάφορη του 0. Έστω Α 2 4 14 6 6 12 4 4 8 11 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr, είναι Α 2 4 14 6 6 12 4 4 8 4 4 0, επομένως rank(a)<3-12 0 Επειδή υπάρχει τουλάχιστο 1 υπο- Εξετάζουμε υπο-ορίζουσες 2Χ2 του Α: 6 2 4 0, 6 6 ορίζουσα 2Χ2 μη μηδενική, έχουμε rank(a)2. Έστω Β 1 2 4 2 4 8 3 6 12, είναι Β 1 2 4 2 4 8 3 6 12 Εξετάζουμε υπο-ορίζουσες 2Χ2 του Β: 1 2 4 0, 2 4 4 8 του Β είναι ίσες με μηδέν (0), επομένως rank(β)<2 Επειδή ο πίνακας έχει μη μηδενικά στοιχεία είναι rank(b)1 0 (η 2 η γραμμή το διπλάσιο της 1 ης ), επομένως rank(β)<3 2 4 3 6 0 όλες οι 9 υπο-ορίζουσες 2Χ2

ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ [Α,Β] ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α nxn *Χ nx1 Β nx1 επαυξημένος πίνακας [Α,Β] είναι ο πίνακας που προκύπτει αν στον πίνακα Α «προσθέσουμε» μια επιπλέον στήλη, τα στοιχεία του Β. Αν Α 3x3 2 4 14 6 6 12 4 4 8 επαυξημένος [Α,Β] 3x4 X 1 X 2, B 3x1 X 3 2 4 14 8 6 6 12 6 4 4 8 4, X 3x1 Στο παραπάνω σύστημα είναι Α 0, οπότε χρειάζεται να εξετάσουμε τον επαυξημένο [Α,Β] 8 6 4 12 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ nxn ΌΤΑΝ ΟΡΙΖΟΥΣΑ0 ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α nxn *Χ nx1 Β nx1 Αν Α 0 τότε μοναδική λύση αν Α 0 δεν υπάρχει μοναδική λύση, άπειρες λύσεις ή αδύνατο Εξετάζουμε την τάξη (rank) του επαυξημένου πίνακα [Α,Β] και του Α: 1. Αν rank(a)rank([α,β]) τότε έχουμε άπειρες λύσεις (αόριστο) 2. Αν rank(a)<rank([α,β]) τότε έχουμε καμία λύση (αδύνατο) Δεν υπάρχει περίπτωση rank(a)>rank([α,β]) γιατί ο [Α,Β] «περιέχει» τον Α 13 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3X3 ΌΤΑΝ ΟΡΙΖΟΥΣΑ0 Έστω σύστημα εξισώσεων σε μορφή Πινάκων: Α Στο παραπάνω σύστημα είναι: 2 4 14 2 2 14 Α 6 6 12 6 0 12-2* 4 4 8 4 0 8 6 12 4 8 2 4 14 6 6 12 4 4 8, X X 1 X 2 X 3, B 8 6 4 επαυξημένος [Α,Β] 2 4 0, επομένως rank(a)<3, η υπο-ορίζουσα 2Χ2: 6 6 2 4 14 8 6 6 12 6 4 4 8 4-12 0 > rank(a)2 Επειδή Α 0 χρειάζεται να εξετάσουμε τον επαυξημένο [Α,Β] 2 4 14 8 6 6 12 6 4 4 8 4 ορίζουσες 3Χ3 επαυξημένου [Α,Β]: 2 4 14 2 4 8 2 14 8 4 8 14 4 8 14 6 6 12 0, 6 6 6 0, 6 12 6 0, 6 6 12 6 6 12 4 4 8 4 4 4 4 8 4 4 4 8 4 4 8 Εξετάζουμε υπο-ορίζουσες 2Χ2 του επαυξημένου [Α,Β]: 2 4 4 4 14 6 0 12 4 0 8-4* 6 12 4 8 +0+0-4*00 > rank([a,b])<3 6 6-12 0 > rank([a,b])2 (Συνέχεια στην επόμενη) 14 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ nxn ΌΤΑΝ ΟΡΙΖΟΥΣΑ0 (2) 2 4 14 X 1 8 2 4 14 8 Α 6 6 12, X X 2, B 6 επαυξημένος [Α,Β] 6 6 12 6 4 4 8 X 3 4 4 4 8 4 Έχουμε υπολογίσει Α 0, rank(a)2 και rank([a,b])2 Επειδή rank(a)rank([a,b])2 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις (αόριστο) ΕΥΡΕΣΗ ΛΥΣΕΩΝ ΑΟΡΙΣΤΟΥ (ΑΠΕΙΡΕΣ ΛΥΣΕΙΣ) Η υπο-ορίζουσα που ήταν 0 αντιστοιχούσε στις 2 πρώτες γραμμές του Α και τις 2 πρώτες στήλες 2 4-12, επομένως το αντίστοιχο «υποσύστημα» 2Χ2 έχει «μοναδική» λύση: 6 6 2X 1 +4X 2 +14X 3 8 6X 1 +6X 2 +12X 3 6 4X 1 +4X 2 +8X 3 4 15 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr > 2X 1 +4X 2 8 14X 3 6X 1 +6X 2 6 12X 3 > Αυτό είναι σύστημα 2Χ2 και το λύνουμε ως προς X 1,X 2 με Cramer (Θεωρούμε το X 3 «σταθερά») 8 14X 3 X 1 Α 4 Χ1 6 12X 3 6 Α 2 4 2 8 14X 3 X 2 Α Χ1 6 6 12X 3 Α 2 4 6 6 6 6 48 84X 3 24+48X 3 12 12 24X 3 48+84X 3 12 2 + 3X 3 3 5X 3 Υπάρχουν άπειρες λύσεις X 1, X 2, X 3, π.χ. αν X 3 0 > X 1-2 X 2 3 Το ονομάζουμε αόριστο γιατί ορίζοντας την τιμή του ενός αγνώστου προκύπτουν οι τιμές των άλλων 2.

ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ nxn ΌΤΑΝ ΟΡΙΖΟΥΣΑ0 (3) Α 2 4 14 6 6 12 4 4 8, X 16 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr X 1 X 2, B X 3 8 7 3 Έχουμε υπολογίσει Α 0, rank(a)2 2 4 14 8 επαυξημένος [Α,Β] 6 6 12 7 4 4 8 3 2 4 8 6 6 7 4 4 3 2 2 8 6 0 7 4 0 3-2* 6 7 4 3 το προηγούμενο σύστημα με διαφορετικό τον πίνακα Β υπολογίζουμε τις ορίζουσες 3Χ3-2*(-12)24 0, επομένως rank([a,b])3 Επειδή rank(a)2<rank([a,b])3 το σύστημα δεν έχει λύση (ΑΔΥΝΑΤΟ) ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΔΕΙΞΟΥΜΕ ΌΤΙ ΕΊΝΑΙ ΑΔΥΝΑΤΟ? 2X 1 +4X 2 +14X 3 8 6X 1 +6X 2 +12X 3 7 4X 1 +4X 2 +8X 3 3 > 6X 1 +6X 2 +12X 3 7 4X 1 +4X 2 +8X 3 3 > X 1 +X 2 +2X 3 7/6 X 1 +X 2 +2X 3 3/4 Δεν είναι εύκολο να δείξουμε ποιες εξισώσεις ενός συστήματος είναι «ασυμβίβαστες» «ΑΔΥΝΑΤΟ», χρειάζεται εμπειρία!

ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ mxn m>n Ένα σύστημα με εξισώσεις m> n αγνώστους (εξισώσεις περισσότερες από αγνώστους), το σύστημα Α mxn *Χ nx1 Β mx1 θα έχει: 1. Μοναδική λύση αν rank(a)rank([a,b])n 2. άπειρες λύσεις αν rank(a)rank([a,b])<n 3. καμία λύση αν rank(a)<rank([a,b]) ΙΣΧΥΟΥΝ ΚΑΤΆ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΥΤΆ ΠΟΥ ΕΙΔΑΜΕ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑ nxn 17 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3X2 (ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΛΥΣΗ) Αν έχουμε ένα σύστημα 3Χ2, (3 εξισώσεις με 2 αγνώστους) 2X 1 +4X 2 16 2 4 X 1 +2X 2 8 > Α 3Χ2 1 2, Χ 2Χ1 X 16 2 4 16 1, Β X 3Χ1 8 > επαυξ. [Α,Β] 1 2 8 3X 1 +X 2 9 3 1 2 9 3 1 9 Υπολογισμός rank(a): 2 4 2 4 0, -10 0, επομένως rank(a)2 1 2 3 1 2 4 16 Υπολογισμός rank([α,β]): 1 2 8 0 (γιατί 1 η γρ.2χ2 η γρ.) > rank([α,β])<3 3 1 9 Ελέγχω υπο-ορίζουσες 2Χ2 του [Α,Β]: 2 4-10 0, rank([α,β])2 3 1 Επειδή στο σύστημα υπολόγισα: rank(a)rank([α,β])2n (έχω 2 αγνώστους) Το σύστημα έχει μοναδική λύση: αντιστοιχεί στην μη μηδενική υπο-ορίζουσα: 2X 1 +4X 2 16 3X 1 +X 2 9 18 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Είναι 2Χ2 με ορίζουσα 0

ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3X2 (ΑΠΕΙΡΕΣ ΛΥΣΕΙΣ) Αν έχουμε ένα σύστημα 3Χ2, 3 εξισώσεις με 2 αγνώστους 2X 1 +4X 2 10 2 4 X 1 +2X 2 5 > Α 3Χ2 1 2, Χ 2Χ1 X 10 2 4 10 1, Β X 3Χ1 5 > επαυξ. [Α,Β] 1 2 5 3X 1 +6X 2 15 3 6 2 15 3 6 15 Υπολογισμός rank(a): 2 4 2 4 1 2 0, 0, 0 > rank(a)<2 > rank(a)1 1 2 3 6 3 6 2 4 10 2 0 10 rank([α,β]): 1 2 5 1 0 5 0 0 > rank([α,β])<3 3 6 15 3 0 15 Ελέγχω 2Χ2 στον [Α,Β]: 2 4 2 10 2 5 0, 0, 0 > rank([α,β])<2 > rank([α,β])1 1 2 1 5 6 15 Επειδή στο σύστημα υπολόγισα: rank(a)rank([α,β])1 άπειρες λύσεις (ΑΟΡΙΣΤΟ) (η 1 η εξίσ. είναι 2πλάσια της 2 ης και η 3 η εξίσωση 3πλάσια της 2 ης > έχουμε 1 εξίσωση με 2 αγνώστους άρα λύσεις: X 1 +2X 2 5> X 1 5 2X 2 άπειρες λύσεις) 19 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3X2 (ΚΑΜΙΑ ΛΥΣΗ) Αν έχουμε ένα σύστημα 3Χ2, 3 εξισώσεις με 2 αγνώστους 2X 1 +4X 2 10 2 4 X 1 +2X 2 8 > Α 3Χ2 1 2, Χ 2Χ1 X 10 1, Β X 3Χ1 8 > επαυξ. [Α,Β] 2X 1 +X 2 9 2 1 2 9 Υπολογισμός