Κεφάλαιο 7 Συμμετρικοί φορείς

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 Κεφάλιο 7 Συμμετρικοί φορείς Σύοψη Οι σκήσεις του κεφλίου υτού φορού σε συμμετρικούς φορείς υπό τυχί φόρτιση. Δεδομέου ότι, οποιδήποτε φόρτιση μπορεί λυθεί σε μί συμμετρική κι μί τισυμμετρική συιστώσ, προυσιάζοτι οι μεθοδολογίες ξιοποίησης της συμμετρίς του φορέ () υπό συμμετρική κι () υπό τισυμμετρική φόρτιση, με στόχο τη μείωση του πλήθους τω γώστω μεγεθώ μετκίησης. Οι μεθοδολογίες υτές, οι οποίες συίσττι, είτε στη θεώρηση του «μισού» φορέ, είτε στη χρησιμοποίηση «ομάδω υπερρίθμω», εφρμόζοτι σε μί δοκό δύο οιγμάτω (Άσκηση ), σε έ τεές δίστυλο πλίσιο (Άσκηση ) κι σε έ τεές τρίστυλο πλίσιο με το μεσίο του στύλο επί του άξο συμμετρίς (Άσκηση ). Γι το τελευτίο εξετάζετι, επιπλέο, η διφοροποίηση τη οποί συεπάγετι η τυχό πεπερσμέη δυστέει του μεσίου στύλου. Προπιτούμεη γώση Απρίτητη είι η προηγούμεη κτόηση της θεωρίς της Μεθόδου μετκιήσεω (λ. π.χ. []κεφ.) κι, οπωσδήποτε, η μελέτη τω σκήσεω τω προηγηθέτω κεφλίω έως. Ειδικότερ, συιστάτι η μελέτη τω πργράφω. του [] κι.. του []. Σε κάθε περίπτωση, πιτείτι κλή γώση της Σττικής τω ισοσττικώ φορέω, κθώς κι επρκής εξοικείωση με τη Μέθοδο τω υπερρίθμω δυάμεω γι υπερσττικούς φορείς (λ. π.χ. [] κι []κεφ., κθώς κι λοιπή σχετική ιλιογρφί της πργράφου Ε7). 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 Εκφώηση Άσκηση Ν επιλυθεί ο φορές του σχήμτος.0 κι σχεδιστεί το διάγρμμ ροπώ κάμψης Μ: () με τη συήθη διδικσί της ΜΜ κι () ξιοποιώτς τη συμμετρί. q Σχήμ.0 Δεδομέος φορές Γεωμετρί, υλικό, φόρτιση. Λύση L άξος συμμετρίς ΔΕΔΟΜΕΝΑ Γεωμετρί L=.00m Φορτίσεις/Κτγκσμοί q = kn/m Δοκοί EI = 0 knm EA GA s Λόγω της τέεις τω στοιχείω του φορέ, το μοδικό άγωστο γεωμετρικό μέγεθος είι η γωί στροφής του κόμου. Επομέως, το ΓΚΣ του φορέ είι το εξής: ξ, Κ Σχήμ. Το ΓΚΣ του φορέ. L () Συήθης διδικσί επίλυσης Η συήθης διδικσί της ΜΜ πιτεί, κτρχάς, το υπολογισμό τω ροπώ στο ΓΚΣ λόγω της εξωτερικής φόρτισης (Κτάστση 0 ) κι λόγω της μοδιίς στροφής του κόμου (Κτάστση ξ = ). Κτόπι, υπολογίζοτι, με τη οήθει τω συθηκώ ισορροπίς ή της ρχής τω δυτώ έργω, οι συτελεστές Κ 0 κι Κ, κι με υτούς η άγωστη στροφή ξ = Κ 0 /Κ. Η διδικσί υτή προυσιάζετι κολούθως με συτομί (λ. Σχ.. κι.): q,0,0 Κ 0 ql,0.knm.knm,0,0 Σχήμ. Πρμόρφωση κι έτση του ΓΚΣ στη κτάστση "0"., ξ = Κ,,, Σχήμ. Πρμόρφωση κι έτση του ΓΚΣ στη κτάστση "ξ =". EI 0, φ 0000kNm L EI, φ 80000kNm L EI 0, φ 80000kNm L EI, φ 0000kNm L 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 Οι συτελεστές Κ 0 κι Κ υπολογίζοτι πό τη ισορροπί ροπώ του κόμου στη κτάστση 0 (Σχ..) κι στη κτάστση ξ = (Σχ..) τιστοίχως: 0,0.kNm 80000 80000,, 0000kNm Το υπεράριθμο γεωμετρικό μέγεθος ξ, δηλδή η γωί στροφής του κόμου, υπολογίζετι πό τη πρκάτω συθήκη ισορροπίς στο κόμο : ξ 0 Κ 0 ξ Κ 0..9 0 0000 Οι ροπές κάμψης, που πτύσσοτι στο φορέ, υπολογίζοτι πό τις σχέσεις επλληλίς, κτά τ γωστά:,0,0,0,0 ξ ξ ξ ξ,,,,..9..9 0.9 0.9 0 0 0 0 0000 9.0kNm 80000.kNm 0000 7.8kNm rad 80000.kNm () Απλούστευση της επίλυσης με ξιοποίηση της συμμετρίς του φορέ Η όλη διδικσί υπολογισμού, που περιγράφηκε προηγουμέως, μπορεί συτομευτεί, εά γίει ξιοποίηση της συμμετρίς του φορέ. Προς τούτο, η δεδομέη φόρτιση λύετι σε μί συμμετρική κι μί τισυμμετρική συιστώσ (Σχ..). q'=q/=7.kn/m q'=q/=7.kn/m άξος συμμετρίς q'=q/=7.kn/m Συμμετρική συιστώσ φόρτισης Ατισυμμετρική συιστώσ φόρτισης Σχήμ. Αάλυση της φόρτισης σε μί συμμετρική κι μί τισυμμετρική συιστώσ. Ο φορές θ επιλυθεί ξεχωριστά γι τη συμμετρική κι γι τη τισυμμετρική συιστώσ της δεδομέης φόρτισης. Συμμετρική συιστώσ της φόρτισης Στη περίπτωση υτή, η στροφή του κόμου είι ίση με το μηδέ (φ =0), διότι ο κόμος ρίσκετι επάω στο άξο συμμετρίς. Επομέως, η επίλυση γι τη συμμετρική συιστώσ της φόρτισης μπορεί γίει με άση τη μφίπκτη δοκό, όπως φίετι στο σχήμ.: 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 q'=q/=7.kn/m.00.00 q'=q/=7.kn/m.00 Σχήμ. Επίλυση γι τη συμμετρική συιστώσ της δεδομέης φόρτισης. Ο υπολογισμός τω ροπώ στ σημεί, κι γίετι, κτά τ γωστά, με τη οήθει του Πίκ (εδώ πευθείς με πρόσημ άσει ίς φοράς): q'=q/=7.kn/m.00.knm.knm 7.8kNm