Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται i -συνταταγµένη του x, x,, x ) Έστω x, x, x ) R και y, y, ym) R m, τότε ισχύει η ισοδυναµία = m και x, x, x ) = y, y, y m) x = y, x = y,, x = y Με 0 συµβολίζουµε το µηδενικό διάνυσµα, δηλ το διάνυσµα που έχει όλες τις συντεταγµένες µηδέν Στο R ορίζουµε τις πράξεις: την πρόσθεση: x, x, x ) + y, y, y ) = x + y, x+ y, x+ y) και τον αριθµητικό πολλαπλασιασµό: λ x, x, x ) = λx, λx, λ x ) Θέτουµε x, x, x ) - y, y, y ) = x y, x y,, x y ) Έστω Α R, µε Α Το Α λέγεται υπόχωρος του R αν ικανοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες: i) Αν α και β Α τότε α + β Α, ii) Αν α Α και λ Rτότε λα Α Κάθε υπόχωρος του R περιέχει το µηδενικό διάνυσµα 0 του R Τα {0} και R είναι υπόχωροι του R, όπου 0 το µηδενικό διάνυσµα του R ) Έστω Α R Το Α είναι υπόχωρος του R αν ικανοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες: Το µηδενικό διάνυσµα 0 του R ανήκει στο Α Αν α και β Α τότε α + β Α Αν α Α και λ Rτότε λα Α Αν A, B υπόχωροι του R και A B τότε λέµε ότι το Α είναι υπόχωρος του Β Αν α, α,, α κ R και λ, λ,, λ κ R, τότε το λ α + λ α + + λ κ α κ λέγεται γραµµικός συνδυασµός των α, α,, α κ Αν θέσουµε Α = { α, α,, α κ }, τότε µε SA) συµβολίζουµε το σύνολο των γραµµικών συνδυασµών των α, α,, α κ Το SA) λέγεται παραγόµενο σύνολο από το Α µε γραµµικούς συνδυασµούς

Το SA) είναι υπόχωρος Ασκήσεις ) Εξετάστε πότε ισχύουν οι ισότητες: { x} = { y, z},, d,, h) = d, h, e, ), { ρ, λ} = { λ, ρ}, κ, ν ) = ν, κ ) ) είξτε ότι το Α = {x, x + y): x, y R} είναι υπόχωρος του R 3) είξτε ότι το Β = {x, x ): x R} δεν είναι υπόχωρος του R 4) Βρείτε για ποιες τιµές του ρ το σύνολο Γ = {x, x + ρ, x): x R} είναι υπόχωρος του R 3 = x, y, z, w) : x+ y+ z+ w= 0 είναι υπόχωρος του R 4 5) Εξετάστε αν το { } 6) Εξετάστε αν το Ε= x, y, z, w) : α x+ β y+ γ z+ δ w= 0, α x+ β y+ γ z+ δ w= 0 είναι { } υπόχωρος του R 4, όπου α, β, γ, δ, α, β, γ, δσταθερές 7) Ένας υπόχωρος του R είναι ένα από τα ακόλουθα: ή το σύνολο που περιέχει µόνο το σηµείο της αρχής των αξόνων, ή το σύνολο των σηµείων µιας ευθείας που περνάει από την αρχή των αξόνων, ή όλο το R 3 8) Ένας υπόχωρος του R 3 είναι ένα από τα ακόλουθα: ή το σύνολο που περιέχει µόνο το σηµείο της αρχής των αξόνων, ή το σύνολο των σηµείων µιας ευθείας που περνάει από την αρχή των αξόνων, ή το σύνολο των σηµείων ενός επιπέδου που περνάει από την αρχή των αξόνων, ή όλο το R 3 9) είξτε ότι S{,),,3)} = R Τα α, α,, α κ R λέγονται γραµµικά ανεξάρτητα αν η εξίσωση λ α + λ α + + λ κ α κ = 0 έχει µόνο την µηδενική λύση, δηλ όταν λ α + λ α + + λ κ α κ = 0 λ = λ = = λ κ = 0 Αν τα α, α,, α κ δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητα τότε λέγονται γραµµικά εξαρτηµένα Τα α, α,, α κ είναι γραµµικά εξαρτηµένα τότε και µόνο όταν κάποιο από αυτά είναι γραµµικός συνδυασµός των άλλων Ασκήσεις ) είξτε ότι τα, ),, ) είναι γραµµικά ανεξάρτητα ) Εξετάστε ποιά από τα, ),, ),, ) είναι γραµµικός συνδυασµός των άλλων δύο 3) Όταν ένα σύνολο διανυσµάτων Α του R περιέχει το µηδενικό διάνυσµα τότε τα διανύσµατα του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα 4) Αν τα α, α,, α κ είναι γραµµικά ανεξάρτητα τότε η εξίσωση λ α + λ α + + λ κ α κ = µ α + µ α + + µ κ α κ ισχύει τότε και µόνο όταν λ = µ, λ = µ,, λ κ = µ κ 5) Έστω Α = {e,e,, e }όπου e i τα µοναδιαία διανύσµατα του R,δηλ