rank(a): 2 4 2 4 0, -10 0, επομένως rank(a)2 1 2 2 1 2 4 10 2 0 10 2 10 rank([α,β]): 1 2 8 1 0 8 -(-5)* 1 8 3 1 9 3 5 9 2 4 10 1 2 8 3 1 9 5*630 0 > rank([α,β])3 Επειδή στο σύστημα υπολόγισα: rank(a)2< rank([α,β])3 καμία λύση (ΑΔΥΝΑΤΟ) (Από την 1 η και 2 η εξίσωση μπορούμε να δούμε ότι είναι αδύνατο) 20 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΟΜΟΓΕΝΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ένα σύστημα εξισώσεων Α*ΧΒ με Β0 (μηδενικός πίνακας) δηλ. ΑΧ0 ονομάζεται ομογενές. Παράδειγμα: 5Χ 1 + 3Χ 2 0 2X 1 + 7X 2 0 είναι προφανές ότι Χ 1Χ 2 0 είναι η τετριμμένη λύση. 5 3 Σε μορφή πινάκων έχουμε 2 7 * Χ 1 0 5 όπου Α 3 Χ 2 0 2 7 29 0 Επειδή ορίζουσα 0 μπορώ να αντιστρέψω οπότε ΧΑ -1 *ΒΑ -1 *00 Με Cramer θα έχω Α Χ1 0 3 0 7 0, Α 5 0 Χ2 2 0 0, επομένως Χ 1 Α Χ1 / Α 0/290 και Χ 2 Α Χ2 / Α 0/290 ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝ Α 0 ΤΟΤΕ ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΛΥΣΗ Χ0 (τετριμμένη) 5 3 0 ΑΝ Α 0 τότε ο επαυξημένος [Α,Β] ισχύει πάντα rank(a)rank([a,b]) > 2 7 0 ΑΠΕΙΡΕΣ ΛΥΣΕΙΣ (γιατί τα στοιχεία του πίνακα Β είναι όλα μηδέν) 21 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΘΝΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Σε μια «κλειστή» οικονομία έχουμε: Εθνικό εισόδημα YC+I+G (C κατανάλωση, Ι επενδύσεις, G κυβερνητικές δαπάνες) Η Κατανάλωση C εξαρτάται από Εθν. Εισόδημα Υ και Επιτόκιο r: Ca*r+b*Y Οι επενδύσεις I εξαρτώνται από εισόδημα Y και Επιτόκιο r: Ιc+d*r+e*Y 3 εξισώσεις με 3 αγνώστους Υ, C, I και 6 σταθερές (συντελεστές) G,a,r,b,c,d,e: YC+I+G Y C IG 1 1 1 Y G Ca r+b Y by+car b 1 0 C ar A*XB Ιc+d r+e Y ey+ιc+dr e 0 1 I c + dr A 1 1 1 b 1 0 e 0 1, X Y C I, B G ar c + dr Μπορώ να υπολογίσω τα Y,C,I αν γνωρίζω τους υπόλοιπους συντελεστές του συστήματος: ΧΑ -1 *Β 22 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΝΑΥΠΗΓΕΙΟΥ 1/5 Ένα ναυπηγείο παράγει 3 είδη πλοίων Χ 1,Χ 2,Χ 3 Κάθε είδος πλοιού χρειάζεται κάποιες εργατο-ημέρες εργασίας σε 3 στάδια: Στάδιο Τύπος Πλοίου Διαθέσιμες Κατασκευής Χ 1 Χ 2 Χ 3 Εργατοημέρες Α 4 10 10 162 Β 1 7 12 110 C 4 8 8 140 Πόσα από το κάθε είδος πρέπει να παράγει για να εξαντλεί τις διαθέσιμες εργατοημέρες? για το σταδιο Α εχουμε: 4Χ 1 + 10Χ 2 + 10Χ 3 162 4 10 10 Χ 1 162 για το σταδιο Β εχουμε: 1Χ 1 + 7Χ 2 + 12Χ 3 110 1 7 12 Χ 2 110 για το σταδιο Β εχουμε: 4Χ 1 + 8Χ 2 + 8Χ 3 140 4 8 8 Χ 3 140 Είναι σύστημα 3Χ3 και επομένως μπορώ να το λύσω με πίνακες (συνέχεια στην επόμενη διαφάνεια) 23 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΝΑΥΠΗΓΕΙΟΥ 2/5 Ναυπηγείο 3 είδη πλοίων Χ 1,Χ 2,Χ 3 Πόσα από το κάθε είδος πρέπει να παράγει για να εξαντλεί τις διαθέσιμες εργατοημέρες? σύστημα 3Χ3: 4 10 10 1 7 12 4 8 8 24 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Χ 1 Χ 2 Χ 3 162 110 140 > Α 4 10 10 1 7 12 4 8 8 4 10 0 1 7 5 4 8 0-5* 4 10 4 8-5*(-8)40 0 Επειδή Α 0 υπάρχει μοναδική λύση: ΧΑ -1 *Β (με αντίστροφο) ή με CRAMER:X i A Xi Α X1 Α X2 Α X2 162 10 10 110 7 12 140 8 4 162 8 10 1 110 12 4 140 8 10 162 1 7 110 4 8 140 162 10 0 110 7 5 140 8 0 0 22 2 1 110 12 4 140 8 0 2 22 1 7 110 4 8 140-5* 162 10 140 8-5*(162*8-140*10)520 > X 1 A X1 A 0* -1* 22 2 140 8 0* -1* 2 22 8 140 22 2 +4* 110 12 280 > X 2 A X2 A 2 22 +4* 7 110 160 > X 2 A X3 A A 520 40 13 280 40 7 160 40 4 (συνέχεια στην επόμενη διαφάνεια)

