Οι κανόνες που περιγράφουν τη ϕύση ϕαίνεται ότι είναι γραµµένοι µε µαθηµατικά. Richard Feynmann

Στη Μαρία

2

Οι κανόνες που περιγράφουν τη ϕύση ϕαίνεται ότι είναι γραµµένοι µε µαθηµατικά. Richard Feynmann

2

Πρόλογος Μη χάνετε την πίστη σας. Τα µαθηµατικά µας είναι ένα ισχυρό ϕρούριο. Stan Ulam Στο ϐιβλίο αυτό επιχειρείται η επαφή των ϕοιτητών των Τµηµάτων Φυσικής και των Τµηµάτων των Πολυτεχνικών Σχολών µε το ιαφορικό Λογισµό πολλών µεταβλητών. Αυτός ο σκοπός οριοθετεί και την ουσιώδη διαφορά της προσέγγισης του αντικειµένου των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών µεταξύ του ϐιβλίου αυτού και αντίστοιχων που απευθύνονται σε ϕοιτητές Μαθηµατικών Τµηµάτων. ηλαδή δεν δίνεται έµφαση στις αποδείξεις των ϑεωρηµάτων, γενικά στις αποδεικτικές διαδικασίες και οι µαθηµατικές προτάσεις ϑεωρούνται ως εργαλεία για την επίλυση προβληµάτων και όχι ως αντικείµενα αυτοτελούς µελέτης. Ο περιορισµός των παραδειγµάτων και των ασκήσεων κυρίως σε συναρτήσεις δύο µεταβλητών συνδέεται άµεσα µε την καινοτοµία του ϐιβλίου, η οποία είναι η συστηµατική χρήση του Mathematica. Οι πλούσιες εποπτικές εικόνες που προσφέρει το Mathematica αξιοποιούνται άριστα σε γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων δύο µεταβλητών και ϐοηθούν στη γενίκευση των συµπερασµάτων για ιδιότητες συναρτήσεων περισσότερων µεταβλητών. Το Mathematica είναι ένα πανίσχυρο υπολογιστικό εργαλείο που παρέχει δυνατότητες για ταυτόχρονους αρι- ϑµητικούς υπολογισµούς, γραφικές αναπαραστάσεις και αναλυτικούς υπολογισµούς. Η παρουσία του στο ϐιβλίο αυτό στοχεύει στην ενίσχυση του κλασικού τρόπου προσέγγισης του αντικειµένου. Στο παράρτηµα Β δίνονται ϐασικές πληροφορίες για τον τρόπο αξιοποίησης του Mathematica στη µελέτη προβληµάτων συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Αφιερώνεται ειδικό κεφάλαιο στη µοντελοποίηση ϕυσικών προβληµάτων. Το κεφάλαιο αυτό ελπίζουµε σύντοµα να διευρυνθεί και να ϐελτιω- ϑεί, αφού το ϐασικό Ϲητούµενο για έναν σπουδαστή των εφαρµοσµένων Επιστηµών είναι η ανάπτυξη της ικανότητάς του για µοντελοποίηση

ii Πρόλογος και επίλυση προβληµάτων που αφορούν σε ϕυσικά ϕαινόµενα. Ο ιαφορικός Λογισµός αποτελεί ένα κλασικό εργαλείο για έναν τέτοιο σκοπό. Τα Μαθηµατικά αποτελούν ένα από τα µεγαλύτερα επιτεύγµατα της αν- ϑρώπινης διανόησης. Τα µοντέρνα Μαθηµατικά άρχισαν να αναπτύσσονται ήδη από τον 17 o αιώνα, µε την Αναλυτική Γεωµετρία και το ιαφορικό Λογισµό να πρωτοστατούν. Η µεν Αναλυτική Γεωµετρία πήρε µια πρώτη µορφή το 1637, ο δε ιαφορικός Λογισµός το 1666, αλλά έγινε ευρύτερα γνωστός στην επιστηµονική κοινότητα δέκα χρόνια αργότερα. Από την αρχαιότητα µέχρι σήµερα τα Μαθηµατικά ϐρίσκονται σε µια σχέση δηµιουργικής αλληλεπίδρασης µε όλες τις επιστήµες. εν είναι δυνατόν να ϕανταστούµε σήµερα τη ϕυσική, τη χηµεία αλλά και τις άλλες επιστήµες χωρίς τα Μαθηµατικά. Πολλοί ϑεωρούν τα Μαθηµατικά τη ϐασίλισσα των επιστηµών. Και σίγουρα, εκτός των αλληλεπιδράσεων µε τις άλλες επιστήµες, η βασίλισσα κρατάει για τους µυηµένους στη µαθηµατική επιστήµη τα πιο ϕανταχτερά της κοσµήµατα. Η αστρονοµία και αργότερα η ϕυσική ήταν από τις πρώτες επιστήµες που αξιοποίησαν τα επιτεύγµατα των Μαθηµατικών, δίνοντας παράλληλα εναύσµατα για περαιτέρω έρευνα. Η Φυσική έκανε χρήση των Μαθη- µατικών, κυρίως για να ξεφύγει από την απλή παρατήρηση του ϕυσικού κόσµου. Επί τριάντα ολόκληρα χρόνια ο Tycho Brache συγκέντρωνε παρατηρήσεις για τις τροχιές των πλανητών. Στη συνέχεια ο Kepler οργάνωσε αυτό το υλικό σε τρεις εµπειρικούς κανόνες (νόµους). Ενα ενδιαφέρον παράδειγµα για τη στενή σχέση των Μαθηµατικών µε την αστρονοµία αποτελεί η ανακάλυψη του νόµου της ϐαρύτητας από τον Newton. Ο Newton, αφού έθεσε τα ϑεµέλια του ιαφορικού Λογισ- µού, στη συνέχεια τον χρησιµοποίησε για να ϑεµελιώσει το νόµο της ϐαρύτητας. Θα µπορούσαµε να αναφέρουµε δεκάδες παραδείγµατα για τη δηµιουργική και αµφίδροµη σχέση των Μαθηµατικών µε τη Φυσική. Χωρίς τα εφαρµοσµένα Μαθηµατικά, δεν ϑα µπορούσαµε να αναπτύξουµε τη σύγχρονη τεχνολογία, και ιδιαίτερα τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Μέχρι στιγµής ο υπολογιστής είναι απλός υπηρέτης των Μαθη- µατικών, ϑα παραµείνει όµως έτσι ή ϑα αλλάξει τη σχέση των επιστηµών µε τα Μαθηµατικά; Το ερώτηµα αυτό ϑα παραµείνει ανοικτό για πολλά ακόµα χρόνια. Το σίγουρο όµως είναι ότι ο ηλεκτρονικός υπολογιστής επηρεάζει δραστικά τη διδασκαλία των επιστηµών. Ενα παράδειγµα τέτοιας επίδρασης είναι και αυτό το ϐιβλίο.

iii Για τη διαµόρφωση των παραγράφων που αναφέρονται στη χρήση του Mathematica συνεργάστηκα στενά µε την Καλλιρρόη Καραµατσούκη. Η συµβολή της ήταν αποφασιστική στο να εµπλουτισθεί το ϐιβλίο µε το εργαλείο αυτό. Θα ήθελα να την ευχαριστήσω ϑερµά για την προθυµία της και τη ϐοήθειά της. Στο συνάδελφο και ϕίλο µου ρ. Ανδρέα Πούλο, εκφράζω την ευγνωµοσύνη µου γιατί διάβασε τη τελευταία γραφή των κειµένων και έκανε πολλές εύστοχες παρατηρήσεις που ϐελτίωσαν αισθητά το τελικό κεί- µενο. Λουκάς Βλάχος 20 Ιανουαρίου 2008

iv Πρόλογος

Περιεχόµενα 1 Βασικές Εννοιες..................................... 1 1.1 Εισαγωγή........................................ 1 1.2 Συναρτήσεις πολλών µεταβλητών..................... 2 1.3 Σηµεία και σύνολα σηµείων στο επίπεδο και το χώρο.... 4 1.3.1 Στοιχεία τοπολογίας.......................... 4 1.4 Συστήµατα συντεταγµένων.......................... 8 1.5 Καµπύλες και επιφάνειες στο R 3..................... 16 1.5.1 Καµπύλες στο R 3............................ 16 1.5.2 Επιφάνειες στο R 3........................... 17 1.6 Ισοσταθµικές καµπύλες............................ 20 1.7 Λυµένες ασκήσεις................................. 22 1.8 Ασκήσεις για λύση................................ 26 2 Βασικές Εντολές του Mathematica..................... 29 2.1 Σχεδίαση συναρτήσεων δύο µεταβλητών............... 29 2.1.1 Επιλογές της Plot3D........................ 30 2.2 Σχεδίαση ισοσταθµικών καµπυλών.................. 33 2.2.1 Επιλογές της ContourPlot.................... 33 2.3 Μετατροπή µεταξύ διαφορετικών τύπων γραφηµάτων... 36 2.4 Τρισδιάστατη παραµετρική σχεδίαση................. 38 2.4.1 Παραµετρική σχεδίαση τρισδιάστατης καµπύλης.. 38 2.4.2 Παραµετρική σχεδίαση τρισδιάστατης επιφάνειας. 41 2.5 Το πακέτο Graphics ContourPlot3D................. 42 2.6 Το πακέτο Graphics ParametricPlot3D.............. 44 2.7 Το πακέτο Graphics Shapes....................... 46 2.8 Επιφάνειες δευτέρου ϐαθµού...................... 47 2.8.1 Το ελλειψοειδές............................. 47 2.8.2 Το υπερβολοειδές του ενός ϕύλου.............. 48 2.8.3 Κώνος..................................... 48 2.9 Συστήµατα συντεταγµένων......................... 49

ii Πρόλογος 3 Ορια και Συνέχεια.................................... 53 3.1 Ακολουθίες σηµείων και σύγκλιση................... 53 3.2 Ορια........................................... 54 3.2.1 Ιδιότητες των ορίων......................... 60 3.2.2 Προτάσεις................................. 61 3.3 Επαναλαµβανόµενα όρια.......................... 63 3.4 Συνέχεια........................................ 65 3.5 Λυµένες ασκήσεις................................ 67 3.6 Ασκήσεις για λύση................................ 83 3.7 Ορια και συνέχεια µε το Mathematica.............. 84 3.7.1 Προσέγγιση ορίου συνάρτησης µιάς µεταβλητής µε τη γραφική µέθοδο και πίνακα τιµών........... 84 3.7.2 Ορια συναρτήσεων µιάς µεταβλητής............ 86 3.7.3 Επαναλαµβανόµενα όρια..................... 87 3.7.4 Αριθµητική προσέγγιση του ορίου............. 88 3.7.5 Ορια συναρτήσεων δύο µεταβλητών............ 89 3.7.6 Προσέγγιση ορίου συνάρτησησης δύο µεταβλητών µε γραφική µέθοδο και πίνακα τιµών........... 90 3.7.7 Λυµένες ασκήσεις µε το Mathematica.......... 92 3.7.8 Ευρετήριο νέων αντικειµένων.................. 98 4 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων........ 99 4.1 Ορισµοί και ιδιότητες των µερικών παραγώγων........ 99 4.2 Συνέχεια και ύπαρξη της µερικής παραγώγου......... 104 4.3 ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών.......... 105 4.4 Ολικό διαφορικό................................. 109 4.5 Εφαρµογές στον υπολογισµό του σφάλµατος.......... 112 4.6 Λυµένες ασκήσεις................................ 113 4.7 Ασκήσεις για λύση................................ 122 4.8 ιαφορικός λογισµός µε το Mathematica............ 124 4.8.1 Παραγώγιση............................... 124 4.8.2 Μερική παράγωγος.......................... 125 4.8.3 Ολική παράγωγος και ολικό διαφορικό......... 127 4.8.4 Παραγώγιση άγνωστων συναρτήσεων............ 129 4.8.5 Λυµένες ασκήσεις µε το Mathematica.......... 130 4.8.6 Ευρετήριο νέων αντικειµένων.................. 134

iii 5 Σύνθετες και πεπλεγµένες συναρτήσεις................135 5.1 Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων................. 135 5.2 Θεώρηµα του Euler για οµογενείς συναρτήσεις........ 141 5.3 ιαφορικό σύνθετης συνάρτησης.................... 144 5.4 Θεώρηµα της µέσης τιµής και σειρά Taylor........... 147 5.5 Πλεγµένες συναρτήσεις............................ 150 5.5.1 Ορισµός και ϑεώρηµα ύπαρξης................ 150 5.5.2 Παράγωγος ανώτερης τάξης................... 152 5.6 Ιακωβιανές ορίζουσες.............................. 154 5.7 Μερικές παράγωγοι πεπλεγµένων συναρτήσεων........ 155 5.8 Συναρτησιακή εξάρτηση........................... 159 5.9 Μετασχηµατισµοί................................. 160 5.10 Λυµένες ασκήσεις................................ 162 5.11 Ασκήσεις για λύση................................ 177 5.12 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις µε το M athematica 180 5.12.1 Σειρές Taylor.............................. 180 5.12.2 Λυµένες ασκήσεις µε το Mathematica.......... 182 5.12.3 Ευρετήριο νέων αντικειµένων.................. 188 6 ιανυσµατικές συναρτήσεις...........................189 6.1 ιανυσµατικά πεδία............................... 189 6.2 Ορια, συνέχεια και παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης διανυσµατική µεταβλητής................ 190 6.3 Παράγωγος κατά κατεύθυνση....................... 192 6.4 ιαφορικοί τελεστές............................... 193 6.4.1 Κλίση αριθµητικών συναρτήσεων.............. 193 6.4.2 Απόκλιση διανυσµατικής συνάρτησης........... 196 6.4.3 Στροφή.................................... 198 6.5 Γεωµετρικές εφαρµογές............................ 201 6.5.1 Εφαπτόµενο επίπεδο και κάθετη ευθεία µιάς επιφάνειας στο χώρο R 3...................... 201 6.5.2 Εφαπτοµένη ευθεία και κάθετο επίπεδο µιάς καµπύλης στο χώρο R 3.......................... 203 6.6 Λυµένες ασκήσεις................................ 207 6.7 Ασκήσεις για λύση................................ 214 6.8 ιανυσµατικές συναρτήσεις µε το M athematica....... 215 6.8.1 Ορισµός διανυσµατικής συνάρτησης............ 215 6.8.2 Κλίση αριθµητικής συνάρτησης................ 216 6.8.3 Απόκλιση και στροφή διανυσµατικής συνάρτησης. 217 6.8.4 Ο τελεστής Laplace.......................... 218

iv Πρόλογος 6.8.5 Λυµένες ασκήσεις........................... 219 6.8.6 Ευρετήριο νέων αντικειµένων.................. 224 7 Μέγιστα και ελάχιστα.................................225 7.1 Αναγκαίες συνθήκες για ακρότατα................... 225 7.2 Ικανή συνθήκη για ακρότατες τιµές.................. 227 7.3 Ακρότατα συναρτήσεων τριών µεταβλητών............ 232 7.4 Ακρότατα πλεγµένων συναρτήσεων................... 233 7.5 Ακρότατα υπό συνθήκη............................ 234 7.5.1 Πολλαπλασιάστες Langrange................. 235 7.6 Λυµένες ασκήσεις................................ 243 7.7 Ασκήσεις για λύση................................ 259 7.8 Λυµένες ασκήσεις µε το Mathematica................ 260 8 Εφαρµογές σε ϕυσικά προβλήµατα....................271 8.1 Εισαγωγή....................................... 271 8.2 Λυµένα προβλήµατα.............................. 272 9 Παράρτηµα A ιανυσµατικές ταυτότητες..............295 10 Παράρτηµα B Mathematica...........................299 10.1 Εισαγωγή....................................... 299 10.1.1 Βασικοί κανόνες σύνταξης.................... 299 10.1.2 Βασικές συναρτήσεις........................ 299 10.1.3 Ορισµός µεταβλητών......................... 301 10.1.4 Πληροφορίες για τις εντολές του Mathematica... 303 10.1.5 Πακέτα του Mathematica..................... 305 10.2 Αριθµητικοί και αλγεβρικοί υπολογισµοί............. 308 10.2.1 Αριθµητικές πράξεις......................... 308 10.2.2 Ακριβή και προσεγγιστικά αποτελέσµατα........ 308 10.2.3 Αλγεβρικοί υπολογισµοί...................... 309 10.2.4 Χρησιµοποίηση προηγούµενων αποτελεσµάτων... 310 10.2.5 Εξισώσεις.................................. 311 10.2.6 Σχετικοί και λογικοί τελεστές.................. 312 10.3 Μετατροπές αλγεβρικών εκφράσεων.................. 313 10.3.1 Μετατροπές πολυωνυµικών εκφράσεων......... 313 10.3.2 Απλοποίηση αλγεβρικών εκφράσεων............ 316 10.3.3 Μετατροπές ϱητών αλγεβρικών εκφράσεων....... 317 10.3.4 Μετατροπές τριγωνοµετρικών αλγεβρικών εκ- ϕράσεων................................... 321

10.4 Συναρτήσεις και µετασχηµατισµοί................... 322 10.4.1 Ορισµός συνάρτησης........................ 322 10.4.2 Άµεσοι και έµµεσοι ορισµοί................... 323 10.4.3 Ειδικός ορισµός συνάρτησης.................. 324 10.4.4 Η σειρά των ορισµών......................... 325 10.4.5 Κανόνες µετασχηµατισµών.................... 327 10.4.6 Άµεσοι και έµµεσοι κανόνες µετασχηµατισµών... 330 10.4.7 Περιορισµοί στούς ορισµούς και τους κανόνες µετασχηµατισµών............................ 329 10.4.8 Ορισµός πολύκλαδων συναρτήσεων............ 330 10.5 Επίλυση εξισώσεων............................... 331 10.5.1 Επίλυση εξισώσεων µιάς µεταβλητής............ 331 10.5.2 Επίλυση συστήµατος εξισώσεων................ 335 10.5.3 Απόρριψη µιγαδικών λύσεων.................. 337 10.6 Ολοκλήρωση συναρτήσεων......................... 338 10.7 Λίστες.......................................... 342 10.7.1 ηµιουργία λίστας αντικειµένων............... 343 10.7.2 Εφαρµογή συναρτήσεων στα στοιχεία λίστας..... 343 10.7.3 Απόσπαση µέρους µιάς λίστας................. 344 10.7.4 Μεταβολή µιάς λίστας........................ 346 10.8 Πίνακες......................................... 347 10.8.1 ηµιουργία πινάκων......................... 348 10.8.2 Είδη πινάκων.............................. 349 10.8.3 Λειτουργίες πινάκων......................... 351 10.9 ιανύσµατα...................................... 353 10.9.1 Πράξεις διανυσµάτων........................ 353 10.10 Σχεδίαση συναρτήσεων µιάς µεταβλητής............. 356 10.10.1Επιλογές της Plot........................... 357 10.10.2 Σχεδίαση λίστας συναρτήσεων................ 360 10.10.3 Σχεδίαση πολυκλαδικών συναρτήσεων µιάς µεταβλητής................................. 361 10.10.4 Η εντολή Evaluate......................... 361 10.11 Επανασχεδιασµός γραφικών παραστάσεων........... 362 10.12 Παραµετρική σχεδίαση συναρτήσεων µιάς µεταβλητής. 364 10.12.1Επιλογές της εντολής Parametric Plot.......... 364 10.13 Το πακέτο Graphics FilledPlot.................... 366 10.13.1 Επιλογές της εντολής FilledPlot.............. 366 10.13.2 Επιλογές της εντολής FilledListPlot........... 368 10.14 Το πακέτο Graphics ImplicitPlot................... 369 v

vi Πρόλογος 10.15 Βασικά δισδιάστατα σχήµατα...................... 371 10.16 Βασικά τρισδιάστατα σχήµατα..................... 375 10.17 Το πακέτο Graphics Polyedra..................... 379 Βιβλιογραφία.............................................381 Ευρετήριο................................................383

1. Βασικές Εννοιες Ολα πρέπει να ειπωθούν όσο πιο απλά γίνεται, αλλά όχι απλούστερα Albert Einstein 1.1 Εισαγωγή Είναι δύσκολο να περιγράψουµε ένα ϕυσικό ϕαινόµενο χωρίς τη ϐοή- ϑεια συναρτήσεων περισσοτέρων της µιας µεταβλητών. Το ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο στη γειτονιά µεταβαλλόµενου ϱεύµατος, το δυναµικό της ϐαρύτητας γύρω από ένα υλικό σηµείο, η πίεση και η ϑερµοκρασία στην ατµόσφαιρα της Γης, είναι παραδείγµατα ϕυσικών µεγεθών που περιγράφονται από συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. 1 0.5 0-0.5-1 -4-2 0 2 4-4 -2 0 2 4 Σχήµα 1.1. Η γραφική αναπαράσταση της συνάρτησης f(x, y) = sin( x 2 + y 2 ). Στο ϐιβλίο αυτό ϑα ασχοληθούµε µε πραγµατικές συναρτήσεις δύο πραγ- µατικών µεταβλητών επειδή η ανάλυσή τους είναι η ίδια µε αυτήν

2 Βασικές Εννοιες των συναρτήσεων περισσοτέρων των δύο µεταβλητών, ενώ ταυτόχρονα έχουν το πλεονέκτηµα της απλούστερης γραφικής παράστασης. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι ιδιαίτερα σηµαντικό διότι ϐοηθά τον αναγνώστη να µελετήσει και εποπτικά τις ιδιότητες της συνάρτησης και να εξαγάγει χρήσιµα συµπεράσµατα. Είναι επίσης εύκολο να παρασταθούν γραφικά, ιδιαίτερα µέσω των προγραµµάτων των ηλεκτρονικών υπολογιστών (ϐλέπε Σχ. 1.1). Η γενίκευση σε περισσότερες µεταβλητές, είναι συνήθως απλή, αλλά υπάρχουν περιπτώσεις που η γενίκευση των ϑεω- ϱηµάτων και των άλλων συµπερασµάτων παρουσιάζει ενδιαφέρον και ιδιαιτερότητες. Στίς περιπτώσεις αυτές ϑα αναφερθούµε ειδικά. 1.2 Συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Η πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών, f(x, y) αποτελείται από δύο ϐασικά µέρη, το πεδίο ορισµού, που αποτελεί µια συλλογή από σηµεία M j (x,y) στο υποσύνολο D του R 2 και έναν κανόνα µε τον οποίο καθένα από τα σηµεία αυτά αντιστοιχεί σε έναν µοναδικό πραγµατικό αριθµό (Σχ. 1.2). Ετσι, για παράδειγµα, η συνάρτηση z = f(x,y) = (1 x 2 y 2 ) 1/2 έχει πεδίο ορισµού, D, το εσωτερικό και την περιφέρεια του κυκλικού δίσκου x 2 +y 2 = 1. Είναι ϕανερό ότι, για κάθε τιµή των µεταβλητών x,y στο εσωτερικό ή στην περιφέρεια του κύκλου η µεταβλητή z παίρνει µια και µοναδική πραγµατική τιµή. Για το λόγο αυτό οι µεταβλητές x,y λέγονται ανεξάρτητες και η µεταβλητή z λέγεται εξαρτηµένη. y D (x,y) f f(á,â) (á,â) x f(x,y) Σχήµα 1.2. Η συνάρτηση f απεικονίζει τον χώρο R 2 πάνω στην ευθεία των πραγµατικών αριθµών.

1.2 Συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 3 Αν στα παραδείγµατα και τις ασκήσεις που ακολουθούν στη συνέχεια δεν προσδιορίζεται το πεδίο ορισµού ϑα εννοούµε το ευρύτερο υποσύνολο του R 2, για το οποίο η f(x,y) µπορεί να ορισθεί. Παράδειγµα 1.1: Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης F(x,y) = (x 2 + y 2 1) 1/2 + log(4 x 2 y 2 ). Απάντηση: Η συνάρτηση F(x,y) ορίζεται όταν x 2 + y 2 1 0 και 4 x 2 y 2 > 0. Το πεδίο ορισµού της είναι το σύνολο {(x,y) : x 2 + y 2 1, x 2 + y 2 < 4} δηλαδή το σύνολο των σηµείων του επιπέδου µεταξύ των κύκλων x 2 + y 2 1 και x 2 + y 2 < 4 όπως ϕαίνεται στο Σχήµα 1.3. y 0 1 2 x Σχήµα 1.3. Το σύνολο των σηµείων µέσα στη κυκλική στεφάνη, αλλά και τα σηµεία της περιφέρειας x 2 + y 2 = 1 αποτελούν το πεδίο ορισµού της συνάρτησης F(x,y). Παράδειγµα 1.2: Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης G(x,y) = (x 2 y 2 ) 1/2 + (x 2 + y 2 1) 1/2 Απάντηση: Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης G είναι το σύνολο {(x,y) : x 2 y 2, και x 2 +y 2 1} δηλαδή το σύνολο των σηµείων που ϐρίσκονται στο εξωτερικό του κυκλικού δίσκου x 2 + y 2 = 1 και µεταξύ των ευθειών x = y,x = y (ϐλέπε Σχ. 1.4) Με ϐάση όλα όσα αναφέραµε µέχρι τώρα µπορούµε να ορίσουµε την αριθµητική συνάρτηση πολλών µεταβλητών ως εξήσ: ΟΡΙΣΜΟΣ 1.1: Αριθµητική συνάρτηση ή απλά συνάρτηση f : D E, πολλών µεταβλητών, είναι µια µονότιµη απεικόνιση f ενός υπ-

4 Βασικές Εννοιες Σχήµα 1.4. Η σκιασµένη περιοχή και τα σηµεία των ευθειών A,A είναι το πεδίο ορισ- µού της συνάρτησης G. οσυνόλου D του R n σε ένα υποσύνολο E του R 1 και περιγράφεται συµβολικά από τη σχέση z = f(x 1,x 2,x 3,...x n ). Η n-άδα των πραγµατικών αριθµών x 1,...,x n είναι οι ανεξάρτητες µεταβλητές και το z είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή. 1.3 Σηµεία και σύνολα σηµείων στο επίπεδο και στο χώρο Η κατανόηση των ιδιοτήτων του πεδίου ορισµού αλλά και άλλων ιδιοτήτων των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών µας επιβάλουν να στα- ϑούµε για λίγο στις ιδιότητες ενός συνόλου σηµείων στο διδιάστατο χώρο. Ενα Ϲεύγος πραγµατικών αριθµών (x, y) µπορεί να παρασταθεί γεωµετρικά από ένα σηµείο P(x, y) στο επίπεδο, µε συντεταγµένες x, y σε ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων. Η απόσταση µεταξύ δύο σηµείων P(x,y) και P (x,y ) στην Ευκλείδεια Γεωµετρία ορίζεται από τη σχέση, d(pp ) = (x x ) 2 + (y y ) 2. (1.1) Με τη ϐοήθεια της έννοιας της απόστασης δύο σηµείων, ϑα ορίσουµε στη συνέχεια τη γειτονιά ή περιοχή σηµείου. 1.3.1 Στοιχεία τοπολογίας Θα χρειαστεί στη συνέχεια να ορίσουµε τα κλειστά, τα ανοικτά σύνολα και τη συνοριακή περιοχή. Αντίθετα µε τη µία διάσταση που µελετήσατε µέχρι τώρα, στο επίπεδο (ή το χώρο των n διαστάσεων) τα γεωµετρικά

1.3 Σηµεία και σύνολα σηµείων στο επίπεδο και στο χώρο 5 σχήµατα που συνήθως µελετάµε είναι σύνθετα, άρα είναι δυσκολότερο να δοθούν οι ορισµοί. Ας αρχίσουµε µε τον ορισµό της περιοχής σηµείου (x 0,y 0 ). ΟΡΙΣΜΟΣ 1.2: Εστω M 0 (x 0,y 0 ) είναι ένα σηµείο στον R 2 και δ ένας ϑετικός αριθµός, τότε ορίζουµε ως δ κλειστή κυκλική περιοχή του M 0 το σύνολο π(m 0,δ) = {(x,y) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 δ}. Η περιοχή π(m 0,δ) είναι τα σηµεία του κύκλου και ο κυκλικός δίσκος που έχει κέντρο το σηµείο M 0 και ακτίνα δ (ϐλέπε Σχ. 1.5) ä (x,y ) 0 0 Σχήµα 1.5. Γραφική παράσταση της κυκλικής περιοχής π(m 0, δ). Εκτός από την κυκλική περιοχή µπορούµε να δώσουµε και τον ορισµό της τετραγωνικής περιοχής x x 0 δ και y y 0 δ (ϐλέπε Σχ. 1.6). y 2ä (x,y ) 0 0 0 2ä x Σχήµα 1.6. Γραφική παράσταση της τετραγωνικής περιοχής π(m 0, δ).

6 Βασικές Εννοιες Οι δύο ορισµοί της περιοχής σηµείου επιτελούν ακριβώς τον ίδιο σκοπό, δηλαδή οριοθετούν ένα σύνολο σηµείων στη γειτονιά του σηµείου (x 0,y 0 ). Κάθε ϕορά επιλέγουµε αυτόν που ταιριάζει καλύτερα στο πρόβληµά µας. Στις αντίστοιχες περιοχές, έτσι όπως ορίστηκαν πιο πάνω, αν εξαιρέσουµε τα σηµεία του κύκλου στον κυκλικό δίσκο ή της περιφέρειας του τετραγώνου ορίζουµε τις αντίστοιχες ανοικτές περιοχές. Είµαστε τώρα έτοιµοι να δώσουµε τους ϐασικούς ορισµούς για τα σύνολα σηµείων. ΟΡΙΣΜΟΣ 1.3: Ενα σύνολο σηµείων D ονοµάζεται ανοικτό όταν για κάθε σηµείο του P υπάρχει µια κυκλική (ή τετραγωνική) ανοικτή περιοχή που ανήκει στο D. (Σχ. 1.7) r ä Ñ Σχήµα 1.7. Ορισµός του ανοικτού και κλειστού συνόλου. Το σηµείο P ϐρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο του κύκλου, ενώ το σηµείο P πάνω στον κύκλο. Ñ Παράδειγµα 1.3: Το σύνολο των σηµείων του εσωτερικού ενός κύκλου, µε ακτίνα ίση µε τη µονάδα, είναι ανοικτό ή κλειστό; Απάντηση: Είναι ανοικτό γιατί, αν P είναι ένα εσωτερικό σηµείο του κύκλου, σε απόσταση r από το κέντρο (r < 1), τότε µπορούµε να ορίσουµε µια κυκλική περιοχή του P µε ακτίνα δ,(0 < δ < 1 r) η οποία να ϐρίσκεται µέσα στον κύκλο. Εάν στο σύνολο των σηµείων του D περιλάβουµε και τα σηµεία του κύκλου, τότε το σύνολο δεν είναι ανοικτό. Το P στο Σχ. 1.7, για παράδειγµα, δεν έχει καµία γειτονιά που να ανήκει ολοκληρωτικά στο D. Στη συνέχεια δίνουµε έναν ευρύτερο ορισµό από τις κλειστές (ή ανοικτές) περιοχές. ΟΡΙΣΜΟΣ 1.4: Εάν το D είναι ένα σύνολο σηµείων του R 2, το σύνολο σηµείων του R 2 που δεν ανήκει στο D λέγεται συµπληρω-

1.3 Σηµεία και σύνολα σηµείων στο επίπεδο και στο χώρο 7 µατικό του D ως προς το R 2 και συµβολίζεται C(D), δηλαδή το C(D) = R 2 D. Στο Παράδειγµα 1.3 το C(D) είναι το {(x,y) : x 2 + y 2 1}, δηλαδή περιλαµβάνει όλα τα σηµεία εκτός του κυκλικού δίσκου. ΟΡΙΣΜΟΣ 1.5: Ενα σύνολο σηµείων λέγεται κλειστό, όταν το συµπληρωµατικό του είναι ανοικτό. Ενα άλλο σηµαντικό στοιχείο στον ορισµό των συνόλων είναι το συνοριακό σηµείο. ΟΡΙΣΜΟΣ 1.6: Εάν D είναι ένα σύνολο σηµείων, το σηµείο P λέγεται συνοριακό, όταν σε κάθε περιοχή του P περιέχονται τουλάχιστον ένα σηµείο του D και ένα σηµείο του C(D). Ολα τα συνοριακά σηµεία ενός συνόλου D αποτελούν το σύνορο του D, που συµβολίζεται µε B(D). Ενα σηµείο P του συνόλου σηµείων D λέγεται εσωτερικό, εάν υπάρχει περιοχή του P που ανήκει εξ ολοκλήρου στο D. y C B Ó 2 A Ó 1 Ã Ä 0 x Σχήµα 1.8. Το σύνολο D είναι συναφές επειδή οποιαδήποτε σηµεία του µπορούν να ενωθούν µε πολυγωνική γραµµή. Ενα σηµείο P ϑα ονοµάζεται µεµονωµένο σηµείο του D, όταν υπάρχει περιοχή π του P που ανήκει ολοκληρωτικά στο C(D). Εσωτερικό ενός συνόλου D R 2 είναι το σύνολο των εσωτερικών του σηµείων, ενώ το σύνολο D λέγεται συναφές ή συνεκτικό όταν δύο οποιαδήποτε σηµεία του µπορούν να συνδεθούν µε πολυγωνική γραµ- µή, όλα τα σηµεία της οποίας ανήκουν στο ίδιο σύνολο (ϐλέπε Σχ. 1.8). Στην ειδική περίπτωση που το ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει οποιαδήποτε σηµεία του συνόλου D ανήκει ολοκληρωτικά στο σύνολο το σύνολο

8 Βασικές Εννοιες ϑα ονοµάζεται κυρτό. Ενα σύνολο λέγεται ϕραγµένο αν η απόσταση µεταξύ δύο οποιονδήποτε σηµείων του είναι πεπερασµένος αριθµός και τέλος ένα υποσύνολο του R 2 (D R 2 ) λέγεται συµπαγές, αν είναι κ- λειστό και ϕραγµένο. 1.4 Συστήµατα συντεταγµένων Στη Φυσική χρησιµοποιούµε πολλά διαφορετικά ορθογώνια ή µη συστή- µατα συντεταγµένων, ανάλογα µε τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του προβλήµατος που ϑέλουµε να µελετήσουµε. Τα γνωστότερα ορθογώνια συστήµατα συντεταγµένων στο R 3 είναι: οι καρτεσιανές συντεταγµένες οι κυλινδρικές συντεταγµένες οι σφαιρικές συντεταγµένες Η εισαγωγή των συντεταγµένων, είναι σχετικά πρόσφατο δηµιούργηµα των µαθηµατικών. Ανακαλύφθηκε τον 17 o και 18 o αιώνα από τους µα- ϑηµατικούς Descartes, Fermat κ.α. µε σκοπό να αλγεβροποιηθεί η Ευκλείδεια Γεωµετρία. Αργότερα µε την εισαγωγή και άλλων, πλην της Ευκλείδειας, γεωµετριών η έννοια της απόστασης µεταξύ δύο σηµείων πήρε ποιο γενικό χαρακτήρα. Για παράδειγµα στον τετραδιάστατο χώρο του Minkofski η απόσταση µεταξύ δύο σηµείων ορίζεται από τη σχέση, ds 2 = g 11 dx 2 1 + g 22dx 2 2 + g 33dx 2 3 + g 44dx 2 4 όπου οι συντελεστές g ii παίρνουν τις τιµές g 11 = g 22 = g 33 = 1 και g 44 = c 2 και c είναι η ταχύτητα του ϕωτός. Ο χωρόχρονος του Minkofski χρησιµοποιείται στην ειδική ϑεωρία Σχετικότητας. Ο χώρος γύρω από ένα υπέρπυκνο αντικείµενο (µια µαύρη τρύπα για παράδειγµα) είναι καµπύλος και η αποσταση δύο σηµείων ορίζεται από µία αρκετά πολύπλοκη σχέση. Οι συντελεστές g µν (µ,ν = 1 4) προσδιορίζονται από την κατανοµή της πυκνότητας µάζας και ενεργειας στο χώρο. Παρατηρούµε δηλαδή ότι τα συστήµατα συντεταγµένων δεν είναι προκαθορισµένα και απόλυτα, αλλά επιλέγονται κάθε ϕορά ανάλογα µε τις ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά του ϕυσικού προβλήµατος που µελετάµε. 1. Καρτεσιανές συντεταγµένες: Κατασκευάζουµε τρεις άξονες Ox, Oy και Oz µε κοινή αρχή Ο ανά δύο κάθετους µεταξύ τους και

1.4 Συστήµατα συντεταγµένων 9 ονοµάζουµε αντίστοιχα ê x,ê y,ê z τα µοναδιαία διανύσµατα κατά µήκος των αξόνων αυτών Σχ. (1.9). Η ϑέση κάθε σηµείου P στο παραπάνω σύστηµα αξόνων καθορίζεται από µία τριάδα πραγµατικών αριθµών (x,y,z). Αν το διάνυσµα ϑέσης του P(x,y,z) είναι r, 1 τότε αυτό αναλύεται στις συνιστώσες του r = xê x + yê y + zê z. z Ñ(x,y,z) z x x y (x,y,0) y Σχήµα 1.9. Καρτεσιανές συντεταγµένες. Το σύστηµα συντεταγµένων ϑα λέγεται δεξιόστροφο, αν ένας δεξιόστροφος κοχλίας προχωρεί κατά τον άξονα Oz, όταν Ox περιστρέ- ϕεται κατά γωνία 90 o για να συµπέση µε τον άξονα Oy. 2. Κυλινδρικές συντεταγµένες: Σε κάθε σηµείο P(x, y, z) αντιστοιχούµε την τριάδα των αριθµών (r,θ,z) η σηµασία των οποίων προκύπτει από το Σχήµα 1.10. Οι τύποι µετασχηµατισµού από κυλινδρικές σε καρτεσιανές συντεταγµένες είναι x = r cos θ, y = r sin θ, z = z (1.2) όπου 0 θ < 2π και r > 0. Στο επίπεδο (z = 0) οι κυλινδρικές συντεταγµένες µετατρέπονται στις πολικές. Αντιστρέφοντας τις σχέσεις (1.10) προκύπτουν οι r 2 = x 2 + y 2, tan θ = y x. 1 Το διάνυσµα ϑα το παραστήσουµε σε τούτο το ϐιβλίο µε έντονους χαρακτήρες δηλαδή A αντί για Ā

10 Βασικές Εννοιες Σχήµα 1.10. Κυλινδρικές συντεταγµένες. Στο νέο σύστηµα οι διανυσµατικές µονάδες ê r,ê θ,ê z αποτελούν ένα νέο δεξιόστροφο τρισορθογώνιο σύστηµα. Οι σχέσεις που συνδέουν τις κυλινδρικές διανυσµατικές µονάδες µε τις καρτεσιανές είναι ê r = ê x cos θ + ê y sin θ ê θ = ê x sin θ + ê y cos θ ê z = ê z. Η χρήση των κυλινδρικών συντεταγµένων απλοποιεί τους υπολογισ- µούς, όταν το ϕυσικό πρόβληµα παρουσιάζει κυλινδρική συµµετρία, π.χ. το µαγνητικό πεδίο γύρω από έναν ευθύγραµµο αγωγό ηλεκτρικού ϱεύµατος έχει κυλινδρική συµµετρία. Αν µία συνάρτηση στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων έχει τη µορφή f(x,y,z) = f(x 2 + y 2,z) είναι ϕανερό ότι, αν αλλάξουµε συντεταγµένες ο αριθµός των ανεξάρτητων µεταβλητών ϑα ελαττωθεί κατά µία f(r 2,z). 3. Σφαιρικές συντεταγµένες: Σε κάθε σηµείο P(x, y, z) αντιστοιχούµε την τριάδα (ρ,θ,ϕ) (ϐλέπε Σχήµα 1.11). Οι καρτεσιανές και οι σφαιρικές συντεταγµένες συνδέονται µε τις σχέσεις x = ρcos θ sin φ, y = ρsin θ sin φ, z = ρcos φ. (1.3) Οι σφαιρικές συντεταγµένες συνδέονται µε τις καρτεσιανές µε τις σχέσεισ: ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2,

1.4 Συστήµατα συντεταγµένων 11 Σχήµα 1.11. Σφαιρικές συντεταγµένες. ( ) φ = cos 1 z (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 θ = tan 1 y x Χρήσιµο είναι να υπολογίσουµε τις σχέσεις που συνδέουν τα µοναδιαία διανύσµατα ê ρ,ê θ,ê φ µε τα µοναδιαία διανύσµατα ê x,ê y,ê z. κάνοντας χρήση του Σχ. 1.11 ê ρ = sin φcos θê x + sinθ sin φê y + cos φê z ê θ = ê x sin θ + ê y cos θ ê φ = cos φcos θê x + cos φsin θê y sin φê z. Παράδειγµα 1.4: Το δυναµικό της ϐαρύτητας U(x,y,z) γύρω από τη µάζα m έχει τη µορφή Gm U(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2, όταν η µάζα m ϐρίσκεται στην αρχή του συστήµατος συντεταγµένων, (x,y,z) είναι οι συντεταγµένες τυχαίου σηµείου P(x,y,z) και G είναι η σταθερά της ϐαρύτητας. Η έκφραση του δυναµικού της ϐαρύτητας απλουστεύεται σηµαντικά αν εκφρασθεί σε σφαιρικές συντεταγµένες, U(ρ) = Gm ρ, όπου ρ είναι η απόσταση του σηµείου P από την αρχή των αξόνων.

12 Βασικές Εννοιες Σχόλιο: Είναι ϕανερό ότι, αν εκµεταλλευτούµε τις γεωµετρικές ιδιότητες του υπό µελέτη ϕυσικού προβλήµατος και επιλέξουµε κατάληλα το σύστηµα συντεταγµένων, τότε το πρόβληµα απλοποιείται σηµαντικά. Το µοναδιαίο διάνυσµα κατά µήκος ενός διανύσµατος a µπορεί να αναλυθεί ως εξήσ: â 0 = cos αê x + cos βê y + cos γê z όπου α,β,γ είναι οι γωνίες που σχηµατίζει το διάνυσµα a µε τους άξονες Ox,Oy και Oz. Τα cos α, cos β και cos γ λέγονται συνηµίτονα κατευθύνσεως του a (ϐλέπε Σχ. 1.12). e 3 a 0 á ã â 0 e 2 e 1 Σχήµα 1.12. Τα συνηµίτονα των γωνιών α, β και γ ονοµάζονται συνηµίτονα κατευθύνσεως. Παράδειγµα 1.5: Σηµειακή µάζα m κινείται στο επίπεδο. Να υπολογισθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση της σε καρτεσιανές και πολικές συντεταγµένες. Τι συµπεράσµατα ϐγάζετε ειδικά για την οµαλή κυκλική κίνηση; Η κίνηση υλικού σηµείου στο επίπεδο µπορεί να περιγραφεί στο αδ- ϱανειακό σύστηµα συντεταγµένων Oxy από το διάνυσµα r(t) = x(t)ê x + y(t)ê y η ταχύτητα και η επιτάχυνση περιγράφονται από τις σχέσεις

1.4 Συστήµατα συντεταγµένων 13 v = dr dt = ẋê x + ẏê y γ = dv dt = ẍê x + ÿê y. Αν µελετήσουµε το ίδιο πρόβληµα σε πολικές συντεταγµένες ϑα έχουµε r = r(t)ê r. Σχήµα 1.13. Αλλαγή συστήµατος συντεταγµένων. Ο µετασχηµατισµός των µοναδιαίων διανυσµάτων από τις καρτεσιανές συντεταγµένες στις πολικές γίνεται από τις σχέσεις που αναφέραµε ήδη (ϐλέπε Σχ. 1.13) ê r (t) = ê x cos θ(t) + ê y sin θ(t) ê θ (t) = ê x sin θ(t) + ê y cos θ(t). Αν υποθέσουµε ότι το σύστηµα των πολικών συντεταγµένων περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω = dθ/dt, η ταχύτητα στο νέο σύστηµα ϑα είναι v = dr dt = dr dt êr + r dê r dt = dr dt êr + rωê θ. Η επιτάχυνσης ϐρίσκεται εύκολα αν παραγωγίσουµε την ταχύτητα άρα, γ = dv dt = ( r rω2 )e r + (2ṙω + r d2 θ dt 2 )ê θ. Μια ενδιαφέρουσα εφαρµογή των παραπάνω σχέσεων είναι η οµαλή κυκλική κίνηση (r = θ = σταθερά )

14 Βασικές Εννοιες v = rωê θ γ = dv dt = rω2 e r. Παράδειγµα 1.6: : Ο Einstein το 1905 έκανε δύο σηµαντικές υποθέσεις για να ερµηνεύσει µια σειρά από παρατηρήσεις. Υπέθεσε ότι: Ολα τα αδρανειακά συστήµατα συντεταγµένων είναι ισοδύναµα για την διατύπωση των νόµων της ϕυσικής Η ταχύτητα του ϕωτός στο κενό είναι σταθερή, ίση µε c προς κάθε κατεύθυνση και ανεξάρτητη από την κίνηση της πηγής Με τις υποθέσεις αυτές ϑεµελίωσε την ειδική ϑεωρία σχετικότητας. Στη συνέχεια ϑα δούµε ποιές ήταν οι συνέπειες αυτών των υποθέσεων. Ας υποθέσουµε ότι δύο αδρανειακά συστήµατα συντεταγµένων Oxyz και Ox y z αρχικά (t = 0) ταυτίζονται. Στη συνέχεια το δεύτερο σύστηµα κινείται κατά µήκος του άξονα Ox (ϐλέπε Σχ. 1.14) µε σταθερή ταχύτητα v. Σχήµα 1.14. Μετασχηµατισµοί συντεταγµένων Ο Γαλιλαίος ήταν ο πρώτος που µελέτησε το µετασχηµατισµό των συντεταγµένων ενός γεγονότος P(x,y,z,t) από το ένα σύστηµα στο άλλο. Οι µετασχηµατισµοί του Γαλιλαίου είναι x = x vt y = y z = z t = t

1.4 Συστήµατα συντεταγµένων 15 Είναι ϕανερό ότι η δεύτερη υπόθεση του Einstein δεν συµβαδίζει µε τις σχέσεις αυτές. Οι µετασχηµατισµοί του Γαλιλαίου υποθέτουν άπειρη ταχύτητα διάδοσης του ϕωτός. Ο Einstein γενίκευσε τους παραπάνω µετασχηµατισµούς κάνοντας χρήση των µετασχηµατισµών του Lorentz που προϋπήρχαν των υποθέσεών του. Αν υποθέσουµε ότι ένα γεγονός συνέβη στην αρχή του συστήµατος συντεταγµένων Oxyz και µετασχη- µατίζεται στο σύστηµα Ox y z µε τις γραµµικές σχέσεις x = α(x vt) y = y z = z t = βx + γt Ο υπολογισµός των αυθαίρετων σταθερών ϑα πρεπει να γίνει έτσι ώστε να εξασφαλισθεί η δεύτερη υπόθεση του Einstein. Αν και στα δύο συστήµατα ένα ηλεκτροµαγνητικό σήµα ξεκίνησε όταν τα δύο συστήµατα ταυτ ιζονταν και διαδίδεται µε την ίδια ταχύτητα c προς όλες τις διευθύνσεις ϑα ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις άρα x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 = 0 x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 = 0 x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 = x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 x 2 c 2 t 2 = x 2 c 2 t 2. Κάνοντας χρήση των µετασχηµατισµών Lorentz ϑα έχουµε ή (α 2 c 2 β 2 )x 2 2(vα 2 + c 2 βγ)xt (c 2 γ 2 v 2 a 2 )t 2 = x 2 c 2 t 2 α 2 c 2 β 2 = 1 vα 2 + c 2 βγ = 0 c 2 γ 2 v 2 α 2 = c 2. Λύνοντας το σύστηµα ϐρίσκουµε γ = 1, β = 1 v2 c 2 v/c 2 1 v2 c 2, α 2 = γ 2

16 Βασικές Εννοιες και οι µετασχηµατισµοί του Lorentz παίρνουν τώρα τη µορφή x = x vt 1 v2 c 2 y = y z = z t = t vx/c2 1 v2 c 2 Οι µετασχηµατισµοί αυτοί άλλαξαν την αντίληψη µας για τον κόσµο. Παρατηρούνται νέα ϕαινόµενα όπως διαστολή του χρόνου και συστολή του µήκους, για παράδειγµα δύο γεγονότα που συµβαίνουν τη χρονική στιγµή t 1 A(x 0,y 0,z 0,t 1 ) και t 2 αντίστοιχα στο ίδιο σηµείο στο σύστηµα Oxyz, στο σύστηµα O x y z ϑα απέχουν χρονικά (διαστολή του χρόνου) t = t 1 v2 c 2 ενώ η ταυτόχρονη µέτρηση του µήκους µιας ϱάβδου στο ένα σύστηµα ϑα διαφέρει µε τη µέτρηση στο άλλο (συστολή µήκους) l = l 1 v2 c 2. 1.5 Καµπύλες και επιφάνειες στο R 3 Είναι χρήσιµο να συνοψίσουµε σύντοµα ϑέµατα που αναπτύχθηκαν διεξοδικά στο µάθηµα της Αναλυτικής Γεωµετρίας. 1.5.1 Καµπύλες στο R 3 Η καµπύλη στο R 3 αποτελεί το γεωµετρικό τόπο των σηµείων (x,y,z) τα οποία ορίζονται από τις συναρτήσεις x(t), y(t), z(t) όπου η µεταβλητή t ανήκει στο διάστηµα t [a,b]. Η διανυσµατική µορφή της καµπύλης του χώρου (ή του R 3 ) είναι r(t) = x(t)ê x + y(t)ê y + z(t)ê z όταν το t [a,b], ενώ οι (x(t),y(t),z(t)) είναι οι παραµετρικές εξισώσεις της καµπύλης. Ενα απλό παράδειγµα αποτελούν οι εξισώσεις x(t) =

1.5 Καµπύλες και επιφάνειες στο R 3 17 cos t,y(t) = sin t,z(t) = t µε t [0,6π] και παριστούν µια έλικα στο χώρο. 1.5.2 Επιφάνειες στο R 3 Τα σηµεία που ικανοποιούν την εξίσωση G(x,y,z) = 0 ορίζουν µια επιφάνεια στο χώρο των τριών διαστάσεων. Ενα απλό παράδειγµα είναι το επίπεδο Ax + By + Γz + = 0, όπου A,B,Γ και είναι σταθερές. Μια επιφάνεια που ορίζεται από εξίσωση δευτέρου ϐαθµού ονοµάζεται δευτεροβάθµια επιφάνεια. Η γενικότερη εξίσωση δευτέρου ϐαθµού στις τρεις διαστάσεις είναι Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0 όπου A, B,..., J R είναι σταθερές. Εάν εφαρµόσουµε απλούς µετασχηµατισµούς µεταφοράς και περιστροφής του συστήµατος συντεταγµένων, η γενική εξίσωση µετατρέπεται σε δύο πιο γνώριµες µορφές Ax 2 + By 2 + Cz 2 + J = 0 ή Ax 2 + By 2 + Iz = 0. Ενα απλό παράδειγµα δευτεροβάθµιας επιφάνειας είναι η σφαίρα, τα σηµεία της οποίας δίνονται από την εξίσωση (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = α 2. -4-2 0 2 4-2 -1 0 1 1 0.5 0-0.5-2-1 Σχήµα 1.15. Το ελλειψοειδές. Το κέντρο της είναι το σηµείο (x 0,y 0,z 0 ) και η ακτίνα της είναι α. Άλλο παράδειγµα δευτεροβάθµιας επιφάνειας ορίζεται από την εξίσωση

18 Βασικές Εννοιες x 2 α 2 + y2 β 2 + z2 γ 2 = 1 που ορίζει το ελλειψοειδές του Σχ. 1.15, ενώ η εξίσωση x 2 α 2 + y2 β 2 = z γ ορίζει το παραβολοειδές (γ > 0)(ϐλέπε Σχ. 1.16α) (πώς µετασχηµατίζεται όταν γ < 0;). z z 0 y x 0 y x Σχήµα 1.16. Το παραβολοειδές (για γ > 0) και το υπερβολικό παραβολοειδές. Το υπερβολικό παραβολοειδές περιγράφεται από την εξίσωση x 2 α 2 y2 β 2 = z γ για γ > 0 (ϐλέπε Σχ. 1.16ϐ). Το σηµείο O ονοµάζεται σαγµατικό, επειδή αν κινηθούµε κατά µήκος του άξονα Oy συναντάµε στο σηµείο O ελάχιστο, ενώ κατά µήκος του άξονα Ox µέγιστο. Στο κεφάλαιο 7 ϑα συζητήσουµε εκτενώς τα σαγµατικά σηµεία. 1 1 0.5 0-1 -0.5-0.5 0 0.5 1 0.5 0-0.5-1 Σχήµα 1.17. Ελλειπτικός κώνος. Ο ελλειπτικός κώνος ορίζεται από την εξίσωση

1.5 Καµπύλες και επιφάνειες στο R 3 19 ( x α ) 2 + ( y β ) 2 = (Σχ. 1.17), ενώ η εξίσωση x 2 α 2 + y2 β 2 z2 γ 2 = 1 ( ) z 2, γ ορίζει το υπερβολοειδές ενός ϕύλου (Σχ. 1.18). 1 2 0-1 -2 2 1 0-1 -2-2 -1 0 1 2 Σχήµα 1.18. Υπερβολοειδές του ενός ϕύλλου Τέλος η εξίσωση x 2 α 2 + y2 β 2 = 1 παριστάνει τον ελλειπτικό κύλινδρο και η σχέση y = αx 2 τον παραβολικό κύλινδρο (ϐλέπε Σχ. 1.19). z z 0 y 0 y x x Σχήµα 1.19. Κύλινδρος και παραβολικός κύλινδρος. Κάνοντας χρήση του προγράµµατος Mathematica (για περισσότερες λεπτοµέρειες ϐλέπε το Κεφάλαιο 2 και το Παράρτηµα Β) µπορούµε να

20 Βασικές Εννοιες παραστήσουµε γραφικά αυτές και άλλες επιφάνειες που ϑα συναντήσουµε στην συνέχεια. Παράδειγµα 1.7: Αναγνωρίστε την επιφάνεια δευτέρου ϐαθµού που περιγράφει η εξίσωση f(x,y,z) = 9x 2 16y 2 + 144z = 0 Απάντηση: Επειδή η συνάρτηση f(x,y,z) είναι δευτέρου ϐαθµού ως προς x και y και πρώτου ως προς z, η επιφάνεια f(x,y,z) = 0 ϑα πρέπει να είναι ελλειπτικό παραβολοειδές ή υπερβολικό παραβολοειδές. Αν λύσουµε τη δεδοµένη εξίσωση ως προς z έχουµε τη σχέση z = y2 9 x2 16 από την οποία αναγνωρίζουµε εύκολα ότι πρόκειται για υπερβολικό παραβολοειδές. 1.6 Ισοσταθµικές Καµπύλες Η γραφική αναπαράσταση µιας συνάρτησης διευκολύνει τη µελέτη των ιδιοτήτων της. Τα τελευταία χρόνια, µε την ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών, η γραφική αναπαράσταση µιας συνάρτησης έγινε απλούστατη και ενσωµατώνεται εύκολα στο υπό µελέτη πρόβληµα. Η γραφική αναπαράσταση συνάρτησης µιας πραγµατικής µεταβλητής είναι µία καµπύλη στο επίπεδο, ενώ των δύο µεταβλητών είναι µία επιφάνεια στο χώρο των τριών διαστάσεων. Μια µορφή αναπαράστασης συναρτήσεων πολλών µεταβλητών είναι και οι ισοσταθµικές καµπύλες. Αν στο επίπεδο (xy) ενώσουµε όλα τα σηµεία στα οποία η συνάρτηση f(x,y) έχει συγκεκριµένη τιµή k, τότε ϑα σχηµατίσουµε µία ισοσταθµική καµπύλη που τη συµβολίζουµε µε k. ΟΡΙΣΜΟΣ 1.7: Οι ισοσταθµικές καµπύλες της συνάρτησης f(x, y) είναι οι καµπύλες που ορίζονται από την τοµή της επιφάνειας µε εξίσωση f(x,y) = z και των επιπέδων z = k, όπου k είναι σταθερά που παίρνει διακριτές τιµές (ϐλέπε Σχ. 1.20.) Οι ισοσταθµικές καµπύλες περιγράφουν πλήρως τα χαρακτηριστικά της συνάρτησης f(x,y). Συνήθως το k = nh, όπου n = 0,1,2,3,.. και h σταθερός αριθµός. Η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών ισοσταθµικών καµπυλών είναι µέτρο των υψοµετρικών διαφορών της συνάρτησης f σ- το συγκεκριµένο σηµείο. Οταν οι ισοσταθµικές καµπύλες έχουν µικρή απόσταση, τότε η συνάρτηση αλλάζει απότοµα στο σηµείο αυτό του

1.6 Ισοσταθµικές Καµπύλες 21 z z=ê 4 0 y x k=ê 1 k=ê 4 k=ê 2 k=ê 5 k=ê 3 k=ê 6 f(x,y)=k Σχήµα 1.20. Οι ισοσταθµικές καµπύλες f(x, y) = k για διάφορες τιµές του k. χώρου. Αν για παράδειγµα, οι ισοσταθµικές καµπύλες προβάλουν σ- το επίπεδο µια οροσειρά τότε οι απότοµες ανηφόρες ή κατηφόρες ϑα εµφανίζονται στο επίπεδο ως συµπυκνώσεις και αραιώσεις των ισοστα- ϑµικών καµπυλών. Οι ισοσταθµικές καµπύλες της συνάρτησης f(x,y) = ax+by+c είναι οι ευθείες ax+by = k c, ενώ της συνάρτησης f(x,y) = x 2 +y 2 +a 2 είναι οµόκεντροι κύκλοι (ϐλέπε παράδειγµα 1.6). Η συνάρτηση f(x,y) = x 2 y 2 στο χώρο παριστά ένα σαµάρι ενώ οι ισοσταθµικές καµπύλες είναι υπερβολές (ϐλέπε Σχ. 1.21). 10 5 100 50 0-50 -100-10 -5 0-5 0 5 10 0-5 5 10-10 -10-10 -5 0 5 10 Σχήµα 1.21. Η επιφάνεια f = x 2 y 2 και οι ισοσταθµικές καµπύλες της στην περιοχή (0, 0).

22 Βασικές Εννοιες Το πλεονέκτηµα της γραφικής αναπαράστασης µε τη χρήση των ισοστα- ϑµικών καµπυλών που περιγράψαµε ήδη είναι ότι µπορεί να επεκτα- ϑεί και σε περισσότερες διαστάσεις. Η συνάρτηση w = f(x,y,z) µ- πορεί να παρασταθεί µε τις ισοσταθµικές επιφάνειες f(x,y,z) = k. Για παράδειγµα η συνάρτηση f(x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2 µπορεί να παρασταθεί µε τις οµόκεντρες σφαίρες x 2 +y 2 +z 2 = k στο σύστηµα των καρτεσιανών συντεταγµένων. Παράδειγµα 1.6: Σχεδιάστε τις ισοσταθµικές καµπύλες της συνάρτησης f(x,y) = 9 x 2 y 2 για k = 0,1,2,3. Απάντηση: Οι ισοσταθµικές καµπύλες υπολογίζονται από τη σχέση f(x,y) = k ή x 2 + y 2 = 9 k 2. Είναι ϕανερό ότι για τις τιµές του k = 0,1,2 οι ισοσταθµικές καµπύλες είναι οµόκεντροι κύκλοι µε κέντρο το σηµείο (0,0) και ακτίνα 9 k 2 (ϐλέπε Σχ. 1.22). 3 2 1 25 20 15 10-2 0 2 0-1 -2 0-2 -3 2-3 -2-1 0 1 2 3 Σχήµα 1.22. Η επιφάνεια f = x 2 +y 2 και οι ισοσταθµικές καµπύλες της στην περιοχή (0, 0). 1.7 Λυµένες ασκήσεις 1.1:Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: i) f 1 (x,y) = ln(1 x 2 y 2 ), ii) f 2 (x,y) = iii) f 3 (x,y) = ln(y x). 1 1 x 2 y 2, Λύση:

1.7 Λυµένες ασκήσεις 23 (i) Χρησιµοποιώντας πολικές συντεταγµένες, x = r cos φ, y = r sin φ, η συνάρτηση f 1 (x,y,z) παίρνει τη µορφή f 1 (r) = ln(1 r 2 ) και ορίζεται για 0 r < 1. Εποµένως το πεδίο ορισµού της αποτελείται από όλα τα σηµεία που ϐρίσκονται στο εσωτερικό του κυκλικού δίσκου ακτίνας r = 1. (ii) Με τον ίδιο τρόπο ϐρίσκουµε ότι και η συνάρτηση f 2 έχει πεδίο ορισµού ολόκληρο το επίπεδο (xy) εκτός της περιφέρειας του κύκλου r = 1. (iii) Για να ορίζεται η συνάρτηση f 3 ϑα πρέπει να ισχύει y x > 0 δηλαδή y > x. Εποµένως το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f 3 αποτελείται από όλα τα σηµεία του ηµιεπιπέδου που ϐρίσκεται πάνω από την ευθεία y = x. 1.2: Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x,y) = 1 1 + + 2. x y x + y y y=x 0 y=-x x Σχήµα 1.23. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης (x y) 1/2 + (x + y) 1/2 + 2. Λύση: Για να είναι η συνάρτηση f(x,y) πραγµατική ϑα πρέπει το x y > 0 και x + y > 0, ή x > y και x > y. Το σύστηµα των ανισώσεων µπορεί να παρασταθεί στο επίπεδο από τη γραµµοσκιασµένη περιοχή του Σχ. 1.23 (χωρίς τα σηµεία των ευθειών x = y και x = y). 1.3 Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x,y,z) = 1 z 2 3 4 x 2 y 2. Λύση: Θα πρέπει να ισχύουν συγχρόνως 1 z 2 0 και 4 x 2 y 2 0. Χρησιµοποιώντας κυλινδρικές συντεταγµένες, οι παραπάνω σχέσεις

24 Βασικές Εννοιες παίρνουν τη µορφή z 2 1 ή 1 z 1 και r 2 4. Εποµένως, το πεδίο ορισµού είναι το εσωτερικό και η επιφάνεια του κυλίνδρου µε ϐάση τον κύκλο x 2 + y 2 = 4 και ύψος 2. 1.4 Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x,y,z) = arcsin x + arcsin y + arcsin z. Λύση: Πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις 1 x 1, 1 y 1 και 1 z 1. Ετσι τα σηµεία (x,y,z) που ορίζεται η f είναι τα σηµεία της επιφάνειας και του εσωτερικού ενός κύβου που ορίζεται από τα επίπεδα x = ±1, y = ±1, z = ±1. 1.5: Να µελετηθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x,y) = x + y 2. Είναι η συνάρτηση f ϕραγµένη; Ποιά είναι η ελάχιστη τιµή της; Λύση: Θα πρέπει x + y 2 0, άρα το πεδίο ορισµού ϑα είναι τα εξωτερικά σηµεία και η περίµετρος του ϱόµβου µε κορυφές τα σηµεία Α(2,0), Β(-2,0), Γ(0,2), (0,-2). Η συνάρτηση f(x, y) 0 παραµένει Θετική για κάθε τιµή των (x, y) εντός του πεδίου ορισµού της και έχει ελάχιστη τιµή το µηδέν. 1.6: ίνεται η συνάρτηση z = cos(x 2 + y 2 ), να µελετηθεί και να σχεδιασθεί το πεδίο ορισµού της. Λύση: Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης αυτής αποτελείται από σηµεία, για τα οποία είναι cos(x 2 + y 2 ) 0, και 2kπ π/2 x 2 + y 2 2kπ + π/2 k = 1,2,... Συνεπώς το πεδίο ορισµού της z αποτελείται από τον κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας π/2 και τους δακτυλίους µε εσωτερική ακτίνα [π(4k 1)/2] 1/2 και εξωτερική [π(4k + 1)/2] 1/2, για k = 0,1,2,...(ϐλέπε Σχ. 1.24) 1.7: Αν U(x,y) είναι το δυναµικό της ϐαρύτητας στο σηµείο (x,y) πάνω στο επίπεδο (xy), τότε οι ισοσταθµικές καµπύλες ονοµά- Ϲονται ισοδυναµικές καµπύλες, επειδή σε όλα τα σηµεία µιας τέτοιας καµπύλης το δυναµικό είναι το ίδιο. ίνεται το δυναµικό U = Ax2 +By 2 2 x 2 y 2, όπου A,B ϑετικές σταθερές. Να ϐρεθεί η µορφή των ισοδυναµικών καµπύλων κοντά στο σηµείο (0,0). Λύση: Οι ισοδυναµικές καµπύλες περιγράφονται από τη σχέση

1.7 Λυµένες ασκήσεις 25 Σχήµα 1.24. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης z = cos(x 2 + y 2 ). Ax 2 + By 2 x 2 y 2 = c (1.4) 2 όπου c σταθερή. Επειδή ϐρισκόµαστε στην περιοχή του σηµείου (0, 0), ο όρος x 2 y 2 είναι πολύ µικρότερος από τους όρους Ax 2 και By 2, κατά συνέπεια, η εξίσωση (1.4) γράφεται (Ax 2 + By 2 ) 2c και παριστάνει µια µονοπαραµετρική οικογένεια ελλείψεων, γύρω από την αρχή των συτεταγµένων, µε ηµιάξονες (2c/A) 1/2 και (2c/B) 1/2. 0.4 0.3 0.2 0.1-0.4 0 0.2 0.4 0-0.2 00.20.4-0.2-0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.4-0.2 0 0.20.4 Σχήµα 1.25. Η επιφάνεια και οι ισοσταθµικές καµπύλες της άσκησης 1.8 για a = 2, b = 3, c = 1. 1.8: Να σχεδιαστεί η επιφάνεια και οι ισοσταθµικές καµπύλες για την οποία ισχύει x 2 a 2 + y2 b 2 = 2cz, όπου a, b, c είναι σταθερές. Λύση: Θα πρέπει το z να είναι πάντα ϑετικό. Οι τοµές µε τα επίπεδα x = 0 και y = 0 είναι παραβολές, ενώ οι τοµές της µε τα επίπεδα

26 Βασικές Εννοιες z = p είναι οι ελλείψεις (x 2 /(2a 2 cp)) + (y 2 /(2b 2 cp)) = 1, των οποίων οι ηµιάξονες αυξάνου καθώς αυξάνει το p. Η µορφή της επιφάνειας και των ισοσταθµικών καµπυλών ϕαίνεται στο Σχήµα 1.25. 1.8 Ασκήσεις για λύση 1.1: Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: i) f(x,y) = 3y 2 9x + 5ln x 2, ii) f(x,y,z) = z(x 2 + y 2 1) 1/2 + ln[z 2 (4 x 2 + y 2 )], iii) f(x,y) = x(1 y)/(y 2 2y + 1), iv) f(x,y,z) = (x 2 + y 2 z) 1/2 + ln(z 2 + x 2 + y 2 ). 1.2: Να ϐρεθεί και να σχεδιαστεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: i) f(x,y) = x/(y 2 4x), ii) f(x,y) = [6 (2x + 3y)] 1/2, iii) f(x,y) = [x 2 + y 2 4]ln (16 x 2 y 2 ), iv) f(x,y) = (x 2 y 2 ) 1/2 + (x 2 + y 2 1) 1/2. 1.3: Να ϐρεθεί και να σχεδιαστεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησησ: f(x,y) = xln(y 1) + (1 x 2 ) 1/2. 1.4: Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού και να σχεδιαστούν οι ισοσταθµικές καµπύλες της συνάρτησης f(x,y) = y/(x 2 + y 2 ). 1.5: Να ϐρεθεί και να σχεδιαστεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: i) f(x,y) = ln(x + y), ii) f(x, y) = arccos(xy), iii) f(x,y) = ln(x 2 + y), iv) f(x,y) = arcsin(x) + (xy) 1/2. 1.6: Να ϐρεθούν τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων: i) f(x,y) = ln(a x 2 + y 2 ) + (x 2 + y 2 b), ii) f(x,y) = (x 2 y 2 ) 1/2 + (x 2 + y 2 ) 1/2.

1.8 Ασκήσεις για λύση 27 1.7: Να Βρεθούν τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων: i) f(x,y,z) = ln(xyz), ii) f(x,y,z) = (1 x 2 y 2 z 2 ) 1/2. 1.8: Να ϐρεθούν οι ισοσταθµικές καµπύλες των συναρτήσεων u = xy και v = x 2 y 2. 1.9: Να ϐρεθούν οι ισοσταθµικές επιφάνειες των συναρτήσεων: i) V = x + y + z, ii) U = ln(1 x 2 y 2 z 2 ).

28 Βασικές Εννοιες

2. Γραφικές παραστάσεις µε το MATHEMATICA Μια επιστήµη των υπολογισµών έχει αρχίσει να εµφανίζεται, σαν τον Ηρακλή, απο το λίκνο της. Peter D. Lax (1985) 2.1 Σχεδίαση συναρτήσεων δύο µεταβλητών Η γραφική αναπαράσταση συνάρτησης δύο µεταβλητών αποτελεί αναπόσπαστο κοµµάτι της µελέτης µιας συνάρτησης. Η εύρεση των ορίων, των ακρότατων τιµών και των µερικών παραγώγων διευκολύνονται σηµαντικά αν γνωρίζουµε τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της υπό µελέτη συνάρτησης. Το Mathematica διαθέτει µια σειρά από εντολές για την γραφική αναπαράσταση συναρτήσεων δύο µεταβλητών. Στη συνέχεια ϑα παρουσιάσουµε αυτές τις εντολές και στα κεφάλαια που ακολουθούν ϑα αξιοποιήσουµε τη γραφική αναπαράσταση όπου κρίνουµε ότι αυτό ϑα ϐοηθήσει την µελέτη των χαρακτηριστικών των συνάρτησεων. Η σχεδίαση της συνάρτησης f(x,y) µε το Mathematica γίνεται µε την εντολή Plot3D. Plot3D[f[x,y], {x,x min,x max }, {y,y min,y max }] όπου x min,x max,y min,y max είναι οι ακρότατες τιµές των x,y που επι- ϑυµούµε. Στην ουσία πρόκειται για το πεδίο τιµών που επιθυµούµε να µελετήσουµε, και πρέπει να είναι υποσύνολο του πεδίου ορισµού της συνάρτησης f(x, y). Παράδειγµα 2.1 Εάν επιθυµούµε την γραφική παράσταση της συνάρτησης sin xsin y για 10 x 10 και 10 y 10, τότε πληκτρολογούµε τα ακόλουθα Clear[f]

30 Γραφικές παραστάσεις µε το MATHEMATICA f[x_,y_] := Sin[x] Sin[y]; Plot3D[f[x, y], {x, 10, 10}, {y, 10, 10}]; 1 0.5 0-0.5-1 -10-5 0-5 0 5 10 5 10-10 Σχήµα 2.1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x, y) = sin x sin y του παραδείγ- µατος 2.1. 2.1.1 Επιλογές της Plot3D Υπάρχουν πολλές επιλογές για τη σχεδίαση τρισδιάστατων γραφικών παραστάσεων στο Mathematica και οι περισσότερες είναι ανάλογες µε αυτές που παρέχονται στη δισδιάστατη σχεδίαση που αναφέρουµε στο παράρτηµα Β. Οι προεπιλεγµένες τιµές των ϐασικών παραµέτρων είναι: Πίνακας 2.1. Οι προεπιλεγµένες τιµές της εντολής Plot3D. Ονοµα Επιλογής Προεπιλεγµένη Τιµή Boxed True Lighting True Mesh True Shading True ViewPoint {1.3, 2.4, 2} GrayLevel[s] Hue[s] Boxed False : Επιλογή για την δηµιουργία τρισδιάστατου πλαισίου γύρω από την επιφάνεια.