3 e i = δ i, δ i, δ i3,, δ i ), µε Τότε SA) = R δ ij αν i=j = 0 αν i j Ένα σύνολο Α = { α, α,, α κ } R λέγεται βάση ενός υπόχωρου Χ R, όταν: i) SΑ) = X, και ii) τα στοιχεία του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα Θεώρηµα i) Κάθε υπόχωρος Χ {0} έχει βάση ii) Αν τα {α, α,, α κ }και {β, β,, β λ } είναι δύο βάσεις ενός υπόχωρου Χ, τότε κ = λ iii) Αν {α, α,, α κ } είναι βάση του υπόχωρου Χ, {β, β,, β λ } είναι βάση του υπόχωρου Υ, και Χ Υ, τότε κ λ Το κ = λ ισχύει µόνο όταν Χ = Υ Ορίζουµε ως διάσταση ενός υπόχωρου Χ µία τιµή που την συµβολίζουµε dimx και ισούται: µε το πλήθος των στοιχείων µίας βάσης του Χ αν Χ {0}, και µηδέν αν Χ = {0} Οι υπόχωροι του R είναι οι εξής: Το {0}, το R, καθώς και οι ευθείες που περνούν από το 0 Με αντίστοιχες διαστάσεις 0,, Οι υπόχωροι του R 3 είναι οι εξής: Το {0}, το R 3, οι ευθείες που περνούν από το 0, καθώς και τα επίπεδα που περνούν από το 0 Με αντίστοιχες διαστάσεις 0,3,, Ασκήσεις ) dim R = ) Βρείτε την διάσταση του υπόχωρου X { x, y, z, w) : x y z w 0} 3) Βρείτε την διάσταση του υπόχωρου X = x, y, z, w) : x+ y+ z+ w= 0, x+ y= 0 { } = + + + = 4) Περιγράψτε ως σύνολο τον υπόχωρο που έχει βάση τα διανύσµατα,, 3),, -, ) 5) Τα α, α,, α κ είναι βάση του υπόχωρου S{α, α,, α κ }) τότε και µόνο όταν είναι γραµµικά ανεξάρτητα 6) Ο µέγιστος αριθµός από τα α, α,, α κ R που είναι γραµµικά ανεξάρτητα αποτελούν βάση του S{α, α,, α κ }) Μία εξίσωση της µορφής x + x + 3x3 + + x = b, όπου,,, b σταθερές και x, x, x άγνωστοι, λέγεται γραµµική Αν b = 0, τότε η προηγούµενη εξίσωση λέγεται οµογενής, και η + + x x + x + x 3 3 = 0

4 λέµε ότι είναι η αντίστοιχη οµογενής της x + x + 3x3 + + x = b Αν τα Χ, Υ είναι υπόχωροι του R τότε: α) το Χ Υ είναι υπόχωρος, β) το Χ Υ είναι υπόχωρος αν Χ Υ ή Υ Χ α) Το σύνολο των x, x, x ) R που ικανοποιούν µία οµογενής γραµµική εξίσωση x + x + x 3 3 + + x = 0 αποτελούν υπόχωρο β) Το σύνολο των x, x, x ) R που ικανοποιούν ένα σύστηµα m οµογενών γραµµικών εξισώσεων x + x + x 3 + + x = 0 x + x + x 3 + + x = 0 m x + m x + m3x + + m x = 0 όπου τα ijσταθερές), αποτελούν υπόχωρο γ) Αν ξ, ξ, ξ ) είναι µία λύση ενός συστήµατος mγραµµικών εξισώσεων x + x + 3 x + + x = b x + x + 3x + + x = b x + x + x + + x = b m m m3 οπου τα ijκαι bσταθερές), i τότε κάθε άλλη λύση είναι της µορφής x, x, x ) + ξ, ξ, ξ ), όπου x, x, x ) είναι λύση του συστήµατος των αντίστοιχων οµογενών γραµµικών εξισώσεων x + x + x 3 + + x = 0 x + x + x 3 + + x = 0 x x + x + + x 0 m + m m3 m = m m Κάθε υπόχωρος αποτελεί το σύνολο των λύσεων ενός συστήµατος οµογενών γραµµικών εξισώσεων

