Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική συµπεριφορά µιας τ.µ., δηλ. οι πιθανότητες που αντιστοιχούν στις διάφορες τιµές ή σε διαστήµατα τιµών της τ.µ., δίνουν την κατανοµή πιθανότητας (ή απλώς κατανοµή) της τ.µ. Χ Τυχαίες Μεταβλητές 1

ιακριτές τ.µ. Συνάρτηση Πιθανότητας (σ.π.) της Χ : f( x) = P( X = x) = P( ω Ω : X( ω) = x) x µε πεδίο ορισµού το σύνολο των πραγµατικών αριθµών και πεδίο τιµών στο διάστηµα [0,1]. Ιδιότητες 1. f( x) 0 x 2. x f( x) = 1 x Τυχαίες Μεταβλητές 2

ιακριτές τ.µ. (συνέχεια) Αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (α.σ.κ.) της Χ : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των πραγµατικών αριθµών και πεδίο τιµών στο διάστηµα [0,1]. Ιδιότητες 1.Μη αρνητική και µη φθίνουσα 2. 3. και 4. 5. lim F( x) = F( x ) x x x + 0 F( x) = P( X x) x 0 0 lim F( x) = 1 lim F( x) = 0 x F( x) = f( k) x k x x f ( x) = F( x) F( x ) x όταν F( x ) = lim F( x) Τυχαίες Μεταβλητές 3 x x

Παράδειγµα 1: Κατανοµή Bernulli Έστω ένα πείραµα µε δύοπιθανάαποτελέσµατα: επιτυχία (1) ή αποτυχία(0). Εάν η πιθανότητα επιτυχίας είναι p, ητ.µ. Χπουµετράει τον αριθµό των επιτυχιών ακολουθεί κατανοµή Bernulli. p όταν x= 1 f( x) = q = 1 p όταν x = 0 όπου 0<p <1. 0 όταν x < 0 F( x) = q όταν 0 x< 1 1 όταν x 1 Τυχαίες Μεταβλητές 4

Παράδειγµα 2: ιωνυµική Κατανοµή Έστω πείραµα µε n ανεξάρτητες επαναλήψεις δοκιµών Bernulli, όταν η πιθανότητα επιτυχίας είναι p (0<p<1). Ητ.µ. Χ που µετράει τον αριθµό των επιτυχιών στις n επαναλήψεις ακολουθεί διωνυµική κατανοµή B ( np, ). Ηα.σ.κ. είναι: n p x (1 p n x ) x = 0,1,2,..., n f( x) = x 0 αλλού 0 x < 0 [ x] n k n k F( x) = P( X x) = p (1 p) 0 x< n k= 0 k 1 x n Τυχαίες Μεταβλητές 5

Παράδειγµα 3: Γεωµετρική Κατανοµή Έστω πείραµα µε ανεξάρτητες επαναλήψεις δοκιµών Bernulli, όταν η πιθανότητα επιτυχίας είναι p (0<p<1). Ητ.µ. Χ που µετράει τον αριθµό των επαναλήψεων που απαιτούνται µέχρι την εµφάνιση της πρώτης επιτυχίας ακολουθεί γεωµετρική κατανοµή G( p). f( x) p p x= = 0 αλλού x 1 (1 ) 1,2,... Ηα.σ.κ. είναι: F( x) 0 x < 1 = [ x] 1 (1 p) x 1 Τυχαίες Μεταβλητές 6

Παράδειγµα 4: Αρνητική διωνυµική κατανοµή Έστω πείραµα µε ανεξάρτητες επαναλήψεις δοκιµών Bernulli, όταν η πιθανότητα επιτυχίας είναι p (0<p<1). Η τ.µ. Χ που µετράει τον αριθµό των επαναλήψεων που απαιτούνται µέχρι την r επιτυχία ακολουθεί αρνητική διωνυµική κατανοµή. NB (, r p) x 1 r x r p (1 p) x= r, r+ 1,... f( x) = r 1 0 αλλού Τυχαίες Μεταβλητές 7

Παράδειγµα 5: Κατανοµή Poisson Μια τ.µ. έχει την κατανοµή Poisson όταν η συνάρτηση πιθανότητας της Χ δίνεται από τον τύπο: x e λ λ x = 0,1,2,3,... f( x) = P( X = x) = x! όπου λ > 0 0 αλλού Ητ.µ. Χ µετράει την εµφάνιση τυχαίων περιστατικών σε καθορισµένο χρονικό διάστηµα π.χ. εισερχόµενες κλήσεις ανά ώρα σε κάποιο τηλεφωνικό κέντρο. Ηα.σ.κ. 0 x < 0 ( ) [ x] k F x = e λ λ x 0 k= 0 k! P( λ) Τυχαίες Μεταβλητές 8