2.1 Σχεδίαση συναρτήσεων δύο µεταβλητών 31 Lighting False : Χρωµατισµό της επιφάνειας χρησιµοποιώντας ελεγχόµενο ϕωτισµό. Mesh False : Σχεδίαση δισδιάστατου πλέγµατος στην επιφάνεια. Shading False : Σκίαση της επιφάνειας. ViewPoint {x,y,z} : Η οπτική γωνία µε την οποία ϐλέπουµε την επιφάνεια. {1.3, 2.4, 2} Προεπιλεγµένη Τιµή {0, 2, 0} Απευθείας µπροστά {0, 2,2} Μπροστά και πάνω {0, 2, 2} Μπροστά και κάτω { 2, 2, 0} Αριστερή γωνία {2, 2, 0} εξιά γωνία {0, 0, 2} Απευθείας πάνω Ας δούµε πως διαφοροποιούν τη γραφική παράσταση οι τρεις πρώτες επιλογές. Παράδειγµα 2.2 Clear[f] f[x_,y_] := Sin[x] Sin[y]; Clear[pl 1,pl 2,pl 3,pl 4 ] pl 1 = Plot3D[f[x,y], {x, 10,10}, {y, 10,10}, DisplayFunction Identity]; pl 2 = Plot3D[f[x,y], {x, 10,10}, {y, 10,10}, Boxed False, DisplayFunction Identity]; pl 3 = Plot3D[f[x,y], {x, 10,10}, {y, 10,10}, Lighting False, DisplayFunction Identity]; pl 4 = Plot3D[f[x,y], {x, 10,10}, {y, 10,10}, Mesh False, DisplayFunction Identity]; Show[GraphicsArray[{{pl 1,pl 2 }, {pl 3,pl 4 }}], DisplayFunction $DisplayFunction]; Η οπτική γωνία από την οποία ϐλέπουµε τη γραφική παράσταση διαφοροποιεί το αποτέλεσµα της σχεδίασης όπως ϕαίνεται και στο Σχήµα του παραδείγµατος 2.3.

32 Γραφικές παραστάσεις µε το MATHEMATICA 0.5 1-0.5 0 0.5 1-1 -10 0 510-0.5 0-1 -10-5 0-5 -5 0 5 5 10-10 0 510-5 10-10 0.5 1-0.5 0 0.5 1-1 -10 0 510-0.5 0-1 -10-5 0-5 -5 0 5 5 10-10 0 510-5 10-10 Σχήµα 2.2. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x, y) = sin x sin y αξιοποιώντας τις επιλογές της εντολής Plot3D. Παράδειγµα 2.3 Clear[plt1, plt2, plt3] plt1 = Plot3D[Sin[x +y^2], {x, 1,1}, {y, 1,1}, Boxed False, DisplayFunction Identity]; plt2 = Show[%,ViewPoint {0, 2, 2}, DisplayFunction Identity]; plt3 = Show[%,ViewPoint {0, 2,0}, DisplayFunction Identity]; Show[GraphicsArray[{{plt1, plt2, plt3}}]]; Σχήµα 2.3. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x, y) = sin x sin y από διαφορετικές οπτικές γωνίες. Η επιλογή χρώµατος στη σχεδίαση µιάς επιφάνειας µερικές ϕορές ϐελτιώνει την αντίληψή µας για αυτήν.

2.2 Σχεδίαση ισοσταθµικών καµπυλών 33 Παράδειγµα 2.4 Clear[col 1,col 2 ] col 1 = Plot3D[{Sin[x y],graylevel[x/3]}, {x,0,3}, {y,0,3}, DisplayFunction Identity]; col 2 = Plot3D[{Sin[x y],hue[x/3]}, {x,0,3}, {y,0,3}, DisplayFunction Identity]; Show[GraphicsArray[{{col 1,col 2 }}]]; 0.5 1-0.5 0-1 0 1 2 30 1 3 2 0.5 1-0.5 0-1 0 1 2 30 1 3 2 Σχήµα 2.4. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x, y) = sin x sin y χρησιµοποιώντας διαφορετικά χρώµατα. 2.2 Σχεδίαση ισοσταθµικών καµπυλών Η εντολή ContourPlot σχεδιάζει τις ισοσταθµικές καµπύλες µιας συνάρτησης f(x,y) στα διαστήµατα x min x x max, y min y y max. ContourPlot[f[x,y], {x,x min,x max }, {y,y min,y max }] 2.2.1 Επιλογές της ContourPlot Χρησιµοποιώντας την εντολή??contourplot παίρνουµε όλες τις πληρο- ϕορίες για την ContourPlot συµπεριλαµβανοµένων των ιδιοτήτων και των επιλογών της. Οι προεπιλεγµένες τιµές των παραµέτρων είναι: ColorFunction Hue : Επιλέγουµε τα χρώµατα που χρησιµοποιούνται για σκίαση.

34 Γραφικές παραστάσεις µε το MATHEMATICA Πίνακας 2.2. Οι επιλογές της εντολής ContourPlot. Ονοµα Επιλογής Προεπιλεγµένη Τιµή ColorFunction Automatic Contours 10 PlotRange Automatic ContourShading True ContourLines True ContourStyle Automatic PlotPoints 15 Contours Αριθµός ή Λίστα Αριθµών : Με την πρώτη επιλογή προσδιορίζεται ο αριθµός των ισοσταθµικών επιπέδων, ενώ µε τη δεύτερη σχεδιάζονται τα ισοσταθµικά επίπεδα που δηλώνονται στη λίστα. PlotRange All ή {z min,z max }: Μπορούµε να προσδιορίσουµε το διάστηµα {z min,z max } και διαθέτουµε και την επιλογή All. ContourShading False : Επιλέγει άν υπάρχει ή όχι σκίαση των περιοχών του γραφήµατος. ContourLines False : Επιλέγει άν ϑα σχεδιαστούν ή όχι οι ισοστα- ϑµικές γραµµές. ContourStyle : Εµφάνιζει τις ισοσταθµικές γραµµές µε προεπιλεγµένο τρόπο. PlotPoints Αριθµός : Γνωστή από την εντολή Plot. Παράδειγµα 2.5 Clear[f,c 1,c 2,c 3,c 4,c 5,c 6 ] f[x_,y_] := Sin[x] Sin[y]; c 1 = ContourPlot[f[x,y], {x, 2,2}, {y, 2,2}, DisplayFunction Identity]; c 2 = ContourPlot[f[x,y], {x, 2,2}, {y, 2,2}, DisplayFunction Identity, ContourShading False];

2.3 Μετατροπές µεταξύ διαφορετικών τύπων γραφηµάτων 35 c 3 = ContourPlot[f[x,y], {x, 2,2}, {y, 2,2}, DisplayFunction Identity, ColorFunction Hue]; c 4 = ContourPlot[f[x,y], {x, 2,2}, {y, 2,2}, DisplayFunction Identity, ContourLines False]; c 5 = ContourPlot[f[x,y], {x, 2,2}, {y, 2,2}, DisplayFunction Identity, ContourStyle {RGBColor[1, 0, 0]}]; c 6 = ContourPlot[f[x,y], {x, 2,2}, {y, 2,2}, DisplayFunction Identity, Frame False, Axes False, ContourShading False, PlotPoints 50]; Show[GraphicsArray[{{c 1,c 2,c 3 }, {c 4,c 5,c 6 }}]]; Χρησιµοποιώντας την επιλογή Contours µπορούµε να σχεδιάσουµε τα ισοσταθµικά επίπεδα f(x,y) = c 1,c 2,... Παράδειγµα 2.6 Clear[f,c 1,c 2,c 3 ] f[x_,y_] := x 2 2 x+y 2 2 y 2; c 1 = ContourPlot[f[x,y], {x, 10,10}, {y, 10,10}, ContourShading False, DisplayFunction Identity, PlotPoints 60]; c 2 = ContourPlot[f[x,y], {x, 10,10}, {y, 10,10}, ContourShading False, DisplayFunction Identity, Contours 20, PlotPoints 60]; c 3 = ContourPlot[f[x,y], {x, 10,10}, {y, 10,10}, ContourShading False, DisplayFunction Identity, Contours {4,24,40},PlotPoints 60]; Show[GraphicsArray[{{c 1,c 2,c 3 }}]]; 2.3 Μετατροπές µεταξύ διαφορετικών τύπων γραφηµάτων Η σχεδίαση ισοσταθµικών καµπυλών και η σχεδίαση επιφανειών ουσιαστικά µας δίνουν τις ίδιες πληροφορίες για µία συνάρτηση. Οι εντολές ContourPlot και Plot3D παράγουν γραφήµατα τα οποία περιέχουν συγκεκριµένη λίστα τιµών της συνάρτησης. Με οποιαδήποτε από αυτές τις

36 Γραφικές παραστάσεις µε το MATHEMATICA 2 1 0-1 -2-2 -1 0 1 2 2 1 0-1 -2-2 -1 0 1 2 2 1 0-1 -2-2 -1 0 1 2 2 1 0-1 -2-2 -1 0 1 2 2 1 0-1 -2-2 -1 0 1 2 Σχήµα 2.5. Σχεδίαση των ισοσταθµικών καµπυλών της συνάρτησης f(x, y) = sin x sin y κάνοντας χρήση των επιλογών την εντολής ContourPlot. 10 5 0-5 -10-10-5 0 5 10 10 5 0-5 -10-10-5 0 5 10 10 5 0-5 -10-10-5 0 5 10 Σχήµα 2.6. Σχεδίαση των ισοσταθµικών καµπυλών της συνάρτησης f(x, y) = x 2 2x+ y 2 2y 2 κάνοντας χρήση της επιλογής Contours. εντολές το Mathematica µπορεί εύκολα να προσαρµόσει το αποτέλεσµα για να σχεδιάσει ένα γράφηµα άλλου τύπου. Παράδειγµα 2.7 Clear[ap] ap = Plot3D[Sin[x +y], {x,0,3}, {y,0,3}]; Μπορούµε να µετατρέψουµε το αποτέλεσµα της Plot3D σε ένα γράφηµα ισοσταθµικών καµπυλών. Show[ContourGraphics[ap]]; Show[GraphicsArray[{%,%%}]];

2.4 Τρισδιάστατη παραµετρική σχεδίαση 37 1 0.5 0-0.5-1 0 2 3 1 1 2 3 0 Σχήµα 2.7. Η τρισδιάσταστη γραφική παράσταση της f(x, y) = sin(x + y). 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Σχήµα 2.8. Η µετατροπή του τριδιάστατου γραφήµατος της f(x, y) = sin(x + y) σε γράφηµα ισοσταθµικών καµπυλών. 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.5 1-0.5 0-1 0 1 2 30 1 3 2 Σχήµα 2.9. Η τριδιάστατη γραφική παράσταση του παραδείγµατος 2.7 και οι ισοστα- ϑµικές καµπύλες. 2.4 Τρισδιάστατη παραµετρική σχεδίαση Η εντολή ParametricPlot3D χρησιµοποιείται για τη σχεδίαση παραµετρικών καµπυλών και επιφανειών στο χώρο. Μια σειρά από νέες επιλογές παραµέτρων µπορούν να αναζητηθούν µε την εντολή

38 Γραφικές παραστάσεις µε το MATHEMATICA Πίνακας 2.3. Εντολές µετατροπής διαφορετικών τύπων γραφήµατος. Show[ContourGraphics[g]] Show[SurfaceGraphics[g]] Show[Graphics[g]] Μετατροπή σε γράφηµα ισοσταθµικών καµπυλών. Μετατροπή σε γράφηµα επιφάνειας. Μετατροπή σε δισδιάστατο γράφηµα. Options[ParametricPlot3D]. 2.4.1 Παραµετρική σχεδίαση τρισδιάστατης καµπύλης Η εντολή ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]}, {t,t min,t max }] σχεδιάζει µία τρισδιάστατη καµπύλη x=x(t), y=y(t), z=z(t), a t b. Η ParamatricPlot3D είναι το τρισδιάστατο ανάλογο της ParametricPlot, δηλαδή σχεδιάζει µία καµπύλη στο χώρο. Παράδειγµα 2.8 Clear[pp 1,pp 2 ] pp 1 = ParametricPlot3D[{Cos[2 t],sin[2 t],t/5}, {t,0,8 Pi},PlotPoints 120,Ticks None, DisplayFunction Identity]; pp 2 = ParametricPlot3D[{t Cos[2 t],t Sin[2 t],t/5}, {t,0,8 Pi},PlotPoints 120,Ticks None, DisplayFunction Identity]; Show[GraphicsArray[{{pp 1,pp 2 }}]]; Ας δούµε και κάποιες εφαρµογές της ParametricPlot3D : Παράδειγµα 2.9 - Τοµή τρισδιάστατης επιφάνειας µε επίπεδο Εστω g(x,y) = cos(x + siny) και το επίπεδο x = 5. Clear[pp 1,pp 2,g,p] g[x_,y_] = Cos[x +Sin[y]];

2.4 Τρισδιάστατη παραµετρική σχεδίαση 39 Σχήµα 2.10. Τα γραφήµατα του παραδείγµατος 2.8. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g[x,y] στο διάστηµα [0,4π] [0, 4π] ϕαίνεται στο σχήµα 2.11. p = Plot3D[g[x,y], {x,0,4 Pi}, {y,0,4 Pi}, DisplayFunction Identity]; Η τοµή του επιπέδου x = 5 και του επιπέδου xy είναι η γραµµή x = 5, η οποία έχει παραµετροποίηση x = 5,y = t,z = 0. Η γραφική της παράσταση ϕαίνεται επίσης στο σχήµα 2.11. pp 1 = Show[ParametricPlot3D[{5,t,0}, {t,0,4 Pi}, DisplayFunction Identity]]; Show[GraphicsArray[{{p,pp 1 }}]]; 0.5 1-0.5 0-1 0 5 10 0 5 10 0.5-0.50 1-1 0 2.5 57.5 7.5 10 0 5 10 Σχήµα 2.11. Οι γραφικές παραστάσεις των g(x, y) = cos(x + siny) και του επιπέδου x = 5 Η τοµή του επιπέδου x = 5 µε την επιφάνεια g[x,y] είναι το σύνολο των σηµείων του γραφήµατος της g πάνω από τη γραµµή x = 5 και

40 Γραφικές παραστάσεις µε το MATHEMATICA έχει τη παραµετροποίηση x = 5,y = t,z = g[5,t] και η γραφική της παράσταση ϕαίνεται στο σχήµα 2.12. pp 2 = ParametricPlot3D[{5,t,g[5,t]}, {t,0,4 Pi}]; 0.5 1-0.5 0 0 2.5 5 7.5 10 0 5 10 Σχήµα 2.12. Η τοµή της συνάρτησης g(x, y) = cos(x + siny) και του επιπέδου x = 5 του παραδείγµατος 2.9. Παράδειγµα 2.10 - Τοµή τρισδιάστατης επιφάνειας µε κύκλο Εστω f[x,y] = x 3 sin[4y]+y 2 cos[3x] και ο κύκλος x 2 +y 2 = 1. Θέλουµε να ϐρούµε τα σηµεία (x,y) της f που συµπίπτουν µε το κύκλο. Clear[f,pp 1,pp 2,p] f[x_,y_] = x 3 Sin[4 y] +y 2 Cos[3 x]; p = Plot3D[f[x,y], {x, 1.5,1.5}, {y, 1.5,1.5}, DisplayFunction Identity]; Η παραµετροποίηση του κύκλου είναι: x = cos[t],y = sin[t],z = 0 στο διάστηµα [0, 2π]. pp 1 = Show[ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],0}, {t,0,2 Pi}, DisplayFunction Identity]]; Show[GraphicsArray[{{p,pp 1 }}]]; Η τοµή του κυλίνδρου x 2 + y 2 = 1 µε την επιφάνεια f[x,y] είναι το σύνολο των σηµείων του γραφήµατος της f που ανήκουν σ- το κύκλο και µπορεί να παρασταθεί από τις παραµετρικές καµπύλες x = cos[t],y = sin[t]t,z = f[cos[t],sin[t]]. Η γραφική της παράσταση ϕαίνεται στο σχήµα 2.14. pp 2 = ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],f[Cos[t],Sin[t]]}, {t,0,2 Pi}];

2.4 Τρισδιάστατη παραµετρική σχεδίαση 41-2 02-1 0 1-1 0 1-1 -0.500.51 00.51 1 0.5-0.5 0-1 -0.5-1 00.5 1 Σχήµα 2.13. Οι γραφικές παραστάσεις των f[x, y] = x 3 sin[4y] + y 2 cos[3x] και του κύκλου x 2 + y 2 = 1. -0.5 1 0.5 0-1 1 0.5 0-0.5-1 -0.5 0 0.5 1 Σχήµα 2.14. Η τοµή της συνάρτησης f[x, y] = x 3 Sin[4y] + y 2 Cos[3x] και του κύκλου x 2 + y 2 = 1 του παραδείγµατος 2.10. 2.4.2 Παραµετρική σχεδίαση τρισδιάστατης επιφάνειας Η εντολή ParametricPlot3D[{x[t, u], y[t, u], z[t, u]}, {t,t min,t max }, {u,u min,u max }] σχεδιάζει την επιφάνεια x=x(t,u), y=y(t,u), z=z(t,u), t min t t max. Παράδειγµα 2.11 Clear[pp 1,pp 2 ] pp 1 = Show[ParametricPlot3D[{t,u,Sin[t u]}, {t,0,3}, {u,0,3}, DisplayFunction Identity]]; pp 2 = Show[ParametricPlot3D[{t,u 2,Sin[t u]}, {t,0,3}, {u,0,3}, DisplayFunction Identity]];

42 Γραφικές παραστάσεις µε το MATHEMATICA 0 1 0.5-0.5 0-1 0 1 2 3 1 2 3 6 4 2 0.5 1 0-0.5 0-1 0 1 2 3 8 Σχήµα 2.15. Οι γραφικές παραστάσεις των παραµετρικών καµπυλών του παραδείγ- µατος 2.11, δηλαδή των p 1(t, u, sin(tu) και p 2 = (t,u 2,sin(tu). Show[GraphicsArray[{{pp 1,pp 2 }}]]; Με την ParametricPlot3D µπορούµε να σχεδιάσουµε τρισδιάστατα αντικείµενα όπως τον κύλινδρο, τη σαµπρέλα, τη σφαίρα κ.τ.λ. Παράδειγµα 2.12 Clear[pp 1,pp 2,pp 3 ] pp 1 = Show[ParametricPlot3D[{Sin[t],Cos[t],u}, {t,0,2 Pi}, {u, 0, 4}, DisplayFunction Identity]]; pp 2 = Show[ParametricPlot3D[{Cos[t] (3 +Cos[u]), Sin[t] (3 +Cos[u]),Sin[u]}, {t,0,2 Pi}, {u,0,2 Pi}, DisplayFunction Identity]]; pp 3 = Show[ParametricPlot3D[{Cos[t] Cos[u], Sin[t] Cos[u], Sin[u]}, {t, 0, 2Pi}, {u, Pi/2, Pi/2}, DisplayFunction Identity]]; Show[GraphicsArray[{{pp 1,pp 2,pp 3 }}]]; 2.5 Το πακέτο Graphics ContourPlot3D Μπορούµε να δηµιουργήσουµε δισδιάστατες σχεδιάσεις ισοσταθµικών καµπυλών χρησιµοποιώντας την ενσωµατωµένη εντολή ContourPlot. Η συνάρτηση ContourPlot3D είναι το τρισδιάστατο ανάλογο της ContourPlot. Με την ContourPlot σχεδιάζουµε γραµµές για συγκεκριµένες τιµές της f σε συνάρτηση µε τα x και y. Αντίστοιχα µε την Contour Plot3D σχεδιάζουµε επιφάνειες για συγκεκριµένες τιµές της συνάρτησης f συναρτήσει των x,y, και z. Η εντολή

2.5 Το πακέτο Graphics ContourPlot3D 43-1-0.5 00.51-1 -0.500.51 4 3 2 1 0-1 -0.50 0.51 0.5 1-0.500.51-1 -4-2 0-4 -2024-0.5 0 2 4-1 -0.5-1 00.5 1 Σχήµα 2.16. Σχεδίαση κυλίνδρου, σαµπρέλας και σφαίρας χρησιµοποιώντας την εντολή ParametricPlot3D. ContourPlot3D[f[x,y,z], {x,x min,x max }, σχεδιάζει την f(x,y,z) = 0. {y,y min,y max }, {z,z min,z max }] Η συνάρτηση ContourPlot3D περιλαµβάνεται στο πακέτο του Mathematica Graphics ContourPlot3D. Οι επιλογές της ContourPlot3D µπορεί να αναζητηθούν µε την εντολή Options[ContourPlot3D] = Για να σχεδιάσουµε τις ισοσταθµικές καµπύλες της συνάρτηση f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 γράφουµε την εντολή << Graphics ContourPlot3D ContourPlot3D[Cos[Sqrt[x 2 + y 2 + z 2]], {x, 2, 2}, {y, 0, 2}, {z, 2,2}]. Η επιλογή Contours όπως είδαµε και στην εντολή ContourPlot προσδιορίζει τα ισοσταθµικά επίπεδα. Με την Contours > {c 1,c 2,c 3,...} µπορούµε να προσδιορίσουµε συγκεκριµένα ισοσταθµικά επίπεδα f(x,y,z) = c 1, f(x,y,z) = c 2, f(x,y,z) = c 3,... Παράδειγµα 2.13 << Graphics ContourPlot3D

44 Γραφικές παραστάσεις µε το MATHEMATICA Σχήµα 2.17. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x, y,z) = cos( x 2 + y 2 + z 2 ). Clear[cp3d 1,cp3d 2 ] cp3d 1 = ContourPlot3D[x y z, {x, 1,1}, {y, 1,1}, {z, 1,1}, Contours {.1}, DisplayFunction Identity]; cp3d 2 = ContourPlot3D[x y z, {x, 1,1}, {y, 1,1}, {z, 1,1}, Contours {.0}, DisplayFunction Identity]; Show[GraphicsArray[{{cp3d 1,cp3d 2 }}]]; Σχήµα 2.18. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x, y, z) = xyz κάνοντας χρήση της επιλογής Contours. 2.6 Το πακέτο Graphics ParametricPlot3D Οι ενσωµατωµένες εντολές του πακέτου που µας ενδιαφέρει είναι οι CylindricalPlot3D και SphericalPlot3D, οι οποίες σχεδιάζουν συναρτήσεις που περιγράφονται µε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγµένες αντίστοιχα.

2.7 Το πακέτο Graphics Shapes 45 SphericalPlot3D[r, {theta,theta min,theta max }, {phi,phi min,phi max }] CylindricalPlot3D[z, {r,r min,r max }, {theta,theta min,theta max }] Παράδειγµα 2.14 << Graphics ParametricPlot3D Clear[s, c] s = SphericalPlot3D[2, {theta,0,pi}, {phi,0,2 Pi}, Boxed False, Axes False, DisplayFunction Identity]; c = CylindricalPlot3D[(1 +Sin[phi])r^2, {r,0,1}, {phi,0,2 Pi}, Axes False,Boxed False,ViewPoint {1.5, 0.5,.2}, DisplayFunction Identity]; Show[GraphicsArray[{{s,c}}]]; Σχήµα 2.19. Σχεδίαση συναρτήσεων µε σφαιρικές και κυλινδρικές συντεταγµένες. 2.7 Το πακέτο Graphics Shapes Το πακέτο Graphics Shapes παρέχει λίστες πολυγώνων για τα πιο κοινά ( ϐασικά) τρισδιάστατα σχήµατα. Η εντολή που χρησιµοποιείται είναι :

46 Γραφικές παραστάσεις µε το MATHEMATICA Show[Graphics3D[shape]] Μερικά από τα σχήµατα που περιλαµβάνονται είναι : Cylinder[r,h,n] : Κύλινδρος µε ακτίνα r και µισό ύψος h. Σχεδιάζεται χρησιµοποιώντας n πολύγωνα. Cone[r,h,n] : Κώνος µε ακτίνα r και µισό ύψος h. Σχεδιάζεται χρησι- µοποιώντας n πολύγωνα. Torus[r1,r2,n,m] : Σαµπρέλα µε ακτίνες r1 και r2. Σχεδιάζεται χρησι- µοποιώντας n/m πλέγµα. Sphere[r,n,m] : Σφαίρα µε ακτίνα r. Σχεδιάζεται χρησιµοποιώντας n(m 2) + 2 πολύγωνα. Κάθε σχήµα έχει µερικές παραµέτρους ως ορίσµατα, όπως το ύψος, το µέγεθος, η ακτίνα κ.τ.λ. Μπορούµε ϐέβαια να µην χρησιµοποιήσουµε ορίσµατα και να αρκεστούµε στις προεπιλεγµένες τιµές των παραµέτρων. Παράδειγµα 2.15 << Graphics Shapes Clear[sh 1,sh 2 ] sh 1 = Show[Graphics3D[Sphere[ ]], DisplayFunction Identity]; sh 2 = Show[Graphics3D[Torus[1,0.3,15,10]], DisplayFunction Identity]; Show[GraphicsArray[{{sh 1,sh 2 }}]]; 2.8 Επιφάνειες δευτέρου ϐαθµού 2.8.1 Το ελλειψοειδές Clear[x, y, z] x[t_,r_] = a Cos[t] Cos[r];

2.8 Επιφάνειες δευτέρου ϐαθµού 47 Σχήµα 2.20. Οι γραφικές παραστάσεις της σφαίρας και της σαµπρέλας, του παραδείγ- µατος 2.15. y[t_,r_] = b Cos[t] Sin[r]; z[t_,r_] = c Sin[t]; {a,b,c} = {2,2,1}; ParametricPlot3D[{x[t, r], y[t, r], z[t, r]}, {t, Pi/2, Pi/2}, {r, Pi,Pi}]; 1 0.5 0 2-0.5-1 -2-1 0-1 0 1 1 2-2 Σχήµα 2.21. Το ελλειψοειδές. 2.8.2 Το υπερβολοειδές του ενός ϕύλλου Clear[x,y,z,a,b,c] x[t_,r_] = a Sec[t] Cos[r]; y[t_,r_] = b Sec[t] Sin[r]; z[t_,r_] = c Tan[t];

48 Γραφικές παραστάσεις µε το MATHEMATICA {a,b,c} = {4,4,6}; ParametricPlot3D[{x[t, r], y[t, r], z[t, r]}, {t, Pi/3, Pi/3}, {r, Pi,Pi}]; 0 5-5 0 5-5 10 5 0-5 -10 Σχήµα 2.22. Το υπερβολοειδές του ενός ϕύλλου. Ενας άλλος τρόπος σχεδίασης του υπερβολοειδούς του ενός ϕύλλου είναι ο ακόλουθος : hyperboloid = {Cos[u], Sin[u], 0} + v { Sin[u], Cos[u], 1}; ParametricPlot3D[Evaluate[hyperboloid], {u, 0, 2 Pi}, {v, 2,2}]; 2.8.3 Ο Κώνος 1 1 0.5 0-1 -0.5-0.5 0 0.5 1 0.5 0-0.5-1 Σχήµα 2.23. Ο Κώνος. cone = {(1 +v) Cos[u],(1 +v) Sin[u],1 +v}; ParametricPlot3D[Evaluate[cone], {u, 0, 2 Pi}, {v, 2, 0}, ViewPoint {1,1,1}]

2.9 Συστήµατα συντεταγµένων 49 2.9 Συστήµατα συντεταγµένων Για να επεξεργαστούµε ένα πρόβληµα µε το Mathematica πρέπει να ορίσουµε το σύστηµα συντεταγµένων που ϑα χρησιµοποιήσουµε καθώς και τις µεταβλητές αυτού του συστήµατος. Το προεπιλεγµένο σύστηµα συντεταγµένων είναι το Καρτεσιανό, µε µεταβλητές Xx,Yy και Zz. Αν επιθυµούµε να δουλέψουµε σε άλλο σύστηµα συντεταγ- µένων µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε εντολές της ϐιβλιοθήκης << Calculus V ectoranalysis. Τα συστήµατα συντεταγµένων που υποστηρίζει το Mathematica είναι : Bipolar Cartesian ConfocalParaboloidal Cylindrical OblateSpheroidal Paraboloidal Spherical Bispherical ConfocalEllipsoidal Conical EllipticCylindrical ParabolicCylindrical ProlateSpheroidal Toroidal << Calculus VectorAnalysis Το προεπιλεγµένο σύστηµα συντεταγµένων είναι το καρτεσιανό CoordinateSystem Cartesian Οι µεταβλητές του καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων Coordinates[ ] {Xx,Yy,Zz} Οι µεταβλητές των σφαιρικών συντεταγµένων Coordinates[Spherical] {Rr,Ttheta,Pphi} SetCoordinates[Cylindrical[ ]] Cylindrical[Rr, Ttheta, Zz] Τώρα οι προεπιλογές είναι : {CoordinateSystem, Coordinates[]} {Cylindrical, {Rr, Ttheta, Zz}}

50 Γραφικές παραστάσεις µε το MATHEMATICA Πίνακας 2.4. Εντολές για τα συστήµατα και τις µεταβλητές συντεταγµένων CoordinateSystem Coordinates[ ] Coordinates[coordsys] SetCoordinates[coordsys] SetCoordinates[coordsys[vars]] CoordinateRanges[ ] CoordinateRanges[coordsys] Το όνοµα του προεπιλεγµένου συστήµατος συντεταγµένων. ίνει τις µεταβλητές του προεπιλεγ- µένου συστήµατος συντεταγµένων. ίνει τις µεταβλητές του συστήµατος συντεταγµένων coordsys. Επιλέγει το coordsys ως νέο σύστηµα συντεταγµένων µε τις προεπιλεγµένες µεταβλητές του. Επιλέγει το coordsys ως νέο σύστηµα συντεταγµένων µε µεταβλητές vars. ίνει τα διαστήµατα των µεταβλητών του προεπιλεγµένου συστήµατος συντεταγµένων. ίνει τα διαστήµατα των µεταβλητών του συστήµατος συντεταγµένων coordsys. Οι προεπιλεγµένες µεταβλητές και τα διαστήµατα στα οποία ανήκουν οι σφαιρικές συντεταγµένες. {Coordinates[Spherical], CoordinateRanges[Spherical]} {{Rr,Ttheta,Pphi}, {0 Rr <,0 Ttheta π, π < Pphi π}} Μετατροπές µεταξύ των συστηµάτων συντεταγµένων 1. CoordinatesToCartesian[pt] ίνει τις καρτεσιανές συντεταγµένεστου pt, όταν το pt δίνεται στο προεπιλεγµένο σύστηµα συντεταγµένων. 2. CoordinatesToCartesian[pt,coordsys] ίνει τις καρτεσιανές συντεταγµένες του pt, όταν το pt δίνεται στο σύστηµα συντεταγµένων coordsys. 3. CoordinatesFromCartesian[pt] ίνει τις συντεταγµένες του pt στο επιλεγµένο σύστηµα συντεταγ- µένων, όταν το pt δίνεται σε καρτεσιανές συντεταγµένες.

2.9 Συστήµατα συντεταγµένων 51 4. CoordinatesFromCartesian[pt,coordsys] ίνει τις συντεταγµένες του pt στο σύστηµα coordsys, όταν το pt δίνεται σε καρτεσιανές συντεταγµένες. Μετατροπή των σφαιρικών συντεταγµένων του σηµείου {1, π/2, π/4} σε καρτεσιανές συντεταγµένες. CoordinatesToCartesian[{1, Pi/2, Pi/4}, Spherical] { 1 2, 1 2,0 } Παίρνουµε το γενικό µετασχηµατισµό, όταν δίνουµε τις µεταβλητές µε συµβολική µορφή. CoordinatesToCartesian[{r, theta, z}, Cylindrical] {rcos[theta], rsin[theta], z } CoordinatesFromCartesian[{x, y, z}, Spherical] { x 2 + y 2 + z 2 z,arccos( ),arctan(x,y)} x 2 +y 2 +z 2

52 Γραφικές παραστάσεις µε το MATHEMATICA

3. Ορια και συνέχεια Η τέχνη της έρευνας είναι η τέχνη να µετατρέπεις δύσκολα προβλήµατα σε επιλύσιµα µε την εύρεση των διαδικασιών αντιµετώπισής τους. Sir Peter Medawar 3.1 Ακολουθίες σηµείων και σύγκλιση Είναι ενδιαφέρον να αναφερθούµε συνοπτικά στις ακολουθίες σηµείων και τη σύγκλισή τους πριν µελετήσουµε τα όρια και τη συνέχεια συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Ας ξεκινήσουµε µε το να ορίσουµε µια ακολουθία σηµείων P 1 (x 1,y 1 ),P 2 (x 2,y 2 ),...,P n (x n,y n ),... στο R 2. Ενα παράδειγµα άπειρης ακολουθίας σηµείων στο επίπεδο µ- πορεί να είναι P n = (n,n 2 ), όπου n = 1,2,3,4,... και ορίζει τα σηµεία που ϐρίσκονται πάνω στη παραβολή y = x 2. εν είναι υποχρεωτικό ό- λα τα σηµεία της ακολουθίας να είναι διαφορετικά, για παράδειγµα η ακολουθία σηµείων P n = (2,( 1) n ) αποτελείται µόνο από δύο σηµεία. Θα λέµε ότι η ακολουθία σηµείων είναι περατωµένη, εάν µπορεί να ϐρεθεί ένας δίσκος που να περιέχει όλα τα σηµεία της ακολουθίας P n, δηλαδή, υπάρχει ένα σηµείο Q και ένας ϑετικός αριθµός M τέτοιοι ώστε d(p n Q) < M για όλες τις τιµές του n. Για παράδειγµα, η ακολουθία P n = (1/n,1/n 2 ) είναι περατωµένη, ενώ η ακολουθία P n = (n,n 2 ) δεν είναι περατωµένη. Μία σηµαντική έννοια, για τις ακολουθίες σηµείων είναι η σύγκλιση. Θα λέµε ότι, η ακολουθία σηµείων P n συγκλίνει στο σηµείο Q και ϑα γράφουµε, lim P n = Q n

54 Ορια και συνέχεια αν η απόσταση d(p n Q) πλησιάζει το µηδέν όταν το n, δηλαδή για κάθε δ > 0 υπάρχει ένας ϑετικός αριθµός N τέτοιος ώστε τα σηµεία της ακολουθίας P n ϐρίσκονται µέσα στον κύκλο ακτίνας δ κέντρου Q, για κάθε n > N. Ενα απλό παράδειγµα συγκλίνουσας ακολουθίας στο σηµείο Q είναι η P n = (e n/4 cos n,e n/4 sin n), για την οποία ισχύει d(p n Q) = e n/4 0, όταν n. Το P n πλησιάζει την αρχή των αξόνων ακολουθώντας µία λογαριθµική σπείρα (r = e θ/4, ϐλέπε Σχ. 3.1). y P 2 P 1 P 3 P 8 P 7 P 9 P 10 Q P 6 P 0 x P 4 P 5 Σχήµα 3.1. Η σύγκλιση της ακολουθίας P n = (e n/4 cos n, e n/4 sin n). Η σύγκλιση µιας ακολουθίας P n (x n,y n ) στο σηµείο Q(α,β), σηµαίνει ότι οι δύο ακολουθίες x n και y n συγκλίνουν χωριστά στα α και β. Στη περίπτωση αυτή, η απόσταση d(p n Q) µπορεί να γίνει οσοδήποτε µικρή, άρα x n α d(p n Q) και y n β d(p n Q), συνεπώς, d(p n Q) = (x n x) 2 + (y n y) 2 x n α + y n β, τότε d(p n Q) 0 όταν και οι ακολουθίες x n α και y n β. Ολες οι έννοιες που συζητήθηκαν ποιο πάνω για τις ακολουθίες σηµείων ϑα επεκταθούν και στις συναρτήσεις δύο ή περισσότερων µεταβλητών. 3.2 Ορια Η αναζήτηση του ορίου µιας συνάρτησης πραγµατικών µεταβλητών έχει πολλά κοινά χαρακτηριστικά µε τη σύγκλιση ακολουθίας σηµείων. Ας υποθέσουµε ότι ϑέλουµε να υπολογίσουµε το όριο της συνάρτησης f(x,y) = 9 x 2 y 2 κοντά στην αρχή των αξόνων (ϐλέπε Σχ. 3.2),

3.2 Ορια 55 τότε µπορούµε να ξεκινήσουµε µε τον ορισµό ενός κυκλικού δίσκου µε ακτίνα δ και κέντρο την αρχή των αξόνων. Είναι ϕανερό ότι, η τιµή της συνάρτησης ϑα πλησιάζει το 3 (το όριο) µε όλο και µεγαλύτερη ακρίβεια, όσο το δ πλησιάζει το µηδέν. Συµβολικά µπορούµε να παραστήσουµε το παραπάνω αποτέλεσµα µε τη σχέση lim f(x,y) = 3. (x,y) (0,0) y z x y Σχήµα 3.2. (α) Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης, (ϐ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x, y) = 9 x 2 y 2. x ΟΡΙΣΜΟΣ 3.1: Η συνάρτηση f(x,y) έχει όριο τον αριθµό k, όταν πλησιάζουµε το σηµείο M 0 (x 0,y 0 ) του πεδίου ορισµού της D, όταν για κάθε ϑετικό αριθµό ǫ, υπάρχει ϑετικός αριθµός δ τέτοιος ώστε για κάθε σηµείο M(x,y) του πεδίου ορισµού της f(x,y) για το οποίο 0 [(x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 ] 1/2 δ (ή x x 0 δ και y y 0 δ) να ισχύει η ανισότητα f(x,y) k < ǫ. lim f(x,y) = k. (x,y) (x 0,y 0 ) Παράδειγµα 3.1: ίνεται η συνάρτηση f(x,y) = x2 y 2 x 2 + y 2. είξτε ότι το όριο της συνάρτησης στην αρχή των αξόνων είναι το µηδέν. Απόδειξη: Επειδή x 2 x 2 + y 2 και y 2 y 2 + x 2 έχουµε

56 Ορια και συνέχεια 1 1.5 2 0.5 1 0-2 -1 0 1 1 2 0-1 2-2 0.5 0-0.5-1 -1-0.5 0 0.5 1 Σχήµα 3.3. Η γραφική παράσταση και οι ισοσταθµικές καµπύλες της συνάρτησης f(x, y) = x 2 y 2 /(x 2 + y 2 ) στην περιοχή του (0,0). f(x,y) 0 = x 2 y 2 x 2 + y 2 (x2 + y 2 ) 2 x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 ) και επειδή ο ορισµός της περιοχής γύρω από την αρχή των αξόνων είναι x 2 + y 2 δ 2 έχουµε f(x,y) 0 δ 2. ϑέτοντας δ 2 = ǫ καταλήγουµε στη σχέση f(x,y) 0 ǫ. Με ϐάση τον ορισµό του ορίου είναι ϕανερό ότι lim f(x,y) = 0. (x,y) (0,0) άρα το όριο της f(x,y) όταν (x,y) (0,0) είναι το µηδέν (ϐλέπε Σχ. 3.3). Παράδειγµα 3.2: Να αποδειχθεί, µε τη ϐοήθεια του ορισµού, ότι lim (x,y) (2,1) (x2 3y) = 1 Απόδειξη: Με ϐάση τον ορισµό έχουµε f(x,y) 1 = x 2 3y 1 = (x 2 2 2 ) 3(y 1) x 2 x + 2 + 3 y 1 οπότε αν δ > 0 µε x 2 δ και y 1 δ επίσης προκύπτει x + 2 x 2 + 4 δ + 4 και f(x,y) 1 δ(δ + 4) + 3δ 8δ.

3.2 Ορια 57 Αν ορίσουµε το ǫ 8δ καταλήγουµε στον ορισµό του ορίου και το όριο της συνάρτησης f(x, y) είναι η µονάδα. Το όριο της συνάρτησης f όταν υπάρχει είναι µοναδικό. Αυτό είναι εύκολο να το δείξουµε µε ϐάση τον παραπάνω ορισµό. Αν και lim (x,y) (x 0,y 0 ) f(x,y) = k 1 (3.1) lim (x,y) (x 0,y 0 ) f(x,y) = k 2 (3.2) σύµφωνα µε τον ορισµό έχουµε ότι για κάθε ǫ > 0 υπάρχει περιοχή µε ακτίνα δ ώστε f 1 k 1 ǫ 1 και f 2 k 2 ǫ 2. Από τις ανισότητες αυτές προκύπτει k 1 k 2 = k 1 f + f k 2 f k 1 + f k 2 2ǫ. (3.3) Γνωρίζουµε από τον ορισµό ότι το ǫ πρέπει να µπορεί να γίνει οσοδήποτε µικρό, ενώ η διαφορά k 1 k 2 έχει µια συγκεκριµένη τιµή. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι για να υπάρχουν τα όρια ϑα πρέπει το k 1 και k 2 να είναι ίσα µεταξύ τους. Σχόλιο: Η παραπάνω ιδιότητα του ορίου είναι πολύ χρήσιµη στον υπολογισµό των ορίων µιας συνάρτησης δύο µεταβλητών. Αν ακολουθώντας διαφορετικές καµπύλες να προσεγγίσουµε το σηµείο M 0 (x 0,y 0 ) καταλήγουµε σε διαφορετικά όρια για τη συνάρτηση f(x,y), τότε το όριο της συνάρτησης δεν υπάρχει. Στις συναρτήσεις µιας µεταβλητής υπάρχει µόνο ένας τρόπος να προσεγγίσουµε το σηµείο x = α, άρα ϑα αρκούσε να συγκρίνουµε τα όρια, lim f(x,y), x α + lim f(x,y), x α για να καταλήξουµε σε συµπέρασµα για την ύπαρξη ή µη του ορίου. Στην περίπτωση των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών έχουµε πρακτικά άπειρες καµπύλες µε τις οποίες µπορούµε να προσεγγίσουµε το σηµείο (x 0,y 0 ). Αν ακολουθώντας δύο διαφορετικές καµπύλες για να προσεγγίσουµε το σηµείο M 0 καταλήξουµε σε δύο διαφορετικά όρια για τη

58 Ορια και συνέχεια συνάρτηση τότε σίγουρα το όριο δεν υπάρχει. Αντίθετα αν καταλήξουµε στο συµπέρασµα ότι το όριο υπάρχει ακολουθώντας επιλεγµένες καµπύλες, τότε δεν είναι σίγουρο ότι ϐρήκαµε το όριο της συνάρτησης. Οι καµπύλες µε τις οποίες µπορούµε να προσεγγίσουµε τυχαίο σηµείο στο επίπεδο είναι άπειρες, άρα δεν εύκολο να τους εξετάσουµε όλες και να ϐγάλουµε ϑετικά συµπεράσµατα για την ύπαρξη του ορίου. Παράδειγµα 3.3: Να µελετηθεί το όριο της συνάρτησης f(x,y) = xy x 2 + y 2 στην αρχή των αξόνων. Απάντηση: Εάν αντικαταστήσουµε το y = mx, τότε η συνάρτηση f(x,y) = οπότε και το mx 2 x 2 + (mx) 2 = lim f(x,y) = (x,y) (0,0) m 1 + m 2 m 1 + m 2 Άρα το όριο της συνάρτησης f δεν υπάρχει γιατί εξαρτάται από την καµπύλη (τη κλίση m) που προσεγγίζουµε το σηµείο (0,0) (ϐλέπε Σχ. 3.4). 2 0.25 0.5-0.01 0 0.005 0.01-0.25-0.5 0-0.005 005 0-0.005 0.005 0.01-0.01 1 0-1 -2-2 -1 0 1 2 Σχήµα 3.4. Η συµπεριφορά της συνάρτησης f(x, y) = xy/(x 2 + y 2 ) στην αρχή των αξόνων. Παράδειγµα 3.4: Υπάρχει το όριο της συνάρτησης xy 2 x 2 + y 4 στην αρχή των αξόνων;

3.2 Ορια 59 Απάντηση: Αν προσεγγίσουµε την αρχή των αξόνων κατά µήκος της ευθείας y = mx ϐρίσκουµε ότι το όριο είναι µηδέν, f(x,mx) = m2 x 3 x 2 + m 4 x 4 = lim f(x,mx) = 0. x 0 m2 x 1 + m 4 x 2 Θα µπορούσαµε να σταµατήσουµε στο σηµείο αυτό τη µελέτη του ορίου και να συµπεράνουµε ότι το όριο της συνάρτησης f(x,y) υπάρχει και είναι το µηδέν. Το συµπέρασµα αυτό ϑα ήταν λάθος γιατί αν πλησιάσουµε την αρχή των αξόνων κατά µήκος της καµπύλης x = y 2 το όριο της συνάρτησης είναι το 1/2. Άρα το σωστό συµπερασµα είναι ότι το όριο της συνάρτησης f(x,y) στο σηµείο (0,0) δεν υπάρχει (ϐλέπε Σχ. 3.5). 1 0.5 0.25-1 0 0.5 1-0.25-0.5 0-0.5 00.5-0.5 1-1 0.5 0-0.5-1 -1-0.5 0 0.5 1 Σχήµα 3.5. Η γραφική παράσταση και οι ισοσταθµικές καµπύλες της συνάρτηση xy 2 /(x 2 + y 4 ) κοντά στην αρχή των αξόνων. Ο ορισµός 3.1 του ορίου πρέπει να αλλάξει αν αναζητούµε το όριο της συνάρτησης f(x,y) στη περιοχή του απείρου, δηλαδή αν ϑέλουµε να αναδείξουµε ότι lim f(x,y) = k. (x,y) (, ) ΟΡΙΣΜΟΣ 3.2: Το όριο της συνάρτησης f είναι το k όταν πλησιάζουµε το άπειρο, αν για κάθε οσοδήποτε µικρό ǫ > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για όλα τα σηµεία M(x,y) του πεδίου ορισµού της f, για τα οποία OM > δ, όπου O ένα σταθερό σηµείο, να είναι f(m) k ǫ.

60 Ορια και συνέχεια Αν το όριο µιάς συνάρτησης f(x,y) στο σηµείο M 0 (x 0,y 0 ) είναι το άπειρο (ή το ) τότε lim (x,y) (x0,y 0 ) f(x,y) (ή ) όταν για κάθε έ- ναν οσοδήποτε µεγάλο ϑετικό αριθµό K, υπάρχει περιοχή π(m 0,δ) του σηµείου M 0 του πεδίου ορισµού της συνάρτησης ώστε να ισχύουν οι ανισότητες, f(m) > K (ή f(m) < K για ). Μια ακόµα ενδιαφέρουσα παρατήρηση είναι οτι ισχύει η ταυτότητα, lim f(x,y) lim f(1/w,1/z) (x,y) (, ) (w,z). (0,0) Παράδειγµα 3.5: Να ϐρεθεί το όριο της συνάρτησης f(x,y) = x2 + y 2 + 2 x 2 + y 2 όταν (x,y) (, ). Απάντηση: Η συνάρτηση µπορεί να µετασχηµατισθεί στην τότε επειδή το f( 1 w, 1 z ) = 1 + 2 w2 z 2 w 2 + z 2 lim f( 1 (x,y) (, ) w, 1 z ) = 1 + 2 lim (w,z) (0,0) w 2 z 2 w 2 + z 2 = 0 lim (w,z) (0,0) w 2 z 2 w 2 + z 2 όπως δείξαµε στο παράδειγµα 3.1. Εποµένως lim (x,y) (, ) f(x,y) = lim (w,z) (0,0) f(1/w,1/z) = 1. 3.2.1 Ιδιότητες των ορίων Αν lim (x,y) (x0,y 0 ) f(x,y) = k 1 και lim (x,y) (x0,y 0 ) f(x,y) = k 2, τότε (1) lim [f(x,y) + g(x,y)] = lim f(x,y) + (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) lim (x,y) (x 0,y 0 ) g(x,y) = k 1 + k 2 (2) lim (x,y) (x 0,y 0 ) f(x,y) g(x,y) = lim (x,y) (x 0,y 0 ) f(x,y) lim (x,y) (x0,y 0 ) g(x,y) = k 1 k 2

3.2 Ορια 61 όταν k 2 0 (3) lim [f(x,y) g(x,y)] = (x,y) (x 0,y 0 ) [ lim f(x,y) lim g(x,y)] = k 1k 2 (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) (4) lim (x,y) (x 0,y 0 ) m f(x,y) = m k 1, m N (5) lim (x,y) (x 0,y 0 ) [f(x,y)]a = [k 1 ] a, a R όταν f(x,y) 0 (6) lim (x,y) (x 0,y 0 ) f(x,y) = lim f(x,y) (x,y) (x 0,y 0 ) = k 1 Η απόδειξη των παραπάνω ιδιοτήτων γίνεται µε άµεση εφαρµογή του ορισµού των ορίων. 3.2.2 Προτάσεις Θα διατυπώσουµε στη συνέχεια πέντε προτάσεις, χωρίς απόδειξη. Πρόταση 1: Εάν ισχύει f(x,y) < g(x,y) για κάθε (x,y) εντός του πεδίου ορισµού των συναρτήσεων f και g και lim (x,y) (x0,y 0 ) g(x,y) = 0, τότε και lim (x,y) (x0,y 0 ) f(x,y) = 0. Πρόταση 2: Η συνάρτηση f(x,y) = g(x,y)h(x,y) έχει όριο το µηδέν στο σηµείο M 0 του πεδίου ορισµού της αν ισχύουν τα ακόλουθα: 1. g(x,y) M, όπου Μ πεπερασµένος αριθµός για κάθε Ϲεύγος τιµών (x,y) εντός του πεδίου ορισµού της g 2. lim (x,y) (x0,y 0 ) h(x,y) = 0. Πρόταση 3: Αν υπάρχει περιοχή του σηµείου M 0 (x 0,y 0 ), τέτοια ώστε για κάθε σηµείο M(x,y) της π(m 0,δ), να ισχύει f(x,y) g(x,y) h(x,y), τότε αν lim (x,y) (x0,y 0 ) f = lim (x,y) (x0,y 0 ) h = l ισχύει και lim (x,y) (x0,y 0 ) g = l. Πρόταση 4: Αν η συνάρτηση f(x,y) µπορεί, µε το µετασχηµατισµό t = φ(x,y), να µετατραπεί σε συνάρτηση µιας µεταβλητής f(t) και αν lim (x,y) (x0,y 0 ) φ(x,y) = t 0, τότε ισχύει η σχέση lim f(x,y) = lim f(t). (x,y) (x 0,y 0 ) t t 0

62 Ορια και συνέχεια Πρόταση 5: Αν δεν υπάρχει περιοχή π(m 0 (x 0,y 0 ),δ) στην οποία η συνάρτηση να είναι ϕραγµένη, τότε το όριο της συνάρτησης f(x, y) δεν υπάρχει στο σηµείο M 0 (x 0,y 0 ). Αξίζει επίσης να προσθέσουµε και µια πολύ χρήσιµη παρατήρηση. Παρατήρηση: Εαν το όριο µιας συνάρτησης f(x, y) στο σηµείο (x 0,y 0 ) του πεδίου ορισµού της είναι lim (x,y) (x0,y 0 ) f(x,y) = 0 0 ή lim (x,y) (x0,y 0 ) f(x,y) = δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε για την περαιτέρω ανάλυση της συνάρτησης και τον προσδιορισµό του ορίου της τον κανόνα l Hopital, όπως στην ανάλυση των συναρτήσεων µιας µεταβλητής. Παράδειγµα 3.6: Να υπολογισθεί το όριο της συνάρτησης f(x,y) = x 2 + y 2 cos( 1 xy ) στην αρχή των αξόνων Απόδειξη: Γνωρίζουµε ότι ή 1 cos(1/xy) 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 cos(1/xy) x 2 + y 2. Επειδή το όριο lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 = 0 και στηριζόµενη στη Πρόταση 3 καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι το όριο της f(x,y) στην αρχή των αξόνων είναι το µηδέν. Παράδειγµα 3.7: Να υπολογισθεί το όριο της συνάρτησης f(x,y) = x4 + y 4 x 2 + y 2 στην αρχή των αξόνων Απόδειξη: Αλλάζοντας συντεταγµένες x = r cos θ,y = r sinθ και υποθέτοντας ότι το r 0 για να ισχύει (x, y) (0, 0) έχουµε

3.3 Επαναλαµβανόµενα όρια 63 r 4 (cos 4 θ + sin 4 θ) lim f(x,y) = lim (x,y) (0,0) r 0 r 2 = lim r 0 r 2 (cos 4 θ + sin 4 θ). Εφαρµόζοντας την Πρόταση 2 καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι το όριο της συνάρτησης f(x,y) είναι το µηδέν γιατί η συνάρτηση cos 4 θ + sin 4 θ είναι ϕραγµένη και πολλαπλασιάζεται µε το µηδέν. 3.3 Επαναλαµβανόµενα όρια Μια συνάρτηση πολλών µεταβλητών µπορεί να προσεγγίσει µια συγκεκριµένη τιµή, όταν το σηµείο (x,y) προσεγγίζει το (x 0,y 0 ) διαδοχικά, δηλ. όταν πρώτα το x x 0 και στη συνέχεια το y y 0 ή και αντιστρόφως. Εάν το όριο της f(x,y) υπάρχει όταν το x x 0, τότε ορίζουµε µια νέα συνάρτηση ϕ(y) = lim x x0 f(x,y). Στη συνέχεια µπορούµε να ϐρούµε το όριο της ϕ(y) όταν το y y 0 δηλαδή, lim [ lim f(x,y)] = k 1 x x 0 y y 0 ή αντίστροφα µπορούµε πρώτα να υπολογίσουµε το όριο της συνάρτησης f(x,y) όταν το y y 0 και στη συνέχεια όταν το x x 0, lim [ lim f(x,y)] = k 2 y y 0 x x 0 Τα όρια αυτά ονοµάζονται επαναλαµβανόµενα ή διαδοχικά ή πλευρικά όρια. Με ϐάση όσα έχουµε αναφέρει µεχρι τώρα µπορούµε να καταλήξουµε σε µερικές ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ : Αν το όριο µιας συνάρτησης υπάρχει και είναι το k και τα επαναλαµ- ϐανόµενα όρια επίσης υπάρχουν και είναι τα k 1 και k 2 αντίστοιχα τότε k 1 = k 2 = k, επειδή τα επαναλαµβανόµενα όρια ορίζουν δύο διαφορετικούς τρόπους προσέγγισης του σηµείου (x 0,y 0 ). Η ύπαρξη του ορίου µιας συνάρτησης δεν συνεπάγεται την ύπαρξη των επαναλαµβανόµενων ορίων στο σηµείο αυτό. Επίσης, η ύπαρξη του ορίου και ενός των διαδοχικών ορίων µιας συνάρτησης σε ένα σηµείο δεν συνεπάγεται την ύπαρξη του άλλου διαδοχικού ορίου στο ίδιο σηµείο.

64 Ορια και συνέχεια εν υπάρχει άµεση σχέση µεταξύ των επαναλαµβανόµενων ορίων. Η ύπαρξη του ενός από τα επαναλαµβανόµενα όρια δεν συνεπάγεται την ύπαρξη και του άλλου. Αν τα επαναλαµβανόµενα όρια υπάρχουν και είναι ίσα µεταξύ τους (k 1 = k 2 ) ή δεν υπάρχουν, τότε το όριο της συνάρτησης δεν είναι σίγουρο ότι υπάρχει. Τα επαναλαµβανόµενα όρια καλύπτουν µόνο δύο από τους άπειρους τρόπους προσέγγισης του σηµείου (x 0,y 0 ). Οταν τα επαναλαµβανόµενα όρια υπάρχουν και είναι διαφορετικά, το όριο της συνάρτησης δεν υπάρχει. Τα αποτελέσµατα αυτά είναι πολύ σηµαντικά για τη µελέτη των ορίων και ϑα τα αξιοποιήσουµε για να λύσουµε στη συνέχεια αρκετές ασκήσεις. Παράδειγµα 3.8: Να µελετηθεί το όριο και τα διαδοχικά όρια της συνάρτησης lim (x,y) (0,0) x y + x 2 + y 2. x + y Απάντηση: Αν προσεγγίσουµε την αρχή των αξόνων πρώτα καθώς x 0 και στη συνέχεια καθώς y 0 το όριο είναι 1, ενώ αν αντιστρέψουµε τη σειρά των ορίων τότε το όριο είναι 1, άρα το Ϲητούµενο όριο δεν υπάρχει. Παράδειγµα 3.9: Να µελετηθεί το όριο στο σηµείο M 0 (0,0) της συνάρτησης f 1 (x,y) = xsin( 1 y ) και τα διαδοχικά όρια. Απάντηση: Το όριο της συνάρτησης lim f(x,y) = 0, (x,y) (0,0) επειδή είναι γινόµενο µηδενικής (x 0) επί ϕραγµένης συνάρτηση ( sin(1/x) 1) (Πρόταση 2). Τα διαδοχικά όρια είναι αντίστοιχα lim y 0 [lim x 0 f(x,y)] = 0

3.4 Συνέχεια 65 ενώ αν ακολουθήσουµε την αντίστροφη σειρά το Ϲητούµενο όριο δεν υπάρχει επειδή το όριο lim y 0 f(x,y) δεν υπάρχει. Παράδειγµα 3.10: Να µελετηθεί το όριο και τα επαναλαµβανόµενα όρια της συνάρτησης f(x,y) στην αρχή των συντεταγµένων, όταν f(x,y) = xy ( ) 1 x 2 + y 2 + xsin. y Απάντηση: Το όριο της συνάρτησης (ϐλέπε Παράδειγµα 3.3) και το όριο lim [lim f(x,y)] x 0 y 0 δεν υπάρχουν, ενώ το lim y 0 [lim x 0 f(x,y)] = 0. 3.4 Συνέχεια Ας έρθουµε τώρα στην έννοια της συνέχειας συναρτήσεων δύο µεταβλητών. ΟΡΙΣΜΟΣ 3.3: Αν (x 0,y 0 ) είναι ένα σηµείο του πεδίου ορισµού D R 2 µιάς συνάρτησης f(x,y), ϑα λέµε ότι η f(x,y) είναι συνεχής στο σηµείο (x 0,y 0 ) αν lim f(x,y) = f(x 0,y 0 ). (x,y) (x 0,y 0 ) Ο ορισµός αυτός µπορεί να διατυπωθεί και διαφορετικά, π.χ. αν η συνάρτηση f(x,y) είναι ορισµένη στο σύνολο D R 2, τότε λέµε ότι είναι συνεχής στο σηµείο M 0 (x 0,y 0 ) του D αν για κάθε ǫ > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για όλα τα σηµεία του συνόλου π(m 0,δ) ισχύει f(x,y) f(x 0,y 0 ) ǫ. Αν το σηµείο (x 0,y 0 ) είναι εσωτερικό του πεδίου ορισµού της f, τότε ο τρόπος προσέγγισής του δεν έχει περιορισµούς, αλλά αν το σηµείο (x 0,y 0 ) είναι συνοριακό τότε το (x,y) πρέπει να πλησιάζει το (x 0,y 0 ), ενώ παράλληλα ϑα παραµένει στο εσωτερικό του πεδίου ορισµού της. Οταν µια συνάρτηση είναι συνεχής σε όλα τα σηµεία του πεδίου ορισµού της D, τότε ϑα λέµε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο D.

66 Ορια και συνέχεια Συµβαίνει πολλές ϕορές η συνάρτηση f(x,y) να έχει όριο στο σηµείο M 0 D, όπου D είναι το πεδίο ορισµού της, αλλά το όριο αυτό να διαφέρει από την τιµή της συνάρτησης στο M 0, lim f(x,y) = λ f(x 0,y 0 ). M M 0 Η ασυνέχεια αυτή λέγεται πρώτου είδους και είναι απαλείψιµη γιατί µπορούµε να ορίσουµε µια νέα συνάρτηση που να έχει τιµή λ στο M 0. Παράδειγµα 3.11: Η συνάρτηση { ( ) (1 + x f(x,y) = 2 ) siny y όταν (x,y) (0,0) λ όταν (x,y) = (0,0) Να προσδιορισθεί το λ για να είναι η συνάρτηση συνεχής στο πεδίο ορισµού της. Απάντηση: Το όριο της συνάρτησης στο (0,0) είναι η µονάδα γιατί, όπως γνωρίζουµε, sin y lim y 0 y = 1. Άρα αν το λ = 1 πράγµατι η συνάρτηση f(x,y) ϑα είναι συνεχής. Αυτό είναι ένα παράδειγµα ασυνέχειας πρώτου είδους, όταν το λ έχει τιµή διάφορη της µονάδας, αλλά η ασυνέχεια αυτή µπορεί να απαλειφθεί µε τον επαναπροσδιορισµό του λ. Εάν οι συναρτήσεις f και g έχουν κοινό πεδίο ορισµού D και η κάθε µία είναι συνεχής στο σηµείο (x 0,y 0 ) του D, τότε 1. το άθροισµα f+g και το γινόµενο f g είναι επίσης συνεχείς συναρτήσεις στο σηµείο (x 0,y 0 ). 2. το πηλίκο (f/g) αν ϕυσικά g(x 0,y 0 ) 0, αλλά και οι σχέσεις f, 1 f, n f n είναι επίσης συνεχείς όταν υπάρχουν οι κατάλληλες προϋποθέσεις. ΘΕΩΡΗΜΑ 3.1: Εάν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα συγκεκριµένο σηµείο M 0 του πεδίου ορισµού της, τότε υπάρχει πάντοτε µια περιοχή του σηµείου M 0 στην οποία η συνάρτηση f είναι ϕραγµένη. Η απόδειξη αυτού του ϑεωρήµατος είναι απλή αφού από τον ορισµό έχουµε ότι για κάθε ǫ > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε όλα τα σηµεία της

3.5 Λυµένες ασκήσεις 67 περιοχής π(m 0,δ) να ισχύει η σχέση f f(m 0 ) < ǫ άρα f(m 0 ) ǫ < f < ǫ + f(m 0 ). Μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι, αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε όλα τα σηµεία ενός συµπαγούς συνόλου, τότε οι τιµές της συνάρτησης ορίζουν ένα ϕραγµένο σύνολο πραγµατικών αριθµών. Συνέπεια των παραπάνω προτάσεων είναι και η διαπίστωση: Υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο εντός του πεδίου ορισµού της στο οποίο η συνάρτηση γίνεται µέγιστη (ή ελάχιστη) σε σχέση µε τις τιµές της συνάρτησης στο πεδίο ορισµού της. (Αποδείξτε τη διαπίστωση αυτή εφαρ- µόζοντας το Θεώρηµα 3.1). Στο ϑέµα αυτό ϑα επανέλθουµε στο κεφάλαιο 7. 3.5 Λυµένες ασκήσεις 3.1 Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f(x,y) = 2x3 y 3 x 2 + y 2 έχει όριο το µηδέν στην περιοχή του σηµείου (0,0). Απόδειξη: Σύµφωνα µε τον ορισµό του ορίου, αν ǫ είναι οποιοσδήποτε ϑετικός αριθµός, πρέπει να δείξουµε ότι µπορεί να ϐρεθεί ένας άλλος ϑετικός αριθµός δ (που εξαρτάται από το ǫ), τέτοιος ώστε: 2x 3 y 3 x 2 + y 2 < ǫ, όταν x 2 + y 2 δ. Πρέπει να δείξουµε ότι υπάρχει κυκλική περιοχή γύρω από την αρχή (της οποίας την ακτίνα συµβολίζουµε µε δ) τέτοια ώστε f(x,y) 0 < ǫ, όπου ǫ > 0. Το (x,y) ϑεωρούµε ότι ϐρίσκεται στην καθορισµένη αυτή πε- ϱιοχή της αρχής των αξόνων, αλλά όχι ακριβώς πάνω στην αρχή. Ζητάµε να ϐρούµε έναν αριθµό δ, ϑεωρώντας γνωστό το ǫ. Ισχύει 2x 3 y 3 2 x 3 + y 3 = 2 x x 2 + y y 2, επίσης ισχύουν οι σχέσεις, x x 2 + y 2 και y x 2 + y 2, οπότε έχουµε

68 Ορια και συνέχεια 2 1 0-1 -2-1 -0.5 0-0.5 0 0.5 1 0.5 1-1 Σχήµα 3.6. Είναι ϕανερό ότι, η επιφάνεια της συνάρτησης (2x 3 y 3 )/(x 2 + y 2 ) στην περιοχή της αρχής των αξόνων συµπεριφέρεται οµαλά. 2x 3 y 3 (x 2 + y 2 ) 1 2 (2x 2 + y 2 ) 3(x 2 + y 2 ) 3 2. Άρα η αρχική ανισότητα παίρνει τη µορφή 2x 3 y 3 ( ) 3 x 2 + y 2 3 x 2 + y 2 3δ 3. Θέτοντας λοιπόν ǫ = 3δ 3 καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι για κάθε ǫ > 0 υπάρχει δ = 3 ǫ/3 για το οποίο ισχύει η σχέση f 0 ǫ. Είναι τώρα ϕανερό ότι αν το δ επαληθεύει τη σχέση 0 < δ (ǫ/3) 1/3, τότε η αρχική ανισότητα ϑα ισχύει. 3.2 Να µελετηθεί το όριο της συνάρτησης f(x,y) = 1 cos[(x2 + y 2 ) 1 2] x 2 + y 2 στην αρχή των αξόνων. 0.4 0.3 0.2 0.1 0-20 -10 0-10 0 10 20 10 20-20 Σχήµα 3.7. Η επιφάνεια της συνάρτησης 1 cos[(x2 +y 2 ) 1/2 ] x 2 +y 2.

3.5 Λυµένες ασκήσεις 69 Απάντηση: Επειδή ισχύει η τριγωνοµετρική σχέση: 1 cos x 2 + y 2 = ( ) 2sin 2 x 2 +y 2 2, άρα ( ) sin 2 (x 2 +y 2 ) 2 1 2 f(x,y) = 2 x 2 + y 2 = 1 2 Αντικαθιστώντας x 2 +y 2 2 = t ϐρίσκουµε ότι lim ( x 2 + y 2 /2) = 0, (x,y) (0,0) άρα σύµφωνα µε τη Πρόταση 4: ( (x sin 2 +y 2 ) 1 2 2 (x 2 +y 2 ) 1 2 2 ) 2 lim (x,y) (0,0) f(x,y) = lim f(t) = lim t 0 t 0 ( sint = 1 2 lim t 0 t ( 1 sin t 2 t ) 2 = 1 2. 3.3 Να µελετηθεί το όριο της συνάρτησης f(x,y) = (x,y) (k, ). Απάντηση: Η συνάρτηση f(x, y) γράφεται [ ( f(x,y) = 1 + x ) y ] x [ ( x = 1 + 1 ) ] t x y t όπου t = y/x. Ισχύει επίσης y lim (x,y) (k, ) x = ) 2 ( 1 + x y) y, όταν άρα σύµφωνα µε την Πρόταση 4, και τη χρήση του γνωστού ορίου από τις συναρτήσεις µιας µεταβλητής lim t ( 1 + 1 t) t = e, έχουµε lim f(x,y) = (x,y) (k, ) lim f(x,t) (x,t) (k, ) [ = lim x k lim t ( 1 + 1 t ) t ] x = e k.