5 Οι ευκλείδειοι χώροι R και R 3 Πρώτα δίνουµε δύο ορισµούς που ισχύουν γενικότερα για τους R : Μέτρο του διανύσµατος α R λέµε την τιµή όπου α = α, α,, α ) α = α ) α ) + + ) +, α Ορίζουµε ως εσωτερικό γινόµενο των α, β R την τιµή α β = α β + α β + α 3 β 3 + + α β, όταν α = α, α,, α ), β = β, β,, β ) Θεώρηµα Έστω α, β R 3 ή R µη µηδενικά, τότε α β = α β συνθ, όπου θ η γωνία που σχηµατίζουν τα α, β Πόρισµα i) α β = 0 ή κάποιο από τα α, β είναι µηδέν ή τα α, β είναι κάθετα ii) α α = α Μια ευθεία στο R 3 ή στο R ) λέµε το σύνολο των σηµείων x, y, z) της µορφής t + b, µε t R, όπου, b σταθερά διανύσµατα του R 3 ή του R ) µε 0 Η ευθεία αυτή λέµε ότι είναι παράλληλη προς το διάνυσµα και περνά από το σηµείο b Αυτή τη µορφή παράστασης της ευθείας τη λέµε παραµετρική Μία ευθεία στο R αποτελείται από τα σηµεία x, y) που ικανοποιούν µια εξίσωση της µορφής x + by = c, όπου, b, c R σταθερές µε τα, b όχι και τα δύο µηδέν Το διάνυσµα, b) είναι κάθετο στην ευθεία Ένα επίπεδο αποτελείται από σηµεία x, y, z) που ικανοποιούν µια εξίσωση της µορφής x + by + cz = d, όπου, b, c, d R σταθερές µε, b, c) 0 Το διάνυσµα =, b, c) είναι κάθετο στο επίπεδο

6 Πίνακες Πίνακας m είναι µία διάταξη m στοιχείων ij, µε i =,,, m και j =,,,, που συνηθίζουµε να τον συµβολίζουµε µε [ ij ] ή µε ένα κεφαλαίο γράµµα και να τον παριστάνουµε µε έναν ορθογώνιο πλέγµα θέσεων που σχηµατίζουν m γραµµές και στήλες που καταλαµβάνουν τα ως εξής: ij [ ij ] = m m m Έστω το γραµµικό σύστηµα εξισώσεων Σ: x + x + 3 x + + x = b x + x + 3x + + x = b όπου m ij, biσταθερές και j x + x + x + + x = b m x άγνωστος, m3 και ο πίνακας Α: b b m m m b m Θα λέµε ότι το σύστηµα Σ αντιστοιχεί στον πίνακα Α και αντίστροφα, ο πίνακας Α αντιστοιχεί στο σύστηµα Σ Παρατηρούµε ότι οι ακόλουθες πράξεις σε έναν γραµµικό σύστηµα εξισώσεων δίνουν ισοδύναµο σύστηµα: ) Η αντιµετάθεση δύο εξισώσεων ) Η πρόσθεση σε µία εξίσωση ένα πολλαπλάσιο µίας άλλης 3) Η αντικατάσταση µίας εξίσωσης µε ένα µη µηδενικό πολλαπλάσιο της Ορίζουµε ως στοιχειώδεις πράξεις σε έναν πίνακα τις ακόλουθες: ) Την αντιµετάθεση δύο γραµµών m m

7 ) Την πρόσθεση σε µία γραµµή ένα πολλαπλάσιο µίας άλλης 3) Την αντικατάσταση µίας γραµµής µε ένα µη µηδενικό πολλαπλάσιό της Έστω πίνακας Β που προκύπτει από τον πίνακα Α µετά από στοιχειώδεις πράξεις Τότε το γραµµικό σύστηµα εξισώσεων που αντιστοιχεί στον Α είναι ισοδύναµο µε αυτόν που αντιστοιχεί στο Β Ένα πίνακας λέγεται κλιµακωτός αν ο πρώτος µη µηδενικός όρος κάθε γραµµής βρίσκεται σε δεξιότερη θέση από αυτή του πρώτου µη µηδενικού όρου της προηγούµενης γραµµής Κάθε πίνακας, µετά από κάποιες στοιχειώδεις πράξεις, γίνεται κλιµακωτός Ο µέγιστος αριθµός γραµµικά ανεξάρτητων γραµµών ενός πίνακα Α λέγεται τάξη του πίνακα Α, και συµβολίζεται rka Αν Β είναι πίνακας που προκύπτει από τον Α µετά από στοιχειώδεις πράξεις, τότε rka = rkb Η τάξη ενός κλιµακωτού πίνακα ισούται µε τον αριθµό των µη µηδενικών γραµµών του Έστω Β κλιµακωτός πίνακας που προκύπτει από τον Α µετά από στοιχειώδεις πράξεις Θέτουµε α, α,, α m τα διανύσµατα που αντιστοιχούν στις γραµµές του Α, και β, β,, β m τα διανύσµατα που αντιστοιχούν στις γραµµές του Β Τότε S{α, α,, α m }) = S{β, β,, β m }) Στους πίνακες ορίζουµε τις πράξεις: ) Την πρόσθεση Αν [ ij ], [ b ij ] δύο πίνακες m, τότε ορίζουµε [ ij ] + [ b ij ] = [ c ij ], όπου [ c ij ] πίνακας m µε c ij = ij + b ij, για κάθε i, j ) Τον αριθµητικό πολλαπλασιασµό Αν [ ij ] πίνακας m και λ αριθµός τότε ορίζουµε λ[ ij ] = [ b ij ],όπου [ b ij ] πίνακας m µε b ij = λ ij, για κάθε i, j 3) Το γινόµενο πινάκων Αν [ ij ] πίνακας m και [ b jk ] πίνακας l, τότε ορίζουµε [ ij ] [ b jk ] = [ c ik ], όπου [ c ik ] πίνακας m l µε c ik = κάθε i, k j= b ij ik, για Ιδιότητες των πράξεων πινάκων)

