3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος το οποίο µπορούµε να χωρίσουµε σε δύο επιµέρους προβλήµατα, ανάλογα µε το µέγεθος συνεισφοράς στην ενέργεια. Εχουµε ότι η συνολική χαµιλτονιανή του συστήµατος είναι H = H + V Υποθέτουµε πρώτον ότι µπορούµε να λύσουµε ακριβώς το πρόβληµα µε µόνο τον H και δεύτερον ότι η µεταβολή στις στάθµες ενέργειας E () του H λόγω του V είναι µικρότερη από τη διαφορά ενέργειας για οποιεσδήποτε δύο διαδοχικές στάθµες E () και E () ±. Σηµείωση : Τα προβλήµατα που λύνονται ακριβώς είναι ελάχιστα. Λύνουµε πρώτα το πρόβληµα ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων του H. Ĥ Ψ () = E () Ψ () η χαµιλτονιανή H έχουµε υποθέσει ότι έχει ένα διακριτό µη εκφυλισµένο ϕάσµα ιδιοτιµών. Το σύνολο των ιδιοσυναρτήσεων είναι πλήρες και ορθοκανονικό. Ψ (), Ψ () m = δ m Η χαµιλτονιανή του πραγµατικού προβλήµατος είναι : Ĥ = Ĥ + ˆV Ο τελεστής ˆV της πρόσθετης δυναµικής ενέργειας ονοµάζεται τελεστής διαταραχής. πλήρους χαµιλτονιανής είναι : (H + V )Φ = E Φ Λύνουµε αυτήν την εξίσωση µε διαδοχικές προσεγγίσεις ϕθίνουσας σηµασίας : Η ιδιοσυνάρτηση της Φ = Ψ () + Ψ () + Ψ () +... E = E () + E () + E () +... όπου E () > E () > E (3) >.... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι Φ Ψ () και E E () διαταραχή µηδενικής τάξης. Για καλύτερη προσέγγιση µπορούµε να πάρουµε έναν ακόµη όρο στο ανάπτυγµα Φ Ψ () + Ψ ()
68 Θεωρία διαταραχών διαταραχή πρώτης τάξης ή E E () + E () Φ Ψ () + Ψ () + Ψ () E E () + E () + E () διαταραχή δεύτερης τάξης και συνεχίζουµε έτσι! Στην πράξη σταµατάµε όταν η µεταβολή δεν είναι πλέον αισθητή. Συνήθως έχουµε διαταραχή πρώτης τάξης µόνο. Εάν το E () = τότε παίρνουµε οπωσδήποτε το E (). Το µαθηµατικό πρό- ϐληµα γίνεται πολύ δύσκολο καθώς αυξάνουµε την τάξη προσέγγισης, και επειδή οι Ψ () του αδιατάραχτου συστήµατος ϕτιάχνουν ένα πλήρες σύνολο συναρτήσεων, οι προσεγγιστικές λύσεις λόγω της διαταραχής ϑα είναι γραµµικοί συνδυασµοί των Ψ (). Για να γίνει ποσοτική η προσεγγιστική αυτή µέθοδος εισάγουµε µια παράµετρο λ έτσι ώστε να παραµετροποιήσουµε την ένταση της πρόσθετης αλληλεπίδρασης. Η λύση λοιπόν του ϕυσικού προβλήµατος δίνεται από τις λύσεις της χαµιλτονιανής (H + λv )Φ = E Φ, για λ =, ενώ για λ = έχουµε και άρα οι Φ, E είναι συναρτήσεις του λ. H Ψ () = E () Ψ () Φ = Ψ () + C (λ)ψ () Αναπτύσουµε τους συντελεστές C (λ) σε σειρά ως προς λ και έχουµε Φ = Ψ () + λ α Ψ () + λ b Ψ () +... δηλαδή Αναπτύσουµε και την ενέργεια σε σειρά ως προς λ: Φ = Ψ () + λψ () + λ Ψ () +... E = E () + λe () + λ E () +... Υποθέτουµε ότι οι σειρές συγκλίνουν για κάθε λ. Άρα οι συντελεστές πρέπει να ελαττώνονται από τάξη σε τάξη. Υπολογισµός των διαδοχικών όρων στην προσέγγιση: Αντικαθιστούµε στην εξίσωση (H +λv )Φ = E Φ τις εκφράσεις των Φ και E και εξισώνουµε τους συντελεστές των ίδιων δυνάµεων του λ, διότι οι ισότητες ισχύουν για κάθε λ. (H + λv ) Ψ () + λψ () + λ Ψ () } E () + λe () + λ E () +... } +... = Ψ () + λψ () + λ Ψ () +... H Ψ () = E () Ψ () τάξης λ = V Ψ () + H Ψ () = E () Ψ () + E () Ψ () τάξης λ V Ψ () + H Ψ () = E () Ψ () + E () Ψ () + E () Ψ () τάξηςλ. } Σε πολλά ϕυσικά προβλήµατα έχουµε περισσότερες της µίας αλληλεπιδράσεις µε διαφορετική ισχύ π.