70 Ορια και συνέχεια 3.4 Να µελετηθεί το όριο x + y lim (x,y) (, ) x 2 + y 2. Απάντηση: Θα µελετήσουµε την ισοδύναµη συνάρτηση f( 1 w, 1 wv(w + v) ) = v w 2 + v 2 όταν το (w,v) (0,0). Αν αλλάξουµε µεταβλητές (w = r cos θ,v = r sin θ) έχουµε f(w,v) = r(cos θ sin θ(cos θ + sinθ)) = rφ(θ). Άρα έχουµε lim f(w,v) = (lim r)φ(θ) = 0, (x,y) (0,0) r 0 Το όριο ϑα είναι το µηδέν επειδή η συνάρτηση r τείνει στο µηδέν, ενώ η Φ είναι ϕραγµένη σύµφωνα µε τη Πρόταση 2. 3.5 Να µελετηθεί το όριο της συνάρτησης f(x,y) = xy+y3 x 2 +y 2 στο σηµείο (0, 0). Απάντηση: Είναι εύκολο να δείξουµε ότι, τα επαναλαµβανόµενα όρια lim y 0 [lim x 0 f] και lim x 0 [lim y 0 f] ισούνται µε µηδέν. Οµως, κατά µήκος της γραµµής y = 2x, το όριο είναι 2 5, διότι η f(x,y) = f(x,2x) = 2x2 + 8x 3 x 2 + 4x 2 = 2 5 + 8 5 x τείνει στο 2 5, όταν x 0. Εχουµε δείξει εποµένως ότι δεν καταλήγουν όλοι οι τρόποι προσέγγισης της αρχής των αξόνων το ίδιο όριο, άρα συµπεραίνουµε ότι το όριο της f δεν υπάρχει στο (0,0). 3.6 Να µελετηθούν τα όρια των παρακάτω συναρτήσεων στην αρχή των αξόνων : x (α) f 1 (x,y) = 2 y 2 x 2 y 2 +(x y) 2 (ϐ) f 2 (x,y) = y x όταν x,y > 0 (γ) f 3 (x,y) = x2 y x 4 +y 2 (δ) f 4 (x,y) = x+y+x2 +y 2 x y (ε) f 5 (x,y) = x6 +y 6 x 2 +y 2 (στ) f 6 (x,y) = x4 +y 4 x 3 +y 3 (Ϲ) f 7 (x,y) = x 1 y (η)f 8 (x,y) = x 2 x 2 +y 2 + y x

3.5 Λυµένες ασκήσεις 71 Απάντηση:(α) Ακολουθώντας το δρόµο y = x ϐρίσκουµε lim f 1(x,y) = 1, (x,y) (0,0) ενώ για y = x το lim f 1 = 1/5, (x,y) (0,0) άρα το όριο δεν υπάρχει. (ϐ) Ακολουθώντας το δρόµο y = e a x,a < 0 ισχύει lim x 0 e α x = 0, έχουµε lim (x,y) (0,0) f 2 (x,y) = e α, άρα το όριο δεν υπάρχει γιατί εξαρτάται από τη τιµή του α. Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε αν κάνουµε χρήση των επαναλαµβανόµενων ορίων. (γ) Ακολουθώντας το δρόµο y = mx 2 έχουµε f 3 (x,y) = όριο δεν υπάρχει. m 1+m 2, άρα το (δ) Η συνάρτηση δεν είναι ϕραγµένη κατά µήκος της ευθείας y = x που περιέχει το σηµείο (0,0). Σύµφωνα µε τη Πρόταση 5 το όριο της συνάρτησης δεν υπάρχει. (ε) Αν µετασχηµατίσουµε την υπό µελέτη συνάρτηση σε πολικές συντεταγµένες, παίρνει τη µορφή f 5 (r,θ) = r 4 (cos 6 θ + sin 6 θ) = F 1 (r)f 2 (θ). Η συνάρτηση F 1 (r) = r 4 ϑα τείνει στο µηδέν αν το r 0, ενώ η συνάρτηση F 2 (θ) είναι ϕραγµένη. Το όριο της αρχικής συνάρτησης f 5 (r,θ) = F 1 (r) F 2 (θ) είναι το µηδέν επειδή πρόκειται για γινόµενο µηδενικής συνάρτησης µε ϕραγµένη. (στ) Η συνάρτηση δεν ορίζεται κατά µήκος της καµπύλης y 3 = x 3 που περνά από την αρχή των αξόνων, άρα ισχύουν όλα όσα είπαµε για τη συνάρτηση f 4. (Ϲ) Μπορούµε να γράψουµε τη συναρτηση ως Επειδή Το όριο f(x,y) = x 1/ y = e (1/ y ) ln( x ). lim (1/ y )ln( x ) = (x,y) (0,0)

72 Ορια και συνέχεια lim f(x,y) = (x,y) (0,0) elim (x,y) (0,0)(1/ y ) ln( x ) = 0. (η) Ακολουθώντας το δρόµο y = x ϐρίσκουµε ότι το όριο της f 8 (x,x), όταν το x 0 είναι το µηδέν, ενώ για το δρόµο y = x 3 το όριο της f 8 (x,y) είναι 1/2, άρα το όριο δεν υπάρχει. 3.7 Να ϐρεθούν τα όρια στην αρχή των αξόνων : f 1 (x,y) = lim (x,y) (0,0) ( (2 + y 2 )tan(x 3 + y 3 ) x 3 + y 3 + tan(x5 y 5 ) tan x 5 tan y 5 ) Απάντηση: Με ϐάση την Πρόταση 4, ϑέτοντας t = x 2 +y 2,v = x 5 y 5 και κάνοντας χρήση των γνωστών ορίων lim = tan t = sin t = 1 ϐρίσκουµε t 0 t t ότι ( lim (2 + y 2 ) tan(x3 + y 3 ) (x,y) (0,0) x 3 + y 3 + tan(x5 y 5 ) x 5 y 5 ) x 5 y 5 tan x 5 tan y 5 = 3. 3.8 Να µελετηθεί το όριο lim (x,y,z) (0,0,0) xy 2 z 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 Απάντηση: Το όριο της συνάρτησης είναι το µηδέν, γιατί αν µεταφερ- ϑούµε από τις καρτεσιανές στις σφαιρικές συντεταγµένες έχουµε f(r,θ,φ) = rf 1 (θ,φ). Άρα κοντά στην αρχή των αξόνων ισχύει r 0, ενώ η f 1 είναι ϕραγµένη αφού f 1 1. Συνεπώς, lim (x,y,z) (0,0,0) xy 2 z 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = lim r 0 rf 1(θ,φ) = 0. 3.9 Να υπολογιστεί το όριο της συνάρτησης [ 1 f(x,y) = x (1 + y2 )sin x + sin(xy) ] sin xsin y στην αρχή των αξόνων. Απάντηση: Το Ϲητούµενο όριο υπολογίζεται µε τη ϐοήθεια του γνωστού sinx ορίου lim x 0 x = 1 Ετσι,

3.5 Λυµένες ασκήσεις 73 [ 1 lim (x,y) (0,0) x (1 + y2 )sin x + sin(xy) ] sin xsin y lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) [ (1 + y 2 ) sin x x [ (1 + y 2 ) sin x x = (1 + 0) 1 + 1 1 1 = 2. = ] y = sin y + sin(xy) x xy sin x ] sin(xy) + lim lim (x,y) (0,0) xy 1 x 0 sinx x lim 1 y 0 siny y 3.10 Να υπολογιστεί (αν υπάρχει)το όριο της συνάρτησης f(x,y) = y x x 2 + y 2 x 2 + y 2 + y x στην αρχή των αξόνων. Απάντηση: Αντικαθιστώντας το y = e a x, όπου α ϑετική σταθερά και καταλήγουµε στην f(x,y) = e a 1 ( 1 + y 1+ y2 x 2 ) = e a h 1 (x,y) Οταν το (x,y) (0,0), τότε h 1 (x,y) 1 γιατί lim (x,y) (0,0) y y x 1 + y2 x 2 = 0 και f(x,y) e a. Άρα το Ϲητούµενο όριο δεν υπάρχει. Ενισχυτικό των αλγεβρικών υπολογισµών είναι και η εικόνα που δίνει το M athematica. (ϐλέπε Σχήµα 3.8) 3.11 Να ϐρεθούν τα όρια (αν υπάρχουν) των παρακάτω συναρτήσεων στην αρχή των αξόνων. (α) f 1 (x,y) = x + y 1 x 1 y ( x 2 (β) f 2 (x,y) = y 4 e x ) 2 y 4

74 Ορια και συνέχεια 0.001 0.0005 0-0.0005-0.001-0.001-0.0005 0 0.0005 0.001 Σχήµα 3.8. Το σχήµα δείχνει ότι το όριο δεν υπάρχει στην αρχή των αξόνων. (γ) f 3 (x,y) = sinx + sin y tan 2x + sin y (δ) f 4 (x,y) = sin(x3 + y 3 ) x 2 + y 2 Απάντηση: (α) Θέτουµε 1 y = z, έτσι f 1 (x,1 z) = x z = (x z)( x + z) x z ( x z)( x + z) = x + z δηλαδή f 1 (x,y) = x + 1 y. Άρα, lim (x,y) (0,0) f 1 (x,y) = 1. (ϐ) Θέτωντας x = my 2 έχουµε f(x,y) = m 2 e m2. Το όριο εξαρτάται από τη τιµή του m άρα δεν υπάρχει. (γ) Το όριο της f 3 (x,y) δίνει διαφορετικές τιµές αν προσεγγίσουµε την αρχή των αξόνων µε τα διαδοχικά όρια, π.χ. από το δρόµο x 0 και στη συνέχεια y 0 ϐρίσκουµε 1, ενώ από τον αντίστροφο δρόµο ϐρίσκουµε 1 2. Αξίζει να ϑυµήσουµε ότι sin x x, όταν το x 0. (δ) γναρίζουµε ότι sin(x 3 + y 3 ) x 3 + y 3 στην αρχή των αξόνων, άρα lim f 4(x,y) (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) x 3 + y 3 x 2 + y 2. Στη συνέχεια ϑα δείξουµε ότι το όριο της x3 +y 3 x 2 +y 2 είναι το µηδέν,

3.5 Λυµένες ασκήσεις 75 sin(x 3 + y 3 ) x 2 + y 2 x 3 + y 3 x 2 + y 2 2(x2 + y 2 ) 3 2 x 2 + y 2 = 2(x 2 + y 2 ) 1 2 2δ = ǫ Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι, το όριο της f 4 είναι το µηδέν. 3.12 Να µελετηθεί το όριο (αν υπάρχει) της συνάρτησης f(x,y) = y x 2+a (x 2 + y 2 )(sin 2 x + sin 2 y) στην αρχή των αξόνων κάνοντας διερεύνηση για τις τιµές του α. Απάντηση: Η συνάρτηση f γράφεται f = y x 2+a (x 2 + y 2 )(sin 2 x + sin 2 y) ( y siny x 2+a x 2 + y 2 ) = f 1 f 2 Το αντίστοιχο όριο της f 1 είναι η µονάδα, ενώ το αντίστοιχο όριο της f 2 ϑέλει περισσότερη διερεύνηση. Αν το a > 1 αποδεικνύεται ότι το όριο υπάρχει και είναι µηδέν, διότι αλλάζοντας συντεταγµένες η συνάρτηση f 2 παίρνει τη µορφή f 2 = r 1+a sin θ 2+a και το όριο είναι το µηδέν. Θα δείξουµε τώρα ότι αν το a 1 το όριο δεν υπάρχει. Θέτοντας y = m x a f(x,y) = y x 2+a x 2 + y 2 = m x 1 + m 2 x 2 a = m 1 + m 2 x a ϐρίσκουµε ότι η f m όταν το x 0. Άρα το όριο δεν υπάρχει. 3.13 Υπολογίστε το όριο (αν υπάρχει) των παρακάτω συναρτήσεων : (α) F 1 (x,y,z) = x2 y 2 +2y 3 z x 2 +y 2 +z 2 στην αρχή των αξόνων. (ϐ) F 2 (x,y) = (x 1)2 +y 2 1 x 2 y 2 στο σηµείο(1,0). (γ) F 3 (x,y) = x2 2xy 2 +y 4 x 2 +y 4 στην αρχή των αξόνων. (δ) F 4 (x,y) = x2 2xy+y 2 x 2 y y 3 στο σηµείο (1,1). Απάντηση: (α) Εφαρµόζοντας τα επαναλαµβανόµενα όρια lim x 0 [lim z 0 [lim y 0 F 1]] = 1

76 Ορια και συνέχεια lim [lim [lim F 1]] = 1 y 0 z 0 x 0 συµπεραίνουµε ότι το όριο δεν υπάρχει. (ϐ) Το όριο δεν υπάρχει και αποδεικνύεται εύκολα µε τα επαναλαµ- ϐανόµενα όρια. (γ) Το όριο δεν υπάρχει διότι ακολουθήσουµε τη καµπύλη y 2 = mx, καταλήγουµε σε σχέση που εξαρτάται από το m. (δ) Το όριο υπάρχει και είναι το µηδέν. Για την F 4 (x,y) = (x y)2 x y x(x+y) x(x 2 y 2 ) = εύκολα δείχνουµε ότι τείνει στο µηδέν όταν το (x,y) (1,1). 3.14 Να υπολογισθεί (αν υπάρχει) το όριο των συναρτήσεων: (α) f 1 (x,y) = x+y x y x στο σηµείο (0,1). (ϐ) f 2 (x,y) = xy3 x 2 +y 6 στην αρχή των αξόνων. (γ) f 3 (x,y) = x 2 y 2 +1 1 x 2 +y 2 στην αρχή των αξόνων. Απάντηση: (α) Το όριο δεν υπάρχει επειδή το σηµείο (0,1) είναι µεµονοµένο σηµείο εκτός του πεδίου ορισµού της συνάρτησης και δεν µπορεί να ορισθεί περιοχή π(m 0,δ) γύρω του. (ϐ) Ακολουθώντας το δρόµο y 3 = mx, όπου m =σταθερά, ϐρίσκουµε ότι το όριο δεν υπάρχει, διότι εξάρτάται απο το m. (γ) Το όριο είναι το µηδέν. Πολλαπλασιάζουµε αριθµητή και παρονο- µαστή µε το x 2 y 2 + 1 + 1 και στη συνέχεια αλλάζουµε συντεταγµένες (x,y) (r,θ). Ετσι καταλήγουµε σε µια σχέση που προσεγγίζει το µηδέν όταν το r προσεγγίζει το µηδέν. 3.15 Να υπολογισθεί το όριο της συνάρτησης f(x,y) = sin(y x) + sin(y x)cos2 x 2cos xsin(y x) x 4 y x 5 στην αρχή των αξόνων.

3.5 Λυµένες ασκήσεις 77 Απάντηση: Μετά από πράξεις καταλήγουµε στη συνάρτηση Άρα, Το όριο f(x,y) = (1 cos x)2 sin(x y) x 4. (y x) (1 cos x) 2 sin(y x) lim f(x,y) = lim (x,y) (0,0) x 0 x 4 lim (y,x) 0 y x (1 cos x) 2 lim x 0 x 4 = 1 4 sin x γιατί lim x 0 x µέσω του τριγωνοµετρικού µετασχηµατισµού 1 cos x = 2sin 2 (x/2) ή κάνοντας χρήση του κανόνα l Hopital, ενώ το όριο της δεύτερης είναι 1, άρα το όριο είναι 1 4. 3.16 Να µελετηθούν ως προς τη συνέχεια οι συναρτήσεις : (3+x 5 )sin(x 5 y 5 ) + xy x 5 y 5 sinx siny αν (x,y) (0,0) (α) f 1 (x,y) = 2 αν (x,y) = (0,0) x 3 y xy 3 x 2 +y 2 αν (x,y) (0,0) (β) f 2 (x,y) = 0 αν (x,y) = (0,0) Απάντηση: (α) Είναι ασυνεχής γιατί η f 1 (x,y) έχει όριο το 4 όταν προσεγγίζει το (0, 0). (ϐ) Είναι συνεχής επειδή αν µετατρέψουµε τη συνάρτηση σε πολικές συντεταγµένες έχουµε f(x,y) = r 2 f 1 (θ) µπορούµε να δείξουµε ότι το όριο είναι µηδέν ως γινόµενο µηδενικής συνάρτησης µε ϕραγµένη. 3.17 Να ϐρεθεί η µεγαλύτερη περιοχή D R 2 στην οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς. (α) f 1 (x,y) = e xy sin(x + y) (β) f 2 (x,y) = xln(xy) 2x 2 y 2 2x 2 +y 2 όταν (x,y) (0,0) (γ) f 3 (x,y) = 0 όταν (x,y) = (0,0)

78 Ορια και συνέχεια (δ) f 4 (x,y) = x6 + x 3 y 3 + y 3 x 3 + y 3 Απάντηση: (α) Ολόκληρο το επίπεδο (x,y). (ϐ) Είναι συνεχής σε όλα τα σηµεία του επιπέδου (xy) που επαληθεύουν τη σχέση xy > 0, δηλαδή τα σηµεία του πρώτου και τρίτου τεταρτη- µορίου. (γ) Είναι συνεχής σε όλα τα σηµεία του επιπέδου (xy) εκτός από το σηµείο (0,0). (δ) Είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισµού το οποίο είναι R 2 {x = y}, δηλαδή πρόκειται για το επίπεδο (xy) εκτός των σηµείων της ευθείας y = x. 3.18 Θεωρούµε την συνάρτηση f(x,y,z) = xsin x + y siny + z sin z x 2 + y 2 + z 2 όταν (x,y,z) (0,0,0). Να ορισθεί η f κατάλληλα στο σηµείο (0,0,0) ώστε να είναι συνεχής στον R 3. Απάντηση: Η συνάρτηση f(x,y,z) = xsin x + y siny + z sin z x 2 + y 2 + z 2 µπορεί να αναλυθεί στη σχέση ( sinx sin x x + x sin x ) x 2 x x 2 + y 2 + z 2+ ( siny sin x ) y 2 ( sin z y x x 2 + y 2 + z 2 + z sin x ) x z 2 x 2 + y 2 + z 2. Είναι εύκολο να δείξουµε ότι το όριο είναι µονάδα, αν λάβουµε υπόψη sin w ότι lim = 1 και ότι οι συναρτήσεις w 0 w 0 x 2 x 2 + y 2 + z 2 1, 0 y 2 x 2 + y 2 + z 2 1,

3.5 Λυµένες ασκήσεις 79 0 z 2 x 2 + y 2 + z 2 1 είναι ϕραγµένες. Άρα το όριο της συνάρτησης είναι µονάδα, επειδή ο πρώτος όρος έχει όριο τη µονάδα, ο δεύτερος, ο τρίτος και ο τέταρτος το µηδέν, σύµφωνα µε τη Πρόταση 2. Ορίζουµε λοιπόν f(0, 0, 0) = 1. 3.19 ίνεται η συνάρτηση : (1+y 2 )sinx cos x 2x για x 0 f(x,y) = λ για x = 0 Να ϐρεθεί η τιµή του λ για την οποία η συνάρτηση είναι συνεχής στο σηµείο (0, 0). Απάντηση: Αναλύοντας τη συνάρτηση f έχουµε 1 lim f(x,y) = lim sin 2x (x,y) (0,0) x 0 2 2x (1 + y2 ) = 1 2 lim sin 2x x 0 2x lim(1 + y 0 y2 ) = 1 2 1 = 1 2. Εποµένως για να είναι η f συνεχής πρέπει λ = 1 2. (ϐλέπε Σχ. 3.9) 2 1 0 1 2-2 -1 0-1 0 1 2-2 Σχήµα 3.9. Η επιφάνεια της συνάρτησης της άσκησης 3.20 για λ = 1/2. 3.20 Να εξετασθεί η συνέχεια της συνάρτησης : xy(x 2 y 2 ) x 2 +y 2 όταν x 0,y 0 f(x,y) = 0 όταν x = y = 0

80 Ορια και συνέχεια στην αρχή των συντεταγµένων. Απάντηση: Κάνοντας χρήση και της σχέσης x 2 y 2 x 2 +y 2 έχουµε xy x 2 y 2 x 2 + y 2 < xy (x2 + y 2 ) Άρα lim f(x,y) lim (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) (x2 + y 2 ) = 0 Άρα συνάρτηση είναι συνεχής στην αρχή των αξόνων. 0.2 0-0.2 0.5 1-1 -0.5 0 0-0.5 0.5 1-1 Σχήµα 3.10. Η επιφάνεια της άσκησης 3.22. 3.21 Εστω η συνάρτηση f(x,y) = sinx siny tan x tan y, της οποίας το πεδίο ορισµού είναι D : [0, π/4] [0, π/4] {P(x,y)/x = y}. Είναι δυνατόν η συνάρτηση f να ορισθεί για x = y, κατά τέτοιο τρόπο ώστε να είναι συνεχής στο πεδίο D; Απάντηση: Η συνάρτηση f(x,y) µετά από πράξεις παίρνει τη µορφή f(x,y) = (sin x sin y)cos x cos y sin xcos y sin y cos x. Χρησιµοποιώντας γνωστές τριγωνοµετρικές ταυτότητες έχουµε: x+y 2cos 2 sin x y 2 cos xcos y f(x,y) =. sin(x y) Παρατηρούµε ότι αν y x, τότε και f(x,y) cos 3 x. Εποµένως, η συνάρτηση f(x,y) ορίζεται σ όλο το πεδίο ορισµού ως εξής

3.5 Λυµένες ασκήσεις 81 sinx siny tan x tan y, x y f(x,y) = cos 3 x, x = y και το πεδίο ορισµού της είναι [0,π/4] [0,π/4]. 3.22 Να µελετηθεί αν επόµενες οι συναρτήσεις είναι συνεχείσ: x 2 y 3 2x 2 +y 2 όταν (x,y) (0,0) (α)f 1 (x,y) = 0 όταν (x,y) = (0,0) xy x 2 +xy+y 2 όταν (x,y) (0,0) (β)f 2 (x,y) = 0 όταν (x,y) = (0,0) 2x 2 y 2 2x 2 +y 2 όταν (x,y) (0,0) (γ)f 3 (x,y) = 0 όταν (x,y) = (0,0) x 2 y 2x 2 +y 4 όταν (x,y) (0,0) (δ)f 4 (x,y) = 0 όταν (x,y) = (0,0) Απάντηση:(α) Αλλάζουµε συντεταγµένες, από καρτεσιανές σε πολικές και έχουµε lim f(x,y) = lim (x,y) (0,0) r 0 (r3 )g(θ)) = 0 επειδή η συνάρτηση g είναι ϕραγµένη. Άρα η f είναι συνεχής σε ολόκληρο το R 2. (ϐ) Ακολουθώντας το δρόµο y = mx καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι το όριο δεν υπάρχει στην αρχή των αξόνων. Άρα η f είναι συνεχής στο R 2 {0,0}. (γ) Η απόδειξη είναι ίδια µε αυτή της (ϐ). (δ) Ακολουθώντας το δρόµο y = x δείχνουµε ότι, το όριο της συνάρτησης είναι το µηδέν στην αρχή των αξόνων. Κάνοντας χρήση του ορισµού αποδεικνύουµε ότι, το όριο είναι το µηδέν, αν παρατηρήσουµε ότι

82 Ορια και συνέχεια x 2 < 2x 2 + y 4. 3.23 Να ϐρεθεί το όριο ( )) lim e x+y x 2 +y 3 x+y (1 2 + sin. (x,y) (, ) x + y Απάντηση: Το Ϲητούµενο όριο αναλύεται σε γινόµενο δύο ορίων ( )) lim e x+y x 2 +y 3 x+y (1 2 + sin = (x,y) (, ) x + y [ ] [ ( ( )) ] lim e x+y x 2 +y 3 x+y 2 lim 1 + sin (x,y) (, ) (x,y) (, ) x + y Υπολογίζουµε τα όρια χωριστά. (α) Το πρώτο όριο υπολογίζεται εύκολα αν αλλάξουµε τις καρτεσιανές συντεταγµένες σε πολικές, x = r cos φ, y = r sin φ, lim ecos φ+sin φ r = e 0 = 1. r (ϐ)για το δεύτερο όριο ϑέτουµε x + y = t και ϐρίσκουµε ( ( )) 3 t lim 1 + sin = 1 t t που είναι απροσδιόριστη µορφή. Θέτουµε ( ( )) 3 t R(t) = 1 + sin t και ( ( )) 3 ln R(t) = t ln 1 + sin = ln ( 1 + sin ( )) 3 t t lim ln R(t) = lim t f 1 (t) t lim t f 2 (t) = 0 0., 1 t = f 1(t) f 2 (t) απροσδιόριστη µορφή.εφαρµόζουµε το κανόνα l Hôpital και το όριο υπολογίζεται από τη σχέση f 1 lim (t) t f 2 (t) = 3 ή lim t ln R(t) = 3 και lim t R(t) = e 3. Άρα το Ϲητούµενο όριο ϑα είναι 1 e 3 = e 3.

3.6 Ασκήσεις για λύση 83 3.6 Ασκήσεις για λύση 3.1 : Εξετάστε την συµπεριφορά της συνάρτησης f(x,y) = x 2 y 4 (x 2 + y 4 ) 3 όταν το σηµείο (x,y) πλησιάζει το (0,0). (α) κατά µήκος των ευθειών y = mx (ϐ) κατά µήκος των παραβολών y = kx 2. 3.2 : Να ϐρεθεί το όριο της συνάρτησης f(x,y) = x y x 2 +y 2, όταν (x,y) (0,0). 3.3 : Να ϐρεθούν τα όρια των παρακάτω συναρτήσεων στο σηµείο (0, 0). i) f(x,y) = x y x+y, ii) f(x,y) = x, x 2 +y 2 iii ) f(x,y) = x 2 + y xy2 x 2 +y2, iv )f(x,y) =. (x 2 +y 4 ) 3 3.4 : είξτε ότι x4 +y 4 x 2 +y 2 < ǫ, αν 0 < (x 2 + y 2 ) < δ 2 για ένα κατάλληλο δ που εξαρτάται από το ǫ. 3.5 : Να µελετηθούν τα επαναλαµβανόµενα όρια της συνάρτησης f(x,y) = sin(x+y2 ) x+y στο σηµείο (0,0). 3.6 : ίνεται η συνάρτηση f(x,y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, όταν x 2 + y 2 0. Να ορισθεί το f(0,0), ώστε η f να είναι συνεχής στο σηµείο (0,0); 3.7 : Εστω η συνάρτηση φ(x, y) = xy ln(xy), αν xy > 0. Ορίζουµε την φ(x, y) = 0, όταν xy = 0. Εχει η φ σηµεία ασυνέχειας; 3.8 : Εστω η συνάρτηση f(x,y) = x2 y 2 1+x 2 +y 2, όταν x 2 + y 2 > 0 και f(x,y) = 1, όταν x = y = 0. Εξετάστε τη συνέχεια της f στην αρχή των αξόνων. 3.9 : ίνεται η συνάρτηση f(x,y) = (x 2y)(2x y) x 2 +y 2, όταν x 2 + y 2 > 0 και f(x,y) = 0, όταν x = y = 0. Να εξετασθεί αν η f είναι συνεχής ως προς x όταν y = 0, ως προς y όταν x = 0 και εάν είναι συνεχής στην αρχή των αξόνων. 3.10 : Εστω f(x,y) = e 1 x y όταν x y. Να οριστεί η f(x,y) ώστε να είναι συνεχής σε όλο το R 2 ;

84 Ορια και συνέχεια 3.7 Ορια και συνέχεια µε το Mathematica 3.7.1 Προσέγγιση ορίου συνάρτησης µιας µεταβλητής µε τη γραφική µέθοδο και πίνακα τιµών. Πριν περάσουµε στις εντολές του Mathematica για την εύρεση ορίου συνάρτησης, ϑα προσπαθήσουµε να προσεγγίσουµε υπολογιστικά το ό- ϱιο της συνάρτησης f(x). Εστω η συνάρτηση f(x) = 1 x 2 + 1. Σχεδιάζοντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο διάστηµα ( 3,3). Η γραφική παράσταση µας οδηγεί στο συµπερασµα ότι το ό- ϱιο της υπο µελέτη συνάρτησης στο 0 είναι το 1. Clear[f] f[x_] := 1/(1 +x 2); Plot[f[x], {x, 3,3}] 1 0.8 0.6 0.4 0.2-3 -2-1 1 2 3 Σχήµα 3.11. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 1/(1 + x 2 ). Άλλες ενδείξεις για την τιµή του ορίου της συνάρτησης στο 0, µπορούµε να πάρουµε υπολογίζοντας την τιµή της για τιµές του x κοντά στο 0. Ορίζουµε έναν πίνακα οκτώ πραγµατικών τυχαίων τιµών. Η πρώτη τιµή είναι ανάµεσα στο -0.1 και 0.1, η δεύτερη µεταξύ -0.01 και 0.01 κ.τ.λ. Η εντολή Random εξασφαλίζει την τυχαία επιλογή των τιµών µέσα στο προσδιοριζόµενο διάστηµα.

3.7 Ορια και συνέχεια µε το Mathematica 85 pinak = Table[Random[Real, { 10 n, 10 n}], {n, 1, 8}] { 0.0532542, 0.00803469, 0.000720242, 0.0000919018, 8.63277 10 6, 5.15603 10 7,6.66202 10 8, 6.76187 10 9 } Βρίσκουµε τις αντίστοιχες τιµές της συνάρτησης. fpinak = Map[f, pinak] {0.997172,0.999935,0.999999,1.,1.,1.,1.,1.} Στον πίνακα που ακολουθεί ϕαίνονται οι τιµές του x και οι αντίστοιχες της συνάρτησης f. times = Table[{pinak[[i]],fpinak[[i]]}, {i,1,8}]; TableForm[times] 0.0532542 0.997172 0.00803469 0.999935 0.000720242 0.999999 0.0000919018 1. 8.63277 10 6 1. 5.15603 10 7 1. 6.66202 10 8 1. 6.76187 10 9 1. Από τον πίνακα των τιµών ϕαίνεται καθαρά ότι, το όριο της συνάρτησης f στο σηµείο 0 είναι το 1, επειδή διαλέγοντας τιµές για τα (x,y) σε µιά περιοχή γύρω από το σηµείο (0,0) µε ακτίνα δ > 0, η συνάρτηση προσεγγίζει την τιµή 1. 3.7.2 Ορια συναρτήσεων µιας µεταβλητής Το Mathematica µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον προσδιορισµό του ορίου µιας συνάρτησης γραφικά και αριθµητικά. Η εντολή που χρησι- µοποιείται είναι η: Limit[f[x],x > a].

86 Ορια και συνέχεια Αυτή ϐρίσκει το όριο της συνάρτησης f(x) όταν το x τείνει στην τιµή a. Το όριο µπορεί να είναι συγκεκριµένος αριθµός ή το άπειρο. Πολλές ϕορές για τον υπολογισµό της τιµής µιας αλγεβρικής έκφρασης αρκεί η αντικατάστασή της χρησιµοποιώντας τον τελεστή /.. Για παράδειγµα, αν ϑέλουµε να υπολογίσουµε την τιµή του cos(x 2 ) στο 0 αρκεί µια απλή αντικατάσταση. Cos[x 2]/.x 0 1 Αυτό δεν ισχύει όµως σε εκφράσεις που οδηγούν σε απροσδιοριστία, όπως στη συνάρτηση sin(x)/x για x = 0. t = Sin[x]/x Sin[x] x Αν αντικαταστήσουµε το x µε το 0, η έκφραση µετατρέπεται σε 0/0 και παίρνουµε απροσδιόριστο αποτέλεσµα. t/.x 0 Power :: infy : Infinite expression 1 0 encountered. Inf inity :: indet : Indeterminate expression 0 ComplexInf inity encountered. Indeterminate Αν χρησιµοποιήσουµε την εντολή Limit, το αποτέλεσµα είναι το γνωστό. Limit[t,x 0] 1 Οµως, δεν έχουν όλες οι συναρτήσεις σαφή όρια για συγκεκριµένες τιµές των µεταβλητών. Για παράδειγµα, η συνάρτηση sin(1/x) κοντά στο 0 δεν έχει µία συγκεκριµένη τιµή. Οµως, οι τιµές της συνάρτησης κοντά στο 0 κυµαίνονται από -1 έως 1. Η εντολή Limit σ αυτές τις περιπτώσεις δίνει αποτέλεσµα χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση Interval, η οποία προσδιορίζει ένα διάστηµα τιµών.

3.7 Ορια και συνέχεια µε το Mathematica 87 Interval[{x min,x max }] Ετσι αν υπολογίσουµε το όριο της sin(1/x) στο 0, το αποτέλεσµα που επιστρέφει το Mathematica είναι σε µορφή διαστήµατος. Limit[Sin[1/x],x 0] Interval[{ 1,1 }] Η εντολή Limit δεν µπορεί να υπολογίσει όρια άγνωστων συναρτήσεων και επιστρέφει το όριο ανυπολόγιστο. Limit[x f[x],x 0] Limit[x f [x],x 0] 3.7.3 Επαναλαµβανόµενα όρια Ορισµένες συναρτήσεις έχουν διαφορετικά όρια σε συγκεκριµένο σηµείο, ανάλογα µε την κατεύθυνση της προσέγγισης. Η εντολή Limit διαθέτει την επιλογή Direction για τον προσδιορισµό των πλευρικών ορίων. Limit[expr,x x 0,Direction 1] Βρίσκει το όριο όταν το x πλησιάζει το x 0 από αριστερά, (expr). lim x x 0 Limit[expr,x x 0,Direction 1] Βρίσκει το όριο, όταν το x πλησιάζει το x 0 από δεξιά, lim x x + (expr). 0 Η συνάρτηση 1/x έχει διαφορετική οριακή τιµή στο 0, εξαρτώµενη από το αν το όριο προσεγγίζεται από αριστερά ή δεξιά. Προσεγγίζοντας το όριο από αριστερά η συνάρτηση τείνει στο. Limit[1/x,x 0,Direction 1] Προσεγγίζοντας το όριο από δεξιά η συνάρτηση τείνει στο. Limit[1/x,x 0,Direction 1]

88 Ορια και συνέχεια 75 50 25-1 -0.5 0.5 1-25 -50-75 -100 Σχήµα 3.12. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 1/x. 3.7.4 Αριθµητική προσέγγιση του ορίου Η ενσωµατωµένη εντολή Limit υπολογίζει τα όρια χρησιµοποιώντας συµ- ϐολικές και αναλυτικές µεθόδους. Υπάρχουν όµως και δύσκολα όρια, τα οποία δεν µπορούν να υπολογιστούν µ αυτή την εντολή. Σ αυτή την περίπτωση µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την εντολή NLimit, η οποία προσεγγίζει αριθµητικά το όριο. NLimit[expr,x x 0 ] Η εντολή NLimit περιέχεται στη ϐιβλιοθήκη του Mathematica, "NumericalMath". Πρέπει λοιπόν πρώτα να ϕορτώσουµε τη ϐιβλιοθήκη και στη συνέχεια να χρησιµοποιήσουµε την εντολή. << NumericalMath NLimit Εστω η συνάρτηση x 5 e x.το όριο της στο δεν µπορεί να υπολογιστεί µε την εντολή Limit. Limit[x 5 Exp[ x],x ] Limit[x 5 Exp[ x],x ] Η εντολή NLimit προσεγγίζει αριθµητικά το όριο. NLimit[x 5 Exp[ x],x ] 4.44089 10 16

3.7 Ορια και συνέχεια µε το Mathematica 89 3.7.5 Ορια συναρτήσεων δύο µεταβλητών Οι εντολές Limit και NLimit προσδιορίζουν το όριο συνάρτησης µιας µεταβλητής, αλλά δεν υποστηρίζουν συναρτήσεις περισσοτέρων µεταβλητών. Μπορούµε ϐέβαια να χρησιµοποιήσουµε την εντολή Limit για τον υπολογισµό των διαδοχικών ορίων της συνάρτησης f(x,y). Limit[Limit[f[x,y],x x 0 ],y y 0 ] Limit[Limit[f[x,y],y y 0 ],x x 0 ] Παράδειγµα 3.1 Εστω η συνάρτηση sin(x)+sin(y) tan(2x)+sin(y). Εξετάζουµε τα διαδοχικά όρια της συνάρτησης στο σηµείο (0,0). Clear[f,k 1,k 2 ] f[x_,y_] := (Sin[x] +Sin[y])/(Tan[2 x] +Sin[y]); k 1 = Limit[Limit[f[x,y],x 0],y 0] 1 k 2 = Limit[Limit[f[x,y],y 0],x 0] 1 2 Επειδή τα διαδοχικά όρια δεν είναι ίσα (k 1 k 2,) η συνάρτηση f(x,y) δεν έχει όριο στο σηµείο (0,0). Στο ίδιο συµπέρασµα ϑα καταλήξουµε αν µελετήσουµε τη συνάρτηση µε γραφική µέθοδο και πίνακα τιµών κοντά στο σηµείο (0,0). 3.7.6 Προσέγγιση ορίου συνάρτησης δύο µεταβλητών µε γραφική µέθοδο και πίνακα τιµών Για τις συναρτήσεις δύο µεταβλητών µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε δύο είδη γραφηµάτων. Οπως έχουµε ήδη αναφέρει, η σχεδίαση των ισοσταθµικών καµπυλών της συνάρτησης κοντά στο επίµαχο σηµείο δείχνει τη συµπεριφορά της στην περιοχή που µας ενδιαφέρει και κα- ϑορίζει την ύπαρξη ή µη του ορίου της.

90 Ορια και συνέχεια 0.4 2-0.4 0 0.2 0.4-1 01-0.2 00.20.4-0.2-0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.4-0.2 0 0.20.4 Σχήµα 3.13. Η γραφική παράσταση και οι ισοσταθµικές καµπύλες της συνάρτησης f(x, y) = (sin(x) + sin(y))/(tan(2x) + sin(y)). Ας δείξουµε ότι, δεν υπάρχει το όριο της συνάρτησης (0,0). Clear[f] f[x_,y_] := x y/(x 2 +y 2) xy x 2 +y 2 στο σηµείο p = Plot3D[f[x,y], {x, 2,2}, {y, 2,2},PlotPoints 30, DisplayFunction Identity]; c = ContourPlot[f[x,y], {x, 2,2}, {y, 2,2},PlotPoints 60, ContourShading False, DisplayFunction Identity]; Show[GraphicsArray[{p, c}]] 0.4 0.5 0.25-0.25-0.4 0 0.2 0.4-0.5 0-0.2 00.20.4-0.2-0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.4-0.2 0 0.20.4 Σχήµα 3.14. Η γραφική παράσταση και οι ισοσταθµικές καµπύλες της συνάρτησης f(x, y) = xy x 2 +y 2. Από τα διαγράµµατα ϕαίνεται ότι η συνάρτηση δεν συµπεριφέρεται οµαλά κοντά στο (0,0). Άλλες ενδείξεις για την τιµή του ορίου της συνάρτησης στο (0,0) µπορούµε να πάρουµε υπολογίζοντας την τιµή της f για τιµές

3.7 Ορια και συνέχεια µε το Mathematica 91 των x, y κοντά στο 0. Ορίζουµε έναν πίνακα δέκα τυχαίων πραγµατικών τιµών για τις δύο µεταβλητές. Οι πρώτες τιµές είναι ανάµεσα στο -0.1 και 0.1, οι δεύτερες µεταξύ -0.01 και 0.01 κ.τ.λ. pinak = Table[Random[Real, { 10 n, 10 n}], {n, 1, 10}, {2}] {{0.0243009, 0.0362441 }, { 0.00692739, 0.00427053 }, { 0.000516893,0.000551842 }, {0.0000215508,0.0000991516 }, { 5.31846 10 6, 4.87836 10 6 }, {7.4282 10 7, 5.98733 10 7 }, { 3.5441 10 8,2.1357 10 8 }, { 2.68296 10 9, 8.40101 10 9 }, { 9.70293 10 10, 2.68335 10 10 }, { 2.32875 10 12, 5.95364 10 11 }} Ορίζουµε µία νέα συνάρτηση g, η οποία έχει ορίσµατα τις τιµές των x και y και επιστρέφει µια λίστα τιµών για τα x, y, f[x,y], σε διατεταγµένη σειρά. g[{x_,y_}] = {x,y,f[x,y]}; Στον πίνακα που ακολουθεί ϕαίνονται οι τιµές των x και y καθώς και οι αντίστοιχες της συνάρτησης f. Η πρώτη στήλη αντιστοιχεί στο x, η δεύτερη στο y και η τρίτη στη συνάρτηση f(x,y). times = Map[g, pinak]; TableForm[times] 0.0243009 0.0362441 0.462546 0.00692739 0.00427053 0.446706 0.000516893 0.000551842 0.498932 0.0000215508 0.0000991516 0.207547 5.31846 10 6 4.87836 10 6 0.498141 7.4282 10 7 5.98733 10 7 0.488596 3.5441 10 8 2.1357 10 8 0.442074 2.68296 10 9 8.40101 10 9 0.289804 9.70293 10 10 2.68335 10 10 0.256903 2.32875 10 12 5.95364 10 11 0.0390549 Από τον πίνακα των τιµών είναι ϕανερό το όριο της συνάρτησης f στο σηµείο (0,0) δεν υπάρχει, αφού οι τιµές της τρίτης στήλης δεν προσεγγί- Ϲουν κάποιο συγκεκριµένο αριθµό. Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε και µε την εξέταση του Σχήµατος 3.14.

92 Ορια και συνέχεια 3.7.7 Λυµένες Ασκήσεις µε το Mathematica 1. Εστω η συνάρτηση f(x,y) = x 2 y 2 x 2 y 2 + (x y) 2. Να υπολογιστεί το όριο, αν υπάρχει, στην αρχή των αξόνων. Υπάρχουν τα διαδοχικά όρια; Clear[f] f[x_,y_] := x 2 y 2/(x 2 y 2 + (x y) 2). Αν ακολουθήσουµε το δρόµο y = x f[x,y]/.y x 1 Ενώ για y = x f[x,y]/.y x x 4 4x 2 + x 4 Limit[%,x 0] 0 Οι διαφορετικοί δρόµοι προσέγγισης δίνουν διαφορετικό αποτέλεσ- µα και το όριο της συνάρτησης στο σηµείο (0,0) δεν υπάρχει. Τα διαδοχικά όρια όµως υπάρχουν και είναι ισα. Limit[Limit[f[x,y],x 0],y 0] == Limit[Limit[f[x,y],y 0],x 0] == 0 True

3.7 Ορια και συνέχεια µε το Mathematica 93 0.4 0.75 1 0.5 0.25-0.4 0 0.2 0.4 0-0.2 00.20.4-0.2-0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.4-0.2 0 0.20.4 Σχήµα 3.15. Η γραφική παράσταση και οι ισοσταθµικές καµπύλες της συνάρτησης f(x, y) = x 2 y 2 x 2 y 2 +(x y) 2. 2. Να µελετηθεί αν η συνάρτηση f(x,y) = 2x5 +2y 3 (2x 2 y 2 ) (x 2 +y 2 ) 2 προσεγγίζει κάποιο όριο, όταν το (x, y) προσεγγίζει το (0, 0). Clear[f, x, y] f[x_,y_] := (2 x 5 +2 y 3(2 x 2 y 2))/(x 2 +y 2) 2 Τα διαδοχικά όρια υπάρχουν και είναι ίσα. Limit[Limit[f[x,y],x 0],y 0] == Limit[Limit[f[x,y],y 0],x 0] == 0 True Μετασχηµατίζουµε τις καρτεσιανές σε πολικές συντεταγµένες. Clear[h, r, thita] x = r Cos[thita]; y = r Sin[thita]; h[r_] = Simplify[f[x, y]] 2r(Cos[thita] 5 + 2Cos[thita] 2 Sin[thita] 3 Sin[thita] 5 ) h[r]/. r 0 0 Το όριο της συνάρτησης στην αρχή των αξόνων είναι το µηδέν.

94 Ορια και συνέχεια 0.4 0.5 1-0.5 0-0.4 0 0.2 0.4-1 -0.2 00.20.4-0.2-0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.4-0.2 0 0.20.4 Σχήµα 3.16. Η γραφική παράσταση και οι ισοσταθµικές καµπύλες της συνάρτησης f(x, y) = 2x5 +2y 3 (2x 2 y 2 ) (x 2 +y 2 ) 2. 3. Να εξεταστεί το όριο της συνάρτησης f(x,y) = x2 y x 4 +y 2 στην αρχή των αξόνων. Clear[f] f[x_,y_] := x 2 y/(x 4 +y 2) f[x,y]/. y m x 2 mx 4 x 4 + m 2 x 4 Simplify[%] m 1 + m 2 Το όριο της συνάρτησης στην αρχή των αξόνων δεν υπάρχει, επειδή εξαρτάται από το m. 4. Να εξεταστεί η συνέχεια της συνάρτησης 1+x y x 2 +y 2 όταν x 2 + y 2 > 0 f(x,y) = 1 όταν x = y = 0 στο σηµείο (0,0). Clear[f, g]

3.7 Ορια και συνέχεια µε το Mathematica 95 0.4 0.5 0.25-0.25-0.4 0 0.2 0.4-0.5 0-0.2 00.20.4-0.2-0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.4-0.2 0 0.20.4 Σχήµα 3.17. Η γραφική παράσταση και οι ισοσταθµικές καµπύλες της συνάρτησης f(x, y) = x2 y x 4 +y 2. 0.4 30 20 10 0 0.2 0.4 0-0.4-0.2 00.20.4-0.2-0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.4-0.2 0 0.20.4 Σχήµα 3.18. Η γραφική παράσταση και οι ισοσταθµικές καµπύλες της συνάρτησης της άσκησης 4. Επειδή η συνάρτηση f έχει δύο κλάδους, η γραφή της µε το M athematica γίνεται µε δύο τρόπους. Εδώ παραθέτουµε και τους δύο, αλλά συνήθως χρησιµοποιούµε το δεύτερο. ή f[x_,y_] := (1 +x y)/(x 2 +y 2)/; x 2 +y 2 > 0 f[x_,y_] := 1/; x = y = 0 f[x_,y_] := If[x 2 +y 2 > 0, (1 +x y)/(x 2 +y 2), 1] Ορίζουµε επίσης τη συνάρτηση g η οποία είναι ουσιαστικά ο κύριος κλάδος της f και την οποία χρησιµοποιούµε για τον προσδιορισµό του ορίου της f. g[x_,y_] := (1 +x y)/(x 2 +y 2) Βρίσκουµε τα διαδοχικά όρια, τα οποία είναι ίσα.

96 Ορια και συνέχεια Limit[Limit[g[x,y],x 0],y 0] == Limit[Limit[g[x,y],y 0],x 0] == True Επειδή η συνάρτηση f έχει όριο στο (0,0) το, σηµαίνει οτι η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στην αρχή των αξόνων. f[0,0] = 1 True 5. Να ϐρεθεί το όριο (αν υπάρχει) της συνάρτησης f(x,y) = στην αρχή των αξόνων. Clear[f] x 4 + y 4 (x + y) 4 + x 3 y 5 f[x_,y_] := (x 4 +y 4)/((x +y) 4 +x 3 y 5) f[x,y]/.y m x x 4 + m 4 x 4 m 5 x 8 + (x + mx) 4 FullSimplify[%] 1 + m 4 (1 + m) 4 + m 5 x 4 %/.x 0 1 + m 4 (1 + m) 4 6. Να ϐρεθεί το όριο lim (x,y,z) (0,0,0) xy 2 z 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 Clear[f,x,y,z,r,phi,thita,h]

3.7 Ορια και συνέχεια µε το Mathematica 97 0.4 20 10-0.4 0 0.2 0.4-10 0-0.2 00.20.4-0.2-0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.4-0.2 0 0.20.4 Σχήµα 3.19. Η γραφική παράσταση και οι ισοσταθµικές καµπύλες της συνάρτησης f(x, y) = x 4 +y 4 (x+y) 4 +x 3 y 5. f[x_,y_,z_] := x y 2 z 2/(x 2 +y 2 +z 2) 2 << Calculus VectorAnalysis CoordinatesToCartesian[{r, phi, thita}, Spherical] {rcos[thita]sin[phi], rsin[phi]sin[thita], rcos[phi]} x = r Cos[thita] Sin[phi]; y = r Sin[phi] Sin[thita]; z = r Cos[phi]; h[r_] = Simplify[f[x, y, z]] rcos[phi] 2 Cos[thita]Sin[phi] 3 Sin[thita] 2 h[r]/.r 0 0 3.7.8 Ευρετήριο νέων αντικειµένων Εντολές. Limit NLimit Υπολογίζει το όριο µιας συνάρτησης µιας µεταβλητής. Προσεγγίζει αριθµητικά το όριο µιας συνάρτησης µιας µεταβλητής Επιλογές. Direction ηλώνει κατεύθυνση προσδιορισµού του ορίου.

98 Ορια και συνέχεια Πακέτα. NumericalMath NLimit Απαραίτητη για την εντολή NLimit.

4. ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων Μερικές ϕορές η αλήθεια µπαίνει στην ιστορία ιππεύοντας το λάθος Reinhold Niebuhr ώσε µου ένα παραγωγικό λάθος, γεµάτο καρπούς, µε αναλαµπές από πιθανές διορθώσεις, και εσείς κρατήστε τις αποστειρωµένες αλήθειες για τους εαυτούς σας. Vilfredo Pareto 4.1 Ορισµοί και ιδιότητες των µερικών παραγώγων Εάν η συνάρτηση f(x,y) είναι ορισµένη στον τόπο D του R 2 και το σηµείο M 0 (x 0,y 0 ) ανήκει στο D, τότε αν η µεταβλητή y πάρει τη τιµή y 0 =σταθερά, η συνάρτηση f(x,y) ϑα µετατραπεί σε συνάρτηση µιας µεταβλητής f(x,y 0 ). Στη περίπτωση αυτή µπορούµε να ορίσουµε τη µερική µεταβολή της συνάρτησης f(x,y), ως προς x, x f = f(x 0 + x,y 0 ) f(x 0,y 0 ) που αντιστοιχεί στη µεταβολή x της µεταβλητής x στην περιοχή π(m 0,δ), όπου δ > 0. Στις συναρτήσεις πολλών µεταβλητών υπάρχουν πολλές διευθύνσεις για να υπολογισθεί η παράγωγος µιας συνάρτησης, αντίθετα από τη µία µεταβλητή που η διεύθυνση της παραγώγου είναι απόλυτα καθορισµένη. Η µερική παράγωγος συνάρτησης f(x, y) ως προς τη κατευθυνση του άξονα Ox στο σηµείο M 0 ορίζεται το όριο του πηλίκου ( x f/ x), όταν το x 0 και συµβολίζεται µε ( f/ x), δηλαδή ( f x ) M 0 = lim x 0 x f x.

100 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων Η µερική παράγωγος ( f/ x) M0 υπολογίζεται από την παράγωγο της f ως προς x κρατώντας το y σταθερό. Αντιστοιχα, η µερική παράγωγος της f(x,y) ως προς τη κατεύθυνση του άξονα Oy είναι ( f y ) M 0 = lim y 0 y f y. Χρησιµοποιούµε διάφορους τρόπους για να συµβολίσουµε τη µερική παράγωγο της συνάρτησης f ως προς x, π.χ. f x ή x f. Είναι σηµαντικό να προσέξουµε ότι, η µερική παράγωγος αποτελεί συµ- ϐολισµό και δεν είναι ισοδύναµη µε το κλάσµα δύο µεταβολών, όπως η παράγωγος df/dx στις συναρτήσεις µιας µεταβλητής. Η γεωµετρική ερµηνεία της µερικής παραγώγου είναι η ακόλουθη: Αν ονοµάσουµε C 1 την καµπύλη f(x,y 0 ) που προκύπτει από τη τοµή της επιφάνειας που ορίζουν τα σηµεία της f(x,y) µε το επίπεδο y = y 0 (ϐλέπε το παράδειγµα του Σχήµατος 4.1), τότε η µερική παράγωγος ισούται µε τη κλίση που σχηµατίζει η εφαπτοµένη της καµπύλης στο σηµείο M(x 0,y 0 ) µε το επίπεδο Oxy. Για παράδειγµα, η µερική παράγωγος της f(x,y) = 4 x 2 2y 2 ως προς x και y στο σηµείο (1,1) µπορεί να αναλυθεί ως εξήσ: z 2 2 z=4-x -2y C y=1 1 (1,1,1) (1,1) y x 2 Σχήµα 4.1. Η γραφική παράσταση της παραγώγου ( f/ x) (1,1). Η τοµή της επιφάνειας z(x,y) = 4 x 2 y 2 µε το επίπεδο y = 1 είναι η καµπύλη C 1 (z(x,1) = 2 x 2 ). Η εφαπτοµένη στο σηµείο (1,1) της καµπύλης C 1 σχηµατίζει γωνία ϕ µε την προβολή της επιφάνειας y = 1 στο επίπεδο (xy). Οι µερικές παράγωγοι ως προς x και y αντίστοιχα είναι:

4.1 Ορισµοί και ιδιότητες των µερικών παραγώγων 101 ( ) f = ( 2x) 1,1 = 2, x 1,1 ( ) f = ( 4y) 1,1 = 4. y 1,1 Παράδειγµα 4.1: Εάν u = x 2 y + e xy3 να υπολογίσετε τις µερικές παραγώγους ( u/ x), και ( u/ y). Απάντηση: ( ) u = 2xy y 3 e xy3 x ( ) u = x 2 3xy 2 e xy3 y Αν η συνάρτηση που προκύπτει από τη µερική παράγωγο της f είναι ορισµένη στο D και έχει συνεχείς παραγώγους στην περιοχή π(m 0,δ) του D, τότε µπορούµε να ορίσουµε και να υπολογίσουµε παραγώγους ανώτερης τάξης στην περιοχή του σηµείου M 0, π.χ. ή ( 2 f x 2 ) M 0 = x ( 2 ) f = x y M 0 x ( f x ) M 0, ( ) f y M 0 ( 2 f y 2 ) M 0 = y ( ) f y M 0 κ.ο.κ. Οµως µε την εισαγωγή των παραγώγων ανώτερης τάξης τίθεται το εξής ερώτηµα: Πότε είναι ισοδύναµες οι εκφράσεις Φ 1 = 2 f x y και Φ 2 = 2 f y x ; Στο ερώτηµα αυτό απαντά το ακόλουθο ϑεώρηµα, το οποίο είναι γνωστό ως ϑεώρηµα του Schwarz. ΘΕΩΡΗΜΑ 4.1: Αν υπάρχουν οι παράγωγοι ( f/ x),( f/ y) και η ( 2 f/ x y) και είναι συνεχείς σε µια περιοχή του M 0, τότε υπάρχει και ( 2 f/ y x) και µάλιστα ισχύει: 2 f(x 0,y 0 ) x y = 2 f(x 0,y 0 ) y x

102 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων Απόδειξη: Το ϑεώρηµα της µέσης τιµής είναι ήδη γνωστό από τη µελέτη των συναρτήσεων µιας µεταβλητής. Θα το επαναλάβουµε εδώ και ϑα το χρησιµοποιήσουµε στη συνέχεια για την απόδειξή µας. Εάν µια συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα x και παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα x, τότε f(x + x) f(x) = xf (x + θ x) όπου 0 < θ < 1. Εστω M(x 0,y 0 ) ένα σηµείο του D στο οποίο υπάρχουν και είναι συνεχείς οι µικτές παράγωγοι f xy και f yx της συνάρτησης f. Σχηµατίζουµε την ποσότητα A = f(x 0 + x,y 0 + y) f(x 0,y 0 + y) f(x 0 + x,y 0 ) + f(x 0,y 0 ) που είναι συνάρτηση των µεταβολών x και y των x και y. Αν ορίσουµε τις συναρτήσεις F(x,y) = f(x + x,y) f(x,y) Φ(x,y) = f(x,y + y) f(x,y) (4.1) τότε η σχέση Α γράφεται A = F(x 0,y 0 + y) F(x 0,y 0 ) = Φ(x 0 + x,y 0 ) Φ(x 0,y 0 ). Εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα µέσης τιµής για συναρτήσεις µιας µεταβλητής στη σχέση αυτή προκύπτει A = F y (x 0,y 0 + θ 1 y) y = Φ x (x 0 + θ 2 x,y 0 ) x, 0 < θ 1,θ 2 < 1 (4.2) Λόγω όµως των (4.1), η (4.2) γίνεται A = [f y (x 0 + x,y 0 + θ 1 y) f y (x 0,y 0 + θ 1 y)] y = [f x (x 0 + θ 2 x,y 0 + y) f x (x 0 + θ 2 x,y 0 )] x Εφαρµόζοντας εκ νέου το ϑεώρηµα της µέσης τιµής στη σχέση αυτή προκύπτει

4.1 Ορισµοί και ιδιότητες των µερικών παραγώγων 103 Συνεπώς A = x yf xy (x 0 + θ 3 x,y 0 + θ 1 y) = x yf yx (x 0 + θ 2 x,y 0 + θ 4 y), 0 < θ 1,θ 2,θ 3,θ 4 < 1. f xy (x 0 + θ 3 x,y 0 + θ 1 y) = f yx (x 0 + θ 2 x,y 0 + θ 4 y). (4.3) Εφόσον όµως οι f xy και f yx είναι συνεχείς στο σηµείο M 0 (x 0,y 0 ) έπεται ότι f xy (x 0 + θ 3 x,y 0 + θ 1 y) = f xy (x 0,y 0 ) + O 1 ( x, y) f yx (x 0 + θ 2 x,y 0 + θ 4 y) = f yx (x 0,y 0 ) + O 2 ( x, y) όπου O 1 και O 2 είναι απειροστές συναρτήσεις των x και y. Εποµένως όταν ( x, y) (0,0), O 1 0,O 2 0 οπότε λόγω της (4.3) έπεται ότι f xy (x 0,y 0 ) = f yx (x 0,y 0 ), (4.4) σχέση που αποδεικνύει το ϑεώρηµα. Η συνάρτηση f(x,y) έχει δύο µερικές παραγώγους f x και f y, ενώ η παράγωγος δεύτερης τάξης της f(x, y) έχει τέσσερις παραγώγους f xx,f xy,f yy,f yx και γενικότερα η παράγωγος n-τάξης έχει 2n παραγώγους. Παράδειγµα 4.2: Υπολογίστε τις παραγώγους ( f/ x),( f/ y) και ( f/ z) αν f(x,y,z) = e xy ln z. Απόδειξη: Εάν κρατήσουµε τα y και z σταθερά και παραγωγίσουµε ως προς x, έχουµε ( ) f = ye xy ln z. x Οµοια ( f/ y) = xe xy ln z και ( f/ z) = e xy /z Παράδειγµα 4.3: είξτε ότι η συνάρτηση f(x,y) = x 3 3xy 2 επαληθεύει την εξίσωση 2 f x 2 + 2 f y 2 = 0 (4.5)

104 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων Η εξίσωση (4.5) λέγεται εξίσωση Laplace, ενώ οι συναρτήσεις που επαληθεύουν την εξίσωση του Laplace ονοµάζονται αρµονικές συναρτήσεις. Απόδειξη: Υπολογίζουµε πρώτα τη µερική παράγωγο πρώτης τάξης ως προς x ( f/ x) = 3x 2 3y 2 και στη συνέχεια την παράγωγο ( 2 f/ x 2 ) = 6x, όµοια ( 2 f/ y 2 ) = 6x, άρα η εξίσωση Laplace επαληθεύεται. Παράδειγµα 4.4: είξτε οτι η συνάρτηση y = sin(x at)+cos(x+at) λύση της εξίσωσης του κύµατος 2 y t 2 = a2 2 y x 2. Απόδειξη: Η παράγωγος πρώτης τάξης ως προς x είναι: y = cos(x at) sin(x + at) x και της δευτερης τάξης είναι: 2 y = sin(x at) cos(x + at). x2 Η παράγωγος δεύτερης τάξης ως προς το χρόνο είναι: 2 y t 2 = a2 [ sin(x at) + cos(x + at)]. Αντικαθιστώντας τις παραγώγους αυτές στην εξίσωση του κύµατος ϐλέπουµε ότι την επαληθεύουν. 4.2 Συνέχεια και ύπαρξη της µερικής παραγώγου Στις συναρτήσεις µιας µεταβλητής, η ύπαρξη της παραγώγου σε έ- να σηµείο συνεπάγεται ταυτόχρονα και τη συνέχεια της συνάρτησης στο σηµείο αυτό. Στις συναρτήσεις πολλών µεταβλητών όµως δεν ισχύει το ίδιο, δηλαδή, η ύπαρξη της µερικής παραγώγου σε ένα σηµείο δεν σηµαίνει ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο ίδιο σηµείο. Για παράδειγµα, η συνάρτηση u(x,y) = 2xy/(x 2 + y 2 ) µε u(0,0) = 0, έχει µερικές παραγώγους παντού, αλλά η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στην αρχή των αξόνων. Εχουµε ήδη αναφερθεί στη γεωµετρική ερµηνεία

4.3 ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 105 της µερικής παραγώγου. ιαπιστώσαµε ότι η µερική παράγωγος περιορίζει τη µελέτη της συνάρτησης σε συγκεκριµένες κατευθύνσεις και δεν µας δίνει πληροφορίες για τις άλλες διευθύνσεις. Το ακόλουθο ϑεωρηµα αποδεικνύει ότι, αν οι µερικές παραγωγοί της συνάρτησης f(x, y) είναι ϕραγµένες στο πεδίο ορισµού της, τότε η συνάρτηση είναι συνεχής. ΘΕΩΡΗΜΑ 4.2: Εάν η συνάρτηση f(x,y) έχει µερικές παραγώγους f x και f y στο ανοικτό σύνολο D R 2, και οι παράγωγοι ικανοποιούν παντού τις ανισότητες f x (x,y) < M και f y (x,y) < M, όπου M είναι ανεξάρτητο από το x και y, τότε η f(x,y) είναι συνεχής παντού στο D. Απόδειξη: Θεωρούµε δύο γειτονικά σηµεία του D µε συντεταγµένες (x,y) και (x + h,y + k), Υποθέτουµε ακόµα ότι, οι ευθείες που ενώνουν τα παραπάνω σηµεία µε το σηµείο (x+h,y) ανήκουν επίσης στο D. Τότε έχουµε, f(x + h,y + k) f(x,y) = [f(x + h,y + k) f(x + h,y)] + [f(x + h,k) f(x,y)] και σύµφωνα µε το ϑεώρηµα της µέσης τιµής ισούται µε f(x + h,y + k) f(x,y) = kf y (x + h,y + θ 1 k) Με ϐάση την αρχική µας υπόθεση + hf x (x + θ 2 h,y). f(x + h,y + k) f(x,y) ( k + h )M. Συµπεραίνουµε ότι επειδή το δεξί µέλος µπορεί να γίνει οσοδήποτε µικρό άρα η f(x,y) ϑα είναι συνεχής. Είναι επίσης σηµαντικό να επισηµάνουµε ότι εάν µια συνάρτηση f(x, y) έχει στο σηµείο M 0 (x 0,y 0 ) συνεχείς παραγώγους πρώτης τάξης, τότε και η συνάρτηση είναι συνεχής στο σηµείο M 0. 4.3 ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Η ύπαρξη της παραγώγου στις συναρτήσεις µιας µεταβλητής y = f(x) συνδέεται µε την δυνατότητα να προσεγγίσουµε τη συνάρτηση f(x)

106 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων γραµµικά στη γειτονιά του σηµείου x 0. Για το λόγο αυτό η γραφική αναπαράσταση της παραγώγου είναι η εφαπτοµένη της καµπύλης f(x) στο σηµείο x 0. Από τον ορισµό γνωρίζουµε ότι η συνάρτηση f(x) έχει παράγωγο στο σηµείο x 0, αν το όριο f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = A h 0 h υπάρχει και η τιµή του Α είναι η παράγωγος της f(x) στο σηµείο x 0. Η µεταβολή της f στο σηµείο x 0 είναι f = f(x 0 + h) f(x 0 ) = Ah+ǫh, όπου το Α δεν εξαρτάται από το ǫ και lim ǫ = 0. Αν υποθέσουµε ότι h 0 x + h = ξ, τότε µπορούµε να προσεγγίσουµε την f(ξ) µε µια γραµµική συνάρτηση φ(ξ) = f(x 0 ) + (ξ x 0 )A + O(ξ x 0 ) και µε ένα σφάλµα ανώτερης τάξης ως προς το (ξ x 0 ), 1 άρα f(ξ) φ(ξ) = ǫ(ξ x 0 ) = O(ξ x 0 ). Η γραφική παράσταση της γραµµικής συνάρτησης φ(ξ) = f(x 0 ) + f (x 0 )(ξ x 0 ), είναι η εφαπτοµένη ευθεία της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο x 0. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι, το διαφορικό της f στο σηµείο x 0, είναι το f = f (x 0 ) h = f x αν h = x, µε προσέγγιση πρώτης τάξεως ως προς το h. Οι έννοιες που παρουσιάσαµε µέχρι τώρα από τον ιαφορικό Λογισ- µό της µιας µεταβλητής, µπορούν να επεκταθούν εύκολα σε συναρτήσεις περισσοτέρων µεταβλητών. Θα λέµε ότι, η συνάρτηση f(x, y) είναι διαφορίσιµη στο σηµείο (x 0,y 0 ) εάν µπορεί να προσεγγιστεί από µια γραµµική συνάρτηση και να πάρει τη µορφή f(x 0 + h,y 0 + k) = Ah + Bk + C + ǫ h 2 + k 2 όπου τα A,B και C είναι ανεξάρτητα από το h και k και ǫ 0, όταν h,k 0. Με άλλα λόγια, η διαφορά µεταξύ της συνάρτησης f(x 0 + h,y 0 + k) στο σηµείο (x 0 + h,y 0 + k) και της γραµµικής συνάρτησης Ah + Bk + C, πρέπει να είναι της τάξεως O( h 2 + k 2 ). Εάν µία τέτοια ανάλυση της συνάρτησης f(x 0 +h,y 0 +k), είναι δυνατή, τότε µπορούµε να δείξουµε εύκολα ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σηµείο (x 0,y 0 ), και έχει µερικές παραγώγους ως προς το x και y. Επίσης ισχύουν οι σχέσεις A = f x (x 0,y 0 ), B = f y (x 0,y 0 ) και C = f(x 0,y 0 ). 1 Με τον όρο σφάλµα ανώτερης τάξης εννοούµε όλους τους όρους µε συντελεστή τον όρο (ξ x 0) n όταν το n 2

4.3 ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 107 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Εάν h,k 0 τότε f(x 0 +k,y 0 +h) = f(x 0,y 0 ). Άρα η f είναι συνεχής στο σηµείο (x 0,y 0 ). 2. Εάν ϑέσουµε k = 0 τότε f(x 0 + h,y 0 ) f(x 0,y 0 ) = A + ǫ, h όµοια υπολογίζουµε το B. Συµπεραίνουµε ότι αν το h 0 τότε ( ) f A = x και όµοια απ ( ) f B = y M 0 M 0 ΟΡΙΣΜΟΣ 4.1: Μια συνάρτηση f(x, y) λέµε ότι είναι διαφορίσιµη στο σηµείο M 0 (x 0,y 0 ) όταν f(m) T(M) lim = 0 M M 0 M M 0 όπου M(x,y) τυχόν σηµείο στην περιοχή του M 0 (x 0,y 0 ) και ( ) ( ) f f T(x,y) = f(x 0,y 0 ) + (x x 0 ) + (y y 0 ) x 0 y 0 ΘΕΩΡΗΜΑ 4.3: Αν οι µερικές παράγωγοι της f(x,y) ως προς x και y υπάρχουν και είναι συνεχείς στο σηµείο (x 0,y 0 ), τότε η συνάρτηση f(x,y) είναι διαφορίσιµη στο σηµείο (x 0,y 0 ). Απόδειξη: Ξεκινώντας από τον ορισµό του διαφορικού και µε τη χρήση του ϑεωρή- µατος της µέσης τιµής έχουµε: f = f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = [f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0 + h,y 0 )] + [f(x 0 + h,y 0 ) f(x 0,y 0 )] = hf x (x + θ 1 h,y + k) + kf y (x 0 + h,y 0 + θ 2 k)

108 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων όπου 0 < θ 1,θ 2 < 1. Επειδή οι f x,f y είναι συνεχείς ισχύουν και f x (x 0 + θ 1 h,y 0 + k) = f x (x 0,y 0 ) + ǫ 1 f y (x 0 + h,y 0 + θ 2 k) = f y (x 0,y 0 ) + ǫ 2, όπου ǫ 1,ǫ 2 0 όταν h,k 0. Τελικά, έχουµε f = hf x (x 0,y 0 ) + kf y (x 0,y 0 ) + ǫ 1 + ǫ 2 ή άν h = x και k = y, f = f f x + x y y + O( h 2 + k 2 ). Πολλές ϕορές χρειάζεται να αποδείξουµε ότι, µια συνάρτηση f(x, y) είναι διαφορίσιµη σε ένα συγκεκριµένο σηµείο M 0 του πεδίου ορισµού της. Η απόδειξη γίνεται εύκολα µε τη χρήση του παρακάτω κριτηρίου της διαφορισιµότητας. ΘΕΩΡΗΜΑ 4.4: Εαν η συνάρτηση f(x,y) δεν είναι συνεχής στο σηµείο M 0 (x 0,y 0 ) εντός του πεδίου ορισµού, δεν είναι και διαφορίσιµη. Επίσης αν µια συνάρτηση f(x, y) είναι διαφορίσιµη σε ένα σηµείο M(x 0,y 0 ) του πεδίου ορισµού της, τότε είναι συνεχής στο σηµείο αυτό. Από όσα είπαµε µέχρι τώρα µπορούµε να καταλήξουµε στο συµπέρασµα ότι, αν µία συνάρτηση f είναι διαφορίσιµη σε έναν τόπο D R 2 και οι µερικές της παράγωγοι είναι συνεχείς συναρτήσεις στον τόπο D, τότε η f είναι διαφορίσιµη συνάρτηση στον D. Το αντίστροφο όµως δεν ισχύει, επειδή, η διαφορισιµότητα µιας συνάρτησης µπορεί να εξασφαλίζει την ύπαρξη των µερικών της παραγώγων σε ένα σηµείο του πεδίου ορισµού τους, αλλά δεν εξασφαλίζει την συνέχεια τους. Αξίζει να µελετήσουµε το ακόλουθο παράδειγµα: Εστω η συνάρτηση f(x, y) = g(x) + g(y), όπου t 2 sin(1/t), αν t 0 g(t) = 0, αν t = 0 Η παράγωγος στο σηµείο t = 0 είναι g(t) g(0) t = t2 sin(1/t) t = t sin(1/t)

4.4 Ολικό διαφορικό 109 έτσι έχουµε f x (0,0) = f y (0,0) = 0, ενώ το lim t 0 g (t) δεν υπάρχει διότι δεν υπάρχει το όριο της sin(1/t)) όταν t 0. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι, οι µερικές παράγωγοι f x (x,y),f y (x,y) υπάρχουν όταν (x 0,y 0), αλλά δεν είναι συνεχείς στο σηµείο (0,0) Χρησιµοποιώντας τον Ορισµό 4.1 αποδεικνύεται ότι, για τη συνάρτηση f(x,y) = x 2 sin(1/x) + y 2 sin(1/y) το T(x,y) = 0 άρα f(x,y) T(x,y) x 2 + y 2 = x2 sin(1/x) + y 2 sin(1/y) x 2 + y 2 x2 + y 2 x 2 + y 2 = x 2 + y 2. Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι f(x,y) T(x,y) lim = 0, (x,y) (0,0) x 2 + y 2 πράγµα που σηµαίνει ότι, η συνάρτηση f(x, y) είναι διαφορίσιµη στο (0,0). 4.4 Ολικό διαφορικό Ορίζουµε ως ολικό διαφορικό ή ολική παράγωγο ή απλά διαφορικό µιάς συνάρτησης f(x,y), το γραµµικό µέρος του f, όταν το x και y τείνουν συγχρόνως στο µηδέν (και τα ǫ 1,ǫ 2 τείνουν επίσης στο µηδέν). Το ολικό διαφορικό της f συµβολίζεται µε df και ισχύει df = ( f x ) dx + ( f y ) dy. Άν γνωρίζουµε το ολικό διαφορικό µιας συνάρτησης µπορούµε να υπολογίσουµε της µερικές παραγώγους ορίζοντας το x = 1 και y = 0 ή το x = 0 και το y = 1. Θα δείξουµε (στο κεφάλαιο 6) ότι, η γεωµετρική ερµηνεία του ολικού διαφορικού είναι το εφαπτόµενο επίπεδο στην επιφάνεια f(x,y). Το ολικό διαφορικό µιας συνάρτησης f γράφεται και ( df = x dx + ) y dy f(x,y)

110 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων και η έκφραση d = x dx + y dy λέγεται διαφορικός τελεστής. Εάν f 1 και f 2 είναι δύο διαφορίσιµες συναρτήσεις δύο µεταβλητών (ή n-µεταβλητών) και c 1,c 2 σταθερές, τότε αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεισ: d(c 1 f 1 + c 2 f 2 ) = c 1 df 1 + c 2 df 2 d(f 1 f 2 ) = f 1 df 2 + f 2 df 1 d(f 1 /f 2 ) = f 2df 1 f 1 df 2 f 2 2 (όταν f 2 0) Το ολικό διαφορικό δεύτερης τάξης υπολογίζεται από τη σχέση ( ) f d 2 f f = d dx + x y dy = ( ) f f dx + x x y dy dx + ( ) f f dx + y x y dy dy = 2 f x 2 (dx)2 + 2 2 f x y dxdy + 2 f y 2 (dy)2. (4.6) Είναι ϕανερό από τη µορφή αυτής της σχέσης ότι, το διαφορικό δεύτερης τάξης µπορεί να παρασταθεί συµβολικά ως εξής ( ) f d 2 f 2 f = dx + x y dy και η ολική παράγωγος m-τάξης παριστάνεται ωσ: ( ) f d m f m f = dx + x y dy (4.7) Πρέπει να τονίσουµε ακόµα µια ϕορά ότι η σχέση (4.7) έχει συµβολικό χαρακτήρα και δεν είναι απλά το ανάπτυγµα µιας ταυτότητας. Είναι ενδιαφέρον πολλές ϕορές να ερευνήσουµε το αντίστροφο πρόβλη- µα: Αν µας δοθεί µία έκφραση της µορφής P(x,y)dx + Q(x,y)dy (4.8) υπάρχει συνάρτηση f που να είναι το ολικό της διαφορικό, δηλαδή να ισχύει

4.4 Ολικό διαφορικό 111 df = Pdx + Qdy, και αν ναι, πώς ϑα ϐρούµε την έκφρασή της; Μπορούµε να δείξουµε ότι το πρώτο σκέλος του ερωτήµατος µπορεί να απαντηθεί αµέσως αν οι παράγωγοι ( P/ y) και ( Q/ x) είναι συνεχείς στο πεδίο ορισµού τους. Εάν ακόµα P(x,y) y = Q(x,y) x (4.9) τότε πράγµατι υπάρχει f που να είναι το ολικό διαφορικό της έκφρασης (4.7) (προσπαθείστε να αποδείξετε τον ισχυρισµό). Ο υπολογισµός της συνάρτησης f γίνεται απλά από τη σχέση άρα f x = P f(x,y) = P(x,y)dx + R(y) (4.10) Παραγωγίζοντας τη σχέση (4.9) ως προς y έχουµε ( ) f y = P(x,y)dx + dr y dy = Q(x,y) και µε τον τρόπο αυτό υπολογίζουµε τη συνάρτηση R. Ενας άλλος τρόπος υπολογισµού της συνάρτησης f(x, y) από το ολικό διαφορικό είναι από τη σχέση f(x,y) = x a P(t,y)dt + y b Q(a, t)dt όπου a,b είναι τυχαία σηµεία στο πεδίο D που οι παράγωγοι P x και Q y είναι συνεχείς. Μπορούµε να γενικεύουµε τα παραπάνω για τρεις ή περισσότερες µεταβλητές. Παράδειγµα 4.5: Εξετάστε αν η συνάρτηση (xy + 1) dx x + (xy + 1)dy y είναι ολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης και αν ναι, καθορίστε τη συνάρτηση αυτή. Απάντηση: Θέτοντας P = (xy+1)/x και Q = (xy+1)/y παρατηρούµε ότι επαληθεύουν τη σχέση (4.9). Στη συνέχεια ολοκληρώνουµε την εξίσωση

112 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων f x = P και έχουµε f = xy + ln x + R(y). Παραγωγίζοντας την f ως προς y και εξισώνοντας µε το Q υπολογίζουµε την R = ln y +c (c=σταθερά). Η Ϲητούµενη συνάρτηση είναι η f(x,y) = xy + ln xy + c. 4.5 Εφαρµογές στον υπολογισµό σφάλµατος Μπορούµε να εφαρµόσουµε τα όσα µάθαµε για το διαφορικό στον υπολογισµό του σφάλµατος στη µέτρηση µιας ποσότητας. Για παράδειγµα, έστω ότι το ϐάρος ενός σώµατος είναι Β όταν ϐρίσκεται στον αέρα και B όταν αυτό ϐυθίζεται στο νερό. Η διαφορά B B είναι µέτρο του ϐάρους του υγρού που εκτόπισε κατά τη ϐύθιση, σύµφωνα µε την αρχή του Αρχιµήδη. Η πυκνότητα ρ του υγρού είναι ίση µε ρ = B/(B B), ο υπολογισµός του σφάλµατος στη µέτρηση της πυκνότητας είναι η µεταβολή της ρ(b, B) και ισούται µε dρ = ρ ρ db + d B, B B όπου db και d B είναι τα σφάλµατα στη µέτρηση των ϐαρών B και B. Οι µερικές παράγωγοι υπολογίζονται από τις σχέσεισ: ρ B = B (B B) 2 και από τις οποίες προκύπτει dρ = BdB + Bd B (B B). 2 ρ B = B (B B) 2 Είναι ϕανερό ότι, το λάθος στη µέτρηση του ρ είναι µεγαλύτερο, αν τα db και d B έχουν αντίθετα πρόσηµο. Παράδειγµα 4.6: (α) Εάν z = f(x,y) = x 2 + 3xy y 2, υπολογίστε το διαφορικό dz, (ϐ) Εάν η τιµή της µεταβλητής x µεταβάλλεται από 2 στο 2,05 και της y από 3 στο 2,69 υπολογίστε το διαφορικό dz και την ολική διαφορά z και συγκρίνετε τις τιµές τους. Απόδειξη: (α) Το διαφορικό υπολογίζεται από τη σχέση ( ) ( ) z z dz = dx + dy = (2x + 3y)dx + (3x 2y)dy. x y

4.6 Λυµένες ασκήσεις 113 Θέτοντας x = 2,y = 3 και x = dx = 0.05, ενώ y = dy = 0,04 υπολογίζουµε το dz = 0, 65, ενώ το ολικό διαφορικό ισούται µε z = f(2,05,2,96) f(2,3) = 0,6449. Άρα z dz, αλλά το dz είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογιστεί. Παράδειγµα 4.7: Χρησιµοποιώντας το διαφορικό υπολογίστε προσεγγιστικά την τιµή της σχέσης 9(1,95) 2 + (8,1) 2. Απόδειξη: Ορίζουµε τη συνάρτηση f(x,y) = 9x 2 + y 2 και επειδή 1,95 2 και 8.1 8 υπολογίζουµε την τιµή της συνάρτησης f(2,8) = 10. Στη συνέχεια υπολογίζουµε τις τιµές των παραγώγων στο σηµείο (2,8), δηλαδή και ( f/ x) (2,8) = 9x/ 9x 2 + y 2 = 18/10 = 1,8 ( f/ y) (2,8) = y/ 9x 2 + y 2 = 8/10 = 0,8 τότε f = (1,8)dx + (0,8)dy, αλλά dx = 0,05 και dy = 0,1. Άρα f = 0, 01. Η τιµή της συνάρτησης f(1.95,8.1) = f(2.8) + f = 10 0.01 = 9.99. Μπορείτε να ελέγξετε µε έναν υπολογιστή τσέπης την ακρίβεια αυτού του υπολογισµού και να σιγουρευτείτε ότι παρέχει µία πολύ καλή προσέγγιση. 4.6 Λυµένες ασκήσεις 4.1 είξτε ότι η συνάρτηση ψ(x,y,z,t) = sin(x + y + z c 3t) ικανοποιεί την εξίσωση κύµατος c 2 [ψ xx + ψ yy + ψ zz ] = ψ tt. Απόδειξη: Είναι Άρα ψ xx = ψ yy = ψ zz = sin[x + y + z c 3t] ψ tt = 3c 2 sin[x + y + z c 3t]. c 2 [ψ xx + ψ yy + ψ zz ] = ψ tt.