8 Έστω A, B, Cπίνακες και λ R, τότε εφόσον οι διαστάσεις των πινάκων επιτρέπουν τις πράξεις), έχουµε τις ισότητες: i) A + B) C = AC+ BC ii) A B+ C) = AB+ AC iii) λ AB) = λa) B= A λb) iv) AB ) C = A BC) Σηµειώνουµε ότι εν γένει AB BA Τους πίνακες [ ij ] όπου ij = 0, για κάθε i, τους λέµε µηδενικούς και τους συµβολίζουµε µε Ο Οι πίνακες λέγονται τετραγωνικοί αν i= j Τους τετραγωνικούς πίνακες [ ij ] µε ij =, για κάθε i, j, τους λέµε 0 αν i j ταυτοτικούς και τους συµβολίζουµε µε Ι Αν Ι είναι o ταυτοτικός, Β πίνακας l και C πίνακας l, τότε I B = B, C I = C Ένας πίνακας Α λέγεται αντιστρέψιµος αν υπάρχει πίνακας Β τέτοιος ώστε ΑΒ = ΒΑ = Ι, όπου Ι ταυτοτικός, οπότε ο Β λέγεται αντίστροφος του Α i) Αν ο Α έχει αντίστροφο Β τότε οι Α, Β είναι της µορφής ii) Αν ο Α είναι αντιστρέψιµος τότε έχει µοναδικό αντίστροφο Ο αντίστροφος του Α, αν υπάρχει, συµβολίζεται Α - Ασκήσεις ) ώστε παραδείγµατα πινάκων Α, Β για τους οποίους δεν ορίζεται το γινόµενο ΑΒ αλλά ορίζεται το ΒΑ ) ώστε παράδειγµα πινάκων Α, Β για τους οποίους ορίζονται τα γινόµενα ΑΒ, ΒΑ και i) ΑΒ ΒΑ ii) AB = BA 3) είξτε ότι ο Α = είναι αντιστρέψιµος και να βρεθεί ο αντίστροφός του 3 4 4 3 4) Βρείτε την τάξη του πίνακα 3 4

9 Έστω πίνακας Α x Θέτουµε Χ τον πίνακα [Α I] όπου Ι ο ταυτοτικός x άρα ο Χ είναι πίνακας x) Ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος τότε και µόνο όταν ο πίνακας Χ µετά από στοιχειώδεις πράξεις παίρνει τη µορφή [Ι Β], οπότε Α - = Β Σηµειώνουµε ότι η προηγούµενη στηρίζεται στο εξής: Μετά από κάθε στοιχειώδης πράξη ενός πίνακα Α mx, ο πίνακας Α µετασχηµατίζεται σε έναν πίνακα ΒΑ γινόµενο πινάκων Β και Α) όπου ο Β είναι αντστρέψιµος πίνακας Υπόδειξη για την απόδειξη: Για την µετάθεση πχ των γραµµών των και πολλαπλασιάζουµε από τα αριστερά 0 O, m τον Α µε τον πίνακα Β = 0 O, m O m, Om, I m, m Με Ο συµβολίζουµε τους µηδενικούς πίνακες και µε Ι τους ταυτοτικούς Οι δείκτες δηλώνουν τις διαστάσεις των πινάκων Για τον πολλαπλασιασµό πχ της γραµµής µε τον αριθµό x πολλαπλασιάζουµε από τα x O, m αριστερά τον Α µε τον πίνακα Β = Om, I m, m Την στοιχειώδη πράξη πχ όπου πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε χ και την προσθέτουµε στην η, πολλαπλασιάζουµε από τα αριστερά µε τον πίνακα 0 O, m x O, m O m, Om, I m, m Αν Α είναι πίνακας τότε συµβολίζουµε µε Α ij τον ) ) που σχηµατίζεται αν από τον Α αφαιρέσουµε την i-γραµµή και την j-στήλη Για κάθε πίνακα Α ορίζουµε µία τιµή που λέγεται ορίζουσα και συµβολίζεται deta ή Α Ο ορισµός γίνεται επαγωγικά για =, 3, 4, b Για πίνακα Α = c d, ορίζουµε deta = d bc Για πίνακα Α, µε 3, ισχύει ότι i+ j deta = ) ij det Aij, για κάθε j, i=