χ. V = V + V µε V > V. Μπορούµε να συµπεριλάβουµε την V στην διαταραχή πρώτης τάξης, ενώ η V µπορεί να εµφανιστεί σαν διαταραχή δεύτερης τάξης για το V. Πρακτικά µπορούµε να αντιµετωπίσουµε το πρόβληµα ως εξής : V = λv + λ V
3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 69 3.. ιαταραχή πρώτης τάξης Εχουµε να λύσουµε την εξίσωση : V Ψ () + H Ψ () = E () Ψ () + E () Ψ () όπου σύµφωνα µε όσα έχουµε πει για την πληρότητα του συστήµατος των αδιατάρακτων κυµατοσυναρτήσεων έχουµε : Ψ () = a Ψ (), µε V Ψ () + a E () Ψ() = E () Πολλαπλασιάζουµε από αριστερά την (3.) µε Ψ () αλλά Ψ (), Ψ () = και Ψ (), Ψ () = για Πολλαπλασιάζουµε από αριστερά την (3.) µε Ψ () m και ολοκληρώνουµε Ψ (), V Ψ () + = + E () Ψ (), Ψ () a Ψ () + E () Ψ () (3.) E () = Ψ (), V Ψ () (3.) µε m και ολοκληρώνουµε Ψ () m, V Ψ () + a m E m () = E () a m a m = Ψ() m, V Ψ () E () E m () Εάν υπολογίσουµε τον πίνακα που προκύπτει από τη διαταραχή V και τις ιδιοσυναρτήσεις Ψ () έχουµε (3.3) V = V = Ψ (), V Ψ() V V V N V V V N.. V N V N V NN και Η προσέγγιση έχει νόηµα όταν Φ = Ψ () + V Ψ () E () E () (3.4) E = E () + V (3.5) V E () E () + V E () E () Ο παρονοµαστής στα a δεν γίνεται ποτέ µηδέν διότι έχουµε πάντοτε E () E () για, µη εκφυλισµένες ιδιοτιµές. 3..3 ιαταραχή δεύτερης τάξης Για την επόµενης τάξης προσέγγιση της ενέργειας και της κυµατοσυνάρτησης του συστήµατος έχουµε να λύσουµε την εξίσωση : V Ψ () + H Ψ () = E () Ψ () + E () Ψ () + E () Ψ () (3.6) µε Ψ () = a Ψ (), a = γνωστό
7 Θεωρία διαταραχών και Ψ () = b Ψ (), E () = γνωστό Πολλαπλασιάζουµε από αριστερά την (3.6) µε Ψ () και ολοκληρώνουµε Ψ (), V Ψ () + = + + E () Ψ (), Ψ () E () E () = Ψ (), V Ψ () = a Ψ (), V Ψ () E () = E () Ψ (), V Ψ() Ψ (), V Ψ () E () E () = V V E () E () Υπολογισµός της κυµατοσυνάρτησης Πολλαπλασιάζουµε από αριστερά την (3.6) µε Ψ () για και ολοκληρώνουµε : = E () Ψ () Ψ (), V Ψ() + Ψ (), H Ψ () =, Ψ() + E () Ψ (), Ψ() + E () Ψ (), Ψ() a V + E () b = E () b + E () a + b (E () E () ) = a V E () a + µε και E () = Ψ (), V Ψ () = V a = Ψ(), V Ψ () E () E () = V E () E () b = V V E () )(E() E () ) V V (E () E () (E () ) Συνθήκη εφαρµογής της ϑεωρίας διαταραχών V E () E () για κάθε, Άρα η σειρά συγκλίνει, διότι οι όροι ελαττώνονται καθώς αυξάνουµε την τάξη προσέγγισης. Εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της Ψ () V Ψ () + H Ψ () = E () Ψ () + E () Ψ () (H E () )Ψ () = (E () V )Ψ () όπου H, E (), Ψ (), V, E () γνωστά. Άρα λύνουµε αυτή τη διαφορική εξίσωση ως προς Ψ (), και µετά υπολογίζουµε την E () = Ψ (), V Ψ ().
