Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 12: Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177
12.1 Εισαγωγή Επίλυση κυκλωμάτων εναλλασσομένου ρεύματος (υπολογισμός ρευμάτων και τάσεων) Συνδυασμός σύνθετων αντιστάσεων (σειρά, παράλληλα, αστέρας τρίγωνο) Μετασχηματισμός πηγών Διαιρέτης τάσης και ρεύματος Μέθοδος βρόχων Μέθοδος κόμβων Θεωρήματα Thevenin Norton Θεώρημα επαλληλίας Εργαζόμαστε με μιγαδικούς αριθμούς
12.2 Μέθοδος βρόχων Παράδειγμα 121: Το κύκλωμα του σχήματος τροφοδοτείται από δύο πηγές τάσης πλάτους 10 V και της ίδιας φάσης. Να βρεθούν τα ρεύματα του κυκλώματος. Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο βρόχων. Έχουμε δύο εξισώσεις: V s1 i s1 (t) α V L j10 Ω V C V R i C (t) j10 Ω 10 Ω I 1 I 2 γ i s2 (t) β V s2 Συγκεντρώνουμε τους συντελεστές των αγνώστων:
12.2 Μέθοδος βρόχων Γράφουμε τις εξισώσεις σε μορφή πινάκων: i s1 (t) α V L j10 Ω V R i C (t) 10 Ω i s2 (t) β Και στη συνέχεια υπολογίζουμε τα ζητούμενα ρεύματα με ορίζουσες: V s1 V C j10 Ω I 1 I 2 γ V s2
12.2 Μέθοδος βρόχων Το ρεύμα που διαρρέει την πρώτη πηγή τάσης είναι: Το ρεύμα που διαρρέει τη δεύτερη πηγή τάσης είναι: V s1 i s1 (t) α V L j10 Ω V C V R i C (t) j10 Ω 10 Ω I 1 I 2 γ i s2 (t) β V s2 Το ρεύμα που διαρρέει τον πυκνωτή είναι:
12.2 Μέθοδος βρόχων Παράδειγμα 122: Να βρεθούν τα ρεύματα των βρόχων του κυκλώματος. i x R=10 Ω Το ρεύμα που ελέγχει την εξαρτημένη πηγή είναι το αντίθετο του ρεύματος του δεύτερου βρόχου: 5 i x I 1 I 2 Z C =j15 Ω 10<0 V Για τον πρώτο βρόχο έχουμε: Για το δεύτερο βρόχο έχουμε:
12.2 Μέθοδος βρόχων Σε μορφή πινάκων: i x R=10 Ω Υπολογίζουμε τις ορίζουσες: 5 i x I 1 I 2 Z C =j15 Ω 10<0 V Το ρεύμα του πρώτου βρόχου είναι:
12.2 Μέθοδος βρόχων Το ρεύμα του δεύτερου βρόχου είναι: i x R=10 Ω Το ρεύμα που διαρρέει τον πυκνωτή είναι: 5 i x I 1 I 2 Z C =j15 Ω 10<0 V Η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι:
I s =5<90 A Z C =j5 Ω V s =10<90 V 12 Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης 12.2 Μέθοδος βρόχων Παράδειγμα 123: Ένα κύκλωμα με τρεις βρόχους περιέχει μια πηγή ημιτονοειδούς τάσης και μια πηγή ημιτονοειδούς ρεύματος. Να υπολογιστεί το ρεύμα i x. Το ρεύμα i x ισούται με τη διαφορά των ρευμάτων Ι 1 και Ι 3 : R 1 =5 Ω i x I 3 Z L =j10 Ω R 2 =10 Ω v x I 1 I 2 Το ρεύμα Ι 1 ισούται με το ρεύμα της πηγής ρεύματος: Από το δεύτερο βρόχο έχουμε την εξίσωση:
I s =5<90 A Z C =j5 Ω V s =10<90 V 12 Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης 12.2 Μέθοδος βρόχων Αντικαθιστώντας την τιμή του Ι 1 βρίσκουμε το Ι 2 : R 1 =5 Ω I 3 Z L =j10 Ω R 2 =10 Ω i x v x I 1 I 2 Για τον τρίτο βρόχο έχουμε την εξίσωση:
I s =5<90 A Z C =j5 Ω V s =10<90 V 12 Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης 12.2 Μέθοδος βρόχων Αντικαθιστώντας τις τιμές των Ι 1 και Ι 2 βρίσκουμε το Ι 3 : R 1 =5 Ω I 3 Z L =j10 Ω R 2 =10 Ω i x v x I 1 I 2 Το ρεύμα i x είναι:
12.3 Μέθοδος κόμβων Παράδειγμα 124: Να βρεθεί το ρεύμα που διαρρέει τον πυκνωτή. Οι πηγές τάσης έχουν τιμή ίση με 10 V και την ίδια φάση. Λύσαμε το ίδιο κύκλωμα με τη μέθοδο βρόχων, όπου είχαμε βρει για το ρεύμα του πυκνωτή: V s1 i s1 (t) α V L j10 Ω V C γ V x V R i C (t) 10 Ω j10 Ω i s2 (t) β V s2 Έστω V x η τάση στα άκρα του πυκνωτή. Εκφράζουμε τα ρεύματα που καταλήγουν στον κόμβο συναρτήσει της τάσης αυτής. Το ρεύμα που διαρρέει την πρώτη πηγή είναι:
12.3 Μέθοδος κόμβων Το ρεύμα που διαρρέει τη δεύτερη πηγή είναι: i s1 (t) α V L j10 Ω V x V R i C (t) 10 Ω i s2 (t) β Το ρεύμα που διαρρέει τον πυκνωτή είναι: V s1 V C γ j10 Ω V s2 Τα τρία αυτά ρεύματα συνδέονται με το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff: Έχοντας βρει την τάση, το ρεύμα του πυκνωτή είναι:
12.3 Μέθοδος κόμβων Παράδειγμα 125: Να βρεθεί το ρεύμα που διαρρέει τον πυκνωτή. Z L =j10 Ω V x R=10 Ω Εάν V x είναι η τάση του πυκνωτή, σύμφωνα με το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff έχουμε: 2 i x i x Z C =j5 Ω 10<0 V Το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση i x συνδέεται με την άγνωστη τάση V x με το νόμο του Ωμ στην αντίσταση:
12.3 Μέθοδος κόμβων Συνδυάζοντας τις δύο εξισώσεις παίρνουμε: Z L =j10 Ω V x R=10 Ω i x 2 i x Z C =j5 Ω 10<0 V Άρα το ρεύμα που διαρρέει τον πυκνωτή είναι:
I s =5<90 A Z C =j5 Ω 12 Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης 12.3 Μέθοδος κόμβων Παράδειγμα 126: Να υπολογιστεί η τάση στα άκρα του πυκνωτή του κυκλώματος. Εφαρμόζοντας το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο Α έχουμε: V L Α 0,2 v x R=10 Ω v x Z L =j10 Ω V C Β Η τάση v x συναρτήσει των αγνώστων τάσεων V A και V B είναι: Γ Αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση έχουμε:
I s =5<90 A Z C =j5 Ω 12 Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης 12.3 Μέθοδος κόμβων 0,2 v x Εφαρμόζοντας το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο B έχουμε: Α R=10 Ω v x Β V L Z L =j10 Ω V C Γ Γράφουμε το σύστημα των εξισώσεων σε μορφή πινάκων:
I s =5<90 A Z C =j5 Ω 12 Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης 12.3 Μέθοδος κόμβων Οι τιμές των οριζουσών είναι: 0,2 v x Α R=10 Ω v x Β V L Z L =j10 Ω V C Γ Οι τάσεις των κόμβων είναι:
I s =5<90 A Z C =j5 Ω 12 Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης 12.3 Μέθοδος κόμβων 0,2 v x Η τάση V B είναι η ζητούμενη τάση στα άκρα του πυκνωτή. Α V L R=10 Ω v x Z L =j10 Ω V C Β Γ
12.4 Το θεώρημα της επαλληλίας Παράδειγμα 127: Κύκλωμα αποτελούμενο από ένα πηνίο και έναν πυκνωτή διεγείρεται από μια πηγή τάσης τιμής V s (t)=10cos(500t90 0 ) και μία πηγή ρεύματος τιμής I s (t)=1cos(500t). Να βρεθούν τα ρεύματα του κυκλώματος. L=20 mh I s V C C=133μF V s Οι σύνθετες αντιστάσεις του πηνίου και του πυκνωτή είναι: I C I L V L Η πηγή τάσης και η πηγή ρεύματος έχουν τιμές:
12.4 Το θεώρημα της επαλληλίας Μηδενίζουμε (ανοικτοκυκλώνουμε) την πηγή ρεύματος και υπολογίζουμε τα δύο ρεύματα: I C A I L A Z L =j10 Ω V L V C Ζ C =j15 Ω V s Στη συνέχεια μηδενίζουμε (βραχυκυκλώνουμε) την πηγή τάσης και υπολογίζουμε τα δύο ρεύματα: I L B Z L =j10 Ω I s V C I C B V L Ζ C =j15 Ω
12.4 Το θεώρημα της επαλληλίας Όταν είναι ενεργές και οι δύο πηγές τα ρεύματα ισούνται με το άθροισμα των επιμέρους ρευμάτων: Τα ζητούμενα ρεύματα στο πεδίο του χρόνου είναι: I L I C L=20 mh V L I s V C C=133μF V s
12.4 Το θεώρημα της επαλληλίας Παράδειγμα 128: Κύκλωμα αποτελούμενο από ένα πηνίο και έναν πυκνωτή διεγείρεται από μια πηγή τάσης τιμής V s (t)=10cos(500t90 0 ) και μία πηγή ρεύματος τιμής I s (t)=1cos(1000t). Να βρεθούν τα ρεύματα του κυκλώματος. I L I C L=20 mh V L I s V C C=133μF V s Οι δύο πηγές έχουν διαφορετική συχνότητα. Δεν μπορούμε να αθροίσουμε τα επιμέρους ρεύματα στο πεδίο της συχνότητας. Για τη συχνότητα της πηγής τάσης τα επιμέρους ρεύματα είναι ίδια με αυτά του προηγούμενου παραδείγματος:
12.4 Το θεώρημα της επαλληλίας I L A Z L =j10 Ω I C A V L Τα ρεύματα στο πεδίο του χρόνου είναι: V C Ζ C =j15 Ω V s Όταν ενεργεί η πηγή ρεύματος οι σύνθετες αντιστάσεις είναι διαφορετικές: I C B I L B Z L =j20 Ω V L I s V C Ζ C =j7,5 Ω
12.4 Το θεώρημα της επαλληλίας Τα ρεύματα είναι: Τα ρεύματα στο πεδίο του χρόνου είναι: Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα της επαλληλίας για τις τιμές των ρευμάτων στο πεδίο του χρόνου: Λόγω της διαφορετικής συχνότητας των δύο πηγών δεν μπορούμε να αθροίσουμε τα στρεφόμενα διανύσματα των ρευμάτων.
12.4 Το θεώρημα της επαλληλίας Το άθροισμα ημιτονοειδών συναρτήσεων διαφορετικής συχνότητας δεν είναι ημιτονοειδής συνάρτηση, είναι όμως περιοδική συνάρτηση, με περίοδο ίση με τη μεγαλύτερη από τις περιόδους των δύο ημιτονοειδών συναρτήσεων.