114 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων 4.2: είξτε ότι η συνάρτηση z = xy + xe y x επαληθεύει τη σχέση x z x + y z y = z + xy. Απόδειξη: Είναι Άρα z x = y + e y y x (1 x ), z y = x + e y x x z x + y z y = 2xy + xe y x x z x + y z y = z + xy 4.3 Αν δίνεται η συνάρτηση xy, (x,y) (0,0) x 2 +y 2 f(x,y) = 0, (x,y) = (0,0) αποδείξτε ότι, η f δεν είναι συνεχής στο (0,0), αλλά υπάρχουν οι παράγωγοι f x, f y στο σηµείο (0,0). Απόδειξη: Κατά µήκος της γραµµής x = cy,(c 0) η συνάρτηση f(x, y) παίρνει την τιµή, f(x,y) = cy 2 c 2 y 2 + y 2 = c c 2 + 1, όταν y 0. Ετσι, όταν το σηµείο (x,y) τείνει στο (0,0) κατά µήκος αυτής της γραµµής, η f(x,y) προσεγγίζει την τιµή c/(c 2 + 1). Επειδή αυτή η τιµή εξαρτάται από το c, η f(x,y) δεν τείνει σε ένα µοναδικό όριο καθώς το (x,y) τείνει στο (0,0) και γι αυτό δεν είναι συνεχής σ αυτό το σηµείο. Στις περιπτώσεις αυτές δεν είναι αξιόπιστο να παραγωγίζουµε την f σε ένα τυχαίο σηµείο και µετά να αντικαθιστούµε x = 0,y = 0. Χρησιµοποιούµε κατευθείαν τον ορισµό, f(0,0) x f(0,0) y f(h,0) f(0,0) 0 0 = lim = lim = 0 h 0 h h 0 h f(0,k) f(0,0) 0 0 = lim = lim = 0, k 0 k k 0 k άρα οι f x, f y υπάρχουν στο (0,0) και η καθεµία έχει την τιµή µηδέν. 4.4 Η εξίσωση του κύµατος σε σφαιρικές συντεταγµένες έχει τη µορφή

4.6 Λυµένες ασκήσεις 115 [ c 2 u ρρ + 2 ρ u ρ + 1 ( ρ 2 u φφ + cos φ sin φ u φ + 1 )] sin 2 φ u θθ = u tt. είξτε ότι η συνάρτηση u = sin(kρ ωt) ρ είναι λύση της εξίσωσης του κύµατος, όταν η συχνότητα ω και ο κυµατικός αριθµός k επαλη- ϑεύουν την εξίσωση ω 2 = c 2 k 2. Απόδειξη: Παραγωγίζουµε τη συνάρτηση u και έχουµε u φφ = u φ = u θθ = 0, u ρ = k ρ cos(kρ ωt) sin(kρ ωt) ρ 2 u ρρ = k2 ρ sin(kρ ωt) k ρ 2 cos(kρ ωt) k cos(kρ ωt) ρ2 + 2 sin(kρ ωt) ρ3 u tt = ω2 sin(kρ ωt). ρ Αντικαθιστούµε τις σχέσεις u ρ,u ρρ,u tt στην εξίσωση του κύµατος και ϐρίσκουµε [ c 2 k2 2k sin(kρ ωt) ρ ρ 2 cos(kρ ωt) + 2 ρ3sin(kρ ωt)+ 2k ρ 2 cos(kρ ωt) 2 ] ρ3sin(kρ ωt) = ω2 sin(kρ ωt) ρ ή c 2 k 2 = ω 2. 4.5 α) Αν f(x,y) = ln(e x + e y ) δείξτε ότι 2 f x 2 + 2 f y 2 + 2 2 f x y = 0. ϐ)αν z = xysin( y z z x ), δείξτε ότι x2 x + xy y = 2xz. Απόδειξη: α)

116 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων f x = ex e x + e y, f y = ey e x + e y, 2 f x 2 = ex (e x + e y ) e x e x (e x + e y ) 2 = 2 f y 2 = ey (e x + e y ) e y e y (e x + e y ) 2 = 2 f x y = (e x + e y ) 2. ex e y e x e y (e x + e y ) 2, e x e y (e x + e y ) 2, Με πρόσθεση των τριών τελευταίων σχέσεων προκύπτει το Ϲητούµενο. ϐ) Άρα z ( x = ysiny x + xy y ) x 2 cos y x = ysiny x y2 x cosy x, z y = xsiny x + xy 1 x cosy x = xsiny x + ycosy x. x 2 z x + xy z y = x2 ysin y x xy2 cos y x + x2 ysin y x + xy2 cos y x = 2x 2 ysin y x = 2xz 4.6: είξτε ότι για τη συνάρτηση xy(x 2 y 2 ), x 2 +y 2 όταν (x,y) (0,0) f(x,y) = 0, όταν (x,y) = (0,0) ισχύει f xy (0,0) f yx (0,0). Απόδειξη: Για (x, y) (0, 0) µπορούµε να υπολογίσουµε f x (x,y) = y(x4 + 4x 2 y 2 y 4 ) (x 2 + y 2 ) 2. (x,y) (0,0) Για το σηµείο (0,0) πρέπει να χρησιµοποιήσουµε τον ορισµό f(h,0) f(0,0) f x (0,0) = lim = 0 h 0 h

4.6 Λυµένες ασκήσεις 117 Οµοίως f x (0,k) f x (0,0) k 0 f xy (0,0) = lim = lim = 1 k 0 k k 0 k Με τον ίδιο τρόπο δείχνουµε ότι f yx (0,0) = 1. Άρα f xy (0,0) f yx (0,0). 4.7 Αν x = r cos θ, y = r sin θ ϐρείτε τις µερικές παραγώγους x Υπολογίστε τη σχέση ( ) ( ) x r. r x r, r x. Απόδειξη: Αν ϑεωρήσουµε τα r και θ ως ανεξάρτητες µεταβλητές και παραγωγίσουµε την εξίσωση x = r cos θ ως προς r (µε το θ σταθερό) έχουµε x r = cos θ. Επειδή r = x 2 + y 2 και θ = tan 1 ( y x) έχουµε: ( r x ) y = x x 2 + y 2 = x r = cos θ. Άρα το Ϲητούµενο γινόµενο ισούται µε ( )( ) x r = cos 2 θ r x που δεν είναι γενικά ίσο µε 1. Αυτό συµβαίνει, επειδή οι µερικές παράγωγοι δεν αντιπροσωπεύουν το πηλίκο δύο µικρών αριθµών όπως στη περίπτωση της µιας µεταβλητής. 4.8: είξτε ότι η συνάρτηση φ που ορίζεται από τη σχέση φ(x, y) = sin(nx)e ny (το n είναι ακέραιος) ικανοποιεί την εξίσωση Laplace φ xx + φ yy = 0. Απόδειξη: Ισχύουν φ x = n cos(nx)e ny, φ xx = n 2 sin(nx)e ny, ό- µοια, φ yy = n 2 sin(nx)e ny. Παρατηρείστε επίσης ότι κάθε άθροισµα της µορφής N sin(nx)e ny n=1 επαληθεύει την εξίσωση Laplace. 4.9: Για τη συνάρτηση

118 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων 2xy 2 x 2 +y, 4 αν (x,y) (0,0) f(x,y) = 0, αν (x,y) = (0,0) δείξτε ότι: (α) Η f δεν είναι συνεχής στο (0,0), αλλά είναι περατωµένη στο R 2. (ϐ) Οι παράγωγοι f x (0,0) και f y (0,0) υπάρχουν. (γ) Η f δεν είναι διαφορίσιµη στο (0,0). Απόδειξη: (α) Με την αντικατάσταση x = my 2, η αρχική συνάρτηση ϑα πάρει τη µορφή f(my 2,y) = 2m m + 1, το όριο της οποίας παίρνει διαφορετικές τιµές, όταν τα y και x τείνουν στο µηδέν µε διαφορετικές τιµές του m. Εποµένως, το όριο της f δεν υπάρχει και η συνάρτηση δεν είναι συνεχής. (ϐ) Ισχύουν όµως f(h,0) 0 f x (0,0) = lim = 0 h 0 h 0 f(0,h) 0 0 f y (0,0) = lim lim h 0 h 0 h 0 h = 0 Άρα οι Ϲητούµενες µερικές παράγωγοι υπάρχουν. (γ) είξαµε ότι, η f δεν είναι συνεχής στο (0,0), άρα δεν είναι και διαφορίσιµη στην αρχή των αξόνων. 4.10: είξτε ότι η συνάρτηση f(x 1,..,x n ) = (x 2 1 + x 2 2 +... + x2 n) 2 n 2 επαληθεύει την εξίσωση 2 f x 2 +... + 2 f 1 x 2 n = 0 Απόδειξη: Παραγωγίζοντας τη συνάρτηση f ως προς x 1 δύο ϕορές έ- χουµε 2 f x 2 1 = (2 n)(x 2 1 +... + x 2 n) n 2 n(n 2)x 2 1 (x 2 1 +... + x 2 n) n 2

4.6 Λυµένες ασκήσεις 119 συνεχίζοντας τις παραγωγίσεις και για τις άλλες µεταβλητές και προσθέτοντας τους όρους κατά µέλη καταλήγουµε στη Ϲητούµενη σχέση. 4.11: Να δειχτεί ότι η συνάρτηση G(x,y,z) = 1 x 2 + y 2 + z 2 είναι αρµονική, δηλαδή ότι ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση 2 G(x,y,z) x 2 + 2 G(x,y,z) y 2 + 2 G(x,y,z) z 2 = 0 Απόδειξη: Υπολογίζουµε χωριστά τις παραγώγους G xx = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 + 3x 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5 2 G yy = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 + 3y 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5 2 G zz = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 + 3z 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5 2 Αθροίζοντας τις παραπάνω σχέσεις ϐρίσκουµε ότι G xx + G yy + G zz = 0 και καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι η συνάρτηση G επαληθεύει την εξίσωση Laplace. 4.12: Χρησιµοποιείστε διαφορικά για να υπολογίσετε την τιµή 27 3 1021. Απόδειξη: Θεωρούµε τη συνάρτηση f(x,y) = x 1 2y 1 3. Γνωρίζουµε τα 25 = 5 και 3 1000 = 10 άρα f(25,1000) = 50. Αυτό που χρειαζόµαστε είναι µια εκτίµηση για την αύξηση της f(x,y) = x 1 2y 1 3 από το x = 25,y = 1000 στο x = 27,y = 1021. Το διαφορικό είναι df = 1 2 x 1 2 y 1 3 x + 1 3 x1 2 y 2 3 y Για x = 25,y = 1000, x = 2, y = 21, το df γίνεται df = 1 2 25 1 2 1000 1 3 2 + 1 3 251 2 1000 2 3 21 = 2.35 Η µεταβολή αυξάνει την τιµή της συνάρτησης περίπου κατά 2.35. Συνεπώς f(27,10210 f(25,1000) + f = 50 + 2.35 = 52.35.

120 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων 4.13 : Υπολογίστε την τιµή της παραµέτρου λ, ώστε η παράσταση (x+λy)dx + (λx+y)dy (x y) 3 (x y) 3 να είναι ολικό διαφορικό µιας συνάρτησης. Απόδειξη: Η παράσταση είναι της µορφής f 1 dx + f 2 dy. Για να είναι ολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης ϑα πρέπει f 1 y = f 2 x. Εποµένως ϑα είναι ( ) x + λy y (x y) 3 ή = ( ) λx + y x (x y) 3 λ(x y) 3 (x + λy)3(x y) 2 ( 1) (x y) 6 = λ(x y) 3 (λx + y)3(x y) 2 (x y) 6 x + λy = λx y λ(x + y) = (x + y) λ = 1. 4.14 : Εξετάστε αν οι ακόλουθες παραστάσεις είναι ολικά διαφορικά συναρτήσεων και αν ναι, υπολογίστε τις αντίστοιχες συναρτήσεις. (α) sin 1 y y x dx + 2 x 2 dy y Απόδειξη: (β) 2z(xdx + ydy) + (x 2 + y 2 )dz (γ) (y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz (α) x ( sin 1 y ) = y x 1 1 y2 x 2 1 x = 1 x x x 2 y 2 ( ) y 2 x 2 = 1 1 2x y y 2 y 2 x = x 2 y 1 y 2 x 2. Αφού οι δύο αυτές µερικές παράγωγοι είναι διάφορες µεταξύ τους, η παράσταση δεν είναι ολικό διαφορικό.

4.6 Λυµένες ασκήσεις 121 (ϐ) 2xzdx + 2yzdy + (x 2 + y 2 )dz = f 1 dx + f 2 dy + f 3 dz διαπιστώνουµε ότι ισχύουν οι σχέσεις f 1 y = f 2 x f 2 z = f 3 y f 3 x = f 1 z. Άρα η Ϲητούµενη συνάρτηση υπολογίζεται από την ολοκλήρωση x y f(x,y,z) = 2tzdt + 2tzdt + a b = x 2 z + y 2 z + c 1, z c (a 2 + b 2 )dt όπου c 1 σταθερά. (γ) Είναι εύκολο να δείξουµε οτι ισχύουν οι σχέσεις f 1 y = f 2 x f 2 z = f 3 y f 3 x = f 1 z Η Ϲητούµενη συνάρτηση προκύπτει από το ολοκλήρωµα x y z f(x,y,z) = (y + z)dt + (z + a)dt + (a + b)dt a b c = xy + yz + zx + c 1. 4.15: Να υπολογισθούν οι σταθερές α,β,c όταν οι επόµενες παραστάσεις είναι ολικά διαφορικά της συνάρτησης f και στη συνέχεια να υπολογίσετε τη συνάρτηση. (α) (2xy 2 + 3y cos ax)dx + (2x 2 y + sin 3x)dy

122 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων όπου (ϐ)(6xy αy 2 )dx + (2xe y βx 2 )dy (γ)(z 3 ay)dx + (by 2 3x)dy + cxz 2 dz Απόδειξη: (α) Αν η Ϲητούµενη συνάρτηση υπάρχει, τότε df = Pdx + Qdy P = f x, Q = f y. Για να είναι η δοθείσα έκφραση ολικό διαφορικό ϑα πρέπει (2xy 2 3y cos αx) y = 4xy + 3cos αx να είναι ίσο µε (2x 2 y + sin 3x) x = 4xy + 3cos 3x άρα για α = 3 υπάρχει η συνάρτηση f. Η Ϲητούµενη συνάρτηση είναι η f(x,y) = x 2 y 2 + y sin 3x + c (ϐ) Με ανάλογους υπολογισµούς προκύπετει ότι, η έκφραση δεν είναι ολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης f(x,y). (γ) Μετά από πράξεις συµπεραίνουµε ότι, για τις τιµές των σταθερών α = 3 και c = 3 η δεδοµένη έκφραση είναι ολικό διαφορικό και η Ϲητούµενη συνάρτηση είναι η fx,y) = z 3 x 3xy + b 3 y3 + c. 4.7 Ασκήσεις για λύση 4.1: Να ϐρεθούν οι παράγωγοι πρώτης τάξης των συναρτήσεων: i) f(x,y) = x2 y 2 x y, ii) f(x,y) = x y x+y 4.2: Να ϐρεθούν οι παράγωγοι πρώτης τάξης των συναρτήσεων :

4.7 Ασκήσεις για λύση 123 i) f(x,y) = x x 2 +y 2, ii) f(x,y) = (e x+2y y 2 ) 1 2 4.3 Να ϐρεθούν οι παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης των συναρτήσεων: (i)z = ln(x2 +y 2 ) 2, (ii)z = xsin(x + y) + y cos(x + y) (iii)z = x y, (iv)z = tan 1 [ y ] 1+x 2 4.4: Να ϐρεθούν οι παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης των συναρτήσεων: (i)u = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1 2, (ii)u = xyz (iii)u = e xyz, (iv)u = ln(x 2 + y 2 + z 2 ) 4.5: είξτε ότι η συνάρτηση F(x,y) = y 2 + xyln(xy) επαληθεύει την εξίσωση yf xy xf xx F x = 0. 4.6: είξτε ότι η συνάρτηση F(x,y) = xln(x2 +y 2 ) 2 tan 1 ( y επαληθεύει την εξίσωση Laplace F xx + F yy = ) x 0. 4.7: Να ϐρεθεί το διαφορικό πρώτης τάξης της συνάρτησης f = 3x 2 + xy 2 + y 4. 4.8: Να ϐρεθεί συνάρτηση z, η οποία επαληθεύει τη σχέση dz = (2xz) 1 dx + (2yz) 1 dy. 4.9: ίνεται η συνάρτηση z = x 2 y + e x sinx. Να ϐρεθεί το dz στο σηµείο x = 1, y = π 2. Ποια ϑα είναι η τιµή του dz όταν dx = π e, dy = e2 4.10: Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι ολικά διαφορικά. Γι αυτές που ϐρεθούν ότι πράγµατι είναι, υπολογίστε την αντίστοιχη συνάρτηση. (i)(x 2 y + y 2 + 2xy)dx + (x 3 + 2x 2 y + x 2 + 2xy)dy, (ii)sin 2xcos 2 ydx + sin 2 xsin 2ydy (iii)(y + 1/x)dx + (x + 1/y)dy, (iv)2xzdx + 2yzdy + (x 2 + y 2 )dz.

124 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων 4.11: Να ϐρεθεί το διαφορικό δεύτερης τάξης της συνάρτησης F(x,y) = ax 2 + 2bxy + xy 3 όπου a,b,c είναι σταθερές. 4.12: Να ϐρεθούν τα διαφορικά πρώτης και δεύτερης τάξης των συναρτήσεων: (i)f(x,y) = x 2 y 2 + 3y 4, (ii)f(x,y) = xy/(x + y) (iii)f(x,y) = ln(x 2 + y 2 + 1)/2, (iv)f(x,y) = y sin x + xsiny. 4.13: είξτε ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι η παράσταση F(x,y)dx+G(x,y)dy ολικό διαφορικό µιας συνάρτησης είναι να ισχύει η σχέση F y = G x. 4.14: Να δειχθεί ότι η συνάρτηση F(x,y) = xg( y x ) x2 y 2 επαληθεύει την εξίσωση: xf x + yf y = F x 2 y 2. 4.15: είξτε ότι η z = cos(x+y) είναι µια λύση της διαφορικής εξίσωσης z x z y = 0. Υπάρχει µια διαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους που ικανοποιείται από την z = cos(xy); 4.16: Να υπολογιστούν οι µερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης της συνάρτησης f(x,y) = x 3 y + e xy. 4.17: (α) είξτε ότι η συνάρτηση u(x,t) = e α2 k 2t sin(kx) είναι λύση της εξίσωσης u t = α 2 u xx. Ποιά είναι η ϕυσική σηµασία αυτής της εξίσωσης; (ϐ)εάν οι f και g είναι συνεχείς και έχουν παραγώγους συνεχείς, δείξτε ότι η συνάρτηση u(x,y) = f(x+at)+g(x at) είναι λύση της εξίσωσης u tt = α 2 u xx Ποιά είναι η ϕυσική σηµασία αυτής της εξίσωσης; 4.18: είξτε ότι η συνάρτηση z = xe y + ye x είναι λύση της εξίσωσησ: 3 z x 3 + 3 z y 3 = x 3 z x y 2 + y 3 z x 2 y. 4.8 ιαφορικός λογισµός µε το M athematica 4.8.1 Παραγώγιση Το Mathematica διαθέτει δύο εντολές για την παραγώγιση συναρτήσεων µιας ή περισσοτέρων µεταβλητών. Η εντολή D ϱητώς αναφέρεται σε µερική παραγώγιση, ενώ η εντολή Dt σε ολική παραγώγιση, ή ολικό διαφορικό. Εστω η συνάρτηση x n. Υπολογίζουµε την παράγωγό της.

4.8 ιαφορικός λογισµός µε το Mathematica 125 D[x n, x] nx 1+n Η εντολή D[x n,x] δίνει τη µερική παράγωγο της συνάρτησης, στην οποία το n ϑεωρείται ανεξάρτητο του x. Η εντολή Dt δίνει την ολική παράγωγο, στην οποία όλες οι µεταβλητές ϑεωρούνται εξαρτηµένες. Μπορούµε λοιπόν να πούµε ότι η εντολή D[f,x] αντιστοιχεί στη f x στη df dx., ενώ η Dt[f,x] Η Dt δίνει την ολική παράγωγο της συνάρτησης x n και ϑεωρεί ότι το n εξαρτάται από το x. Ο όρος Dt[n,x] αντιστοιχεί στον όρο dn dx. Dt[x n, x] nx 1+n + x n Dt[n,x]Log[x] 4.8.2 Μερική παραγώγιση Η µερική παράγωγος της συνάρτησης f(x, y) υπολογίζεται στο Mathematica µε την εντολή D[f[x,y],var], όπου η f[x,y] παραγωγίζεται ως προς τη µεταβλητή var. Οι δεύτερης τάξης µερικές παράγωγοι µπορούν να ϐρεθούν µε την εντολή D[f[x,y],var1,var2], και η συνάρτηση f[x,y] παραγωγίζεται πρώτα ως προς τη µεταβλητή var2 και στη συνέχεια ως προς τη var1. Οι ανώτερης τάξης παράγωγοι ως προς την ίδια µεταβλητή παράγονται χρησιµοποιώντας την εντολή D[f[x,y], {var,n}], Η εντολή αυτή υπολογίζει τη n-οστή µερική παράγωγο της συνάρτησης f[x,y] ως προς τη µεταβλητή var. Παράδειγµα 4.1 : ίνεται η συνάρτηση f(x,y) = sin(xy). Να ϐρεθούν οι µερικές παράγωγοι f x, f y, 2 f x y, 2 f y x και 2 f x 2. Ορίζουµε τη συνάρτηση f.

126 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων Clear[f] f[x_,y_] := Sin[x y]; Χρησιµοποιούµε την εντολή D του Mathematica για να υπολογίσουµε τις Ϲητούµενες παραγώγους : D[f[x, y], x] ycos[xy] D[f[x, y], y] xcos[xy] D[f[x,y],x,y] Cos[xy] xysin[xy] D[f[x,y],y,x] Cos[xy] xysin[xy] D[f[x,y], {x,2}] y 2 Sin[xy] Οπως έχουµε ήδη αναφέρει η εντολή D ϑεωρεί τις µεταβλητές της συνάρτησης προς παραγώγιση ανεξάρτητες µεταξύ τους. Θεωρεί ότι το y είναι ανεξάρτητο από το x. D[x 2 +y 2,x] 2x Μπορούµε µε δύο τρόπους να δηλώσουµε την εξάρτηση µιας µεταβλητής από κάποια άλλη: 1. ηλώνοντας τη µεταβλητή y ως y[x]. Αν όντως η µεταβλητή y εξαρτάται από τη x, µπορούµε να χρησι- µοποιήσουµε τη ϕόρµα y[x] για να δηλώσουµε την εξάρτηση. D[x 2 + y[x] 2] 2x + 2y[x]y [x]

4.8 ιαφορικός λογισµός µε το Mathematica 127 2. Χρησιµοποιώντας την επιλογή NonConstants {y}. Μπορούµε να δηλώσουµε µέσα στην εντολή D, ότι το y εξαρτάται από το x. Ο όρος D[y,x,NonConstants {y}] στο αποτέλεσµα αντιστοιχεί στο y [x]. D[x 2 +y 2,x,NonConstants {y}] 2x + 2yD[y,x,NonConstants {y}] Πίνακας 4.1. Βασικές εντολές για τη µερική παράγωγο D[f, x] D[f, x 1, x 2] D[f, {x, n}] D[f, x, NonConstants {v 1, v 2,...}] Μερική παράγωγος x f. Μερική παράγωγος ανώτερης τάξης 2 f x 1 x 2. n-οστή µερική παράγωγος n x n f. f µε τα vi εξαρτώµενα από το x. x 4.8.3 Ολική παράγωγος και ολικό διαφορικό Η εντολή Dt[f, x] δίνει την ολική παράγωγο της συνάρτησης f και ϑεω- ϱεί όλες τις µεταβλητές εξαρτηµένες από το x. Οπως στην εντολή D µπορούµε να δηλώσουµε ϱητά τις εξαρτήσεις των µεταβλητών, το ίδιο συµβαίνει και στην εντολή Dt µε τη διαφορά ότι, εδώ διευκρινίζουµε ποιες µεταβλητές δεν εξαρτώνται από το x µε τη χρήση της επιλογής Constants. Ας δούµε λοιπόν τη διαφορά τους µ ένα παράδειγµα. Στη µερική παράγωγο x (x2 + y 2 ) ϑεωρείται δεδοµένο ότι το y είναι ανεξάρτητο από το x. D[x 2 +y 2,x] 2x

128 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων Στην ολική παράγωγο d dx (x2 + y 2 ), ϑεωρείται δεδοµένο ότι το y είναι εξαρτηµένο από το x. Ο όρος D[y,x] αντιστοιχεί στο y [x]. Dt[x 2 +y 2,x] 2x + 2yD[y,x] Μπορούµε να ορίσουµε και µια συγκεκριµένη τιµή για τον όρο y [x]. Είναι απαραίτητο να χρησιµοποιήσουµε το y/ : για να δηλώσουµε ότι αναφερόµαστε στο y. y/ : Dt[y,x] = 0; Μ αυτή τη δήλωση το y ϑεωρείται ανεξάρτητο του x. Dt[x 2 +y 2,x] 2x Ενας άλλος τρόπος για να δηλώσουµε την ανεξαρτησία του y είναι η χρησιµοποίηση της επιλογής Constants {y}. Clear[y] Dt[x 2 +y 2,x,Constants {y}] 2x Η εντολή SetAttributes[c, Constant] ορίζει το c ως σταθερά σε κάθε περίπτωση. SetAttributes[c, Constant] Η c αντιµετωπίζεται πλέον ως σταθερά και όχι ως µεταβλητή εξαρτώµενη από άλλες µεταβλητές. Dt[c x 2 +y 2,x] 2cx + 2yDt[y,x] Αλλά και η συνάρτηση c[x] ϑεωρείται πλέον σταθερά. Dt[c[x] x 2 +y 2,x] 2c[x]x + 2yDt[y,x]

4.8 ιαφορικός λογισµός µε το Mathematica 129 Η εντολή Dt µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για τον υπολογισµό του ολικού διαφορικού µιας συνάρτησης. Η διαφορά µε την ολική παράγωγο είναι ότι, στην εντολή Dt δεν δηλώνεται καµιά µεταβλητή, αλλά µόνο η συνάρτηση. Dt[x 2 + y 2] 2xDt[x] + 2yDt[y] Τα ολικά διαφορικά Dt[x] και Dt[y] µπορούν να αντικατασταθούν µε οποιαδήποτε έκφραση ή τιµή. %/.{Dt[x] dx,dt[y] dy} 2xdx + 2ydy Πίνακας 4.2. Βασικές εντολές της ολικής παραγώγου Dt[f] Dt[f, x] Dt[f, x 1, x 2,...] Dt[f, x, Constants] {c 1, c 2,...} Ολικό διαφορικό df. Ολική Παράγωγος df dx. Ολική παράγωγος ανώτερης τάξης. Ολική παράγωγος µε c i σταθερές. y/ : Dt[y, x] = 0 Θέτει dy dx = 0. SetAttributes[c, Constant] Ορισµός του c σαν σταθερά. 4.8.4 Παραγώγιση άγνωστων συναρτήσεων Η παραγώγιση µιας γνωστής συνάρτησης δίνει ένα σαφές αποτέλεσµα. D[Log[x] 2, x] 2Log[x] x Η παραγώγιση µιας άγνωστης συνάρτησης f δίνει αποτέλεσµα µε όρους της f.

130 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων D[f[x] 2, x] 2f [x]f [x] Οταν η συνάρτηση g έχει περισσότερα από ένα ορίσµατα, στο αποτέλεσµα χρησιµοποιείται επίγραµµα που δείχνει πόσες ϕορές έχει παραγωγισθεί κάθε όρισµα. D[g[x,y],x,x,y] g {2,1 } [x,y] Το αποτέλεσµα αντιπροσωπεύει την παραγώγηση 3 g(x,y) 2 y. 4.8.5 Λυµένες ασκήσεις µε Mathematica 1. Να υπολογιστούν µε τη χρήση του διαφορικού οι σχέσεις : (α) sin(30 o 30 ) + tan(45 o 30 ),(β) 3.9 4.1 α) Clear[f, df] f[x_,y_] := Sin[x] +Tan[y] df = Dt[f[x,y]] Cos[x]Dt[x] + Dt[y]Sec[y] 2 df/.{x π/6,y π/4,dt[x] 0.0087,Dt[y] 0.0087} 0.0249344 f[π/6,π/4] + % 1.52493 ϐ) Clear[f, df] x f[x_,y_] := y

4.8 ιαφορικός λογισµός µε το Mathematica 131 df = Dt[f[x,y]] Dt[x] y xdt[y] y 2 2 x y df/.{x 4,y 4,Dt[x] 0.1,Dt[y] 0.1} 0.025 f[4,4] + % 0.975 2. Αν z = xcos y x + tan y x δείξτε ότι x2 z xx + 2xyz xy + y 2 z yy = 0. Clear[z,z xx,z xy,z yy,expr] z = x Cos[y/x] +Tan[y/x]; z xx = D[z,x,2]; z yy = D[z,y,2]; z xy = D[z,x,y]; expr = x 2 z xx +y 2 z yy +2 x y z xy ( y 2 Cos[y x ] + 2Sec[y x ]2 Tan[ y x ] ) x x 2 + ( ycos[ y x 2xy ] x 2 Sec[y x ]2 x 2 2ySec[y x ]2 Tan[ y x ] ) x 3 + ( x 2 y2 Cos[ y x ] x 3 + 2ySec[y x ]2 x 3 + 2y2 Sec[ y x ]2 Tan[ y x ] ) x 4 Simplify[%] 0 3. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g(x,y) = f[ y x σχέση x 2 g g g x + y2 y + z2 z = 0. Clear[f, g] xy, z x xz ] ικανοποιεί τη

132 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων g[x_,y_] := f[(y x)/(x y),(z x)/(x z)]; x 2 D[g[x,y],x] +y 2 D[g[x,y],y] +z 2 D[g[x,y],z] ( 1 z 2 xz x + z ) [ x + y xz 2 f (0,1), x + z ] + xy xz ( 1 y 2 xy x + y ) [ x + y xy 2 f (1,0), x + z ] + xy xz ) ( x 2 ( 1 xz x + z x 2 z ( 1 xy x + y x 2 y FullSimplify[%] 0 ) [ x + y f (0,1), x + z xy xz [ x + y f (1,0), x + z xy xz ] ) ] + 4. Να δειχθεί ότι η διαφορική παράσταση (x+e x y )dx+e x y (1 x y )dy είναι τέλειο διαφορικό και να ϐρεθεί η συνάρτηση της οποίας η παράσταση αυτή είναι το τέλειο διαφορικό. Clear[p,q,f,r,c] p[x_,y_] = x +Exp[x/y]; q[x_,y_] = Exp[x/y](1 x/y); Simplify[D[p[x, y], y] == D[q[x, y], x]] True f[x_,y_] = p[x,y]dx +r[y] x 2 2 + E x y y + r[y] Simplify[D[f[x, y], y] == q[x, y]] r [y] == 0 f[x_,y_] = f[x,y]/.r[y] c c + x2 2 + E x y y

4.8 ιαφορικός λογισµός µε το Mathematica 133 5. είξτε ότι, η συνάρτηση z = xe y + ye x είναι λύση της εξίσωσης 3 z x 3 + 3 z y 3 = x 3 z x y 2 + y 3 z x 2 y Clear[z, x, y] z[x_,y_] := x Exp[y] +y Exp[x] Simplify[D[z, {y,3}] +D[z, {x,3}] == x D[z,x, {y,2}]+ y D[z,y, {x,2}]] True 6. Να δειχθεί ότι οι συναρτήσεις (α) g(x,y,z) = 3(x 2 + y 2 )z 2z 3 και (ϐ) f(x,y,z) = 1 x 2 +y 2 +z 2 είναι αρµονικές, δηλαδή ότι πληρούν την διαφορική εξίσωση 2 G(x,y,z) x 2 + 2 G(x,y,z) y 2 όπου G τυχαία συνάρτηση. (α) Clear[f,x,y,z,f xx,f yy,f zz ] + 2 G(x,y,z) z 2 = 0 f[x_,y_,z_] := 3(x 2 +y 2) z 2 z 3 f xx = D[f[x,y,z], {x,2}] 6z f yy = D[f[x,y,z], {y,2}] 6z f zz = D[f[x,y,z], {z,2}] 12z f xx +f yy +f zz 0

134 ιαφορικός λογισµός αριθµητικών συναρτήσεων (ϐ) Clear[f,x,y,z,f xx,f yy,f zz ] f[x_,y_,z_] := 1/Sqrt[x 2 +y 2 +z 2] f xx = D[f[x,y,z], {x,2}] 3x 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 1 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 f yy = D[f[x,y,z], {y,2}] 3y 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 1 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 f zz = D[f[x,y,z], {z,2}] 3z 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 1 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 f xx +f yy +f zz 3x 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 + 3y 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 + 3z 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 3 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 Simplify[%] 0 4.8.6 Ευρετήριο νέων αντικειµένων Εντολές. Επιλογές. D Υπολογίζει τη µερική παράγωγο. Dt Υπολογίζει την ολική παράγωγο και το ολικό διαφορικό SetAttributes Θέτει ιδιότητες σε µεταβλητές NonConstants ηλώνει εξάρτηση µεταβλητών Constants ηλώνει ανεξαρτησία µεταβλητών

5. Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις Τη νύχτα, όταν ο νους ϕαντάζεται κάτι τροµερό, πόσο εύκολα ο ϑάµνος περνιέται για αρκούδα. William Shakespeare 5.1 Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων Με τον όρο σύνθετη συνάρτηση εννοούµε τη συνάρτηση µιας ή περισσοτέρων µεταβλητών που τη ϑέση των µεταβλητών της παίρνουν άλλες συναρτήσεις. Για παράδειγµα η συνάρτηση f(x,y) = (x 2 + y 2 ) 1/2 είναι ισοδύναµη µε την έκφραση f(u) = u 1/2 όπου u = x 2 + y 2. Άλλο παράδειγµα είναι η συνάρτηση f(x,y) = xy + log(x/y) ή αν ορίσουµε τα u = xy,v = x/y τότε f(u,v) = u + log v κ.ο.κ. Συχνά για την περιγραφή της κίνησης υλικού σηµείου στη κλασσική µηχανική, χρησιµοποιούµε το καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων. Η τροχιά του υλικού σηµείου περιγράφεται από τις παραµετρικές συναρτήσεις x(t), y(t), z(t) που ορίζουν τη ϑέση του υλικού σηµείου ως συνάρτηση του χρόνου. Ενα ϕυσικό µέγεθος που µεταβάλεται κατα µήκος της τροχιάς του υλικού σηµείου ϑα περιγράφεται από τη συνάρτηση f(t) = f(t,x(t),y(t),z(t)). Αξίζει να αναφερθούµε σε δύο σηµαντικά ϑεωρήµατα των συνθέτων συναρτήσεων:

136 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις ΘΕΩΡΗΜΑ 5.1: Μία σύνθετη συνάρτηση είναι συνεχής, όταν αποτελείται από συνεχείς συναρτήσεις. Μπορούµε να αναλύσουµε το παραπάνω ϑεώρηµα ως εξήσ: Εάν µία συνάρτηση z = f(u,v) είναι συνεχής στη περιοχή Π 1 και οι συναρτήσεις u(x,y) και v(x,y) είναι συνεχείς στη περιοχή Π 2, τότε η συνάρτηση z είναι επίσης συνεχής στη περιοχή Π 2. Επίσης ισχύει το ϑεώρηµα: ΘΕΩΡΗΜΑ 5.2: Εάν u(x, y) και v(x, y) είναι διαφορίσιµες συναρτήσεις των x και y στη περιοχή Π 2 και f(u,v) είναι διαφορίσιµη συνάρτηση των u και v στη περιοχή Π 1, τότε η σύνθετη συνάρτηση z(x,y) = f(u(x,y),v(x,y)) είναι επίσης διαφορίσιµη ως προς x και y. Με ϐάση τα παραπάνω ϑεωρήµατα, µπορούµε να υπολογίσουµε την παράγωγο µιας σύνθετης συνάρτησης από την έκφραση του ολικού διαφορικού της. Για παράδειγµα, ας υποθέσουµε ότι f(x, y) είναι συνάρτηση των x,y αλλά τα x(u,v) και y(u,v) είναι διαφορίσιµες συναρτήσεις των u,v, τότε Αλλά και df = f f dx + dy. (5.1) x y dx = x x du + dv (5.2) u v dy = y y du + dv. (5.3) u v Αντικαθιστώντας τα dx, dy στην εξίσωση (5.1), έχουµε ( f x df = x u + f ) ( y f x du + y u x v + f ) y dv. (5.4) y v Αλλά το ολικό διαφορικό της συνάρτησης f(u,v) = f(x(u,v),y(u,v)) είναι ( ) ( ) f f df = du + dv. (5.5) u v

5.1 Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων 137 Από την σύγκριση των (5.4) και (5.5) συµπεραίνουµε ότι, και f u = f x x u + f y y u f v = f x x v + f y y v Στην απλούστερη περίπτωση που f(t,x,y) = f(t) επειδή x(t),y(t), ισχύει df dt = f t + f dx x dt + f dy y dt (5.6) Η παραγώγιση αυτή είναι γνωστή και µε τον όρο αλυσιδωτή παραγώγιση. Είναι εύκολο να δείξουµε ότι η παράγωγος δεύτερης τάξης της συνάρτησης f(x, y) όπου x(u, v), y(u, v) είναι 2 f u 2 = ( f x u x u + f ) y = y u = ( ) f x + ( ) f y = u x u u y u ) + f 2 x Οµοια = 2 f ( x ) 2 x 2 u + 2 f x y ( ) 2 + 2 f y y 2 u + 2 f x y = 2 f x 2 ( x u ( x u ( ) x 2 + 2 f u y 2 + f 2 x x u 2 + f 2 y y u 2. 2 f v 2 = 2 f x 2 + 2 2 f y x ) ( y u x u + 2 ) ( ) y u + f 2 y y u = 2 ( ) y 2 + 2 2 f u x y ( ) x 2 ( + 2 f y v y 2 v ( )( x y v v ) 2 ( x u ) + f 2 y y v 2 + f 2 x x v 2 )( ) y u

138 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις και 2 f v u = ( f x v x u + f y = 2 f x 2 ( x u + 2 f y 2 ( y u )( x ) v + 2 f x y )( ) y v + 2 f x y ( x u ) y = u ( x v ) ( y v ) ( ) + f 2 x x u v + ) ( ) ( ) y u + f 2 y y v u. Στη γενική περίπτωση f(x 1,...,x n ) όπου x j (t 1,...,t m ) έχουµε 2 f t κ t j = n i=1 n λ=1 2 f x λ x i x λ t κ x i t j + n i=1 f x i 2 x i t κ t j, ενώ, όταν οι συντεταγµένες εξαρτώνται από το χρόνο, f(x 1 (t),x 2 (t),...,x n (t)), έχουµε d 2 f n dt 2 = i=1 n κ=1 2 f dx κ dx i n x κ x i dt dt + f d 2 x i x i=1 i dt 2 (Επαληθεύστε τις σχέσεις αυτές). Παράδειγµα 5.1: Εστω w = f(x,y) = e x(x y), όπου x = 2t cos t,y = 2t sin t. Υπολογίστε την παράγωγο dw/dt όταν t = π. Απάντηση: Μπορούµε είτε να αντικαταστήσουµε τα x, y στη συνάρτηση και µετά να παραγωγίσουµε, είτε να εφαρµόσουµε το κανόνα σύνθετης παραγώγισης, αφού το w είναι σύνθετη συνάρτηση µόνο του t και να πάρουµε dw dt = f dx x dt + f dy y dt = (2x y)e x(x y) (2cos t 2t sin t) xe x(x y) (2sin t + 2t cos t). Οταν t = π, τότε x = 2π,y = 0, οπότε έχουµε dw dt = ( 4π)e4π2 ( 2) ( 2π)e 4π2 ( 2π) = 4π(2 π)e 4π2. Παράδειγµα 5.2: Αν x = r cos θ και y = r sinθ (τα r και θ είναι οι πολικές συντεταγµένες και τα x,y καρτεσιανές συντεταγµένες) δείξτε ότι, η εξίσωση Laplace για τη V (x,y)

5.1 Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων 139 2 V x 2 + 2 V y2 = 0, είναι ισοδύναµη µε την 2 V r 2 + 1 V r r + 1 2 V r 2 θ 2 = 0. Απόδειξη: Εχουµε V r = V x x r + V y y r V θ = V x x θ + V y y θ Ετσι, οι τελεστές = cos θ V x = r sin θ V x + sin θ V y r, θ µπορούν να αντικατασταθούν από τους ισοδύναµους r = cos θ x + sin θ y (5.7) + r cos θ V y. (5.8) (5.9) = r sinθ θ x + r cos θ y. (5.10) Από την (5.7), 2 V r 2 = ( cosθ V r + V x ) x + sinθ V = cosθ y r ( ) V + V y y r cosθ + sinθ r ( ) V x sinθ. (5.11) r Χρησιµοποιούµε τώρα την (5.9) για να αντικαταστήσουµε τον τελεστή / r στον πρώτο και στον τρίτο όρο µόνο. Η παραγώγιση των άλλων δύο όρων ως προς z δε µπορεί να γίνει άµεσα. Αυτό συµβαίνει, επειδή τα r και θ είναι ανεξάρτητες µεταβλητές, και ( / r)cos θ = 0,( / r)sin θ = 0. Ετσι, 2 ( V r 2 = cos θ + sin θ cos θ x + sinθ y ( cos θ x + sinθ y ) V x ) V y = (5.12)

140 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις επειδή = cos 2 θ 2 V x 2 + 2sin θcosθ 2 V x y + sin2 θ 2 V y 2, (5.13) 2 V x y = 2 V y x. Οµοια 2 ( V θ 2 = r2 r sin 2 θ 2 V x 2 2sinθcosθ 2 V ( cosθ V x + sinθ V y Από τις (5.7), (5.13), (5.14), 2 V r 2 + 1 V r r + 1 2 V r 2 θ 2 = 2 V x 2 + 2 V y 2 απ οπου προκύπτει το Ϲητούµενο αποτέλεσµα. ) x y + cos2 θ 2 V y ) 2. (5.14) Παράδειγµα 5.3: είξτε ότι η συνάρτηση z(x,y) = g(y + sin x) + f(y sin x), όπου g, f τυχαίες συναρτήσεις επαληθεύουν τη σχέση z x tan x + z xx z yy cos 2 x = 0. Απόδειξη: Η συνάρτηση z µπορεί να πάρει τη µορφή z = g(u) + f(v), όπου u = y + sin x και v = y sin x. Παραγωγίζοντας την z(x,y) και έχουµε ή z x = z u u x + z v v x = dg u du x + df v dv x z x = g cos x f cos x 2 z x 2 = g cos 2 x g sin x + f cos 2 x + f sin x 2 z y 2 = g + f. Με απλή αντικατάσταση στη σχέση

5.2 Θεώρηµα του Euler για οµογενείς συναρτήσεις 141 A = z x tanx + z xx z yy cos 2 x ϐρίσκουµε ότι το A = 0. 5.2 Θεώρηµα του Euler για οµογενείς συναρτήσεις Συχνά συναντάµε µια κατηγορία συναρτήσεων που λέγονται οµογενείς. ΟΡΙΣΜΟΣ 5.1: Μια συνάρτηση f(x, y) λέγεται οµογενής ϐα- ϑµού m, αν στο πεδίο ορισµού της ισχύει η σχέση f(λx,λy) = λ m f(x,y) (5.15) για κάθε τιµή της παραµέτρου λ. ΘΕΩΡΗΜΑ 5.3 (του Euler): Εάν f είναι µια διαφορίσιµη και οµογενής συνάρτηση ϐαθµού m τότε ισχύει η σχέση x f x + y f y = mf. (5.16) Απόδειξη: Παραγωγίζοντας ως προς λ την εξίσωση (5.15) έχουµε df(λx,λy) dλ = mλ m 1 f(x,y). (5.17) Ορίζουµε νέες µεταβλητές u = λx και v = λy και παίρνουµε df(λx,λy) dλ = f du u dλ + f dv v dλ = f u x + f v y Από τις σχέσεις (5.16) και (5.17) για λ = 1, έχουµε την x f x + y f y που είναι ο τύπος του Euler. = mf (5.18) Είναι επίσης εύκολο να αποδείξουµε το αντίστροφο: Οταν µία συνάρτηση f(x, y) επαληθεύει τη σχέση (5.16) τότε είναι οµογενής. Οι σχέσεις (5.15), (5.16) µπορούν να γενικευτούν για περισσότερες µεταβλητές.

142 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις Παράδειγµα 5.4: ίνεται η συνάρτηση f(x,y), η οποία είναι ο- µογενής ϐαθµού n και διαφορίσιµη. είξτε ότι, οι µερικές παράγωγοι πρώτης τάξης της συνάρτησης είναι οµογενείς συναρτήσεις ϐαθµού n 1. Απόδειξη: Επειδή η f(x, y) είναι οµογενής και διαφορίσιµη ισχύει το ϑεώρηµα του Euler x f x + y f y = nf. Με διαφόριση πάιρνουµε: ( x f ) x x + y f = f (nf) y x x + f x 2 x 2 + y 2 f x y = n f x x ( ) f + y ( ) f = (n 1) f (5.19) x x y x x Μπορούµε επίσης να αποδείξουµε ότι, το παραπάνω συµπέρασ- µα µπορεί να προεκταθεί και για συναρτήσεις n µεταβλητών. Αν f(x 1,...,x n ), D R n, και η f είναι οµογενής ϐαθµού m, τότε ισχύει n f x i = mf. x i i=1 Απόδειξη: Παραγωγίζουµε ως προς x k : ή x k n i=1 x i ( n i=1 x i ) f x i = x i ( f x k ) = n ( ) f x x i k x i n x i f n + x k x i i=1 i=1 = (m 1) f x k. i=1 x i 2 f x k x i = m f x k Παράδειγµα 5.5: ίνεται η συνάρτηση f(x,y) η οποία είναι ο- µογενής ϐαθµού n και διαφορίσιµη. είξτε ότι: x 2 2 f x 2 + 2xy 2 f x y + y 2 2 f y2 = n(n 1)f.

5.2 Θεώρηµα του Euler για οµογενείς συναρτήσεις 143 Απόδειξη: Εφόσον η f είναι οµογενής και διαφορίσιµη ισχύει x f x + y f y Παραγωγίζουµε ως προς x την (5.20) = nf. (5.20) f x + f x 2 x 2 + y 2 f x y = n f x x f x + x2 2 f x 2 + xy 2 f x y = nx f x. (5.21) Παραγωγίζουµε την (5.20) ως προς y f y + f y 2 y2 + x 2 f y x = n f y y f y + y 2 2 f y2 + xy 2 f x y = ny f y Προσθέτουµε τις (5.21) και (5.22) και παίρνουµε (5.22) x 2 2 f x 2 + 2xy 2 f x y + y2 2 f y2 [ = (n 1) x f x + y f y = n(n 1)f. Παράδειγµα 5.6: Αν f 1 (x,y) και f 2 (x,y) είναι δύο οµογενείς συναρτήσεις n-ϐαθµού, δείξτε ότι n ( f1 y 1 f 2 x f 2 y ) = f 1 x Απόδειξη: Ισχύουν τα ακόλουθα xdy ydx f 1 df 2 f 2 df 1. df 1 = f 1 x dx + f 1 y dy, df 2 = f 2 x dx + f 2 y dy nf 1 = x f 1 x + y f 1 y, nf 2 = x f 2 x + y f 2 y. Με πολλαπλασιασµό των προϋγούµενων σχέσεων παίρνουµε, ( nf 1 df 2 = x f )( 1 x + y f 1 f2 y x dx + f ) 2 y dy = ]

144 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις f 1 f 2 x x xdx + f 1 f 2 y x ydx + f 1 f 2 x y xdy + f 1 y Με πολλαπλασιασµό επίσης παίρνουµε, ( nf 2 df 1 = x f )( 2 x + y f 2 f1 y x dx + f ) 1 y dy f 2 f 1 x x xdx + f 2 f 1 y x ydx + f 2 f 1 x y xdy + f 2 y Αφαιρώντας την (5.23) από την (5.24) παίρνουµε ( f1 n(f 1 df 2 f 2 df 1 ) = ydx y xdy ( f1 y f 2 x f ) 2 f 1 y x f 2 x f ) 1 f 2 x y ( f1 f 2 n(f 1 df 2 f 2 df 1 ) = (ydx xdy) y x f 2 y xdy ydx = n f 1 df 2 f 2 df 1 ( f1 y 1 f 2 x f 2 y ). f 1 x = f 2 ydy. (5.23) y f 1 ydy. (5.24) y ) f 1 x 5.3 ιαφορικό σύνθετης συνάρτησης Αποδεικνύεται ότι, το διαφορικό µιας σύνθετης συνάρτησης f(x, y) παραµένει αµετάβλητο. Αν υποθέσουµε ότι δίνεται η συνάρτηση f(x,y) και ότι είναι διαφορίσιµη στον τόπο D R 2 και ότι x(t 1,t 2 ) και y(t 1,t 2 ) είναι επίσης διαφορίσιµες συναρτήσεις των t 1 και t 2, τότε ισχύουν df = f f dx + dy (5.25) x y dx = x t 1 dt 1 + x t 2 dt 2, dy = y t 1 dt 1 + y t 2 dt 2 (5.26) Αντικαθιστώντας τα dx και dy στη σχέση (5.25) καταλήγουµε στο διαφορικό της f µε τις νέες µεταβλητές df = f t 1 dt 1 + f t 2 dt 2 (5.27)

5.3 ιαφορικό σύνθετης συνάρτησης 145 Για τη συνάρτηση f(t, x, y) όπου x(t) και y(t) ισχύει ( ) df = f ( )( ) ( )( ) f dx f dy dt t + + x dt y dt Οµως το διαφορικό ανώτερης τάξης στη γενικότερη περίπτωση δεν διατηρείται αµετάβλητο, όταν εκφραστεί ως προς x,y και t 1,t 2 αντίστοιχα. Πράγµατι, έστω ότι οι µεταβλητές x i,i = 1,2,..,n είναι δισ-διαφορίσιµες συναρτήσεις των t j,j = 1,2,...,m. ιαφορίζοντας, το διαφορικό πρώτης τάξης της f περνουµε df = n i=1 f x i dx i, (5.28) ενώ για το διαφορικό δεύτερης τάξης προκύπτει n { } f n { ( ) ( ) } f f d 2 f = d dx i = d dx i + d(dx i ). x i=1 i x i=1 i x i Στην περίπτωση όµως αυτή είναι d(dx i ) = d 2 x i,i = 1,2,...,n. Εξάλλου ( ) f n ( ) f d = dx j. x i x j x i j=1 Συνεπώς ισχύει n d 2 f = i=1 n j=1 2 f x j x i dx j dx i + n i=1 f x i d 2 x i. (5.29) Θεωρώντας την f ως σύνθετη πλέον συνάρτηση των t j,j = 1,2,..,m διαµέσου των x i,i = 1,2,...,n, το διαφορικό της δεύτερης τάξης ως γνωστόν δίνεται από τη σχέση d 2 f = m i=1 m j=1 2 f t i t j dt i dt j (5.30) Από τη σύγκριση των σχέσεων (5.28), (5.29) και (5.30) προκύπτει ότι, n i=1 f x i dx i = m j=1 f t j dt j (5.31)

146 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις ενώ n i=1 n j=1 2 f x i x j dx i dx j + n i=1 f x i d 2 x i = m i=1 m 2 f dt i dt j t i t j (5.32) j=1 Από τις σχέσεις (5.31) και (5.32) γίνεται ϕανερό ότι, η µορφή του διαφορικού πρώτης τάξης µιας διαφορίσιµης συνάρτησης είναι η ίδια ως προς τα δύο συστήµατα µεταβλητών x i, και t j (i = 1,2,..,n,j = 1,2,...,m), πράγµα που δεν ισχύει για το διαφορικό δεύτερης τάξης. Με παρόµοιο τρόπο µπορεί να διαπιστωθεί ότι και η συµπεριφορά των διαφορικών ανώτερης τάξης είναι ανάλογη. Αυτό όµως δεν ισχύει στην περίπτωση που η εξάρτηση των x i, από τα t j (i = 1,2,...,n,j = 1,2,...,m) είναι γραµµική. Πράγµατι αν οι x i είναι γραµµικές συναρτήσεις των t j, αν δηλαδή x i = c i0 + m c ij t j, i = 1,2,...,n. j=1 όπου c i0 και c ij είναι σταθερές για i = 1,2,...,n,j = 1,2,...,m, τότε από τις έχουµε οπότε dx i = dx i = m k=1 x i t k dt k,i = 1,2,...n m c ik dt k,i = 1,2,...,n k=1 d 2 x i = 0 γιά i = 1,2,...,n. Εποµένως και για οποιοδήποτε ϕυσικό αριθµό k µεγαλύτερο του 2, στην περίπτωση που οι x i,i = 1,2,...,n είναι γραµµικές συναρτήσεις των t j,j = 1,2,...,m, ϑα ισχύει d k x i = 0, για i = 1,2,...,n.

5.4 Θεώρηµα της µέσης τιµής και σειρά Taylor 147 5.4 Θεώρηµα της µέσης τιµής και σειρά Taylor Το ϑεώρηµα της µέσης τιµής που το συναντήσαµε ήδη στο διαφορικό λογισµό των συναρτήσεων µιας µεταβλητής, ϑα το γενικεύσουµε εδώ χωρίς να το αποδείξουµε (την απόδειξη µπορείτε να τη ϐρείτε σε ένα από τα ϐιβλία της ϐιβλιογραφίας). ΘΕΩΡΗΜΑ 5.4 (Μέσης Τιµής): Εάν η συνάρτηση f είναι ορισµένη και διαφορίσιµη στον κυρτό τόπο D R n και M 0 D, τότε η ολική µεταβολή f = f(m) f(m 0 ) = [df] P0 όπου M(x 0 1 + x 1,...,x 0 n + x n) D και P 0 (x 0 1 + θ 0 x 1,...,x 0 n +θ 0 x n ),0 < θ 0 < 1 είναι σηµείο του τµήµατος M 0 M. Επίσης πολύ σηµαντικό είναι και το ϑεώρηµα µέσης τιµής του Taylor. ΘΕΩΡΗΜΑ 5.5 (Taylor ) ίνεται η συνάρτηση f : D R 1, ορισµένη στον κυρτό τόπο D R n και έστω M 0 (x 0 1,...,x0 n) ένα σηµείο του D. Αν η συνάρτηση f έχει διαφορικά µέχρι (n + 1) τάξης στον τόπο D, τότε για οποιοδήποτε σηµείο M(x 0 1 + x 1,...,x 0 n + x n) D υπάρχει P(x 0 1 +θ 0 x 1,...,x 0 n + θ 0 x n ) D µε 0 < θ 0 < 1 του τµήµατος MM 0 τέτοιο ώστε η ολική µεταβολή της f στο M 0 να δίνεται από τη σχέση f = n k=1 1 1 k! [dk f] M0 + (n + 1)! [dn+1 f] P0 (5.33) όπου το d k f έχει οριστεί στη σχέση (4.7). Η έκφραση (5.33) αναλύεται ( f(x,y) = f(x 0,y 0 ) + (x x 0 ) x + (y y 0) ) f(x 0,y 0 ) y + (x x 0) 2 2 2 f(x 0,y 0 ) x 2 + (y y 0) 2 2 f(x 0,y 0 ) 2 y 2 + (x x 0 )(y y 0 ) 2 f(x 0,y 0 ) y x + όρους ανώτερης τάξης

148 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις Η σχέση (5.33) είναι γνωστή ως τύπος του Taylor της συνάρτησης f στο σηµείο M 0. Εάν το σηµείο M 0 είναι η αρχή των αξόνων, τότε ο τύπος του Taylor παίρνει τη µορφή n ( 1 f(x,y) = f(0,0) + x k! x + y ) k f(0,0)+ (5.34) y k=1 ( 1 x (n + 1)! x + y ) n+1 f(θ 0 x,θ 0 y) 0 < θ 0 < 1. y Ο νέος τύπος αυτός είναι γνωστός ως τύπος Mac Laurin. Ο όρος Q n = 1 (n + 1)! [dn+1 f] P0 ονοµάζεται υπόλοιπο του τύπου του Taylor. Στην περίπτωση που ισχύει lim Q n = 0, n η σειρά που προκύπτει ονοµάζεται σειρά Taylor της συνάρτησης f στο σηµείο M 0. Σχόλιο: Η αξία του τύπου του Taylor ϐρίσκεται στο γεγονός ότι µ- πορούµε να κατασκευάσουµε ένα απλό πολυώνυµο που να προσεγγίζει µε µεγάλη ακρίβεια µία πολύπλοκη συνάρτηση στη γειτονιά µιας γνωστής τιµής της συνάρτησης. Με άλλα λόγια, αν γνωρίζουµε τη τιµή µιας πολύπλοκης συνάρτησης σε ένα σηµείο M 0 και ϑέλουµε να προσεγγίσουµε τη τιµή της συνάρτησης στη γειτονιά του σηµείου, µε πολυώνυ- µο πρώτης, δεύτερης ή και υψηλότερης τάξης, µπορούµε να χρησι- µοποιήσουµε το ανάπτυγµα της σειράς Taylor. Παράδειγµα 5.7: Να αναπτυχθεί η συνάρτηση f(x,y) = e x2 sin xy σε σειρά Taylor στη περιοχή του σηµείου M(2,0) διατηρώντας όρους µέχρι δεύτερης τάξης. Στη συνέχεια υπολογίστε µια προσεγγιστική τιµή της σηνάρτησης f στο σηµείο M(1.98, 0.015). Απάντηση: Στο (2,0) ϐρίσκουµε f = 1,f x = 0,f y = 8,f xx = 0,f xy = 12,f yy = 64. Συνεπώς, η σειρά Taylor για την f(x,y) στη περιοχή του σηµείου (2, 0) είναι

5.4 Θεώρηµα της µέσης τιµής και σειρά Taylor 149 f(x,y) = f(2,0) + (x 2)f x (2,0) + yf y (2,0) + 1 2! [(x 2)2 f xx (2,0)+ +2(x 2)yf xy (2,0) + y 2 f yy (2,0)] +... = = 1 + 8y + 12(x 2)y + 32y2 +... Αν αντικαταστήσουµε το x µε 2 + x, και το y µε y, στην τελευταία εξίσωση παίρνουµε f(2 + x, y) = 1 + 8 y + 12 x y + 32 y 2 +... Αν ϑέσουµε x = 0.02, y = 0.015, και αγνοήσουµε όρους µεγαλύτερης από δεύτερης τάξης των x, y, έχουµε f(1.98,0.015) = 1 + (8 + 12 x + 32 y) y = 1.124 µε ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων. Για σύγκριση, η ακριβής τιµή είναι 1.1235, µε ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων. Παράδειγµα 5.8: Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της επιφάνειας z = f(x,y) = e x2 + y 2 στην περιοχή κοντά στο σηµείο P 0 (0,1,e). Απάντηση: Επειδή η f έχει συνεχείς µερικές παραγώγους κάθε τάξης, µπορούµε να προσεγγίσουµε την f κοντά στο σηµείο (x, y) = (0, 1) µε τους γραµµικούς όρους της σειράς Taylor, δηλ. f(x,y) f(0,1) + xf x (0,1) + (y 1)f y (0,1) Ετσι η επιφάνεια z = f(x,y) κοντά στο P 0, µπορεί να προσεγγιστεί από την επιφάνεια z = e + 2e(y 1), που είναι το εφαπτόµενο επίπεδο σ αυτό το σηµείο. Αν ϑέλουµε µεγαλύτερη ακρίβεια, µπορούµε να προσεγγίσουµε την f και µε όρους δεύτερης τάξης της σειράς Taylor γύρω από το (0,1), οπότε παίρνουµε το παραβολοειδές z e = 2 3 + x2 +3 ( x 2 3 ) 2 Παράδειγµα 5.9: Υπολογίστε το ανάπτυγµα Taylor για την f(x,y) = xy 2 στη περιοχή του σηµείου M(1,1). Απάντηση: Στο σηµείο (1,1) είναι

150 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις f f = 1, x y = 2, 2 f x 2 = 0 2 f x y = 2, 2 f y2 = 2, 3 f x y2 = 2. Οι παράγωγοι τρίτης και ανώτερης τάξης µηδενίζονται, οπότε xy 2 = 1 + (x 1) + 2(y 1) + 1 2 [4(x 1)(y 1) + 2(y 1) 2] + 1 6 3 2(x 1)(y 1)2 = = 1 + (x 1) + 2(y 1) + 2(x 1)(y 1) +(y 1) 2 +(x 1)(y 1) 2. Παράδειγµα 5.10: Υπολογίστε το ανάπτυγµα Taylor για τη συνάρτηση f(x,y) = sin(x + y 2 ) κρατώντας όρους µέχρι δεύτερης τάξης στη περιοχή του σηµείου M(0,0). Απάντηση: f x = cos(x + y 2 ), f y = 2y cos(x + y 2 ) 2 f x 2 = sin(x + y 2 ), 2 f x y = 2y sin(x + y 2 ), = 2cos(x + y 2 ) 4y 2 sin(x + y 2 ). 2 f y2 Αρα f(x,y) x + y 2. 5.5 Πλεγµένες συναρτήσεις 5.5.1 Ορισµός και ϑεώρηµα ύπαρξης Σε πολλά προβλήµατα ϕυσικών ϕαινοµενων καταλήγουµε σε εξισώσεις της µορφής F(x,y,z) = 0. Απο τη σχέση αυτή µπορούµε να ορίσουµε µια µεταβλητή (π.χ την z) ως εξαρτηµένη απο τις άλλες (π.χ. F(x,y,z(x,y)) = 0). Οι συναρτήσεις αυτές λέγονται πλεγµένες ή και πεπλεγµένες συναρτήσεις. Ορισµός 5.2: Ονοµάζουµε πλεγµένη συνάρτηση κάθε συνάρτηση z(x,y) µε πεδίο ορισµού D R 2 που είναι λύση της εξίσωσης F(x,y,z(x,y)) = 0.