συμμ. q L 7. συμμ. συμμ..knm.knm Σχήμ. Διάγρμμ ροπώ γι τη συμμετρική συιστώσ της φόρτισης. Ατισυμμετρική συιστώσ της φόρτισης Στη περίπτωση υτή, θ πρέπει ληφθεί υπόψη το γεγοός ότι, σε συμμετρικούς φορείς υπό τισυμμετρική φόρτιση, οι κμπτικές ροπές έχου μηδεική τιμή επάω στο άξο συμμετρίς. Επομέως, γι τη επίλυση του φορέ υπό τη τισυμμετρική συιστώσ της δεδομέης φόρτισης, μπορεί εισχθεί μί άρθρωση στο κόμο, χωρίς υτό λλοιώει τη ετσική κτάστση κι, στη συέχει, επιλυθού οι μοόπκτες δοκοί κι, όπως φίετι στο πρκάτω σχήμ.7: q'=q/=7.kn/m q'=q/=7.kn/m.00.00 q'=q/=7.kn/m.00 Σχήμ.7 Επίλυση γι τη τισυμμετρική συιστώσ της φόρτισης. Ο υπολογισμός τω ροπώ στ σημεί κι γίετι, κτά τ γωστά, με τη οήθει τω πιάκω κι. Γι τη δοκό πίρουμε (Σχ..8, εδώ πευθείς με πρόσημ άσει ίς φοράς): 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 q'=q/=7.kn/m.knm.00.8knm τ. q L 8 7. 8.kNm max τ. 9 8 q L.8kNm Σχήμ.8 Διάγρμμ ροπώ γι τη τισυμμετρική συιστώσ της φόρτισης. Τελικό διάγρμμ ροπώ Το τελικό διάγρμμ ροπώ του φορέ προκύπτει πό τη επλληλί τω διγρμμάτω ροπώ, που δόθηκ στ πρπάω σχήμτ. κι.8: συμμ τ i i i, λμάοτς, πράλληλ, υπόψη ότι, το διάγρμμ ροπώ συμμετρικώ φορέω γι συμμετρική φόρτιση είι συμμετρικό, εώ γι τισυμμετρική φόρτιση είι τισυμμετρικό..knm.knm.knm.knm 7.8kNm 7.8kNm.8kNm.8kNm.kNm 9.0kNm f=.88knm.knm 7.8kNm Σχήμ.9 Τελικό διάγρμμ ροπώ του φορέ. 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 Εκφώηση Άσκηση Γι το συμμετρικό φορέ του σχήμτος.0 υπό τη δεδομέη φόρτιση, ζητείτι η επίλυση με τη ΜΜ κι η σχεδίση τω διγρμμάτω, Q κι Ν: () με θεώρηση του μισού φορέ κι () με εισγωγή ομάδω υπερρίθμω μεγεθώ. P=0kN q=kn/m ΔΕΔΟΜΕΝΑ EI =0 knm.00 EA GA s.00 Σχήμ.0 Δεδομέος φορές Γεωμετρί, υλικό, φόρτιση. () Επίλυση με θεώρηση του μισού φορέ Αλύετι, κτρχάς, η φόρτιση του φορέ σε μι συμμετρική κι μι τισυμμετρική συιστώσ, όπως φίετι στο πρκάτω σχήμ.. q/=.kn/m P/=0kN P/=0kN () q/=.kn/m P/=0kN P/=0kN q/=.kn/m () Σχήμ. Αάλυση της φόρτισης του φορέ σε συμμετρική () κι τισυμμετρική () συιστώσ. () Συμμετρική συιστώσ της φόρτισης Όπως γωρίζουμε (λ. [], πράγρ... κι..), ότ ο άξος συμμετρίς εός συμμετρικού κι συμμετρικά φορτιζόμεου φορέ τέμει κάθετ μι δοκό του φορέ, τότε στο σημείο τομής όλ τ τισυμμετρικά σττικά μεγέθη είι μηδεικά, δηλδή ισχύου οι πρκάτω συθήκες: τέμουσ δύμη Q=0, κλίση ελστικής γρμμής (δηλδή: στροφή) φ=0, οριζότι μεττόπιση x =0. 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 Επομέως, γι τη εκτέλεση τω υπολογισμώ στο μισό φορέ, θ πρέπει τοποθετηθεί στο σημείο τομής του με το άξο συμμετρίς (σημείο ) ές κτάλληλος μηχισμός στήριξης, ο οποίος ικοποιεί τις πρπάω συθήκες. Ο μηχισμός υτός στήριξης είι η κιητή πάκτωση, όπως φίετι στο πρκάτω σχήμ.. q/=.kn/m q/=.kn/m P/=0kN P/=0kN P/=0kN Σχήμ. Θεώρηση του μισού φορέ γι τη συμμετρική συιστώσ της φόρτισης. Γι τη επίλυση του μισού φορέ του σχήμτος., υπάρχου δύο δυτότητες επιλογής του ΓΚΣ, οι οποίες δίοτι στο σχήμ.. ξ, Κ ξ, Κ ξ, Κ () () Σχήμ. ΓΚΣ του μισού φορέ γι συμμετρική φόρτιση: () Με χρήση πιάκω δοκού με κιητή πάκτωση στο έ άκρο, () Με χρήση μόο τω πιάκω μφίπκτης δοκού. Γι τους περιτέρω υπολογισμούς, θ επιλεγεί η χρήση του ΓΚΣ του σχήμτος.() με το έ άγωστο γεωμετρικό μέγεθος: τη γωί στροφής του κόμου. Η επίλυση με υτό το ΓΚΣ γίετι, κτά τ γωστά, κι προυσιάζετι συοπτικά πρκάτω (λ. Σχ.. κι Σχ..). q'=.kn/m Κ 0 0kN,0,0 ',0,0 q L q L.....88kNm.kNm 0,0 0 0.88 0 0.88kNm Σχήμ. Έτση του ΓΚΣ στη κτάστση 0 Υπολογισμός του φορτιστικού όρου Κ 0. Σημείωση: Η ροπή Μ,0 είι ίση με τη ροπή στο ριστερό άκρο μίς μφίπκτης δοκού διπλάσιου μήκους L υπό το ίδιο συεχές φορτίο q', δηλ. ίση με q' ( L ) /= q' (L ) /. 77

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 ξ = Κ,, ' φ ξ, EI φ.7knm L,,, EI φ.knm L EI L φ 0000kNm,, EI L φ 0000kNm,, 0 0000. 7.kNm Σχήμ. Πρμόρφωση κι έτση του ΓΚΣ στη κτάστση ξ = Υπολογισμός του συτελεστή Κ. Σημείωση: Η ροπή Μ, είι ίση με τη ροπή στο ριστερό άκρο μίς μφίπκτης δοκού διπλάσιου μήκους L υπό κτγκσμέες τυτόχροες κι ετερόσημες μοδιίες στροφές τω άκρω της. Ο υπολογισμός του ξ γίετι με άση τη συθήκη ισορροπίς στο κόμο : 0 ξ 0 Κ ξ Κ 0.88.70 7. 0 rad Οι κμπτικές ροπές προκύπτου πό τη σχέση επλληλίς ij ij,0 ij, ξ κι πό υτές υπολογίζοτι με τις συθήκες ισορροπίς οι τέμουσες δυάμεις Q. Τ τίστοιχ διγράμμτ δίοτι στο σχήμ...0.0 [knm]. Q [kn] 7.8. 8.0 8.0 Σχήμ. Διγράμμτ Μ κι Q του μισού φορέ γι τη συμμετρική συιστώσ της φόρτισης. Το διάγρμμ τω ξοικώ δυάμεω προκύπτει πολύ εύκολ πό τη κτάστρωση τω εξισώσεω ισορροπίς τω οριζοτίω κι τω κτκορύφω δυάμεω στο κόμο. Το διάγρμμ υτό δίετι στο πρκάτω σχήμ.7. 78

