Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί να ειλύει τις βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: ημx =α, συνx=α, εφx=α και άλλες ου ανάγονται σ αυτές. Να γνωρίζει τους τύους του αθροίσματος της διαφοράς και του διλάσιου τόξου, καθώς και τις αοδείξεις αυτών και με την βοήθεια αυτών να υολογίζει την τιμή αραστάσεων των τριγωνομετρικών α- ριθμών. Να ειλύει τριγωνομετρικές εξισώσεις. Να αοδεικνύει τριγωνομετρικές ταυτότητες.
. Τριγωνομετρία Τύοι - Βασικές έννοιες ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ: Τύοι - Βασικές έννοιες Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας ω Τεταρτημόρια ημω συνω εφω σφω Ι ΙΙ - - - ΙΙΙ - - ΙV - - - Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών βασικών γωνιών ω (μοίρες) ω (rad) ημω συνω εφω σφω o ο ο o o o o o 5 6 9 8 7 6 6 Ταυτότητα Με την ροϋόθεση ημ ω συν ω= ω R ημω εφω = συνω ω R, συνω συνω σφω = ημω ω R, ημω εφω σφω = ω R, ημω συνω ημ εφ ω ω εφ ω = ω R, συνω = ω R, συνω συν ω εφ ω
Τύοι - Βασικές έννοιες Τριγωνομετρία 5. ημ συν εφ σφ x ημx συνx εφx σφx x 9 x συνx ημx σφx εφx x 9 x συνx ημx σφx εφx x 8 x ημx συνx εφx σφx x 8 x ημx συνx εφx σφx x 7 x συνx ημx σφx εφx x 7 x συνx ημx σφx εφx x 6 x ημx συνx εφx σφx x 6 x ημx συνx εφx σφx Περιοδική συνάρτηση * Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T R τέτοιος ώστε για κάθε x A να ισχύουν: i. x T A, x T A, ii. f( x T) = f( x T) = f( x) O αριθμός T λέγεται ερίοδος της συνάρτησης f. Η συνάρτηση ημίτονο Η συνάρτηση με την οοία κάθε ραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο ημ(x rad) λέγεται συνάρτηση ημίτονο και τη συμβολίζουμε με: ημx = ημ(x rad) Η συνάρτηση ημίτονο είναι εριοδική με ερίοδο διότι: ημ(x) = ημx, για κάθε x R Αυτό σημαίνει ότι η γραφική της αράσταση εαναλαμβάνεται σε κάθε διάστημα λάτους. Η μονοτονία της συνάρτησης αυτής στο διάστημα [,] φαίνεται στον διλανό ίνακα. Η συνάρτηση συνημίτονο Η συνάρτηση με την οοία κάθε ραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο συν (x rad) λέγεται συνάρτηση συνημίτονο και τη συμβολίζουμε με: συνx = συν (x rad) Η συνάρτηση αυτή είναι εριοδική με ερίοδο., διότι: συν(x)=συνx για κάθε x R
6. Τριγωνομετρία Τύοι - Βασικές έννοιες Αυτό σημαίνει ότι η γραφική της αράσταση εαναλαμβάνεται σε κάθε διάστημα λάτους. Η μονοτονία της συνάρτησης αυτής στο διάστημα [,] φαίνεται στον διλανό ίνακα. Η συνάρτηση εφατομένη Η συνάρτηση εφατόμενη ορίζεται ως το ηλίκο του ημιτόνου ρος το συνημίτονο. ημx Είναι: f(x) = εφx = με εδίο ορισμού το A = {x R:συνx } συνx Η συνάρτηση εφx είναι εριοδική με ερίοδο διότι: εφ( x) = εφx, για κάθε x A. Άρα η γραφική της αράσταση εαναλαμβάνεται η ίδια σε κάθε διάστημα λάτους. Όταν το x λησιάζει ( τείνει ) στο με x < η εφx τείνει στο γι αυτό λέμε ότι η ευθεία x = είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της γραφικής αράστασης της f με f(x) = εφx. Οι συναρτήσεις f(x) = ρημ(ωx), όου ρ, ω > και g(x) = ρσυν(ωx), όου ρ, ω > Εειδή ημx έχουμε ημx(ωx) και εειδή ρ > είναι: ρ ρημ(ωx) ρ -ρ f (x) ρ Άρα η μέγιστη τιμή της f είναι το ρ και η ελάχιστη τιμή της είναι το - ρ. Το ω καθορίζει την ερίοδο Τ της f ου είναι: T = ω