5.5 Πλεγµένες συναρτήσεις 151 Το ϐασικό ερώτηµα τώρα είναι: Με ποιες προϋποθέσεις η εξίσωση F(x,y,z) = 0 ορίζει µια συνάρτηση z(x,y); Την απάντηση ϑα µας δώσει το ϑεώρηµα που ακολουθεί το οποίο παραθέτουµε χωρίς απόδειξη. ΘΕΩΡΗΜΑ 5.6: Εστω F(x,y,z) = 0 µία συνάρτηση τριών µεταβλητών η οποία πληροί τις παρακάτω συνθήκεσ: Είναι συνεχής και η παράγωγος F z υπάρχει και είναι συνεχής σε µία περιοχή π(m(x 0,y 0,z 0 ),δ) R 3. Η F(x 0,y 0,z 0 ) = 0, ενώ F z (x 0,y 0,z 0 ) 0. Τότε υπάρχουν ϑετικοί αριθµοί α,β,γ τέτοιοι ώστε για κά- ϑε x (x 0 α,x 0 + α) και y (y 0 β,y 0 + β) η εξίσωση F(x,y,z) = 0 δέχεται µία και µοναδική λύση εντός του διαστήµατος (z 0 γ,z 0 + γ), η οποία τείνει στο z 0 όταν τα x και y τείνουν στο x 0,y 0. Αν ϑεωρήσουµε ότι το z είναι συνάρτηση των x, y (π.χ. F(x, y, z(x, y)) = 0), τότε οι παράγωγοι της πλεγµένης συνάρτησης z(x, y) ϐρίσκεται ως εξήσ: Τα x και y εµφανίζονται ταυτόχρονα και στη συνάρτηση F αλλά και στην συνάρτηση z, άρα το διαφορικό της F ϑα είναι df = F x dx + F y dy + F z dz = 0 (5.35) επίσης dz = z x dx + z y dy. Αντικαθιστώντας την έκφραση για το dz στην εξίσωση (5.35) έχουµε, (F x + F z z x )dx + (F y + F z z y )dy = 0. Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι ( ) ( ) F F z x + = 0, (5.36) z x και αν το ( F/ z) 0, τότε ( ) ( ) F/ x z = ( ) (5.37) x F/ z όµοια υπολογίζεται και η παράγωγος ( z/ y).

152 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις 5.5.2 Παράγωγος ανώτερης τάξης Η παράγωγος δεύτερης τάξης υπολογίζεται εύκολα από τη σχέση (5.37). Για παράδειγµα η δευτερη παράγωγος 2 z / x2 µπορεί να υπολογισθεί ως εξήσ: ή ή ή οπότε, x ( F x + F z ) z = 0 x ( ) F + ( F x x x z 2 [ F x 2 + 2 F z 2 x z x + F x z + 2 F z 2 2 ( F 2 )( ) x 2 + 2 F z + 2 F x z x z 2 )( ) z + F 2 z x z x 2 = 0 2 z x 2 = F 2 z F xx 2F x F z F xz + F 2 xf zz F 3 z ( )] ( ) z z + F 2 z x x z x 2 = 0 ( ) z 2 + F 2 z x z x 2 = 0 (5.38) ( ) ( όµοια υπολογίζουµε και τις παραγώγους 2 z y 2 και 2 z x y ). (5.39) Παράδειγµα 5.11: Αν η εξίσωση F(x, y, z) = 0 µπορεί να επιλυθεί για οποιαδήποτε από τις µεταβλητές x, y, z συναρτήσει των άλλων δύο, δείξτε ότι ( x y ) z ( y z ) x ( ) z = 1, x y όταν η µεταβλητή έξω από κάθε παρένθεση διατηρείται σταθερή κατά την παραγώγιση. Απάντηση: Θεωρώντας αρχικά το x ως συνάρτηση των y και z, παίρνουµε µε παραγώγιση ως προς y ( ) x F x x y + F y = 0, = F y. (5.40) y F x Με παρόµοιο τρόπο ϐρίσκουµε z

5.5 Πλεγµένες συναρτήσεις 153 ( ) y = F ( ) z z, = F x. (5.41) z x F y x y F z Πολλάπλασιάζοντας τις (5.40) και (5.41) κατά µέλη έχουµε ( ) ( ) ( ) x y z = 1. y z z x x y Παράδειγµα 5.12: Αν το z είναι εξαρτηµένη µεταβλητή και τα x, y ανεξάρτητες, να ϐρεθεί η µερική παράγωγος z x από την εξίσωση x 2 16 + y2 12 + z2 9 = 1. Απάντηση: Εχουµε 2x 16 + 2z 9 και από αυτήν z x = 0 z x = 9x 16z. Η εξίσωση που µας δίνεται ορίζει δύο συναρτήσεις των x και y, που ατιστοιχούν στισ: z = ±3 (1 x2 16 y2 )1 2. 9 Αντικαθιστώντας τις τιµές αυτές του z στην εξίσωση που ϐρήκαµε υπολογίζουµε τη µερική παράγωγο για κάθε µια από αυτές τις δύο συναρτήσεισ: z x = 3x 16 ) (1 x2 16 y2 1 2. 9 Μπορούσαµε να ϕτάσουµε στο ίδιο αποτέλεσµα αν παραγωγίζαµε τη σχέση που µας δίνει το z. Παράδειγµα 5.13: Εστω ότι η z = z(x, y) είναι πλεγµένη διαφορίσιµη συνάρτηση των x και y που ορίζεται από την εξίσωση ze xz + x + y = 1. Υπολογίστε τα z x και z y στο σηµείο (x,y,z) = (0,0,1).

154 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις Απόδειξη: (Α Μέθοδοσ:) Θεωρώντας το y σταθερό και παραγωγίζοντας ως προς x, παίρνουµε e xz z x + ze xz (xz x + z) + 1 = 0. Επίσης παραγωγίζοντας ως προς y, έχουµε e xz z y + xze xz z y + 1 = 0. Τότε, στο (0,0,1) λύνουµε τις παραπάνω εξισώσεις ως προς z x και z y, και καταλήγουµε στις Ϲητούµενες σχέσεις z x (0,0) = 2,z y (0,0) = 1. Β Μέθοδοσ: Γράφουµε την εξίσωση ως F(x,y,z) = ze xz +x+y 1 = 0, όπου η F είναι µια συνάρτηση των τριών µεταβλητών x,y και z. Επειδή η F είναι σταθερή άρα df = 0. Μπορούµε όµως, να υπολογίσουµε το df και από τον ορισµό της F και έχουµε df = (z 2 e xz + 1)dx + dy + e xz (1 + x z )dz. Θέτοντας df = 0 και λύνοντας ως προς dz στο σηµείο (x,y) = (0,0) για z = 1, παίρνουµε dz(0,0) = 2dx dy. Επειδή το z = z(x,y), έχουµε ακόµα ότι dz(0,0) = z x (0,0)dx + z y (0,0)dy και συνεπώς, z x (0,0)dx + z y (0,0)dy = 2dx dy. Ετσι, αν διαλέξουµε dx 0 και dy = 0, παίρνουµε z x (0,0) = 2, ενώ αν dx = 0 και dy 0, ϐρίσκουµε z y (0,0) = 1. 5.6 Ιακωβιανές ορίζουσες Ορίζουµε ως Ιακωβιανή ορίζουσα ή απλά Ιακωβιανή των διαφορισίµων συναρτήσεων f 1 (x,y) και f 2 (x,y), που ορίζονται στον τόπο D R 2, την ορίζουσα J = D(f 1,f 2 ) D(x 1,x 2 ) = f 1 x 1 f 1 x 2 f 2 x 1 f 2 x 2 ΘΕΩΡΗΜΑ 5.7: Αν τα x 1 (t 1,t 2 ),x 2 (t 1,t 2 ) είναι συναρτήσεις, των t 1,t 2 τότε ισχύει η σχέση [ ] [ ] D(f 1, f 2 ) D(t 1, t 2 ) = D(f1, f 2 ) D(x1, x 2 ). D(x 1, x 2 ) D(t 1, t 2 )

5.7 Μερικές παράγωγοι πλεγµένων συναρτήσεων 155 Αναλύοντας το αριστερό µέλος της παραπάνω σχέσης έχουµε ( )( ) ( )( ) D(f 1, f 2 ) D(t 1, t 2 ) = f1 f2 f2 f1 t 1 t 2 t 1 t 2 αντικαθιστώντας τις σχέσεις ( ) ( )( ) ( )( ) f1 f1 x1 f1 x2 = + t 1 x 1 t 1 x 2 t 1 ( ) ( )( ) ( )( ) f2 f2 x1 f1 x2 = + t 1 x 1 t 1 x 2 t 1 ( ) ( )( ) ( )( ) f1 f1 x1 f1 x2 = + t 2 x 1 t 2 x 2 t 2 ( ) ( )( ) ( )( ) f2 f2 x1 f2 x2 = + t 2 x 1 t 2 x 2 t 2 και µετά από αρκετές αλλά απλές πράξεις καταλήγουµε στο δεξί µέλος [ ] [ ] D(f1, f 2 ) D(x1, x 2 ). D(x 1, x 2 ) D(t 1, t 2 ) (Υπόδειξη: Να γίνουν οι πράξεις αναλυτικά µέχρι το τέλος!) 5.7 Μερικές παράγωγοι πλεγµένων συναρτήσεων Εστω οι εξισώσεις F 1 (x,y,z,u(x,y,z),w(x,y,z)) = 0, F 2 (x,y,z,u(x,y,z),w(x,y,z)) = 0 ορίζουν τις πλεγµένες συναρτήσεις u, w των x, y, z. Μπορούµε να γενικεύσουµε όσα είπαµε ήδη για τις πλεγµένες συνάρτησεις στην παράγραφο 5.5 και να υπολογίσουµε τις παραγώγους u x και w x. Παραγωγί- Ϲοντας τις εξισώσεις F 1 = 0, F 2 = 0, και έχουµε F 1 x + F 1 u u x + F 1 w w x = 0 F 2 x + F 2 u u x + F 2 w w x = 0 Το σύστηµα είναι γραµµικό και έχει λύση αν η Ιακωβιανή

156 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις τότε J = D(F 1,F 2 ) D(u, w) u x = D(F 1,F 2 ) D(w,x) D(F 1,F 2 ) D(u,w) 0, w x = D(F 1,F 2 ) D(x,u) D(F 1,F 2 ) D(u,w). Οµοια υπολογίζουµε και τις παραγώγους u y,w y u y = D(F 1,F 2 ) D(w,y) D(F 1,F 2 ) D(u,w) w y = D(F 1,F 2 ) D(y,u) D(F 1,F 2 ) D(u,w) και στη συνέχεια τις παραγώγους ανώτερης τάξης. Τα ολικά διαφορικά du και dw υπολογίζονται από το σύστηµα των εξισώσεων df 1 = 0 = F 1 x dx + F 1 y dy + F 1 z dz + F 1 u du + F 1 w dw df 2 = 0 = F 2 x dx + F 2 y dy + F 2 z dz + F 2 u du + F 2 w dw. Μπορούµε, µε τον ίδιο τρόπο, να υπολογίσουµε τα ολικά διαφορικά δεύτερης τάξης d 2 u,d 2 w από τη λύση του συστήµατος d 2 F 1 = 0, d 2 F 2 = 0. Παράδειγµα 5.14 Εστω f(x,y,z,u,v,w) = x usin v cos w g(x,y,z,u,v,w) = y usin v sinw h(x,y,z,u,v,w) = z ucos v Υπολογίστε τις Ιακωβιανές (f,g,h) (u,v,w) και (f, g) (x,v). Απάντηση: Η πρώτη Ιακωβιανή είναι (f,g,h) (u,v,w) = f u f v f w g u g v g w = u2 sin v, hu hv hw ενώ η δεύτερη (f, g) (x,v) = f x f v g x g = 1 ucos v cos w v 0 ucos v sin w = ucos v sin w..

5.7 Μερικές παράγωγοι πλεγµένων συναρτήσεων 157 Παράδειγµα 5.15: είξτε οτι οι εξισώσεις 2x y + u 3 v 2 = 1 x + y + u 2 + v 3 = 4 (5.42) µπορούν να λυθούν ως προς τις συναρτήσεις u = g(x,y),v = h(x,y) σε µια γειτονιά του σηµείου (1,1), ώστε g(1,1) = h(1,1) = 1. Αν µετρούν να λυθούν, υπολογίστε τα g/ x, h/ y στο σηµείο (1,1). Απόδειξη: Ορίζουµε τη συνάρτηση f(x,y,u,v) = (2x y +u 3 v 2,x+ y + u 2 + v 3 ). Αν f 1,f 2 είναι οι συνιστώσες συναρτήσεις της f έχουµε (f 1,f 2 ) (u,v) = 3u2 2v 2u 3v 2 = 9u2 v 2 + 4uv. Οταν u = v = 1, τότε η Ιακωβιανή είναι διαφορετική από το µηδέν. Αρα συµπεραίνουµε ότι υπάρχουν οι συναρτήσεις g και h. Παραγωγίζοντας τις εξισώσεις (5.42) ως προς x µε τον κανόνα της σύνθετης παραγώγισης και γνωρίζοντας ότι τα u και v είναι συναρτήσεις των x και y παίρνουµε 2 + 3u 2 u v v 2v = 0,1 + 2u u + 3v2 x x x x = 0. Αυτές οι γραµµικές εξισώσεις µπορούν να λυθούν ως προς τους άγνωστους u/ x και v/ x, οπότε έχουµε u x = 6v2 2v 9u 2 v 2 +4uv = 6v + 2 9u 2 v + 4u Οταν u = v = 1,u/x = 8/13. Παραγωγίζουµε τις (5.42) ως προς y και παίρνουµε 1 + 3u 2 u y 2v v y = 0, απ οπου έχουµε v y = 3u2 + 2u 9u 2 v 2 + 4u = 3u + 2 9uv + 4. Οταν u = v = 1, τότε v/ y = 5/13. 1 + 2u u y + 3v2 v y = 0, Παράδειγµα 5.16: Αν οι µεταβλητές x, y, u, v συνδέονται µέσω των εξισώσεων f(x,y,u,v) = x 2 y 2 + 2uv + 15 = 0, g(x,y,u,v) = x + 2xy u 2 + v 2 10 = 0 (5.43)

158 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις και το σηµείο P 0 (x,y,u,v) = (1,2, 2,3) ικανοποιεί τις εξισώσεις αυτές, δείξτε ότι οι εξισώσεις (5.43) ορίζουν τα u και v σαν διαφορίσιµες συναρτήσεις των x και y σε κάποια γειτονιά του σηµείου (1,2) και υπολογίστε τα u x,v x, και u xx στο σηµείο αυτό. Απάντηση: Οι εξισώσεις (5.43) ορίζουν τα u και v σαν συναρτήσεις των x και y σε µια γειτονιά του P 0 αν η Ιακωβιανή (f,g)/ (u,v) 0 στο. Αυτό ισχύει επειδή P 0 Είναι (f, g) (u,v) = f u g v f v g u = 4(u 2 + v 2 ) 0 στο P 0. v x = (f,g) (u,x) (f,g) (u,v) v(1 + 2y) + 2xu = 2(u 2 + v 2 = 11 ) 26 P 0. Από την έκφραση για το u x ως προς x,y,u και v, έχουµε όπου και u xx = A B = 1407 2(13) 3 στο P 0 A = (u 2 + v 2 )[2(v + xv x ) (1 + 2y)u x ] 2[2xv u(1 + 2y)](uu x + vv x ) B = 2(u 2 + v 2 ) 2. 5.8 Συναρτησιακή εξάρτηση ύο συναρτήσεις f 1 (x 1,x 2 ),f 2 (x 1,x 2 ) όταν είναι ορισµένες στον τόπο D, ϑα λέµε ότι είναι συναρτησιακά εξαρτηµένες, αν υπάρχει συνάρτηση F τέτοια ώστε F(f 1,f 2 ) = 0. Μπορούµε επίσης να διατυπώσουµε το εξής ϑεώρηµα:

5.8 Συναρτησιακή εξάρτηση 159 ΘΕΩΡΗΜΑ 5.8: Εστω οι συναρτήσεις f 1 (x 1,x 2 ),f 2 (x 1,x 2 ) των ανεξαρτήτων µεταβλητών x 1,x 2, των οποίων οι πρώτες µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς στον τόπο D που ορίζονται. Θα λέµε ότι, οι συναρτήσεις f 1,f 2 είναι συναρτησιακά εξαρτηµένες, αν η Ιακωβιανή J = D(f 1,f 2 ) D(x 1,x 2 ) 0 (5.44) στο τόπο D. Απόδειξη: Ενας απλός τρόπος να ελέγξουµε, αν οι f 1,f 2 είναι συναρτησιακά εξαρτηµένες, είναι να παραγωγίσουµε την F ως προς x 1 και x 2, ( )( ) ( )( ) F F f1 F f2 = + = 0 x 1 f 1 x 1 f 2 x 1 ( )( ) ( )( ) F F f1 F f2 = + = 0. x 2 f 1 x 2 f 2 x 2 Οι παράγωγοι F/ f 1 και F/ f 1 δεν είναι δυνατόν αν είναι ταυτοτικά ίσες µε το µηδέν διότι τότε η F(f 1,f 2 ) ϑα είναι σταθερά και ανεξάρτητη απο τα f 1 και f 2. Το παραπάνω σύστηµα επιδέχεται λύση διάφορη της προφανούς µόνο όταν το J = 0 στο τόπο D. Στην αντίθετη περίπτωση (J 0), όπως αναφέραµε ήδη, δεν υπάρχει εξαρτηση µεταξύ των f 1 και f 2 και µπορούµε να λύσουµε ως προς x 1 και x 2. Παράδειγµα 5.17: είξτε ότι οι συναρτήσεις f 1 = x 2 + y 2 + z 2,f 2 = xy + yz + zx,f 3 = x + y + z είναι εξαρτηµένες. Απόδειξη: Η Ιακωβιανή ορίζουσα αποδεικνύεται ότι είναι J = D(f 1,f 2,f 3 ) D(x,y,z) = 0 και οι συναρτήσεις f 1,f 2,f 3 συνδέονται µε τη σχέση f 1 = f 2 3 2f 2. Παράδειγµα 5.18 Να δειχθεί ότι οι συναρτήσεις f 1 (x,y,z) = 3x + 2y z, f 2 (x,y,z) = x 2y + z, f 3 (x,y,z) = x 2 + 2xy xz είναι συναρτησιακά εξαρτηµένες στο R 3 και να ϐρεθεί η ισότητα την που ικανοποιούν. Απόδειξη: είχνουµε πρώτα ότι

160 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις D(f 1,f 2,f 3 ) D(x,y,z) = 0, άρα οι συναρτήσεις είναι εξαρτηµένες. Από τις συναρτήσεις f 1,f 2 λύνουµε ώς προς x και y και έχουµε x = (f 1 + f 2 )/4, y = (f 1 3f 2 + 4f 3 )/8. Τις τιµές αυτές τις αντικαθιστούµε στην f 3 οπότε µετά από πράξεις έχουµε f 2 1 f2 2 8f 3. 5.9 Μετασχηµατισµοί Ενα ενδιαφέρον πρόβληµα στη ϕυσική είναι οι µετασχηµατισµοί συστη- µάτων συντεταγµένων. Εχουµε ήδη τονίσει στο Κεφάλαιο 1 ότι πολλά προβλήµατα λύνονται δύσκολα σε ένα σύστηµα, ενώ καταστρώνονται εύκολα σε ένα άλλο. Στη περίπτωση αυτή πρέπει όλες οι ϕυσικές ποσότητες να µετασχηµατιστούν από το ένα σύστηµα στο άλλο. Η µαθηµατική ϑεµελίωση του µετασχηµατισµού συστηµάτων είναι απλή. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ένα σύστηµα εξισώσεων u = φ(x,y) v = ψ(x,y) και οι δύο συναρτήσεις είναι συνεχείς και παραγωγίσιµες στο επίπεδο (xy). Στο Σχ. 5.1 δίνουµε µια γραφική παράσταση του µετασχηµατισµού από το ένα σύστηµα στο άλλο. k 3 y ç y=k 1 y=k 2 y=k 3 k 2 x=c 3 k 1 0 x=c 2 x=c 1 x C 1 C 2 C 0 3 s Σχήµα 5.1. Η αλλαγή συστήµατος συντεταγµένων µετατρέπει τη δέσµη των ευθειών x = k i, y = k j όπου k=σταθερές στο νέο σύστηµα u, v. Η µετάβαση στο νέο σύστηµα δηµιουργεί και την ανάγκη της επιστροφής στις αρχικές συντεταγµένες. Οταν οι συναρτήσεις φ, ψ είναι απλές, η

5.9 Μετασχηµατισµοί 161 αναλυτική τους λύση επιτρέπει την εύρεση των παραγώγων τους αναλυτικά. Σε πολλά προβλήµατα αυτό είναι αδύνατον και για το λόγο αυτό µπορούµε να προχωρήσουµε στη µελέτη κατευθείαν του µετασχηµατισµού των παραγώγων. Ας υποθέσουµε ότι ο µετασχηµατισµός u = φ(x,y), v = ψ(x,y) µας µεταφέρει απο το καρτεσιανό σύστηµα σε ένα νέο και ο αντίστροφος µετασχηµατισµός είναι x = g(u, v), y = h(u, v), άρα u = φ(g(u,v),h(u,v)), v = ψ(g(u,v),h(u,v)). Αν παραγωγίσουµε ως προς u και v έχουµε 1 = φ x g u + φ y h u, 0 = φ x g v + φ y h v 0 = ψ x g u + ψ y h u, 1 = ψ x g v + ψ y h v. Από τις σχέσεις αυτές υπολογίζουµε τις παραγώγους g u = ψ y J, g v = φ y J, h x = ψ x J, h v = φ x J, όταν η Ιακωβιανή J = u x v y u y v x 0. Αν επιστρέψουµε στο αρχικό σύστηµα, οι παράγωγοι ϑα είναι x u = u y J, x v = u x J, y v = v x J, y v = u x J. Με το τρόπο αυτό οι µερικές παράγωγοι υπολογίζονται στο κάθε σύστηµα χωριστά και συνδέονται µε τις παραπάνω σχέσεις. Μετασχηµατίζοντας τα παραπάνω σε πολικές συντεταγµένες έχουµε u = r = x 2 + y 2, v = θ = arctan(y/x). Από τους προηγούµενους τύπους καταλήγουµε στις σχέσεις r x = x r r y = y r, θ x = y r 2, θ y = x r 2, και η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι ίση µε ( x ) ( x ) ( y J = r r 2 r)( y ) r 2 = 1 r, ενώ οι παράγωγοι των αντίστροφων µετασχηµατισµών, x(r, θ), y(r, θ) είναι x r = x r, x θ = y, y r = y r, y θ = x.

162 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις Στο απλό αυτό παράδειγµα ϑα µπορούσαµε να ϐρούµε τις παραγώγους ευκολότερα από τις αντίστροφες σχέσεις x = r cos θ,y = r sin θ, επειδή στη προκειµένη περίπτωση η αναλυτική λύση του µετασχηµατισµού είναι απλή. Με ϐάση όλα όσα είπαµε µέχρι τώρα, προκύπτει µία ενδιαφέρουσα ιδιότητα της Ιακωβιανής ορίζουσασ: Η Ιακωβιανή του αντιστρόφου συστή- µατος είναι η αντίστροφη του αρχικού, δηλαδή, D(x, y) D(u,v) = 1 D(u,v) D(x,y). Παράδειγµα 5.19 Η συνάρτηση z των µεταβλητών x, y ορίζεται από τις εξισώσεις x = u + v, y = u 2 + v 2, z = u 3 + v 3, (u v). Να υπολογισθούν οι παράγωγοι z x,z y Απόδειξη: Παραγωγίζοντας την συνάρτηση z ως προς x και y έχουµε z x = 3u 2 u x + 3v 2 v x και z y = 3u 2 u y + 3v 2 v y Παραγωγίζουµε την εξίσωση x = u + v ως προς x και y, 1 = u x + v x 0 = u y + v y το ίδιο και για την δεύτερη εξίσωση y = u 2 + v 2 0 = 2uu x + 2vv x 1 = 2uu y + 2vv y. Λύνουµε το παραπάνω σύστηµα ως πρός u x,u y,v x,v y και αντικαθιστούµε στις σχέσεις που προσδιορίζουν τα z x και z y, και ϐρίσκουµε z x = 3uv και z y = 3 (u + v). 2 5.10 Λυµένες ασκήσεις 5.1 Να υπολογιστεί η έκφραση 2 U = 2 U x 2 + 2 U y 2 µε νέες µεταβλητές (r,θ) όταν x = e r cosθ και y = e r sinθ. Απάντηση: U r = U x x r + U y y r

5.10 Λυµένες ασκήσεις 163 Οµοια 2 U r 2 = 2 U x 2 + 2 U y 2 ( ) x 2 + 2 2 U r x y ( ) y 2 + U 2 y r y r 2. x y r r + U 2 x x r 2 2 U θ 2 = 2 U x 2 + 2 U y 2 ( ) x 2 + 2 2 U θ x y ( ) y 2 + U 2 y θ y θ 2 x y θ θ + U 2 x x θ 2 2 U r 2 + 2 U θ 2 = 2 U x 2 e2r (sin 2 θ + cos 2 θ) + 2 U y 2 e2r (sin 2 θ + cos 2 θ). Άρα 2 ( U x 2 + 2 U 2 ) y 2 = U e 2r r 2 + 2 U θ 2. 5.2 : Να µετατραπεί η εξίσωση 2 z x 2 z 2 y = 0 2 στις νέες µεταβλητές u,v, όταν x = au + bv και y = au bv µε ab 0 και στη συνέχεια να ϐρεθεί η λύση z(u,v). Απάντηση: Υπολογίζουµε τις παραγώγουσ: ( z z u = α x + z ) y και 2 ( z 2 ) u v = αb z x 2 2 z y 2 = 0 Η λύση της εξίσωσης 2 z u v = 0 2 z u v = 0. είναι της µορφής ( z/ u) = R(v) και στη συνέχεια παίρνει τη µορφή z(u,v) = R(u) + Φ(v). 5.3: Αν z = e y f(ye x2 /2y 2 ) είναι µια διαφορίσιµη συνάρτηση, δείξτε ότι (x 2 y 2 ) z z x + xy y = xyz.

164 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις Απόδειξη: Θέτοντας v = e y και u = ye (x2 /2y 2) η συνάρτηση z παίρνει τη µορφή z = vf(u) και ισχύουν z x = u [vf(u)] u x + v [vf(u)] v [ ( ] x 2x y )e x2 /2y 2 2y 2 = [v df du ] + 0 = [v df du ]x y ex2 /2y 2 z y = u [vf(u)] u y + v [vf(u)] v y [ e x2 /2y 2 + y ( x2 = [v df du ] y 3 )e x2 /2y 2 ] + f(u)e y. Αντικαθιστώντας έχουµε ( ) x [ (x 2 y 2 /2y )[ vf(u)] 2 y ex2 + xy vf(u) (e x2 /2y 2) + f(u)e y] = xyf(u)e y = xyz. 5.4 : Αν z = f(x + ay), είναι µια διαφορίσιµη συνάρτηση, δείξτε ότι a z x = z y. Απόδειξη: Εστω x + ay = t. Τότε και z x = f t t x = f t και έχουµε z y = f t t y = a f t a z x = z y. 5.5: Αν z = e x siny, όπου x = st 2 και y = s 2 t, υπολογίστε τις µερικές παραγώγους z z s και t. Απάντηση:

5.10 Λυµένες ασκήσεις 165 z s = z x x s + z y y s = (ex siny)(t 2 ) + (e x cosy)(2st) = t 2 e st2 sin(s 2 t) + 2ste st2 cos(s 2 t) z t = z x x t + z y y t = (ex siny)(2st) + (e x cosy)(s 2 ) = 2ste st2 sin(s 2 t) + s 2 e st2 cos(s 2 t). 5.6: Αν g(s,t) = f(s 2 t 2,t 2 s 2 ) και η f είναι πραγωγίσιµη, δείξτε ότι η g ικανοποιεί την εξίσωση t g s + s g t = 0 Απόδειξη:Θέτουµε x = s 2 t 2 και y = t 2 s 2 η g(s,t) = f(x,y) και έχουµε Άρα g s = f x x s + f y y g t = f x x t + f y y s = f x t = f x 2s + f y ( 2s) ( 2t) + f y 2t. t g ( s + s g t = 2st f ) ( x 2st f + 2st f ) y x + 2st f = 0. y 5.7 : Αν F(x,y) είναι µια γνωστή διαφορίσιµη συνάρτηση των x και y και εισάγουµε τις πολικές συντεταγµένες r, θ µε τις σχέσεις x = rcosθ, y = rsinθ, τότε η F µετατρέπεται σε µια συνάρτηση G των r και ϑ: G(r,θ) = F(rcosθ,rsinθ). Βρείτε τις µερικές παραγώγους G r και G F F θ ως συναρτήσεις των x και y. Στη συνέχεια υπολογίστε τη µερική παράγωγο 2 G r θ. Απόδειξη: Εχουµε x r = cosθ, y r = sinθ, x θ Ο κανόνας σύνθετης παραγώγισης δίνει G r = F F cos θ + x y = rsinθ, y θ = rcosθ. G sinθ, θ = F F r sinθ + r cos θ. x y

166 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις Παραγωγίζουµε και τις δύο πλευρές του τύπου που ϐρήκαµε για την G θ ως προς r, γνωρίζοντας ότι οι παράγωγοι F x, F y εξαρτώνται από τα x,y, πρέπει να ϑεωρηθούν ως σύνθετες συναρτήσεις των r και θ και έχουµε 2 G r θ = F x r (r sin θ) r + ( ) F r cos θ. r y ( ) F r sinθ + F x y Πρέπει να υπολογίσουµε τώρα τις εκφράσεις του τύπου r (r cos θ) r ( F x ). Θέτουµε F/ x = F 1 (x,y), έχουµε H/ r, όπου H(r,θ) = F 1 (r cos θ,r sin θ). Αυτό το Ϲητούµενο είναι ακριβώς το ίδιο µε την εύρεση του G/ r, µόνο που στη ϑέση της F έχουµε την F 1, και στη ϑέση της G την F. ή H r = F 1 x cos θ + F 1 y sin θ ( ) F = 2 F r x x 2 cos θ + 2 F y x sinθ. Με όµοιο τρόπο ϐρίσκουµε ( ) F = 2 F r y x y cos θ + 2 F y 2 sinθ. Με αντικατάσταση ϐρίσκουµε ότι, 2 G r θ = F ( 2 x sinθ F + F y cos θ + ) y x sin θ ) x 2 cos θ + 2 F ( 2 F x y cos θ + 2 F y 2 sinθ r sin θ r cos θ. Αν η F και οι µερικές παράγωγοι της πρώτης τάξης είναι διαφορίσιµες συναρτήσεις ισχύει 2 F y x = 2 F x y.

5.10 Λυµένες ασκήσεις 167 Γι αυτό µπορούµε να απλουστεύσουµε την προηγούµενη έκφραση, αν ϑέσουµε u = F(x,y) = G(r,θ) έχουµε 2 u r θ = r sin θ cos u θ 2 x 2 + r(cos2 θ sin 2 θ) 2 u x y + r sin θ cos θ 2 u sin θ u + cos θ u y2 x y. 5.8 : (α)αν x = u 2 v 2,y = 2uv, ϐρείτε τα u x, v x, u y, v y ( ). Αν f = 2 ( 2 f f(x,y), εκφράστε την x + f y) σε συνάρτηση των µερικών παραγώγων της f ως προς u, v. (ϐ) Βρείτε την παράγωγο 2 f x y ως συνάρτηση των παραγώγων της f ως προς τα u και v, όταν u = 2, v = 1. Απόδειξη: (α)με τον κανόνα σύνθετης παραγώγισης για µια συνάρτηση g(x, y) έχουµε g x = g u u x + g v v x (5.45) g y = g u u y + g v v y. (5.46) Ειδικά όταν g = x ϐρίσκουµε 1 = 2u u x Οµοια, όταν g = y, ϐρίσκουµε v 2v,0 = 2u u x y 2v v y. 0 = 2v u x + 2u v,1 = 2v u x y 2u v y. Λύνοντας τις τέσσερις τελευταίες εξισώσεις παίρνουµε, u x = u y = u 2(u 2 + v 2 ), v x = v 2(u 2 + v 2 ), v y = v 2(u 2 + v 2 ), u 2(u 2 + v 2 ). Αντικαθιστώντας αυτές τις τιµές στις (5.45),(5.46) και αντικαθιστώντας το g µε f, έχουµε

168 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις ( f x = 1 2(u 2 + v 2 u f ) f y = 1 2(u 2 + v 2 ) απ όπου ( ) f 2 + x ( ) f 2 = y ) u v f v ( v f ) u u f v 1 4(u 2 + v 2 ) [ ( f ) 2 + u ( ) ] f 2. v (5.47) (5.48) (ϐ)από την (5.47) συµπεραίνουµε ότι, ( x = 1 2(u 2 + v 2 u ) u v ). v Εφαρµόζοντας αυτόν τον τελεστή στην (5.48) έχουµε όταν u = 2, v = 1 2 f x y = 1 ( 10 = 1 20 + 1 100 2 u )[ ( 1 v 2(u 2 + v 2 v f )] ) u u f v [( 2 u ) ]( ) 1 f v u 2 + v 2 u + 2 f v ( 2 u v )( v f u + u f v Προσέξτε ότι, έχουµε αντικαταστήσει το u µε 1 και το v µε 2 µόνο σε εκείνες τις συναρτήσεις των u και v που δεν παραγωγίζονται. Εκτελώντας τις παραγωγίσεις και ϑεωρώντας ότι, τα u και v είναι ανεξάρτητες µεταβλητές, ϐρίσκουµε 2 f x y = 1 500 ). ( 10 2 f u 2 + 15 2 f u v 10 2 f v 2 11 f u 2 f v 5.9: Μετατρέψτε την εξίσωση x 2 z z x + y2 y = z2, ϑέτοντας u = x, v = 1 y 1 x για νέες ανεξάρτητες µεταβλητές και w = 1 z 1 x για τη νέα συνάρτηση. Απάντηση: Εκφράζουµε τις µερικές παραγώγους z/ x, z/ y ως προς τις µερικές παραγώγους w/ u, w/ v. Για να το κάνουµε αυτό, παραγωγίζουµε τις σχέσεις που δίνονται ανάµεσα στις καινούριες και τις παλιές µεταβλητέσ: du = dx, dv = dx x 2 dy dx, dw = y2 x 2 dz z 2. ).

5.10 Λυµένες ασκήσεις 169 Επίσης ισχύει, Άρα, ή dw = w w du + u v dv. w u w dx du + dv = v x 2 dz z 2 ( w w dx du + u v x 2 dy ) y 2 = dx x 2 dz z 2 απ όπου ( 1 dz = z 2 x 2 w u 1 w )dx x 2 + z2 w v y 2 v dy Συνεπώς έχουµε z x = z2 ( 1 x 2 w u 1 w x 2 v ), z y = z2 y 2 w v. Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση που µας δίνεται, παίρνουµε ( 1 x 2 z 2 x 2 w u 1 ) w x 2 + z 2 w v v = z2 ή w u = 0. Στην άσκηση αυτή είναι ϕανερή αξία της αλλαγής µεταβλητών. 5.10 : Μετατρέψτε την εξίσωση 2 z + 2 2 z x 2 x y + 2 z = 0 y 2 στις νέες µεταβλητές u = x + y,v = x y και τη νέα συνάρτηση w = xy z όταν w = w(u,v). Απόδειξη: Από τη σχέση υπολογίζουµε εύκολα ότι w xx = z xx, w yy = z yy και w xy = 1 z xy. Άρα η αρχική εξίσωση µετατρέπεται στην εξίσωση w xx + 2w xy + 2w yy = 2. (5.49) Οι παράγωγοι w xx,w yy και w xy υπολογίζονται από τις σχέσεις

170 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις και w x = w u u x + w v v x = w u + w v w xx = w uu + 2w uv + w vv. Οµοια ϐρίσκουµε ότι w yy = w uu 2w vu + w vv, w xy = w uu w vv Μετά από αντικατάσταση στη σχέση (5.49) έχουµε ότι 2 w u 2 = 1 2. 5.11 : Αν G(x, y) είναι διαφορίσιµη συνάρτηση και x = rcosφ, y = rsinφ, δείξτε ότι ( ) G 2 ( ) G 2 ( ) G 2 + = + 1 ( ) G 2 x y r r 2. φ Απόδειξη: Ισχύουν οι σχέσεις G r = G x x r + G y y r = G x cosφ + G y sinφ (5.50) G φ = G x x φ + C y y φ = G x rsinφ + G y rcosφ (5.51) Από τις (5.50) και (5.51) προκύπτει εύκολα το Ϲητούµενο. 5.12: Εάν u είναι συνάρτηση του r = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2, δείξτε ότι ( ) u 2 + x Απόδειξη: Ισχύει ( ) u 2 + y ( ) u 2 = z u = u(r), r = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2. Ας υπολογίσουµε τα u x,u y,u z. Θα είναι u x = u r r x = xu r (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 u y = u r r y = yu r (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 u z = u r r z = zu r (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2. ( ) du 2. dr

5.10 Λυµένες ασκήσεις 171 Άρα u 2 x + u 2 y + u 2 z = x 2 u 2 r(x 2 + y 2 + z 2 ) 1 + y 2 u 2 r(x 2 + y 2 + z 2 ) 1 + z 2 u 2 r (x 2 + y 2 + z 2 ) 1 = u 2 r(x 2 + y 2 + z 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) 1 = u 2 r. 5.13: Εάν z = xy + xf( y z x ), δείξτε ότι x x + y z y Απόδειξη: Θέτουµε u = y x µε u x = y x 2, u y = 1 x. Άρα ϑα είναι z = xy + xf[u(x,y)]. = xy + z. Οπότε αν υπολογίσουµε τις µερικές παραγώγους z x και z y, ϑα είναι Τελικά z x = y + F + xf u u x = y + F y x F u z y = x + xf u u y = x + F u. ( xz x + yz y = x y + F y ) x F u + y(x + F u ) = xy + xf yf u + yx + yf u = 2xy + xf = 2xy + x z xy x 5.14: Εάν u = x n f( y x ) + x n g( y x ), δείξτε ότι = xy + z. x 2 2 u x 2 + 2xy 2 u x y + y2 2 u y 2 + x u x + y u y = n2 u. Απόδειξη: Θέτουµε s(x) = x και t(x,y) = y x. Μετά από πράξεις καταλήγουµε στις σχέσεις u x = u s t s u t u xx = u ss 2 t s u st + t2 s 2u tt + 2 t s u t

172 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις u xy = 1 s u st t s 2u tt 1 s 2u t u y = 1 s u t u yy = 1 s 2u tt. Αντικαθιστώντας στην αρχική παράσταση ϐρίσκουµε ότι A = x 2 u xx + 2xyu xy + y 2 u yy + xu x + yu y = s 2 u ss + su s u s = ns n 1 f(t) ns n 1 g(t) u ss = n(n 1)s n 2 f(t) + n(n + 1)s n 2 g(t). Από τις τελευταίες σχέσεις προκύπτει η A = n 2 u. 5.15: είξτε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις αντίστοιχες σχέσεις ( ) (α) g(x,y) = f y x xy, z x xz, x 2 g g g x + y2 y + z2 z = 0 (ϐ) z = yln(x 2 y 2 ), 1 z x x + 1 z y y = z y 2. Απόδειξη: (α) Θέτουµε u = ( 1 x ) (1 y ) και v = (1 x ) (1 z ) οπότε g = f(u,v). Παραγωγίζοντας την g προς x,y και z έχουµε g x = f u ( 1 x 2 ) + f v( 1 x 2 ) g y = f u ( 1 y 2) g z = f v ( 1 z 2) αντικαθιστώντας τα g x,g y και g z στο αριστερό µέλος της δεδοµένης σχέσης παίρνουµε x 2 g x + y 2 g y + z 2 g z = 0. (ϐ) Η παράγωγος της συνάρτησης z = y ln(x 2 y 2 ) ως προς x είναι και z x = 2xy x 2 y 2

5.10 Λυµένες ασκήσεις 173 z y = ln(x 2 y 2 ) 2y2 x 2 y 2. Με αντικατάσταση στη σχέση zx x + zy y = z y 2 ϐρίσκουµε ότι την επαληθεύουν. 5.16: Εστω Φ(x, y, z(x, y)) τυχαία διαφορίσιµη συνάρτηση. Να δειχθεί ότι αν Φ(xyz,x + y + z) = 0, τότε x(y z) z + y(z x) z x y = z(x y) Απόδειξη: Θέτουµε u = xyz και v = x + y + z. Επειδή ισχύει Φ = 0 και Φ x = Φ y = Φ z = 0 µε την υπόθεση ότι z(x,y), έχουµε Φ x = Φ u [u x + u z z x ] + Φ v [v x + v z z x ] = 0 Φ y = Φ u [u y + u z z y ] + Φ v [v y + v z z y ] = 0 Υπολογίζουµε τις ποσότητες u x = yz, u y = xz,u z = xy,v x = v y = v z = 1, άρα Φ u [yz + xyz x ] + Φ v [1 + z x ] = 0 Φ u [xz + xyzy] + Φ v [1 + z y ] = 0. Για να έχει το σύστηµα αυτό λύση ως προς Φ u και Φ v διάφορη της µηδενικής (Φ u = Φ v = 0), πρέπει η ορίζουσα yz + xyz x 1 + z x xz + xyz y 1 + z y = 0. Από την σχέση αυτή προκύπτει η Ϲητούµενη σχέση x(y z)z x + y(z x)z y = z(x y). 5.17: Εάν f(u, v, w) έχει παραγώγους πρώτης τάξεως ως προς τις µεταβλητές και οι µεταβλητές (u,v,w) συνδέονται µε τις (x,y,z) µέσω τών σχέσεων u = ( 1 y ) (1 x ), v = (1 x ) (1 y ) και w = (1 y ) (1 z ), τότε δείξτε ότι ισχύει x 2 f x + y 2 f y + z 2 f z = 0. Απόδειξη: Υπολογίζουµε το f x, f x = f u u x + f v v x + f w w x = f u ( 1 x 2) + f v( 1 y 2) + f w 0.

174 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις Οµοια υπολογίζουµε και τα f y και f z και τα αντικαθιστούµε στη σχέση x 2 f x + y 2 f y + z 2 f z Ετσι ϐρίσκουµε ότι αυτή ισούται µε το µηδέν. ( 5.18: είξτε ότι αν W(x,y,z) = x y+z n, x+y z) τότε ισχύουν οι σχέσεις (α)xw x + yw y + zw z = 0 (ϐ)x 2 W xx + y 2 W yy + z 2 W zz + 2xyW xy + 2xzW xz + 2yzW yz = 0. Απόδειξη: (α) Αν υποθέσουµε ότι W(u) = u n όπου u = (x+y+z)/(x+ y z) τότε οι παράγωγοι W x = W u x,w y = W u y και W z = W u z παίρνουν τη µορφή (x y + z)n 1 W x = 2n(y z) (x + y z) n+1 (x y + z)n 1 W y = 2nx (x + y z) n+1 (x y + z)n 1 W z = 2nx (x + y z) n+1. Αντικαθιστώντας στη σχέση xw x + yw y + zw z = 0. (ϐ) Κάνοντας χρήση της προηγούµενης σχέσης και παραγωγίζοντας ως προς x,y και z έχουµε W x + xw xx + yw xy + zw xz = 0 (5.52) xw xy + yw yy + W y + zw yz = 0 (5.53) xw xz + yw yz + W z + zw zz = 0 (5.54) Πολλαπλασιάζοντας την (5.52) µε x, την (5.53) µε y και την (5.54) µε z και προσθέτοντας ϐρίσκουµε τη Ϲητούµενη σχέση. 5.19 : Να ϐρεθεί µια εξίσωση µε µερικές παραγώγους, η οποία να ικανοποιείται από τη συνάρτηση z(x, y) που ορίζεται από τη συνάρτηση Φ(x 2 z 2,x 3 y 3 ) = 0, όπου Φ τυχαία συνάρτηση. Απάντηση: Θέτοντας u = x 2 z 2 και v = x 3 y 3 Φ x = Φ y = 0. Παίρνοντας υπόψη ότι z = z(x,y) έχουµε

5.10 Λυµένες ασκήσεις 175 ή Οµοια Φ x = Φ u (u x + u z z x ) + Φ v (v x + v z z x ) = 0 Φ u (2x 2zz x ) + Φ v (3x 2 ) = 0. Φ y = 0 = Φ u ( 2zz y ) 3y 2 Φ v = 0. Για να έχει το σύστηµα λύση διαφορετική από την Φ u = 0 και Φ v = 0 ϑα πρέπει η ορίζουσα 2x 2zz x 3x 2 2zz y 3y 2 = 0 ή z(x 2 z y + y 2 z x ) = xy 2, που είναι η Ϲητούµενη εξίσωση. 5.20: Εάν η συνάρτηση F(x,y) είναι οµογενής ϐαθµού 2 και u = r m F(x,y), όπου r 2 = x 2 + y 2, δείξτε ότι 2 [ u x 2 + 2 u 2 ] y 2 = F rm x 2 + 2 F y 2 + m(m + 4)r m 2 F. Απόδειξη: 2r r r = 2x x x = x r 2 u x 2 = F rm 2 x 2 + 2mrm 2 x F x + mrm 2 F + m(m 2)r m 4 x 2 F (5.55) 2 u y 2 = F rm 2 y 2 + 2mrm 2 y F y + mrm 2 F + m(m 2)r m 4 y 2 F (5.56)

176 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις Προσθέτοντας τις (5.55) και (5.56) και αξιοποιώντας τη σχέση έχουµε x F x + y F y = 2F 2 u x 2 + 2 u y 2 = rm 5.21: Να δειχθεί ότι e x sin x dy + dxdy [ 2 ] F x 2 + 2 F y 2 + m(m + 4)r m 2 F. Απόδειξη: Αναπτύσσουµε τη συνάρτηση e x sinx σε σειρά McLauren και έχουµε f(x,y) f(0,0) + df(0,0) + 1 2! d2 f(0,0). Το f(0,0) = 0 και τα df(0,0) = f x (0,0)dx + f y (0,0)dy = 0dx + 1dy d 2 f(0,0) = 1 2 [ fxx (0,0)(dx) 2 + 2f xy (0,0)dxdy + f yy (dy) 2] = 1 2 [0(dx)2 + 2dxdy + 0(dy) 2 ] = dxdy. Αντικαθιστώντας τα df και d 2 f στο ανάπτυγµα ϐρίσκουµε τη Ϲητούµενη σχέση. 5.22: Να υπολογισθεί το ανάπτυγµα Taylor της συνάρτησης f(x,y) = arctan(y/x) στο σηµείο (1,1) µέχρι και όρους δεύτερης τάξης Απόδειξη: Για να εφαρµόσουµε τον τύπο (5.33) στο σηµείο (1,1) ϑα πρέπει πρώτα να υπολογίσουµε τις παραγώγους f x,f y,f xx,f xy,f xy και στη συνέχεια να υπολογίσουµε την τιµή τους στο σηµείο (1,1). Οι τιµές των παραγώγων στο συγκεκριµένο σηµείο είναι f x (1,1) = 1/2,f y (1,1) = 1/2,f xx (1,1) = 1/2,f xy (1,1) = 0, f yy (1,1) = 1/2 και το ανάπτυγµα Taylor ϑα είναι [ f(x,y) = arctan(1) + x 1 + y 1 ] + 1 [ (x 1) 2 2! 2 2 (y 1)2 2 2 ] +..

5.11 Ασκήσεις για λύση 177 5.11 Ασκήσεις για λύση 5.1 : Να ϐρεθεί η παράγωγος ως προς τη µεταβλητή t της σύνθετης συνάρτησης f(x,y) = ln(x 2 + y 2 ) όπου x = sint, y = cost. 5.2 : Να ϐρεθεί η δεύτερη παράγωγος ως προς τη µεταβλητή t της σύν- ϑετης συνάρτησης f(x,y) = xyz 2 όπου x = sin t,y = cos t, z = t 2 + 1. 5.3 : Να ϐρεθεί η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος ως προς u και t της σύνθετης συνάρτησης f(x,y) = tan 1 (y/x) όπου x = usin t,y = ucos t. 5.4: Να ϐρεθεί η πρώτη παράγωγος ως προς r και φ της σύνθετης συνάρτησης f(x,y) = x 2 + xy όπου x = r cos φ,y = r sin φ. 5.5 : Να ϐρεθεί η δεύτερη παράγωγος ως προς x της σύνθετης συνάρτησης f(x,y) = sin xy όπου y = cos x. 5.6 : Αν η F(x,y) = x x 2 + y 2 µε x = r cos φ,y = r sin φ, να υπολογίσετε τις µερικές παραγώγους F x,f y για φ = π 4,r = 2 και να εκ- ϕράσετε τις µερικές παραγώγους F r,f φ σε συνάρτηση των F x,f y. 5.7 : ίνεται η συνάρτηση F(x,y) = x y, όπου y = g(x). Να ϐρεθούν η µερική και η ολική παράγωγος της F ως προς x. 5.8 : Να ϐρεθεί το ολικό διαφορικό δεύτερης τάξης της συνάρτησης f(x,y,z) = xyz, όπου x = t 2,y = t 1,z = e t. 5.9 : ίνεται η συνάρτηση F(x,y) = ln(x 2 y 2 ) όπου y = e x. Να ϐρεθούν η µερική και η ολική παράγωγος της F ως προς x. 5.10 : Βρείτε τα διαφορικά πρώτης και δεύτερης τάξης της συνάρτησης f(u,v) = u v, όταν u = xy και v = x/y. 5.11 : ίνονται η συνάρτηση Φ(x,y) : D R, D R 2 και ο µετασχη- µατισµός u = ax + by,v = ax by, όπου a και b σταθερές. Να υπολογισθεί η Λαπλασιανή µε ϐάση τις νέες µεταβλητές u και v. 5.12 : Αν Φ(x,y) είναι τυχαία συνάρτηση και u(x,y),v(x,y) είναι οµογενείς συναρτήσεις ϐαθµού p, να δειχθεί ότι xφ x + yφ y = p[φ u + Φ v ]. 5.13 : Να αναπτυχθεί η συνάρτηση f(x,y) = xy 1 + x 2 + λy 2, όπου λ ϑετική σταθερή, σε σειρά Mac Laurin. Να συµπεριληφθούν όροι µέχρι έκτης τάξης ως προς x και y.

178 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις 5.14 : Να αναπτυχθεί η συνάρτηση f(x,y) = e x sin y σε σειρά Mac Laurin. Να συµπεριληφθούν όροι µέχρι δεύτερης τάξης ως προς x και y. 5.15 : Εάν f(x,y) = x 3 + xy 2 να ϐρεθεί το ανάπτυγµά της κατά τις δυνάµεις του x + 1, y + 2. Να συµπεριληφθούν όροι µέχρι δεύτερης τάξης. 5.16 : ίνεται η συνάρτηση δυναµικού V (x,y) = x 2 (A + ay 2 ) + y 2 (B + bx 2 ) όπου A, B, a 1, b 1 ϑετικές σταθερές. Να προσεγγίσετε τη συνάρτηση αυτή στην αρχή των συντεταγµένων µε τη συνάρτηση Φ = 1 2 (ω2 1x 2 + ω 2 2y 2 ) ǫx 2 y 2 και να υπολογίσετε τις τιµές των ω 1,ω 2 και ǫ. 5.17 : Να αναπτυχθεί η συνάρτηση f(x,y) = e x2 +ay 2 +c, όπου a και c είναι ϑετικές σταθερές σε σειρά Mac Laurin. Να συµπεριληφθούν όροι µέχρι τέταρτης τάξης ως προς x και y. 5.18 : Να αναπτυχθεί η συνάρτηση f(x,y) = tan 1 (y/x) σε σειρά Taylor, στην περιοχή του σηµείου M(1, 1). Να συµπεριληφθούν όροι µέχρι και δεύτερης τάξης ως προς x και y. 5.19 : Ενα ϕυσικό ϕαινόµενο περιγράφεται από τη συνάρτηση P(x,y) = ln(a + x2 + y 2 ) (B + xy) 1/3 όπου A 1,B 1. Είναι δυνατόν να ϐρεθεί πολυώνυµο που να περιγράφει το ϕαινόµενο κοντά στην αρχή των συντεταγµένων και να περιέχει όρους µέχρι και έκτης τάξης ως προς τα x και y; 5.20 : Να ϐρεθούν η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της πλεγµένης συνάρτησης y = y(x) που ορίζεται από τη σχέση F(x,y) = 1 + xy ln(e xy e xy ) = 0. 5.21 : Βρείτε την πρώτη και την δεύτερη παράγωγο της πεπλεγµένης συνάρτησης z = f(x,y) που ορίζεται από τη σχέση x + y + z = e z. 5.22 : Να ϐρεθεί η πρώτη και δεύτερη παράγωγος των πεπλεγµένων συναρτήσεων y = y(x) που ορίζονται από τις σχέσεις :

5.12 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις µε το Mathematica 179 (i)x 2 + y 2 3xy = a, (ii) e xy x 2y = 0 (iii) xtan y + y tan x = b, (iv) xy 2 + 4xy 3 + 2 = 0, όπου a,b σταθερές. 5.23 : είξτε ότι οι συναρτήσεις u = 3x+4y z, v = 2x y + 3z, w = 6x + 8y 2z είναι εξαρτηµένες και ϐρείτε τη σχέση που τις συνδέει. 5.24 : Εξετάστε αν οι συναρτήσεις x = 3u+2v w, y = u 2v+w, z = u(u + 2v w), είναι εξαρτηµένες και εάν είναι ϐρείτε τη σχέση που τις συνδέει. 5.25: Εξετάστε αν οι συναρτήσεις F 1 (x,y) = tan 1 y + tan 1 x,f 2 (x,y) = x + y/(1 xy), είναι εξαρτηµένες και αν αυτό ισχύει, τότε ϐρείτε τη σχέση που τις συνδέει. 5.26: Το ίδιο για τις συναρτήσεις f 1 (x,y,z) = x + y + z,f 2 (x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2,f 3 (x,y,z) = xy + yz + xz. 5.27: Οµοια για τις συναρτήσεις f 1 (x,y,z) = x + y + z 3,f 2 (x,y.z) = x 3 + y 3 + z,f 3 (x,y,z) = xy + yz + 3xz. 5.28 : Βρείτε τις µερικές παραγώγους καθώς και τα διαφορικά πρώτης τάξης των πεπλεγµένων συναρτήσεων u = u(x,y) και v = v(x,y) που ορίζονται από τις εξισώσεις (i) u + v = x,u yv = 0, (ii) z = u,x = ucos v,y = usin v, (iii) u 2 v 2 = x + y,u 3 + v 3 = x y. 5.29: Να υπολογισθούν οι µερικές παράγωγοι πρώτης τάξης, των συναρτήσεων z(x,y) και u(x,y) που ορίζονται από τις σχέσεις x + y + z + u = a και x 3 + y 3 + z 3 + u 3 = b όπου a και b είναι σταθερές. 5.30 : Να ϐρεθεί η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης y(x) που ορίζεται από τη σχέση x 3 + y 3 3xy = 0. 5.12 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις µε το M athematica 5.12.1 Σειρές Taylor Η ανάπτυξη µιας συνάρτησης f(x) σε σειρά Taylor στο x = a δίνεται από την έκφραση

180 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις n=0 f (n) (a) (x a) n, n! µε την προϋπόθεση ότι υπάρχουν οι παράγωγοι f (n). Το Mathematica υπολογίζει τη σειρά µιας συνάρτησης f(x) στο σηµείο x = a, τάξης n µε την εντολή Series[f[x], {x,a,n}] Ο όρος 0[x a] (n+1) εµφανίζεται στο αποτέλεσµα της εντολής Series και αφαιρείται µε την εντολή Normal, όπως ϑα δούµε στη συνέχεια. Το τελικό αποτέλεσµα είναι µια πολυωνυµική συνάρτηση. Εστω ότι, ϑέλουµε να αναπτύξουµε τη συνάρτηση f(x) = Exp[x] στο σηµείο x = 0, σε σειρά τάξης 7. Τότε γράφουµε: Series[Exp[x], {x, 0, 7}] 1 + x + x2 2 + x3 6 + x4 24 + x5 120 + x6 720 + x7 5040 + 0x8 Αν το Mathematica δεν γνωρίζει την ανάπτυξη σε σειρά της δοδοµένης συνάρτησης, εµφανίζει το αποτέλεσµα συµβολικά µε γενικούς όρους παραγώγων. Series[f[x], {x,0,3}] f [0] + f [0]x + 1 2 f [0]x 2 + 1 6 f (3) [0]x 3 + 0[x] 4 Το Mathematica, όταν αναπτύσσει µια συνάρτηση σε σειρά Taylor ως προς τη µεταβλητή x, ϑεωρεί όλα τα αντικείµενα που δεν περιέχουν το x ως ανεξάρτητα απο τη µεταβλητή αυτή. Τα a και n ϑεωρούνται ανεξάρτητα της µεταβλητής x. Series[(a +x) n, {x,0,2}] a n + a 1+n nx + 1 2 a 2+n (nx 2 ) + 0[x] 3 Αν στη ϑέση του a χρησιµοποιηθεί το a[x] δηλώνεται σαφώς η εξάρτηση του από το x τότε το αποτέλεσµα είναι τελείως διαφορετικό.

5.12 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις µε το Mathematica 181 Η εντολή Series χρησιµοποιείται και για την ανάπτυξη σε σειρά Taylor συναρτήσεων δύο µεταβλητών. Η εντολή Series αναπτύσει της συνάρτησης ως προς τη µεταβλητή που δηλώνεται τελευταία. Series[f[x,y], {x,a 1,n 1 }, {y,a 2,n 2 }] Στο παράδειγµα που ακολουθεί, πρώτα δηλώνεται η µεταβλητή x και µετά η y. Το αποτέλεσµα είναι µια σειρά ως προς x, οι συντελεστές της οποίας είναι σειρές ως προς y. Series[Exp[x y], {x,0,3}, {y,0,3}] 1 + (y + 0[y] 4 )x + ( y2 2 + 0[y]4 )x 2 + ( y3 6 + 0[y]4 )x 3 + 0[x] 4 Μετατροπή των σειρών σε κανονικές εκφράσεις. Οι σειρές στο Mathematica εµφανίζονται µε µια ειδική εσωτερική µορφή, η οποία τηρεί τη σειρά ανάπτυξης. Τις περισσότερες ϕορές χρειάζεται να µετατρέψουµε τις σειρές σε κανονικές εκφράσεις, δηλαδή να υποθέσουµε ότι οι µεγαλύτεροι όροι είναι µηδενικοί. Για τη µετατροπή αυτή χρησι- µοποιούµε την εντολή Normal. Normal[Series[f[x], {x, a, n}]] Normal[Series[f[x,y], {x,a 1,n 1 }, {y,a 2,n 2 }]] Αναπτύσουµε τη συνάρτηση ArcT an[x] σε σειρά Taylor, τεσσάρων όρων. t = Series[ArcTan[x], {x,0,8}] x x3 3 + x5 5 x7 7 + 0[x]9 Η εντολή Normal µετατρέπει το αποτέλεσµα σε κανονική πολυωνυµική έκφραση, αφαιρώντας τον τελευταίο µηδενικό όρο. s = Normal[t] x x3 3 + x5 5 x7 7 Η έκφραση που προκύπτει µπορεί να χρησιµοποιηθεί από οποιαδήποτε άλλη εντολή, π.χ. από την Factor, η οποία την παραγοντοποιεί.

182 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις Factor[s] 1 315 x2 ( 315 + 210x 2 161x 4 + 132x 6 ) Πίνακας 5.1. Πίνακας εντολών Series[expr, {x, x 0, n}] Series[expr, {x, x 0, n x}, {y, y 0, n y}] Normal[expr] Αναπτύσσει σε σειρά n-οστής τάξης την expr στο σηµείο x = x 0. Αναπτύσσει σε σειρά την expr, πρώτα σε σχέση µε το y και µετά ως προς x. Μετατρέπει µία σειρά σε κανονική έκφραση. 5.12.2 Λυµένες Ασκήσεις µε το Mathematica 1. Εάν f(u,v,w) είναι συνεχής και παραγωγίσιµη και οι µεταβλητές (u,v,w) συνδέονται µε τις (x,y,z) µέσα από τις σχέσεις u = 1 y 1 x, v = 1 x 1 y και w = 1 y 1 z, τότε δείξτε ότι : x 2 f x + y 2 f y + z 2 f z = 0. Clear[x,y,z,u,v,w,f] x 2 D[f[1/y 1/x,1/x 1/y,1/y 1/z], {x,1}]+ y 2 D[f[1/y 1/x,1/x 1/y,1/y 1/z], {y,1}]+ z 2 D[f[1/y 1/x,1/x 1/y,1/y 1/z], {z,1}] [ f (0,0,1) 1 x + 1 y, 1 x 1 y, 1 y 1 ] + z ] f [ (0,1,0) 1 x 2 x + 1 y, 1 x 1 y, 1 y 1 z x 2 +

5.12 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις µε το Mathematica 183 f (1,0,0) [ 1 x + 1 y, 1 x 1 y, 1 y 1 z y 2 x 2 ] + ] f [ (0,0,1) 1 x + 1 y, 1 x 1 y, 1 y 1 z y 2 + f (0,1,0) [ 1 x + 1 y, 1 x 1 y, 1 y 1 z y 2 f (1,0,0) [ 1 x + 1 y, 1 x 1 y, 1 y 1 z Simplify[%] 0 y 2 ] ] 2. Μετατρέψτε την εξίσωση z xx z yy = 0 µε ϐάση τις νέες µεταβλητές v = x + y και u = x y. Clear[x,y,z,u,v] Solve[{u == x y,v == x +y}, {y,x}] {{y 1 2 u + v ( u + v),x }} 2 D[z[x y,x +y], {x,2}] D[z[x y,x +y], {y,2}] 4z (1,1) [x y,x + y] { %/. y 1 } u +v ( u +v),x 2 2 4z (1,1) [ u v 2 Simplify[%] 4z (1,1) [u,v] + u + v, 1 2 2 u + v ( u + v) + ] 2

184 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις 3. Αν u = F(sinx siny), όπου F συνεχής και παραγωγίσιµη συνάρτηση, τότε δείξτε ότι : u y cosx + u x cosy = 0. Clear[x,y,u,f] u[x_,y_] := f[sin[x] Sin[y]] D[u[x,y],y] Cos[x] +D[u[x,y],x] Cos[y] 0 4. Να δειχθεί ότι και µε τις νέες µεταβλητές u = xcosa ysina και v = xsina + ycosa,(a =σταθερό), η σχέση f xx + f yy παραµένει αναλλοίωτη. Clear[x,y,f,u,v,a] Solve[{u == x Cos[a] y Sin[a],v == x Sin[a] +y Cos[a]}, {x,y}] {{x ucos[a] vsin[a] + usin[a] Cos[a] 2,y vcos[a] + Sin[a] 2 Cos[a] 2 + Sin[a] 2 }} D[f[x Cos[a] y Sin[a],x Sin[a] +y Cos[a]], {x,2}]+ D[f[x Cos[a] y Sin[a],x Sin[a] +y Cos[a]], {y,2}] Sin[a](Sin[a]f (0,2) [xcos[a] ysin[a],ycos[a] + xsin[a]]+ Cos[a]f (1,1) [xcos[a] ysin[a],ycos[a] + xsin[a]])+ Cos[a](Cos[a]f (0,2) [xcos[a] ysin[a],ycos[a] + xsin[a]] Sin[a]f (1,1) [xcos[a] ysin[a],ycos[a] + xsin[a]])+ Cos[a](Sin[a]f (1,1) [xcos[a] ysin[a],ycos[a] + xsin[a]]+ Cos[a]f (2,0) [xcos[a] ysin[a],ycos[a] + xsin[a]]) Sin[a](Cos[a]f (1,1) [xcos[a] ysin[a],ycos[a] + xsin[a]] Sin[a]f (2,0) [xcos[a] ysin[a],ycos[a] + xsina[a]]) Fullsimplify[%]

5.12 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις µε το Mathematica 185 f (0,2) [xcos[a] ysin[a],ycos[a] + xsin[a]]+ f (2,0) [xcos[a] ysin[a],ycos[a] + xsin[a]] %/.{x ucos[a] vsin[a] +usin[a] Cos[a] 2,y vcos[a] +Sin[a] 2 Cos[a] 2 +Sin[a] 2 } f (0,2) Sin[a]( vcos[a] + usin[a]) Cos[a]( ucos[a] vsin[a]) [ Cos[a] 2 + sin[a] 2 Cos[a] 2 + sin[a] 2, Cos[a]( vcos[a] + usin[a]) Sin[a]( ucos[a] vsin[a]) Cos[a] 2 + sin[a] 2 Cos[a] 2 + sin[a] 2 ]+ f (2,0) Sin[a]( vcos[a] + usin[a]) Cos[a]( ucos[a] vsin[a]) [ Cos[a] 2 + sin[a] 2 Cos[a] 2 + sin[a] 2, Cos[a]( vcos[a] + usin[a]) Sin[a]( ucos[a] vsin[a]) Cos[a] 2 + sin[a] 2 Cos[a] 2 + sin[a] 2 ] FullSimplify[%] f (0,2) [u,v] + f (2,0) [u,v] 5. είξτε ότι η συνάρτηση z(x,y) = g(y + sinx) + f(y sinx), όπου f,g τυχαίες συναρτήσεις επαληθεύουν τη σχέση z x tanx + z xx z yy cos 2 x = 0. Clear[f,g,x,y,z] z[x_,y_] := g[y +Sin[x]] +f[y Sin[x]] D[z[x,y],x] Tan[x] +D[z[x,y], {x,2}] D[z[x,y], {y,2}] Cos[x] 2 Sin[x]f [y Sin[x]] Sin[x]g [y + Sin[x]]+ Tan[x]( Cos[x]f [y Sin[x]] + Cos[x]g [y + Sin[x]])+ Cos[x] 2 f [y Sin[x]] + Cos[x] 2 g [y + Sin[x]] Cos[x] 2 (f [y Sin[x]] + g [y + Sin[x]]) FullSimplify[%] 0

186 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις 6. Να ϐρεθεί το πολυώνυµο Taylor τρίτου ϐαθµού για τις συναρτήσεις e sin(x+y) στο σηµείο (0,0). log(xcosy) στο σηµείο (1, 0). (α) (ϐ) Clear[x, y, f] f[x_,y_] := Exp[Sin[x +y]] Series[f[x,y], {x,0,3}, {y,0,3}] ) ) (1 + y + y2 2 + 0[y]4 + (1 + y y3 2 + 0[y]4 x+ ( 1 2 3y2 4 2y3 3 + 0[y]4 y 3 ) 12 + 0[y]4 x 3 + 0[x] 4 Normal[%] 1 + x + (1 x2 2 + + x x3 2 ) x2 2x2 ( 3 x3 y 3 12 Clear[x, y, f] f[x_,y_] := Log[x Cos[y]] ) x 2 + y2 2y2 ( 3 ) ( ) 1 y + 2 3x2 4 2x3 y 2 + 3 Series[f[x,y], {x,1,3}, {y,0,3}] ) ( y2 2 + 0[y]4 + (x 1) 1 2 (x 1)2 + 1 (x 1)3 3 +0[x 1] 4 Normal[%] 1 1 2 ( 1 + x)2 + 1 3 ( 1 + x)3 + x y2 2

5.12 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις µε το Mathematica 187 7. α) Να προσεγγισθεί µε πολυώνυµο δευτέρου ϐαθµού, η συνάρτηση z = sin(xy) στο σηµείο (1, π/2). ϐ) Να προσεγγισθεί µε πολυώνυµο δευτέρου ϐαθµού η συνάρτηση z = tan(xy) στο σηµείο (0, 0). (α) Clear[f, x, y] f[x_,y_] := Sin[x y] Series[f[x,y], {x,1,2}, {y,π/2,2}] (1 12 (y π2 )2 + 0[y π2 ]3 ) + ( 12 π(y π2 ) (y π2 )2 + 0[y π2 ]3 ) (x 1)+ ( π2 8 1 2 π(y π 2 ) + 1 2 ( 1 + π2 8 0[y π 2 ]3) (x 1) 2 + 0[x 1] 3 ) (y π 2 )2 + (ϐ) Normal[%] 1 1 8 π2 ( 1 + x) 2 + ( 12 π( 1 + x) 12 ) ( π( 1 + x)2 π2 ) + y ( 1 + 2 + 1 2 ( 1 + π2 8 ) ) ( 1 + x) 2 x ( π 2 + y)2 Clear[f, x, y] f[x_,y_] := Tan[x y] Series[f[x,y], {x,0,5}, {y,0,5}] ( ) ( ) y (y + 0[y] 6 3 2y )x + 3 + 0[y]6 x 3 5 + 15 + 0[y]6 x 5 + 0[x] 6 Normal[%] xy + x3 y 3 3 + 2x5 y 5 15

188 Σύνθετες και πλεγµένες συναρτήσεις 1.5 1.5 1 1.25 1 0.5-1 0-1 0 0.5 1 0.75 1 0.5-0.5-0.5 00.5-0.5 00.5-0.5 1-1 1-1 Σχήµα 5.2. Το γράφηµα της συνάρτησης cos x/cos y και η προσέγγισή της κοντά στο (0,0). 8. Να σχεδιαστεί προσεγγιστικά η συνάρτηση z = cosx cosy κοντά στο (0,0) µε ακρίβεια δευτέρου ϐαθµού ως προς τις µεταβλητές (x,y). Clear[f,x,y,g,p 1,p 2 ] f[x_,y_] := Cos[x]/Cos[y] g[x_,y_] = Normal[Series[f[x,y], {x,0,2}, {y,0,2}]] ( ) 1 x2 1 2 + 2 x2 y 2 4 p 1 = Plot3D[f[x,y], {x, 1,1}, {y, 1,1}, DisplayFunction Identity]; p 2 = Plot3D[g[x,y], {x, 1,1}, {y, 1,1}, DisplayFunction Identity]; Show[GraphicsArray[{{p 1,p 2 }}]]; 5.12.3 Ευρετήριο νέων αντικειµένων Εντολές. Series N ormal Ανάπτυξη σε σειρά Απλοποίηση σειράς

6. ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές τω γαρ έχοντι πάντι δοθήσεται και περισσευθήσεται, από δε του µη έχοντος, και ο έχει αρθήσεται απ αυτού. ΚΑΤΑ ΜΑΤΘΑΙΟΝ, 25, 29 6.1 ιανυσµατικά πεδία Η κίνηση του ανέµου σε µια επιφάνεια σε συγκεκριµένο ύψος πάνω από την επιφάνεια της Γης περιγράφεται µε το διάνυσµα της ταχύτητας, τότε δηµιουργούµε το διανυσµατικό πεδίο της ταχύτητας του ανέµου (ϐλέπε Σχ. 6.1). Σχήµα 6.1. Γραφική παράσταση του διανυσµατικού πεδίου της ταχύτητας του ανέµου. Αν σε κάθε σηµείο M(x,y,z) του τρισδιάστατου χώρου αντιστοιχίσουµε µε κάποιο νόµο το µέτρο και τη ϕορά του διανύσµατος της πίεσης ή του ηλεκτρικού πεδίου ή του πεδίου δυνάµεων δηµιουργούµε ένα διανυσ- µατικό πεδίο.