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 N [kn] 8.0. Σχήμ.7 Διάγρμμ Ν του μισού φορέ γι τη συμμετρική συιστώσ της φόρτισης. () Ατισυμμετρική συιστώσ της φόρτισης Όπως γωρίζουμε (λ. [], πράγρ... κι..), ότ ο άξος συμμετρίς εός συμμετρικού κι τισυμμετρικά φορτιζόμεου φορέ τέμει κάθετ μι δοκό του φορέ, τότε στο σημείο τομής όλ τ συμμετρικά σττικά μεγέθη είι μηδεικά, δηλδή ισχύου οι πρκάτω συθήκες: κμπτική ροπή Μ=0 ξοική δύμη Ν=0 κτκόρυφη μετκίηση z =0 Επομέως, γι τη εκτέλεση τω υπολογισμώ στο μισό φορέ, θ πρέπει τοποθετηθεί στο σημείο τομής του με το άξο συμμετρίς (σημείο ) ές κτάλληλος μηχισμός στήριξης, ο οποίος ικοποιεί τις πρπάω συθήκες. Ο μηχισμός υτός στήριξης είι μί κύλιση, όπως φίετι στο πρκάτω σχήμ.8: q/=.kn/m q/=.kn/m P/=0kN P/=0kN P/=0kN q/=.kn/m Σχήμ.8 Θεώρηση του μισού φορέ γι τη τισυμμετρική συιστώσ της φόρτισης. Το ΓΚΣ του φορέ του σχήμτος.8 προκύπτει με πγίωση της στροφής του κόμου κι τυτόχροη πγίωση της στροφής της χορδής (Σχ..9): ξ, Κ ξ, Κ Σχήμ.9 ΓΚΣ του μισού φορέ γι τισυμμετρική φόρτιση. Γι το υπολογισμό τω δυο υτώ γώστω γεωμετρικώ μεγεθώ, κολουθείτι η συήθης διδικσί της ΜΜ. Στο σχήμ.0 προυσιάζοτι οι κτστάσεις "0", "ξ =" κι "ξ =". 79

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 Κ 0 q'=q/=.kn/m,0 q L 8 q L 8 P/=0kN,0.. 8 7.8kNm Κ 0 ξ =, φ ξ Κ,, EI φ.7knm L Κ, EI L φ.knm,, EI φ 0000kNm L Κ ', Κ, ξ = ' ψ,,, ξ EI ψ L EI ψ L,, 00000kNm 00000kNm Σχήμ.0 Πρμόρφωση κι έτση του ΓΚΣ στις κτστάσεις 0, ξ = κι ξ =. Στ σχήμτ. κι. φίοτι οι οητές κτστάσεις "ξ = " κι "ξ = ", με τη οήθει τω οποίω υπολογίζοτι οι συτελεστές στιρότητς Κ ij κι οι συτελεστές φόρτισης i0. 70

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 ξ = ξ = ξ = Κ Κ Κ 0,0,,, 0 0 0,0,,, 0 0 7.8kNm.k Nm 00000kNm Σχήμ. Υπολογισμός τω συτελεστώ Κ 0, Κ κι Κ με τη ΑΔΕ. 0kN,, Κ 0 ξ = Κ ξ = Κ ξ =,, 0 0 0 0,,,, 0 0 90kNm 00000kNm 00000kNm Σχήμ. Υπολογισμός τω συτελεστώ Κ 0, Κ κι Κ με τη ΑΔΕ. Ο υπολογισμός τω ξ κι ξ γίετι πό τη επίλυση του πρκάτω συστήμτος τω δύο εξισώσεω ισορροπίς:. ξ00000 ξ 7.8 0 00000 ξ00000 ξ 90 0 ξ.08 0 ξ.9 0 rad rad Ακολουθεί, κτά τ γωστά, με τη οήθει της ρχής της επλληλίς, ο υπολογισμός τω κμπτικώ ροπώ κι τω τεμουσώ δυάμεω, τ διγράμμτ τω οποίω δίοτι στο σχήμ...9.9 7.8 [knm].7 0.8 Q [kn] 8.0 0 Σχήμ. Διγράμμτ Μ, Q του μισού φορέ γι τη τισυμμετρική συιστώσ της φόρτισης. 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 Ο υπολογισμός τω ξοικώ δυάμεω γίετι εύκολ, με κτάστρωση τω συθηκώ ισορροπίς τω δυάμεω που δρου στο κόμο. Το διάγρμμ Ν δίετι στο πρκάτω σχήμ.. 0 N [kn].7 Σχήμ. Διάγρμμ Ν του μισού φορέ γι τη τισυμμετρική συιστώσ της φόρτισης. Πρτήρηση: Ο μισός φορές του σχήμτος.8 γι τη τισυμμετρική συιστώσ της φόρτισης, είι μι μόο φορά σττικά όριστος. Επομέως, τί της επίλυσής του με τη ΜΜ ως δύο φορές γεωμετρικά όριστου, ο φορές υτός μπορεί επιλυθεί τχύτερ με τη ΜΔ. () Τελικά διγράμμτ Τ διγράμμτ Μ, Q κι N του φορέ προκύπτου πό τη επλληλί τω διγρμμάτω τω σχημάτω. κι.7 με τ διγράμμτ τω σχημάτω. κι. τίστοιχ, λμάοτς πράλληλ υπόψη: () ότι τ διγράμμτ ροπώ συμμετρικώ φορέω υπό συμμετρική φόρτιση είι συμμετρικά, εώ υπό τισυμμετρική φόρτιση είι τισυμμετρικά, () ότι τ διγράμμτ τεμουσώ δυάμεω συμμετρικώ φορέω υπό συμμετρική φόρτιση είι τισυμμετρικά, εώ υπό τισυμμετρική φόρτιση είι συμμετρικά, κι (γ) ότι τ διγράμμτ ξοικώ δυάμεω συμμετρικώ φορέω υπό συμμετρική φόρτιση είι συμμετρικά, εώ υπό τισυμμετρική φόρτιση είι τισυμμετρικά. Τ τελικά διγράμμτ Μ, Q κι N γι ολόκληρο το φορέ δίοτι στ κόλουθ σχήμτ.,. κι.7. 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7.0.0.0.0 (). ().9 8.0.9 7.8 8.0 7.8.9.9 8.0 8.0 7..7 7. (γ).. [knm] 0.7 7. Σχήμ. Διάγρμμ κμπτικώ ροπώ Μ. 