3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 7 3..4 Εφαρµογές. Η δυναµική ενέργεια ενός σωµατιδίου δίνεται από τις σχέσεις :, για x < και x > a V (x) = bx, για x a Να υπολογιστεί η ενέργεια E του σωµατιδίου σε πρώτη τάξη της ϑεωρίας διαταραχών. Για b = έχουµε το άπειρο πηγάδι δυναµικού µε E () = π ( πx ) 8ma και Ψ () = a si a. Αναρµονικός Ταλαντωτής E () = Ψ (), V Ψ () = b a = b 4a a π y si ydy = 4 π a y si ydy = ba ( x si πx ) dx a ( si y y si y cos y ) + y 4 Η δυναµική ενέργεια ενός σωµατιδίου µάζας m δίνεται από τις σχέσεις:, για x < V (x) = x + bx 3, για x > Να υπολογίσετε διαταρακτικά την ενέργεια της ϑεµελιώδους στάθµης σε πρώτη τάξη της ϑεωρίας διατα- ϱαχών. Θεωρούµε τον όρο U(x) = bx 3 σαν διαταραχή στον αρµονικό ταλαντωτή V (x) = x = mω x Οι κυµατοσυναρτήσεις του αρµονικού ταλαντωτή και οι ιδιοενέργειες είναι Ψ (x) = C! H (ξ)e ξ / όπου mω mω C = 4 και ξ = π x = ax ( µε ενέργειες E = ω + ). Επειδή η δυναµική ενέργεια απειρίζεται για x = εκεί η κυµατοσυ- νάρτηση µηδενίζεται. Τα πολυώνυµα του Hermite είναι άρτια για άρτιο και περιττά για περιττό και µηδενίζονται στο µηδέν. Οι λύσεις λοιπόν στο αδιατάρακτο πρόβληµα είναι οι λύσεις του αρµονικού ταλαντωτή για περιττό = + µε =,,,... Η ϑεµελιώδης στάθµη είναι για = Ψ (x) = 4 mω π ( ax)e ax / µε ενέργεια E = 3 ω.
7 Θεωρία διαταραχών Σε πρώτη τάξη της ϑεωρίας διαταραχών η διόρθωση της ενέργειας είναι : E = Ψ (x)u(x)ψ (x)dx = U = 4 mω mω π b x 5 e ax dx x e ax dx = Γ ( ) + a (+)/ όπου η συνάρτηση Γ(z) ορίζεται από τις σχέσεις : Γ(z + ) = zγ(z) και Γ x 5 e ax / dx = Γ(6/) a 6/ ( ) = π = Γ(3) a 3 =! a 3 = a 3 ( mω mω E = b π mω = b π ( mω ) 3/ ) 3 Για να ισχύει η προσέγγιση ϑα πρέπει : E ω 3b ( ) 3/ ω π mω 3. ιαταραχή εκφυλισµένων καταστάσεων Μέχρι τώρα υποθέσαµε ότι οι καταστάσεις του αρχικού (ϐασικού) αδιατάραχτου συστήµατος είναι µη εκφυλισµένες. Αλλά στη ϕύση συνήθως συναντάµε σε όλα τα κβαντικά συστήµατα εκφυλισµό. Τα πραγµατικά συστήµατα δεν είναι µονοδιάστατα. Οταν υπαρχει εκφυλισµός τότε σε διαταραχή ήδη πρώτης τάξης συναντάµε στον παρονοµαστή την ενεργειακή διαφορά E () E () όταν υπολογίζουµε τη διόρθωση στη στάθµη E. Εάν λοιπόν συµβαίνει η στάθµη να είναι εκφυλισµένη τότε κάποια στιγµή στο άθροισµα, έχουµε και τη συνεισφορά από την εκφυλισµένη κατάσταση E (), οπότε E() E () = και ο όρος αυτός απειρίζεται. Αλλά το πρόβληµα αυτό είναι τεχνικό οφείλεται δηλαδή σε παθογένεια της µεθόδου. Θα αναπτύξουµε λοιπόν µία µέθοδο για την άρση του εκφυλισµού. Θα υποθέσουµε ότι έχουµε στο αδιατάραχτο =, για ευκολία. Η µέθοδος σύστηµα δύο µόνο εκφυλισµένες καταστάσεις, την Ψ () = και την Ψ () γενικεύεται κατ ευθείαν για εκφυλισµό N. Η χαµιλτονιανή είναι H = H + V και H = E (), =,,...,, }} σε πρώτης τάξης προσέγγιση για αυτές τις δύο στάθµες έχουµε : Φ = Ψ () Φ = Ψ () E () =E (),... + a Ψ () = Ψ () + a Ψ () }} +Ψ() + a Ψ () = Ψ () + a Ψ () }} +Ψ() Ψ () =, a Ψ (), Ψ() =, a Ψ () a m = V m, V E m () E () m = Ψ () V Ψ() m
3. ιαταραχή εκφυλισµένων καταστάσεων 73 Εχουµε ξεχωρίσει λοιπόν τις εκφυλισµένες στάθµες Ψ (), Ψ () και ορίζουµε τώρα δύο νέες κανονικοποιηµένες καταστάσεις Ψ, Ψ σαν ιδιοσυναρτήσεις της συνολικής χαµιλτονιανής Ĥ σε προσέγγιση µέχρι πρώτης τάξης για την ενέργεια. ιαγωνιοποιούµε δηλαδή την Ĥ = Ĥ + ˆV στον διαστάσεων υποχώρο των κυµατοσυναρτήσεων της Ĥ. Εάν µπορούσαµε να το κάνουµε συνολικά ϑα λύναµε πλήρως το πρόβληµα. Ουσιαστικά αντί για Ψ () και Ψ () ϑα µπορούσαµε να πάρουµε οποιονδήποτε γραµµικό συνδυασµό : Ψ = c Ψ () + c Ψ () Ψ = c Ψ () + c Ψ () και εάν ο εκφυλισµός ϑεωρηθεί µεγαλύτερος τότε : (H + V )Ψ = E Ψ, (H + V )Ψ = E Ψ Ψ = N i= c i Ψ () i, =,,..., N Ολες οι καταστάσεις Ψ () i έχουν την ίδια ενέργεια. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση ιδιοτιµών (H + V )Ψ = E Ψ έχουµε, αφού πολλαπλασιάσουµε από αριστερά µε την Ψ () και ολοκληρώσουµε : i H Ψ + V Ψ = E Ψ E () c i i + c i V i = E c i i i i E () c E c = i c i V i c (E E () ) = i c i V i = c V + i c i V i c V + E () E + c i V i = i όπου =,,..., N και =,,..., N. Κρατώντας σταθερό το για = έχουµε τη σχέση : Για = έχουµε τη σχέση : Για = 3 έχουµε τη σχέση :. Για = N έχουµε τη σχέση : c V + E () E + c V + c 3 V 3 +... + C N V N = c V + c V E () E + c 3 V 3 +... + c N V = c V 3 + c V 3 + c 3 V 33 E () E +... + c N V 3N = c V N + c V N + c 3 V N3 +... + C N V NN + E () E = V + E () E V V 3... V N V V + E () c E V 3... V N c V 3 V 3 V 33 + E () E... V 3N c 3 =.. V N V N V N3 V NN + E () c N E
74 Θεωρία διαταραχών Εχουµε λοιπόν ένα σύστηµα N N οµογενές, µε N + αγνώστους τους E, c,..., c N. Για να έχει µια µη-τετριµµένη λύση το σύστηµα, ϑα πρέπει η ορίζουσά του να είναι µηδέν : det V + (E () E ) = N ιδιοτιµές για την ενέργεια E N ιδιοδιανύσµατα. Τα c είναι ορθογώνια µεταξύ τους, µε µία απροσδιόριστη σταθερά, τη ϐρίσκουµε κανονικοποιώντας. Επιστρέφουµε τώρα στο διδιάστατο αρχικό πρόβληµα. όπου H Ψ + V Ψ = E Ψ c E () + c V + c V = c E H Ψ + V Ψ = E Ψ c E () + c V + c V = E c c V + c V = c (E E () ) c V + c V = c (E E () ) ( ) ( ) ( ) V V c c = W V c c V W = E E () Εξίσωση