ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ ΑΝΤΛΗΣΗΣ ΣΕ ΥΔΡΟΦΟΡΕΑ ΜΕ ΔΥΟ ΖΩΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΟΤΗΤΑΣ Κ. Λ. Κατσιφαράκης Τομέας Υδραυλικής και Τεχνικής Περιβάλλοντος Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ., 544 Θεσσαλονίκη ΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή διερευνάται η ελαχιστοοίηση του κόστους άντλησης υόγειου νερού αό άειρο υδροφορέα, ο οοίος αοτελείται αό δύο ζώνες διαφορετικής μεταφορικότητας. H ροή θεωρείται μόνιμη και υό ίεση, ενώ η άντληση γίνεται αό σύστημα ηγαδιών. Αοδεικνύεται ότι, αν η ροή οφείλεται μόνο στη λειτουργία των ηγαδιών αυτών, το κόστος άντλησης γίνεται ελάχιστο όταν οι στάθμες του υδραυλικού φορτίου στις αρειές τους είναι ίσες. Κατόιν διερευνάται η ερίτωση κατά την οοία υάρχει στον υδροφορέα ρόσθετη ροή, ανεξάρτητη αό τη λειτουργία των ηγαδιών. PUMPING COS MINIMIZAION IN AN AUIFE WIH WO ZONES OF DIFFEEN ANSMISSIVIIES Κ. L. atifaaki Diviion of Hydaulic and Envionmental Engineeing, Dept. of Civil Engineeing, Aitotle Univeity of healoniki, G-544 healoniki, Geece SUMMAY In thi pape minimization of the cot of pumping goundwate fom an infinite confined aquife with two zone of diffeent tanmiivitie ha been invetigated. A ytem of well, pumping unde teady flow condition, ha been conideed. It ha been poved that if goundwate flow i due to that ytem of well only, pumping cot i minimized, when hydaulic head at the two well ae equal to each othe. he cae of an additional flow, upepoed to the one due to the ytem of well, ha been alo invetigated.
. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένα αό τα κοινότερα ροβλήματα διαχείρισης υόγειων υδατικών όρων είναι η ελαχιστοοίηση του κόστους άντλησης αό σύστημα ηγαδιών (.χ. Sidiopoulo and olika, 4. Συχνά στο ρόβλημα αυτό υεισέρχονται διάφοροι εριορισμοί (.χ. όρια αροχής λόγω δυνατοτήτων των αντλιών, όρια τώσης στάθμης του υδραυλικού φορτίου σε τμήματα του υδροφορέα. Άλλες φορές άλι το κόστος άντλησης εξετάζεται σε συνδυασμό με άλλες αραμέτρους όως το κόστος κατασκευής των ηγαδιών ή του δικτύου μεταφοράς του νερού (.χ. Ouaza and Cheng, - Κατσιφαράκης, Τσελείδου και Τριανταφύλλου, 5. Σε άλλες εριτώσεις, το κόστος άντλησης αοτελεί το κύριο κριτήριο βελτιστοοίησης συστημάτων αοκατάστασης υδροφορέων (.χ. Matott et al, 6-Papadopoulou et al, in pe. Στην εργασία αυτή εξετάζεται ένα σύστημα δύο ηγαδιών, τα οοία αντλούν νερό αό άειρο, οριζόντιο υδροφορέα υό ίεση, ο οοίος έχει δύο ζώνες διαφορετικής μεταφορικότητας. Δίνεται η τιμή της συνολικής αροχής ου ρέει να αντληθεί και υολογίζεται η κατανομή της στα εί μέρους ηγάδια, η οοία ελαχιστοοιεί το κόστος. Αναλύονται δύο εριτώσεις. Στην ρώτη η ροή στον υδροφορέα οφείλεται αοκλειστικά στη λειτουργία του εξεταζόμενου συστήματος ηγαδιών, ενώ στη δεύτερη λαμβάνεται υ όψιν η ύαρξη ρόσθετης ροής, ου οφείλεται σε άλλα αίτια.. ΡΟΗ ΟΦΕΙΛΟΜΕΝΗ ΜΟΝΟ ΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΔΥΟ ΠΗΓΑΔΙΩΝ Ο εξεταζόμενος υδροφορέας φαίνεται σε κάτοψη στο Σχήμα. Οι ζώνες διαχωρίζονται με είεδη κατακόρυφη διειφάνεια και έχουν μεταφορικότητες Τ και Τ αντιστοίχως. Η ροή θεωρείται μόνιμη, άρα δεν υεισέρχεται στους υολογισμούς η τιμή της αοθηκευτικότητας. Τέλος, η συνολική αροχή ου αντλείται είναι ίση με. Ζητείται η κατανομή της αροχής αυτής, η οοία ελαχιστοοιεί το κόστος άντλησης αό δύο ηγάδια Π και Π. Ζώνη Ζώνη p Π ( x, y Τ Τ p Π ( x, y Σχήμα. Υδροφορέας με ζώνες διαφορετικής μεταφορικότητας και ηγάδια στη ζώνη Το κόστος άντλησης Κ δίνεται αό τη σχέση: Κ Α { ( δ ( δ} (. όου Α μία σταθερά, η οοία εξαρτάται αό το κόστος της ενέργειας και την αόδοση των αντλιών,, οι αροχές των ηγαδιών,, οι τώσεις στάθμης του
υδραυλικού φορτίου στις αρειές τους και δ η αόσταση ανάμεσα στην αρχική αδιατάρακτη στάθμη του υδραυλικού φορτίου στον υδροφορέα (ου στην εξεταζόμενη ερίτωση είναι οριζόντια και σε ένα ροκαθορισμένο είεδο (.χ. την υψηλότερη στάθμη του εδάφους. Εομένως η συνάρτηση ου ρέει να ελαχιστοοιηθεί είναι: Κ (. Ο υολογισμός της τώσης στάθμης του υδραυλικού φορτίου (ου στη συνέχεια αναφέρεται αλώς ως τώση στάθμης, η οοία ροκαλείται αό το σύστημα των ηγαδιών, μορεί να γίνει χρησιμοοιώντας τη μέθοδο των εικόνων και την αρχή της εαλληλίας. Σύμφωνα με τη μέθοδο των εικόνων, αν γίνεται άντληση αό ένα ηγάδι στη ζώνη, τότε η τώση στάθμης σε οοιοδήοτε σημείο (x,y της ίδιας ζώνης, δίνεται αό την ακόλουθη σχέση (Bea, 979 - Λατινόουλος, 986: (x x (y y (x x (y y (.3 όου x, y είναι οι συντεταγμένες του ηγαδιού και η ακτίνα ειρροής του, ενώ ο άξονας των y ταυτίζεται με τη διειφάνεια μεταξύ των ζωνών του υδροφορέα. Ο ρώτος όρος εντός της αρενθέσεως του δεξιού μέλους δίνει την τώση στάθμης ου θα ροκαλούσε το ηγάδι, αν ο υδροφορέας ήταν ομογενής σε όλη την έκτασή του. Ο δεύτερος όρος, ου ροκύτει αό τη μέθοδο των εικόνων, δίνει την τώση (ή την αύξηση της στάθμης, ου θα ροκαλούσε φανταστικό ηγάδι, συμμετρικό του ραγματικού ως ρος τον άξονα y, ου θα αντλούσε αροχή ίση με ( - /(. Αν όμως το εξεταζόμενο σημείο βρίσκεται στην άλλη ζώνη (εν ροκειμένω την ζώνη, η τώση στάθμης θα δίνεται αό την ακόλουθη σχέση: (x x (y y (.4 ( Λόγω της εξάρτησης του τύου υολογισμού της αό τη ζώνη, ρέει να διερευνηθούν δύο εριτώσεις ελαχιστοοίησης του κόστους: α Τα δύο ηγάδια, Π και Π, να βρίσκονται στην ίδια ζώνη και β Να υάρχει ένα ηγάδι σε κάθε ζώνη του υδροφορέα... ΔΥΟ ΠΗΓΑΔΙΑ ΣΤΗΝ ΙΔΙΑ ΖΩΝΗ ΤΟΥ ΥΔΡΟΦΟΡΕΑ Η ερίτωση αυτή φαίνεται στο Σχήμα, όου τα ραγματικά ηγάδια Π και Π βρίσκονται στην ζώνη, ενώ οι εικόνες τους p και p βρίσκονται στην ζώνη. Σύμφωνα με την (.3 και την αρχή της εαλληλίας, η τώση στάθμης στις αρειές των ηγαδιών είναι: x (.5 x (.6
όου είναι η αοτελεσματική ακτίνα των ηγαδιών, η αόσταση μεταξύ των ραγματικών ηγαδιών και η αόσταση ενός ραγματικού ηγαδιού αό την εικόνα του άλλου. Προφανώς το Π αέχει αό την εικόνα του Π όσο και το Π αό την εικόνα του Π, διότι το σχήμα ου ορίζεται αό τα ραγματικά ηγάδια και τις εικόνες τους, είναι ισοσκελές τραέζιο. Εομένως, με βάση τις (., (.5 και (.6, το Κ δίνεται αό τη σχέση: x x (.7 Ισχύει όμως ότι -. Εομένως το Κ μορεί να εκφρασθεί ως συνάρτηση της μόνον, αφού η είναι σταθερή. Άρα η τιμή της, ου ελαχιστοοιεί το Κ μορεί να υολογισθεί αλά με μηδενισμό της αντίστοιχης ρώτης αραγώγου. Είναι: ( x x ( (.8 Θέτοντας στην (.8 - και χρησιμοοιώντας τις σχέσεις (.5 και (.6 για τις τώσεις στάθμης ροκύτει ότι: ( (.9 Άρα (. Εομένως το κόστος άντλησης γίνεται ελάχιστο, όταν οι τώσεις στάθμης στις αρειές των ηγαδιών είναι ίσες. Αό την (.8 και τον μηδενισμό της αραγώγου ροκύτει και η σχέση μεταξύ των και, ου ελαχιστοοιεί το Κ : x x (.
Τέλος, για να ειβεβαιωθεί ότι το σημείο μηδενισμού της ρώτης αραγώγου του Κ ως ρος αντιστοιχεί σε ελάχιστο του Κ, ρέει να δειχθεί ότι η αντίστοιχη τιμή της δεύτερης αραγώγου είναι θετική. Αό την (.8 ροκύτει ότι: x x (. Ο ρώτος λογάριθμος μέσα στην αρένθεση του δεξιού μέλους της (. είναι αρνητικός, αν <, κάτι ου ροφανώς ισχύει. Αλλά και ο δεύτερος λογάριθμος είναι αρνητικός, διότι το γινόμενο των βάσεων ισοσκελούς τραεζίου είναι μικρότερο αό το τετράγωνο της διαγωνίου. Αν ειλέον Τ >Τ, τότε η αρένθεση έχει αρνητική τιμή ως άθροισμα αρνητικών όρων, άρα η δεύτερη αράγωγος του Κ είναι θετική. Αν, αντίθετα, η Τ είναι μεγαλύτερη αό την Τ, ο δεύτερος όρος της αρένθεσης είναι θετικός. Αλλά Τ -Τ /(Τ Τ, εομένως: x x x x (.3 Το δεξί μέλος της (.3 είναι αρνητικό, αν x x < (.4 Αό την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο Π p p ροκύτει ότι τουλάχιστον μία αό τις λευρές Π p x και p p είναι μεγαλύτερη αό το μισό της. Ομοίως, αό το τρίγωνο Π Π p ροκύτει ότι τουλάχιστον μία αό τις x και είναι μεγαλύτερη αό το μισό της. Εομένως: w x x w w w > 4 4 (.5 όου w, w είναι ίσα με x ή x ή. Αό τις (.4 και (.5 ροκύτει ότι το δεξί μέλος της (.3 είναι αρνητικό (δηλ. η δεύτερη αράγωγος του Κ είναι θετική, αν < wi, ου γενικά ισχύει... ΕΝΑ ΠΗΓΑΔΙ ΣΕ ΚΑΘΕ ΖΩΝΗ ΤΟΥ ΥΔΡΟΦΟΡΕΑ Η ερίτωση αυτή φαίνεται στο Σχήμα, όου το ραγματικό ηγάδι Π βρίσκεται στην ζώνη, ενώ το Π βρίσκεται στην ζώνη. Σύμφωνα με τις (.3 και (.4 και την αρχή της εαλληλίας, οι τώσεις στάθμης στις αρειές των ηγαδιών είναι: x (.6 ( x ( (.7
Εομένως, με βάση τις (., (.6 και (.7, το Κ δίνεται αό τη σχέση: x ( ( x (.8 Ζώνη Ζώνη p Π ( x, y Τ Τ ( x, Π y p Σχήμα. Υδροφορέας με ζώνες διαφορετικής μεταφορικότητας και ηγάδι σε κάθε ζώνη Ακολουθώντας αρόμοια διαδικασία με αυτήν ου χρησιμοοιήθηκε για την ροηγούμενη ερίτωση, καταλήγουμε στο συμέρασμα ότι το Κ ελαχιστοοιείται όταν οι τώσεις στάθμης στις αρειές των ηγαδιών είναι ίσες. Προκύτει ακόμη ότι η σχέση μεταξύ των και, η οοία ελαχιστοοιεί το Κ, έχει την ακόλουθη μορφή: x ( x ( (.9 3. ΥΠΑΡΞΗ ΠΡΟΣΘΕΤΗΣ ΡΟΗΣ Στις ροηγούμενες αραγράφους θεωρήθηκε ότι η αρχική αδιατάρακτη στάθμη του υδραυλικού φορτίου είναι οριζόντια. Στη συνέχεια εξετάζεται η ερίτωση ου στον υδροφορέα υάρχει ρόσθετη ροή, ανεξάρτητη αό τη λειτουργία του συστήματος των ηγαδιών. Έστω λοιόν ότι, λόγω της ροής αυτής, η αρχική αδιατάρακτη στάθμη στο ηγάδι, η οοία λαμβάνεται στη συνέχεια ως είεδο αναφοράς, βρίσκεται κατά d μέτρα ψηλότερα αό ό,τι στο ηγάδι. Εφόσον τα ηγάδια βρίσκονται σε ζώνες διαφορετικής μεταφορικότητας (όως φαίνεται στο σχήμα, οι τώσεις στάθμης στα ηγάδια (λόγω της άντλησης αό αυτά δίνονται άλι αό τις (.6 και (.7, αλλά η συνάρτηση Κ αίρνει τη μορφή:
d ( (3. Άρα: d ( x x ( (3. Ακολουθώντας διαδικασία αρόμοια με αυτήν ου χρησιμοοιήθηκε για τις ροηγούμενες εριτώσεις, βρίσκουμε ότι η αράγωγος του Κ ως ρος δίνεται αό τη σχέση: d (3.3 Εομένως: d (3.3 Υολογίζεται ακόμη ότι η σχέση μεταξύ και, η οοία ελαχιστοοιεί το Κ, έχει την ακόλουθη μορφή: d ( x ( x (3.4 Προφανώς όμως, εφόσον η είναι μικρότερη του d/, όλη η αροχή ρέει να αντλείται αό το ηγάδι. Με βάση την (.3, η οριακή τιμή της αροχής υολογίζεται αό τη σχέση: x d (3.5 Στο ίδιο συμέρασμα καταλήγουμε και όταν τα ηγάδια βρίσκονται στην ίδια ζώνη του υδροφορέα. Εφόσον η είναι μεγαλύτερη αό το όριο, το οοίο υολογίζεται αό την (3.5, το Κ ελαχιστοοιείται όταν ισχύει η σχέση (3.3. Όμως η αντίστοιχη σχέση μεταξύ και έχει την ακόλουθη μορφή: d x
x (3.6 4. ΣΥΜΡΑΣΜΑΤΑ- ΣΥΖΗΤΗΣΗ Στην εργασία αυτή εξετάσθηκε το κόστος άντλησης υόγειου νερού με σύστημα δύο ηγαδιών αό άειρο οριζόντιο υδροφορέα υό ίεση, ο οοίος έχει δύο ζώνες διαφορετικής μεταφορικότητας. Αρχικά θεωρήθηκε ότι η ροή στον υδροφορέα οφείλεται αοκλειστικά στο εξεταζόμενο σύστημα ηγαδιών, δηλαδή ότι η αρχική αδιατάρακτη στάθμη του υδραυλικού φορτίου είναι οριζόντια. Μελετήθηκαν χωριστά δύο εριτώσεις: α Να βρίσκονται και τα ηγάδια στην ίδια ζώνη του υδροφορέα και β να βρίσκεται αό ένα ηγάδι σε κάθε ζώνη. Αοδείχθηκε ότι το κόστος άντλησης ελαχιστοοιείται, όταν οι τώσεις στάθμης του υδραυλικού φορτίου (άρα και οι στάθμες στις αρειές των ηγαδιών είναι ίσες. Προσδιορίστηκε είσης η κατανομή της συνολικής αροχής, ου αντιστοιχεί στο ελάχιστο κόστος. Κατόιν θεωρήθηκε ότι υάρχει ρόσθετη ροή στον υδροφορέα, ανεξάρτητη αό τη λειτουργία των εξεταζόμενων ηγαδιών, ου δημιουργεί μια αρχική διαφορά στάθμης μεταξύ τους. Αοδείχθηκε ότι στην ερίτωση αυτή το κόστος άντλησης γίνεται ελάχιστο, όταν η τελική διαφορά στάθμης του υδραυλικού φορτίου στις αρειές των δύο ηγαδιών είναι η μισή της αρχικής. Αξίζει να σημειωθεί ότι τα συμεράσματα αυτά μορούν να χρησιμοοιηθούν ως κριτήριο οιότητας των αοτελεσμάτων σε ροβλήματα διαχείρισης υόγειων νερών, στα οοία υεισέρχεται η ελαχιστοοίηση του κόστους άντλησης. Οι σχέσεις ου ροέκυψαν για τη στάθμη στις αρειές των ηγαδιών, δεν αοτελούν ικανή συνθήκη για τον υολογισμό του βελτίστου, δεν μορούν δηλαδή να υοκαταστήσουν τη συνάρτηση βελτιστοοίησης. Όμως τυχόν αόκλιση αό αυτές, όταν η λύση είναι βέλτιστη, θα ρέει να μορεί να αιτιολογηθεί με βάση άλλες αραμέτρους κόστους ή εριορισμούς του ροβλήματος, ου δεν λήφθηκαν υ όψιν στην αρούσα εργασία. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Bea, J., 979. Hydaulic of Goundwate. McGaw-Hill, 56 pp. Κατσιφαράκης, Κ.Λ., Τσελείδου, Κ. και Τριανταφύλλου, Β., 5. Χρήση αλοοιημένων μοντέλων ροσομοίωσης στη βελτιστοοίηση διαχείρισης υόγειων υδατικών όρων, Πρακτ. 5 ου Εθνικού Συνεδρίου της ΕΕΔΥΠ, σελ. 45-5, Ξάνθη. Λατινόουλος, Π., 986. Υδραυλική των υόγειων ροών. Υηρεσία Δημοσιευμάτων Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη. Matott, S.L., abideau, A.J. and Caig, J.., 6. Pump-and-teat optimization uing analytic element flow model, Advance in Wate e., 9(5: 76-775. Ouaza, D., Cheng A.H.-D,. Application of genetic algoithm in wate eouce. In:.L. atifaaki (edito, Goundwate Pollution Contol, WI Pe, pp. 93-36. Papadopoulou, M.P. Pinde, G.F. and aatza, G.P., in pe. Flexible time-vaying optimization methodology fo the olution of goundwate management poblem, Euopean J. of Opeational eeach, doi.6/ejo, 6..4. Sidiopoulo, E., and olika, P., 4. Well location and containt handling in pumping cot minimization via genetic algoithm, Wate, Ai and Soil Pollution: Focu, 4(4-5: 7-39.