5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω ω ω 3 ω Η Π 5 3 Ν 6 90 ο +θ 90 ο -θ Ρ 6 Λ Π 6 πάντηση ίναι το Π διότι οι διαγώνιοι διχοτοµούνται εν είναι το Π 2 διότι οι διαγώνιοι δεν διχοτοµούνται εν είναι το Π 3 διότι οι απέναντι πλευρές του δεν είναι ίσες ίναι το Π 4 διότι οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες αφού ˆφ + ˆω=80 ο εν είναι το Π 5 διότι δεν ξέρουµε αν οι απέναντι πλευρές του Η και Ν είναι παράλληλες ή αν η είναι ίση µε την ΗΝ ίναι το Π 6 διότι οι απέναντι πλευρές του Λ και Ρ είναι ίσες και παράλληλες αφού 90 ο + ˆθ +90 ο ˆθ =80 ο
2 2. Με ποιους τρόπους µπορούµε να αποδείξουµε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο; ποδεικνύουµε ένα από τα παρακάτω πάντηση i) Οι απέναντι πλευρές ανά δύο είναι παράλληλες ii) Οι απέναντι πλευρές ανά δύο είναι ίσες iii) Οι απέναντι γωνίες ανά δύο είναι ίσες iν) ύο απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες ν) Οι διαγώνιες διχοτοµούνται 3. Να υπολογίσετε τις γωνίες του παρακάτω παραλληλογράµµου. πάντηση φ ω φ ω 75 ο ο ο ω+ ˆ 75 = 80 ω= ˆ 05 ο Άρα ˆ= ˆ =05 ο αι φ= ˆ 75 ο οπότε = ˆ ˆ =75 ο 4. Να υπολογίσετε τις γωνίες ω και φ του παρακάτω παραλληλογράµµου Η πάντηση 2ω ίναι ˆω + ˆφ = 80 ο και ˆφ = 2 ˆω άρα Η ω φ 3 ˆω =80 ο ˆω = 60 ο οπότε ˆφ = 20 ο
3 5. Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο αν i) ύο απέναντι γωνίες είναι ίσες ii) Οι διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωµατικές Χ iii) ύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες v) ύο απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες σηµειώστε Χ σε κάθε σωστή απάντηση σκήσεις µπέδωσης. ίνεται παραλληλόγραµµο. Η διχοτόµος της ˆ τέµνει τη στο. Να αποδείξετε ότι =. 2 E διχοτόµος ˆ = ˆ 2 ˆ = ˆ 2 Άρα ˆ = ˆ τρ. ισοσκελές µε = λλά, από το παρ/µµο έχουµε = Άρα =. 2. Έστω Ο το κέντρο παραλληλογράµµου. ν και σηµεία των Ο και Ο αντίστοιχα, ώστε Ο = Ο, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο. Ο=Ο } οι διαγώνιοι του E O Z Ο=Ο τετραπλεύρου διχοτοµούνται, άρα είναι παραλληλόγραµµο.