ιδιοτιµών W και ιδιοσυναρτήσεων (ιδιοδιανυσµάτων) για τον πίνακα V του διαταρακτικού δυναµικού. Το σύστηµα έχει µη µηδενική λύση εάν η ορίζουσα είναι µηδέν : det V W V V V W = δύο ιδιοτιµές δύο ιδιοδιανύσµατα (V + E () E )(V + E () E ) V V = Εχουµε ένα τριώνυµο δευτέρου ϐαθµού, άρα έχουµε δύο λύσεις. E (±) = E () + (V + V ) ± / (V V ) + 4V V Η ενεργειακή ιδιοτιµή E (+) αντιστοιχεί στην κυµατοσυνάρτηση Ψ = c Ψ () + c Ψ () και η ενεργειακή ιδιοτιµή E ( ) αντιστοιχεί στην κυµατοσυνάρτηση Ψ = c Ψ () + c Ψ () Τα διανύσµατα (c, c ) και (c, c ) είναι ιδιοδιανύσµατα του πίνακα V µε τιµές του E ίσον µε E (+) και E ( ) αντίστοιχα. Επειδή το σύστηµα είναι οµογενές, προσδιορίζουµε το c µέσω του c κάθε ϕορά. Κανονικοποιώντας στη µονάδα, ϐρίσκουµε και το c. Θέτουµε E = E (+) και E = E ( ) Οι δύο κυµατοσυναρτήσεις Ψ, Ψ που προκύπτουν είναι µεταξύ τους ορθογώνιες. (H + V )Ψ = E Ψ V Ψ = E Ψ H Ψ = E Ψ E () Ψ = W Ψ και V Ψ = W Ψ αντίστοιχα, όπου W = E E (), W = E E (). Εχουµε λοιπόν : V Ψ = W Ψ, V Ψ = W Ψ και Ψ V = W Ψ, V ερµιτιανός W Ψ Ψ Ψ V Ψ = W Ψ Ψ W W Ψ Ψ = Άρα η διαταραχή V είναι διάγωνια σε αυτή τη ϐάση. Και E () E () = W = Ψ V Ψ = V = W = Ψ V Ψ = V
3. ιαταραχή εκφυλισµένων καταστάσεων 75 Εφαρµογή ( ) H = m x + y + mω (x + y ) + cxy, c mω (α) Να υπολογιστούν οι ενέργειες E και οι κυµατοσυναρτήσεις Ψ του σωµατιδίου για c =. (ϐ) Αν c, να υπολογιστούν σε πρώτη τάξη της ϑεωρίας διαταραχών οι ενέργειες και σε µηδενική τάξη οι κυµατοσυναρτήσεις για τη µικρότερη ενέργεια µε εκφυλισµό. Λύση: (α) Ψ (x, y) = Ψ (x)ψ (y) όπου E = E + E Ψ m x + mω x Ψ = E Ψ και ( E = ω + ) (, E = ω + ) Ψ m y + mω y Ψ = E Ψ και E = ω( + ) = +, =,,... =,,,... =,,,... Για την ενέργεια E = ω, έχουµε µόνο µία ιδιοσυνάρτηση, την Ψ (x, y) = Ψ (x)ψ (y). Για την ενέργεια E = ω έχουµε δύο ιδιοσυναρτήσεις Ψ (x, y) = Ψ (x)ψ (y) = Φ εκφυλισµός Ψ (x, y) = Ψ (x)ψ (y) = Φ Για ορισµένο µε ενέργεια E () = ω( + ), το µπορεί να πάρει τις τιµές =,,,...,, δηλαδή έχουµε + διαφορετικές καταστάσεις µε την ίδια ενέργεια. (ϐ) Ιδιοτιµές της ενέργειας και ιδιοσυναρτήσεις V = Φ V Φ = Ψ (x)ψ (y)cxyψ (x)ψ (y)dxdy V = Φ V Φ = c V =, V = Ψ (x)ψ (y)xyψ (x)ψ (y)dxdy ( + ( + = c Ψ (x)xψ (x)dx) = c Ψ (x) mω Ψ (x)dx = c mω = V ) διότι ( ω E ) c xψ (x) = mω Ψ (x) c ω E det mω c = ω E mω ω E 4m ω = c ω E + mω c = mω
76 Θεωρία διαταραχών E (+) = ω + c mω E ( ) = ω c mω Φ (+) = c (+) Φ + c (+) Φ, E (+) = E () + W Φ ( ) = c ( ) Φ + c ( ) Φ, E ( ) = E () W c mω Οµοίως για την αρνητική ιδιοτιµή έχουµε : c mω c ( ) ( ) mω c (+) c (+) c (+) = W c (+), W = c mω c mω c(+) = c mω c(+) c (+) = c (+) c ( ) ( ) mω c ( ) c ( ) c ( ) = W c ( ) Κανονικοποιώντας c + c = παίρνουµε c = c = /. c ( ) = c ( ) 3.3 Θεωρία διαταραχών εξαρτώµενη από το χρόνο Η διαταραχή στο σύστηµα γίνεται από ένα πεδίο που εξαρτάται από το χρόνο. Ĥ = Ĥ + V (r, t) = Ĥ + V (t) Υποθέτουµε ότι η εξωτερική διαταραχή V (t) είναι περαστική στο χρόνο, δηλαδή έχει ένα πεπερασµένο χρονικά διάστηµα εφαρµογής. Πριν και µετά από τη διαταραχή το σύστηµα ϑα περιγράφεται από την αδιατάρακτη χαµιλτονιανή H, την οποία µπορούµε να λύσουµε ακριβώς µε ιδιοσυναρτήσεις Ψ (), ιδιοτιµές E(). Υποθέτουµε για απλότητα ότι η διαταραχή αρχίζει να δρα για t =, οπότε το σύστηµα ήταν στην κατάσταση Ψ () = Ψ() και Ϲητάµε την Ψ(t) για t >, δηλαδή το πλάτος µετάβασης του συστήµατος από την m. Εχουµε γενικά, εφόσον τα Ψ () ϕτιάχνουν ένα πλήρες σύστηµα ιδιοσυναρτήσεων, ότι : Ψ(t) = m c m (t)ψ () m Εάν δεν είχαµε τη διαταραχή ϑα ϐρίσκουµε c m (t) = e ie() m t/ δ m. Με τη διαταραχή στη χαµιλτονιανή, τα c m (t) ϑα έχουν µια άλλη χρονική εξάρτηση, την οποία γράφουµε ως εξής : και Ψ(t) = m a m (t)e ie() m t/ Ψ () m ( ) H + V (t) Ψ = i Ψ t µε αρχική συνθήκη : a () =, a () = για. Πλάτος µετάβασης : c m (t) = Ψ () m Ψ(t) Πιθανότητα µετάβασης στην κατάσταση m, αρχίζοντας από τη, σε χρόνο t: P m (t) = Ψ () m Ψ(t)
3.3 Θεωρία διαταραχών εξαρτώµενη από το χρόνο 77 3.3. Προσεγγιστικός υπολογισµός της πιθανότητας µετάβασης διαταρακτικά σε πρώτης τάξης προσέγγιση, διακριτό ϕάσµα dc m c m (t) = Ψ () m, Ψ(t) = Ψ () m, Ψ t = i Ψ() m, HΨ i dc m = c (t) Ψ () m HΨ () = c (t)e () Ψ() m Ψ () + c (t) Ψ () m V (t)ψ () i dc m = E () m c m (t) + V m c (t) i da m () e ie m t/ + (i ) c (t) = a (t)e ie() t/ ( ) i E() m c m (t) = E m () c m (t) + V m c (t) i da m(t) = V m a (t)e i(e() m E() )t/ Αναπτύσουµε διαταρακτικά : Αρχικές συνθήκες : και i da() m a m (t) = a () m (t) + a () m (t) + a () m (t) +... a () (t) =, a () (t) = για a () m (t = ) =, a () m (t = ) = i da() m = a () m = m = σταθερά =, m V m e iwmt a (), w m = E() m E () Από την εξίσωση για τους συντελεστές σε πρώτης τάξης διαταραχή έχουµε : i da() m = V m (t)e iwmt Πιθανότητα µετάβασης : V m (t) = a () m (t) = i t V m (t )e iwmt Ψ () m (r)v (r, t)ψ () (r)d 3 x = Ψ () m V (t) Ψ () P m = t V m (t )e iwmt Παράδειγµα : Η διαταραχή διαρκεί χρονικό διάστηµα T και είναι σταθερή για < t < T. V m (t) = V m = Ψ () m V (r) Ψ () P m = a () m (t) = a () m (t) = V m w m ( e iw mt ) (E () 4 V m m E () ) si E () m E () t
78 Θεωρία διαταραχών