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7. (). 8.0 8.0.7.7 () 0.8 0 0 7.8 (γ) 0.8.97 8.0 Σχήμ. Διάγρμμ τεμουσώ δυάμεω Q. 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 8.0 ().. 0 ().7.7 (γ) 8.0 7.8 0.8 Σχήμ.7 Διάγρμμ ξοικώ δυάμεω Ν. () Επίλυση με εισγωγή ομάδω υπερρίθμω μεγεθώ Η διδικσί επίλυσης με τη εισγωγή ομάδω υπερρίθμω μεγεθώ ξεκιά, όπως κι στη προηγούμεη περίπτωση που χρησιμοποιήθηκε ο μισός φορές, με τη άλυση της φόρτισης σε συμμετρική κι τισυμμετρική σύμφω με το σχήμ.. Γι το ορισμό τω ομάδω υπερρίθμω μεγεθώ, θ πρέπει ετοπιστού τ γεωμετρικά μεγέθη, που κθορίζου τη πρμόρφωση του φορέ γι τη συμμετρική κι τη τισυμμετρική φόρτιση, κι, κτόπι, ευρεθεί ποι πό υτά σχετίζοτι μετξύ τους. () Συμμετρική συιστώσ της φόρτισης Ότ ο τεής κι συμμετρικός φορές του σχήμτος.0 φορτίζετι με συμμετρική φόρτιση, η πρμόρφωσή του συίσττι στη τυτόχροη, ίση κι τίθετη, στροφή τω δύο κόμω του κι, οι οποίοι πρμέου οριζοτίως μετάθετοι (Σχ..8). 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 φ φ φ = φ ψ = ψ =0 Σχήμ.8 Η πρμόρφωση (ποιοτικά) του φορέ γι συμμετρική φόρτιση. Επομέως, δεδομέω τω σχέσεω φ = φ κι ψ =ψ =0, υφίσττι έ μόο άγωστο γεωμετρικό μέγεθος: η στροφή φ του κόμου. Έτσι, ως ΓΚΣ θεωρούμε το ρχικό φορέ με δικιητά πκτωμέους τους δύο κόμους του κι, εώ η μοδιί κτάστση Ξ =, που πιτείτι γι τη επίλυση του φορέ, ποτελείτι πό τη ομάδ υπερρίθμω "φ =" κι "φ = ", που επιάλλοτι τυτόχρο στο ΓΚΣ: Ξ = {"φ =" κι "φ = "}. Το άγωστο γεωμετρικό μέγεθος Ξ δε είι, πλέο, έ μοχικό μέγεθος (μι μοχική στροφή), λλά ποτελείτι πό το ζεύγος στροφώ φ = κι φ =. Ακολούθως, περιγράφετι συοπτικά η, κτά τ λοιπά, συήθης διδικσί επίλυσης με τη ΜΜ (λ. Σχ..9 έως Σχ..). Κτάστση "0" : φ φ 0 "0" q'=.kn/m Κ0 0kN,0,0 Κ 0 0kN,0,0 q L q L.87kNm.87kNm Σχήμ.9 Πρμόρφωση κι έτση του ΓΚΣ στη κτάστση 0 (μηδεικές μετκιήσεις κόμω). 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 Κτάστση "Ξ =" Ξ ": φ, φ " φ =, φ = Κ,,, Κ,,,,,,,, EI φ.7 knm rad L EI φ. knm rad L EI EI EI EI EI φ φ 0000kNm rad L L L L L EI EI EI EI EI φ φ 0000kNm rad L L L L L Σχήμ.0 Πρμόρφωση κι έτση του ΓΚΣ στη κτάστση Ξ = (τυτόχροη επιολή φ = κι φ = ). Υπολογισμός συτελεστώ φόρτισης κι στιρότητς φ = Κ0,0 "Ξ = " Κ 0,0 φ = φ = Κ, "Ξ = ", Κ,, φ = W 0 e 0 φ 0 φ,0 φ,0 φ 0 0 0.87.87 0 9.7kNm 0 0 0 W e 0 φ φ φ,,,, φ 0 0000.. 0000 0.7 0.7 knm rad Σχήμ. Τυτόχροες δυτές στροφές φ = κι φ = γι το υπολογισμό τω συτελεστώ φόρτισης Κ 0 κι στιρότητς Κ. 77

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 Υπολογισμός του υπεράριθμου γεωμετρικού μεγέθους ξ.7 ξ 9.7 0 9.7 ξ.7 ξ.70 0 rad Με τη σχέση επλληλίς ij ij,0 ij, ξ, υπολογίζοτι οι κμπτικές ροπές (Σημ.: Τ πρόσημ τω ροπώ υτώ είι ήδη προσρμοσμέ στη σύμση της ίς φοράς): 0 0.7.70 0.87..70 0 8.0kNm.0kNm 0000.70 0.0kNm Οι πρπάω ροπές συμπίπτου με τις ροπές του διγράμμτος του σχήμτος.(). Επομέως, ίδιες θ είι κι οι τίστοιχες τέμουσες κι ξοικές δυάμεις (λ. Σχ..() κι Σχ..7()). () Ατισυμμετρική συιστώσ της φόρτισης Ότ ο τεής φορές του σχήμτος.0 φορτίζετι με τισυμμετρική φόρτιση, η πρμόρφωσή του συίσττι σε μί οριζότι μετάθεση τω κόμω κι (διτηρούμεης, είως, λόγω της τέεις του ζυγώμτος της μοιίς τους πόστσης), κι στη τυτόχροη, ίση κι ομόσημη στροφή τω κόμω κι (Σχ..). Η πρμόρφωση υτή περιγράφετι πλήρως πό δύο μεγέθη μετκίησης: τη γωί στροφής φ του κόμου (ή φ του κόμου ) κι τη γωί στροφής ψ της χορδής (ή ψ της χορδής ), που γι υτό κι ποτελού τ υπεράριθμ μεγέθη του προλήμτος. φ m φ ψ φ = φ ψ = ψ =0 ψ m=0 Σχήμ. Η πρμόρφωση (ποιοτικά) του φορέ γι τισυμμετρική φόρτιση. Σύμφω με τ πρπάω, ως ΓΚΣ θεωρούμε το ρχικό φορέ με δικιητά πκτωμέους τους κόμους κι, κι με δικιητή πάκτωση της χορδής της δοκού. Οι δύο τίστοιχες μοδιίες κτστάσεις, που πιτούτι γι τη επίλυση του φορέ, είι οι εξής: Ξ = {"φ =" κι "φ ="} Ξ = {"ψ ="} Η πρώτη εξ υτώ ποτελείτι πό τη ομάδ υπερρίθμω "φ =" κι "φ =", που εφρμόζοτι τυτόχρο στο ΓΚΣ. Δηλδή, το άγωστο γεωμετρικό μέγεθος Ξ δε είι έ μοχικό μέγεθος (μί μοχική στροφή), λλά ποτελείτι πό το ζεύγος στροφώ φ = κι φ =. Ακολούθως, περιγράφετι η, κτά τ λοιπά, συήθης διδικσί επίλυσης με τη ΜΜ (λ. Σχ.. έως Σχ..7). 78

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 Κτστάσεις "0", "Ξ =" κι "Ξ =" : φ φ ψ 0 "0" q'=.kn/m 0kN Κ0 0 Κ 0,0,0 Κ 0kN,0,0 q q L L 8 8 7.8kNm 7.8kNm Σχήμ. Πρμόρφωση κι έτση του ΓΚΣ στη κτάστση 0. [Σημ.: Ο υπολογισμός τω ροπώ στ άκρ κι γίετι με άση το γεγοός ότι, τόσο η ροπή όσο κι η ύθιση στο μέσο του οίγμτος της δοκού (Σημείο m, λ. Σχ..) είι ίσες με το μηδέ. Επομέως, τ δύο ημίσε του οίγμτος μπορού θεωρηθού ως μοόπκτες δοκοί με ομοιόμορφη φόρτιση, οπότε οι πτυσσόμεες ροπές προκύπτου πό τους πίκες κι.] Ξ ": φ, φ " φ = Κ,, φ =, Κ, Κ,,,, EI φ.7knm L,, EI φ.knm L,, EI EI EI EI EI φ φ 0000kNm L L L L L EI EI EI EI EI φ φ 0000kNm L L L L L Σχήμ. Πρμόρφωση κι έτση του ΓΚΣ στη κτάστση Ξ = (τυτόχροη επιολή φ = κι φ =). Ξ ": ψ " ' Κ Κ, Κ, ' ψ = ψ,, ψ ψ,,, ' ', EI EI,, ψ, 00000kNm,, ψ 00000kNm L L, Σχήμ. Πρμόρφωση κι έτση του ΓΚΣ στη κτάστση ξ = (επιολή ψ =). 79

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 Υπολογισμός συτελεστώ στιρότητς κι φόρτισης φ = Κ,, "Ξ = " φ = φ = "Ξ = ",, Κ Κ, φ =, Κ W 0 e φ φ φ,,,, φ 0 0000.. 0000 0.7 0 0.7kNm 0 W e 0 φ φ, φ, φ 0 00000 00000 0 00000 0 00000kNm Σχήμ. Τυτόχροες δυτές στροφές φ = κι φ = γι το υπολογισμό τω συτελεστώ στιρότητς Κ κι Κ. φ = Κ 0,0 "Ξ = ",0 φ = Κ 0 W e 0 0 φ 0 φ,0 φ,0 φ 0 0 0 7.8 7.8 0 0 0 0.kNm Σχήμ. Τυτόχροες δυτές στροφές φ = κι φ = γι το υπολογισμό του συτελεστή φόρτισης Κ 0. 70

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 "Ξ = " ', ', W e Κ 0 ψ =, ψ,,, ψ =, 0.7..7.,,,, ψ, 0 00000kNm "Ξ = " ', ', Κ ψ =, ψ =,,, W e 0 ψ,,,,, ψ, 0 00000 00000 00000 00000 0 800000kNm Σχήμ.7 Δυτή στροφή Ξ = γι το υπολογισμό τω συτελεστώ Κ κι Κ. "Ξ = " 0kN ' 0kN ' Κ 0 ψ = ψ =,, We 0 0 0 0 0 0 90 90 0 0 80kNm Σχήμ.7 Δυτή στροφή Ξ = γι το υπολογισμό του συτελεστή φόρτισης Κ 0. Υπολογισμός τω υπερρίθμω γεωμετρικώ μεγεθώ Ξ κι Ξ 0.7 Ξ 00000 Ξ. Ξ.080 rad 00000 Ξ 800000 Ξ 80 Ξ.90 rad Με τη σχέση επλληλίς ij ij,0 ij, Ξ ij, Ξ υπολογίζοτι οι κμπτικές ροπές (Σημ.: Τ πρόσημ τω ροπώ υτώ είι ήδη προσρμοσμέ στη σύμση της ίς φοράς): 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 0 0.7.08 0 00000.9 0 7.8..08 0 00000.9 0 0000.08 0.9kNm 8.0kNm.9kNm Οι πρπάω ροπές συμπίπτου με τις ροπές του διγράμμτος του σχήμτος.(). Επομέως, ίδιες θ είι κι οι τίστοιχες τέμουσες κι ξοικές δυάμεις (λ. Σχ..() κι Σχ..7()). Έτσι, τ τελικά διγράμμτ Μ, Q, N λόγω της δεδομέης φόρτισης, τ οποί προκύπτου πό τη διδικσί επίλυσης με εισγωγή τω ομάδω υπερρίθμω μεγεθώ, είι ίδι με τ διγράμμτ τω σχημάτω.(γ),.(γ), κι.7(γ) τιστοίχως, τ οποί προέκυψ με θεώρηση κι επίλυση του μισού φορέ. Έλεγχοι τελικώ ποτελεσμάτω Ακολούθως, διεεργούτι τρεις ισορροπικοί έλεγχοι γι ολόκληρο το φορέ (λ. Σχ..8). Οι τιμές τω τιδράσεω στήριξης κι ροπώ πάκτωσης προέρχοτι πό τ διγράμμτ τω σχημάτω.,. κι.7. P=0kN q=kn/m.00.97 0.7 8.0 7. 7.8.00 0.8 F.97 8.0 0 0 kn x Fz 7.8 0.8 0 kn 0 0.8 0.7 7. 0.0 0 knm Σχήμ.8 Ισορροπικοί έλεγχοι σε ολόκληρο το φορέ. Οι τρεις πρπάω συθήκες ισορροπίς ικοποιούτι. Περιτέρω ισορροπικοί έλεγχοι, κθώς κι οι έλεγχοι συμιστού επφίετι ως άσκηση στο γώστη. 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 Εκφώηση Άσκηση Γι το φορέ του σχήμτος.0 ζητείτι η επίλυση με τη ΜΜ κι η σχεδίση τω διγρμμάτω, Q, Ν: () με θεώρηση του μισού φορέ, κι () με εισγωγή ομάδω υπερρίθμω μεγεθώ. Σε κάθε ήμ τω επιλύσεω μελετάτι κι η περίπτωση, κτά τη οποί ο μεσίος στύλος δε είι τεής, λλά έχει πεπερσμέη δυστέει ίση με ΕΑ =0000kN. άξος συμμετρίς ΔΕΔΟΜΕΝΑ P q L Γεωμετρί L =.00m L =.00m Φόρτιση q =0 kn/m Ρ=0kN Δοκοί/Στύλοι EI=0 knm EA GA s Σχήμ.0 Δεδομέος φορές Γεωμετρί, υλικό, φόρτιση. Λύση L L () Επίλυση με θεώρηση του μισού φορέ Αλύετι, κτ ρχάς, η φόρτιση του φορέ σε μί συμμετρική κι μί τισυμμετρική συιστώσ, όπως φίετι κι στο πρκάτω σχήμ.. q'=q/=kn/m P/=0kN P/=0kN P/=0kN q'=q/=kn/m P/=0kN q'=q/=kn/m Σχήμ. Αάλυση της φόρτισης του φορέ σε συμμετρική () κι τισυμμετρική () συιστώσ. 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 () Συμμετρική συιστώσ της φόρτισης Όπως γωρίζουμε (λ. [], πράγρ... κι..), ότ ο άξος συμμετρίς εός συμμετρικού κι συμμετρικά φορτιζόμεου φορέ συμπίπτει με το άξο εός στοιχείου του φορέ (εδώ: με το στύλο ), τ μεγέθη έτσης του στοιχείου υτού ικοποιού τις πρκάτω συθήκες: κμπτική ροπή Μ=0 (το στοιχείο, εδώ ο στύλος, πρμέει πρμόρφωτο) τέμουσ δύμη Q=0 (συέπει του προηγούμεου) ξοική δύμη Ν0. Επιπλέο, στο κόμο του φορέ μς, ισχύου οι εξής συθήκες γι τις μετκιήσεις: κλίση ελστικής γρμμής (στροφή) φ =0 οριζότι μετκίηση x =0 κτκόρυφη μετκίηση z 0 (εφόσο ΕΑ =πεπερσμέη). Γι τη εκτέλεση τω υπολογισμώ στο μισό φορέ, θ πρέπει ικοποιηθού όλες οι πρπάω συθήκες. Πρι, όμως, προχωρήσουμε στους υπολογισμούς, θ εξετάσουμε με συτομί τη επίδρση της τέεις του στοιχείου, που συμπίπτει με το άξο συμμετρίς. Έστω ότι το στοιχείο είι τεές (ΕΑ Ø ) Α το στοιχείο που συμπίπτει με το άξο συμμετρίς είι τεές, τότε πύει ισχύει η συθήκη z 0 κι ισχύει πλέο z =0. Στη περίπτωση υτή, η στήριξη, που πρέπει τοποθετηθεί στο κόμο του μισού φορέ, είι μί πάκτωση (λ. Σχ..()), εώ στη τίθετη περίπτωση,, δηλδή, ΕΑ =πεπερσμέη, θ πρέπει τοποθετηθεί μί κτκορύφως κιητή πάκτωση (λ. Σχ..()). Επιπλέο, στη περίπτωση του τεούς στοιχείου (πάκτωση στο κόμο του μισου φορέ) είι, προφώς, περιττή η συμπερίληψη τού (μφίπκτου πλέο) στοιχείου στο προσομοίωμ του μισού φορέ, διότι υτό γκστικά πρμέει άτοο, φού μετξύ τω δύο πκτωμέω άκρω του δε δρ κέ φορτίο. Έστω ότι το στοιχείο δε είι τεές (ΕΑ =πεπερ.) Α το στοιχείο που συμπίπτει με το άξο συμμετρίς έχει πεπερσμέη δυστέει, τότε το προσομοίωμ του μισού φορέ οφείλει περιλμάει κι το στοιχείο, διότι υτό επηρεάζει τη πρμόρφωση του φορέ. Επειδή, όμως, το στοιχείο ρίσκετι επάω στο άξο συμμετρίς, πρμέει σε κάθε περίπτωση κμπτικά πρμόρφωτο υπό συμμετρική φόρτιση. Κτά συέπει, το στοιχείο του μισού φορέ θ πρέπει θεωρηθεί με ρθρώσεις στ δύο άκρ του, έχοτς έτσι τη δυτότητ μόο ξοικώ πρμορφώσεω κι τίστοιχης ξοικής έτσης. Επιπροσθέτως, επειδή το στοιχείο διχωρίζετι στη μέση πό το άξο συμμετρίς, οφείλει ληφθεί υπόψη στο προσομοίωμ του μισού φορέ με τη μισή επιφάει της διτομής του, δηλδή (Α ) μισός φορές =Α/. Οι πρπάω διπιστώσεις πεικοίζοτι στο κόλουθο σχήμ.. 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 Συμμετρική φόρτιση φ=0 =0 x Μ=0 Q=0 N=0 ΕΑ Ø z=0 EA =πεπερ. (A/) =0 z () () Σχήμ. Επίλυση στο μισό φορέ γι συμμετρική φόρτιση: () γι ΕΑ κι () γι ΕΑ =πεπερ.. Έτσι, εφόσο επιλεγεί η επίλυση του προλήμτος με χρήση του μισού φορέ, ο κθορισμός του ΓΚΣ εξρτάτι πό το το στοιχείο είι τεές ή όχι, όπως φίετι στο πρκάτω σχήμ.. ξ, Κ ξ, Κ ξ, Κ () () Σχήμ. ΓΚΣ του μισού φορέ γι συμμετρική φόρτιση: () γι ΕΑ κι () γι ΕΑ =πεπερ.. Η επίλυση με άση οποιοδήποτε πό τ δύο ΓΚΣ του σχήμτος. μπορεί γίει εύκολ με τη ήδη γωστή πό τις προηγούμεες σκήσεις διδικσί κι δε θ προυσιστεί λυτικά εδώ. Πρκάτω δίοτι, πλώς, τ διγράμμτ Μ, Q κι Ν κι γι τις δύο υτές περιπτώσεις (λ. Σχ.. κι Σχ..). 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7.7. [knm] 99. Q [kn].7 8.9 0.8.8 7.9 N [kn] 07.9 99. 0.8 Σχήμ. Διγράμμτ Μ, Q, Ν του μισού φορέ με ΕΑ =πεπερ. υπό συμμετρική φόρτιση. [knm]. 90 7. Q [kn] 8...87 N [kn] 7.87 7. Σχήμ. Διγράμμτ Μ, Q, Ν του μισού φορέ με ΕΑ υπό συμμετρική φόρτιση. () Ατισυμμετρική συιστώσ της φόρτισης Σύμφω με έ άλογο προς τη περίπτωση της συμμετρικής φόρτισης σκεπτικό (λ. [], πράγρ... κι..), προκύπτει ότι, ότ ο άξος συμμετρίς εός συμμετρικού κι τισυμμετρικά φορτιζόμεου φορέ συμπίπτει με το άξο εός στοιχείου του φορέ (εδώ: με το στύλο ), τ μεγέθη έτσης του στοιχείου υτού ικοποιού τις πρκάτω συθήκες: κμπτική ροπή Μ0 τέμουσ δύμη Q0 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 ξοική δύμη Ν=0. Επιπλέο, στο κόμο του φορέ μς ισχύου οι κόλουθες συθήκες γι τις μετκιήσεις: κλίση ελστικής γρμμής φ0 οριζότι μετκίηση x 0 κτκόρυφη μετκίηση z =0. Στη περίπτωση υτή, γι διεεργηθού οι υπολογισμοί στο μισό φορέ θ πρέπει, πό πλευράς κιημτικώ συθηκώ, εξσφλιστεί μηδεική ύθιση στο κόμο ( z =0). Αυτό σημίει, ότι θ πρέπει τοποθετηθεί μί οριζότι κύλιση στο κόμο υτό, έτσι ώστε εμποδιστεί η μεττόπισή του κτά το κτκόρυφο άξο Ζ. Όσο φορά στις συθήκες, τις οποίες πρέπει ικοποιού τ μεγέθη έτσης του στοιχείου, που τυτίζετι με το άξο συμμετρίς, ισχύου τ κόλουθ: () Εφόσο το στοιχείο υτό διχωρίζετι στη μέση πό το άξο συμμετρίς, η ροπή δράεις του στοιχείου στο προσομοίωμ του μισού φορέ θ λμάετι ίση με το ήμισυ της πργμτικής του ροπής δράεις (λ. Σχ..()). Ατίστοιχ, κι εφόσο λμάοτι υπόψη κι οι διτμητικές πρμορφώσεις τω στοιχείω, θ πρέπει κι η τεκμρτή επιφάει διάτμησης λμάετι ίση με το ήμισυ της πργμτικής. () Εφόσο η ξοική δύμη του στοιχείου είι ίση με το μηδέ, πιτείτι στο προσομοίωμ του μισού φορέ η εισγωγή μίς ξοικής άρθρωσης σε έ πό τ δύο άκρ του στοιχείου υτού. Ωστόσο, η οριζότι κύλιση, που τοποθετήθηκε στο κόμο (προς ικοποίηση τω κιημτικώ συθηκώ που περιγράφηκ προηγουμέως), τιστοιχεί με μί δεσμική ράδο κτά τη διεύθυση του άξο του στοιχείου, η οποί δε επιτρέπει τη μετφορά ξοικής έτσης στο στοιχείο. Συεπώς, η εισγωγή της ξοικής άρθρωσης δε είι γκί. () Στη περίπτωση τισυμμετρικής φόρτισης, είι διάφορο το στοιχείο είι τεές ή όχι, διότι η πρόσθετη οριζότι κύλιση στο κόμο πρλμάει κάθε κτκόρυφο φορτίο, διτηρώτς, όπως τοίστηκε προηγουμέως, ξοικά φόρτιστο το στοιχείο, το οποίο, έτσι, πρμέει ξοικά πρμόρφωτο, κόμη κι στη περίπτωση που έχει πεπερσμέη δυστέει. Με άση τις πρπάω πρτηρήσεις, το προσομοίωμ του μισού φορέ γι τη περίπτωση της τισυμμετρικής φόρτισης κθώς κι το τίστοιχο ΓΚΣ δίοτι στο πρκάτω σχήμ.. Ατισυμμετρική φόρτιση φ=0 x=0 =0 z Μ=0 Q=0 N=0 ΕΑ Ø ή ΕΑ =πεπερ. (I/) ξ, Κ ξ, Κ ξ, Κ () () Σχήμ. Επίλυση στο μισό φορέ γι τισυμμετρική φόρτιση: () προσομοίωμ () ΓΚΣ. 77

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 Η επίλυση του φορέ του σχήμτος. με τη ΜΜ μπορεί γίει εύκολ με τη ήδη γωστή πό τις προηγούμεες σκήσεις διδικσί κι δε θ προυσιστεί λυτικά εδώ. Πρκάτω δίοτι, πλώς, τ διγράμμτ Μ, Q κι Ν κι γι τις δύο υτές περιπτώσεις (λ. Σχ..7). [knm] 0.8. 90.9 90.9 9.7 Q [kn] 90. 8.88 79.7 7.. N [kn]. 0 9.7 Σχήμ.7 Διγράμμτ Μ, Q κι Ν του μισού φορέ υπό τισυμμετρική φόρτιση. () Τελικά διγράμμτ Τ τελικά διγράμμτ ροπώ, τεμουσώ κι ξοικώ δυάμεω του φορέ υπό τη δεδομέη φόρτιση προκύπτου γι με τη περίπτωση που το στοιχείο έχει πεπερσμέη δυστέει πό τη επλληλί τω διγρμμάτω τω σχημάτω. κι.7, γι δε τη περίπτωση που το στοιχείο είι τεές πό τη επλληλί τω διγρμμάτω τω σχημάτω. κι.7. Γι τις επλληλίες υτές θ πρέπει ληφθεί υπόψη: (i) ότι τ διγράμμτ ροπώ συμμετρικώ φορέω υπό συμμετρική φόρτιση είι συμμετρικά, εώ υπό τισυμμετρική φόρτιση είι τισυμμετρικά, (ii) ότι τ διγράμμτ τεμουσώ δυάμεω συμμετρικώ φορέω υπό συμμετρική φόρτιση είι τισυμμετρικά, εώ υπό τισυμμετρική φόρτιση είι συμμετρικά, κι (iii) ότι τ διγράμμτ ξοικώ δυάμεω συμμετρικώ φορέω υπό συμμετρική φόρτιση είι συμμετρικά, εώ υπό τισυμμετρική φόρτιση είι τισυμμετρικά. 78

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 Α. Τελικά διγράμμτ γι τη περίπτωση που ΕΑ =πεπερ.=0000kn Συμμετρική φόρτιση.7...7.7.7 8.9 0.8.8 Ατισυμμετρική φόρτιση 90.9 0.8.. 0.8 90.9 8.8 8.88 9. 8.88. 7. 7.. 7. 09.8 εδομέη φόρτιση (Σχ. 0.0) 8.8.7 9..0 Σχήμ.8 Διγράμμτ κμπτικώ ροπώ Μ γι τη περίπτωση που ΕΑ =πεπερ.. 79

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 99. Συμμετρική φόρτιση 0.8 0.8 0 99. 7.9 7.9 9.7 Ατισυμμετρική φόρτιση 9.7 90. 7. 8. 7. 8.88 εδομέη φόρτιση (Σχ. 0.0) 9.. 9.9 8..8 Σχήμ.8 Διγράμμτ τεμουσώ δυεω Q γι τη περίπτωση που ΕΑ =πεπερ.. 70

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 Συμμετρική φόρτιση 07.9 07.9 99. 0.7 99. Ατισυμμετρική φόρτιση.. 0 9.7 9.7 εδομέη φόρτιση (Σχ. 0.0).8 9.9 8.88 0.7 9. Σχήμ.8 Διγράμμτ ξοικώ δυάμεω Ν γι τη περίπτωση που ΕΑ =πεπερ.. 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 Β. Τελικά διγράμμτ γι τη περίπτωση που ΕΑ Ακολουθώτς το ίδιο σκεπτικό επλληλίς, υπολογίζοτι τ τελικά διγράμμτ Μ, Q κι N υπό τη δεδομέη φόρτιση κι γι τη περίπτωση που ΕΑ (λ. Σχ..9). 80.9 [knm]. 0.9.8 8.8.8 9. 9.8 7. Q [kn] 7.7 7.7 0. 8.. N [kn]. 9. 7. 7.7 Σχήμ.9 Διγράμμτ Μ, Q κι Ν γι τη περίπτωση που ΕΑ. 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 () Επίλυση με εισγωγή ομάδω υπερρίθμω μεγεθώ Η διδικσί επίλυσης με τη εισγωγή ομάδω υπερρίθμω μεγεθώ προϋποθέτει, όπως κι στη προηγούμεη περίπτωση που χρησιμοποιήθηκε ο μισός φορές, τη άλυση της φόρτισης σε συμμετρική κι τισυμμετρική, σύμφω με το σχήμ.. Γι το ορισμό τω ομάδω υπερρίθμω μεγεθώ, θ πρέπει ετοπιστού τ γεωμετρικά μεγέθη, που κθορίζου τη πρμόρφωση του φορέ γι τη συμμετρική κι τη τισυμμετρική φόρτιση, κι, κτόπι, ευρεθεί ποι πό υτά σχετίζοτι μετξύ τους. () Συμμετρική συιστώσ της φόρτισης Ότ ο τεής κι συμμετρικός φορές του σχήμτος.0 φορτίζετι με συμμετρική φόρτιση, η πρμόρφωσή του συίσττι στη ίση κι τίθετη στροφή τω δύο κόμω του κι, εώ ο κόμος, που ρίσκετι επάω στο άξο συμμετρίς πρμέει άστρεπτος. Πράλληλ, κές κόμος δε υφίσττι μεττόπιση (Σχ..0). φ φ φ = 0 φ = φ ψ = ψ = ψ = 0 ψ = ψ = 0 Σχήμ.0 Η πρμόρφωση (ποιοτικά) του τεούς φορέ (ΕΑ ) γι συμμετρική φόρτιση. Λμάοτς υπόψη τις σχέσεις τω γεωμετρικώ μεγεθώ του φορέ (λ. Σχ..0), η μοδιί κτάστση που πιτείτι γι τη επίλυση του τεούς φορέ είι: Ξ = ("φ =" κι "φ = ") Η διδικσί επίλυσης είι όμοι (τηρουμέω τω λογιώ) με υτή που περιγράφηκε λυτικά στη Άσκηση (λ. Σχ..8 έως Σχ..). Επομέως, περιττεύει εδώ η λυτική της προυσίση. Είι προφές ότι, πό τη διδικσί επίλυσης θ πρέπει προκύψου τ διγράμμτ του σχήμτος.. Στη περίπτωση που το στοιχείο έχει πεπερσμέη δυστέει, η πρμόρφωση του φορέ γι συμμετρική φόρτιση δίετι ποιοτικά στο σχήμ.. Η υφιστάμεη δυτότητ μεττόπισης του κόμου κτά τη διεύθυση του κτκόρυφου άξο Ζ οδηγεί στη άγκη εισγωγής κι εός κόμη γώστου γεωμετρικού μεγέθους Ξ γι τη περιγρφή της πρμόρφωσης του φορέ: της γωίς στροφής της χορδής του στοιχείου ή. Ελλκτικά, θ μπορούσε, είως, εισχθεί ως άγωστο μέγεθος κι η κτκόρυφη μεττόπιση του κόμου. ψ ψ φ φ φ = 0 φ = φ ψ = ψ = 0 ψ = ψ Σχήμ. Η πρμόρφωση (ποιοτικά) του φορέ με ΕΑ =πεπερ. γι συμμετρική φόρτιση. 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 Λμάοτς υπόψη τις σχέσεις τω γεωμετρικώ μεγεθώ του φορέ (Σχ..), οι δύο μοδιίες ομδικές κτστάσεις που πιτούτι γι τη επίλυση είι: Ξ = {"φ =" κι "φ ="} Ξ = {"ψ =" κι, γκστικά, "ψ ="} Η επίλυση γίετι με πρόμοιο τρόπο όπως στη Άσκηση. Από τη επίλυση προκύπτου τ διγράμμτ του σχήμτος.. () Ατισυμμετρική συιστώσ της φόρτισης Ότ ο φορές φορτίζετι με τισυμμετρική φόρτιση, η πρμόρφωσή του πιτεί το ίδιο ριθμό γεωμετρικώ μεγεθώ, είτε το στοιχείο είι τεές, είτε όχι. Το γεγοός υτό οφείλετι στο ότι, το στοιχείο τυτίζετι με το άξο συμμετρίς, οπότε ο κόμος δε έχει δυτότητ κτκόρυφης μετκίησης. Άρ, το μήκος του στοιχείου δε μετάλλετι, κτά τη τισυμμετρική φόρτιση του φορέ, κι, επομέως, είι διάφορο γι τη επίλυσή του, το στοιχείο έχει άπειρη ή πεπερσμέη δυστέει ΕΑ. φ φ φ ψ φ = φ ψ = ψ = ψ ψ = ψ = 0 ψ ψ Σχήμ. Η πρμόρφωση του φορέ γι τισυμμετρική φόρτιση. Λμάοτς υπόψη τις σχέσεις τω γεωμετρικώ μεγεθώ του φορέ (Σχ..), οι τρεις μοδιίες κτστάσεις που πιτούτι γι τη επίλυση είι: Ξ = {"φ =" κι "φ ="} Ξ = {"ψ =" κι, γκστικά, "ψ =" κι "ψ ="} Ξ = {"φ ="} Από τους υπολογισμούς, που γίοτι κτά τ γωστά, προκύπτου τ διγράμμτ του σχήμτος.7. Τ τελικά διγράμμτ Μ, Q, N, που προκύπτου πό τη διδικσί επίλυσης με τη εισγωγή τω ομάδω υπερρίθμω μεγεθώ, συμπίπτου με τ διγράμμτ τω σχημάτω.8,.8,.8 γι τη περίπτωση ΕΑ =πεπερ. κι με τ διγράμμτ του σχήμτος.9 γι τη περίπτωση ΕΑ. Έλεγχοι τελικώ ποτελεσμάτω Ακολούθως (λ. Σχ..), διεεργούτι τρεις ισορροπικοί έλεγχοι γι ολόκληρο το φορέ, φεός γι τη περίπτωση ΕΑ =πεπερ.=0000kn κι, φετέρου γι τη περίπτωση τεούς στοιχείου ΕΑ Ø. Οι χρησιμοποιούμεες τιμές τω τιδράσεω στήριξης κι ροπώ πάκτωσης προέρχοτι πό τ διγράμμτ τω σχημάτω.8 (,, ) κι.9 τιστοίχως. Οι τρεις ελεχθείσες συθήκες ισορροπίς ικοποιούτι κι στις δυο περιπτώσεις. Περιτέρω ισορροπικοί έλεγχοι, κθώς κι οι έλεγχοι συμιστού επφίετι ως άσκηση στο γώστη. 7

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλιο 7 EΑ =πεπερ.=0000kn P=0kN q=0kn/m.00 9.9.7 8..8 9..0 8.88 0.7 9..00.00 F 0 9.9 8..8 0 kn x F (0 ) 8.880.7 9. 0 kn z 0 0. 0 0.7 9..7 9..0 0.0 0 knm EΑ P=0kN q=0kn/m.00 0. 8..8 9.. 9.8 7. 7.7.00.00 F 0 0. 8.. 0.0 0 kn x F (0 ) 7. 7.7 0 kn z 0 0. 0 7.7.89. 9.8 0.0 0 knm Σχήμ. Ισορροπικοί έλεγχοι σε ολόκληρο το φορέ. Βιλιογρφικές φορές [] Αρμίδης, Ι.Ε. (0). Σττική τω Κτσκευώ, Τόμος Ι: Θεμελιώδεις ρχές κι ισοσττικοί φορείς. Θεσσλοίκη: Αυτοέκδοση. [] Αρμίδης, Ι.Ε., (0). Σττική τω Κτσκευώ, Τόμος ΙΙ: Υπερσττικοί Φορείς Κλσικές Μέθοδοι Αάλυσης. Θεσσλοίκη: Αυτοέκδοση. 7