Τύοι - Βασικές έννοιες Τριγωνομετρία 7 Τριγωνομετρικές εξισώσεις ημx = ημθ x = κ θ ή x = κ θ, κ Ζ συνx = συνθ x = κ ± θ, κ Ζ εφx = εφθ x = κ θ, κ Ζ σφx = σφθ x = κ θ, κ Ζ Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος και διαφοράς συν(α β) = συνασυνβ - ημαημβ ημ(α β) = ημασυνβ συναημβ συν(α - β) = συνασυνβ ημαημβ ημ(α - β) = ημασυνβ - συναημβ εφα εφβ εφα εφβ εφ(α β) = εφ(α β) = εφαεφβ εφαεφβ σφασφβ σφ(α β) = σφα σφβ σφασφβ σφ(α β) = σφβ σφα Τριγωνομετρικοί αριθμοί του α. ημα = ημασυνα α. συνα = συν α ημ α β. συνα = συν α γ. συνα = ημ α εφα. εφα σφ α =. σφα = 5. εφ α σφα εφα ημα = εφ α 6. συνα εφ α συνα συνα = 7. εφ α = 8. ημ α = εφ α συνα συνα 9. συν α =. =. συνα = συν α συνα ημα ημα ημ α
8 Τριγωνομετρία [Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος και διαφορές γωνίων] ΘΕΩΡΙΑ συν(α β) = συνασυνβ ημαημβ Αόδειξη Χωρίς αόδειξη ΘΕΩΡΙΑ συν(α β) = συνασυνβ ημαημβ Αόδειξη Αν στον τύο () αντικαταστήσουμε το β με β έχουμε : συν[α ( β)] = συν(α β) συν[α ( β)] = συνασυν( β) ημαημ( β) = συνασυνβ ημαημβ ΘΕΩΡΙΑ ημ(α β) = ημασυνβ συναημβ Αόδειξη Εειδή συν( / x) = ημx και ημ( / x) = συνx έχουμε : ημ(α β) = συν[ / (α β)] = συν[( / α) β] = = συν(/ α)συνβ ημ(/ α)ημβ= ημασυνβ συναημβ ΘΕΩΡΙΑ ημ(α β) = ημασυνβ συναημβ Αόδειξη Αν στον τύο () αντικαταστήσουμε το β με το β έχουμε : ημ[α ( β)] = ημ(α β) ημ[α ( β)] = ημασυν( β) συναημ( β) = ημασυνβ συναημβ
Τριγωνομετρία 9 ΘΕΩΡΙΑ 5 Αόδειξη εφα εφβ εφ(α β) =, συν(α β) και συνα και εφαεφβ συνβ. ημ(α β) ημασυνβ συναημβ εφ(α β) = = συν(α β) συνασυνβ ημαημβ = (Διαιρούμε με συνασυνβ ) ημασυνβ συναημβ συνασυνβ συνασυνβ εφα εφβ = = συνασυνβ ημαημβ εφαεφβ συνασυνβ συνασυνβ εφα εφβ ΘΕΩΡΙΑ 6 εφ(α β) = εφαεφβ Αόδειξη Aν στον τύο (5) αντικαταστήσουμε το β με β έχουμε : εφ(α β) = εφ[α ( β)] εφα εφ( β) εφα εφβ εφ[α ( β)] = = εφαεφ( β) εφαεφβ [Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α] ΘΕΩΡΙΑ 7 ημα = ημασυνα Αόδειξη ημα = ημ(α α) = ημασυνα συναημα = ημασυνα ΘΕΩΡΙΑ 8 συνα = συν α ημ α = συν α = ημ α Αόδειξη συνα = συν(α α) = συνασυνα ημαημα= συνα ημ α συν α ημ α = συν α ( συν α) = συν α συν α = συν α
Τριγωνομετρία συν α ημ α= ημ α ημ α= ημ α εφα ΘΕΩΡΙΑ 9 εφα = εφ α Αόδειξη εφα εφα εφα εφα = εφ(α α) = = εφαεφα εφ α συνα ΘΕΩΡΙΑ συν α = Αόδειξη Αό τον τύο () έχουμε: συνα συνα = συν α συνα = συν α συν α = συνα ΘΕΩΡΙΑ ημ α = Αόδειξη Αό τον τύο () έχουμε: συνα συνα = ημ α ημ α = συνα ημ α = ΘΕΩΡΙΑ συνα εφ α = συνα Αόδειξη εφ α συνα ημ α συνα συν α συνα συνα = = =
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Oι συναρτήσεις ηµx, συνx, εφx, σφx Ερωτήσεις κατανόησης. Πότε µια συνάρτηση λέγεται εριοδική;. Ποια είναι η ερίοδος για τη συνάρτηση ηµίτονο, συνηµίτονο, εφατόµενη, συνεφατοµένη;. Τι σχέση υάρχει ανάµεσα στις γραφικές αραστάσεις του ηµίτονου και του συνηµίτονου;. Ποιο είναι το εδίο ορισµού της f (x) = εφx ; 5. Ποιο είναι το εδίο ορισµού της f (x) = σφx ; 6. Ποιο είναι το εδίο τιµών της f (x) = συνx ; 7. Η συνάρτηση f (x) = εφx έχει µέγιστο. Σωστό Λάθος 8. Η συνάρτηση f (x) = συνx είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ]. Σωστό Λάθος 9. Η συνάρτηση f (x) = συνx είναι άρτια. Σωστό Λάθος. Η συνάρτηση f (x) = σφx είναι άρτια. Σωστό Λάθος. Η συνάρτηση f (x) = εφx είναι γνησίως αύξουσα στο,. Σωστό Λάθος. Το σύνολο τιµών της συνάρτησης Σωστό Λάθος ηµx f (x) = είναι [-, ]. ηµx. Οι συναρτήσεις f (x) = ηµx και g(x) = εφx έχουν την ίδια ερίοδο. Σωστό Λάθος. Η µέγιστη τιµή της αράστασης ηµ ( ω ) είναι: - 5. Η συνάρτηση f (x) = εφx έχει ερίοδο: 6