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1: ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΝΑΥΠΗΓΕΙΟΥ 3/5 ΕΠΕΚΤΑΣΗ: Αν ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις διαθέσιμες εργατοώρες τις επόμενες 4 χρονικές περιόδους πόση πρέπει να είναι η αντίστοιχη παραγωγή? Στάδιο Διαθέσιμες Εργατοημέρες Κατασκευής Περίοδος 1 Περίοδος 2 Περίοδος 3 Περίοδος 4 Α 162 150 165 160 Β 110 107 105 108 Το σύστημα C3Χ3 ήταν: 140 132 146 130 4 10 10 Χ 1 162 1 7 12 Χ 2 110 Α*ΧΒ Α 0, ΧΑ -1 *Β 4 8 8 Χ 3 140 162 150 165 160 Αν ορίσω C 110 107 105 108 παρατηρώ ότι μπορώ να υπολογίσω ΥΑ -1 *C πίνακας 3Χ4 που η 140 132 146 130 κάθε στήλη του θα είναι η παραγωγή για την αντίστοιχη περίοδο. Διαφορετικά θα έπρεπε να λύσω 4 συστήματα εξισώσεων, 1 σύστημα 3Χ3 για κάθε στήλη (Περίοδο) 25 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr (συνέχεια στην επόμενη διαφάνεια)

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΝΑΥΠΗΓΕΙΟΥ 4/5 Α 1 1 Α Α+ έχω υπολογίσει την ορίζουσα Α 40 0 Πιν. Αλγ. Συμπλ. Α: Α + 40 0 50 40 8 38 20 8 18 + 7 12 8 8 10 10 8 8 10 10 + 7 12 1 12 4 8 + 4 10 4 8 4 10 1 12 Α 1 1 Α Α+ 1/40* + 1 7 4 8 4 10 4 8 + 4 10 1 7 40 0 50 40 8 38 20 8 18 40 40 20 0 8 8 50 38 18 αναστρέφω και έχω τον 1 0 1. 25 1 0. 2 0. 95 0. 5 0. 2 0. 45 Το σύστημα 3Χ3 ήταν: 4 10 10 Χ 1 1 7 12 Χ 2 4 8 8 Χ 3 Αν ορίσω C 26 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr 162 110 140 162 150 165 160 110 107 105 108 140 132 146 130 Α*ΧΒ Α 0, ΧΑ -1 *Β στήλη του θα είναι η παραγωγή για την αντίστοιχη περίοδο. παρατηρώ ότι μπορώ να υπολογίσω ΥΑ -1 *C πίνακας 3Χ4 που η κάθε (συνέχεια στην επόμενη διαφάνεια)

ΥΑ -1 *C ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΝΑΥΠΗΓΕΙΟΥ 5/5 1 0 1. 25 1 0. 2 0. 95 0. 5 0. 2 0. 45 162 150 165 160 110 107 105 108 140 132 146 130 13 15 17. 5 2. 5 7 3. 2 5. 3 14. 9 4 5. 8 4. 2 0. 1 Η κάθε στήλη του πίνακα Y προκύπτει με τον πολλαπλασιασμό του Α -1 με την αντίστοιχη στήλη του πίνακα C. Επομένως είναι η «λύση» του αντίστοιχου συστήματος εξισώσεων για τον υπολογισμό της παραγωγής σε κάθε χρονική περίοδο. Δηλαδή ισχύει: 1 0 1. 25 1 0. 2 0. 95 0. 5 0. 2 0. 45 1 0 1. 25 1 0. 2 0. 95 0. 5 0. 2 0. 45.. * * 13 7 4 15 3. 2 5. 8 162 110 140 150 107 132 27 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΡΟΩΝ-ΕΚΡΟΩΝ 1/2 Ανάλυση Leontief για ένα τομέα της οικονομίας: Πίνακας εισροών-εκροών τεχνολογικών συντελεστών της οικονομίας: Α 240/490 Εκροή Τομέα Εισροή Τομέα Τελική Ζήτηση Σύνολο 0. 49 0. 10 0. 24 0. 30 Ιδιωτικός 28 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Δημόσιος Ιδιωτικός 240 20 230 490 Δημόσιος 120 60 20 200 Υπεραξία 130 120 Σύνολο 490 200 690 490 πίνακας εκροών Χ 200 πίνακας ζήτησης D 230 20 120/490 20/200 60/200 0. 49 0. 10 Ισχύει: ΑΧ+DX 0. 24 0. 30 * 490 200 + 230 20 490 200 ΑΧ+DX DX-AXIX-AX(I-A)X X(I-A) -1 D Αν υποθέσουμε ότι οι τεχνολογικοί συντελεστές παραμένουν σταθεροί μπορούμε να υπολογίσουμε την επίδραση αύξησης της ζήτησης από το δημόσιο τομέα (κυβέρνηση) στις εκροές