0 deta = i+ j ) ij det Aij, για κάθε i j= Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος τότε και µόνο αν deta 0 Ασκήσεις ) Βρείτε µια βάση και την διάσταση του υπόχωρου SA), όπου Α = {,,, ),, 3,, 4), 0,,, ), 3, 9, 8, ) } x y 0 7 9 ) Εξετάστε για ποια x, y ο πίνακας xy x y 7 είναι αντιστρέψιµος 0 Αν Α, Β πίνακες, και Ι ταυτοτικός, τότε detab) = deta)detb), deti = Αν [ ij ] πίνακας m, [ x j ] πίνακας και [ b i ] πίνακας m, τότε η εξίσωση [ ij ] [ x j ] = [ b i ], δηλ η x x b b =, m m m b m x είναι ισοδύναµη µε το σύστηµα εξισώσεων: x + x+ + x = b x + x+ + x = b m x+ mx+ + mx = b m Με M m θα συµβολίζουµε το σύνολο όλων των m πινάκων

Άσκηση Αν Α Μ m, τότε ο πίνακας Α ορίζει µια απεικόνιση Α: Μ Μ m ως εξής: ΑΧ) = Α Χ, για κάθε Χ Μ Έστω Β M l, τότε ορίζουµε παρόµοια την απεικόνιση Β: M l Μ, και παίρνουµε την σύνθεση των δύο συναρτήσεων Α o Β: M l Μ m είξτε ότι η απεικόνιση ΑoΒ ισούται αυτήν που ορίζει ο πίνακας Α Β, δηλ ΑoΒΧ) = Α Β) Χ, για κάθε Χ M l Μία απεικόνιση f : R m R λέγεται γραµµική αν έχει τις ιδιότητες: α) f + b) = f ) + f b) ]β) f λ) = λ f ) για κάθε, b R m και λ R Χωρίς βλάβη µπορούµε να ταυτίζουµε τους πίνακες µε τα διανύσµατα του R ως εξής: =,,, ) = M Έστω A πίνακας m, τότε η απεικόνιση f : R R m µε x f x, x,, x ) = A x R m x είναι γραµµική, και αντίστροφα: για κάθε γραµµική f υπάρχει ένας τέτοιος πίνακας A Έστω Α = [ ij ] Μ m, και b Μ m, = R m, τότε ορίζουµε τον επαυξηµένο πίνακα b b [Α b] = m m m b m Προφανώς, ο πίνακας [Α b] είναι m + ) Έστω ότι ο πίνακας [Α b] µετά από στοιχειώδεις πράξεις γίνεται [Α b ], τότε οι εξισώσεις Αx = b και Α x = b είναι ισοδύναµες

Θεώρηµα H εξίσωση Αx = b, όπου Α m πίνακας, b R m, έχει λύση ως προς x R τότε και µόνο όταν rka = rk[α b] Έχει µοναδική λύση τότε και µόνο όταν rka = rk[α b] = Έχει άπειρες λύσεις αν rka = rk[α: b] < Αν x µ είναι µία µερική) λύση της εξίσωσης Αx = b, τότε κάθε λύση της είναι της µορφής x 0 + x µ, όπου x 0 λύση της αντίστοιχης οµογενούς) Αx = 0 Το σύνολο των λύσεων x R της εξίσωσης Αx = 0, όπου Α Μ m, και 0 το µηδενικό διάνυσµα του R m, είναι υπόχωρος του R Έχει µοναδική λύση η εξίσωση Αx = 0 τη µηδενική) τότε και µόνο όταν rka = Ένας πίνακας Α έχει αντίστροφο τότε και µόνο όταν rka = Ασκήσεις ) Εξετάστε για τις διάφορες τιµές του λ τις λύσεις του συστήµατος λx+ y+ z= x+ y+ z= x+ 3y+ λz+ w= x+ y+ z+ w= λ ) Ποια είναι η διάσταση του χώρου των λύσεων του συστήµατος x + x+ x3 x4 = 0 x + x+ 3x3 x5 = 0 x + x 7x x + 3x = 0 3 4 5 3) είξτε, χωρίς τη χρήση Θεωρήµατος, ότι αν ο πίνακας [Α b] είναι κλιµακωτός τότε για να έχει λύση η εξίσωση Αx = b πρέπει και αρκεί να ισχύει rka = rk[α b]