190 ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές ΟΡΙΣΜΟΣ 6.1: Το διανυσµατικό πεδίο S είναι ένα υποσύνολο σηµείων του χώρου R 3 εφοδιασµένο µε ένα κανόνα που αντιστοιχεί σε κάθε σηµείο M(x, y, z) του S ένα διάνυσµα V (x, y, z). Η µελέτη των διανυσµατικών πεδίων γίνεται µε τη ϐοήθεια των διανυσνατικών συναρτήσεων. Η διανυσµατική συνάρτηση E µπορεί να αναλυ- ϑεί στο επίπεδο σε καρτεσιανές συντεταγµένες και να παρασταθεί ως εξήσ: E(x,y) = u(x,y)ê x + v(x,y)ê y όµοια στον τριδιάστατο χώρο έχουµε: E(x,y,z) = u(x,y,z)ê x + v(x,y,z)ê y + w(x,y,z)ê z. Οι συναρτήσεις u,v,w είναι αριθµητικές συναρτήσεις και αποτελούν τις συνιστώσες του διανυσµατικού πεδίου. Η γραφική παράσταση του διανυσµατικού πεδίου αναδεικνύει ένα πλήθος από ενδιαφέρουσες ιδιότητες του υπό µελέτη ϕυσικού συστή- µατος, για το λόγο αυτό έχουν δηµιουργηθεί µια σειρά απο ειδικά προγράµµατα γραφικών για τα διανυσµατικά πεδία (ϐλέπε Σχ. 6.2). y y x x Σχήµα 6.2. ιανυσµατικά πεδία ταχυτήτων για (α) ευθύγραµµη και (ϐ) γιά κυκλική ϱοή 6.2 Ορια, συνέχεια και παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης διανυσµατικής µεταβλητής Το όριο µιας διανυσµατικής συνάρτησης f = f 1 ê x +f 2 ê y +f 3 ê z διανυσ- µατικής µεταβλητής x = x 1 ê x + x 2 ê y + x 3 ê z γράφεται ως lim f(x) = f 0, x x 0

6.2 Ορια, συνέχεια και παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης διανυσµατικής µεταβλητής 191 όπου f 0 = f 01 ê x + f 02 ê y + f 03 ê z Αυτό σηµαίνει ότι για κάθε αριθµό ǫ > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε, όταν να ισχύει x x 0 < δ f(x) f 0 < ε. Θα λέµε ότι µία διανυσµατική συνάρτηση f : D E όπου D R n και E R m,f = (f 1,f 2,...,f m ) είναι συνεχές στο σηµείο x 0 όταν κάθε ένα από τα αριθµητικά πεδία f 1,f 2,...,f m είναι συνεχή στο x 0. Η παράγωγος της συνάρτησης f(t) = (f 1,f 2,...,f m ) είναι df m dt = i=1 df i dt êi. Στη γενικότερη περίπτωση της συνάρτησης f(x), η παράγωγος ως προς τη συνιστώσα x είναι ( f f1 =, f 2, f ) 3. x i x i x i x i Οµοια κ.ο.κ. df = (df 1,df 2,df 3 ) = ( 3 i=1 f 1 x i dx i, 3 i=1 f 2 x i dx i, 3 i=1 ) f 3 dx i. x i Παράδειγµα 6.1 Να ϐρεθεί η µερική παράγωγος ως προς x της διανυσµατικής συνάρτησης u(x,y,z) = (x + y + z)ê x + (x 2 + y 2 + z 2 )ê y + (x 3 + y 3 + z 3 )ê z Απόδειξη: Είναι u x (x + y + z) = x = ê x + 2xê y + 3x 2 ê z ê x + (x2 + y 2 + z 2 ) x ê y + (x3 + y 3 + z 3 ) ê y x Παράδειγµα 6.2 Θεωρούµε την διανυσµατική συνάρτηση f(x, y) = (x 2 + y 2 )ê x + xyê y. Να ϐρεθεί 2 f x y. Απόδειξη: Είναι

192 ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές και f x = 2yê x + xê y 2 f x y = ê y. Παράδειγµα 6.3 Να ϐρεθεί το διαφορικό της διανυσµατικής συνάρτησης f(x,y) = (x 2 + y 2 )ê x + xyê y. Απόδειξη: Αν ορίσουµε τις συναρτήσεις P(x,y) = x 2 + y 2, Q(x,y) = xy. Είναι ( ) ( ) P Q P df = dpê x + dqê z = dx + x y dy Q ê x + dx + x y dy ê y = (2xdx + 2ydy)ê x + (ydx + xdy)ê y 6.3 Παράγωγος κατά κατεύθυνση Η παράγωγος της συνάρτησης f(x) ως προς τη διεύθυνση ενός τυχαίου µοναδιαίου διανύσµατος n 0 ορίζεται από τη σχέση (ϐλέπε Σχ. 6.3) z Ô P(x 0,y 0,z 0) Q(x,y,z) x P (x 0,y 0,0) Q (x,y,0) C y Σχήµα 6.3. Η παράγωγος κατά τη κατεύθυνση τυχαίου διανύσµατος. D n0 f(x) = lim h 0 f(x + n 0 h) f(x) h (6.1) Η D n0 f ονοµάζεται παράγωγος της f στο σηµείο x 0 αλλά και κατά την κατεύθυνση n 0. Θα δείξουµε στη συνέχεια ότι

6.4 ιαφορικοί τελεστές 193 D n0 f = f f f cos α + cos β + cos γ (6.2) x y z αν το n 0 = (cos α, cos β, cos γ), όπου τα cos α,cos β, και cos γ είναι τα συνηµίτονα κατευθύνσεως που συναντήσαµε και στην παράγραφο 1.3. Απόδειξη: Με ϐάση τον ορισµό (6.1) έχουµε ότι { } d D n0 (x 0 ) = dh [f(x 0 + hcos α,y 0 + hcos β,z 0 + hcos γ)] h 0 {( ) ( ) ( ) ( ) } f (x0 + hcos α) f (y0 + hcos β) = +... x 0 h y 0 h ( ) ( ) ( ) f f f = cos α + cos β + cos γ x 0 y 0 z 0 Είναι ϕανερό ότι, αν το n 0 = ê x ( ) f D ex f(x 0 ) = x, 0 άρα η παράγωγος κατά κατεύθυνση είναι µιά γενίκευση των µερικών παραγώγων που συναντήσαµε. 6.4 ιαφορικοί τελεστές 6.4.1 Κλίση αριθµητικής συνάρτησης Ορίζουµε ως την κλίση µιας αριθµητικής συνάρτησης f(x,y,z) τη διανυσµατική συνάρτηση ή f(x + h) f(x) f(x) = lim = h 0 h f(x) = f xêx + f y êy + f z êz. (6.3) Με τη χρήση αυτού του νέου συµβόλου η παράγωγος κατά κατεύθυνση παίρνει τη µορφή D n0 f(x 0 ) = ( f(x 0 )) n 0. (6.4) Η σχέση αυτή είναι ισοδύναµη µε τη σχέση (6.2) που αποδείξαµε. Η παράγωγος κατα τη κατευθυνση του διανύσµατος n = n n 0 είναι

194 ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές D n f(x 0 ) = n D n0 f(x 0 ) (6.5) (Αποδείξτε τη σχέση αυτή ξεκινώντας από τον ορισµό της παραγώγου κατά κατεύθυνση.) Από τη σχέση (6.5) είναι ϕανερό ότι, αν τα διανύσ- µατα ( f) και n 0 είναι παράλληλα, η παράγωγος D n0 f(x 0 ) παίρνει τη µέγιστη τιµή της. Παρατήρηση: Από την εξίσωση (6.4) διαπιστώνουµε επίσης ότι η κλίση έχει τη διεύθυνση του διανύσµατος κατα µήκος του οποίου η παράγωγος D n0 f(x 0 ) παίρνει τη µέγιστη τιµή της. Στη συνέχεια ϑα δείξουµε ότι, αν f(x,y,z) = 0 ορίζει µιά επιφάνεια στο χώρο των τριών διαστάσεων και το σηµείο P(x, y, z) είναι πάνω στην επιφάνεια f = 0, τότε το διάνυσµα ( f) P είναι κάθετο στο εφαπτόµενο επίπεδο της επιφάνειας στο σηµείο P. Εστω r = xê x +yê y +zê z το διάνυσµα ϑέσης τυχόντος σηµείου M(x,y,z) της επιφάνειας. Τότε το dr = dxê x + dyê y + dzê z ϑα ϐρίσκεται στο εφαπτόµενο επίπεδο της επιφάνειας στο σηµείο M. Οµως ισχύει ή df = f f f dx + dy + x y z dz = 0 ( f + f xêx y êy + f ) z êz (dxê x + dyê y + dzê z ) = f dr = 0 που σηµαίνει ότι f dr και εποµένως η κλίση είναι κάθετη στην επιφάνεια όπως ϕαίνεται στο Σχ. 6.4 που ακολουθεί (ακριβέστερα στο εφαπτόµενο επίπεδο της επιφάνειας). z P r (r ) 0 F(x 0,y 0,z 0) Åöáðôüìåíï åðßðåäï S x C y Σχήµα 6.4. Το διάνυσµα f είναι κάθετο στο εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο M 0

6.4 ιαφορικοί τελεστές 195 Παράδειγµα 6.4 : Υπολογίστε την κλίση της συνάρτησης f(x,y) = x 2 + y 2 µε τη ϐοήθεια του ορισµού της. Απάντηση: Γνωρίζουµε από τον ορισµό της κλίσης ότι f(x+h) f(x) = f(x) h + O(h) όπου O(h) το υπόλοιπο που τείνει στο µηδέν όταν το h τείνει στο µηδέν. Εχουµε Άρα f(x + h) f(x) = f(x + h 1,y + h 2 ) f(x,y) = [(x + h 1 ) 2 + (y + h 2 ) 2 ] (x 2 + y 2 ) = [2 h 1 + 2yh 2 ] + [h 1 2 + h 2 2 ] = [2xê x + 2yê y ] h + h 2 f(x) = f(x,y) = 2xê x + 2yê y. Παράδειγµα 6.5 : Υπολογίστε την παράγωγο κατά µιά τυχαία διεύ- ϑυνση του αριθµητικού πεδίου f(x,y) = (x 1) 2 y 2, σε τυχαίο σηµείο του τόπου ορισµού του. Απάντηση: Εστω n 0 = (n 1,n 2 ) µία τυχαία κατεύθυνση και M 0 (x 0,y 0 ) ένα τυχαίο σηµείο του τόπου ορισµού της f η οποία είναι διαφορίσιµη. Άρα και τότε D n0 f = ( f) n 0 f = f xêx + f y êy, n 0 = n 1 ê x + n 2 ê y, f n 0 = 2(x 1)n 1 2yn 2 D n0 f M0 = 2(x 0 1)n 1 2y 0 n 2. (6.6) Παράδειγµα 6.6 : Εστω το αριθµητικό πεδίο f(x,y) = x 3 3x 2 y + 3xy 2 + 1 ορισµένο στο R 2. Βρείτε την παράγωγο του πεδίου f στο σηµείο M(3,1) κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος που έχει ως αρχή, την αρχή των αξόνων και ως πέρας το σηµείο N(6,5). Απάντηση: Υπολογίζουµε τη κλίση της συνάρτησης f στο σηµείο M 0

196 ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές ( f) M0 = ( ) f ê x + x M 0 και στη συνέχεια το µοναδιαίο διάνυσµα ( ) 6 5 n 0 =,. 61 61 Η Ϲητούµενη παράγωγος είναι ( ) f ê y = 12ê x 9ê y y M 0 (D n0 f) M0 = ( f) M0 n 0 = (12ê x 9ê y ) = 27 61. ( 6 61 ê x + 5 61 ê y ) 6.4.2 Απόκλιση διανυσµατικής συνάρτησης Ορίζουµε ως απόκλιση µιας διανυσµατικής συνάρτησης f = f 1 ê x + f 2 ê y + f 3 ê z τη αριθµητική συνάρτηση f = f 1 x 1 + f 2 x 2 + f 3 x 3. Στη συνέχεια ϑα παρουσιάσουµε τη ϕυσική ερµηνεία της απόκλισης. Θεωρούµε ότι το διανυσµατικό πεδίο που περιγράφει η f είναι η ταχύτητα ενός ϱευστού, δηλαδή U(x,y,z) = U 1 (x,y,z)ê x + U 2 (x,y,z)ê y + U 3 (x,y,z)ê z. Ενα παραλληλόγραµµο µε σταθερό στοιχειώδη όγκο V = x y z (ϐλέπε Σχ. 6.5) είναι τοποθετηµένο µέσα στο υγρό. Υποθέτουµε οτι το υγρό έχει σταθερή πυκνότητα ρ 0. Θέλουµε να υπολογίσουµε τη µεταβολή της ποσότητας του υγρού στο στοιχειώδη όγκο στη µονάδα του χρόνου. Η ποσότητα του ϱευστού που εισέρχεται από Σχήµα 6.5. Ο στοιχειώδης όγκος V µέσα στο ϱευστό.

6.4 ιαφορικοί τελεστές 197 την επιφάνεια x z µε ταχύτητα U 2 κατα µήκος του άξονα y ϑα είναι ίση µε ρ 0 U 2 x z. Η ποσότητα που εξέρχεται από το την απέναντι επιφάνεια ϑα είναι ( ρ 0 U 2 (x,y,z) + U ) 2 y y x z, η µεταβολή οφείλεται στην αλλαγή της ταχύτητας του ϱευστού U 2 (x,y + y,z) = U 2 (x,y,z) + U 2 y y. Η µεταβολή της ποσότητας του υγρού κατα τον άξονα y ϑα είναι η διαφορά της εξερχόµενης ποσότητας απο την εισερχόµενη ( ρ 0 U 2 (x,y,z) + U ) 2 y y x z ρ 0 U 2 (x,y,z) x y z = ρ 0 U 2 y V Εαν επαναλάβουµε την ίδια ανάλυση και προς τις άλλες δύο διευθύνσεις ϑα έχουµε U 1 ρ 0 x V και ρ U 3 0 z V. Η συνολική µεταβολή ϑα είναι ίση µε ( U1 ρ 0 x + U 2 y + U 3 z ) V = ρ 0 U V. Αν η απόκλιση της ταχύτητας είναι µηδέν U = 0 τότε το ϱευστό είναι ασυµπίεστο γιατί δεν παρατηρείται κατα µήκος της ϱοής του καµία µεταβολή της ολικής µάζας που διέρχεται από το στοιχειώδη όγκο. Αντί- ϑετα αν U > 0 ή U < 0 τότε το κατα µήκος του ϱεστού υπάρχουν πηγές ή απώλειες µάζας. Θα επιχειρήσουµε στη συνέχεια µια ακόµα προσέγγιση του ιδίου προβλήµατος. Αν υποθέσουµε ότι ο στοιχειώδης όγκος κινείται το ϱευστό και µεταβάλλεται ακολουθώντας τις γραµµές ϱοής. Θεωρούµε ότι το διανυσµατικό πεδίο που περιγράφει η f είναι η ταχύτητα ενός ϱευστού, δηλαδή U(x,y,z) = U 1 (x,y,z)ê x +U 2 (x,y,z)ê y +U 3 (x,y,z)ê z. Η ολική µεταβολή του όγκου του ϑα είναι dv dt = d x d y d z y z + x z + dt dt dt y x.

198 ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές Η µεταβολή του x υπολογίζεται από τη σχέση d x dt = [U 1 (x + x,y,z) U 1 (x,y,z)]. Αναπτύσσουµε σε σειρά Taylor τη συνιστώσα της ταχύτητας και κρατάµε όρους πρώτης τάξης d x = [U 1 (x,y,z) + U 1 dt x x U 1(x,y,z)] = U 1 x x. Οµοια αναπτύσσουµε και τις ολικές µεταβολές των x και y και η ολική µεταβολή του όγκου παίρνει τη µορφή d( V ) dt [ U1 (x,y,z) = x = ( U) V. + U 2(x,y,z) y + U ] 3(x,y,z) V z Αν η απόκλιση της ταχύτητας είναι µηδέν U = 0 τότε ο στοιχειώδης όγκος V παραµένει σταθερός όταν κινείται µε το ϱευστό. Το διανυσ- µατικό πεδίο λέγεται ασυµπίεστο αν η απόκλισή της ταχύτητάς του είναι ίση µε µηδέν. Αν υποθέσουµε, ότι το σύστηµα αναφοράς κινείται µε το ϱευστό, η ολική µεταβολή της αριθµητικής συνάρτησης R(x(t),y(t),z(t),t) ϑα είναι dr dt = R t + R x dx dt + R y dy dt + R z dz dt = R t + U R. Η παράγωγος αυτή είναι γνωστή και ώς µεταφορική παράγωγος. 6.4.3 Στροφή Εκτός από την απόκλιση µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον τελεστή για να ορίσουµε µία ακόµα διανυσµατική συνάρτηση, τη στροφή. Αυτή ορίζεται ως εξήσ: ê x ê y ê z f = x 1 x 2 x 3 f 1 f 2 f 3 = ( f3 = f ) 2 ê x + x 2 x 3 ( f1 f ) ( 3 f2 ê y + f ) 1 ê z. x 3 x 1 x 1 x 2 Μπορούµε να δώσουµε µια ϕυσική ερµηνεία της στροφής. Ας ϕανταστούµε την ύπαρξη ενός διανυσµατικού πεδίου

6.4 ιαφορικοί τελεστές 199 ω = ωê z, το οποίο για ω=σταθερό περιγράφει το πεδίο ταχυτήτων ενός ϱευστού που εκτελεί περιστροφική κίνηση ως στερεό (ϐλέπε Σχ. 6.6). Σχήµα 6.6. Ο δίσκος περιστέφεται γύρω από τον άξονα z µε γωνιακή ω. ταχύτητα Το διάνυσµα ϑέσεως του σηµείου P(x,y,z) είναι r = x(t)ê x + y(t)ê y + zê z όπου x(t) = dcos(ωt), y(t) = dsin(ωt). Η ταχύτητα του σηµείου Ρ ϑα είναι v(t) = ẋ(t)ê x + ẏ(t)ê y = dω sin(ωt)ê x + dω cos(ωt)ê y = yωê x + xωê y. Εφαρµόζοντας τον ορισµό της στροφής του διανύσµατος της ταχύτητας καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι v = 2ωê z. Μα ϐάση αυτό το αποτέλεσµα µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η στροφή είναι ένα µέτρο της γωνιακής περιστροφής του πεδίου ταχυτήτων. Τα διανυσµατικά πεδία µε στροφή µηδέν ( F = 0) ονοµάζονται αστρό- ϐιλα. Το µαγνητικό πεδίο στο κενό είναι αστρόβιλο, επειδή οι µαγνητικές γραµµές είναι ευθείες, ενώ η παρουσία ϱεύµατος αναγκάζει τις µαγνητικές γραµµές να καµπυλωθούν (ένα παράδειγµα αποτελεί το µαγνητικό πεδίο γύρω από έναν ευθύγραµµο αγωγό ϱεύµατος). Η στροφή του µαγνητικού πεδίου είναι ανάλογη της έντασης του ηλεκτρικού ϱευµατος B J. (6.7) Το ϐαρυτικό πεδίο της Γης, όπως ϑα δείξουµε και στο παράδειγµα που ακολουθεί είναι αστρόβιλο.

200 ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές Παράδειγµα 6.7 είξτε ότι ισχύει η ταυτότητα (fa) = A f + f A Απόδειξη: Είναι ( (fa) = + + ) xêx yêy z e z (fa) = (fa x) + (fa y) + (fa z) x y z ( Ax = f x + A y y + A ) z f + A x z x + f y + f z = f A + A f Παράδειγµα 6.8: είξτε ότι, ένα κεντρικό πεδίο δυνάµεων είναι αστρόβιλο. Απόδειξη: Ενα πεδίο δυνάµεων F λέγεται κεντρικό αν η δύναµης F = f(r)e r. Ισχύει επίσης, η ταυτότητα (ϐλέπε Παράρτηµα Α) (fê r ) = f ê r + f ê r. Εύκολα αποδεικνύονται ότι, ê r = 0 και Άρα f(r) = df df r r = dr dr r. F (r) = df r dr r ê r = 0 άρα το πεδίο F είναι αστρόβιλο. Καταλήγουµε στο ίδιο συµπέρασµα, αν παραστήσουµε γραφικά το κεντρικό πεδίο δυνάµεων. Παραδείγµα 6.9: είξτε ότι, το πεδίο των ελκτικών δυνάµεων της ϐαρύτητας γύρω απο τη µάζα M είναι ασυµπίεστο. Απόδειξη: Η ελκτική δύναµη που ασκείται στη µονάδα της µάζας στο πεδίο ϐαρύτητας της µάζας M είναι F = GM r 3 r, όπου r το διάνυσµα ϑέσης της µονάδας µάζας ως προς τη µάζα M και G είναι η σταθερά της παγκόσµιας έλξης. Αρκεί να δείξουµε ότι, F = 0. Χρησιµοποιούµε την ταυτότητα

6.5 Γεωµετρικές εφαρµογές 201 (fr) = r f + f r ή ( F = r GM ) ( r 3 + GM ) r 3 r = 3GM r 3 3GM r 3 = 0. Στο ίδιο ακριβώς συµπέρασµα καταλήγουµε και για το ηλεκτροστατικό πεδίο δυνάµεων µεταξύ των ετερονύµων ϕορτίων q 1,q 2 F = q 1q 2 r 3 r. Μερικές ιδιότητες της στροφής είναι ιδιαίτερα χρήσιµες στη ϕυσική. Η απόδειξή τους µπορεί να αποτελέσει µια καλή άσκηση για τους αναγνώστες. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΗΣ 1. ( f) = 0 2. ( A) = 0 3. (A B) = A( B) B( A) + (B )A (A )B 4. ( A) = ( A) 2 A Στο Παράρτηµα Α παρουσιάζουµε ένα ευρετήριο των περισσότερο γνωστών διανυσµατικών ταυτοτήτων. Ο τελεστής 2 = 2 x 2 + 2 1 x 2 + 2 2 x 2 3 είναι γνωστός ως τελεστής του Laplace ή Λαπλασιανή. Στο παράρτη- µα Α αναλύουµε τον τελεστή του Laplace σε σφαιρικές και κυλινδρικές συντεταγµένες. 6.5 Γεωµετρικές εφαρµογές 6.5.1 Εφαπτόµενο επίπεδο και κάθετη ευθεία µιας επιφάνειας στο χώρο R 3. Εχουµε ήδη δείξει ότι, αν µας δοθεί µια επιφάνεια f(x,y,z) = 0,

202 ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές τότε το ( f) M0 είναι ένα διάνυσµα κάθετο στο εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο M 0 (x 0,y 0,z 0 ). Με αφετηρία αυτήν την πληροφορία, µπορούµε να ορίσουµε την εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου από τη σχέση (r r 0 ) f = 0, όπου r είναι το διάνυσµα ϑέσεως ενός τυχαίου σηµείου του επιπέδου, ενώ το r 0 είναι το διάνυσµα ϑέσεως του M 0 ως προς µια αρχή Ο (ϐλέπε Σχήµα 6.7). z f M=M0 r-r 0 f(x,y,z)=0 M 0 C r r 0 R-r 0 0 R Åöáðôüìåíï åðßðåäï y x Σχήµα 6.7. Εφαπτόµενο επίπεδο και κάθετη ευθεία σε επιφάνεια. Άρα η εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου είναι ( ) ( ) ( ) f f f (x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ) = 0. (6.8) x 0 y 0 z 0 Είναι ϕανερό ότι, αν η συνάρτηση έχει τη µορφή z = f(x,y), τότε η σχέση (6.8) µετατρέπεται σε διαφορικό ( ) ( ) f f z = x + y, x 0 y 0 όπου x = x x 0, y = y y 0 και z = z z 0.

6.5 Γεωµετρικές εφαρµογές 203 Συµπερασµατικά, η γεωµετρική ερµηνεία του διαφορικού είναι η περιγραφή του εφαπτόµενου επιπέδου στην επιφάνεια z = f(x, y) στο σηµείο M 0 (x 0,y 0,z 0 ). Η διανυσµατική εξίσωση της κάθετης ευθείας στο επίπεδο f(x, y, z) = 0 ορίζεται από τη σχέση (r r 0 ) f = 0, (6.9) διότι το τυχαίο διάνυσµα ϑέσεως (r r 0 ) είναι παράλληλο προς το f. Η σχέση (6.9) παίρνει την απλούστερη µορφή (x x 0 ) ( f/ x ) 0 = (y y 0) ( f/ y ) 0 = (z z 0) ( f/ z ) 0. (6.10) Η εξίσωση (6.10) περιγράφει την εξίσωση της κάθετης ευθείας στην επιφάνεια f(x,y,z) = 0 στο σηµείο (x 0,y 0,z 0 ). 6.5.2 Εφαπτόµενη ευθεία και κάθετο επίπεδο µιας καµπύλης στο χώρο R 3 Εστω f(t), g(t), h(t) οι παραγωγίσιµες παραµετρικές εξισώσεις µιας καµπύλης C στο χώρο R 3. Θα αναζητήσουµε την εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης C στο σηµείο M 0 (x 0,y 0,z 0 ). z K u M 0 P T 0 C r 0 R r M y x Σχήµα 6.8. Επίπεδο κάθετο στη καµπύλη C και η εφαπτοµένη T στη καµπύλη

204 ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές Αν R = f(t)ê x + g(t)ê y + h(t)ê z είναι το διάνυσµα ϑέσης τυχόντος σηµείου της καµπύλης, τότε το διάνυσ- µα T 0 = dr dt M0 είναι εφαπτόµενο της καµπύλης στο M 0. Αν r και r 0 είναι τα διανύσµατα ϑέσης των σηµείων M(x,y,z) και M 0 (x 0,y 0,z 0 ), (ϐλέπε Σχ. 6.8) αντίστοιχα, τότε το διάνυσµα της εφαπτοµένης r = r r 0 είναι συγγραµµικό µε το T 0. Άρα έχουµε (r r 0 ) T 0 = 0, που είναι οι εξισώσεις της εφαπτοµένης της καµπύλης στο σηµείο M 0. Η παραµετρική της µορφή δίνεται από τη σχέση x x 0 f (t) = y y 0 g (t) = z z 0 h (t). Με τον ίδιο τρόπο ϐρίσκουµε, ότι η εξίσωση του κάθετου επιπέδου της καµπύλης στο σηµείο M 0 (x 0,y 0,z 0 ) είναι η ή (r r 0 ) T 0 = 0 (x x 0 )f (t) + (y y 0 )g (t) + (z z 0 )h (t) = 0. Τέλος, είναι ενδιαφέρον να µελετήσουµε την εξίσωση της εφαπτοµένης και του κάθετου επιπέδου στο σηµείο M 0 της καµπύλης C 2 που σχη- µατίζει η τοµή των επιπέδων F(x,y,z) = 0 και G(x,y,z) = 0. Η εφαπτοµένη στη καµπύλη C 2 στο σηµείο M 0 ϑα είναι ταυτόχρονα και η τοµή των δύο εφαπτόµενων επιπέδων στο σηµείο M 0, δηλαδή του επιπέδου και ( F x ) M 0 (x x 0 ) + ( ) G (x x 0 ) + x M 0 ( F y ) M 0 (y y 0 ) + ( ) G (y y 0 ) + y M 0 ( F z ) M 0 (z z 0 ) ( ) G (z z 0 ). z M 0 Άρα η εξίσωση της εφαπτοµένης προκύπτει απο τη λύση του παραπάνω συστήµατος,

6.5 Γεωµετρικές εφαρµογές 205 Æ Ç Å T M 0 Ä È B F(x,y,z)=0 Ã A G(x,y,z)=0 C Σχήµα 6.9. Η εφαπτοµένη και το κάθετο επίπεδο στη καµπύλη που σχηµατίζεται από τη τοµή των δύο επιπέδων (x x 0 ) [ D(F,G) D(y,z) ]M0 = (y y 0 ) [ D(F,G) D(x,z) ]M0 = (z z 0 ) ] [ D(F,G) D(x,y) M 0 ενώ αντίστοιχα του κάθετου επιπέδου ϑα είναι [ ] [ ] D(F,G) D(F,G) (x x 0 ) + (y y 0 ) D(y, z) M 0 D(x, z) M [ ] 0 D(F,G) + (z z 0 ) = 0. (6.11) D(x, y) M 0 Παραδείγµα 6.10: Να ϐρεθούν οι εξισώσεις της εφαπτόµενης ευ- ϑείας και του κάθετου επιπέδου στην καµπύλη της τοµής της σ- ϕαίρας x 2 + y 2 + z 2 = 4ρ 2 και του κυλίνδρου x 2 + y 2 = 2ρx στο σηµείο M 0 (ρ,ρ,ρ 2). Απάντηση: Οι δύο επιφάνειες F = x 2 +y 2 +z 2 4ρ 2 = 0 και G = x 2 + y 2 2ρx = 0 τέµνονται και σχηµατιζουν µιά καµπύλη C 1. Υπολογιζουµε τις παραγώγους και ( F x Εποµένως ) M 0 = ( ) G = x M 0 ( ) F = 2ρ, y M 0 ( ) G = 0, z M 0 ( ) F = 2ρ 2, z M 0 ( ) G = 2ρ. y M 0

206 ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές { } D(F,G) = 4ρ 2 2, D(y, z) M { } 0 D(F,G) = 4ρ 2, D(x, y) M 0 { } D(F,G) = 0, D(z, x) M 0 Οι εξισώσεις της εφαπτοµένης είναι y = ρ,x + z 2 = 3ρ, ενώ η εξίσωση του κάθετου επιπέδου είναι z = x 2. Παραδείγµα 6.11: Αποδείξτε ότι η επιφάνεια x 2 + y 3 = 2(2 + yz) είναι κάθετη σε οποιοδήποτε µέλος της οικογενειας επιφανειών x 2 + 1 αz 2 = 2y 2 (1 2α) στο σηµείο της τοµής τους M 0 (1, 1,2). Απόδειξη: Οι επιφάνειες F = x 2 +y 3 2(2+yz) = 0 και G = x 2 +1 αz 2 2y 2 (1 2α) = 0 είναι κάθετες µεταξύ τους στο σηµείο M 0, αν τα διανύσµατα F και G είναι κάθετα µεταξύ τους ( F) M0 ( G) M0 = 0. Οι κλίσεις είναι και F = 2xê x + 3(y 2 2z)ê y 2yê z G = 2xê x 2(2 4α)yê y 2αzê z. Συνεπώς ισχύουν και ( F) M0 = 2ê x ê y + 2ê z ( G) M0 = 2ê x + 2(2 4α)ê y 4αê z, άρα ( F) M0 ( G) M0 = 0. Παραδείγµα 6.12: είξτε ότι, το ελλειψοειδές x 2 + 3y 2 + 2z 2 = 9 και η σφαίρα x 2 +y 2 +z 2 8x 8y 6z +24 = 0 εφάπτονται µεταξύ τους στο σηµείο M 0 (2,1,1). Απόδειξη: Για να εφάπτονται οι επιφάνειες F = x 2 + 3y 2 + 2z 2 9 = 0 και G = x 2 +y 2 +z 2 8x 8y 6z+24 = 0 στό σηµείο M 0, ϑα πρέπει οι ( F) M0 = ( G) M0. Υπολογίζουµε τις κλίσεις των επιφανειών F και G στο σηµείο M 0 και ( F) M0 = 4ê x + 6ê y + 4ê z

6.6 Λυµένες ασκήσεις 207 ( G) M0 = 4ê x 6ê y 4ê z που είναι ίσες ως προς το µέτρο και αντίθετες ως προς τις ϕορές. 6.6 Λυµένες ασκήσεις 6.1: (α) Αν F και G είναι δύο αστρόβιλα διανυσµατικά πεδία να αποδειχθεί ότι, το εξωτερικό τους γινόµενο F G είναι α- συµπίεστο διανυσµατικό πεδίο. (ϐ) Αν f(x,y,z) και g(x,y,z) είναι δύο αριθµητικές συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους δεύτερης τάξης δείξτε ότι, ισχύει η ταυτότητα f g = 0. Απάντηση: (α) Πρέπει να δείξουµε ότι, [F G] = 0 όταν F = G = 0. είχνουµε πρώτα ότι, (F G) = ( F) G ( G) F, όπου F = (f 1,f 2,f 3 ) και G = (g 1,g 2,g 3 ). F G = (f 2 g 3 f 3 g 2 )ê x + (f 3 g 1 f 1 g 3 )ê y + (f 1 g 2 f 2 g 1 )ê z (F G) = x (f 2g 3 f 3 g 2 ) + y (f 3g 1 f 1 g 3 )+ z (f 1g 2 f 2 g 1 ) = f 2 x g 3 f 3 x g 2 + f 3 y g 1 f 1 y g 3 + f 1 z g 2 f 2 z g 1 + g 3 x f 2 g 2 x f 3 + g 1 y f 3 g 3 y f 1 + g 2 z f 1 g 1 z f 2 = ( f3 y f ) ( 2 f1 g 1 + z z f ) ( 3 f2 g 2 + x x f ) 1 g 3 y ( g3 y g 2 z ) f 1 ( g1 z g 3 x ( F) G ( G) F ) f 2 + ( g2 x g 1 y ) f 3 = (ϐ) είχνουµε πρώτα ότι, ( f) = 0 και στη συνέχεια εφαρµόζουµε την ταυτότητα που αποδείξαµε στο µέρος (α). 6.2: Εστω f(x) = x + y + z ένα αριθµητικό πεδίο ορισµένο στον R 3. Αν x 0 = (x 0,y 0,z 0 ) είναι ένα διάνυσµα τέτοιο ώστε x 0 + y 0 + z 0 = 0, ϐρείτε εκείνες τις κατευθύνσεις για τις οποίες υπάρχει η παράγωγος του πεδίου f στο x 0.

208 ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές Απάντηση: Εστω n 0 = (cos a 1,cos a 2,cos a 3 ) η κατεύθυνση του µοναδιαίου διανύσµατος. Τότε D n0 f = lim t 0 f(x 0 + tn 0 ) f(x 0 ) t x 0 + t cos a 1 + y 0 + t cos a 2 + z 0 + t cosa 3 = lim t 0 t t = lim t 0 t cos a 1 + cos a 2 + cos a 3, (6.12) αφού x 0 + y 0 + z 0 = 0. Για να υπάρχει το όριο (6.16) ϑα πρέπει cos a 1 + cos a 2 + cos a 3 = 0. (6.13) Η σχέση (6.13) καθορίζει τις κατευθύνσεις, για τις οποίες υπάρχει η παράγωγος του πεδίου. 6.3: (α) Αν f(x,y) = xe y, να ϐρείτε τη µεταβολή της f στο σηµείο P(2,0) κατά τη διεύθυνση από το P προς το Q(5,4). (ϐ) Προς ποιά διεύθυνση έχει η f τη µεγαλύτερη µεταβολή ; Ποιά είναι η µέγιστη µεταβολή ; Απάντηση: (α) Υπολογίζουµε πρώτα το διάνυσµα κλίσης ( f f(x,y) = x, f ) = (e y,xe y ), f(2,0) = (1,2). y Το µοναδιαίο διάνυσµα κατά τη διεύθυνση P Q = (3,4) είναι u = (3/5,4/5), οπότε η µεταβολή της f κατά τη διεύθυνση P Q, στο σηµείο P είναι ( 3 D u f(2,0) = f(2,0) u = (1,2) 5, 4 ) = 3 5 5 + 8 5 = 11 5. (ϐ) Γνωρίζουµε ότι η f αυξάνεται γρηγορότερα κατά τη διεύθυνση του διανύσµατος κλίσης f(2, 0) = (1, 2). Η µέγιστη µεταβολή είναι f(2,0) = (1,2) = 5. 6.4 : Η ϑερµοκρασία σε κάθε σηµείο µιας µεταλλικής πλάκας δίνεται από τη συνάρτηση T(x,y) = e x cos y + e y cos x. (α)προς ποιά κατεύθυνση αυξάνεται ταχύτερα η ϑερµοκρασία στο σηµείο (0,0);

6.6 Λυµένες ασκήσεις 209 (ϐ)προς ποιά κατεύθυνση ελαττώνεται ταχύτερα η ϑερµοκρασία στο (0,0); Απάντηση: T(x,y) = T x êx + T y êy = (e x cos y e y sin x)ê x + (e y cos x e x sin y)ê y. (α) Στο (0,0) η ϑερµοκρασία αυξάνεται ταχύτερα κατά την κατεύθυνση της κλίσης T(0,0) = ê x + ê y. (ϐ) Η ϑερµοκρασία ελαττώνεται ταχύτερα κατά την κατεύθυνση του T(0,0) = ê x ê y. 6.5: Χρησιµοποιήστε τον κανόνα σύνθετης παραγώγισης για να ϐρείτε το ϱυθµό µεταβολής της f(x,y) = (x 3 + y 3 )/3 ως προς t κατά µήκος της καµπύλης r(t) = acos tê x + b sintê y. Απάντηση: Ο ϱυθµός µεταβολής της f ως προς t κατά µήκος της καµπύλης είναι η παράγωγος d[f(r(t))]. dt Από τον κανόνα σύνθετης παραγώγισης προκύπτει ( d[f(r(t))] f dx = dt x dt + f dy y dt + f ) dz = f ( dr(t) ). z dt dt Για τη συγκεκριµένη περίπτωση ισχύει f = x 2 ê x + y 2 ê y. Με x(t) = acos t και y(t) = bsin t, έχουµε Επειδή f(r(t)) = a 2 cos 2 tê x + b 2 sin 2 tê y. dr(t) dt έχουµε ότι, d[f(r(t))] dt = asintê x + bcos tê y = sin t cos t(b 3 sin t a 3 cos t).

210 ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές 6.6: Βρείτε την f αν γνωρίζετε ότι f(x,y) = Απάντηση: Εχουµε f x = y ( y y 2x 1/2 + 2x ) ê x + y 2x 1/2 + 2x, f y = ( x 2y 1/2 ) x + 1 ê y. x 2y 1/2 x + 1. Ολοκληρώνοντας την f/ x ως προς x παίρνουµε f(x,y) = x y xy + x 2 + φ(y) µε την φ(y) ανεξάρτητη του x. Παραγώγιση ως προς y δίνει f y = x 2y 1/2 x + dφ(y) dy. Οι δύο εξισώσεις για την f/ y µπορούν να ταυτιστούν µόνο αν dφ(y) dy = 1 δηλαδή φ(y) = y + c. Αυτό σηµαίνει ότι f(x,y) = xy 1/2 x 1/2 y + x 2 + y + c. Η συνάρτηση f(x,y) = xy 1/2 x 1/2 y + x 2 + y + c είναι η γενική λύση της διανυσµατικής διαφορικής εξίσωσης. 6.7 : είξτε ότι, η παράγωγος της f(x,y,z) = (x 2 /a 2 ) + (y 2 /b 2 ) + (z 2 /c 2 ) στο σηµείο Μ, κατά τη διεύθυνση του διανύσµατος n = MO, Ο είναι η αρχή των αξόνων, είναι 2f(M)/r όπου r είναι το διάνυσµα ϑέσης του σηµείου Μ. Απόδειξη: Η κλίση της f στο σηµείο M(x 0,y 0,z 0 ) είναι άρα f = (2x/a 2 )ê x + (2y/b 2 )ê y + (2z/c 2 )ê z D n f = ( f) n 0 n = 1 ( 2x 0 2 r a 2 2y 2 0 b 2 2z 0 c 2 = 2f(M 0). r 2 )

6.6 Λυµένες ασκήσεις 211 6.8: Να δειχθεί ότι (α) (A B) = B ( A) A ( B) (β) 2 ( A) = ( 2 A) Απόδειξη: (α) Αναλύουµε τη σχέση (A B) = x (A yb z A z B y ) + y (A zb x A x B z )+ ( z (A Ay xb y A y B x ) = B x z A ) ( z Az + B y y ( Ax B z y A y x ( Bx A z y B y x (ϐ) Γνωρίζουµε ότι ) A x ( By x A x z ) ( Bz A y x B x z z B z y ) = B ( A) A ( B). ( A) = ( A) 2 A Η απόκλιση και στα δύο µέρη ϑα δώσει [ ( A)] = [ 2 A + ( A] 0 = ( 2 A) + 2 ( A) ( 2 A) = 2 ( A) ) + ) 6.9: ίδεται το διανυσµατικό πεδίο F = (x + 2y + λz)ê x + (µx 3y z)ê y + (4x + νy + 2z)ê z και η ϐαθµωτή συνάρτηση f = 2x 2 yz 3. (α) Υπολογίστε τις σταθερές λ, µ, ν, ώστε το διανυσµατικό πεδίο να είναι αστρόβιλο. (ϐ) Να υπολογισθούν οι συναρτήσεις F f, (F )f, ( F) f, (F )f (γ) Υπάρχει συνάρτηση g που να επαληθεύει τη σχέση F = g; Αν ναι, να ϐρεθεί.

212 ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές Απάντηση: (α) Για να είναι αστρόβιλο το διανυσµατικό πεδίο F πρέπει F = 0. Από τη σχέση αυτή προκύπτουν οι τιµές των σταθερών λ = 4, µ = 2, ν = 1. (ϐ) Κάνοντας πράξεις παίρνουµε F f = (F )f = (x + 2y + 4z)4xyz 3 + (2x 3y z)2x 2 z 3 + (4x y + 2z)6x 2 yz 2. ( F) f = 0. (F )f = [(2x 3y z)4xyz 3 (4x y + 27)2x 2 z 3 ]i + [(4x y + 27)4xyz 3 (x + 2y + 4z)6x 2 yz 2 ]j + [(x + 2y + 4z)2x 2 z 3 (2x 3y z)4xyz 3 ]k (γ) Βέβαια, επειδή F = 0 = g. άρα F = (x + 2y + 4z)ê x + (2x 3y z)ê y + (4x y + 2z)ê y = g + g + g xêx yêy zêz g(x,y,z) = + x a z c (t + 2y + 4z)dt + (4a b + 2t)dt y b (2a 3t z)dt = x2 2 3y2 2 + z2 + 2xy yz + 4zx + C. 6.10 : Να ϐρεθούν οι εξισώσεις του εφαπτοµένου επιπέδου και της κάθετης ευθείας της σφαίρας x 2 + y 2 + z 2 = a 2 στο σηµείο M 0 (1,1,1) Απάντηση: Υπολογίζουµε τις παραγώγους της συνάρτησης F = x 2 + y 2 +z 2 a 2 στο σηµείο M 0 και έχουµε F x = F y = F z = 2. Η Ϲητούµενη εξίσωση του εφαπτοµένου επιπέδου είναι 2[(x 1) + (y 1) + (z 1)] = 0 x + y + z = 3. Η εξίσωση της κάθετης ευθείας στη σφαίρα είναι x 1 = y 1 = z 1.

6.6 Λυµένες ασκήσεις 213 6.11 : Να ϐρεθεί η γωνία των επιφανειών f(x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2 9 = 0,g(x,y,z) = x 2 + y 2 z 3 = 0 στο σηµείο M 0 (2, 1,2). Απάντηση: Η γωνία φ µεταξύ δύο επιφανειών µε εξισώσεις f = 0 και g = 0 στο τυχαίο σηµείο M(x, y, z) υπολογίζεται από τη σχέση ( f) M ( g) M = f M g M cos φ. Επειδή ( f) M0 = 4ê x 2ê y + 4ê z,( g) M0 = 4ê x 2ê y ê z, έχουµε cos φ = (4ê x 2ê y + 4ê z ) (4ê x 2ê y ê y ) 4 2 + 2 2 + 4 2 4 2 + 2 2 + 1 2 = 16 6 21. 6.12 Βρείτε τις εξισώσεις του εφαπτοµένου επιπέδου και της κά- ϑετης ευθείας στο παραβολοειδές z = x 2 +y 2 στο σηµείο M(1,1,2). Απάντηση: Από την εξίσωση του παραβολοειδούς F = x 2 + y 2 z = 0 έχουµε ( F ) ( ) ( ) F F = 2, = 2, = 1. x M 0 y M 0 z M 0 Οι Ϲητούµενες εξισώσεις είναι και z 2 = 2(x 1) + 2(y 1) = 2(x + y 2) z 2 = x 1 2 = y 1 2. 6.13 Βρείτε τις εξισώσεις της εφαπτοµένης ευθείας και του κα- ϑέτου επιπέδου της κυκλικής έλικας x = acos θ, y = asin θ, z = bθ, γιά θ = 2π. Απάντηση: Οι παράγωγοι είναι dx dθ = asin θ = y, dy dθ = acos θ = x, dz dθ = b. Συνεπώς, οι εξισώσεις της εφαπτοµένης σε τυχόν σηµείο M 0 (x 0,y 0,z 0 ) της έλικας είναι x x 0 = y y 0 = z z 0 y 0 x 0 b ενώ η εξίσωση του εφαπτοµένου επιπέδου είναι y 0 (x x 0 ) + x 0 (y y 0 ) + b(z z 0 ) = 0 για θ = 2π. Οι παραπάνω εξισώσεις γίνονται x = a,by = az 2abπ και ay + bz 2b 2 π = 0.

214 ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές 6.14 είξτε ότι το τετράεδρο που σχηµατίζεται από τα επίπεδα των συντεταγµένων και από οποιοδήποτε εφαπτόµενο επίπεδο της επιφάνειας xyz = α 3, έχει σταθερό όγκο. Απόδειξη: Το επίπεδο που τέµνει τα επίπεδα των αξόνων περιγράφεται απο την εξίσωση f = xyz a 3 = 0. Το εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο M 0 (x 0,y 0 ) µπορεί να ϐρεθεί απο το τύπο ( ) ( ) ( ) f f f (x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ) = 0 x M 0 y M 0 z M 0 ή (x x 0 )y 0 z 0 + (y y 0 )x 0 z 0 + (z z 0 )x 0 y 0 = 0. Η τοµή του επιπέδου µε τον άξονα z υπολογίζεται απο τη σχέση z 1 = x 0 y 0 z 0 = α 3. Αντίστοιχα οι τοµές µε τους άλλους άξονες είναι x 1 = α 3,y 1 = α 3. Τέλος, ο όγκος που υπολογίζεται από τη σχέση V = 1 6 x 1y 1 z 1 = 1 6 α9 παραµένει σταθερός. 6.7 Ασκήσεις για λύση 6.1: Να ϐρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f(x,y,z) = xcosysinz κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος 2ê x ê y + 4ê z στο σηµείο M 0 (1,π, π 4 ). 6.2: Να ϐρεθεί η κλίση των παρακάτω αριθµητικών πεδίων: i)f 1 = 3x + y + z 2, ii)f 2 = 2x + y 3 + z 4 iii)f 3 = xy + yz + 3xz, iv)f 4 = x 3 + y 3 + z 3 3xz 6.3 : Βρείτε την κλίση του αριθµητικού πεδίου f(x) = n i=1 x i 2, όπου x 1,x 2,...,x n είναι οι συνιστώσες του διανύσµατος x ως προς τη ϐάση ê i, i = 1,2,...,n του R n. 6.4 : Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f(x,y) = x 3 y 4 στο σηµείο (6, 1) κατά τη διεύθυνση του διανύσµατος v = 2ê x + 5ê y. 6.5 : είξτε ότι, ( v) = 0, αν το v έχει συνεχείς παραγώγους δεύτερης τάξης.

6.8 ιανυσµατικές συναρτήσεις µε το Mathematica 215 6.6 : είξτε ότι, αν η ϕ έχει συνεχείς παραγώγους δεύτερης τάξης, τότε ( φ) = 0. 6.7 : Βρείτε την f, αν γνωρίζετε ότι f(x,y) = y 2 ê x + (2xy 1)ê y. 6.8 : Υπολογίστε την παράγωγο κατά κατεύθυνση της συνάρτησης x 2 y+ xy 2 στο σηµείο (1,4) κατά την κατεύθυνση που είναι παράλληλη προς την ευθεία 2x 3y 4 = 0 µε ϕορά προς τα δεξιά. Επίσης, υπολογίστε τη µέγιστη τιµή της παραγώγου κατά κατεύθυνση της x 2 y + xy 2 στο (1,4). 6.9 : Να υπολογισθεί η τιµή της µέγιστης παραγώγου κατά κατεύθυνση της συνάρτησης δυναµικού του διπόλου σε πολικές συντεταγµένες U(r,θ) = (P cosθ)/r 2, όπου P σταθερά, είναι D max U = P(sin 2 θ + 4cos 2 θ) 1 2/r 3 σε κάθε σηµείο (r,θ). 6.8 ιανυσµατικές συναρτήσεις µε το Mathematica 6.8.1 Ορισµός διανυσµατικής συνάρτησης Η διανυσµατική συνάρτηση είναι ουσιαστικά ένα διάνυσµα της µορφής f(x,y,z) = f 1 (x,y,z)ê x + f 2 (x,y,z)ê y + f 3 (x,y,z)ê z = {f 1 (x,y,z),f 2 (x,y,z),f 3 (x,y,z)} και µπορεί να οριστεί στο Mathematica µε δύο τρόπους : 1. Σαν ένα απλό διάνυσµα : Clear[f,x,y,z] f[x_,y_,z_] = {x 2 +y,y 2 +z,z 2 +x} {x 2 + y,y 2 + z,z 2 + x} 2. Χρησιµοποιώντας τις διανυσµατικές µονάδες : Clear[f,x,y,z,i,j,k] ^e x = {1,0,0}; ^e y = {0,1,0}; ^e z = {0,0,1}; f[x_,y_,z_] = (x 2 +y)i + (y 2 +z)j + (z 2 +x)k {x 2 + y,y 2 + z,z 2 + x}

216 ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές 6.8.2 Κλίση αριθµητικής συνάρτησης Η κλίση µιας αριθµητικής συνάρτησης f(x, y, z) δηλαδή f(x,y,z) = f xêx + f y êy + f z êz υπολογίζεται µε την εντολή Grad, η οποία περιέχεται στο πακέτο του Mathematica, Calculus V ectoranalysis. Απαραίτητη προϋπόθεση αποτελεί ϐέβαια, η ϕόρτωση του πακέτου και ο καθορισµός του συστή- µατος συντεταγµένων πριν από την εκτέλεση της εντολής. << Calculus VectorAnalysis SetCoordinates[Cartesian]; Clear[f,x,y,z] f[x_,y_,z_] := x 2 +y 2 +Sin[x y] +z Grad[f[x, y, z]] {2x + ycos[xy],2y + xcos[xy],1 } Πίνακας 6.1. Πίνακας εντολών Grad[f] Grad[f, coorsys] Κλίση αριθµητικής συνάρτησης Κλίση αριθµητικής συνάρτησης στο σύστηµα συντεταγµένων coorsys. 6.8.3 Απόκλιση και στροφή διανυσµατικής συνάρτησης Η απόκλιση µιας διανυσµατικής συνάρτησης δηλαδή η div f(x,y,z) = f 1 x + f 2 y + f 3 z = f δίνει ως αποτέλεσµα µια αριθµητική συνάρτηση. Η εντολή Div που χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό της απόκλισης ϐρίσκεται στο πακέτο Calculus VectorAnalysis.

6.8 ιανυσµατικές συναρτήσεις µε το Mathematica 217 << Calculus VectorAnalysis SetCoordinates[Cartesian]; Clear[f,x,y,z] f[x_,y_,z_] = {x +y,x 2 +y 2,z 3}; Div[f[x, y, z]] 1 + 2y + 3z 2 Εάν ϑέλουµε ο υπολογισµός της απόκλισης να γίνει σε άλλο σύστηµα συντεταγµένων, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την εντολή SetCoordinates ή να χρησιµοποιήσουµε δεύτερο όρισµα στην εντολή Div για τον προσδιορισµό του συστήµατος συντεταγµένων. Div[f[x, y, z], Spherical] Csc[Ttheta](Rr(x 2 + y 2 )Cos[Ttheta] + 2Rr(x + y)sin[ttheta]) Rr 2 Div[f[x, y, z], Spherical[a, b, c]] Csc[b](a(x 2 + y 2 )Cos[b] + 2a(x + y)sin[b]) a 2 Η στροφή µιας διανυσµατικής συνάρτησης f υπολογίζεται µε την εντολή Curl που ϐρίσκεται επίσης στο πακέτο Calculus VectorAnalysis και δίνει ως αποτέλεσµα διανυσµατική συνάρτηση. << Calculus VectorAnalysis SetCoordinates[Cartesian]; Clear[f,x,y,z] f[x_,y_,z_] = {x +y,x 2 +y 2,z 3}; Curl[f[x, y, z]] {0,0, 1 + 2x} Curl[f[x, y, z], Cylindrical] {0,0, x2 + y 2 Rr }

218 ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές Πίνακας 6.2. Πίνακας εντολών Div[f] Div[f, coorsys] Curl[f] Curl[f, coorsys] Απόκλιση διανυσµατικής συνάρτησης Απόκλιση διανυσµατικής συνάρτησης στο σύστηµα συντεταγµένων coorsys. Στροφή διανυσµατικής συνάρτησης Στροφή διανυσµατικής συνάρτησης στο σύστηµα συντεταγµένων coorsys. 6.8.4 Ο τελεστής Laplace Ο τελεστής Laplace 2 f = 2 f x 2 + 2 f y 2 + 2 f z 2 = f xx + f yy + f zz αντιστοιχεί στην εντολή Laplacian του Mathematica, η οποία ϐρίσκεται επίσης στο πακέτο Calculus VectorAnalysis και µπορεί να εφαρµοστεί τόσο σε αριθµητικές, όσο και διανυσµατικές συναρτήσεις. << Calculus VectorAnalysis Clear[f 1,f 2,x,y,z] f 1 [x_,y_,z_] = {x +y,x 2 +y 2,z 3}; f 2 [x_,y_,z_] = x 2 +z 2 +Cos[x y]; Laplacian[f 1 [x,y,z]] {0,4,6z} Laplacian[f 2 [x,y,z]] 4 x 2 Cos[xy] y 2 Cos[xy] 6.8.5 Λυµένες ασκήσεις 1. Να δειχθεί ότι : (f 1 f 2 ) = ( f 1 ) ( f 2 ) + f 1 2 f 2.

6.8 ιανυσµατικές συναρτήσεις µε το Mathematica 219 << Calculus VectorAnalysis SetCoordinates[Cartesian[x, y, z]]; Clear[f 1,f 2,pr 1,pr 2 ] pr 1 = Div[f 1 [x,y,z]grad[f 2 [x,y,z]]] f (0,0,1) 1 [x,y,z]f (0,0,1) 2 [x,y,z] + f 1 [x,y,z]f (0,0,2) 2 [x,y,z]+ f (0,1,0) 1 [x,y,z]f (0,1,0) 2 [x,y,z] + f 1 [x,y,z]f (0,2,0) 2 [x,y,z]+ f (1,0,0) 1 [x,y,z]f (1,0,0) 1 [x,y,z] + f 1 [x,y,z]f (2,0,0) 1 [x,y,z] pr2 = Dot[Grad[f 1 [x,y,z]],grad[f 2 [x,y,z]]]+ f 1 [x,y,z]laplacian[f 2 [x,y,z]] f (0,0,1) 1 [x,y,z]f (0,0,1) 2 [x,y,z] + f (0,1,0) 1 [x,y,z]f (0,1,0) 2 [x,y,z]+ f (1,0,0) 1 [x,y,z]f (1,0,0) 2 [x,y,z] + f 1 [x,y,z]f (0,0,2) 2 [x,y,z]+ f 1 [x,y,z]f (0,2,0) 2 [x,y,z] + f 1 [x,y,z]f (2,0,0) 2 [x,y,z] Simplify[pr1 == pr2] True 2. ίνεται το διανυσµατικό πεδίο F = (x + 2y + lz)ê x + (mx 3y z)ê y + (4x + ny + 2z)ê y και η ϐαθµωτή συνάρτηση f(x,y,z) = 2x 2 yz 3. (α)υπολογίστε τις σταθερές n,m,l, ώστε το διανυσµατικό πεδίο να είναι αστρόβιλο. (ϐ) Να υπολογιστούν οι σχέσεις F f, ( F) f (α) << Calculus VectorAnalysis

220 ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές SetCoordinates[Cartesian[x, y, z]]; Clear[f,x,y,z,l,m,n] f[x_,y_,z_] = {x +2 y+l z,m x 3 y z, 4 x+n y+2 z}; Για είναι το διανυσµατικό πεδίο αστρόβιλο πρέπει να ισχύει F = 0. (ϐ) Curl[f[x, y, z]] {1 + n, 4 + l, 2 + m} Solve[% == {0,0,0}, {l,n,m}] {{l 4,n 1,m 2 }} Clear[f 1,pr 1,pr 2 ] f 1 [x_,y_,z_] := 2 x 2 y z 3 pr 1 = Expand[Dot[f[x,y,z],Grad[f 1 [x,y,z]]]] 24x 3 yz 2 6x 2 y 2 z 2 + 4x 3 z 3 + 10x 2 yz 3 + 8xy 2 z 3 2x 2 z 4 + 16xyz 4 pr 2 = Dot[Curl[f[x,y,z]],Grad[f 1 [x,y,z]]] 0 3. Θεωρούµε τη συνάρτηση f(x,y,z) = e x + e 2y + e z Να ϐρεθεί η παράγωγος της f στο σηµείο M(1,0,0) κατά τη διεύ- ϑυνση του διανύσµατος a = 2ê x + ê y + 2ê z. Να οριστεί το διάνυσµα b κατά τη διεύθυνση του οποίου η τιµή της παραγώγου της f γίνεται µέγιστη στο σηµείο M(1,0,1).

6.8 ιανυσµατικές συναρτήσεις µε το Mathematica 221 (α) << LinearAlgebra Orthogonalization << Calculus VectorAnalysis Clear[a,newa,f,x,y,z,f 1,ap] a = {2,1,2}; newa = Normalize[a] { 2 3, 1 3, 2 } 3 f[x_,y_,z_] := Exp[x] +Exp[ 2 y] +Exp[ z] f 1 = Grad[f[x,y,z],Cartesian[x,y,z]] {E x, 2E 2y, E z } ap[x_,y_,z_] = Dot[f 1,newa] 2E x 3 ap[1,0,0] 2E 2y 3 2E z 3 4 3 + 2E 3 (ϐ) b = f 1 [1,0,1] { E, 2, 1 } E 4. Να ϐρεθεί η γωνία της τοµής των επιφανειών f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 9 = 0 και g(x,y,z) = x 2 +y 2 z 3 = 0 στο σηµείο M(2, 1,2). << Calculus VectorAnalysis SetCoordinates[Cartesian[x, y, z]]; Clear[f,g,f 1,g 1,a,b]

222 ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές f[x_,y_,z_] := x 2 +y 2 +z 2 9 g[x_,y_,z_] := x 2 +y 2 z 3 f 1 [x_,y_,z_] = Grad[f[x,y,z]] {2x,2y,2z} g 1 [x_,y_,z_] = Grad[g[x,y,z]] {2x,2y, 1 } a = f 1 [2, 1,2] {4, 2,4 } b = g 1 [2, 1,2] {4, 2, 1 } Clear[norm] norm[v_] = N[Sqrt[v.v]] v v phi = ArcCos[a.b/(norm[a] norm[b])] [ ] 8 ArcCos 2 21 5. Να δειχθεί ότι, οι εφαπτοµένες της καµπύλης C µε παραµετρικές εξισώσεις x = a(sint + cost) y = a(sint cost) z = be t όπου a 0, b 0, συναντούν τον κύκλο x 2 + y 2 = 4a 2. << Calculus VectorAnalysis SetCoordinates[Cartesian[x, y, z]];

6.8 ιανυσµατικές συναρτήσεις µε το Mathematica 223 Clear[x,a,y,z,b,r,r 1,r 2,t,l] x[t_] := a (Sin[t] +Cos[t]) y[t_] := a (Sin[t] Cos[t]) z[t_] := b Exp[ t] r = {x[t],y[t],z[t]} {a(cos[t] + Sin[t]),a( Cos[t] + Sin[t]),bE t } r 1 = D[x[t],y[t],z[t],t] {a(cos[t] Sin[t]),a(Cos[t] + Sin[t]), be t } r 2 = r +l r 1 {al(cos[t] Sin[t]) + a(cos[t] + Sin[t]), a( Cos[t] +Sin[t] + al(cos[t] + Sin[t]),bE t be t l} r 2 /.l 1 {a(cos[t] Sin[t]) + a(cos[t] + Sin[t]), a( Cos[t] + Sin[t]) + al(cos[t] + Sin[t]),0 } Simplify[%] {2aCos[t], 2aSin[t], 0 } 6. Να υπολογιστεί η στροφή και η απόκλιση της συνάρτησης F = xyz(e x e x + e y e y + e z e z ) << Calculus VectorAnalysis Clear[f,x,y,z] SetCoordinates[Cartesian[x, y, z]]; f[x_,y_,z_] = {x y z Exp[x],x y z Exp[y], x y z Exp[z]};

224 ιανυσµατικές συναρτήσεις και γεωµετρικές εφαρµογές {E x xyz + E y xyz + E z xyz} Div[f[x, y, z]] E z xy +E y xz +E x yz +E x xyz +E y xyz +E z xyz Curl[f[x, y, z]] { E y xy + E z xz,e x xy E z yz, E x xz + E y yz} 6.8.6 Ευρετήριο νέων αντικειµένων SetCoordinates Grand Div Εντολές. Curl Laplacian Dot N ormalize Τα πακέτα. Επιλογή συστήµατος συντεταγµένων Κλίση Αριθµητικής Συνάρτησης Απόκλιση ιανυσµατικής Συνάρτησης Στροφή ιανυσµατικής Συνάρτησης Τελεστής Laplace Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων Κανονικοποίηση διανύσµατος Calculus V ectoranalysis Απαραίτητη για τις εντολές SetCoordinates, Grad, Div, Curl, Laplacian. LinearAlgebra Orthogonalization Normalize Απαραίτητη για την εντολή

7. Μέγιστα και Ελάχιστα Μέσα από καθαρά λογικές σκέψεις δεν µπορούµε να αποκτήσουµε απολύτως καµία νέα γνώση για το ϕυσικό κόσµο. Albert Einstein 7.1 Αναγκαίες συνθήκες για ακρότατα Ο υπολογισµός των ακροτάτων τιµών µιας συνάρτησης αποτελεί µία από τις πιο χρήσιµες εφαρµογές του διαφορικού λογισµού. Θα ξεκινήσουµε µε τη µελέτη των συναρτήσεων δύο µεταβλητών, z = f(x,y). Στην παράγραφο αυτή ϑα µελετήσουµε τις αναγκαίες συνθήκες για να έχει η συνάρτηση f ακρότατα στο πεδίο ορισµού της. Εαν f(x, y) είναι µια αριθµητική συνάρτηση πραγµατικών µεταβλητών ορισµένη στον τόπο D R 2 και M 0 (x 0,y 0 ) ένα σηµείο του τόπου D τότε ορίζουµε το σχετικό ή τοπικό µέγιστο ή ελάχιστο ως εξήσ: ΟΡΙΣΜΟΣ 7.1: Αν υπάρχει περιοχή π(m 0,δ), για όλα τα σηµεία της οποίας f(x,y) f(x 0,y 0 ), τότε λέµε ότι η f έχει σχετικό µέγιστο, αντίθετα αν f(x,y) f(x 0,y 0 ) λέµε ότι, η f έχει σχετικό ελάχιστο. Εάν η συνάρτηση έχει σχετικό µέγιστο ή ελάχιστο στην περιοχή ενός σηµείου M 0, τότε λέµε ότι η f έχει σχετικό ακρότατο στο σηµείο αυτό. Στην περίπτωση που η συνάρτηση f παραµένει µικρότερη (ή µεγαλύτερη) από την τιµή f(x 0,y 0 ) για όλα τα σηµεία του D, τότε η f έχει απόλυτο ελάχιστο (ή µέγιστο) στο συγκεκριµένο σηµείο. ΘΕΩΡΗΜΑ 7.1: Εάν το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι συµπαγές και η f είναι συνεχής σε όλα τα σηµεία του πεδίου ορισ- µού της, τότε υπάρχουν σηµεία εντος του πεδίου ορισµού της στα

226 Μέγιστα και Ελάχιστα οποία η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο και επίσης σηµεία που παρουσιάζει µέγιστο. Για παράδειγµα, η συνάρτηση f(x,y) = x 2 + y 2 στον κλειστό δίσκο x 2 + y 2 1, παρουσιάζει ελάχιστο στο σηµείο (0,0) και µέγιστο στα σηµεία του κύκλου x 2 + y 2 = 1. ΘΕΩΡΗΜΑ 7.2: Αν η συνάρτηση f : D R, όπου D R 2, είναι ορισµένη και διαφορίσιµη στον τόπο D, τότε µία αναγκαία συν- ϑήκη για να έχει η συνάρτηση αυτή ακρότατο στο σηµείο M 0 D είναι να µηδενίζονται όλες οι µερικές παράγωγοι πρώτης τάξης στο σηµείο αυτό. Η απόδειξη του ϑεωρήµατος είναι εύκολο να γίνει γεωµετρικά. Εχουµε ήδη συζητήσει ότι, το εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο M 0 της συνάρτησης z = f(x,y) περιγράφεται από τη σχέση z z 0 = ( f x ) (x x 0 ) + 0 ( f y ) (y y 0 ). (7.1) 0 Αν το ( f/ x) 0 = ( f/ y) 0 = 0, τότε z = z 0, που σηµαίνει ότι το εφαπτόµενο επίπεδο είναι παράλληλο στο επίπεδο (x, y) και όλα τα σηµεία στην περιοχή του (x 0,y 0 ) ϐρίσκονται πάνω ή κάτω από το z = z 0 (ϐλέπε Σχ. 7.1). Είναι ϕανερό ότι, η συνθήκη είναι αναγκαία, αλλά όχι ικανή για την ύ- παρξη ακρότατου µιας συνάρτησης. Τα ακρότατα πρέπει να τα αναζητήσουµε µεταξύ των λύσεων του συστήµατος ( f x ) 0 = 0 και ( f y ) 0 = 0, (7.2) αλλά κάθε λύση του συστήµατος δεν είναι και ακρότατο της συνάρτησης f στο σηµείο M 0. Ενας άλλος τρόπος παρουσίασης των εξισωσεων (7.1) είναι ( f) 0 = 0. Τα σηµεία µιας επιφάνειας z = f(x, y) που άποτελούν λύση του συστή- µατος των εξ. (7.2) λέγονται κρίσιµα σηµεία ή σηµεία στάσεως. Άρα τα ακρότατα µιας συνάρτησης f(x, y) είναι κρίσιµα σηµεία της επιφάνειας z = f(x,y). Μπορούµε να γενικευσουµε όλα τα παραπάνω και σε περισσότερες συντεταγµένες. Ετσι η συνθήκη (7.2) παίρνει τη µορφή

7.2 Ικανή συνθήκη για ακρότατες τιµές 227 2 1 0-1 -2-10 -5 0-5 0 5 10 5 10-10 Σχήµα 7.1. Η επιφάνεια z = sin x + sin y παρουσιάζει πολλά ακρότατα σηµεία στο διαστηµα [ 10 < x < 10, 10 < y < 10]. ( ) f = 0 x 0 ( ) f = 0 και y 0 αν η συνάρτηση f(x, y, z), κ.ο.κ. ( ) f = 0. (7.3) z 0 Εκτός από τα µέγιστα και ελάχιστα συναντούµε συχνά και τα σαγ- µατικά σηµεία. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης στην περιοχή του σαγµατικού σηµείου ϑυµίζει το γνωστό µας σαµάρι 1 (ϐλέπε Σχ. 7.2). Στη περιοχή του σαγµατικού σηµείου M 0 (x 0,y 0 ) η συνάρτηση f(x,y 0 ) παρουσιάζει µέγιστο (ή ελάχιστο) ενώ η συνάρτηση f(x 0,y) παρουσιάζει ελάχιστο (ή µέγιστο). 7.2 Ικανή συνθήκη για ακρότατες τιµές Η συνθήκη ( ) f = x 0 ( ) f = 0, y 0 αν ισχύει στο σηµείο M 0 του πεδίου ορισµού της συνάρτησης f(x,y), εξασφαλίζει ότι η συνάρτηση ϑα έχει ένα τουλάχιστο κρίσιµο σηµείο, αλλά δεν καθορίζει το είδος του δηλαδή, αν είναι µέγιστο, ελάχιστο ή σαγµατικό. Είναι ϕανερό ότι, για να καθορίσουµε το είδος του κρισίµου σηµείου στο M 0 χρειάζεται περισσότερη διερεύνηση. Αναπτύσσοντας τη συνάρτηση f(x, y) σε σειρά Taylor στη γειτονιά του (x 0,y 0 ) έχουµε 1 Εξάλλου η αρχαιοελληνική λέξη σάγµα σηµαίνει σαµάρι.