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΡΟΩΝ-ΕΚΡΟΩΝ 2/2 0. 49 0. 10 Ισχύει: ΑΧ+DX 0. 24 0. 30 * 490 200 + 230 20 490 200 ΑΧ+DX DX-AXIX-AX(I-A)X X(I-A) -1 D Είναι Ι-Α 1 0 0. 49 0. 10 0. 51 0. 10-0 1 0. 24 0. 30 0. 24 0. 70 > 2. 10 0. 30 (I-A)-1 0. 74 1. 53 Επομένως X(I-A) -1 2. 10 0. 30 D 0. 74 1. 53 * 230 20 490 200 Στον πίνακα D το 230 είναι ιδιωτική ζήτηση και το 20 δημόσια, αν το δημόσιο αυξήσει τη 230 ζήτησή του π.χ. από 20 σε 40, D θα έχουμε τις νέες εκροές: 20 + 20 40 X(I-A) -1 2. 10 0. 30 D 0. 74 1. 53 * 230 40 496, επομένως η αύξηση κατά 20 της δημόσιας 231 ζήτησης οδήγησε σε αύξηση των εκροών κατά 496-490+231-20037 Επομένως συμφέρει με την τρέχουσα κατάσταση η δημόσια δαπάνη! 29 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΠΙΝΑΚΑ Αν έχουμε σύστημα σε μορφή πινάκων: Α*ΧΒ > ΧΑ -1 *Β Ας εξετάσουμε την περίπτωση: Α*Χλ*Χ Όπου Α τετραγωνικός πίνακας nxn, X πίνακας nx1 και λ πραγματικός αριθμός (λ είναι αριθμός που είναι «ισοδύναμος» με τον πίνακα Α στον πολλαπλασιασμό με τον οποιοδήποτε πίνακα Χ) Α*Χλ*Χ > Α*Χ-λ*Χ0 > Α*Χ-λ*Ι*Χ0 > (Α-λ*Ι)*Χ0 Είναι ομογενές σύστημα και υπάρχει η προφανής λύση Χ0 Αν ψάξουμε για άλλες λύσεις (δηλ. Α-λ*Ι 0), οι τιμές του λ ονομάζονται ιδιοτιμές (eigenvalues) του πίνακα Α. Για να βρούμε τις ιδιοτιμές πίνακα Α χρησιμοποιούμε τη σχέση Α-λ*Ι 0 Ονομάζεται ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Α: Α-λ*Ι 0 30 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΕΥΡΕΣΗ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑ Για να βρούμε τις ιδιοτιμές λ πίνακα Α χρησιμοποιούμε τη σχέση Α-λ*Ι 0 Παράδειγμα: έστω πίνακας Α 2Χ2 3 2 η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: 1 5 3 2 1 0 3 2 λ 0 3 λ 2 Α-λ*Ι 0 λ 0 0 1 5 0 1 1 5 0 λ 1 5 λ 0 (3-λ)*(5-λ)-1*20 λ 2-8λ+130 πολυώνυμο 2 ου βαθμού ως προς λ, Δb 2-4ac(-8) 2-4*1*1364-5212>0 Διακρίνουσα Δ12>0 επομένως 2 λύσεις: λ 1 b Δ 12 ( 8) 2a 2 1 31 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr 8 12 2 2.268 και λ 2 Αν έχουμε πίνακα Α 2Χ2 θα έχει: 2 ιδιοτιμές αν η αντίστοιχη διακρίνουσα Δ>0, 1 διπλή ιδιοτιμή αν Δ0, αν Δ<0 δεν έχει πραγματικές ιδιοτιμές b+ Δ 12 8+ 2a 2 5.732

ΧΡΗΣΗ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ-ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Για να βρούμε τις ιδιοτιμές λ πίνακα Α χρησιμοποιούμε τη σχέση Α-λ*Ι 0 Αν Α 2Χ2 3 2 3 λ 2 τελικά θα καταλήξουμε στη σχέση 1 5 1 5 λ 0 Διαγωνίου Προκύπτει πολυώνυμο 2 ου βαθμού που ψάχνουμε τις ρίζες, λ 1 2.268 και λ 2 5.732 Ανάλογα με το πρόσημο των ιδοτιμών λ του πίνακα Α: Όλες οι ιδιοτιμές ΘΕΤΙΚΕΣ Όλες οι ιδιοτιμές ΑΡΝΗΤΙΚΕΣ 32 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr > ο πίνακας Α ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΣ > ο πίνακας Α ΑΡΝΗΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΣ Όλες οι ιδιοτιμές ΘΕΤΙΚΕΣ ή ΜΗΔΕΝ > ο πίνακας Α ΘΕΤΙΚΑ ΗΜΙ-ΟΡΙΣΜΕΝΟΣ Όλες οι ιδιοτιμές ΑΡΝΗΤΙΚΕΣ ή ΜΗΔΕΝ > ο πίνακας Α ΑΡΝΗΤΙΚΑ ΗΜΙ-ΟΡΙΣΜΕΝΟΣ Κάποιες ΘΕΤΙΚΕΣ και κάποιες ΑΡΝΗΤΙΚΕΣ > ο πίνακας Α ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΟΣ Η ορίζουσα του πίνακα με λ στα στοιχεία της κύριας Ο ορισμός του πίνακα χρησιμοποιείται για να ελέγξουμε το είδος των ακροτάτων (μέγιστο-ελάχιστο) σε προβλήματα με μερικές παραγώγους συναρτήσεων πολλών μεταβλητών

ΕΥΡΕΣΗ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑ 3Χ3 Για να βρούμε τις ιδιοτιμές λ πίνακα Α χρησιμοποιούμε τη σχέση Α-λ*Ι 0 2 0 0 Αν Α 3Χ3 0 3 4 η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: 0 4 9 Α-λ*Ι 0 2 0 0 0 3 4 0 4 9 33 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr λ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 λ 0 0 0 3 λ 4 0 4 9 λ 0 3 λ (2-λ) 4 3 λ 4-0* +0* 0 (2-λ) 0 (2-λ)[(3-λ)(9-λ)-4*4]0 4 9 λ 4 9 λ (2-λ)(27-3λ-9λ+λ 2-16)0 (2-λ)(λ 2 2 λ 0-12λ+11)0 λ 2 12λ+11 0 λ 2 λ 2 12λ+11 0 για το πολυώνυμο 2 ου βαθμού λ 2 12λ+11 0 έχουμε Δb 2-4ac(-12) 2-4*1*11144-44100 είναι διακρίνουσα Δ100>0 > 2 ρίζες: λ 1 b Δ 100 ( 12) 12 10 2a 2 1 2 1, λ 2 Τελικά έχουμε λ 1 1, λ 2 11, λ 3 2 (πίνακας 3Χ3 > 3 ιδιοτιμές) Ο Πίνακας Α είναι ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΣ ΓΙΑΤΙ ΕΧΕΙ ΜΟΝΟ ΘΕΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Μπορούμε απευθείας από τον πίνακα να αφαιρέσουμε λ από τα στοιχεία της κυρίας Διαγωνίου b+ Δ 2a 11

ΙΔΙΟΔΥΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑ 1/4 Αν Α 2Χ2 3 2 3 λ 2 από τη σχέση 1 5 1 5 λ 0 βρίσκουμε ιδιοτιμές λ 1 2.268 και λ 2 5.732 Τα λ 1 και λ 2 έχουν την ιδιότητα ότι αν τα αφαιρέσουμε από τα στοιχεία της Κύριας Διαγωνίου του πίνακα Α τότε η ορίζουσα Α 0, δηλ. για το λ 1 2.268 έχουμε: 3 2. 268 2 1 5 2. 268 0. 732 1 2 2. 732 0. 732 2 1 2. 732 Χ 1 0 Χ 2 0 0. 732Χ 1 + 2Χ 2 0 1Χ 1 + 2. 732Χ 2 0 άπειρες λύσεις (είναι ομογενές με ορίζουσα 0 > άπειρες λύσεις). 0 το αντίστοιχο σύστημα 2Χ2: (Α-λ*Ι)*Χ0 αφού έχει ορίζουσα Α-λ*Ι 0 θα έχει Χ Αν βρούμε από τις άπειρες λύσεις αυτή που αντιστοιχεί σε μοναδιαίο διάνυσμα 1 Χ 2 με την ιδιότητα Χ 2 1 + Χ 2 Χ 2 1 το διάνυσμα 1 ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α. Χ 2 δηλ. 34 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΙΔΙΟΔΥΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑ 2/4 Ορίζουσα είναι μηδ 0. 732Χ 1 + 2Χ 2 0 1Χ 1 + 2. 732Χ 2 0 Χ 1 2 + Χ 2 2 1 Παίρνω την 1 η εξίσωση και τον ορισμό μοναδιαίου: 0.732Χ 1 + 2Χ 2 0 Χ 1 2 + Χ 2 2 1 επειδή δεν είναι γραμμικό σύστημα (2 η εξίσωση) λύνω με αντικατάσταση: 2Χ 2 0.732Χ 1 Χ 2 1 + Χ 2 2 1 Χ 2 0.366Χ 1 Χ 2 1 + Χ 2 2 1 Χ 2 0.366Χ 1 Χ 2 1 + ( 0.366Χ 1 ) 2 1 Χ 2 0.366Χ 1 Χ 2 1 0.884 Χ 2 0.366Χ 1 Χ 1 0.884 Χ 2 0.366Χ 1 Χ 1 0.884 Χ 2 0.366Χ 1 Χ 1 0.940 Χ 2 0.366 0.940 Χ 1 0.940 Χ 2 0.366Χ 1 Χ 1 2 + 0.134Χ 1 2 1 Χ 2 0.366Χ 1 1.134Χ 1 2 1 Χ 2 0.366Χ 1 Χ 1 2 1/1.134 Χ 2 0.340 Χ 1 0.940 το 1 ο ιδιοδιάνυσμα είναι: Χ 1 Χ 2 0. 940 0. 