6. Η µέγιστη τιµή της αράστασης ηµω είναι: 7. Η ελάχιστη τιµή της αράστασης συνx είναι: - - 5 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 8. Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f (x) = ηµ(x ) τέµνει τον άξονα χ χ στο: 9. Η συνάρτηση f (x) = ηµ x είναι: άρτια εριττή γν. αύξουσα γν. φθίνουσα. Η συνάρτηση f (x) = εφx είναι: εριττή εριοδική γν. αύξουσα όλα τα ροηγούµενα. Αν η συνάρτηση f (x) = συνωx έχει ερίοδο, τότε το ω είναι ίσο µε: Α: Β: Γ: : 6 Ε:. Στην ρώτη στήλη δίνονται συναρτήσεις και στη δεύτερη στήλη οι αντίστοιχες ερίοδοι τους. Να συνδέσετε καθεµία συνάρτηση µε την αντίστοιχη ερίοδο. συνάρτηση Περίοδος x ηµ x συν ηµ x x εφ x ηµ ηµ (x ) 8. Να συµληρώσετε τα κενά στις αρακάτω ροτάσεις. α) Όταν < x < y <, τότε το συνχ είναι... αό το συνy. β) Όταν < x < y <, τότε το συνχ είναι...αό το συνy. γ) Όταν < y < x <, τότε το ηµχ είναι... αό το ηµy.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Στην ρώτη στήλη δίνονται µερικές τριγωνοµετρικές συναρτήσεις και στη δεύτερη στήλη το σύνολο τιµών τους. Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση µε το σύνολο τιµών της. συνάρτηση σύνολο τιµών εφχ [-, ] ηµ x R -συνχ [-7,] ηµχ- [, ] εφχ R/ {} 5. Να συµληρώσετε τα κενά στις αρακάτω ροτάσεις. α) Η συνάρτηση f (x) = εφx έχει εδίο ορισµού το σύνολο... β) Η συνάρτηση f (x) = σφx έχει εδίο ορισµού το σύνολο... γ) Η συνάρτηση f (x) = έχει εδίο ορισµού το σύνολο... συνx δ) Η συνάρτηση f (x) = ηµ x έχει εδίο ορισµού το σύνολο... 6. Η τιµή της αράστασης συνx δεν ορίζεται όταν το χ είναι ίσο µε: Α: Β: Γ: : 9 Ε: 7 Να σηµειώσετε τη σωστή αάντηση. 7. Η ερίοδος της συνάρτησης f (x) = συνx είναι: Α: Β: Γ: : Ε: Να σηµειώσετε τη σωστή αάντηση. 8. Να σηµειώσετε οιες αό τις αρακάτω ροτάσεις είναι σωστές και οιες λανθασµένες. Η ερίοδος της συνάρτησης f (x) = ηµ x είναι. Αν το χ είναι σε µοίρες, η ερίοδος της συνάρτησης f (x) = συνx είναι 9. 5 Τα σηµεία, και, ανήκουν στη γραφική αράσταση της συνάρτησης 6 6 5 f (x) = συν(x ). Το λάτος της γραφικής αράστασης της συνάρτηση f (x) = ηµ x είναι -. Η συνάρτηση f (x) = ηµ x, x R, έχει µέγιστο το και ελάχιστο το -. Η συνάρτηση f (x) = εφx, x,, δεν έχει ακρότατα. 9. Να σηµειώσετε τη σωστή αάντηση σε καθεµία αό τις αρακάτω ερωτήσεις. α) Η τιµή του χ για την οοία δεν ορίζεται η συνάρτηση f (x) = είναι η: συνx Α: Β: Γ: 5 : 9 Ε: 7 β) Η συνάρτηση f (x) = ηµ x έχει σε µοίρες ερίοδο: Α: 8 Β: 6 Γ: 9 : γ) Η ερίοδο της συνάρτησης f (x) = συνx είναι ίση µε: 7 Ε:
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α: Β: Γ: : Ε: δ) Στο εδίο ορισµού της συνάρτησης εφχ δεν ανήκει η τιµή του χ η οοία είναι ίση µε: Α: Β: Γ: : Ε:. Σε καθεµία αό τις ακόλουθες ερωτήσεις να σηµειώσετε τη σωστή αάντηση Η ηµιτονοειδής καµύλη µε λάτος και ερίοδο Τ= έχει εξίσωση την: Α: y = ηµ x Β: y = ηµ x Γ: y = ηµx : y = ηµ x x Ε: y = ηµ. Όταν είναι < x <, τότε η τιµή του ηµχ: Α: αυξάνεται αό το - στο Β: αυξάνεται αό το στο Γ: ελαττώνεται αό το στο - : ελαττώνεται αό το στο Ε: δεν συµβαίνει κανένα αό τα ροηγούµενα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. είξτε ότι η συνάρτηση εφ x (x) = είναι σταθερή. εφ x συν x ηµ x f. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: f (x) = ηµ x, g(x) = ηµ x, h(x) = ηµ x. Όµοια των συναρτήσεων: f (x) = ηµ x, g(x) = ηµ x, h(x) = ηµ ( 5x) x. Έστω η συνάρτηση f (x) = ηµ. Ποια είναι η µέγιστη και ελάχιστη τιµή της; Ποια 5 η ερίοδος της; Ποια η γραφική της αράσταση; 5. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: f (x) = εφx, g(x) = εφx, h(x) = εφx < x < 6. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: x f (x) = σφx, σφ, σφx 7. Έστω η συνάρτηση f (x) = ηµ x ηµ x, x. α) Για τις διάφορες τιµές του χ να αλοοιήσετε τον τύο της. β) Να κάνετε τη γραφική της αράσταση της f όταν x [,]. 