Συµπεράσµατα για διακριτές τ.µ. Έστω Χ διακριτή τ.µ. και η α.σ.κ F (x). Τότε ισχύει: Pa ( < X b) = PX ( b) PX ( a) = Fb ( ) Fa ( ) Επίσης µπορούµε ναγράψουµε: όπου [t] παριστάνει το ακέραιο µέρος του t. [] t F() t = f( x) x= Τυχαίες Μεταβλητές 9

Συνεχείς τ.µ. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) της Χ : συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο των πραγµατικών αριθµών και πεδίο τιµών στο διάστηµα [0,1], τέτοια ώστε: b P( a X b) = f ( xdx ) Ιδιότητες a 1. 2. f( x) 0 x f( x) dx= 1 Για µια συνεχή τ.µ. ισχύει: PX ( = a) = f( xdx ) = 0 και a P( a X b) = P( a< X b) = P( a X < b) = P( a< X < b) Τυχαίες Μεταβλητές 10 a

Συνεχείς τ.µ. (συνέχεια) Αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (α.σ.κ.) της Χ : x F( x) = P( X x) = f( u) du x µε πεδίο ορισµού το σύνολο των πραγµατικών αριθµών και πεδίο τιµών στο διάστηµα [0,1]. Ιδιότητες 1. µη αρνητική και µη φθίνουσα 2. συνεχής συνάρτηση στο 3. lim F( x) = 1 και lim F( x) = 0 4. x x d f( x) = F( x) x dx Ισχύει: P( a< X b) = F( b) F( a) και P( X > x) = 1 F( x) Τυχαίες Μεταβλητές 11

Παράδειγµα 1: Οµοιόµορφη Κατανοµή (Uniform) X~U(α,β) µε α<β, όταν: f X 1 α < x < β ( x) = β α 0 αλλού Αθροιστική Συνάρτηση κατανοµής της Χ: 0 x < α x a FX ( x) = α x β α 1 x > β β Συνεχείς Κατανοµές 12

Παράδειγµα 2: Εκθετική Κατανοµή (Exponential) Χ ~ E(λ) όταν: f X ( x) x λe λ x> 0 = 0 αλλού όπου λ θετική σταθερά Αθροιστική Συνάρτηση κατανοµής της Χ : F X ( x) λx 1 e x 0 = 0 αλλού Χρησιµοποιείται για να εκφράσει: το χρόνο µεταξύ αφίξεων διαφορετικών πελατών σε κατάστηµα το χρόνο συνοµιλίας σε µια τηλεφωνική επικοινωνία το χρόνος ζωής ηλεκτρονικών κοµµατιών σε µία συσκευή Συνεχείς Κατανοµές 13

ιδιάστατες τ.µ. Έστω ότι σε ένα πείραµα ενδιαφερόµαστε για δύο τυχαίες µεταβλητές, Χ καιυ. Οι τ.µ. µπορούν να είναι διακριτές ή συνεχείς. (α) ιακριτές διδιάστατες τ.µ. Κοινή συνάρτηση πιθανότητας (κ.σ.π.) των Χ και Υ είναι 2 µία συνάρτηση f(x,y) µε πεδίο ορισµού το και πεδίο τιµών στο [0,1], όταν Ισχύει: 1. 2. f( x, y) = P( X = x, Y = y) ( x, y) f( x, y) 0 ( x, y) f( x, y ) = 1 x y 2 2 Τυχαίες Μεταβλητές 14

ιδιάστατες τ.µ. (συνέχεια) Εάν ενδιαφερόµαστε για την πιθανοτική συµπεριφορά της Χ µόνο ή της Υ µόνο, ορίζουµε τις περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας: fx ( x) = f( x, y) x (περιθώρια σ.π. της Χ) y fy ( y) = f( x, y) y (περιθώρια σ.π. της Y) x Ορίζουµε τηνκοινή (αθροιστική) συνάρτηση κατανοµής (κ.α.σ.κ.) ως τη συνάρτηση µε τιµή F( x, y) = P( X x, Y y) = f( k, l) k x l y Τυχαίες Μεταβλητές 15

ιδιάστατες τ.µ. (συνέχεια) (β) Συνεχείς διδιάστατες τ.µ. Κοινή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (κ.σ.π.π.) των Χ και Υ είναι µία συνάρτηση f(x,y) µε πεδίο ορισµού το 2 και πεδίο τιµών στο [0,1] που ικανοποιεί τις ιδιότητες: 2 1. f( x, y) 0 ( x, y) 2. και ισχύει: Π.χ. f( x, y) dxdy = 1 P[( X, Y) E] = f( x, y) dxdy όπου Ε ( xy, ) E d b P( a X b, c Y d) f ( x, y) dxdy < < < < = c a 2 Τυχαίες Μεταβλητές 16