340 για την ιδιοτιμή λ 1 2.268 35 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΙΔΙΟΔΥΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑ 3/4 Α 2Χ2 3 2 1 5 και λ 25.732 > 2. 732Χ 1 + 2Χ 2 0 1Χ 1 0. 732Χ 2 0 Χ 1 2 + Χ 2 2 1 3 5. 732 2 1 5 5. 732 2. 732 2 1 0. 732 0 Παίρνω την 2 η εξίσωση και τον ορισμό μοναδιαίου: Χ 1 0. 732Χ 2 0 Χ 1 2 + Χ 2 2 1 επειδή δεν είναι γραμμικό σύστημα (2 η εξίσωση) λύνω με αντικατάσταση: Χ 1 0.732Χ 2 Χ 2 1 + Χ 2 2 1 Χ 10.732Χ 2 (0.732Χ 2 ) 2 + Χ 2 2 1 Χ 10.732Χ 2 0. 536Χ 2 2 + Χ 2 2 1 Χ 10.732Χ 2 1.536Χ 2 2 1 Χ 10.732Χ 2 Χ 2 1 1/1.536 Χ 1 0.732Χ 2 Χ 2 2 0.651 Χ 10.732Χ 2 Χ 2 0.651 Χ 10.732Χ 2 Χ 2 0.807 Χ 20.732 0.807 Χ 1 0.807 Χ 20.591 Χ 1 0.807 το 2o ιδιοδιάνυσμα είναι: 36 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Χ 1 Χ 2 0. 807 0. 591 για την ιδιοτιμή λ 25.732

ΙΔΙΟΔΥΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑ-ΔΙΑΓΩΝΙΟΣ 4/4 Για τον πίνακα Α 2Χ2 3 2 3 λ 2 υπολογίζουμε από τη σχέση 1 5 1 5 λ ιδιοτιμές λ 1 2.268 και λ 2 5.732 Για κάθε ιδιοτιμή υπολογίζουμε 1 ιδιοδιάνυσμα: Χ το 1 ο ιδιοδιάνυσμα είναι: 1 0. 940 Χ 2 0. 340 για την ιδιοτιμή λ 1 2.268 Χ το 2o ιδιοδιάνυσμα είναι: 1 0. 807 Χ 2 0. 591 για την ιδιοτιμή λ 25.732 37 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Ο Πίνακας ιδιοδιανυσμάτων του Α (Transformation matrix) T Έχει την ιδιότητα: Τ -1 *Α*Τ διαγώνιος πίνακας: Τ -1 0. 358 0. 977 3 2 0. 940 0. 807 *Α*Τ 0. 840 0. 615 1 5 0. 340 0. 591 0. 940 0. 807 0. 340 0. 591 2.268 0 0 5.732 λ 1 0 0 λ 2 0 τις Ο ΔΙΑΓΩΝΙΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΟΥ Α ΕΧΕΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΚΥΡΙΑΣ ΔΙΑΓΩΝΙΟΥ ΤΙΣ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΤΟΥ Α ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΙΣ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΤΟΥ

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ-ΙΔΙΟΔΥΑΝΥΣΜΑΤΑ-ΔΙΑΓΩΝΙΟΣ ΠΙΝΑΚΑ 1. ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΠΙΝΑΚΑ: Για να υπολογίσω τις ιδιοτιμές λ ενός πίνακα Α, αφαιρώ από τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου λ και θέτω την αντίστοιχη ορίζουσα ίση με μηδέν, από τον υπολογισμό Α-λΙ 0 προκύπτουν οι ιδιοτιμές λ του πίνακα Α. Α 2Χ2 3 2 1 5 3 λ 2 1 5 λ 0 (3-λ)(5-λ)-1*20 λ 1 2.268 και λ 2 5.732 2. ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΙΝΑΚΑ: Για κάθε ιδιοτιμή λ του πίνακα Α, η ορίζουσα του Α-λΙ 0 γίνεται μηδέν, επομένως το «αντίστοιχο» ομογενές σύστημα εξισώσεων έχει άπειρες λύσεις. Η λύση (από τις άπειρες) που ικανοποιεί τη συνθήκη «μοναδιαίου» διανύσματος (άθροισμα τετραγώνωνμονάδα) ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Α 2Χ2 3 2 1 5 3 λ 2 1 5 λ 0 λ 1 2.268 > 3 2. 268 2 1 5 2. 268 0. 732 2 0 το αντίστοιχο ομογενές σύστημα εξισώσεων: 1 2. 732 0. 732Χ 1 + 2Χ 2 0 1Χ 1 + 2. 732Χ 2 0 (επειδή έχει ορίζουσα 0. 732 2 1 2. 732 0 ) έχει άπειρες λύσεις από τις άπειρες λύσεις, υπάρχει κάποια που ικανοποιεί τη συνθήκη μοναδιαίου διανύσματος: Χ 1 2 + Χ 2 2 1 για να υπολογίσω το ιδιοδιάνυσμα επιλέγω 1 από τις 2 εξισώσεις (την «ευκολότερη») και την συνθήκη μοναδιαίου: 0. 