8. Έστω η συνάρτηση f (x) = συνx συνx, x. α) Για τις διάφορες τιµές του χ να αλοοιήσετε τον τύο της. β) Να κάνετε τη γραφική της αράσταση.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5 Ερωτήσεις κατανόησης. Ισχύει η ισοδυναµία συν x συνx =. Σωστό Λάθος. Η γενική λύση της εξίσωσης συν x = συνθ είναι: x = κ θ x = κ x = κ x = κ. Η γενική λύση της εξίσωσης ηµ x = συνx είναι: x = κ x = κ x = κ x = κ α 5. Σε κάθε εξίσωση αντιστοιχείστε τις λύσεις της x = κ 5 ηµ x = ηµ x = κ 5 5 συν x = συν x = κ 5 5 εφ x = εφ x = κ 5 5 x = κ 5 x = κ 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9. Να λυθούν οι εξισώσεις: x i) ηµ x = ηµ x ii) συν ( x) = συν iii) συν x = iv) συν x =. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) σφ x = εφx ii) ηµ (x ) = συν(x ) x x iii) συν = ηµ x iv) συν ηµ(x ) =. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) εφ x ( )εφx = ii) ηµ x συνx = συν x iii) συν x = iv) ( ηµx ) ( ηµx)( ηµx ) = ηµ x
6 v) ( ηµx ) = ( ηµx)(ηµx ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Να λυθούν οι εξισώσεις: συνx 7 συνx 5 συνx συνx i) = ηµx ii) ηµx = ηµx ηµx. Έστω η συνάρτηση f(x) = α εφx α. Αν η C f τέµνει τον άξονα y y στο να βρείτε το α. x β. Για α= να λύσετε την εξίσωση: f ( ) f(x ) = x. Έστω η συνάρτηση f(x) = συν. α. Να βρείτε την ερίοδο της f. β. Να βρείτε την ελάχιστη τιµή της f και την τιµή του x ου την αρουσιάζει, όταν x [,]. γ. Να λύσετε την εξίσωση: f (x) f(x ) =. 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ηµ x συν x = ii) σφ x εφ x = 6 x συν συνx 5 iii) = x συνx συν 5 6. Να λυθούν στα αντίστοιχα διαστήµατα οι εξισώσεις: x i) συν =,[,] ii) ηµ x συνx =, (, )
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 7 ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ ÁÈÑÏÉÓÌÁÔÏÓ - ÄÉÁÖÏÑÁÓ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ - ΤΥΠΟΙ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Υολογισµός - αλοοίηση αραστάσεων µε εφαρµογή των τύων των τριγωνοµετρικών αριθµών αθροίσµατος - διαφοράς. Να υολογιστούν οι αραστάσεις: α) ηµ συν ηµ συν = 6 6 β) ηµ ( x) συν( x) ηµ ( x) συν( x) = εφx εφx γ) = δ) συν συν ηµ ηµ = εφx εφx 6 6 Υολογισµός τριγ-κων αριθµών γωνιών οι οοίοι µορούν να γραφούν σαν άθροισµα γωνιών αό γνωστούς τρι-κους αριθµούς. Να βρεθούν οι τριγ-κοι αριθµοί ηµ 5 = ηµ (6 5) = συν 5 = ηµ75 = εφ5 = εφ65 = Αόδειξη διάφορων τριγ-κων ταυτοτήτων χρησιµοοιώντας τους τύους αθροίσµατος - διαφοράς. Να δείξετε ότι: α) συν ( x ) συν(x ) = συνx β) ( ηµα συνα) ( ηµβ συνβ) = ηµ ( α β) συν( α β) ηµ ( α β) γ) εφα εφβ = συνα συνβ ηµ ( α β) ηµ ( β γ) ηµ ( γ α) δ) = συνα συνβ συνβ συνγ συνγ συνα ε) συνα( 6 α) συν(6 α) συν(5 α) = συνα Αόδειξη σχέσεων όταν δίνονται συνθήκες για τις γωνίες Α.Εάν α β = δείξτε ότι ( εφα) ( εφβ) = Β. Σε κάθε Τρ. ΑΒΓ δείξτε ότι: α) εφ Α εφβ εφγ = εφα εφβ εφγ β) σφ Α σφβ σφβ συνγ σφγ σφα = συνα συνβ συνγ γ) = ηµβ ηµγ ηµβ ηµγ ηµα ηµβ