ιδιάστατες τ.µ. (συνέχεια) Εάν ενδιαφερόµαστε για την πιθανοτική συµπεριφορά της Χ µόνο ή της Υ µόνο, τότε ορίζουµε τις περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας: fx ( x) = f( x, y) dy x (περιθώρια σ.π.π. της Χ) fy ( y) = f( x, y) dx y (περιθώρια σ.π.π. της Y) Ορίζουµε τηνκοινή (αθροιστική) συνάρτηση κατανοµής (κ.α.σ.κ.) ως τη συνάρτηση µε τιµή y x F( x, y) PX ( xy, y) f( u, v) dudv = = Τυχαίες Μεταβλητές 17

ιδιάστατες τ.µ. (συνέχεια) Ιδιότητες κοινής αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής 1. µη αρνητική και µη φθίνουσα 2. συνεχής στο 3. lim F( x, y) = 1 4. 5. lim F( x, y) = F ( y) και lim F( x, y) = F ( x) 6. x y lim F( x, y) = lim F( x, y) = lim F( x, y) = 0 x x y y x f( x, y) = 2 2 Y F( x, y) x y y X Τυχαίες Μεταβλητές 18

ιδιάστατες τ.µ. (συνέχεια) Έστω Χ και Υ τυχαίες µεταβλητές µεκ.α.σ.κ. F( x, y). Οι τ.µ. Χ και Υ λέγονται ανεξάρτητες αν και µόνο αν: F( x, y) = F ( x) F ( y) ( x, y) X όπου F ( x)και F ( y) οι περιθώριες α.σ.κ. των Χ και Υ. X Y Ισοδύναµα, για τις τ.µ. Χ και Υ ισχύει ότι είναι ανεξάρτητες αν και µόνο αν: f( x, y) = f ( x) f ( y) ( x, y) X Y Y όπου f( x, y), fx( x)και fy( y) είναι σ.π.π. (για συνεχείς τ.µ.) και σ.π (για διακριτές τ.µ.) 2 2 Τυχαίες Μεταβλητές 19

Συναρτήσεις τυχαίων µεταβλητών Έστω Χ τυχαία µεταβλητή µε γνωστήκατανοµή. Εάν Υ= g(x) είναι συνάρτηση της Χ τότε και η Υ είναι τυχαία µεταβλητή. Ζητάµε την πιθανοτική συµπεριφορά της Υ. Όταν οι Χ και Υ είναι διακριτές τ.µ. το πρόβληµα είναι απλό. Στην περίπτωση που η Χ είναι συνεχής και η συνάρτηση y=g(x) είναι (γνησίως) µονότονη και παραγωγίσιµη στην περιοχή των δυνατών τιµών της Χ, υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση x = g 1 ( y) και ισχύει: 1 1 ( ) ( ) ( ( )) dg fy y f y X g y fx( x) dx = = y dy dy Αυτό είναι γνωστό σαν Θεώρηµα αλλαγής µεταβλητής Τυχαίες Μεταβλητές 20

Συναρτήσεις διδιάστατων τ.µ. Έστω Χ και Υ συνεχείς τ.µ. µε κ.σ.π.π. fxy, ( x, y). Εάν Ζ= g 1 (X,Υ) και W= g 2 (X,Υ) είναι συναρτήσεις των ΧκαιΥ, ο µετασχηµατισµός (x, y) (z, w) είναι 1-1 και οι g 1, g 2 είναι παραγωγίσιµες ως προς x και ως προς y στην περιοχή για την οποία fxy, ( x, y) 0, τότε υπάρχει ο αντίστροφος µετασχηµατισµός που δίνεται από τις συναρτήσεις x= h(, z w) και y = h (, z w) και η κ.σ.π.π. των 1 2 ΖκαιW είναι: f (, z w) f ( h(, z w), h (, z w)) ( h( z, w), h ( z, w)) (, zw) 1 2 ZW, = XY, 1 2 = ( xy, ) = fxy, ( x, y) ( z, w) (, zw) (Θεώρηµα αλλαγής µεταβλητών για διδιάστατες µεταβλητές) Τυχαίες Μεταβλητές 21

Υπό συνθήκη κατανοµές Έστω Χ και Υ δύο τ.µ. µε fxy, ( x, y) η κ.σ.π. ήηκ.σ.π.π τους, αν είναι διακριτές ή συνεχείς, αντίστοιχα. Η υπό συνθήκη κατανοµή της Υ όταν η Χ πάρει µια συγκεκριµένη τιµή x δίνεται από την υπό συνθήκη σ.π. f ( x, y) PX ( = xy, = y) f y = P Y = y X = x = y f ( x) P( X = x) XY, YX = x( ) ή αλλοιώς ( ) X όταν οι Χ και Υ είναι διακριτές τ.µ. ήαπότηνυπό συνθήκη σ.π.π. = f ( x, y) = XY, fyx x( y) y fx ( x) όταν οι Χ και Υ είναι συνεχείς τ.µ. Τυχαίες Μεταβλητές 22