732Χ 1 + 2Χ 2 0 Χ 1 2 +Χ 2 2 1 αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα. λύνω το σύστημα με αντικατάσταση και προκύπτει η λύση Χ 1 Χ 2 που είναι το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα. Για κάθε ιδιοτιμή υπάρχει το 3. ΔΙΑΓΩΝΙΟΣ ΠΙΝΑΚΑ: Ο πίνακας που έχει στην κύρια διαγώνιο τις ιδιοτιμές λ του πίνακα Α ονομάζεται Διαγώνιος του Α λ 1 Επομένως για την «ΔΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ» υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές λ 38 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr 0 0 λ 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ 1 5.1 (Β 6.1) Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα εξισώσεων: α) 5Χ 1 +6Χ 2 21 4Χ 1 +3Χ 2-3 β) 2Χ 1 +3Χ 2-2Χ 3 1 Χ 1-2Χ 2-3Χ 3-9 5Χ 1 +4Χ 2-4Χ 3 2 ΕΠΙΛΥΣΗ: Δοκιμάστε τη μέθοδο αντιστροφής και τη μέθοδο Cramer 39 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ 2 5.2 (Β 6.5) Έστω οι πίνακες: 1 0 2 4 Α 0 2 1 και Β 3 2 2 5 5 Εξετάστε ποιες είναι οι λύσεις του συστήματος Α*ΧΒ ΕΠΙΛΥΣΗ: Όταν η ορίζουσα A 0 εξετάζουμε το rank(a) και rank([a,b]) 40 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ 3 5.3 (ΑΛ. 7) Δίνεται το σύστημα: x+2y+3z0 4x+(3+λ)y+6z0 5x+4y+(λ+1)z0 Να βρεθεί για ποιες τιμές του λ το σύστημα έχει μη-μηδενικές λύσεις. Να βρεθεί η λύση για την μικρότερη τιμή του λ. ΕΠΙΛΥΣΗ: Είναι ομογενές οπότε υπολογίζουμε την ορίζουσα του συστήματος 41 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ 4 5.4 (ΑΛ. 9) έστω το σύστημα εξισώσεων: x + y-z1 2x+3y+az3 x+ay+3z2 Να βρείτε την τιμή του a ώστε το σύστημα να έχει 1 λύση, καμία λύση, άπειρες λύσεις. ΕΠΙΛΥΣΗ: Προφανώς εξετάζουμε την ορίζουσα και τον επαυξημένο. 42 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ 5 5.5 (ΑΛ 34) έστω το σύστημα εξισώσεων: 1 1 2κ x 4 2 3 1 y 4 κ 1 2 z 2 Διερευνήστε τις λύσεις του συστήματος για τις τιμές του κ. ΕΠΙΛΥΣΗ: Ορίζουσα και επαυξημένος (rank) 43 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ 6 5.6 (ΑΛ 28) έστω το σύστημα εξισώσεων: x 1 -x 2 1 x 1 +x 2 +x 3 0 2x 1 -x 2 +3x 3-2 Αποδείξτε ότι έχει μοναδική λύση και βρείτε τη λύση. ΕΠΙΛΥΣΗ: Ορίζουσα και επίλυση 44 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ 7 5.7 (ΑΛ 1) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του πίνακα Α: 4 4 8 Α 4 6 4 6 4 10 ΕΠΙΛΥΣΗ: Χαρακτηριστική εξίσωση Α-λ*Ι 0, αν προκύψει πολυώνυμο 3 ου βαθμού χρησιμοποιούμε ιδιότητες οριζουσών, επομένως υπολογίζουμε τις 5.8 (ΑΛ 3 τροποποιημένη) Να βρεθεί ο Διαγώνιος του πίνακα Α: 2 0 1 Α 1 2 0 1 0 2 λ 1 0 0 ΕΠΙΛΥΣΗ: Ο Διαγώνιος του πίνακα Α είναι: 0 λ 2 0 ιδιοτιμές του Α 0 0 λ 3 45 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ 8 5.9 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές, τα ιδιοδιανύσματα και ο Διαγώνιος του πίνακα Α: 1 4 Α 2 1 ΕΠΙΛΥΣΗ: Χαρακτηριστική εξίσωση Α-λ*Ι 0, για τα ιδιοδιανύσματα θα ισχύει Χ 1 2 + Χ 2 2 1, Διαγώνιος Α: λ 1 0 0 λ 2 46 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr