ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε = ( ) 3 τότε έχουμε: ( ) ( ) i Ν Ν ma + + + ma + + + 3 i i i i που ισχύει προφανώς Επίσης έχουμε: Ν Ν + + + + + + + + + + + + + + + + + + + j j 0 που ισχύει < i j j j ( ) < i j Για την τελευταία ανισότητα έχουμε: Ν Ν + + + ma που ισχύει ( i ) 3 i Από τις ανισότητες Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν 3 3 για κάθε προκύπτει ότι οι νόρμες είναι ισοδύναμες Αυτό βάσει του ορισμού σύμφωνα με τον οποίο οι νόρμες Ν( ) Ν( ) επί του είναι ισοδύναμες αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α β > 0 τέτοιοι ώστε aν( ) Ν( ) βν ( ) για κάθε Έστω d μία συνάρτηση απόστασης επί του Ευκλείδειου χώρου Να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση d ( ) d ( ): = + d ( ) ορίζει μία απόσταση επί του Για τη συνάρτηση d ισχύουν: i
Ι d ( ) ( ) ( ) d = + d : 0 Επιπλέον ισχύει: d d για κάθε αφού ( ) ( ) d d = = = : 0 d + d 0 αφού η συνάρτηση είναι απόσταση επί του ΙΙ Συμμετρική ιδιότητα d( ) d( ) d( ) = d( ) = d( ) = d( ) + d + d III Τριγωνική ανισότητα d d z d z d( ) d( z ) + d( z ) + + d + d z + d z ( ) ( )( ) + d( z )( + d( ))( + d( z )) d + d z + d z d z + d + d z ( ) ( ) ( z ) ( ) ( z ) ( ) ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) ( ) ( z ) ( ) ( z ) ( z ) ( z ) d( ) d( z ) d( ) d( z ) d( z ) ( ) ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) ( ) ( z ) ( z ) d + d d + d d + d d d d + d + d d + d d + d d + + d d + d + d d + d d d που ισχύει 3 Να εξετάσετε αν υπάρχουν τα όρια των ακολουθιών: 3 ( ) = = 3 = = 3 + 3 3 Παρατηρούμε ότι: lim = 0 και lim = e οπότε σύμφωνα με τη + + θεωρία θα ισχύει ότι: 3 3 3 lim = lim = lim lim = ( 0 e ) + + + + Επειδή δεν υπάρχει το ( ) lim δεν υπάρχει το ζητούμενο όριο Το προηγούμενο + + ενώ η όριο δεν υπάρχει γιατί η υπακολουθία των άρτιων όρων έχει όριο υπακολουθία των περιττών όρων έχει όριο 4 Δίνεται το σύνολο {( 0 ) : } Α= (α) Να αποδείξετε ότι όλα τα σημεία του Α είναι μεμονωμένα και να βρείτε το σύνορό του
3 (β) Είναι το σύνολο Α συμπαγές δηλαδή κλειστό και φραγμένο; (α) Για κάθε σημείο ( 0) D( ( 0 ) ε ) με 0< ε < έτσι ώστε D( ( 0 ) ε ) Α= {( 0) } του Α υπάρχει ανοικτός δίσκος δηλαδή κάθε σημείο του Α είναι μεμονωμένο Επιπλέον κάθε σημείο του Α είναι συνοριακό του σημείο οπότε θα είναι Α = Α (β) Το σύνολο Α είναι κλειστό γιατί περιέχει όλα τα συνοριακά σημεία του όμως δεν είναι φραγμένο Πράγματι αν υποθέσουμε ότι το σύνολο Α είναι φραγμένο τότε θα υπάρχει M > 0 τέτοιο ώστε να ισχύει ( 0) ( 00 ) = ( 0) = < M για κάθε ακέραιο που είναι άτοπο Επομένως το σύνολο Α δεν είναι συμπαγές 5 Να βρείτε και να παραστήσετε γεωμετρικά το πεδίο ορισμού D της συνάρτησης ( ) = l( l( ) ) Είναι το σύνολο D συνεκτικό; Βρείτε το σύνορο ϑ D του συνόλου D D = : > 0 και l > 0 { } ( ) ( ) ( ) ( ) : 0 ή 0 { : 0 και 0l 0 ή 0l 0} { : 0 και 0 ή 0 και 0 } { } = > > > < < = > > > > < < = > > + < < < + Σχήμα
4 6 Να περιγράψετε την επιφάνεια με αναλυτική εξίσωση : (α) z = 0 (β) ( ) + + ( z ) = 4 (γ) (ε) z z (δ) z ( + ) = 4 + = 9 z (στ) z ( ) = 0 + ( ) = 0 (ζ) z = 0 (η) ( ) + 4 + 4z = 4 (θ) z (ι) z = + = (α) Επίπεδο που περιέχει τον άξονα (β) Σφαίρα κέντρου Ο(0) και ακτίνας α = (γ) Κυλινδρική επιφάνεια με γενέτειρα παράλληλη στην ευθεία που ορίζεται από τα επίπεδα: + z = 0 + z =0 (δ) Κυκλικός κύλινδρος με άξονα τον (ε) z( ) = 0 ( )( + z) = 0 = 0 ή + z = 0 οπότε έχουμε την ένωση των επιπέδων με εξισώσεις = 0 + z = 0 (στ) Έχουμε εξίσωση ομογενή βαθμού ως προς τις μεταβλητές z οπότε η εξίσωση παριστάνει κωνική επιφάνεια με κορυφή Κ ( 000) (ζ) z = είναι εξίσωση ελλειπτικού παραβολοειδούς ( ) (η) Η εξίσωση γράφεται: + + z = οπότε έχουμε ελλειπτικό παραβολοειδές με μήκη ημιαξόνων (θ) Υπερβολικό παραβολοειδές (ι) Μονόχωνο υπερβολοειδές 7 Να βρεθεί η προβολή στο επίπεδο O ( z = 0) των καμπύλων (α) + z = 9 z = 0 (β) z = 0 z = 0 (α) Με απαλοιφή του z από τις δύο εξισώσεις προκύπτει ο προβάλλων κύλινδρος = 9 οπότε η προβολή της καμπύλης στο επίπεδο O ( z = 0) είναι η έλλειψη = 9 z = 0 + = z = 0 3 3 (β) Με απαλοιφή του z από τις δύο εξισώσεις προκύπτει ο προβάλλων κύλινδρος = 0 + = οπότε η προβολή της καμπύλης στο επίπεδο O z = ( 0) είναι ο κύκλος + = z = 0 Παρατήρηση Με τη βοήθεια της προβολής καμπύλης του χώρου στο επίπεδο O είναι εύκολος ο προσδιορισμός μιας παραμετρικής παράστασης της δεδομένης καμπύλης Για παράδειγμα για την καμπύλη του ερωτήματος (α) έχουμε:
5 3 3 = 3cos t = si t z = si t t [ 0π ] Για το ερώτημα (β) έχουμε: = + cos t = si t z = + cos t t 0π [ ] 8 Να βρεθούν οι ισοσταθμικές καμπύλες (επιφάνειες) των συναρτήσεων (α) ( ) = + (β) ( ) = (γ) ( ) = (δ) ( z) = 4z + z z e z z (ε) ( ) = (στ) ( ) = + (α) ( ) = + = c + = c c (οικογένεια ευθειών) (β) ( ) = = c + = cc < (οικογένεια τετραγώνων) (γ) ( ) = = c = c c (οικογένεια παραβολών) (δ) ( z ) = = c = 4cz(οικογένεια παραβολοειδών εκ 4z περιστροφής) + z (ε) ( z) = e = c + z = l c c> 0(οικογένεια επιπέδων) (στ) ( z ) = z = c(οικογένεια δίχωνων παραβολοειδών) 9 Το πεδίο ταχυτήτων ενός ρευστού δίνεται από το διανυσματικό πεδίο α α i+ jαν α α > 0 v( ) = 0 αν < α Να σχεδιάσετε τις ταχύτητες του ρευστού πάνω στα σημεία των κύκλων με εξισώσεις (i) = α και (ii) = 4α Τι συμπεραίνετε για την κίνηση του ρευστού ; eρ (i) Χρησιμοποιούμε πολικές συντεταγμένες και τα μοναδιαία διανύσματα τους και e οπότε το δεδομένο διανυσματικό πεδίο λαμβάνει τη μορφή θ a V( ρθ ) = ( cosθ) + ( siθ) = a i j e θ πάνω στον κύκλο με οπότε το δεδομένο διανυσματικό πεδίο σε κάθε σημείο εξίσωση = α έχει κατεύθυνση αντίθετη από αυτήν του διανύσματος e θ και μέτρο ίσο με (ii) Εργαζόμενοι ομοίως βρίσκουμε ότι a V( ρθ ) = ( cosθ) + ( siθ) = 4a i j e θ
6 οπότε το δεδομένο διανυσματικό πεδίο σε κάθε σημείο ( ) πάνω στον κύκλο με εξίσωση μέτρο ίσο με + = 4α έχει κατεύθυνση αντίθετη από αυτήν του διανύσματος και e θ Σχήμα Το συμπέρασμα είναι ότι τα σημεία του ρευστού κάνουν κυκλική κίνηση σε ομόκεντρους κύκλους με κέντρο την αρχή Ο(00) και ακτίνα ρ ρ α 0 Να εξετάσετε ως προς την ύπαρξη τα παρακάτω όρια και να υπολογίσετε όσα υπάρχουν : 3 3 si( ) lim lim lim e lim ( ) (00) ( ) (00) ( ) (00) ( ) (00) (i) (ii) (iii) (iv) z z (v) lim (vi) lim (vii) lim ( z ) (000) ( ) (000) + z z + z ( z ) (000) (i) Με χρήση πολικών συντεταγμένων έχουμε: F ( ρθ) το είναι το πιθανό όριο της συνάρτησης Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι στο σύνολο ( ) si( ) + + z si ρ = + οπότε ρ 0 ρ π D= : < ισχύει ότι cos + < < οπότε χρησιμοποιώντας το κριτήριο παρεμβολής αρκεί να αποδείξουμε ότι ( ) ορισμό αφού ισχύει: lim cos + = Αυτό μπορεί να αποδειχθεί με τον ( ) (00)
7 cos( ) = si = οπότε για να ισχύει cos < ε αρκεί να ισχύει < ε < ε Έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε τον ορισμό του ορίου λαμβάνοντας δ = ε Άρα έχουμε ( ) (00) si( ) lim = (ii) Με χρήση πολικών συντεταγμένων λαμβάνουμε: F ρθ = ρ cos 3 θsi 3 θ 0 + (πιθανό όριο) Επιπλέον έχουμε 3 3 ( ) + + + + = 3 3 = = 3 3 ε οπότε για να ισχύει < ε αρκεί να ισχύει: 3 < ε < 3 ε Επομένως μπορούμε να εφαρμόσουμε τον ορισμό του ορίου με δ = οπότε 3 3 3 πράγματι έχουμε ότι: lim =0 ( ) (00) ρ 0 (iii) Εργαζόμενοι πάλι σε πολικές συντεταγμένες διαπιστώνουμε ότι το πιθανό όριο ε 0 έχουμε: είναι το 0 Στη συνέχεια αν επιλέξουμε < ε < ε e > > l =lε ε ε e < < e lε l ε οπότε ισχύει ότι: Για κάθε ε > 0 με ε (0) υπάρχει δ = > 0 έτσι ώστε l ε αν < δ = τότε l ε e < ε Στη περίπτωση που είναι ε τότε για οποιοδήποτε δ > 0 ισχύει η σχέση e < ε Επομένως είναι: e + ( ) (00) lim = 0
8 (iv) Έστω ( ) 0 0) και έχουμε = Θεωρούμε την ακολουθία = ( ( ) = = = αφού lim = + + Αν όμως θεωρήσουμε την ακολουθία = ( 0 0) τότε έχουμε: e = = = + e e e ( e ) Επομένως δεν υπάρχει το ζητούμενο όριο Παρατήρηση Από τη δεύτερη ακολουθία φαίνεται ότι θα μπορούσαμε να εργαστούμε χρησιμοποιώντας μόνο την ακολουθία z = ( 0 0 ) με a μεταβλητό a > οπότε θα προέκυπτε ότι z ( a ) = = = + a a a (v) Θεωρούμε την ακολουθία = ( 000) και έχουμε 3 ( ) = = 0 Επειδή το ίδιο συμβαίνει και για άλλες μηδενικές + 3 3 ακολουθίες θεωρούμε ότι το 0 είναι το πιθανό όριο z Για να ισχύει: ( z) 0 = <ε αρκεί να ισχύει + z + z z + z + z = + z + z < ε ή ισοδύναμα + z < ε Επομένως μπορούμε να εφαρμόσουμε τον ορισμό του ορίου με δ = ε z Άρα είναι: lim = 0 ( z ) (000) + z (vi) Θεωρούμε τις ακολουθίες = ( 000 και έχουμε 3 ) και = ( 000)
9 + 3 3 3 Επομένως δεν υπάρχει το ζητούμενο όριο ( ) = = = = + 3 (vii) Θεωρούμε τις ακολουθίες 3 = ( 000) και = ( 000) και έχουμε 5 0 ( ) = = 0 0 + 5 5 = = 0 + 3 Επομένως δεν υπάρχει το ζητούμενο όριο Επίσης θα μπορούσαμε να εργαστούμε κατά μήκος των ημιευθειών r t = t αβγ όπου αβγ 0 0 0 και t > 0 οπότε λαμβάνουμε α βγ α βγ ( r () t ) = t 0 α + β + γ α + β + γ δηλαδή το όριο που προκύπτει εξαρτάται από την θεωρούμενη ημιευθεία Επομένως δεν υπάρχει το ζητούμενο όριο Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις : + (i) ( ) = e αν ( ) (00) 0 αν ( ) = (00) αν + 0 (ii) ( ) = όπου a a αν + = 0 (i) Η συνάρτηση ( ) είναι συνεχής για κάθε ( ) ( 0 0 ) ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων Για τη συνέχεια στο σημείο ( 00 ) αρκεί να ισχύει ότι lim ( ) = ( 0 0) = 0 ( ) (00) Όμως κατά μήκος της καμπύλης : r () t = ( kkcos t ksi t) t [ 0 π ] και r ( 0) = ( 00) γ k + = k με παραμετρική παράσταση k k t 0 ( r () t ) = e e k k λαμβάνουμε
0 δηλαδή προκύπτει όριο που εξαρτάται από την θεωρούμενη καμπύλη οπότε δεν δεν είναι συνεχής στο υπάρχει το ζητούμενο όριο και έτσι η συνάρτηση ( 00) (ii) Η συνάρτηση ( ) είναι συνεχής για κάθε ( ) ( ) πηλίκο συνεχών συναρτήσεων Για τη συνέχεια στα σημεία ως 0 0 0 0 0 0 δηλαδή σημεία της ευθείας με εξίσωση + = 0 αρκεί να ισχύει ότι: ( ) ( 0 0) lim = = a () 0 0 Θεωρούμε την ευθεία r t = + tα + tβ t 0 α + β 0 με ( 0 ) = ( ) 0 0 0 0 r για την οποία προκύπτει ότι ( r () t ) α β 0 + ( α β) t αν 0 = 0 = α β t 0 + ( α + β) t ± αν 0 0 δεν είναι Επομένως δεν υπάρχει το ζητούμενο όριο και η συνάρτηση συνεχής σε κάθε σημείο της μορφής ( ) 0 0 0