4 3. Έστω και τα µέσα των πλευρών και αντίστοιχα, παραλληλογράµµου. Να αποδείξετε ότι i) το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο ii) οι,, συντρέχουν. i) παραλληλόγραµµο O = = παραλληλόγραµµο ii) παραλληλόγραµµο οι διαγώνιοί του, διχοτοµούνται σε σηµείο Ο. παραλληλόγραµµο οι διαγώνιοί του, διχοτοµούνται στο Ο, το οποίο ήδη είναι µέσο της. Άρα οι,, συντρέχουν και µάλιστα στο κοινό µέσο τους. 4. ίνεται τρίγωνο και η διχοτόµος του. Η παράλληλη από το προς την τέµνει την στο. ν η παράλληλη από το προς τη τέµνει την στο, να αποδείξετε ότι = 2 παρ/µµο, αφού έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες Άρα = ρκεί, λοιπόν, να αποδείξουµε ότι =, δηλαδή ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές, ή αρκεί ˆ = ˆ. 2 διχοτόµος ˆ ˆ = 2 ˆ ˆ = ˆ = ˆ. 2
5 ποδεικτικές σκήσεις. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και σηµείο Μ της βάσης του. Φέρουµε Μ ( σηµείο του ) και Μ ( σηµείο του ). Να αποδείξετε ότι Μ + Μ = Μ Μ παρ/µµο, αφού έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες Άρα Μ = ρκεί, λοιπόν, να αποδείξουµε ότι Μ = δηλαδή ότι το τρίγωνο Μ είναι ισοσκελές, ή αρκεί ˆΜ = ˆ. = Μ = ˆ ˆ Μˆ ˆ = ˆΜ = ˆ. 2. ίνεται παραλληλόγραµµο και σηµείο της. Φέρουµε ( σηµείο του ). Να αποδείξετε ότι παραλληλόγραµµο ˆ + ˆ =80 ο Άρα µία οξεία και µία αµβλεία. Έστω ˆ οξεία. Τότε και η ˆ οξεία. Οµοίως και η ˆ. τρ. = τρ. διότι ˆ = ˆ, οξείες µε πλευρές παράλληλες ˆ = ˆ, εντός εναλλάξ, και =, από το παραλληλόγραµµο Έτσι είναι =. αι επειδή είναι και παράλληλα, το θα είναι παραλληλόγραµµο, οπότε.
6 3. ίνεται παραλληλόγραµµο. Προεκτείνουµε τη κατά τµήµα = και τη κατά τµήµα =. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία, και είναι συνευθειακά. ράφουµε τα τµήµατα, και παρ/µµο = = παρ/µµο () παρ/µµο = = παρ/µµο (2) πό τις (), (2) ευθεία παράλληλη στην. 4. ίνεται τρίγωνο. Στις προεκτάσεις των διαµέσων και παίρνουµε σηµεία Η και αντίστοιχα τέτοια, ώστε Η = και =. Να αποδείξετε ότι i) AH = AZ ii) τα σηµεία, και Η είναι συνευθειακά. Η Έχουµε διχοτόµηση των τµηµάτων και Η άρα Η παρ/µµο Άρα Η = () Έχουµε διχοτόµηση των τµηµάτων και άρα παρ/µµο Άρα = (2) πό τις () και (2) i) AH = AZ και ii) τα σηµεία, και Η ανήκουν σε ευθεία
7 5. πό σηµείο να φέρετε τέµνουσα δύο παράλληλων ευθειών µε τρόπο, ώστε το µεταξύ των παραλλήλων τµήµα της να είναι ίσο µε δοσµένο τµήµα λ. ε Έστω ε, η οι δοσµένες παράλληλες ευθείες ράφουµε στις ε και η. Με κέντρο και ακτίνα λ γράφουµε κύκλο, που τέµνει την ευθεία η σε σηµείο. ράφουµε το τµήµα και από το ευθεία λ παράλληλη στο, η οποία τέµνει την ε Μ στο και την η στο Μ. η Η Μ είναι η ζητούµενη Πράγµατι, είναι Μ = = λ σαν παράλληλα ευθ. τµήµατα µεταξύ παραλλήλων ευθείων. ια να έχει λύση το πρόβληµα, πρέπει να είναι λ, ώστε ο κύκλος (, λ) να έχει κοινό σηµείο µε την ευθεία η. Σύνθετα Θέµατα. ίνεται παραλληλόγραµµο και τα σηµεία,, Η και των πλευρών του,, και αντίστοιχα, ώστε = Η και =. Να αποδείξετε ότι i) το τετράπλευρο Η είναι παραλληλόγραµµο ii) οι,, Η και συντρέχουν. Ο Η Έστω Ο το κέντρο του παρ/µµου =Η Η παρ/µµο οι, Η διχοτοµούνται στο Ο. = παρ/µµο οι, διχοτοµούνται στο Ο. i) φού οι Η, διχοτοµούνται (στο Ο), το Η θα είναι παρ/µµο ii) Ταυτόχρονα αποδείχθηκε ότι οι,, Η και συντρέχουν στο Ο.
8 2. Προεκτείνουµε την πλευρά παραλληλογράµµου κατά τµήµα = και επί της ηµιευθείας θεωρούµε σηµείο, ώστε =. Να αποδείξετε ότι Z ˆ = 90 ο. 2 3 4 τρ, ισοσκελές ˆ = ˆ ˆ = ˆ 2 Άρα ˆ = ˆ 2 διχοτόµος της ˆ Οµοίως ˆ = ˆ 3 4 Άρα σαν διχοτόµοι δύο εφεξής παραπληρωµατικών γωνιών. 3. ίνεται παραλληλόγραµµο. Προεκτείνουµε την κατά τµήµα = και την κατά τµήµα =. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία, και είναι συνευθειακά. Φέρουµε τα τµήµατα και. ρκεί να αποδείξουµε ότι ˆ + ˆ + ˆ = 80 ο 2 2 ίναι ˆ = ˆ + ˆ σαν εξωτερική του τρ. αλλά τρ. ισοσκελές ˆ = ˆ Z Άρα ˆ = 2 ˆ ˆ = ˆ 2 () Οµοίως ˆ = ˆ 2 (2) 2 Παραλληλόγραµµο ˆ = ˆ, ˆ ˆ= και ˆ + ˆ = 80 ο. (3) (), (2), (3) ˆ + ˆ + ˆ = ˆ ˆ 2 + ˆ + = ˆ + ˆ = 80 ο. 2 2
9 4. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και σηµείο της. Προεκτείνουµε την κατά τµήµα =. Να αποδείξετε ότι η διχοτοµεί τη. πό το φέρουµε παράλληλη στην, η οποία τέµνει τη στο ˆ = = ˆ ˆ. Άρα τρ. ισοσκελές µε = =. ίναι, λοιπόν = άρα το τετράπλευρο B είναι παρ/µµο, άρα οι διαγώνιοί του διχοτοµούνται.
0 5. Ένας ποταµός, του οποίου οι όχθες είναι ευθύγραµµες, διέρχεται µεταξύ δύο χωριών που απέχουν άνισες αποστάσεις από τις όχθες του. Σε ποια θέση πρέπει να κατασκευασθεί µια γέφυρα κάθετη προς τον ποταµό, ώστε τα δύο χωριά να βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις από τις αντίστοιχες εισόδους της γέφυρας. ς είναι, οι θέσεις των δύο χωριών αντίστοιχα, ε, η οι όχθες του ποταµού και α το πλάτος του. νάλυση. Έστω Λ η θέση της γέφυρας. Τότε = Λ και Λ = α Λ ε η Θεωρούµε τµήµα = Λ. Τότε Λ παρ/µµο = Λ άρα και = Έτσι το θα ισαπέχει από τα άκρα του υθ. τµήµατος, άρα το θα ανήκει στη µεσοκάθετο του. Σύνθεση. Φέρουµε τµήµα = α κάθετο στις όχθες και πλησιάζοντας αυτές. Φέρουµε τη µεσοκάθετο του τµήµατος, η οποία τέµνει την όχθη ε σε σηµείο. Τέλος φέρουµε Λ ε, που θα είναι και η θέση της γέφυρας. ιερεύνηση. ια να έχει λύση το πρόβληµα, πρέπει η µεσοκάθετος του να τέµνει την ε, δηλαδή να µην είναι παράλληλη στην ε, που σηµαίνει όχι κάθετο στην ε, άρα και όχι κάθετο στην ε. Στην περίπτωση που ε, διακρίνουµε δύο υποπεριπτώσεις ε η Λ i) όταν η απόσταση του από την ε ισούται µε την απόσταση του από την η, τότε η θέση της γέφυρας Λ είναι οποιαδήποτε, αφού ισχύει = Λ λόγω συµµετρίας ως προς τη µεσοπαράλληλη των ε, η. ε η Λ ii) όταν, τότε το πρόβληµα είναι αδύνατο, διότι: ν Λ ήταν θέση της γέφυρας, θα είχαµε = Λ και = Λ, οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα, Λ θα ήταν ίσα, άρα θα ήταν =, το οποίο είναι άτοπο