8 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Υολογισµός γωνιών όταν δίνονται κάοιες σχέσεις. Εάν σε Τρ. ΑΒΓ ισχύει: ηµα ηµ ( Β Γ) συν( Β Γ) = εφβ δείξτε ότι: Α = Είλυση ροβληµάτων. Στην λευρά ορθογωνίου τρίγωνου ΑΒΓ ( Α = 9 ) αίρνουµε σηµείο ώστε ΑΓ = Α δείξτε ότι: εφβ α) εφω = όου ω = ΒΓ β) Εάν Β = 6 τότε Β διχοτόµος της Β. εφ Β Είλυση εξισώσεων µε την βοήθεια των τύων αθροίσµατος - διαφοράς. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) εφ x εφ( x) = β) ηµ ( x α) = ηµ (x α) εάν εφα = - γ) εφ (x ) = εφ(x ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Κάθε στοιχείο της στήλης Α είναι ίσο µε ένα και µόνο στοιχείο της στήλης Β. Συνδέστε κατάλληλα τα στοιχεία των δυο στηλών. Στήλη Στήλη Β συν x ηµ xηµ x συνxηµ x συν xσυνx ηµ xηµ x ηµ 5x ηµ xηµ x συνxσυνx συν xσυνx ηµ xηµ x συν 7x συν xσυνx ηµ xηµ x ηµ xσυνx ηµ xσυνx ηµ x συν xηµ x ηµ xσυνx. Αντιστοιχίστε τους σωστούς τύους: ηµ ( α β) συνα συνβ ηµα ηµβ συν ( α β) συνα συνβ ηµα ηµβ ηµ ( α β) ηµα συνβ ηµβ συνα συν ( α β) ηµα συνβ ηµβ συνα ηµ ( β α) ηµβ συνα ηµα συνβ. Ισχύει συν 7 ηµ 5 συν5 ηµ 7 Σωστό Λάθος =
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9 εφx εφy. Αν x = και y = τότε εφ(x y) = 6 εφxεφy Σωστό Λάθος 5. Αν ω = και θ = τότε σφ(ω θ) = 5 Σωστό Λάθος σφωσφθ σφω σφθ 6. Η αράσταση συνxηµx συνxηµx είναι ίση µε: συνχ ηµ5χ ηµχ -ηµχ 7. Η αράσταση συν( x)συν( x) ηµ( x)ηµ(x ) είναι ίση µε: 6 6 5 συν 6 κανένα αό τα ροηγούµενα 8. Η αράσταση 5 εφ εφ 5 εφ εφ είναι ίση µε: εφ δεν ορίζεται 9. Η αράσταση: y = ηµ ( x) συν( x) ηµ ( x) ηµ (x ) είναι ίση µε: 6 6 6 Α. συν Β: συν Γ. ηµ. ηµ 6 Ε. ηµ 6. Το συν 5 είναι ίσο µε: 6 Α. Β. Ε. κανένα αό τα ροηγούµενα Γ. 6. 6. Η εφ 5 είναι ίση µε: Α. Β. Ε. κανένα αό τα ροηγούµενα Γ. ( ).. Αν εφα = τότε εφ (5 α) είναι ίση µε: Α, - Β. - Γ.. Η αράσταση Α. συν 97 Β.. Ε. συν 86 συν ηµ 86 ηµ είναι ίση µε: συν Γ. ηµ. ηµ 97
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Ε. κανένα αό τα ροηγούµενα. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ηµ ΑσυνΒ ηµβσυνα = τότε το τρίγωνο είναι: Α. οξυγώνιο Β. αµβλυγώνιο Γ. ορθογώνιο. οξυγώνιο ισοσκελές Ε. ισόλευρο 5. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ηµ ΑηµΒ συνασυνβ = τότε για τις γωνίες του τρίγωνου είναι: Α. Α = 9 Β. Β = 9 Γ. Γ = 9. Β = Γ Ε. Γ > 9 6. Αν σε τρίγωνου ΑΒΓ ισχύει: ηµ ΒσυνΓ ηµγσυνβ = τότε για τις γωνίες του τρίγωνου είναι: Α. Β > Γ Β. Β < Γ Γ. Β = Γ. Β > 9 Ε. Γ > 9 7. Αν Α = συνφσυνθ ηµφηµθ και 5 < φ < 9, 5 < θ < 9 τότε είναι: Α. Α > Β. Α < Γ. x = y. x = y = Ε. δεν υάρχει σταθερή σχέση ισότητας η ανισότητας µεταξύ χ,y 8. εφ6 εφ ίνεται η αράσταση x = εφ6 εφ τότε: Α. x > Β. x < Γ. x =. η χ δεν ορίζεται Ε. x = 9. εφ6 εφ σφ6 σφ Αν x =, y = τότε ισχύει: εφ6 εφ σφ6 σφ Α. x = y Β. xy = Γ. xy =. x y = Ε. x y =. Αν x = ηµασυνβ ηµβσυνα και y = συνασυνβ ηµαηµβ, τότε: x = y = x y = x > y τα χ,y δεν συνδέονται
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθούν οι τιµές των αραστάσεων: ð ð ð ð ð 9ð ð Á = óõí óõí çì çì Â = óõí óõí çì çì 9ð 5 5 7 7 ð ð ð ð Ã = óõí óõí çì çì 8 9 8 9. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών: i)óõí 5 ii)çì 75 iii)çì 65 iv) åö 75 v)çì 5 vi)óõí5. Να υολογισθούν τα çì ( á â), óõí( á â), åö ( á â), óö ( á â) αν είναι: ð ð óõí â =, < â < êáé å ö á =, < á < 5. Να αοδειχθεί ότι: ð ð ð i))ç ì x óõí y óõí x çì( ð y óõí ( x y) = ii)óõí ð x óõí ð x ç ì ð x ç ì ð x 6 6 6 6 = 5. Να υολογιστεί η τιµή της αράστασης: συν συν συν57 ηµ 6. Να δειχθεί ότι: συνω ηµω α) εφ (5 ω) = συνω ηµω β) εφ α εφ β εφ( α β) εφ( α β) = εφ αεφ β 7. Να αοδειχθεί ότι: i) óõí ð x = ç ìx óõí x ii) çì ð x = óõíx çìx 8. Να αοδειχθεί ότι: i)óõí( á â) óõí( á â) = óõí á çì â ii)çì ( á â) çì ( á â) = çì â çì â iii)çì ( á â) çì ( á â) = óõí â óõí á 9. Αν x, y (, ), εφx = και εφ y =, να δείξετε ότι: x y =.. Αν ηµ x ηµ y = κ και συνx συνy = λ, τότε: κ λ α) να δείξετε ότι συν(x y) = β) για κ = και λ = να βρείτε το x y.. Να δείξετε ότι συν(5 x) συν(5 y) ηµ (5 ο - x) ηµ(5 y) = ηµ(x y).