228 Μέγιστα και Ελάχιστα 5 0-5 -10-1 -0.5 0-0.5 0 0.5 1 0.5 1-1 Σχήµα 7.2. Η συνάρτηση z = x 3 + y 3 9xy 2y 2 + 1 δεν έχει ούτε µέγιστο ούτε ελάχιστο στο σηµείο (0, 0). Το σηµείο αυτό λέγεται σαγµατικό. f(x 0 + h,y 0 + k) = f(x 0,y 0 ) + + 1 2! [ h f ] 2 x + k f f(x 0,y 0 ) + Q 3 y ( ) f h + x 0 ( ) f k + y 0 όπου το Q 3 συµβολίζει όρους ανώτερης τάξης. Το Q 3 είναι αµελητέα αν τα h,k << 1, γιατί είναι άθροισµα πολυώνυµων τρίτης ή ανώτερης τάξης. Είναι ϕανερό ότι, για να καθορίσουµε τη ϕύση του κρίσιµου σηµείου, αρκεί να προσδιορίσουµε το πρόσηµο της διαφοράς f = f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = (7.4) = 1 { ( h 2 2 ) ( f 2 ) ( f 2! x 2 + 2hk + k 2 2 ) } f x y y 2. 0 Το πρόσηµο της ποσότητας µέσα στην αγκύλη καθορίζει την τιµή του f. Αν ορίσουµε τις σταθερές A = ( 2 f/ x 2 ) 0 B = ( 2 f/ x y) 0 Γ = ( 2 f/ y 2 ) 0 και = B 2 AΓ ή ισοδύναµα f xy = f xx = (f f xy f xy ) 2 f xx f yy yy τότε η σχέση (7.4) παίρνει τη µορφή 0 0

7.2 Ικανή συνθήκη για ακρότατες τιµές 229 f = (1/2)k 2 [AW 2 + 2BW + Γ] όπου W = (h/k). Ετσι το πρόσηµο της f ϑα είναι το ίδιο µε το πρόση- µο της έκφρασης D = AW [ 2 + 2BW + Γ = A W 2 + 2W B A + Γ ] A [ = A W 2 + 2W B ( B 2 ( ) ] B 2 A A) + + ΓA A A 2 [ ( = A W + B ) 2 ( ) 2 ] + A A ιακρίνουµε τρεις περιπτώσεισ: 1. < 0. Το πρόσηµο του Α καθορίζει το πρόσηµο του f. Αν το Α είναι ϑετικό έχουµε ελάχιστο στο M 0 ενώ στην αντίθετη περίπτωση έχουµε µέγιστο. (Λόγω συµµετρίας τη ϑέση του Α µπορεί να πάρει το Γ.) 2. > 0, το τριώνυµο D = 0 έχει δύο πραγµατικές και άνισες ϱίζες. Η τιµή f εξαρτάται από το W, άρα η f δεν έχει ούτε µέγιστο ούτε ελάχιστο. Το σηµείο αυτό είναι σαγµατικό. 3. = 0, το τριώνυµο D = 0, έχει µία πραγµατική ϱίζα ( B/A), οπότε µπορεί να µετατραπεί στο γινόµενο A(W + B/A) 2. Άρα αν W ( B/A), το D παίρνει την τιµή του Α. Για W = B/A το D µηδενίζεται, άρα πρέπει να διερευνήσουµε το πρόσηµο του Q 3 για την τιµή αυτή του W. Αν το Α έχει το ίδιο πρόσηµο µε το Q 3 στο σηµείο ( B/A) τότε η συνάρτηση έχει ελάχιστο, αν A > 0 και µέγιστο αν A < 0. Αντίθετα, αν το πρόσηµο του Α διαφέρει από το πρόσηµο του Q 3 τότε το σηµείο είναι σαγµατικό. Ολα όσα αναφέρθηκαν µέχρι τώρα, ισχύουν µε την προϋπόθεση ότι, οι παράγωγοι δεύτερης τάξης της f δεν µηδενίζονται στο σηµείο M 0 (x 0,y 0 ). Στην αντίθετη περίπτωση για να αποφασίσουµε, αν το κρίσιµο σηµείο είναι µέγιστο ή ελάχιστο χρειάζεται να διερευνήσουµε τις τιµές του πολυωνύµου [ h f ] 3 x + k f. (7.5) y

230 Μέγιστα και Ελάχιστα Η έκφραση (7.5) είναι πολυώνυµο τρίτου ϐαθµού ως πρός h,k και έχει τουλάχιστον ένα Ϲεύγος πραγµατικών ϱιζών, άρα δεν διατηρεί σταθερό πρόσηµο στη περιοχή του M 0. Στη περίπτωση αυτή λέµε ότι το σηµείο M 0 ειναι σαγµατικό. Συνοψίζοντας τα παραπάνω καταλήγουµε σε µια σχετικά απλή διαδικασία εύρεσης των τοπικών ακροτάτων τιµών της συνάρτησης f(x, y), που είναι ορισµένη στο ανοικτό σύνολο D R 2 και έχει παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης συνεχείς. Λύνουµε το σύστηµα {f x = 0,f y = 0} και ϐρίσκουµε τα στάσιµα ή κρίσιµα σηµεία M i (x i,y i ) της συνάρτησης. Για κάθε κρίσιµο σηµείο χωριστά υπολογίζουµε τις παραστάσεις = f 2 xy(x i,y i ) f xx (x i,y i )f yy (x i,y i ) και A = f xx (x i,y i ) (ή Γ = f yy (x i,y i )). Ετσι στα κρίσιµα σηµεία η συνάρτηση µπορεί να παρουσιάζει: Σχετικό ελάχιστο αν το < 0 και A > 0(Γ > 0), Σχετικο µέγιστο αν το < 0 και A < 0(Γ < 0), εν παρουσιάζει ακρότατο αν το > 0 (το σηµείο M(x 0,y 0 ) λέγεται σαγµατικό), Χρειάζεται περισσότερη διερεύνηση αν το = 0. Προσπαθούµε να ϐρούµε το πρόσηµο τις διαφοράς f(x,y) f(x 0,y 0 ) στη περιοχή του σηµείου M 0 (ϐλέπε τον Ορισµό 7.1). Αντικαθιστώντας τις τιµές των κρίσιµων σηµείων στη συνάρτηση ϐρίσκουµε τις ακρότατες τιµές της. Παραδείγµα 7.1: Να ϐρεθούν και να χαρακτηριστούν τα κρίσιµα σηµεία της συνάρτησης f(x,y) = x 3 + y 3 9xy + 1. Απάντηση: Από το σύστηµα f x = 3x 2 9y = 0 f y = 3y 2 9x = 0 ϐρίσκουµε ότι τα κρίσιµα σηµεία είναι P 1 (0,0) και P 2 (3,3). Υπολογί- Ϲουµε το f xx = 6x και = f 2 xy f xxf yy = ( 9) 2 (6x)(6y). Για το σηµείο P 1 έχουµε f xx (P 1 ) = 0 και (P 1 ) = 81 άρα είναι σαγµατικό (ϐλέπε Σχήµα 7.3). Για το P 2 έχουµε f xx = 18 > 0 και

7.2 Ικανή συνθήκη για ακρότατες τιµές 231 3 2 1-0.4-0.2 0 0.2 0.4-20 -22 2.6 2.8 3 3.2 3.4 0-24 -1-0.4-0.2 0 0.2 0.4-26 2.6 2.8 3 3.2 3.4 Σχήµα 7.3. Η επιφάνεια f(x, y) = x 3 + y 3 9xy + 1 έχει (α) σαγµατικό σηµείο στην αρχή των αξόνων και (ϐ) ελάχιστο στο σηµείο (3,3). (P 2 ) = 81 (18)(18) < 0 που δηλώνει ότι το P 2 είναι σχετικό ελάχιστο. Παράδειγµα 7.2: Να ϐρεθούν (αν υπάρχουν) τα τοπικά ακρότατα της f(x,y) = x 4 + y 4 4xy + 1. Απάντηση: Βρίσκουµε πρώτα τα κρίσιµα σηµεία από το σύστηµα των εξισώσεων f x = 4x3 4y = 0, f y = 4 y 3 4x = 0 3 2 0.6 0.8 1 1.2 1.4 3 2-1.4-1.2-0.8-0.6 1 1 0 0-1 -1 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1.4-1.2-1 -0.8-0.6 Σχήµα 7.4. Η επιφάνεια του παραδείγµατος 7.2. x 3 y = 0 y 3 x = 0 Από τη λύση του συστήµατος ϐρίσκουµε τρεις πραγµατικές ϱίζεσ: x = 0,1, 1 και τα τρία κρίσιµα σηµεία είναι (0,0),(1,1), και ( 1, 1). Στη συνέχεια υπολογίζουµε τις µερικές παραγώγους δεύτερης τάξης και την ποσότητα (x,y) = [f xy (x,y)] 2 f xx (x,y)f yy (x,y) : και f xx = 12x 2, f xy = 14, f yy = 12y 2, (x,y) = (f xy ) 2 f xx f yy = 16 144x 2 y 2. Εφόσον (0, 0) = 16 > 0 συµπεραίνουµε ότι, η αρχή των αξόνων είναι σαγµατικό σηµείο, δηλαδή η f δεν έχει τοπικό ακρότατο στο (0, 0). Επειδή (1,1) = 128 < 0 και f xx (1,1) = 12 > 0, η τιµή f(1,1) = 1 είναι

232 Μέγιστα και Ελάχιστα τοπικό ελάχιστο, και ( 1, 1) = 12 < 0 και fxx( 1, 1) = 12 > 0, οπότε η τιµή f( 1, 1) = 1 είναι επίσης ένα τοπικό ελάχιστο. 7.3 Ακρότατα συναρτήσεων τριών µεταβλητών Ο χαρακτήρισµος των κρισίµων σηµείων σε µέγιστα ή ελάχιστα για συναρτήσεις τριών µεταβλητών είναι δυσκολότερος. Αν έχουµε ήδη εξασφαλίσει ότι το σηµείο M 0 επαληθεύει το σύστηµα των εξίσωσεων (7.3), τότε υπολογίζουµε τα πρόσηµα των οριζουσών 1 = f xx f xy f xz f yx f yy f yz f zx f zy f zz 2 = f xx f xy f xy f yy και έχουµε 1. 1 (x 0,y 0,z 0 ) > 0, 2 (x 0,y 0,z 0 ) > 0, A > 0, τότε η f(x 0,y 0.z 0 ) παρουσιάζει στο σηµείο M 0 τοπικό ελάχιστο το f(x 0,y 0,z 0 ). 2. 1 (x 0,y 0,z 0 ) < 0, 2 (x 0,y 0,z 0 ) > 0, A < 0 τότε η f(x 0,y 0.z 0 ) παρουσιάζει στο σηµείο M 0 τοπικό µέγιστο το f(x 0,y 0,z 0 ). 3. Αν όλες οι παραστάσεις A, 1, 2 είναι διάφορες του µηδενός και δεν ισχύουν οι προηγούµενες συνθήκες τότε η f(x, y, z) δεν παρουσιάζει ακρότατο. 4. Αν 1 ή 2 είναι µηδέν προσπαθούµε να ϐγάλουµε συµπέρασ- µα κάνοντας εκτίµηση άµεσα του προσήµου της διαφοράς f = f(x,y,z) f(x 0.y 0,z 0 ). Παράδειγµα 7.3 Να υπολογισθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f(x,y) = x 2 + y 2 + z 2 2x 1 Απάντηση: Το σύστηµα {f x = 0,f y = 0,f z = 0} έχει τη µοναδική λύση M 0 (1,0,0). Το A = f xx = 2 και το ενω το 2 = 2 0 2 0 = 4 > 0

7.4 Ακρότατα πλεγµένων συναρτήσεων 233 1 = 2 0 0 0 2 0 0 0 2 = 8 > 0. Η συνάρτηση f παρουσιάζει στο σηµείο M 0 (1,0,0) τοπικό ακρότατο και µάλιστα τοπικό ελάχιστο που είναι το f(1,0,0) = 2. 7.4 Ακρότατα πλεγµένων συναρτήσεων Η µελέτη των ακροτάτων της συνάρτησης z(x, y) που ορίζεται πλεγµένα από την εξίσωση F(x,y,z(x,y)) = 0 ξεκινά από την εύρεση των λύσεων του συστήµατος z x = z y = 0 και στη συνέχεια µε τη ϐοήθεια των παραγώγων ανώτερης τάξης µπορούµε να διερευνήσουµε το χαρακτήρα των κρισίµων σηµείων. Υπενθυµίζουµε ότι, ο τρόπος υπολογισµού των παραγώγων πρώτης και ανώτερης τάξης περιγράφεται στη παράγραφο 5.5. Μία ειδική περίπτωση ακρότατων αποτελεί η πλεγµένη συνάρτηση f(x, y) = 0. Γι αυτήν είναι γνωστό ότι ( ) f/ x dy dx = ( ). f/ y Άρα για να είναι το dy/dx = 0 ϑα πρέπει ταυτόχρονα το ( f/ x) 0 = 0 και ( f/ y) 0 0. Η παράγωγος δεύτερης τάξης έχει τη µορφή d 2 ( y 2 ) ( ) / ( f ) dx 2 = f f 2 x 2 = C 0 y 0 y 0 όταν (dy/dx) 0 = ( f/ x) 0 = 0. Άρα, αν το C > 0 έχουµε µέγιστο, ενώ για C < 0 έχουµε ελάχιστο. Για την µελέτη των άκρων τιµών της συνάρτησης z(x,y) που ορίζεται από την εξίσωση F(x,y,z) = 0 ακολουθούµε την παρακάτω διαδικασία. Υποθέτουµε ότι η συνάρτηση F έχει συνεχείς µερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης. Λύνουµε το σύστηµα {F x = 0,F y = 0,F(x,y,z) = 0} και προσδιορίζουµε, αν υπάρχουν, τις λύσεις. Αν M 0 (x 0,y 0,z 0 ) ειναι µία λύση του συστήµατος που συγχρόνωσς επαληθεύει τη σχέση F z (x 0,y 0,z 0 ) 0 τότε, µε ϐάση το ϑεώρηµα των πλεγ- µένων συναρτήσεων, ορίζεται η συνάρτηση z(x,y). Αν το σηµείο (x 0,y 0 )

234 Μέγιστα και Ελάχιστα ϐρίσκεται στο εσωτερικό του πεδίου ορισµού της συνάρτησης z(x, y) τότε η µελέτη του χαρακτήρα (µέγιστο ή ελάχιστο) των άκρων τιµών στηρίζεται στις ακόλουθες σχέσεισ: Αν F z (x 0,y 0,z 0 )F xx (x 0,y 0,z 0 ) < 0 και το F xx (x 0,y 0,z 0 )F yy (x 0,y 0,z 0 ) F xy (x 0,y 0,z 0 ) 2 < 0 τότε το σηµείο (x 0,y 0 ) είναι ϑέση τοπικου ελαχίστου που είναι το z(x 0,y 0 ) = z 0. Αν F z (x 0,y 0,z 0 )F xx (x 0,y 0,z 0 ) > 0 και το F xx (x 0,y 0,z 0 )F yy (x 0,y 0,z 0 ) F xy (x 0,y 0,z 0 ) 2 < 0 τότε το σηµείο (x 0,y 0 ) είναι ϑέση τοπικου µεγίστου που είναι το z(x 0,y 0 ) = z 0. Αν F xx (x 0,y 0,z 0 )F yy (x 0,y 0,z 0 ) F xy (x 0,y 0,z 0 ) 2 = 0 δεν ϐγάζουµε συµπέρασµα µε τη µέθοδο αυτή. Παράδειγµα 7.4 Να υπολογισθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης που ορίζεται από την εξίσωση F(x,y,z) = x 2 + y 2 + z + 1 = 0. Απάντηση: Το σύστηµα {F x = 0,F y = 0,F = 0} έχει µοναδική λύση (0,0, 1). Το F z (0,0 1) 0 εποµένως η F = 0 λύνεται στη περιοχή του σηµείου (0, 0) και ορίζει τη συνάρτηση z(x, y). Υπολογίζουµε τις σχέσεις F z (0,0, 1)F xx (0,0, 1) = 2 > 0 και F 2 xy F xxf yy = 4, άρα το σηµείο (0,0) είναι ϑέση τοπικού µεγίστου της z που είναι το z 0 = 1. 7.5 Ακρότατα υπό συνθήκη Σε πολλά ϕυσικά συστήµατα, Ϲητάµε τα ακρότατα µιας συνάρτησης z = f(x,y), όταν τα x,y δεν είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους, δηλαδή όταν υπόκεινται σε µια επιπλέον συνθήκη φ(x, y) = 0. Για παράδειγµα, µπορεί να Ϲητάµε τη µέγιστη τιµή του δυναµικού U = U(x,y) πάνω στο κύκλο x 2 + y 2 = a 2. Στην περίπτωση αυτή ϑα λέµε ότι ψάχνουµε την ακρότατη τιµή της συνάρτησης f(x, y) υπό τη συνθήκη φ(x, y) = 0, δηλαδή ϑα µελετήσουµε τη συνάρτηση f(x,y(x)) της µιάς µεταβλητής.

7.5 Ακρότατα υπό συνθήκη 235 Οµοια αν αναζητούµε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x,y,z) οταν οι µεταβλητές (x, y, z) συνδέονται µεταξύ τους µε το δεσµό φ(x, y, z) = 0. Αν είναι εύκολο να λύσουµε την εξίσωση φ(x,y,z) = 0 ως προς µία από τις µεταβλητές τις π.χ. z(x, y) και στη συνέχεια την αντικαταστήσουµε στη συνάρτηση f(x, y, z(x, y)) τότε µετατρέπεται σε συνάρτηση δύο µεταβλητών και αναλύεται µε τη µέθοδο που µελετήσαµε είδη στη παράγραφο 7.2. Παράδειγµα 7.5 Να υπολογισθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 2x 2y z 5/4 όταν οι µεταβλήτές x,y,z συνδέονται µε την συνθήκη g = x 2 +y 2 z = 0. Απάντηση: Λύνουµε την συνθήκη g = 0 ως πρός z και αντικαθιστούµε στην αρχική συνάρτηση δηµιουργώντας έτσι µια νέα συνάρτηση φ(x,y) = (x 2 + y 2 ) 2(x + y) + 5/4. Απο τη λύση του συστήµατος {φ x = 0,φ y = 0} υπολογίζουµε το στάσιµο σηµείο ( ) 1 1 3, 4 3. 4 Στη συνέχεια υπολογίζουµε το A = φ xx > 0 και το = φ 2 xy φ xxφ yy < 0 και καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το σηµείο ) 1 φ( 3 4, 1 3. 4 7.5.1 Πολλαπλασιαστές Lagrange Στην πράξη παρουσιάζονται προβλήµατα στα οποία η λύση y = φ(x) δεν είναι εύκολη. Στις περιπτώσεις αυτές καταφεύγουµε στην παρακάτω µέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange. Αν Ϲητάµε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x,y) µε δεδοµένη τη συνθήκη φ(x,y) = 0, τότε µπορούµε να ορίσουµε µια νέα συνάρτηση F(x,y,λ) = f(x,y) + λφ(x,y) όπου ο λ ϑα ονοµάζεται ο πολλαπλασιαστής Lagrange. Για να υπάρχει κρίσιµο σηµείο ϑα πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις,

236 Μέγιστα και Ελάχιστα και F x = 0 = f x + λ φ x F y = 0 = f y + λ φ y F λ (7.6) (7.7) = 0 = φ(x,y) (7.8) Οι εξισώσεις (7.5) - (7.7) µπορούν επίσης να γραφούν µε τη µορφή f + λ ϕ = 0. Η λύση του συστήµατος των εξισώσεων (7.5)-(7.7) ϑα δώσει τα κρίσιµα σηµεία. Τα ακρότατα, αν υπάρχουν, ϑα ϐρίσκονται µεταξύ των λύσεων του συστήµατος. Εάν µία συνάρτηση τριών µεταβλητών f(x,y,z) είναι ορισµένη στο R 3, έχει συνεχείς παραγώγους και υπόκεινται σε δύο περιορισµούς φ 1 (x,y,z) = 0,φ 2 (x,y,z) = 0, τότε η συνάρτηση που πρέπει να µελετη- ϑεί είναι η F(x,y,z,λ 1,λ 2 ) = f(x,y,z) + λ 1 φ 1 (x,y,z) + λ 2 φ 2 (x,y,z). Τα στάσιµα σηµεία ϐρίσκονται από τη λύση των εξισώσεων F x = 0,F y = 0,F z = 0,F λ1 = 0,F λ2 = 0. Ο χαρακτηρισµός των στάσιµων σηµείων αν δεν προκύπτει εύκολα από τη γεωµετρική ανάλυση της συνάρτησης ϑα πρέπει να γίνει µε ϐάση την ορίζουσα F xx F xy F xz φ 1x φ 2x F yx F yy F yz φ 1y φ 2y = F zx F zy F zz φ 1z φ 2z. φ 1x φ 1y φ 1z 0 0 φ 2x φ 2y φ 2z 0 0 Άν η (x 0,y 0,z 0,λ 1,λ 2 ) > 0 έχουµε ελάχιστο, ενώ αν < 0 µέγιστο. Αν µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x,y,z), η οποία είναι ορισµένη στο R 3, έχει συνεχείς παραγώγους και υπόκειται στο δεσµό φ(x,y,z) = 0

7.5 Ακρότατα υπό συνθήκη 237 τότε λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων F x = 0,F y = 0,F z = 0,F λ = 0. Αν το σηµείο M(x 0,y 0,z 0,λ) είναι κρίσιµο σηµείο, υπολογίζουµε τις ορίζουσες στο M 0 F xx F xy F xz φ x 1 = F yx F yy F yz φ y F zx F zy F zz φ z φ x φ y φ z 0 F yy F yz φ y 2 = F zy F zz φ z φ y φ z 0. Αν 1 < 0 και 2 < 0, τότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο σηµείο M, ενώ αν 1 < 0 και 2 > 0 παρουσιάζει µέγιστο. Παραδείγµα 7.6: Να ϐρεθεί το µεγαλύτερο κουτί, σχήµατος παραλληλεπιπέδου, που µπορεί να χωρέσει µέσα στο ελλειψοειδές (x 2 /a 2 )+(y 2 /b 2 )+(z 2 /c 2 ) = 1. Υποθέστε ότι, οι έδρες του κουτιού είναι παράλληλες προς τους άξονες του συστήµατος των συντεταγµένων. Απάντηση: Θα πρέπει να ϐρούµε το ελάχιστο της συνάρτησης 8xyz µε το δεσµό (x 2 /a 2 ) + (y 2 /b 2 ) + (z 2 /c 2 ) = 1 ( ) x 2 U = 8xyz + λ a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1 U x = 0 = 8yz + 2λ x a 2 (7.9) U y = 0 = 8zx + 2λ y b 2 (7.10) U z = 0 = 8xy + 2λ z c 2 (7.11) ιαιρούµε τις εξισώσεις (7.8)-(7.10) δια 2, πολλαπλασιάζουµε επί x,y,z αντίστοιχα και προσθέτουµε, οπότε καταλήγουµε στη σχέση 12xyz = λ. Αντικαθιστώντας την τιµή του λ στις (7.8)-(7.10) έχουµε yz(a 2 3x 2 ) = 0,zx(b 2 3y 2 ) = 0,xy(c 2 3z 2 ) = 0. Επειδή τα x,y,z είναι ϑετικά, έχουµε x = a/ 3, y = b/ 3, z = c/ 3 για τις τιµές αυτές η ορίζουσα παίρνει αρνητική τιµή. Άρα ο µέγιστος όγκος του κουτιού είναι

238 Μέγιστα και Ελάχιστα V = 2a 3 2b 3 2c 3 = 8abc 27 Παραδείγµα 7.7: (α) Να ϐρεθούν οι άξονες της έλλειψης 5x 2 + 8xy+5y 2 = 9 µε τη ϐοήθεια της ϑεωρίας των ακροτάτων τιµών. (ϐ) ίνεται η ευθεία 3x+4y 12 = 0. Να ϐρεθεί ένα σηµείο στο επίπεδο xy, έτσι ώστε το άθροισµα των τετραγώνων των αποστάσεων του από τους άξονες των συντεταγµένων και την παραπάνω ευθεία να είναι ελάχιστο. Απάντηση: (α) Η έλλειψη έχει το κέντρο της στην αρχή των αξόνων. Το τετράγωνο της απόστασης τυχόντος σηµείου της έλλειψης (x, y) από το κέντρο είναι x 2 + y 2. Το πρόβληµα λοιπόν, ανάγεται στην εύρεση των ακροτάτων της συνάρτησης f(x,y) = x 2 + y 2, αφού γνωρίζουµε το δεσµό 5x 2 +8xy +5y 2 = 9. Το αποτέλεσµα είναι (χρησιµοποιώντας τους πολλαπλασιαστές Lagrange), Μεγάλος άξονας της έλλειψης 2a = 6 Μικρός άξονας της έλλειψης 2b = 2. (ϐ). Εστω P(x,y) τυχαίο σηµείο του επιπέδου xy. Το άθροισµα των τετραγώνων των αποστάσεών του από τους άξονες συντεταγµένων και τη δοσµένη ευθεία, είναι [ ] 3x + 4y 12 2 x 2 + y 2 + = x 2 + y 2 (3x + 4y 12)2 +. 9 + 16 25 Το πρόβληµα λοιπόν, ανάγεται στο να ϐρεθούν τα x και y για τα οποία η συνάρτηση f(x,y) = x 2 + y 2 (3x + 4y 12)2 + 25 έχει ελάχιστο. Τελικά, οι συντεταγµένες του σηµείου που Ϲητάµε είναι οι x = 18/25,y = 24/25. Παραδείγµα 7.8: Θέλουµε να καλύψουµε ένα παραλληλεπίπεδο ϐάθρο αγάλµατος µε ύφασµα. ιαθέτουµε 96m 2 ύφασµα και ϑέλουµε να καλύψουµε τις δύο από τις µεγάλες έδρες και τις δύο από τις µικρές. Υπολογίστε τις διαστάσεις του ϐάθρου, ώστε να έχει το µέγιστο όγκο.

7.5 Ακρότατα υπό συνθήκη 239 Απάντηση: Θεωρούµε ότι το ϐάθρο έχει πλάτος x, µήκος y και ύψος z, άρα ο όγκος του είναι V = xyz. Για να καλυφθούν οι τέσσερις έδρες µε το ύφασµα ϑα πρέπει 96 = 2xz + yz + xy. Ο όγκος του ισούται µε ( ) 48 xz V = 2xz x + z Τα ακρότατα υπολογίζονται από τη λύση του συστήµατος V x = V z = 0. Η λύση είναι x = z = 4 και y = 8 άρα ο µέγιστος όγκος είναι V = 128m 2. Παραδείγµα 7.9: Βρείτε την ελάχιστη απόσταση του σηµείου (1,0,- 2) από το επίπεδο x + 2y + z = 4. Απάντηση: Η απόσταση ενός σηµείου (x,y,z) από το σηµείο (1,0,-2) είναι d = (x 1) 2 + y2 +(z + 2) 2. Αλλά αν το (x,y,z) ανήκει στο επίπεδο x+2y+z = 4, τότε z = 4 x 2y και έτσι έχουµε d = (x 1) 2 + y2 +(6 x 2y ) 2. Μπορούµε να ελαχιστοποιήσουµε το d µέσω της απλούστερης έκφρασης d 2 = f(x,y) = (x 1) 2 + y 2 +(6 x 2y ) 2. Λύοντας τις εξισώσεις f = 2(x 1) 2(6 x 2y) = 4x + 4y 14 = 0 x f y = 2y 4(6 x 2y) = 4x + 10y 24 = 0 ϐρίσκουµε ότι το µόνο κρίσιµο σηµείο είναι το (11/6, 5/3). Επειδή f xx = 4,f xy = 4,f yy = 10, έχουµε (x,y) = (f x y) 2 f xx f yy = 24 < 0 και f xx > 0. Εποµένως έχει τοπικό ελάχιστο στο (11/6, 5/3). Το τοπικό ελάχιστο είναι ταυτόχρονα και ολικό ελάχιστο γιατί η συνάρτηση f είναι συνεχείς σε συµπαγές σύνολο. Αν x = 11/6 και y = 5/3, τότε

240 Μέγιστα και Ελάχιστα d = (x 1) 2 + y2 +(6 x 2y ) 2 (5 ) 2 ( ) 5 2 ( ) 5 2 6 = + + = 5 6 3 6 6. Η µικρότερη απόσταση του (1,0,-2) από το επίπεδο x + 2y + z = 4 είναι 5 6 6. Παραδείγµα 7.10: Βρείτε τα ακρότατα (αν υπαρχουν) της συνάρτησης f(x,y) = x 2 + y που είναι ταυτόχρονα και σηµεία του κύκλου x 2 + y 2 = 1. Απάντηση: Ζητάµε τα ακρότατα της f που υπακούουν στη συνθήκη g(x,y) = x 2 + y 2 = 1. Χρησιµοποιώντας πολλαπλασιαστές Lagrange, λύνουµε τις εξισώσεις ή f x = λ g x, f y = λ g y, g(x,y) = 1 2x = 2xλ, (7.12) 1 = 2yλ, (7.13) x 2 + y 2 = 1. (7.14) Από την (7.11) έχουµε x = 0 ή λ = 1. Αν x = 0 η (7.13) δίνει y = ±1. Αν λ = 1, τότε y = 1/2 από την (7.12), και η (7.13) δίνει x = ± 3/2. Γι αυτό η f έχει πιθανά ακρότατα στα σηµεία (0,1), (0,-1), ( 3 2, 1 2 ), ( 3 2, 1 2 ). Υπολογίζοντας την τιµή της f ( σ αυτά τα τέσσερα σηµεία ϐρίσκουµε: ) f(0,1) = 1,f(0, 1) = 1,f ± 3 2, 1 2 = 5 4. Γι αυτό η µέγιστη τιµή της f στον κύκλο x 2 + y 2 = 1 είναι ( ) 3 f ± 2, 1 = 5 2 4 και η ελάχιστη τιµή είναι f(0, 1) = 1.

7.5 Ακρότατα υπό συνθήκη 241 Παρατήρηση: Εάν µία συνάρτηση f είναι ορισµένη στο κλειστό σύνολο D και µας Ϲητούν να µελετήσουµε τις ακρότατες τιµές της συνάρτησης στο D, τότε ακολουθούµε την εξής διαδικασία: Βρίσκουµε τα ακρότατα της f στο εσωτερικό του D. Βρίσκουµε τα ακρότατα στη συνοριακή γραµµή του D. Το απόλυτο µέγιστο ή ελάχιστο στο D ϐρίσκεται από τη σύγκριση των τιµών της συνάρτησης στα ακρότατα που ϐρήκαµε από τα προηγού- µενα ϐήµατα. Παραδείγµα 7.11: Να ϐρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f(x,y) = xy y+x+1 στον κλειστό δίσκο (x,y) R 2 µε x 2 +y 2 2. Απάντηση: Βρίσκουµε ότι f = (y + 1,x 1), οπότε τα ακρότατα ϑα είναι y = 1 και x = 1. Εφαρµόζοντας το γνωστό ϑεώρηµα ϐρίσκουµε ότι το σηµείο (1,-1) είναι σαγµατικό, άρα στον ανοικτό δίσκο δεν υπάρχει µέγιστο ή ελάχιστο. Εάν υπάρχει µέγιστο ή ελάχιστο πρέπει να είναι στην περιφέρεια του κύκλου x = 2cos θ,y = 2sin θ. Η συνάρτηση f γίνεται f = 4cos θ sinθ 2sin θ + 2cos θ 1. Από την εξίσωση αυτή ϐρίσκουµε ότι έχει µέγιστο στα σηµεία ( 1 + 3 2, 3 1 2 ) και ( 1 ) 3 3 + 1, 2 2 και ένα ελάχιστο στο σηµείο( 2, 2). Η δε τιµή της συνάρτησης είναι ( 1 + ) 3 3 1 f, = 2, f( 2, 2) = 3 2 1. 2 2 Παραδείγµα 7.12: Να ϐρεθούν τα κρίσιµα σηµεία της συνάρτησης z = 2xy (1 x 2 y 2 ) 3/2 στην κλειστή περιοχή x 2 + y 2 1. Απάντηση: Η λύση του συστήµατος f x = 2y + 3x(1 x2 y 2 ) 1/2 = 0 f y = 2x + 3y(1 x2 y 2 ) 1/2 = 0 στο εσωτερικό του κύκλου x 2 +y 2 = 1. Τα κρίσιµα σηµεία ϑα τα αναζητήσουµε µεταξύ των λύσεων του συστήµατος 3x(1 x 2 y 2 ) 1/2 = 2y (7.15)

242 Μέγιστα και Ελάχιστα 5 2 1 0-1 -2 0-5 -2-1 0 1 2 Σχήµα 7.5. Η επιφάνεια του παραδείγµατος 7.8. 3y(1 x 2 y 2 ) 1/2 = 2x. (7.16) Μια λύση του συστήµατος είναι x = 0,y = 0. Αν x 0,y 0 τότε διαιρούµε µε το x και το y και ϐρίσκουµε τη σχέση x 2 = y 2. Αντικαθιστώντας στις αρχικές εξισώσεις (7.14) και (7.15) έχουµε x 2 = y 2 = 5/18. Η λύση x = y απορρίπτεται από τις παραπάνω εξισώσεις άρα x = y και τα Ϲητούµενα σηµεία είναι ( 1 P 1 (0,0), P 2 3 5 2, 1 3 ) ( 5, P 3 1 5 2 3 2, 1 3 ) 5. 2 Οι αντίστοιχες τιµές για την f είναι f(p 0 ) = 1,f(P 1 ) 23/27 και f(p 2 ) 23/27. Πριν να ϐγάλουµε συµπεράσµατα για τα ολικά ακρότατα πρέπει να ερευνήσουµε τη συµπεριφορά της συνάρτησης στο σύνορο της περιοχής. Στο σύνορο έχουµε x 2 + y 2 = 1 και απ αυτό f(x,y) = 2xy. Για να ψάξουµε για άκρες τιµές της f στο σύνορο µπορούµε να λύσουµε ως προς y : y = ±(1 x 2 ) 1/2 και να ψάξουµε τα ακρότατα της ±2x(1 x 2 ) 1/2. Βρίσκουµε ότι τα ακρότατα είναι x 2 = 1/2. Μια κοµψότερη λύση είναι η εισαγωγή των παραµετρικών εξισώσεων x = cos θ,y = sinθ για τη περιφέρεια του κύκλου (θ είναι η συνήθης γωνία των πολικών συντεταγµένων). Τότε 2xy = 2cos θ sinθ = sin 2θ και µπορούµε να ελέγξουµε ότι οι τιµές κυµαίνονται στο διάστηµα ( 1 σταθ. = 3π ή 7π ) ( και + 1 σταθ. = π ή 5π ). 4 4 4 4 Τώρα έχουµε ϐρει τέσσερα επιπλέον σηµεία που πρέπει να ϑεωρηθούν µαζί τα τρία πρώτα, όταν Ϲητήσουµε τις απολύτως µέγιστες και ελάχιστες

7.6 Λυµένες ασκήσεις 243 τιµές της συνάρτησης στην κλειστή περιοχή. Αν συγκρίνουµε τις τιµές ±1 µε τις τιµές της f που ϐρήκαµε στο εσωτερικό του κύκλου, ϐλέπουµε ότι η συνάρτηση έχει ολικώς µέγιστη τιµή την +1 και ολικώς ελάχιστη τιµή την 1. Το µέγιστο παρουσιάζεται στα δύο συνοριακά σηµεία ( 2/2, 2/2), ( 2/2, 2/2). Το ελάχιστο παρουσιάζεται στο εσωτερικό σηµείο P 0 και στα δύο οριακά σηµεία ( 2/2, 2/2), ( 2/2, 2/2). 7.6 Λυµένες ασκήσεις 7.1 : Να υπολογισθεί η ελάχιστη απόσταση από την αρχή της τοµής των δύο επιπέδων lx + my + nz = p και l x + m y + n z = p, όταν l 2 + m 2 + n 2 = 1 και l 2 + m 2 + n 2 = 1. Απάντηση: Πρέπει να ελαχιστοποιήσουµε την απόσταση r 2 = x 2 + y 2 + z 2 υπακούοντασς ταυτόχρονα τους περιορισµούς f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 + λ(lx + my + nz p) + m(l x + m y + n z p ). Οι εξισώσεις που µας δίνουν τα κρίσιµα σηµεία είναι f x = 2x + λl + µl = 0 (7.17) f y = 2y + λm + µm = 0 (7.18) f z = 2z + λn + µn = 0 (7.19) f λ = lx + my + nz p = 0 και l x + m y + n z p = 0. Πολλαπλασιάζοντας τις εξισώσεις (7.16)-(7.18) επί x, y, z αντίστοιχα και προσθέτοντας ϐρίσκουµε 2r 2 + λp + µp = 0. Πολλαπλασιάζοντας τις ίδιες εξισώσεις επί l, m, n και προσθέτοντας ϐρίσκουµε 2p + λ + µk = 0, όπου k = ll +mm +nn. Τέλος, αφού πολλαπλασιάσουµε επί l,m,n και προσθέσουµε ϐρίσκουµε

244 Μέγιστα και Ελάχιστα 2p + λk + µ = 0. Στη συνέχεια απαλείφουµε τα λ και µ από τις τρεις εξισώσεις και έχουµε 2r 2 p p 2p l k = 0. 2p k l Η ανάπτυξη της ορίζουσας µας δίνει την έκφραση r 2 = (l k 2 ) p(p kp ) + p (pk p ) = 0. Η ελάχιστη απόσταση είναι [ p 2 + p 2 2kpp ] 1/2 r = 1 k 2. 7.2 : Βρείτε τους ηµιάξονες της έλλειψης στην οποία το επίπεδο lx + my + nz = 0 τέµνει το ελλειψοειδές x 2 α 2 + y2 β 2 + z2 γ 2 = 1. (Υπόδειξη : Χρησιµοποιείστε τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange για ν αποφύγετε την επίλυση συστήµατος πέντε εξισώσεων µε πέντε αγνώστους). Απάντηση: Η συνάρτηση που πρέπει να αναλυθεί είναι η ( ) x u = x 2 + y 2 + z 2 2 + λ 1 (lx + my + nz) + λ 2 α 2 + y2 β 2 + z2 γ 2, όπου λ 1 και λ 2 είναι οι πολλαπλασιαστές Lagrange. Θέτοντας έχουµε u x = u y = u z = 0 2x + λ 1 l + 2λ 2 x/α 2 = 0 (7.20) 2y + λ 1 m + 2λ 2 y/β 2 = 0 (7.21) 2z + λ 1 n + 2λ 2 z/γ 2 = 0. (7.22) Το µέγεθος που ϑέλουµε να µεγιστοποιήσουµε είναι το p 2 = x 2 +y 2 +z 2. Άρα πολλαπλασιάζοντας τις εξισώσεις (7.19),(7.20) και (7.21) επί x, y, z αντίστοιχα και προσθέτοντας έχουµε

7.6 Λυµένες ασκήσεις 245 ( ) x 2(x 2 + y 2 + z 2 2 ) + λ 1 (lx + my + nz) + 2λ 2 α 2 + y2 β 2 + z2 γ 2 = 0 που γράφεται και 2p 2 + 2λ 2 = 0 ή λ 2 = p 2. Από τις εξισώσεις (7.19)- (7.20) υπολογίζουµε ότι α 2 l x = λ 1 2(p 2 α 2 ), y = λ β 2 m 1 2(p 2 β 2 ), z = λ γ 2 n 1 2(p 2 γ 2 ) Αντικαθιστώντας στην εξίσωση lx + my + nz = 0 ϐρίσκουµε α 2 l 2 p 2 α 2 + β2 m 2 p 2 β 2 + γ2 n 2 p 2 γ 2 = 0 Λύνοντας την εξίσωση αυτή ϐρίσκουµε τα p 1 και p 2. 7.3: Μια πραγµατική συνάρτηση z = f(x,y) ικανοποιεί τη σχέση 3 2 z x 2 + 4 2 z y 2 + 1 = 0. Να αποδειχθεί ότι η f(x,y) δεν µπορεί να έχει τοπικό ελάχιστο. Απόδειξη: 3 2 f x 2 + 4 2 f y 2 + 1 = 0 2 f y 2 = 1 4 Αντικαθιστώντας την 2 f y 2 στη σχέση = προκύπτει ( 2 ) 2 f + 3 x y 4 ( 2 ) 2 f 2 f 2 f x y x 2 y 2 < 0 ( 2 f x 2 ( ) 1 3 2 f x 2 ) 2 + 1 2 f 4 x 2 < 0 2 f x 2 < 0 οπότε η f δεν µπορεί να έχει τοπικό ελάχιστο. 7.4: Αν α, ϐ, γ είναι οι πλευρές τριγώνου σταθερής περιµέτρου 2τ, να αποδειχθεί ότι α β + γ β γ + α γ α + β 1 8.

246 Μέγιστα και Ελάχιστα Απόδειξη: Το άθροισµα των πλευρών του τριγώνου είναι α+β +γ = 2τ άρα γ = 2τ α β. Θα µελετήσουµε τη συνάρτηση F(α,β) = α β(2τ α β). Οι λύσεις του συστήµατος των µερικών παραγώγων F α = 0, F β = 0. είναι α = β = (2/3)τ και γ = (2/3)τ. Υπολογίζουµε εύκολα ότι A = 2 F α 2 = 4 3 τ < 0 και = (7/9)τ 2 < 0. Άρα η F έχει µέγιστο για α = β = γ = 2τ/3. Συνεπώς ( )( )( ) α β + γ β γ + α γ 2τ α + β 3 1 1 = 1 3 4τ 2 2 8. 7.5: Να ϐρεθεί η µέγιστη τιµή του γινοµένου x 2 y 2 z 2, όταν x 2 +y 2 + z 2 = a 2. Στη συνέχεια να δείξετε ότι, 3(a 1 a 2 a 3 ) 1 3 < (a 1 + a 2 + a 3 ). Απόδειξη: Θεωρούµε τη συνάρτηση f(x,y,z) = x 2 y 2 z 2 µε x 2 + y 2 + z 2 = a 2, οπότε f(x,y,z) = x 2 y 2 (a 2 x 2 y 2 ). f x (x,y,z) = 2xy 2 (a 2 x 2 y 2 ) + x 2 y 2 ( 2x) = 0 a 2 2x 2 y 2 = 0, f y (x,y,z) = a 2 2y 2 x 2 = 0 a 2 = 2y 2 + x 2. Επειδή ισχύει a 2 = 2x 2 +y 2 και a 2 = 2y 2 +x 2 προκύπτει ότι z 2 = x 2 = y 2 = a2 3. Άρα η µεγίστη τιµή του γινοµένου είναι x 2 y 2 z 2 ( a2 3 )3 = a6 27 (7.23) Θα δείξουµε τώρα ότι, 3(a 1 a 2 a 3 ) 1 3 a 1 + a 2 + a 3. Επειδή ισχύει αν a 1 a 1 + a 2 + a 3 + a 2 a 1 + a 2 + a 3 + a 3 a 1 + a 2 + a 3 = 1,

7.6 Λυµένες ασκήσεις 247 x 2 a 2 = a 1 a 1 + a 2 + a 3, y 2 a 2 = a 2 a 1 + a 2 + a 3, z 2 a 2 = a 3 a 1 + a 2 + a 3. Κάνοντας χρήση της σχέσης (7.22) έχουµε, ( ) ( ) ( ) a 1 a 2 a 3 1 a 1 + a 2 + a 3 a 1 + a 2 + a 3 a 1 + a 2 + a 3 3 ή 3(a 1 a 2 a 3 ) 1 3 a 1 + a 2 + a 3. 7.6. Να ϐρεθεί εκείνο το σηµείο της τοµής των επιφανειών x 2 y 2 z 2 = 0 και x+y+z = 2, η απόσταση του οποίου από το επίπεδο (x, y) είναι ελάχιστη. Απάντηση: Πρώτα πρέπει να ϐρούµε αν η καµπύλη τέµνει το επίπεδο (x, y), οπότε η ελάχιστη απόσταση είναι το µηδέν. Εύκολα δείχνουµε ότι, για z = 0 υπάρχει λύση στο σύστηµα των εξισώσεων x 2 y 2 z 2 = 0 και x + y + z = 2. Το Ϲητούµενο σηµείο είναι (1,1,0). 7.7: Αν x,y,z και α,β,γ είναι ϑετικοί αριθµοί τέτοιοι ώστε x α + y β + z γ = 1, να αποδειχθεί ότι: (α) 27xyz < αβγ, (b)x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 < (α + β + γ) 1 2. Απόδειξη: Υπολογίζουµε το µέγιστο της έκφρασης xyz κάνοντας χρήση του περιορισµού x α + y β + z γ = 1 και το ελάχιστο της ποσότητας α+β +γ κάνοντας χρήση του ίδιου περιορισµού. Βρίσκουµε ότι το µέγιστο της έκφρασης xyz είναι (αβγ) ( 27 και το ελάχιστο της ποσότητας α+β +γ είναι το x + y + z ) 2. 7.8: Βρείτε τα σηµεία της σφαίρας x 2 + y 2 + z 2 = 4 που απέχουν ελάχιστη και µέγιστη απόσταση από το σηµείο (3, 1, 1). Απάντηση: Η απόσταση ενός σηµείου (x,y,z) από το σηµείο (3,1,-1) δίνεται από το τύπο d = (x 3) 2 + (y 1) 2 + (z + 1) 2 αλλά είναι απλούστερο να µεγιστοποιήσουµε και ελαχιστοποιήσουµε το τετράγωνο της απόστασησ: d 2 = (x 3) 2 + (y 1) 2 + (z + 1) 2. Το σηµείο (x,y,z) ϐρίσκεται πάνω στη σφαίρα, δηλαδή

248 Μέγιστα και Ελάχιστα f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 = 4. Σύµφωνα µε τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange λύνουµε τις εξισώσεις 2(x 3) = 2xλ (7.24) 2(y 1) = 2yλ (7.25) 2(z + 1) = 2zλ (7.26) x 2 + y 2 + z 2 = 4 (7.27) Ο απλούστερος τρόπος επίλυσης αυτών των εξισώσεων είναι να λύσουµε ως προς x,y,z συναρτήσει του λ τις (7.23),(7.24),(7.25) και µετά να αντικαταστήσουµε αυτές τις τιµές στην (7.26). Από την (7.23) έχουµε x 3 = xλ δηλαδή x = 3 1 λ [Παρατηρείστε ότι 1 λ 0, επειδή η τιµή λ = 1 είναι αδύνατη από την (7.23)]. Οµοίως οι (7.24) και (7.25) δίνουν y = 1 1 λ,z = 1 1 λ Άρα από την (7.26) έχουµε άρα 3 2 (1 λ) 2 + 1 2 (1 λ) 2 + ( 1)2 (1 λ) 2 = 4 (1 λ) 2 = 11 11 4 λ = 1 ± 2. Αυτές οι τιµές του λ προσδιορίζουν τα κρίσιµα σηµεία: ( 6 2,, 2 ) (, 6, 2 ) 2,. 11 11 11 11 11 11 Είναι εύκολο να δούµε ότι, η f έχει την ελάχιστη τιµή στο ( πρώτο από αυτά ) τα σηµεία. Συνεπώς το πλησιέστερο σηµείο είναι το 6 2 11, 11, 2 ( 11 και το πιο αποµακρυσµένο είναι το 6 11, 2 2 11, ). 11 7.9: Βρείτε τη µέγιστη τιµή της συνάρτησης f(x,y,z) = x + 2y + 3z στην καµπύλη που δηµιουργείται από την τοµή του επιπέδου x y + z = 1 και του κυλίνδρου x 2 + y 2 = 1. Απάντηση: Μεγιστοποιούµε τη συνάρτηση f(x,y,z) = x + 2y + 3z που υπακούει στη συνθήκη g(x,y,z) = x y + z = 1 και h(x,y,z) = x 2 + y 2 = 1. Λύνουµε τις εξισώσεις

7.6 Λυµένες ασκήσεις 249 1 = λ + 2xµ (7.28) 2 = λ + 2yµ (7.29) 3 = λ (7.30) x y + z = 1 (7.31) x 2 + y 2 = 1 (7.32) Θέτοντας λ = 3 στην εξίσωση (7.27) παίρνουµε 2xµ = 2, οπότε x = 1/µ. Οµοίως η εξίσωση (7.28) δίνει y = 5/(2µ). Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (7.31) παίρνουµε 1 µ 2 + 25 4µ 2 = 1 και άρα µ 2 = 29 4, µ = ± 2 29. Τότε x = ± 2 29, y = ± 5 και, από την εξίσωση (7.30), 29 z = 1 x+y = 1 ± 7 29. Οι αντίστοιχες τιµές για της f είναι ± 2 29 + 2 ( ± 5 29 ) + 3 ( 1 ± 7 29 ) = 3 ± 29 Η µέγιστη τιµή της f πάνω στη καµπύλη είναι 3 + 29. 7.10: Βρείτε και χαρακτηρίστε τα κρίσιµα σηµεία της f(x,y,z) = e x+y+z (1 + e x )(e x + e y )(e y + e z )(1 + e z ) Απάντηση : Παραγωγίζουµε ως προς x, ϑεωρώντας την f ως γινόµενο πέντε παραγώγων παίρνουµε f x = f ex ex 1 + exf e x + e y f. Επειδή f 0, η f x µηδενίζεται µόνο όταν (1 + e x )(e x + e y ) = e x [(e x + e y ) + 1 + e y ], δηλαδή e 2x = e y ή y = 2x. Λόγω συµµετρίας, f z = 0 όταν y = 2z, και ένας παρόµοιος υπολογισµός δίνει f y = f ey e x + e y f ey e y + e z f

250 Μέγιστα και Ελάχιστα απ όπου ϐρίσκουµε ότι f y = 0 όταν 2y = x + z. Τα κρίσιµα σηµεία λοιπόν, καθορίζονται από το σύστηµα y = 2x, y = 2z, 2y = x + z, που έχει µοναδική λύση την x = y = z = 0. Τις τιµές αυτές αντικαθιστούµε στις δεύτερες παραγώγους και παίρνουµε f xx = f yy = f zz = 1/32, f xy = f yz = 1/64, f xz = 0. Εχουµε τις ανισότητες f xx f xy f xx < 0, Delta 2 = f yx f yy = ( 1 )( ) ( ) 1 1 2 > 0, 32 32 64 ενώ 1 = 1 64 2 2 1 0 1 2 1 0 1 2 = 4 (64) 3 < 0. Άρα η f έχει σχετικό ελάχιστο στο (0,0,0). 7.11 : Μελετήστε τη ϕύση των κρίσιµων σηµείων της συνάρτησης f(x,y) = 3x 2 y 9y 3 x 2 + 1. Απάντηση: Τα κρίσιµα σηµεία προκύπτουν από τις λύσεις των εξισώσεων f x = 6xy 2x = 0, f y = 3x 2 27y 2 = 0. Η πρώτη από αυτές δίνει x = 0 ή y = 1/3. Για αυτές τις τιµές των x και y, η δεύτερη εξίσωση δίνει τα τρία κρίσιµα σηµεία P 1 (0,0),P 2 (1,1/3),P 3 ( 1,1/3). Για τα P 2 και P 3 έχουµε ότι, f 2 xy f xx f yy = 36 > 0. Τα δύο αυτά σηµεία είναι σαγµατικά. Στο P 1 έ- χουµε f 2 xy f xxf yy = 0, συνεπώς δεν µπορούµε να αποφανθούµε σχετικά µε τη ϕύση αυτού του κρίσιµου σηµείου. Παρατηρούµε ότι στο στο σηµείο (0,0) ισχυει d 2 f = 2(dx) 2 και αυτό µηδενίζεται για όλα τα (dx, dy) = (0, dy), ενώ διαφορετικά είναι αρνητικό. Τώρα υπολογ ιζοντας το διαφορικό τρίτης τάξης και χρησιµοποιώντας το δεδοµένο ότι στο (0,0) είναι f xxx = 0, f xxy = 0 και f xyy = 54, έχουµε ότι d 3 f(0,0) = 18(dx) 2 dy 54(dy) 3. Ετσι κοντά στο P 1 (0,0) ισχύει f 1 2 d2 f + 1 6 d3 f = (dx) 2 + 3(dx) 2 dy 9(dy) 3.

7.6 Λυµένες ασκήσεις 251 Άρα αν dx = 0 (οπότε d 2 f = 0), f < 0 για dy > 0 και f > 0 για dy < 0. Συνεπώς η f έχει και τρίτο σαγµατικό σηµείο στο (0,0). 50 0-50 1 2-2 -1 0-1 0 1 2-2 Σχήµα 7.6. Η επιφάνεια της άσκησης 7.11. 7.12: Μελετήστε τη ϕύση των κρίσιµων σηµείων της συνάρτησης f(x,y) = x 4 + y 4 4xy 2. Απάντηση: Τα τρία κρίσιµα σηµεία της f είναι P 1 (0,0),P 2 ( 2, 2 3/4 ) και P 3 ( 2,2 3/4 ). Εύκολα δείχνουµε ότι, τα P 2 και P 3 είναι τοπικά ελάχιστα, αφού εκεί f 2 xy f xx f yy < 0 και f yy > 0, ενώ αυτό το κριτήριο δεν οδηγεί σε συµπέρασµα για το P 1. Για να καθορίσουµε τη ϕύση αυτού του κρίσιµου σηµείου µπορούµε είτε να χρησιµοποιήσουµε κριτήρια παραγώγων ανώτερης τάξης, ή να εκφράσουµε την ακόλουθη τεχνική. Ας ερευνήσουµε τη ϕύση της συνάρτησης f κατά µήκος ευθειών που διέρχονται από το P 1. Αυτές οι ευθείες είναι της µορφής y = cx, όπου c είναι αυθαίρετη σταθερά. Τότε η συµπεριφορά της f κοντά στο σηµείο P 1 καθορίζεται από τη συµπεριφορά της συνάρτησης g(x) κοντά στο x = 0, όπου g(x) = f(x,cx) = (1 + c 4 )x 4 4c 2 x 3. Αυτή η συνάρτηση έχει κρίσιµο σηµείο στο x = 0, επειδή η πρώτη µη µηδενική παράγωγος στο σηµείο αυτό είναι η τρίτη που είναι αρνητική. Ετσι, για αρκετά µικρές τιµές του x, η f(x,cx) f(0,0) είναι ϑετική για x < 0 και αρνητική για x > 0. Άρα, η f(x, y) έχει σαγµατικό σηµείο το (0,0). 7.13 : Βρείτε τα πιθανά ακρότατα της f(x,y) = x 2 + 24xy + 8y 2, που υπακούει στον περιορισµό x 2 + y 2 = 25.

252 Μέγιστα και Ελάχιστα 200 100 2 0-2 0 0 2-2 Σχήµα 7.7. Η επιφάνεια της άσκησης 7.12. Απάντηση: Εστω g(x,y) = x 2 + y 2 25 και F = f + λg. Τότε F x = f x + λg x = 2(λ + 1)x + 24y = 0 (7.33) F y = f y + λg y = 24x + 2(8 + λ)y = 0 (7.34) F λ = g = x 2 + y 2 25 = 0 (7.35) Λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων (7.33) και (7.34) και παίρνοντας τις λύσεις (i)x = y = 0, ενώ το λ παραµένει αυθαίρετο, (ii)y = 3x/4,λ = 8 και y = 4x/3, λ = 17. Προφανώς η λύση (i) πρέπει να απορριφθεί, επειδή δεν ικανοποιεί τον περιορισµό (7.34). Οι λύσεις που αποµένουν, όταν αντικατασταθούν στην (7.34), δίνουν τα ακόλουθα κρίσιµα σηµεία το (±4,3), που αντιστοιχεί σε λ = 8, και το (±3, ±4) που αντιστοιχεί σε λ = 17. Ετσι, για αυτό το πρόβληµα η τεχνική των πολλαπλασιαστών Lagrange δίνει όλα τα πιθανά κρίσιµα σηµεία. 7.14: Υπολογίστε την ελάχιστη και τη µέγιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων της καµπύλης που δηµιουργείται από την τοµή του παραβολοειδούς z = 7 4 x2 y 2 και του επιπέδου x+y +z = 2 Απάντηση: Είναι ευκολότερο να ϐρούµε τα ακρότατα του τετραγώνου της απόστασης από την αρχή αντί της ίδιας της απόστασης. Γι αυτό, ϑα ελαχιστοποιήσουµε τη συνάρτηση f(x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2 που υπακούει στους περιορισµούς g(x,y,z) = z + x 2 + y 2 7 4 = 0 h(x,y,z) = x + y + z 2 = 0. Για να εφαρµόσουµε τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange εισάγουµε τη συνάρτηση F = f + λ 1 g + λ 2 h όπου λ 1 και λ 2 είναι οι πολλαπλασιαστές Lagrange. Τα κρίσιµα σηµεία προκύπτουν από τη λύση του συστήµατος των εξισώσεων

7.6 Λυµένες ασκήσεις 253 2(1 + λ 1 )x + λ 2 = 0 (7.36) 2(1 + λ 1 )y + λ 2 = 0 (7.37) 2z + λ 1 + λ 2 = 0 (7.38) z = 7 4 x2 y 2 (7.39) x + y + z = 2 (7.40) Από τις εξισώσεις (7.35) και (7.36) παίρνουµε λ 1 = 1 ή y = x. Ας µελετήσουµε πρώτα την περίπτωση λ 1 = 1. Από την (7.35) έχουµε λ 2 = 0, και έτσι, από την (7.37) z = 1 2. Αντικαθιστώντας το z στην (7.38) και την (7.39), και λύνοντας, παίρνουµε τα κρίσιµα σηµεία (1, 1 2, 1 2 ) και ( 1 2,1, 1 2 ) που απέχουν και τα δύο 1.5 µονάδες από την αρχή. Για y = x, τα κρίσιµα σηµεία, που µπορούν να ϐρεθούν από τις εξισώσεις (7.38) και (7.39), είναι τα ( 1 2 2 ± 4, 1 ) 2 2 2 ± 2,1 ±. 2 9±2 2 Αυτά τα σηµεία απέχουν 2 από την αρχή. Επειδή η καµπύλη της τοµής του παραβολοειδούς και του επιπέδου είναι κλειστή, είναι 9±2 2 2 που ϐρήκαµε είναι, αν- προφανές ότι οι αποστάσεις 1.5 και τίστοιχα, οι ολικά ελάχιστες και µέγιστες αποστάσεις της καµπύλης από την αρχή. Στην άσκηση αυτή δεν είναι απαραίτητο να χρησιµοποιήσουµε παραγώγους ανώτερης τάξης για να ελέγξουµε τη ϕύση των κρίσιµων σηµείων. 7.15: Να ϐρεθούν και να χαρακτηριστούν τα κρίσιµα σηµεία της συνάρτησης f(x,y) = xy + x y 2. Απάντηση: Οι µερικές παράγωγοι της f(x,y) είναι οι f x = 1 y 2 + y, f y = 2x y 3 + x Εξισώνοντας αυτές τις παραγώγους µε µηδέν έχουµε 1 (1 y 2 + y = 0, x 2y ) 3 = 0

254 Μέγιστα και Ελάχιστα Η κοινή λύση αυτών των εξισώσεων είναι x = 0,y = 1. Το σηµείο (0, 1) είναι λοιπόν το µόνο κρίσιµο σηµείο. Οι δεύτερες µερικές παράγωγοι είναι 2 f = x 2 0, 2 f y x = 1 2 y 3, 2 f = 6x y 2 y 4. Υπολογίζοντας τις παραγώγους αυτές στο σηµείο (0, 1) ϐρίσκουµε ότι A = 0, B = 3, Γ = 0, και έτσι = B 2 AΓ = 9 > 0. Άρα το σηµείο αυτό είναι σαγµατικό. Μπορούσαµε επίσης να διαπιστώσουµε ότι το (0, 1) είναι σαγµατικό σηµείο συγκρίνοντας την τιµή της f στο (0, 1) µε την τιµή της σε γειτονικά σηµεία (h, 1 + k): [ 1 + (k 1) 3] f(h, 1,k) f(0, 1) = h (k 1) 2 Για µικρά k > 0, αυτή η έκφραση είναι ϑετική αν h > 0 και αρνητική αν h < 0. 7.16: Να ϐρεθούν και να χαρακτηριστούν τα κρίσιµα σηµεία της συνάρτησης f(x, y) = sin x+sin y+sin(x+y) στο ανοιχτό τετράγωνο 0 < x < π, 0 < y < π. Απάντηση: Είναι f x = cos x + cos(x + y), f y = cos y + cos(x + y). 2 1 0 0 2 3 1 1 2 3 0 Σχήµα 7.8. Η επιφάνεια της άσκησης 7.16. Μηδενίζοντας τις µερικές παραγώγους έχουµε το σύστηµα των εξισώσεων cos x + cos(x + y) = 0, cos y + cos(x + y) = 0. Από αυτές τις δύο εξισώσεις έχουµε ότι cos x = cos y. Επειδή τα x και y κυµαίνονται ανάµεσα στο 0 και στο π, συµπεραίνουµε ότι x = y. Η συνθήκη cos x + cos(x + y) = 0 δίνει τώρα cos x + cos 2x = 0.

7.6 Λυµένες ασκήσεις 255 Σ αυτήν την τελευταία εξίσωση αντικαθιστούµε την ισότητα cos 2x = 2cos 2 x 1 και έτσι παίρνουµε την εξίσωση 2cos 2 x + cos x 1 = 0. Αυτή η εξίσωση αποτελεί τριώνυµο ως προς cos x µε ϱίζες cos x = ( 1± 1+8) 4 = 1 ή 1 2. Απορρίπτουµε τη λύση 1 γιατί το x πρέπει να κυµαίνεται ανάµεσα στο 0 και στο π. Η άλλη λύση, cos x = 1 2, και δίνει x = π 3. Επειδή x = y, και y = π 3, το Ϲητούµενο σηµείο είναι (π 3, π 3 ) και είναι το µόνο κρίσιµο σηµείο. Οι δεύτερες µερικές παράγωγοι είναι 2 f x 2 = sinx sin(x + y), 2 f = sin y sin(x + y) y2 2 f x y = sin(x + y). Στο ( π 3, π 3 ) έχουµε A = 3 3, B = 2, Γ = 3 άρα = B 2 AΓ = 3 4 3 < 0. Επειδή A < 0 συµπεραίνουµε ότι, η τιµή f( π 3, π 3 ) = 3 3 2 αποτελεί τοπικό µέγιστο. 7.17: Μεγιστοποιείστε την f(x,y,z) = xyz που υπακούει στον πε- ϱιορισµό x 3 + y 3 + z 3 = 1 µε x 0, y 0, z 0. Απάντηση: Το σύνολο όλων των σηµείων (x,y,z) που ικανοποιούν τον περιορισµό µπορεί να αποδειχθεί ότι είναι κλειστό και ϕραγµένο. Επειδή η f είναι συνεχής, είµαστε ϐέβαιοι ότι, υπάρχει το Ϲητούµενο µέγιστο. Κατα τα γνωστά ορίζουµε τη συνάρτηση g(x,y,z) = x 3 + y 3 + z 3 1, οπότε η συνθήκη γίνεται g(x,y,z) = 0 και αναζητούµε τις λύσεις του συστήµατος yz = 3λx 2 xz = 3λy 2, xy = 3λz 2. Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση µε x, τη δεύτερη µε y, και την τρίτη επί z, παίρνουµε xyz = 3λx 3, xyz = 3λy 3, xyz = 3λz 3

256 Μέγιστα και Ελάχιστα και συνεπώς λx 3 = λy 3 = λz 3. Μπορούµε να αποκλείσουµε την τιµή λ = 0, επειδή, αν λ = 0, τότε τα x,y,z ϑα έπρεπε να είναι επίσης µηδέν. Εχοντας αποκλείσει την τιµή λ = 0, µπορούµε να διαιρέσουµε δια λ και να πάρουµε x 3 = y 3 = z 3 και άρα x = y = z. Ο περιορισµός x 3 + y 3 + z 3 = 1 δίνει τώρα x = ( )1 ( )1 ( )1 1 3 1 3 1 3, y =, z =. 3 3 3 Άρα το Ϲητούµενο µέγιστο είναι 1 3. 7.18: είξτε ότι, από όλα τα εγγεγραµµένα τρίγωνα σε κύκλο ακτίνας R, το ισόπλευρο τρίγωνο έχει τη µεγαλύτερη περίµετρο. Απόδειξη: Είναι διαισθητικά ϕανερό ότι πρέπει να υπάρχει τρίγωνο µε µέγιστη περίµετρο και ότι το τρίγωνο αυτό περιέχει το κέντρο του κύκλου στο εσωτερικό του. Συµβολίζουµε µε x, y, z τις κεντρικές γωνίες που υποτείνουν τις τρεις πλευρές. Από την Τριγωνοµετρία γνωρίζουµε ότι, η περίµετρος του τριγώνου δίνεται από τη συνάρτηση f(x,y,z) = 2R[sin( x 2 ) + sin(y 2 ) + sin(z 2 )] Ως περιορισµό έχουµε τη συνθήκη g(x,y,z) = x + y + z 2π = 0. Για να µεγιστοποιήσουµε την περίµετρο σχηµατίζουµε τις κλίσεις f(x,y,z) = R[cos x 2êx + cos y 2êy + cos z 2êy] g(x,y,z) = ê y + ê y + ê z Τότε η συνθήκη Lagrange f(x, y, z) = λ g(x, y, z) δίνει τρεις εξισώσεις τισ: λ = R cos( x 2 ), λ = R cos(y 2 ), λ = Rcos(z 2 ) Από τις τρεις τελευταίες ισότητες προκύπτει ότι x = y = z. Αφού οι κεντρικές γωνίες είναι ίσες και οι πλευρές του τριγώνου ϑα είναι ίσες. Γι αυτό το Ϲητούµενο τρίγωνο είναι ισόπλευρο. 7.19: Βρείτε το µέγιστο γινόµενο τριών µη αρνητικών αριθµών x,y,z αν x + y + z = 1.

7.6 Λυµένες ασκήσεις 257 Απάντηση : Το σύνολο των µη αρνητικών αριθµών x,y,z που ϐρίσκονται στο επίπεδο x + y + z = 1 είναι ένα κλειστό και ϕραγµένο σύνολο. Άρα το γινόµενο f(x,y,z) = xyz πρέπει να έχει ένα απόλυτο µέγιστο. Το µέγιστο ϑα συµβαίνει όταν τα x, y, z είναι ϑετικά. Γι αυτό αν z = 1 x y, η συνάρτηση γράφεται f = xy x 2 y xy 2. Υπολογίζουµε τις µερικές παραγώγους της f και παίρνουµε f x = y 2xy y2 = y(1 2x y) f y = x 2xy x2 = x(2 2y x). Οταν f x = f y = 0 είναι 1 2x y = 0 και 1 2y x = 0. Άρα x = 1 3, y = 1 3 και z = 1 1 3 έτσι η µέγιστη τιµή του f είναι άρα 27. Εφόσον υπάρχει µόνο ένα κρίσιµο σηµείο δε χρειάζεται να ερευνήσουµε τη δεύτερη παράγωγο. 7.20: ίνονται οι συναρτήσεις (α) f(x,y) = x 2 + 2xy + 2y 2 6y (β) g(x,y) = x 4 + y 4 (γ) h(x,y) = y 4 x 4 (δ) φ(x,y) = 3xy x 3 y 3 (α)να ϐρεθούν και να χαρακτηριστούν τα στάσιµα σηµεία τους. (ϐ) Να ϐρεθεί µία πολυωνυµική προσέγγιση δευτέρου ϐαθµού των συναρτήσεων αυτών στην περιοχή των στασίµων σηµείων τους. Απόδειξη: (α) f x = 2x + 2y = 0 y = x, f y = 2x + 4y 6 = 0 2y = 6 Άρα το µοναδικό κρίσιµο σηµείο είναι το P( 3,3). Ακόµα f xx (P) = 2,f xy (P) = 2,f yy (P) = 4 και η διακρίνουσα = f xx f yy f 2 xy = 4 > 0. Άρα το P είναι τοπικό ελάχιστο. Η Ϲητούµενη πολυωνυµική προσέγγιση προκύπτει από την εφαρµογή του τύπου του Taylor στη γειτονιά του P: f(x,y) = f( 3,3) + 1 2! [(x + 3)2 f xx (P) + (y 3) 3 f yy (P) + 2(x + 3)(y 3)f xy (P)] = (x + 3) 2 + 2(x + 3)(y 3) + 2(y 3) 2 9.

258 Μέγιστα και Ελάχιστα (ϐ) Τα κρίσιµα σηµεία υπολογίζονται από το σύστηµα των εξισώσεων f x = 4x 3 = 0 x = 0, f y = 4y 3 = 0 y = 0 Άρα το µοναδικό κρίσιµο σηµείο είναι το P(0,0) f xx (P) = 12x 2 = 0, f xy = 0, f yy (P) = 12y 2 = 0. Άρα = 0, οπότε δεν µπορούµε να αποφανθούµε απ αυτή τη συνθήκη για τη ϕύση του P, το οποίο όµως είναι προφανώς σηµείο ελάχιστης τιµής, αφού f(0,0) < f(x,y) = x 4 + y 4, για κάθε(x,y) R 2 Προφανώς δεν υπάρχει πολυωνυµική προσέγγιση 2 ου ϐαθµού της f(x,y). (γ) Οµοίως προκύπτει ότι = 0 (δ) f x = 3y 3x 2 = 0 y = x 2, f y = 3x 3y 2 = 0 x = y 2 Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτουν δύο κρίσιµα σηµεία P 1 (0,0),P 2 (1,1) και η διακρίνουσα (0,0) = 9 < 0 και (1,1) = 27 > 0 Άρα το P 1 είναι σαγµατικό σηµείο ενώ στο P 2 η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό µέγιστο. Στην περιοχή του P 1 η πολυωνυµική προσέγγιση 2 ου ϐαθµού της f(x, y) είναι f(x,y) = 2xy, ενώ στην περιοχή του P 2 η προσέγγιση είναι f(x,y) = 3(x 1) 2 + 3(x 1)(y 1) 3(y 1) 2 + 1. 7.7 Ασκήσεις για λύση 7.1: Ποιές πρέπει να είναι οι διαστάσεις ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, σταθερού όγκου 32m 2, ώστε να παρουσιάζει ελάχιστη επιφάνεια; Το παραλληλεπίπεδο είναι ανοικτό επειδή του λείπει µία έδρα. 7.2: Από τα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα µε σταθερό άθροισµα ακµών ποιό έχει τον µεγαλύτερο όγκο;

7.7 Ασκήσεις για λύση 259 7.3: Ποιό από τα τρίγωνα τα εγγεγραµµένα σε δεδοµένο κύκλο έχει µέγιστο εµβαδόν; 7.4: Στο εσωτερικό δεδοµένο τρίγωνου ΑΒΓ να ϐρεθεί ένα σηµείο τέτοιο ώστε, το γινόµενο των αποστάσεών του από τις τρεις πλευρές να είναι µέγιστο. 7.5: Να προσδιοριστούν οι ακµές x,y,z ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου εγγεγραµµένου σε σφαίρα διαµέτρου δ, ώστε η συνάρτηση Φ = xy 2 z 3 να πάρει µέγιστη τιµή. 7.6: Να ϐρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης που ορίζεται από τη σχέση f(x,y) = x 3 + y 3 3mxy, όπου m ϑετικός αριθµός. 7.7: Να δειχθεί ότι η συνάρτηση F(x,y,z) = x 4 + y 4 + z 4 4xyz έχει ελάχιστο στο σηµείο P o (1,1,1). 7.8: Να γραφεί ο αριθµός 12 σε σε άθροισµα τριών αριθµών, έτσι ώστε το γινόµενο τους να είναι µέγιστο. 7.10: Από όλα τα τρίγωνα τα περιγεγραµµένα στον ίδιο κύκλο να ϐρεθεί αυτό µε το ελάχιστο εµβαδόν. 7.11: Να ϐρεθεί το µέγιστο της συνάρτησης φ(x, y) = xy που υπόκειται στο δεσµό x 2 +y 2 = 8. Ποιά είναι η ϕυσική σηµασία του αποτελέσµατος; 7.12: Βρείτε τη µέγιστη και ελάχιστη απόσταση της σφαίρας Φ(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 από την επιφάνεια του ελλειψοειδούς x2 64 + y2 36 + z2 25 = 1. 7.13: Εάν P(x o,y o,z o ) είναι ένα σηµείο εκτός του ελλειψοειδούς ( x2 )+ a 2 ( y2 )+( z2 ) = 1 b 2 c 2 και Q(x,y,z) είναι σηµείο επί του ελλειψοειδούς, δείξτε ότι η ευθεία PQ είναι κάθετη στο ελλειψοειδές, όταν η απόσταση PQ είναι ελάχιστη. 7.14: Να ϐρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων (α) z = x 2 + y 2 y(x + α), α > 0, (β) z = x 3 + y 3 + αxy, α > 0 (γ) z = x 3 y 3 /(x α)(x b), (δ) z = sin x + siny + sin(x + y). 7.15: Από όλα τα τρίγωνα που είναι περιγεγραµµένα στον ίδιο κύκλο ϐρείτε εκείνο µε το ελάχιστο εµβαδόν.