3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Θυµίζουµε κατ αρχάς τον ορισµό της παραγώγου καθώς και ένα σχετικό θεώρηµα Έστω µία συνάρτηση f: [, b] R Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο x, για x [, b], αν υπάρχει το όριο f x + x) f x) lim, x 0 x οπότε το όριο το συµβολίζουµε f x) και το λέµε παράγωγο της f στο x Αν υπάρχει το f x) για κάθε x θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη Στη συνέχεια θα θεωρούµε µόνο συναρτήσεις παραγωγίσιµες Ισχύει ο κανόνας της παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης f o g) x) = f g x)) g x) Θεώρηµα Έστω f: [, b] R παραγωγίσιµη Τότε υπάρχει ξ, b) έτσι ώστε f b) f ) = f ξ ) b Έστω συνάρτηση f = f x), τότε µπορούµε να έχουµε όταν x ) 0 df f x+ x) f x) + x, dx Έστω µία συνεχής f: [, b] R Χωρίζουµε το διάστηµα [, b] σε N ίσα τµήµατα b µήκους x άρα x = ) Απο κάθε τµήµα παίρνουµε ένα σηµείο x, N =,, N Θέτουµε S N = = f x ) x Αποδεικνύεται ότι το lim S υπάρχει, είναι πραγµατικός + b αριθµός, συµβολίζεται f x) dx και λέγεται ορισµένο) ολοκλήρωµα της fx) στο διάστηµα [, b]

4 b Το f x) dx ισούται µε το εµβαδόν του χωρίου{ x, y) : x b, 0 y f x) } µείον το εµβαδόν του χωρίου {, y) : x b, f x) y 0} x Θεώρηµα Έστω f: [, b] R συνεχής, τότε: x i) Αν θέσουµε Fx) = f t) dt για κάθε x [, b], τότε F x) = fx) b ii) Αν F: [, b] R µε F x) = fx), τότε f x) dx = Fb) F) Αν F: [, b] R µε F x) = fx), τότε θέτουµε f x) dx= F x) + c, όπου c αυθαίρετη σταθερά, και λέµε ότι το αόριστο) ολοκλήρωµα της fx) είναι Fx) + c Το σύνολο των F x) + c, c R, είναι όλες οι συναρτήσεις που η παράγωγός τους δίνει fx) Ιδιότητες Αν f: [, b] R, g: [, b] R και s, t σταθερές, τότε x) tg x) dx= s f x) dx+ t b sf + g x) dx x) + tg x) dx= s f x) dx+ t b sf g x) dx b i) f x) dx= f x) + c ii) f x) = g x) f x) dx= g x) dx Κανόνες ολοκλήρωσης)

5, όπου y = gx), κανόνας της αντικατάστασης ή i) f g x)) g x) dx= f y) dy αλλαγής µεταβλητής) ii) f x) g x) dx= f x) g x) f x) g x) dx, κανόνας της κατά µέρη ολοκλήρωσης ή κατά παράγοντες ολοκλήρωσης) Πίνακας στοιχειωδών ολοκληρωµάτων λ+ λ x x dx= + c, λ+ για λ και x> 0), dx = l x + c, για x < 0 ή για x > 0), x dx= l x+ x+ e x dx e x = + c, sixdx= cosx+ c, cos xdx = six+ c, dx=τοξεφ x + x + c, για x< ή για x> ), H συνάρτηση f x) = Τοξεφ x, x R, ορίζεται ώς εξής: f x) π /, π / ) έτσι ώστε εφ f x) ) = x i) Αν, b, s, t σταθερές µε s t τότε υπάρχουν σταθερές Α, Β ώστε x+ b A B = + για κάθε x s, t x - s)x - t) x -s x - t x+ b A B ii) Αν, b, s σταθερές τότε υπάρχουν σταθερές Α, Β ώστε = + x -s) x -s x -s) για κάθε x s