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Να δείξετε ότι συν(α β) συν(α β) = συν α συν β.. Nα δείξετε ότι: i) ηµ (α β) ηµ(α - β) = ηµασυνβ ii) συν(α β) συν(α - β) = συνασυνβ iii) συν( α β) συν( α β) = ηµα ηµβ iv) ηµ ( x ) συν(x 6) = συνx vi) ηµ ( α β) συν( α β) = ( ηµα συνα)( ηµβ συνβ). είξτε ότι: ηµ ( α β) i) = σφβ σφα ηµα ηµβ ii) συν( α β) συν( α β) ηµ ( α β) ηµ ( α β) = συνα iii) ηµ ( α β) συν( α β) συν( α β) = εφα εφβ 5. Eαν α β γ = είξτε ότι: α β β γ γ α i) εφ εφ εφ εφ εφ εφ = ii) α β β γ α γ iii) εφ εφ εφ εφ εφ εφ = 6. Να αοδείξετε ότι: i) ( ηµα ηµβ) ( συνα συνβ) = [ συν( α β)] ii) ( ηµα ηµβ) ( συνα συνβ) = [ συν( α β)] iii) ηµ ( α β) συνβ ηµβ συν( α β) = ηµα iv) ηµα ηµ ( β γ) ηµβ ηµ ( γ α) ηµγ ηµ ( α β) = 7. Να αοδείξετε ότι: συνχ ηµχ i) εφ( x) = ii) συνχ ηµχ α β γ α β γ σφ σφ σφ = σφ σφ σφ εφ( χ) = συνχ συνχ ηµχ ηµχ εφ α εφ α iii) εφ ( χ) εφ( χ) = iv) = εφα εφα εφ α εφ α ð 8. Αν á â = êáé åö â = να υολογιστεί η åö á 9. Αν x y = 6 και εφ y = να βρεθεί η εφχ. 5. Αν α,β θετικοί µε α β = δείξετε ότι: ( σφα )( σφβ) =. Να αοδείξετε ότι οι αρακάτω συναρτήσεις είναι σταθερές. i) f(x) = συν χ συνχσυνα συν( α χ) συν ( α χ) ii) f(x) = συν χ συν ( χ) συν ( χ)
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ iii) f(x) = ηµ ( χ λ) ηµ λ ηµ ( χ λ) ηµλ συνχ. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) συνχ = ηµ ( χ ) ii) ηµχ = συν( χ ) 6 6 iii) εφ ( χ) εφ( χ) = iv) εφ ( χ) σφχ = v) εφ ( 5 x) εφ(5 x) =
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ α ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ - ΤΥΠΟΙ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Υολογισµός - αλοοίηση αραστάσεων µε εφαρµογή των τύων των τριγωνοµετρικών αριθµών διλασίου τόξου. Να γραφούν σε αλούστερη µορφή οι αραστάσεις : i) συν x ii) συν x Αόδειξη διάφορων τριγ-κων ταυτοτήτων χρησιµοοιώντας τους τύους διλασίου τόξου. Να δείξετε ότι: συνα ηµ α α) = εφα συνα ηµ α συνα γ) εφ( 5 α) = = εφα ηµ α συνα β) εφα εφα εφα = εφα σφα Εύρεση των τριγ-κων αριθµών των γωνιών α η α/ εφόσον δίνεται τριγ-κος αριθµός της γωνίας α. Α. Να υολογιστούν οι τριγ-κοι αριθµοί της α αν: συνα = µε < α < 5 Β. Να υολογιστούν οι τριγ-κοι αριθµοί του α εάν: συνα = και < α <. 5 Γ. Να υολογιστούν οι τριγ-και αριθµοί του 6. Αόδειξη σχέσεων µε την βοήθεια των τύων αοτετραγωνισµου. Α. είξτε ότι: ηµ συν = 8 8 8 α β Β. Εάν συνx = συνy = και β γ γ α x y z εφ εφ εφ = γ συνz = είξτε ότι: α β
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 5 Είλυση εξισώσεων µε την βοήθεια των τύων του διλασίου τόξου. Να λυθούν οι εξισώσεις. α) συν x ηµ x = x β) συν x = ηµ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ α α. Ισχύει ηµα = ηµ συν Σωστό Λάθος. Ισχύει συνα = συν α Σωστό Λάθος. Το κλάσµα Σωστό συνα είναι αρνητικό για οοιαδήοτε γωνία α Λάθος. Αν συνα =, τότε συν α είναι ίσο µε: 7 8 9 9 5. Ισχύει: ηµ φ = συνφ Σωστό Λάθος 6. Η τιµή της αράστασης ηµ α συν α είναι: συνα συνα -συνα -συνα 7. Αν ηµ x συνx = α, τότε η τιµή του ηµχ είναι: α α α -α 8. Α Αν σε ένα τρίγωνο ισχύει ηµ = τότε το τρίγωνο είναι: ορθογώνιο ισοσκελές ισόλευρο δεν υάρχει τέτοιο τρίγωνο 9. Αν σε ένα τρίγωνο Ισχύει συν Α = ηµ Β τότε το τρίγωνο είναι: ορθογώνιο ισοσκελές ισόλευρο δεν υάρχει τέτοιο τρίγωνο
6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αντιστοιχείστε τους σωστούς τύους: συνα συνα ηµ α συνα συν α συνα εφ α συνα συνα συνα εφ5. Η τιµή του κλάσµατος είναι η: εφ 5 Α. Β. 6 Ε. καµία αό τις ροηγούµενες Γ.. 6. Αν ηµα = και 9 < α < 8 το συνα είναι ίσο µε: 5 Α. Β. Γ. 5 5 5 Ε. κανένα αό τα ροηγούµενα. 6 5. Αν x = ηµασυνα και y = συν α ηµ α τότε η αράσταση Α. Β. Γ. x y είναι:. Ε. - εφ6 εφ. Αν x =, y = τότε: εφ 6 φ Α. x = y Β. x = y = Γ. x < y. x = y Ε. δεν ορίζονται τα χ,y Α Β 5. Αν για γωνίες Α, Β τρίγωνου ΑΒΓ ισχύει: συν = ηµ τότε είναι: Α. Α > B Β. A < B Γ. A = B. A = B Ε. A = B ο 6. Το συν5 είναι ίσο µε: ο ηµ 5 ο ηµ ο ηµ5 7. Ισχύει ότι: εφ Σωστό,5 = Λάθος συν ηµ 5 ο ο
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 7 α α 8. Ισχύει ότι: ηµα = ηµ (5 ) συν(5 ) Σωστό Λάθος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να γραφούν σε αλούστερη µορφή οι αραστάσεις : ð i)óõí ð x ii)óõí á x ð ð x iii) óõí iv) çì. Να δείξετε ότι : i) ηµ α = ηµα ηµ α ii) συνα = συν α συνα iii) ηµ 5ηµ 75 = iv) συν συν 8 = συν v) ( ηµα συνα) = ηµ α vi) συν α ηµ α = συνα. Να δείξετε ότι : ηµ α i) = εφα συνα συνα iii) = εφ α συνα ηµ α ii) = σφα συνα συνα iv) = σφα ηµ α. Να δείξετε ότι: συνα i) εφ α = ii) ηµ α iii) ο εφ( 5 α) εφ(5 α) = εφα ο εφ α = ηµ α ηµ α 5. Να δείξετε ότι: ηµ α εφα συνα ηµα συνα ηµα i) = ii) συνα εφα συνα ηµα συνα ηµα ηµ α εφα iii) εφα εφα = iv) = συνα συνα εφα = εφα 6. Να αοδειχθεί ότι: i) ( συνα συνβ) ii) ( ηµα ηµβ) iii) ( συνα συνβ) ( ηµα ηµβ) = συν α α α β β ( συνα συνβ) ( ηµα ηµβ) = συν β = ηµ
8 7. είξτε ότι: συνα α i) = σφ ηµα ηµ α συνα iii) συνα συνα = εφα ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ α συνα συν i) α = σφ α ηµα ηµ ηµ α συνα α iv) = εφ συνα συνα 8. είξτε ότι: i) συν α ηµ α = ηµ α ii) α ηµ = ηµα συνχ ηµ α iii) ηµ χ συν χ = iv) = ηµ α 8 ηµ α 9. Αν συν x 5συνx = και ηµ x > να υολογιστούν το ηµχ και το συνχ.. Να αοδειχθεί ότι ηµ θ συν θ = συνθ. Να δείξετε ότι η αράσταση συν x συν ( x) συν ( x) είναι ανεξάρτητη του χ.. Αν Α,Β,Γ γωνίες τρίγωνου, εφ Α = και εφ Β =, να δείξετε ότι Γ = 5.. Αν < y < και 5ηµ y 5ηµ y =, να υολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί ηµ y και συν y. ηµα ηµα. Να δείξετε ότι = εφα συνα συνα 5. Να δείξετε ότι 6. Να δείξετε ότι σφα συνα = σφα ηµ α ηµ ηµ 6 ηµ 6 5 ηµ 6 7 = 6 7. Αν ηµ x συνx = α, να βρεθεί το ηµ x και να δειχθεί ότι α 8. Να λυθούν οι αρακάτω εξισώσεις: i) ηµ χ ηµ χ = συν χ ii) συν χ = συν χ iii) ηµ χ ηµχ = συνχ iv) ηµ χ συνχ = 9. Να λυθούν οι αρακάτω εξισώσεις: i) συν χ ηµ χ = ii) συν χ ηµ χ =
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9 iii) συν χ ηµ χ = 6 6 iv) ηµχ συνχ = v) συν χ συνχ =. Να λυθούν οι αρακάτω εξισώσεις: χ χ i) συν χ ηµ = ii) ηµ = ηµ χ χ iii) συνχ συν = iv) συν χ ηµ χ = εφχ. Να λυθούν οι αρακάτω εξισώσεις: i) εφ χ = εφχ ii) εφχ εφ χ = iii) συν χ = εφχ iv) συν χ ηµ χ = εφχ
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ * * * * *. Έστω ( ηµα συνβ) = και ( συνα ηµβ) =. α. Να δείξετε ότι: ηµ ( α β) = β. Αν α, β, τότε να δείξετε ότι: i. α β = 6 ιι. εφα εφβ εφα εφβ =.. a. Να δείξετε ότι: ηµ ( α β) ηµ ( α β) = συνα ηµβ. β. Να λύσετε την εξίσωση: ηµ ( x ) ηµ (x ) = στο, ο ο ο. γ. Να δείξετε ότι: ηµ 6 ηµ 59 = ηµ. α. Να δείξετε ότι: ( ηµ x συνx) ( ηµ x συνx) = συνx ηµ 5x β. Να λύσετε την εξίσωση: ( ηµ x συνx) ( ηµ x συνx) = συνx. Έστω η συνάρτηση: f(x) = ηµαx µε ερίοδο το. α. Να βρείτε το α. β. Να βρείτε τη µέγιστη και ελάχιστη τιµή της f. x γ. Να λύσετε την εξίσωση: f f x =. 6 5. Έστω η συνάρτηση: f (x) = α συνβx, α >, β > µε ερίοδο το και ελάχιστη τιµή το. α. Να βρείτε τα α και β. β. Να δείξετε ότι η γραφική αράσταση της f έχει άξονα συµµετρίας τον άξονα των y. γ. Να λύσετε την εξίσωση: f (x) f x =. 6. Έστω η συνάρτηση f (x) = α βηµαx, β >, α > ου έχει ερίοδο και µέγιστη τιµή το 6. α. Να βρείτε τα α και β. β. Να βρείτε το σύνολο των τιµών της f. x γ. Να λύσετε την εξίσωση; f f x =.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 7. Έστω η συνάρτηση : f(x) = ηµ x ηµ 9x συν 9x συνx α. Να δείξετε ότι: f (x) = συν x β. Να λύσετε την εξίσωση: f (x) f x =. 8. Έστω οι συναρτήσεις: f (x) = συν x συν x ηµ x συν x 6 6 6 x x x x g (x) = ηµ ηµ συν ηµ 6 α. Να δείξετε: f (x) = ηµ x και g(x) = ηµ x 6 β. Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών αραστάσεων των συναρτήσεων f και g,. στο [ ] x 9. a. Να δείξετε ότι: συν x συνx ηµ = συν x συνx. x β. Να λύσετε την εξίσωση; συν x συνx ηµ =.. α.να δείξετε την ταυτότητα: ηµ α ηµ α ηµα = ηµ α ( συνα ). β. Να λύσετε την εξίσωση: ηµ x ηµ x = ηµ x.. Έστω ότι ισχύει: 9ηµ α ηµ α = α. Να δείξετε ότι: συν α = β. Αν < α < να υολογίσετε τις εφα και εφα.. Αν οι γωνίες Α και Β ενός τριγώνου είναι οξείες και α. να δείξετε ότι: εφ Α = και εφ Β =. β. να βρείτε τη γωνία Γ του τριγώνου. εφ Α =, συνβ = 5.. Αν < α < και α. να βρείτε την εφα εφ α = β. να λύσετε την εξίσωση: ( x α) =, x [,] εφ.. Έστω η εξίσωση : ηµ x συνx =,x (,) α. Να βρείτε τις x x (x < x ) της εξίσωσης.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ β. Αν εφα = x και εφβ = x τότε να βρείτε την: i. εφ(αβ). ii. την εφα. 5. Αν ισχύει: συν α ηµ α =, ηµ τότε: α. να δείξετε ότι σφα = β. να υολογίσετε τα συν α και ηµ α γ. να λύσετε την εξίσωση: εφ ( x α) = 6. Αν εφα = τότε: α. να δείξετε ότι: συν α ηµ α = β. να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς: i. συνα,ηµα α ii. εφ αν α (, ) 7. Έστω α (, ) και εφ α = εφα. α. Να δείξετε ότι α = 6 α β. Αν εφ β = να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς: i. εφβ ii.εφβ iii. συνβ x x x x 8. Έστω η συνάρτηση : f (x) = συν ηµ συν ηµ. 6 6 6 6 x α. Να δείξετε ότι: f(x) = συν β. Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής αράστασης της f µε τη ευθεία όταν x [,5]. y = 9. Έστω η συνάρτηση; f(x) = συν x ηµ x. α. Να δείξετε ότι: f(x) = ηµ x. f(x) f x β. Να δείξετε ότι: = εφx. f(x) f x γ. Αν x (, ) να βρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής αράστασης της f µε την ευθεία y =.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. α. Να δείξετε την ταυτότητα: συνα ηµα = συν α. β. Να λύσετε την εξίσωση: συν x ηµx = συν x () στο διάστηµα,. γ. Αν η εφα ισούται µε τη ρίζα της εξίσωσης () και εφβ.. α. Να δείξετε την ταυτότητα: ηµα συνα = ηµ α 6 β. Έστω η συνάρτηση: f(x) = ηµ x συνx ηµ x. α β = να υολογίσετε την i. Να δείξετε ότι: f (x) = ηµ x =. 6 ii. Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής αράστασης της f µε την ευθεία ε : y = όταν x (, ).. α.να δείξετε την ταυτότητα: συνα ηµα = συν α. β. Να δείξετε ότι: συν x ηµ x συνx ηµ x = συν x. γ. Να λύσετε την εξίσωση; συν x ηµ x συνx = ηµ x.. α. Να δείξετε την ταυτότητα: ηµα συνα = ηµ α. β. Να λύσετε την εξίσωση: ηµ x = εφx, στο διάστηµα,.. α. Να δείξετε την ταυτότητα: ηµα συνα = ηµ α. β. Έστω η συνάρτηση: f (x) = ηµ x ηµ x. i. Να δείξετε ότι: f (x) = ηµ x. ii. Να βρείτε την ελάχιστη τιµή της συνάρτησης f και την τιµή του xρουιάζει, αν x,. ( ) 5. Έστω η συνάρτηση: f(x) = συν x συν x ηµ x ηµ x. 6 6 6 6 α. Να δείξετε ότι; f(x) = ηµ x. β. Να δείξετε ότι: f(x ) f(x) = συνx.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ γ. Να λύσετε τη εξίσωση: f x f(x) = σφx.
Τριγωνομετρία 5 α. Αν α, β, α β κ, με κ Ζ Θέμα ο, δείξτε ότι: εφ( α β) εφα εφβ = εφαεφβ (Μονάδες 5) β.i. Αν το 6 είναι ρίζα της εξίσωσης αημ x συν x =, βρείτε το α. (Μονάδες 5) βγ ii. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Δείξτε ότι: ημβ = α (Μονάδες 5) iii. Δείξτε ότι: iv. Δείξτε ότι: συν α ημ α = ημα α α ημα = ημ συν (Μονάδες 5) (Μονάδες 5)
Θέμα ο Αοδείξτε τις ισότητες: α. β. ημ9 συν6 ημ7 συν6 = (Μονάδες 5) εφ 5α εφ α εφ 5αεφ α = εφ8α εφα (Μονάδες ) γ. ημ συν συν = (Μονάδες ) 8 8 Λύστε τις εξισώσεις: α. Θέμα ο εφ x εφ x = (Μονάδες )
β. συνx ημ = (Μονάδες 5) x Θέμα ο Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = ημ x συν x με x R. α. Δείξτε ότι ( ) συνx f x =, με x R. (Μονάδες 5) β. Να κάνετε την γραφική αράσταση της f. (Μονάδες ) γ. Λύστε την εξίσωση 8f ( x) = 7 στο διάστημα,. (Μονάδες )