6 ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ιαφορική εξίσωση λέµε την εξίσωση που περιέχει µια άγνωστη συνάρτηση µε παράγωγό της Την άγνωστη συνάρτηση θα την συµβολίζουµε yx) ή απλά y Το σύνολο όλων των συναρτήσεων που ικανοποιούν µία διαφορική εξίσωση το λέµε γενική) λύση της διαφορικής εξίσωσης Μερική λύση µιας διαφορικής εξίσωσης λέγεται µια συνάρτηση που την ικανοποιεί Θα λέµε ότι µια διαφορική εξίσωση έχει τάξη κ όταν η µεγαλύτερη τάξη παραγώγισης που εµφανίζεται στην άγνωστη συνάρτηση είναι κ Εν γένει η γενική λύση µιας εξίσωσης τάξης κ εκφράζεται µε τη βοήθεια κ αυθαίρετων σταθερών Παρατήρηση ) Μία διαφορική εξίσωση της µορφής y = f x) όπου και fx) γνωστή συνάρτηση) λύνεται εύκολα µε ολοκληρώσεις, όπως: y = f x) f x) dx, = f x dx) y = f x) y ) dx ) y η -στή παράγωγος της y Εξετάζουµε τις ακόλουθες κατηγορίες διαφορικών εξιώσεων: α) Γραµµική ης τάξης Μια διαφορική εξίσωση της µορφής y + f x)y= gx) όπου fx), gx) γνωστές συναρτήσεις, λέγεται γραµµική ης τάξης Για την λύση της: Αν f x)dx= Fx) + c, τότε πολλαπλασιάζουµε την εξίσωση µε Fx) e οπότε έχουµε

7 Fx) Fx) Fx) e y + e f x)y= e gx), ισοδύναµα: = = = Fx) Fx) Fx) Fx) Fx) Fx) e y) e gx) e y) dx e gx)dx e y e gx)dx Fx) Fx) y e e gx)dx = β) Χωριζοµένων µεταβλητών Μια διαφορική εξίσωση της µορφής f y)y = gx) όπου fx), gx) γνωστές συναρτήσεις, λέγεται διαφορική εξίσωση χωριζοµένων µεταβλητών Για την λύση της: Ολοκληρώνουµε την εξίσωση και παίρνουµε f y)y dx= gx)dx f y)dy = gx)dx, έχοντας κάνει αντικατάσταση της συνάρτησης y µε την µεταβλητή y Μετά την ολοκλήρωση µπορούµε να θεωρούµε και πάλι το y ως συνάρτηση, οπότε έχουµε µια µη διαφορική εξίσωση που περιέχει την άγνωστη συνάρτηση γ) Οµογενείς Μια διαφορική εξίσωση της µορφής y y = f ) x όπου f γνωστή συνάρτηση, λέγεται οµογενής Για την λύση της: Θέτουµε y = z Οπότε y = xz και y =z + xz Συνεπώς, αρκεί να υπολογίσουµε την x άγνωστη συνάρτηση z στην διαφορική εξίσωση z+ xz = f z) z =, f z) z x όπου z είναι η άγνωστη συνάρτηση σε µία διαφορική εξίσωση χωριζοµένων µεταβλητών Αρχικές συνθήκες µιας διαφορικής εξίσωσης λέµε τις επιπλέον συνθήκες που πρέπει να πληρεί η άγνωστη συνάρτηση της διαφορικής εξίσωσης Οι αρχικές συνθήκες µαζί µε την διαφορική εξίσωση προσδιορίζουν εν γένει µία µοναδική συνάρτηση

8 Συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Μια απεικόνιση f : X R, όπου X R, λέγεται πραγµατική) συνάρτηση µεταβλητών Θέτουµε f x, x, x ) την τιµή της f στη θέση x, x, x ) X Την f x, x, x f θα την συµβολίζουµε και ) Λέµε ότι τα x i, είναι οι µεταβλητές της f x, x, x ) Αν x είναι µία µεταβλητή της f, τότε µε f x ή συµβολίζουµε την παράγωγο της f ως προς x εφόσον υπάρχει), θεωρόντας τις άλλες µεταβλητές σταθερές Λέµε την µερική παράγωγο της f ως προς x Αν x, y είναι µεταβλητές της f, θέτουµε f x ή f xy ή f την µερική παράγωγο y y της f x ως προς x εφόσον υπάρχει) Στη συνέχεια, υποθέτουµε ότι οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιµες ως προς κάθε µεταβλητή Ισχύει ότι f xy = f yx Λέµε ότι η f x, x, x ) έχει τοπικό µέγιστο αντίστοιχα: τοπικό ελάχιστο) στο σηµείο ξ, ξ,, ξ ) αν f x, x, x ) f ξ, ξ,, ξ ) αντίστοιχα: ξ, x ξ,, x ξ f ξ, ξ,, ξ ) f x, x, x ) ) όταν x Τα τοπικά ακρότατα µιας συνάρτησης f = f x, x, x ) ικανοποιούν τις εξισώσεις = 0, = 0,, x = 0 Κανόνας της αλυσίδας) Έστω συνάρτηση f = f x, x, x ) και x t, t, t m ) x t, t, t m x =, x = ),, x = x t, t, t ) συναρτήσεις που εξαρτούνται από τις µεταβλητές t, Οπότε µπορούµε να θεωρούµε f = f t, t, t ) Ισχύει ότι = ti ti για κάθε i =,,, + t i m + + t i, m, t t m

9 Κλίση της f = f x, x, x ) λέµε τη διανυσµατική) συνάρτηση f =,,, ) Έστω f = f x, x, x ) και ξ = ξ, ξ,, ξ ) R µε ξ = Η παράγωγος της x, x, x f στο σηµείο ) κατά την διεύθυνση ξ ορίζεται το D ξ f x, x, x ) = df x + tξ x + tξ dt + tξ,, ) x t= 0 Ισχύει ότι D ξ f = f ξ, δηλ D ξ f x, x, x ) =,,, ) ξ, ξ,, ξ ) = = ξ+ ξ + + ξ x Λέµε ότι η f x, x, x ) έχει τοπικό µέγιστο αντίστοιχα: τοπικό ελάχιστο) στο σηµείο ξ, ξ,, ξ ) αν f x, x, x ) f ξ, ξ,, ξ ) αντίστοιχα: ξ, x ξ,, x ξ f ξ, ξ,, ξ ) f x, x, x ) ) όταν x Τα τοπικά ακρότατα µιας συνάρτησης f = f x, x, x ) ικανοποιούν τις εξισώσεις = 0, = 0,, x = 0 Μια συνάρτηση f x, x, x ) έχει τοπικό µέγιστο αντίστοιχα: ελάχιστο) σε ένα σηµείο x, x, x ) τότε και µόνο όταν η συνάρτηση g t) = f x + tξ, x + tξ, x + tξ ), t R, έχει τοπικό µέγιστο αντίστοιχα: ελάχιστο) στο t = 0, για κάθε ξ, ξ,, ξ R Έστω f = f x, x, x ), τότε f x + x, x + x, x + x ) f x, x, x ) + x + x + + x, Η προσέγγιση είναι τόσο καλύτερη όσο x, x,, x είναι πλησιέστερα προς το 0

0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ, ΣΕΙΡΕΣ Ακολουθία λέµε µία απεικόνιση α: N R, και συµβολίζουµε α = ) Θα λέµε ότι η ακολουθία α συγκλίνει στο λ ή ότι έχει όριο το λ) και θα γράφουµε lim =λ, ή lim = λ, ή λ + για λ R: αν για κάθε ε > 0 υπάρχει Ν > 0 ώστε α - λ < ε, για κάθε > N, για λ = + : αν για κάθε ε > 0 υπάρχει Ν > 0 ώστε α > ε, για κάθε > N, για λ = - : αν για κάθε ε > 0 υπάρχει Ν > 0 ώστε α < -ε, για κάθε > N i) limα = 0 lim α = 0 + + ii) Αν α β γ για κάθε, και lim + iii) Αν α β για κάθε, και lim + α = lim + α = +, τότε lim + γ = λ, τότε lim + β = + β = λ iv) Αν α β για κάθε, και limβ = -, τότε lim α = - + + v) Αν η α είναι µονότονη και φραγµένη τότε συγκλίνει σε ένα λ R limρ = +, αν ρ >, αν ρ = 0, αν ρ < δεν συγκλινει, αν ρ - Αν fx), gx) παραγωγίσιµες συναρτήσεις µε lim fx) = lim gx) = 0 ή + ή -, x + x + ) τότε lim f = + g lim f x) ) x + g x ) Υποθέτουµε ότι το πεδίο ορισµού των fx), gx) περιλαµβάνει το [, + ), gx)g x) 0 για κάθε x, και υπάρχει f x) το ) xlim + g x ) Έστω ακολουθία α Θεωρούµε την ακολουθία s των µερικών αθροισµάτων της α, δηλ s = α + α + α 3 + + α για κάθε N Την ακολουθία αυτή την λέµε σειρά και την συµβολίζουµε + + α = Με α συµβολίζουµε και το όριο της σειράς, όταν υπάρχει =

+, αν ρ + ρ i) ρ =, αν ρ < = ρ δεν υπαρχει, αν ρ - + ii) =+ = + iii) = + ) = Μια σειρά + α λέµε ότι συγκλίνει αν = + α = λ, µε λ R = i) Αν η σειρά + α συγκλίνει τότε limα = 0 + = + + + ii) Αν b d για κάθε, τότε υπάρχουν) b c όταν αυτά = = =