260 Μέγιστα και Ελάχιστα 7.16: Από όλα τα τρίγωνα µε περίµετρο 2p, ϐρείτε εκείνο που έχει το µέγιστο εµβαδόν. 7.17: Από ένα σηµείο M o (x o,y o,z o ) να ϕέρετε ένα επίπεδο, που να σχηµατίζει τετράεδρο ελάχιστου όγκου µε τα επίπεδα των συντεταγµένων ενός τρισορθογώνιου συστήµατος. 7.8 Λυµένες Ασκήσεις µε το Mathematica 1. ίνονται οι συναρτήσεις : (α) f 1 (x,y) = x 2 + 2xy + 2y 2 6y (ϐ) f 2 (x,y) = x 4 + y 4 (γ) f 3 (x,y) = y 4 x 4 (δ)f 4 (x,y) = 3xy x 3 y 3. (i) Να ϐρεθούν και να χαρακτηριστούν τα κρίσιµα σηµεία τους. (ii) Να ϐρεθεί µία πολυωνυµική προσέγγιση δευτέρου ϐαθµού των συναρτήσεων αυτών στην περιοχή των κρίσιµων σηµείων τους. (α) Clear[f,f x,f y,f xx,f yy,f xy,x,y,simia,d] f[x_,y_] := x 2 +2 x y+2 y 2 6 y f x [x_,y ] := D[f[x,y],x] f y [x_,y ] := D[f[x,y],y] Βρίσκουµε ένα κρίσιµο σηµείο simia = Solve[{f x [x,y] == 0,f y [x,y] == 0}, {x,y}] {{x 3,y 3 }} f xx [x_,y_] := D[f[x,y],x,2] f yy [x_,y_] := D[f[x,y],y,2] f xy [x_,y_] := D[f[x,y],x,y] d[x_,y_] = f xx [x,y] f yy [x,y] f xy [x,y] 2

7.8 Λυµένες Ασκήσεις µε το Mathematica 261 4 d[x,y]/.simia {4 } f xx [x,y]/.simia {2 } Στο σηµείο ( 3,3) η f(x,y) παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο f( 3,3) = 9. (ϐ) (d[0,0] > 0)&&(f xx [0,0] > 0) True f[ 3, 3] 9 Clear[g, x, y] g[x_,y_] = Normal[Series[f[x,y], {x, 3,3}, {y,3,3}]] 9 + (3 + x) 2 + 2(3 + x)( 3 + y) + 2( 3 + y) 2 Clear[f,f x,f y,f xx,f yy,f xy,x,y,simia,d] f[x_,y_] := x 4 +y 4 f x [x_,y ] := D[f[x,y],x] f y [x_,y ] := D[f[x,y],y] Βρίσκουµε ένα κρίσιµο σηµείο simia = Solve[{f x [x,y] == 0,f y [x,y] == 0}, {x,y}] {{x 0,y 0 }, {x 0,y 0 }, {x 0,y 0 }, {x 0,y 0 }, {x 0,y 0 }, {x 0,y 0}, {x 0,y 0 }, {x 0,y 0 }, {x 0,y 0 }}

262 Μέγιστα και Ελάχιστα f xx [x_,y_] := D[f[x,y],x,2] f yy [x_,y_] := D[f[x,y],y,2] f xy [x_,y_] := D[f[x,y],x,y] d[x_,y_] = f xx [x,y] f yy [x,y] f xy [x,y] 2 144x 2 y 2 d[x,y]/.simia {0,0,0,0,0,0,0,0,0 } f xx [x,y]/.simia {0,0,0,0,0,0,0,0,0 } (γ) Clear[f,f x,f y,f xx,f yy,f xy,x,y,simia,d] f[x_,y_] := y 4 x 4 f x [x_,y ] := D[f[x,y],x] f y [x_,y ] := D[f[x,y],y] Βρίσκουµε ένα κρίσιµο σηµείο simia = Solve[{f x [x,y] == 0,f y [x,y] == 0}, {x,y}] {{x 0,y 0 }, {x 0,y 0 }, {x 0,y 0 }, {x 0,y 0 }, {x 0,y 0 }, {x 0,y 0}, {x 0,y 0 }, {x 0,y 0 }, {x 0,y 0 }} f xx [x_,y_] := D[f[x,y],x,2] f yy [x_,y_] := D[f[x,y],y,2] f xy [x_,y_] := D[f[x,y],x,y] d[x_,y_] = f xx [x,y] f yy [x,y] f xy [x,y] 2 144x 2 y 2

7.8 Λυµένες Ασκήσεις µε το Mathematica 263 d[x,y]/.simia {0,0,0,0,0,0,0,0,0 } f xx [x,y]/.simia {0,0,0,0,0,0,0,0,0 } (δ) Clear[f,f x,f y,f xx,f yy,f xy,x,y,simia,d] f[x_,y_] := 3 x y x 3 y 3 f x [x_,y ] := D[f[x,y],x] f y [x_,y ] := D[f[x,y],y] Needs[ Miscellaneous RealOnly ] Βρίσκουµε δύο κρίσιµα σηµεία. simia = Solve[{f x [x,y] == 0,f y [x,y] == 0}, {x,y}] NonReal :: Warning : NonReal number encountered. {{x 0,y 0 }, {x 1,y 1 } {x NonReal,y NonReal}, {x NonReal,y NonReal}} f xx [x_,y_] := D[f[x,y],x,2] f yy [x_,y_] := D[f[x,y],y,2] f xy [x_,y_] := D[f[x,y],x,y] d[x_,y_] = f xx [x,y] f yy [x,y] f xy [x,y] 2 9 + 36xy d[x,y]/.simia NonReal :: Warning : NonReal number encountered. { 9,27,NonReal,NonReal} f xx [x,y]/.simia

264 Μέγιστα και Ελάχιστα NonReal :: Warning : NonReal number encountered. {0, 6,NonReal,NonReal} Στο σηµείο (0, 0) η f(x, y) παρουσιάζει σαγµατικό σηµείο. d[0,0] < 0 True f[0, 0] 0 Clear[g 1,x,y] g 1 [x_,y_] = Normal[Series[f[x,y], {x,0,2}, {y,0,2}]] 3xy Στο σηµείο (1,1) η f(x,y) παρουσιάζει τοπικά µέγιστη τιµή την f(1,1) = 1. (d[1,1] > 0)&&(f xx [1,1] < 0) True f[1, 1] 1 Clear[g 2,x,y] g 2 [x_,y_] = Normal[Series[f[x,y], {x,1,2}, {y,1,2}]] 1 3( 1 + x) 2 + 3( 1 + x)( 1 + y) 3( 1 + y) 2 2. Να ϐρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f(x,y) = x 2 + 5 2 y2 +2xy y στο εσωτερικό (περιλαµβανοµένης και της περιµέτρου) του τριγώνου ΟΑΒ, όταν A( 1, 0), O(0, 0), B(0, 1). Clear[f,f x,f y,f xx,f yy,f xy,x,y,simia,d] f[x_,y_] := x 2 + (5/2) y 2 +2 x y y f x [x_,y ] := D[f[x,y],x]

7.8 Λυµένες Ασκήσεις µε το Mathematica 265 f y [x_,y ] := D[f[x,y],y] Βρίσκουµε ένα κρίσιµο σηµείο simia = Solve[{f x [x,y] == 0,f y [x,y] == 0}, {x,y}] {{x 1 3,y 1 3 }} f xx [x_,y_] := D[f[x,y],x,2] f yy [x_,y_] := D[f[x,y],y,2] f xy [x_,y_] := D[f[x,y],x,y] d[x_,y_] = f xx [x,y] f yy [x,y] f xy [x,y] 2 6 d[x,y]/.simia {6 } f xx [x,y]/.simia {2 } Στο σηµείο ( 1/3, 1/3) η f(x, y) παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο f( 1/3,1/3) = 1/6. (d[ 1/3,1/3] > 0)&&(f xx [ 1/3,1/3] > 0) True f[ 1/3, 1/3] 1 6 Στο τρίγωνο ΟΑΒ : Clear[f 1,f 2,f 3,t,s,g,h] Πλευρά ΟΑ f 1 [x_,y_] = f[x,0] x 2

266 Μέγιστα και Ελάχιστα f[0, 0] 0 Το σηµείο (0,0) είναι σηµείου τοπικού ελαχίστου για τη συνάρτηση f(x,y). Πλευρά ΟΒ f 2 [x_,y_] = f[0,y] y + 5y2 2 g[y_] := y + 5y2 2 t = Solve[{D[g[y],y] == 0}, {y}] {y 1 5 } D[f 2 [x,y], {y,2}] == 5 > 0 True f[0, 1/5] 1 10 Το σηµείο (0,1/5) είναι σηµείο τοπικού ελαχίστου. Πλευρά ΑΒ f 3 [x_,y_] = f[x,x +1] 1 x + x 2 + 2x(1 + x) + 5 (1 + x)2 2 h[x_] := 1 x + x 2 + 2x(1 + x) + (5/2) (1 + x) 2 s = Solve[{D[h[x],x] == 0}, {x}] {{x 6 11 }} D[h[x], {x,2}] == 11 > 0

7.8 Λυµένες Ασκήσεις µε το Mathematica 267 True f[ 6/11, 5/11] 3 22 Το σηµείο ( 6/11,5/11) είναι σηµείο τοπικού ελαχίστου. 3. Να ϐρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f(x,y) = xy που ανήκουν στην ευθεία I που διέρχεται απο τα σηµεία (0,1) και (1,0). Clear[f,x,y,g,t] f[x_,y_] := x y g[x_] := f[x,x 1] t = Solve[{D[g[x],x] == 0}, {x}] {{x 1 2 }} D[g[x], {x,2}] == 2 < 0 True f[1/2, 1/2] 1 4 Το σηµείο (1/2,1/2) είναι σηµείο τοπικού µεγίστου. 4. Να ϐρεθεί η απόσταση της αρχής Ο από το επίπεδο x + y + z = 1. Clear[f,f 1,f x,f y,f xx,f yy,f xy,x,y,simia,d,ap] f[x_,y_,z_] := x 2 +y 2 +z 2 z := x +y 1 f 1 [x_,y_] := f[x,y,x +y 1]] f x [x_,y ] := D[f 1 [x,y],x] f y [x_,y ] := D[f 1 [x,y],y] Βρίσκουµε ένα κρίσιµο σηµείο

268 Μέγιστα και Ελάχιστα simia = Solve[{f x [x,y] == 0,f y [x,y] == 0}, {x,y}] {{x 1 3,y 1 3 }} f xx [x_,y_] := D[f 1 [x,y],x,2] f yy [x_,y_] := D[f 1 [x,y],y,2] f xy [x_,y_] := D[f 1 [x,y],x,y] d[x_,y_] = f xx [x,y] f yy [x,y] f xy [x,y] 2 12 d[x,y]/.simia {12 } f xx [x,y]/.simia {4 } Στο σηµείο (1/3, 1/3) η f(x, y) παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο f(1/3,1/3) = 1/3. (d[1/3,1/3] > 0)&&(f xx [1/3,1/3] > 0) True f[1/3, 1/3] 1 3 ap = Sqrt[%] 1 3 5. Να ϐρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f(x,y,z) = xyz που ικανοποιούν τη σχέση g = xy + yz + zx 1 = 0. Clear[f,x,y,z,g,f 1,m,s,g 1,f max,f min ] f[x_,y_,z_] := x y z g[x_,y_,z_] := x y+y z+z x 1

7.8 Λυµένες Ασκήσεις µε το Mathematica 269 f 1 [x_,y_,z_] := f[x,y,z] +m g[x,y,z] t = Solve[{D[f 1 [x,y,z],x] == 0,D[f 1 [x,y,z],y] == 0, D[f 1 [x,y,z],z] == 0}, {x,y,z}] {{x 0,y 0,z 0}, {x 2m,y 2m,z 2m}} g[x,y,z]/.t { 1, 1 + 12m 2 } g 1 [m_] := 1 +12m 2 s = Solve[{g 1 [m] == 0}, {m}] {{m 1 2 1 }, {m 3 2 3 }} t/.s {{x 0,y 0,z 0 }, {x 1 3,y 1 3,z 1 3 }, {x 0,y 0,z 0 }, {x 1 3,y 1 3,z 1 3 }, } f max = f[ 1 3, 1 3 3 1 3, 1 3 ] f min = f[ 1 3, 1 3, 1 3 ] 1 3 3

270 Μέγιστα και Ελάχιστα

8. Εφαρµογές σε ϕυσικά προβλήµατα Νοµίζω ότι αν δεν είχα εκπαιδευτεί αρχικά ως µηχανικός, δεν ϑα είχα καµία επιτυχία στη µετέπειτα δουλειά µου. Ηταν απόλυτα αναγκαίο να ξεφύγω από την άποψη ότι ϑα πρέπει να ασχοληθούµε µόνο µε ακριβείς εξισώσεις και µε αποτελέσµατα που προκύπτουν λογικά από ακριβείς νόµους, που κάποιος δέχεται και πιστεύει σαν απόλυτες αλήθειες. Οι µηχανικοί ενδιαφέρονται για τις εξισώσεις που περιγράφουν σωστά τη ϕύση. εν τους ενδιαφέρει πως ϐγήκαν οι εξισώσεις... Η άποψη των µηχανικών µε οδήγησε σε µια νέα προσέγγιση που τη ϑεωρώ την καλύτερη που µπορεί να είχα. Θέλουµε να περιγράψουµε τη ϕύση. Αναζητούµε τις εξισώσεις που περιγράφουν καλύτερα τη ϕύση και το καλύτερο που µπορούµε να ελπίζουµε είναι προσεγγιστικές εξισώσεις. Θα πρέπει να συµβιβαστούµε µε την ιδέα ότι πρέπει να εγκαταλείψουµε οριστικά την απόλυτη λογική και ακρίβεια. P.A.M. Dirac, 1977 8.1 Εισαγωγή Ο ϱυθµός µεταβολής των συναρτήσεων περιγράφεται από το διαφορικό λ- ογισµό. Στη ϕύση τα περισσότερα ϕαινόµενα που παρατηρούµε µπορούν να περιγραφούν ως µεταβολές των ποσοτήτων που τα χαρακτηρίζουν. Στο ϐιβλίο αυτό µελετήσαµε αριθµητικές και διανυσµατικές συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. Αναλύσαµε τις απλές, τις σύνθετες, τις οµογενείς, και τις πεπλεγµένες συναρτήσεις. ώσαµε ιδιαίτερη σηµασία στη συνέχεια, στη µερική παράγωγο, στο ολικό διαφορικό, στο ανάπτυγµα Taylor, στη παράγωγο κατά κατεύθυνση, στους διανυσµατικούς τελεστές, στους µετασχηµατισµούς µεταξύ συστηµάτων συντεταγµένων, στις αλλαγές µεταβλητών και τέλος στα µέγιστα και ελάχιστα των συναρτήσεων

272 Εφαρµογές σε ϕυσικά προβλήµατα πολλών µεταβλητών. Τα ϑέµατα αυτά έχουν αναπτυχθεί πριν µερικούς αιώνες από τους µαθηµατικούς. Θα δούµε στη συνέχεια πως αξιοποιούνται για την ανάλυση ϕυσικών συστηµάτων που εξελίσσονται στο χώρο και το χρόνο κάτω από την επίδραση εσωτερικών ή εξωτερικών δυνάµεων. Στη συνέχεια ϑα παρουσιάσουµε µια σειρά από απλά µοντέλα της ϕύσης και ϑα αναλύσουµε τον τρόπο που εξάγουµε ποσοτικά συµπεράσµατα, αφού προηγουµένως τα µετατρέψουµε σε επιλύσιµα µαθηµατικά προβλήµατα. Θα πρέπει να τονισθεί εδώ ότι πολλές ϕορές τα µαθηµατικά προβλήµατα που ϑέτει η ϕύση δεν επιλύονται µε τα γνωστά µαθηµατικά και γίνονται αφορµή για την ανάπτυξη νέας Μαθηµατικής σκέψης. 8.2 Λυµένα προβλήµατα Πρόβληµα 8.1: Υποθέστε ότι το διανυσµατικό πεδίο δυνάµεων F είναι συντηρητικό, δηλαδή ισχύει η σχέση F = V, όπου V (x,y,z) είναι µια πραγµατική συνάρτηση, που ονοµάζουµε δυναµικό. Εάν ένα σωµατίδιο µαζας m κινείται έτσι ώστε η τροχιά του (r(t)) να ικανοποιεί το νόµο του Νεύτωνα m dv dt = F τότε δείξτε ότι το άθροισµα της δυναµικής και της κινητικής ενέργειας ( E = mv 2 /2 + V ) είναι σταθερό. Απόδειξη: Η τροχιά ενός σωµατιδίου υπολογίζεται από τη λύση της εξίσωσης m d2 r dt 2 = mdv dt = F (8.1) όπου r = x(t)ê x + y(t)ê y + z(t)ê z είναι το διάνυσµα ϑέσεως και v(t) = v x (t)ê x + v y (t)ê y + v z (t)ê z η ταχύτητα του σωµατιδίου. Αν στην εξ. (8.1) αντικαταστήσουµε τη δύναµη απο τη σχέση F = V (x(t),y(t),z(t)) τότε m dv dt = V (x(t),y(t),z(t)). (8.2) Πολλάπλασιάζουµε και τα δύο µέλη της (8.2) µε v και έχουµε αλλά mv dv dt = v V

8.2 Λυµένα προβλήµατα 273 v dv dt = v dv x x dt + v dv y y dt + v dv z z dt Επισης ισχύει = d[(v2 x + v2 y + v2 z )/2] dt = d(v2 /2). dt V v V (x(t),y(t),z(t)) = v x x + v V y y + v V z z = dx dt V x + dy dt V y + dz dt Κάνοντας χρήση των παραπάνω σχέσεων η (8.2) γράφεται ( ) d mv 2 dt 2 + V = 0. V z = dv dt. Άρα ή ολική ενέργεια παραµένει σταθερά κατά µήκος της τροχιάς του σωµατιδίου. Σχόλιο: Συµπεραίνουµε ότι η κίνηση σωµατιδίων µέσα σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων διατηρεί αναλλοίωτη την ολική ενέργεια E. Πρόβληµα 8.2: Εάν η πυκνότητα σωµατιδίων ίσης µάζας m στο χώρο των ϑέσεων και ορµών (ο χώρος ϑέσεων και ορµών ονοµάζεται χώρος των ϕάσεων ) ορίζεται από τη σχέση N(r(t),p(t),t) δείξτε ότι όταν η πυκνότητα παραµένει σταθερή (dn/dt = 0) τότε ισχύει η εξίσωση του Liouville N t + p xn + F p N = 0 όπου p είναι η ορµή και F η δύναµη που αναγκάζει τα σωµατίδια να κινούνται. Ο τελεστής x και p ορίζονται από τις σχέσεις x = xêx + yêy + zêz και p = p x ê x + p y ê y + p z ê z. Απόδειξη: Η ολική παράγωγος του N(r,p,t) = N(x,y,z,p x,p y,p z,t) είναι ίση µε

274 Εφαρµογές σε ϕυσικά προβλήµατα ή dn dt = N t + N x dx dt + N y dy dt + N z dz dt + N dp x p x dt + N dp y p y dt + N dp z p z dt = 0 N t + p xn + dp dt pn = 0. Κάνοντας χρήση του νόµου του Newton dp dt = F και αντικαθιστώντας στην προηγούµενη σχέση ϐρίσκουµε την εξίσωση Liouville. Η εξίσωση του Liouville µπορεί επίσης να γραφεί DN Dt = F vn όπου D Dt = t + p x. είναι ο τελεστής της µεταφορικής παραγώγου που συζητήσαµε στο Κε- ϕάλαιο 6. Σχόλιο: Η συνθήκη διατήρησης της πυκνότητας των ϕορτίων στο χώρο των ϕάσεων καταλήγει στη γνωστή εξίσωση Liouville που περιγράφει τη χωροχρονική εξέλιξη της πυκνότητας των ϕορτίων. Προβληµα 8.3: Η ϑερµοκρασία σε κάθε σηµείο µιας µεταλλικής πλάκας περιγράφεται από τη συνάρτηση T(x,y) = A + x 2 y 2, όπου Α είναι σταθερά. Βρείτε την τροχιά r(t) = x(t)ê x + y(t)ê y που ϑα ακολουθήσει ένα σωµατίδιο που ξεκινάει από το σηµείο ( 2, 1) και το διάνυσµα της ταχύτητάς του παραµένει συνέχεια συγγραµµικό µε τη διεύθυνση της µέγιστης αύξησης της ϑερµοκρασίας. Απόδειξη: Γνωρίζουµε ότι η µέγιστη αύξηση της ϑερµοκρασίας είναι κατά µήκος του διανύσµατος T = 2xê x 2yê y γιατί η µεταβολή D no T παίρνει τη µέγιστη τιµή όταν T n. Το σωµατίδιο πρέπει να ξεκινάει από το x(0) = 2 και y(0) = 1 και να κινείται κατά µήκος του διανύσµατος T, άρα το διανυσµα της ταχύτητας πρέπει επίσης να είναι συγγραµικό µε το T, ẋ = 2x,ẏ = 2y x(t) = c 1 e 2t,y(t) = c 2 e 2t

8.2 Λυµένα προβλήµατα 275 και το διάνυσµα ϑέσεως έχει τη µορφή r(t) = 2e 2t ê x + e 2t ê y. Προβληµα 8.4: ίνονται τα σηµεία M i (α i,β i ), (i = 1,2,...,n) πάνω στο επίπεδο. Ζητείται να ϐρεθεί σηµείο M(x,y) τέτοιο ώστε το ά- ϑροισµα των γινοµένων ϑετικών αριθµών m i µε τα τετράγωνα των α- ποστάσεων MM i να είναι ελάχιστο. Ποιά είναι η ϕυσική σηµασία του αποτελέσµατος; Απόδειξη: Το εν λόγω άθροισµα εκφράζεται από τη συνάρτηση f(x,y) = n m i [(x α i ) 2 + (y β i ) 2 ]. i=1 Για να παρουσιάζει ελάχιστο η συνάρτηση f(x,y) ϑα πρέπει f n x = 2 m i (x α i ) = 0, i=1 Το σύστηµα f x = 0,f y = 0 έχει τη λύση f n y = 2 m i (y β i ) = 0. i=1 x = m 1α 1 + m 2 α 2 +... + m n α n m 1 + m 2 +... + m n y = m 1β 1 + m 2 β 2 +... + m n β n m 1 + m 2 +... + m n. (8.3) Βρίσκουµε επίσης ότι A = 2 f x 2 = 2 f y 2 = Γ = 2 n i=1 m i, B = 2 f x y = 0. Εφόσον B 2 AΓ < 0 και A > 0 έχουµε ελάχιστο. Σχόλιο: Αν στο σηµείο M i ϐρίσκεται υλικό σηµείο µε µάζα m i, τότε οι εξισώσεις (8.3) ορίζουν τις συντεταγµένες του κέντρου µάζας του συστή- µατος των υλικών σηµείων. Πρόβληµα 8.5: Θέλουµε να κατασκευάσουµε ένα ορθογώνιο κουτί χωρίς καπάκι από 12m 2 χαρτόνι. Βρείτε το µέγιστο όγκο ενός τέτοιου κουτιού. Απόδειξη: Εστω ότι το µήκος, πλάτος και ύψος του κουτιού (σε µέτρα) είναι x,y,z. Ο όγκος του κουτιού είναι V = xyz, ενώ το εµβαδόν των

276 Εφαρµογές σε ϕυσικά προβλήµατα τεσσάρων πλευρών και της ϐάσης του κουτιού είναι 2xz+2yz+xy = 12. Λύνοντας την εξίσωση αυτή ως προς z έχουµε z = 12 xy 2(x + y), η έκφραση για το V παίρνει τη µορφή 12 xy V = xy 2(x + y) = 12xy x2 y 2. 2(x + y) Υπολογίζουµε τις µερικές παραγώγους V x = y2 (12 2xy x 2 ) 2(x + y) 2, V y = x2 (12 2xy y 2 ) 2(x + y) 2. Για να γίνει το V µέγιστο ϑα πρέπει V x = V y = 0, όµως για x = 0 ή y = 0 ο όγκος µηδενίζεται άρα η λύση αυτή απορρίπτεται. Θα πρέπει να αναζητήσουµε τη λύση από το σύστηµα 12 2xy x 2 = 0, 12 2xy y 2 = 0. Εύκολα συµπεραίνουµε ότι x 2 = y 2, δηλαδή x = y. Αν ϑέσουµε x = y σε οποιαδήποτε από τις δύο εξισώσεις παίρνουµε 12 3x 2 = 0, ή x = 2,y = 2,z = 1. Μπορούµε να δείξουµε κάνοντας χρήση των παραγώγων δεύτερης τάξης και της διακρίνουσας ότι αυτές οι τιµές δίνουν τοπικό µέγιστο στο V, ή απλά µπορούµε να συµπεράνουµε από τη ϕύση του προβλήµατος ότι για x = 2,y = 2,z = 1 ο όγκος του κουτιού γίνεται µέγιστος και ίσος µε 4m 3. Πρόβληµα 8.6: Μια ακτίνα ϕωτός ταξιδεύει σε ευθεία από το σηµείο P 0 (x 0,y 0 ), ανακλάται από τον καµπύλο καθρέφτη C:g(x,y) = 0, και µετά οδεύει σε ευθεία γραµµή προς το P 1 (x 1,y 1 ). Ο ολικός χρόνος (άρα και η απόσταση που διανύθηκε) για να πάει η ακτίνα από το σηµείο P 0 στο P 1 πρέπει να είναι ελάχιστος. Το πρόβληµα µας λοιπόν είναι να ϐρούµε το σηµείο P πάνω στον καθρέφτη C στο οποίο ανακλάται η ακτίνα ϕωτός. Αντί να ϐρούµε το P µπορούµε να δείξουµε, µάλλον απλά, ότι όταν υπάρχει λύση, ικανοποιείται ο νόµος της ανάκλασης, δηλ. οι γωνίες θ 1 και θ 2 είναι ίσες (ϐλέπε Σχ. 8.1). Αυτές είναι οι γωνίες που σχηµατίζονται µε την κάθετο στο C. Απόδειξη: Πρέπει να ϐρούµε τις τιµές των x και y που ελαχιστοποιούν την απόσταση P 0 PP 1

8.2 Λυµένα προβλήµατα 277 Ñ (x,y ) 0 0 0 y g(x,y)=0 e 1 è è e2 Ñ(x,y) Ñ (x,y ) 1 1 1 Σχήµα 8.1. Η ακτίνα ταξιδεύει από το σηµείο P 0 στο P και στη συνέχεια στο P 1 ακολου- ϑώντας τον ελάχιστο δρόµο (αρχή του Fermat η οποία ήταν γνωστή απο τον καιρό του Ηρωνα του Αλεξανδρινού). f(x,y) = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 και συγχρόνως υπακούουν στον περιορισµό ότι το (x, y) ϐρίσκεται πάνω στο C, δηλαδή ισχύει η εξίσωση g(x,y) = 0. Η κλίση της f µπορεί να παρασταθεί ως άθροισµα δύο µοναδιαίων διανυσµάτων e 1 και e 2, και δίνεται από τη σχέση f = e 1 + e 2, όπου e 1 = (x x 0,y y 0 ) (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2, e 2 = (x x 1,y y 1 ) (x x1 ) 2 + (y y 1 ) 2. Για να είναι η απόσταση P 0 PP 1 ελαχίστη ϑα πρέπει να ισχύει η σχέση f = λ g, όποτε ϑα έχουµε e 1 +e 2 = λ g. Από το νόµο πρόσθεσης διανυσµατων έχουµε ότι το άθροισµα δύο µοναδιαίων διανυσµάτων είναι ένα νέο διάνυσµα που σχηµατίζει ίσες γωνίες µε τα µοναδιαία διανύσµατα. Ετσι αν µπορούµε να δείξουµε ότι το διάνυσµα e 1 + e 2 είναι κάθετο στην καµπύλη C, ϑα έχουµε αποδείξει το νόµο της ανάκλασης. Από τη σχέση e 1 + e 2 = λ g συµπεραίνουµε οτι το διάνυσµα e 1 + e 2 είναι παράλληλο προς το g που είναι κάθετο στην καµπύλη C : g(x,y) = 0. Πρόβληµα 8.7: Αν υποθέσουµε ότι, (1) το ϕως ταξιδεύει από το σηµείο A που ϐρίσκεται µέσα σε στο οποίο το ϕως διαδίδεται µε ταχύτητα v 1, στο σηµείο B που ϐρίσκεται σε ένα διαφορετικό υλικό στο οποίο το ϕως διαδίδεται µε ταχύτητα v 2 και (2) ότι ο χρόνος που χρειάζεται το ϕως για να ταξιδέψει µεταξύ δύο σηµείων είναι ελάχιστος (ϐλέπε Σχ. 8.2), τότε δείξτε ότι η διάδοση του ϕωτός υπακούει το νόµο του Snell sinθ v 1 = sinφ v 2.

278 Εφαρµογές σε ϕυσικά προβλήµατα Ο λόγος των ταχυτήτων είναι ίσος µε το δείκτη διάθλασης n = v 1 v 2. õëéêü 2: ôá ýôçôá öùôüò V 2 x ö y  Á è õëéêü 1: ôá ýôçôá öùôüò V 1 Σχήµα 8.2. Η ακτίνα ϕωτός ακολουθεί τον ελάχιστο δρόµο µεταξύ των σηµείων Α και Β. Απόδειξη: Η απόσταση ΟΑ είναι ίση µε x 2 + a 2 ενώ η απόσταση ΟΒ= y 2 + b 2. Ο συνολικός χρόνος που απαιτεί το ϕως για να ταξιδέψει από το Α εως το Β είναι t(x,y) = x 2 + a 2 v 1 + y 2 + b 2 v 2. Το άθροισµα των x και y είναι σταθερό D = x + y = l, άρα για να είναι ελαχίστη η απόσταση ϑα πρέπει t = λ D ή ισοδύναµα x v 1 x 2 + a 2 = y v 2 y 2 + b 2. Από το Σχ. 8.2 συµπεραίνουµε ότι sin θ = x/ x 2 + a 2. Ετσι sin φ = y/ y 2 + b 2 και καταλήγουµε εύκολα στο νόµο του Snell sinθ v 1 = sinφ v 2. Πρόβληµα 8.8: (α) Βρείτε τη γενική λύση z(x,t) της εξίσωσης κύµατος στη µία διάσταση 2 z x 2 1 2 z c 2 t 2 = 0 (8.4) όπου c είναι η ταχύτητα διάδοσεις του κύµατος. (Υποδειξη: Μετασχη- µατίστε την εξίσωση (8.4) στις νέες συντεταγµένες u = x + ct, v =

8.2 Λυµένα προβλήµατα 279 x ct, δηλαδή µετασχηµατίζουµε την διαφορική εξίσωση του κύµατος σε συστήµατα συντεταγµένων που κινούνται µε σταθερή ταχύτητα ±c). (ϐ) Στη συνέχεια µετασχηµατίστε την εξίσωση του σφαιρικού κύµατος z(r,t): 2 z r 2 + 2 z r r 1 2 z c 2 r 2 = 0 σε εξίσωση όµοια µε την εξίσωση (8.4) και ϐρείτε τη λύση της. Απόδειξη: (α) Παραγωγίζουµε τη συναρτήση z(u(x, t), v(x, t)) ως προς x και t, και όµοια z x = z u u x + z v v x = z u + z v, z t = z u u t + z v v t = c(z u z v ) z xx = z uu + 2z uv + z vv (8.5) 1 c 2z tt = z uu 2z uv + z vv (8.6) Αφαιρώντας την (8.6) από την (8.5) έχουµε 2 z u v = 0 (8.7) Ολοκληρώνοντας την (8.7) z v = F(v), όπου F είναι αυθαίρετη συνάρτηση. Ολοκληρώνοντας ξανά έχουµε z = F(v)dv + f(u) z = g(v) + f(u) (8.8) (ϐ) Επειδή = f(x + ct) + g(x ct) 2 r 2(rz) = rz rr + 2z r, 2 t 2(rz) = rz tt η εξίσωση του σφαιρικού κύµατος παίρνει τη µορφή ( 2 r 2 1 2 ) c 2 t 2 (rz) = 0. (8.9)

280 Εφαρµογές σε ϕυσικά προβλήµατα Συγκρίνοντας την (8.4) µε την προηγούµενη εξίσωση συµπεραίνουµε ότι η λύση του σφαιρικού κύµατος έχει τη µορφή z = 1 [f(r + ct) + g(r ct)]. r Σχολιο: Η εξίσωση κύµατος αποτελεί µια από τις χαρακτηριστικότερες διαφορικές εξισώσεις που συναντάµε συχνά σε προβλήµατα ϕυσικής. Αν καταφέρουµε να µετασχηµατίσουµε τις εξισώσεις που περιγράφουν το πρόβληµα µας σε µια νέα διαφορική εξίσωση της µορφής (8.4) το επιλύουµε εύκολα. Πρόβληµα 8.9: Οι εξισώσεις Maxwell σε οµογενές, αγώγιµο υλικό είναι E = ρ ǫ, E = µ H t, H = 0, H = J + ǫ E t. είξτε ότι τα J και ϱ ικανοποιούν την εξίσωση J + ρ/ t = 0. Ποιά είναι η ϕυσική σηµασία αυτής της εξίσωσης ; Απόδειξη: Η απόκλιση της εξίσωσης H = J + ǫ E t µας οδηγεί στη σχέση ( H) = J + ǫ ( E). t Η αποκλιση της στροφής ενός διανύσµατος είναι µηδέν άρα 0 = J + ρ t Η εξίσωση αυτή είναι η γνωστή ως εξίσωση συνέχειας των ϕορτίων, επειδή J = ρv. Πρόβληµα 8.10: Εχουµε ήδη αναφέρει ότι η εξίσωση του κύµατος έχει τη µορφή 2 f x 2 + 2 f y 2 + 2 f z 2 1 2 f u 2 t 2 = 0 (8.10) όπου u είναι η ταχύτητα του κύµατος. (α) είξτε ότι οι εξισώσεις Maxwell στο κενό προβλέπουν τη διάδοση κυµάτων µε ταχύτητα c ( Τα κύµατα αυτά λέγονται ηλεκτροµαγνητικά κύµατα) (Σηµείωση: Οι εξισώσεις Maxwell στο κενό έχουν τη µορφή

8.2 Λυµένα προβλήµατα 281 E = 0, E = 1 c B t, B = 0, B = 1 E c t όπου E(x, t), B(x, t) είναι το ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο αντίστοιχα). Απόδειξη: (α) Κάνοντας χρήση των εξισώσεων Maxwell και της ταυτότητας A = ( A) 2 A έχουµε Οµοίως ( E) = 1 c ( B) = 1 c t ( B) 2 E = 1 2 E c 2 t 2. t ( E) 2 B = 1 2 B c 2 t 2. Άρα τα E, B επαληθεύουν τις εξισώσεις του κύµατος που διαδίδεται µε ταχύτητα c στο κενό (ηλεκτροµαγνητικό κύµα). Πρόβληµα 8.11: Αν ισχύουν οι σχέσεις B = 4π c J E = 1 B c t και ο νόµος του Ohm ( J = σ E + v B ) c B = 0 (8.11) (8.12) όπου σ και c είναι σταθερές (αγωγιµότητα και ταχύτητα του ϕωτός), δείξτε ότι ϑα ισχύει η σχέση B t = (v B) + η 2 B. (8.13) Επιπλέον υπολογίστε τη σταθερά η (ειδική αντίσταση) ως συνάρτηση των άλλων σταθερών. Απόδειξη: Από το νόµο του Ohm υπολογίζουµε το ηλεκτρικό πεδίο και το αντικαθιστούµε στην εξίσωση B t = c( E) [ J = c σ v B ] c = (v B) c σ J = (v B) c ( c ) σ 4π B = (v B) c2 ( B) (8.14) 4πσ

282 Εφαρµογές σε ϕυσικά προβλήµατα Με τη ϐοήθεια της ταυτότητας ( B) = ( B) 2 B και επειδή B = 0 η (8.14) καταλήγει στη Ϲητούµενη σχέση B t = (v B) + η 2 B. Από αυτήν προσδιορίζουµε την τιµή του η = (c 2 /(4πσ)). Σχόλιο: Η εξίσωση (8.14) περιγράφει την εξέλιξη των µαγνητικών πεδίων µέσα σε κινούµενα µε ταχύτητα v αγώγιµα υλικά. Πρόβληµα 8.12: Σε ένα ακίνητο αγώγιµο υλικό το ϱεύµα συνδέεται µε το ηλεκτρικό πεδίο µε τη σχέση J = σe (νόµος του Ohm), όπου σ είναι η αγωγιµότητα. Χρησιµοποιώντας τις εξισώσεις του Maxwell, δείξτε ότι για ένα µέσο του οποίου η πυκνότητα των ϕορτίων είναι µηδέν (ρ = 0), οι συνιστώσες του ηλεκτρικού (E) και µαγνητικού (H) πεδίου επαλη- ϑεύουν την εξίσωση 2 Φ = 1 c 2 2 Φ t 2 + σ ǫc 2 Φ t, όπου c = (µǫ) 1 2. Η εξίσωση αυτή περιγράφει ένα κύµα που αποσβένει µε το χρόνο µε ϱυθµό σ/(ǫc 2 ). ( Σηµείωση: Οι εξισώσεις Maxwell στο συγκεκριµένο σύστηµα µονάδων (MKS) έχουν τη µορφή E = ρ ǫ, E = µ H t, H = 0, H = J + ǫ E t όπου µ,ǫ είναι σταθερές που χαρακτηρίζουν το αγώγιµο υλικό.) Απόδειξη : Κάνοντας χρήση των εξισώσεων Maxwell έχουµε ή ( H) = J + ǫ ( E) t 2 H = σ( E) ǫµ 2 H t 2 2 H = 1 2 H c 2 t 2 + σ H c 2 ǫ t. Οµοια αποδεικνύεται και η άλλη σχέση.

8.2 Λυµένα προβλήµατα 283 Σχόλιο: Η εξίσωση που καταλήξαµε είναι γνωστή ως εξίσωση κύµατος µε απόσβεση. Ο δευτερος όρος στο δεξί µέρος ευθύνεται για την απόσ- ϐεση του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος όταν αυτό διαδίδεται µέσα σε αγωγιµό υλικό (σ 0). Πρόβληµα 8.13: Σωµατίδιο µάζας m και ϕορτίου q εισέρχεται µε ταχύτητα v = (v x,v y,0) µέσα σε σταθερό και οµογενές µαγνητικό πεδίο (B = B 0 ê z.) Η δύναµη που ασκεί το µαγνητικό πεδίο στο ϕορτίο έχει τη µορφή F = v B/c. Αγνοήστε το πεδίο ϐαρύτητας και: Αποδείξτε ότι 1. Η κινητική του ενέργεια παραµένει αµετάβλητη. 2. Μελετήστε το είδος τις τροχιάς του. (Υπόδειξη: Η εξίσωση κίνησης του απλού εκρεµούς, όταν αποµακρυνθεί λίγο από το σηµείο ισορροπίας, έχει τη µορφή d 2 φ dt 2 + ω2 φ = 0, όπου φ είναι η γωνία που σχηµατίζει ο κατακόρυφος άξονας µε το σχοινί πάνω στο οποίο είναι δεµένη η µάζα του εκκρεµούς και ω είναι η χαρακτηριστική συχνότητα ταλάντωσης του εκκρεµούς. Η λύση της εξίσωσης αυτής έχει τη µορφή φ = asin(ωt + ϕ), όπου a είναι το πλάτος της ταλάντωσης και ϕ η αρχική ϕάση. Αν καταφέρετε να µετατρέψετε την εξίσωση κίνησης του ϕορτίου µέσα στο µαγνητικό πεδίο σε µορφή ανάλογη του αρµονικού ταλαντωτή ϑα είναι εύκολο στη συνέχεια και λύσετε το πρόβληµα.) Απόδειξη: Η κίνηση του ϕορτίου µέσα στο µαγνητικό πεδίο περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση m dv dt = qv B. c Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της εξίσωσης µε την ταχύτητα έ- χουµε mv dv dt = qv v B c = 0. άρα d(mv 2 /2) = 0. Η κινητική ενέργεια παραµένει αναλλοίωτη. Η εξίσωση κίνησης αναλύεται σε δύο συνιστώσες m dv x dt = qv yb 0 c

284 Εφαρµογές σε ϕυσικά προβλήµατα m dv y dt = qv xb 0. c Παραγωγίζοντας την πρώτη ως πρός το χρόνο και κάνοντας χρήση της δεύτερης καταλήγουµε στη σχέση d 2 v x dt = q2 B 2 0 c 2 m 2v x = Ω 2 v x. Κάνοντας τα ίδια ϐήµατα καταλήγουµε σε µία ανάλογη εξίσωση για το v y. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι η κίνηση είναι ανάλογη του αρµονικού ταλαντωτή µε συχνότητα ταλάντωσης Ω. Η κίνηση του ϕορτίου ϑα αποτελεί τη σύζευξη δύο αρµονικών ταλαντώτών µε το ίδιο πλάτος και συχνότητα, άρα ϑα είναι κυκλική στο επίπεδο (x,y). Πρόβληµα 8.14: Στη ϑερµοδυναµική η πίεση P, ο όγκος V, η ϑερµοκρασία T, και η εσωτερική ενέργεια U συνδέονται µε δύο εξισώσεις και, έτσι, δύο από αυτές τις ποσότητες µπορούν να επιλεγούν ως εξαρτηµένες σε σχέση µε τις άλλες. Αν οι V και T επιλεγούν ανεξάρτητες, δηλαδή P = P(V,T) και U = U(V,T), τότε ο δεύτερος νόµος της ϑερµοδυναµικής παίρνει τη µερφή P + ( U V ) T T ( P T ) V = 0 (8.15) όπου ( U/ V ) T σηµαίνει U(V,T)/ V, µε παρόµοια έκφραση για την άλλη µερική παράγωγο. Βρείτε µια ισοδύναµη µορφή αυτού του νόµου αν τα V και P ϑεωρηθούν ανεξάρτητες, δηλαδή αν T = T(V,P) και U = U(V,P). Απόδειξη: Οταν τα T και U εξαρτώνται από τα V και P, τότε έχουµε ( ) ( ) T T dt = dv + dp V F P V ( ) ( ) U U du = dv + dp V F P V Επειδή τα U και P είναι οι αρχικές εξαρτηµένες µεταβλητές, λύνουµε αυτές τις εξισώσεις ως προς τα διαφορικά du και dp. Ετσι dp = dt ( ) T V P ( dv T ) P V

8.2 Λυµένα προβλήµατα 285 du = ( U P )V (U,T) dt + ) ( T P (V,P) dv V Από την άλλη πλευρά, αν τα P και U εξαρτώνται από τα T και V, µ- πορούµε επίσης να έχουµε ( ) ( ) P P dp = dt + dv T V V T ( ) ( ) U U du = dt + dv T V V T Εξισώνοντας τα διαφορικά dp και du και επειδή τα dt και dv µπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιµή, ϐρίσκουµε ( ) P T V = 1 ( T ), P V ( ) U V T = (U,T) (V,P) ( T ) P V Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην (8.15), παίρνουµε ( ) T P + (U,T) P V (V,P) T = 0 Πρόβληµα 8.15: Η κίνηση του ιδανικού ϱευστού µέσα σε ϐαρυτικό πεδίο (F = ρgê z ) περιγράφεται από την εξίσωση ρ du dt = P gρê z, όπου ρ, είναι η πυκνότητα του ϱευστού, P(x,y,z) είναι η πίεση του ϱευστού, u είναι η ταχύτητα και g η επιτάχυνση της ϐαρύτητας. είξτε ότι η ποσότητα 1 2 ρu2 + P + ρgz =σταθερή. Λύση : Πολλάπλασιάζουµε την εξίσωση κίνησης του ϱευστού µε u και έχουµε ( ) d 1 dt 2 ρu2 = u P ρgu z = dp dt d(ρgz) dt ή ( ) d 1 dt 2 ρu2 + P + ρgz = 0

286 Εφαρµογές σε ϕυσικά προβλήµατα άρα η ποσότητα 1 2 ρu2 + P + ρgz παραµένει σταθερά κατά µήκος της τροχιάς (είναι ολοκλήρωµα της κίνησης, γνωστός ως νόµος του Bernoulli) του ϱευστού. Πρόβληµα 8.16: Η απώλεια ϑερµότητας Q σ έναν αγωγό, αντίστασης R, από τον οποίο περνάει ϱεύµα σταθερής έντασης I, είναι Q = I 2 R. Πώς πρέπει να διακλαδωθεί το ϱεύµα σε τρεις αγωγούς, αντιστάσεων R 1,R 2 και R 3 αντίστοιχα (ϐλέπε Σχ. 8.3), ώστε η απώλεια της ϑερµότητας να είναι ελαχίστη ; É 1 R 1 É R É 2 2 R É 3 3 Σχήµα 8.3. Η διακλάδωση του ϱεύµατος στους τρεις αγωγούς. Απόδειξη: Το ϱεύµα I διακλαδίζεται στους τρεις αγωγούς, I = I 1 + I 2 + I 3 και η ϑερµότητα που ϑα καταναλωθεί ϑα είναι Q(I 1,I 2,I 3 ) = I 2 1R 1 + I 2 2R 2 + I 2 3R 3. Το Ϲητούµενο είναι να ϐρεθεί το ελάχιστο της συνάρτησης Q µε τον περιορισµό I 1 + I 2 + I 3 = I =σταθερό ή Q = I 2 1 R 1 + I 2 2 R 2 + (I I 1 I 2 ) 2 R 3. Βρίσκουµε τα στάσιµα σηµεία απο τις σχέσεις Q I 1 = 2I 1 R 1 2(I I 1 I 2 )R 3 = 0 Q I 2 = 2I 2 R 2 2(I I 1 I 2 )R 3 = 0. Τα στάσιµα σηµεία είναι I 1 = IR R 1,I 2 = IR R 2,I 3 = IR R 3 και η ελάχιστη τιµή της Q είναι Q min = I 2 R όπου

8.2 Λυµένα προβλήµατα 287 1 R = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3. Πρόβληµα 8.17: Το Ουράνιο τόξο είναι ένα πανέµορφο ϕυσικό ϕαινόµενο. Από την αρχαιότητα προβληµάτισε τους επιστήµονες και ο Αριστοτέλης ήταν ο πρώτος που κατάλαβε ότι προέρχεται από τη διάθλαση των ηλιακών ακτινών µέσα από τα σταγονίδια της ϐροχής. Αργότερα απασχόλησε πολλούς διακεκριµένους ερευνητές µεταξύ αυτών τον Descartes, τον Νεύτωνα και άλλους. Μια ενδιαφέρουσα ανάλυση υπάρχει στο ϐιβλίο του Carl B. Boxer (εκδόσεις Princeton University Press ). Το ορατό ϕως περιέχει όλα τα χρώµατα και κάθε χρώµα µπορεί να ϑεω- ϱηθεί ως µονοχρωµατικό κύµα. Αν το µονοχρωµατικό κύµα πέσει πάνω σε µία σταγόνα νερού µε γωνία i ϑα διαθλασθεί µέσα στη σταγόνα και ϑα διαδοθεί µε γωνία r. Οι γωνίες i και r συνδέονται µε το δείκτη διάθλασης n του νερού µε τη σχέση (Νόµος του Snell ) n = sin i sin r. Ο δείκτης διάθλασης είναι ίσος µε το λόγο της ταχύτητας ϕωτός στο κενό προς τη ταχύτητα του ϕωτός στο νερό (n = c/v). Οι τιµές του δείκτη διάθλασης κυµαίνονται µεταξύ του 1.33 για το ερυθρό µέχρι 1.342 για το ιώδες. Το µονοχρωµατικό κύµα ανακλάται στο εσωτερικό της σταγόνας και εξέρχεται µε γωνία θ η οποία συνδέεται µε τις γωνίες i,r µε τη σχέση (ϐλέπε Σχ. 8.4) i A r ð-r r r è/2 è/2 C r i-r i Σχήµα 8.4. Στο τρίγωνο ABC ισχύει (i r) + (π r) + θ/2 = π και έτσι θ = 4r 2i.

288 Εφαρµογές σε ϕυσικά προβλήµατα θ = 4r 2i. Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις έχουµε ( ) sini θ(i,r,n) = 4arcsin 2i. n Οι ακτίνες του ϕωτός που έρχονται από τον Ηλιο ταξιδεύουν σχεδόν σε παράλληλες τροχιές. Το µάτι µας ϐλέπει το ϕως που ανακλάται από µια σταγόνα µέσα από µια µικρή γωνία (ϐλέπε Σχ. 8.5). Το 1637 ο Descartes απέδειξε ότι το µάτι ϐλέπει εντονότερα τα χρώµατα για τα οποία ισχύει ( θ/ i 0). Να ϐρεθεί η γωνία i n για την οποία ισχύει Þëéïò óôáãþíá ìüôé Σχήµα 8.5. Οι ακτίνες του Ηλιου που ανακλόνται στις σταγόνες ϕτάνουν στο µάτι από µια µικρή γωνία. θ(i,r;n) i = 0 για κάθε τιµή του n. Απόδειξη: Η παράγωγος ως προς i της συνάρτησης θ(i,r) είναι θ(i, r) i = 4 cos i n 1 sin2 i n 2 2 = 4 cos i n 2 sin 2 i 2 = 0 άρα sini = (4 n 2 )/3 και

8.2 Λυµένα προβλήµατα 289 i n = arcsin( (4 n 2 )/3). Εάν ο δείκτης διάθλασης κυµαίνεται µεταξύ 1.33(κόκκινο)< n < 1.342(ιώδες) τότε 58.9 0 (κόκκινο)< i n < 59.6 0 (ιώδες) και 40.8 0 (κόκκινο)< θ < 42.5 0 (ιώδες). Από το αποτέλεσµα αυτό συµπεραίνουµε ότι για να δούµε το ουράνιο τόξο πρέπει ο Ηλιος να ϐρίσκεται σε ύψος µεγαλύτερο από 42.5 0 πάνω από τον ορίζοντα. Πρόβληµα 8.18: Υπολογίστε τη σειρά µε την οποία εµφανίζονται τα χρώµατα στο ουράνιο τόξο. Λύση: Θα πρέπει να αναλύσουµε τη συνάρτηση ( ) sinin f(n) = θ(n,i n ) = 4arcsin 2i n. n Παραγωγίζοντας ως προς το n έχουµε df dn = 2 n tan i n άρα η θ(n,i n ) είναι ϕθίνουσα συνάρτηση του n. Η θ(n,i n ) είναι µικρότερη όταν το n είναι µέγιστο (στο ιώδες) και ελάχιστη όταν το n είναι µικρότερο (στο κόκκινο). Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι, το ουράνιο τόξο εµφανίζει το κόκκινο στο ψηλότερο σηµείο και το ιώδες στο χαµηλότερο. Σηµείωση: Μερικές ϕορές εµφανίζεται και δευτερεύον ουράνιο τόξο πάνω από το πρωτεύον. Αυτό οφείλεται στις ακτίνες που ανακλώνται δύο ϕορές µέσα στη σταγόνα πριν εξέλθουν. Στη περίπτωση αυτή τα χρώµατα εµφανίζονται µε την αντίθετη ϕορά (το ιώδες στο ψηλότερο σηµείο και το κόκκινο στο χαµηλότερο. Αναλύστε το πρόβληµα αυτό αν γνωρίζεται ότι για το δευτερεύον η γωνία θ(n,i) έχει τη µορφή θ(n,i) = 2π + 2i 6arcsin ( ) sini n. Πρόβληµα 8.19: Αν υποθέσουµε ότι µπορούµε να προσοµοιώσουµε ένα ϐακτήριο µε κύλινδρο ακτίνας r και ύψους h, που είναι σκεπασµένος και στις δύο πλευρές µε ηµισφαίρια. Ο ϱυθµός R µε τον οποίο ένα χηµικό στοιχείο απορροφάται απο το ϐακτήριο δίδεται από τη σχέση R = σ(s/v ), όπου S είναι η επιφάνεια, V ο όγκος του και σ σταθερά. είξτε ότι µικρή αύξηση του πάχους ή του µήκους του ϐακτηρίου ϑα ελαττώσει την απορρόφηση του χηµικού στοιχείου. Απόδειξη: Ο όγκος και η επιφάνεια του ϐακτηρίου είναι αντίστοιχα V = πr 2 h + 2(2πr 3 /3) = πr 2 (h + 4r/3)

290 Εφαρµογές σε ϕυσικά προβλήµατα και άρα S = 2πrh + 2(2πr 2 ) = 2πr(h + 2r) 2πr(h + 2r) R = σ πr 2 (h + 4r/3) = σ 6(h + 2r) 3hr + 4r 2. Η παράγωγος ως προς r και h της R είναι και R r = 48σhr 18σh2 48σr 2 (3hr + 4r 2 ) 2 < 0 R h = 12σr2 (3hr + 4r 2 ) 2 < 0. Ο ϱυθµός απορρόφησης είναι αρνητικός όταν αυξηθεί η ακτίνα ή το µήκος του ϐακτηρίου. Σχόλιο: Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι το σχήµα και το µέγεθος των περισσοτέρων ϐακτηρίων δεν είναι τυχαίο! Πρόβληµα 8.20: Ο τρόπος δηµιουργίας των σχηµάτων στα ϕτερά της πεταλούδας αποτελεί ένα ενδιαφέρον πρόβληµα. Εχει προταθεί ότι εξαρτάται από το επίπεδο συγκέντρωσης ενός συγκεκριµένου χηµικού στοιχείου. Τα µαθηµατικά µοντέλα που έχουν προταθεί υποθέτουν ότι το χηµικό στοιχείο ξεκινά από µια µικρή περιοχή γύρο από το σηµείο r = 0 και η συγκέντρωση t µέρες αργότερα στο σηµείο r περιγράφεται από τη συνάρτηση S(r,t) = 1 4πt exp[ (γkt + r2 4t )] όπου r είναι η απόσταση από το σηµείο που ξεκίνησε το χηµικό στοιχείο και γ,k είναι ϑετικές σταθερές. (α). Υπολογίστε το µέγιστο της συγκέντρωσης S(r, t) σε συγκεκριµένο σηµείο r 0. (ϐ). Αν η συγκέντρωση ϕτάνει σε συγκεκριµένο σηµείο r στο µέγιστο τη χρονική στιγµή t m, τότε να ϐρεθεί η µορφή της συνάρτησης M(r) = S(r,t m ) ως συνάρτηση της νέας παραµέτρου z = (1+4kγr 2 ) 1/2. (γ). είξτε ότι (dm/dr) < 0 και δικαιολογείστε το αποτέλεσµα. (Σηµείωση: Αναζητήστε περισσότερες πληροφορίες στο ϐιβλίο του J.D. Murray "Mathematical Biology", 2 nd Edition, Springer Verlag, N.Y., 1993, p. 464).

8.2 Λυµένα προβλήµατα 291 Απόδειξη: Παραγωγίζοντας την συνάρτηση S(r,t) ως προς t διατηρώντας το r = r 0 =σταθερό έχουµε S e (γkt+r2 t = 0 /4t) [ r0 2 + 2t + 4γt2 ] 8 = 0. πt 5 Βρίσκουµε ότι η συγκέντρωση γίνεται µεγίστη στο σηµείο r 0 τη χρονική στιγµή t m = 1 + 1 + 4r0 2γk. 4γk Αντικαθιστώντας την τιµή αυτή στο S υπολογίζουµε τη µέγιστη συγκέντρωση σε κάθε σηµείο της επιφάνειας του ϕτερού της πεταλούδας, kγ e z M(r) = S(r,t m ) = π z 1 όπου z = 1 + 4kγr 2 παραµένει µεγαλύτερη της µονάδας. Η συνάρτηση M είναι ϕθίνουσα συνάρτηση του r. Η µεγίστη συγκέντρωση ϕθίνει όσο αποµακρυνόµαστε από το κέντρο. Πρόβληµα 8.21: Είναι λογικό να υποθέσουµε ότι αν αυξηθεί ο ϕόρος σε ένα συγκεκριµένο προϊόν ϑα ελαττωθεί η κατανάλωση του. Ας δούµε όµως πως ϑα µπορούσαµε να υποστηρίξουµε ποσοτικά τον παραπάνω συλλογισµό µε τη χρήση ενός απλού µαθηµατικού µοντέλου. Εστω ότι για κάθε x 0 η συνάρτηση P 0 (x) περιγράφει τα κέρδη πριν κρατηθούν οι ϕόροι και P(x,t) περιγράφει τα κέρδη πριν µετά από τους ϕόρους για x παραγόµενες µονάδες του προϊόντος όταν t είναι οι ϕόροι που κρατάµε στο καθένα. Αν για κάθε τιµή του t η εταιρεία µεγιστοποιεί τα κέρδη της από το προϊόν x παράγοντας x = f(t) µονάδες. ηλαδή ισχύουν οι σχέσεις και P(f(t),t) x = 0 2 P(f(t),t) x 2 < 0 είξτε ότι αν ισχύουν οι παραπάνω σχέσεις τότε το f (t) είναι πάντα αρνητικό, άρα ο ϱυθµός παραγωγής µειώνεται όταν αυξηθούν οι ϕόροι για ένα συγκεκριµένο προϊόν. Απόδειξη: Επειδή ο ϕόρος για κάθε µονάδα προϊόντος είναι t, ο ολικός ϕόρος είναι xt και το κέρδος P(x,t) = P 0 (x) xt άρα

2r 292 Εφαρµογές σε ϕυσικά προβλήµατα και P(x,t) x = P 0(x) t 2 P(x,t) x 2 = P 0 (x). Επίσης γνωρίζουµε ότι ή P(f(t),t) x = P 0(f(t)) t = 0 P 0 (f(t))f (t) 1 = 0. Από τη παραπάνω σχέση συµπεραίνουµε ότι f (t) = 1 0 (f(t)) = 1 P 2 P(x,t) x 2 < 0. Πρόβληµα 8.22: Στο διαµέρισµα µιας πολυκατοικίας χρειάζονται ένα κυλινδρικό δοχείο για αποθήκευση λαδιού, µε ακτίνα r και ύψος l. Για να ϕτάσει στο διαµέρισµα πρέπει να περάσει από διάδροµο που έχει σταθερό πλάτος 3m και σε ένα σηµείο σχηµατίζει γωνία 90 0. Υπολογίστε τις διαστάσεις του κυλίνδρου για να µπορεί να περάσει από το δύσκολο σηµείο του διαδρόµου. 2r ð/4 3ì l/2 3ì Σχήµα 8.6. Το κυλινδρικό δοχείο που περιγράφεται στο πρόβληµα 8.20. Απόδειξη: Ο όγκος του κυλίνδρου είναι V = 4πr 2 l όπου τα r και l είναι ϑετικά. Επειδή επίσης (ϐλέπε Σχ. 8.6) ισχύει ο περιορισµός g(r, l) = 2r + l/2 = 3/sec(π/4) = 3/ 2 ο µέγιστος όγκος υπολογίζεται από

8.2 Λυµένα προβλήµατα 293 τη σχέση V = λ g. Από τη σχέση αυτή ϐρίσκουµε r = l/2 και r = 2,l = 2 2. Ο µέγιστος όγκος που µπορεί περάσει στο διάδροµο έχει διάµετρο 2 µέτρα και µήκος 2 2 µέτρα. Πρόβληµα 8.23: Εάν η ελάχιστη ενέργεια Ε ενός σωµατιδίου µάζας m µέσα σε ένα κουτί σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µε ακµές (x,y,z) είναι E(x,y,z) = h2 8m ( 1 x 2 + 1 y 2 + 1 ) z 2 όπου h σταθερά. Υποθέτοντας ότι ο όγκος V παραµένει σταθερός, ϐρείτε τις τιµές των x,y,z για να ελαχιστοποιηθεί η τιµή της E. Απόδειξη: Ο όγκος του κουτιού είναι V = xyz = c=σταθερός. Θα πρέπει η συνάρτηση E(x,y,z) να γίνει ελαχίστη µε τον περιορισµό ότι ο όγκος ϑα παραµένει σταθερός. Άρα ισχύει E = λ V ή x 2 = y 2 = z 2 = h 2 /(4mcλ). Οι Ϲητούµενες διαστάσεις του κουτιού είναι x = y = z = 3 c.

294 Εφαρµογές σε ϕυσικά προβλήµατα

9. Παράρτηµα Α - ιανυσµατικές ταυτότητες Αν f(x,y,z) και g(x,y,z) είναι αριθµητικές συναρτήσεις και A(x, y, z), B(x, y, z) είναι διανυσµατικές συναρτήσεις τότε ισχύουν οι ταυτότητες. 1. (fg) = (gf) = f g + g f 2. (fa) = f A + A f 3. (fa) = f A + f A 4. (A B) = B A A B 5. (A B) = A( B) B( A) + (B )A (A )B 6. A ( B) = ( B) A (A )B 7. (A B) = A ( B) + B ( A) + (A )B + (B )A 8. 2 f = f 9. 2 A = ( A) A 10. f = 0 11. A = 0 Συµπληρωµατικές σχέσεις 1. r = xê x + yê y + zê z, (r = r ) 2. r = 3 3. r = 0 4. r = r ( ) r 1 5. = r r r 3 9.1 ιαφορικοί τελεστές 9.1.1 α. Κυλινδρικές συντεταγµένες (r, ϑ, z) Απόκλιση

296 Παράρτηµα Α - ιανυσµατικές ταυτότητες Κλίση Στροφή A = 1 r r (ra r) + 1 A θ r θ + A z z ( f) r = f r, ( f) θ = 1 f r θ, ( f) z = f z ( A) r = 1 r A z θ A θ z ( A) θ = A r z A z r ( A) z = 1 r Λαπλασιανή 2 f = 1 r Λαπλασιανή διανύσµατος r (ra θ) 1 A r r θ r (r f r ) + 1 r 2 2 f θ 2 + 2 f z 2 ( 2 A) r = 2 A r 2 A θ r 2 θ A r r 2 ( 2 A) θ = 2 A θ + 2 A r r 2 θ A θ r 2 ( 2 A) z = 2 A z Συνιστώσες του (A )B B r (A B) r = A r r + A θ B r r θ + A B r z z A θb θ r B θ (A B) θ = A r r + A θ B θ r θ + A B θ z z + A θb r r B z (A B) z = A r r + A θ B z r θ + A B z z z

9.1 ιαφορικοί τελεστές 297 ϐ. Σφαιρικές Συντεταγµένες (r, ϑ, ϕ). Απόκλιση Κλίση Στροφή A = 1 r 2 r (r2 A r ) + 1 r sinθ θ (sin θa θ) + 1 A φ r sinθ φ ( f) r = f r, ( f) θ = 1 f r θ, ( f) φ = 1 f r sin θ φ ( A) r = 1 r sin θ θ (sin θa φ) 1 A θ r sin θ φ ( A) θ = 1 A r r sin θ φ 1 r (ra φ) ( A) φ = 1 r Λαπλασιανή 2 f = 1 r 2 r Λαπλασιανή διανύσµατος r (ra θ) 1 A r r θ ( r 2 f ) + 1 r r sin θ ( sinθ f ) + θ θ 1 2 f r 2 sin θ φ 2 ( 2 A) r = 2 A r 2A r r 2 2 A θ r 2 θ 2cot θa θ 2 A φ r 2 r 2 sin θ φ ( 2 A) θ = 2 A θ + 2 A r r 2 θ A θ r 2 sin 2 θ 2cos θ A φ r 2 sin 2 θ φ ( 2 A) φ = 2 A φ A φ r 2 sin 2 θ + 2 A r r 2 sin 2 θ φ + 2cos θ A θ r 2 sin 2 θ φ Συνιστώσες του (A )B B r (A B) r = A r r + A φ B r r θ + A φ B r r sin θ φ A θb θ + A φ B φ r B θ (A B) θ = A r r + A θ B θ r θ + A φ B θ r sin θ φ + A θb r cot θa φb φ r r B φ (A B) φ = A r r + A θ B φ r θ + A φ B φ r sinθ φ + A φb r + cot θa φb θ r r

298 Παράρτηµα Α - ιανυσµατικές ταυτότητες

10. Παράρτηµα Β - Mathematica 10.1 Εισαγωγή 10.1.1 Βασικοί κανόνες σύνταξης Τα ορίσµατα όλων των συναρτήσεων στο Mathematica πρέπει να περιέχονται σε αγκύλες [...]. Οι παρενθέσεις (...) χρησιµοποιούνται για οµαδοποιήσεις, ενώ τα διανύσµατα, οι λίστες και οι πίνακες δίνονται σε άγκιστρα {...}. Επόσης χρησιµοποιούνται τα ακόλουθα σύµβολα (...) Παρενθέσεις για οµαδοποιήσεις όρων. f[x] Αγκύλες για συναρτήσεις. {a,b,c} Άγκιστρα για λίστες, διανύσµατα. Τα ονόµατα των ενσωµατωµένων συναρτήσεων και µεταβλητών στο Mathematica αρχίζουν µε κεφαλαίο γράµµα, όπως και όλων των εντολών. Αν τα ονόµατα αποτελούνται από περισσότερες λέξεις, τότε µε κεφαλαίο γράµµα αρχίζει κάθε µία από αυτές (π.χ. FullSimplify). Ο πολλαπλασιασµός εκτός από το σύµβολο * συµβολίζεται και µε ένα κενό µεταξύ των πολλαπλασιαστέων. Το ερωτηµατικό στο τέλος µιας εντολής αποτρέπει την εµφάνιση του αποτελέσµατος αυτής της εντολής. 10.1.2 Βασικές συναρτήσεις Το Mathematica περιλαµβάνει ένα µεγάλο αριθµό ενσωµατωµένων συναρτήσεων και σταθερών. Εδώ παραθέτουµε τις ϐασικότερεσ: Είναι σηµαντικό να ϑυµώµαστε ότι τα ορίσµατα των συναρτήσεων ϐρίσκονται µέσα σε αγκύλες και όχι σε παρενθέσεις και ότι οι ενσωµατωµένες συναρτήσεις και σταθερές της Mathematica αρχίζουν µε κεφαλαίο γράµµα.

300 Παράρτηµα Β - Mathematica Πίνακας 10.1. Βασικές ενσωµατωµένες σταθερές Pi π 3.14159 E e 2.71828 Degree π/180 Infinity Πίνακας 10.2. Βασικές ενσωµατωµένες συναρτήσεις Sqrt[x] Τετραγωνική ϱίζα ( x) Exp[x] Εκθετική συνάρτηση (e x ) Log[x] Log[b, x] Abs[x] Sin[x], Cos[x], T an[x] Csc[x], Sec[x], Cot[x] ArcSin[x], ArcCos[x] ArcT an[x], ArcCsc[x] ArcSec[x], ArcCot[x] Sinh[x], Cosh[x], T anh[x] Csch[x], Sech[x], Coth[x] ArcSinh[x], ArcCosh[x] ArcT anh[x], ArcCsch[x] ArcSech[x], ArcCoth[x] Νεπέρειος λογάριθµος Λογάριθµος µε ϐάση b Απόλυτη τιµή Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Αντίστροφες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Υπερβολικές συναρτήσεις Αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις Υπολογίζουµε τις παρακάτω ποσότητες, οι οποίες περιλαµβάνουν τα lne 7, log 10 100, 100, 8, Sin π 2, Cos(0) και log 2256. (Log[E 7] + Log[10, 100]) Sqrt[100] + Abs[ 8] 98 (Sin[Pi/2] + Cos[0Degree])/Log[2, 256] 1 4

10.1 Εισαγωγή 301 10.1.3 Ορισµός µεταβλητών Είναι χρήσιµο στο Mathematica, όπως και σε άλλα όµοια προγράµµατα να αναθέτουµε σε µια µεταβλητή µία τιµή ή το αποτέλεσµα µιας εντολής. x = value Αν για παράδειγµα αναθέσουµε στη µεταβλητή x την τιµή 5. x = 5 5 Οποτε αναφέρουµε το x το Mathematica αντικαθιστά την τιµή 5. x 2 25 Το x συνεχίζει να έχει την τιµή 5, έως ότου ο χρήστης αποφασίσει να την αλλάξει.?x Global x x = 5 Επίσης µπορούµε να αναθέσουµε µία νέα τιµή στο x η οποία αντικαθιστά την προηγούµενη. x = 7 +4 11 Τώρα το x έχει την τιµή 11.?x Global x x = 11 Είναι σηµαντικό να κατανοήσουµε ότι, οι τιµές που αναθέτουµε σε µεταβλητές είναι µόνιµες και παραµένουν µέχρι να απαλλείψουµε τις

302 Παράρτηµα Β - Mathematica µεταβλητές ή να τις αφαιρέσουµε. Είναι ϕυσικό ϐέβαια ότι οι τιµές των µεταβλητών χάνονται όταν επανεκκινείται το Mathematica. Για να αποφεύγονται λοιπόν λάθη, είναι προτιµότερο να αφαιρούµε τις τιµές των µεταβλητών που έχουµε ορίσει όταν τελειώσουµε την εργασία µαζί τους ή να απαλλείφουµε τις µεταβλητές πριν τις χρησιµοποιήσουµε. Μ- πορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις εξής εντολές του Mathematica. Clear[x] x=. Remove[x] Καθαρισµός της τιµής της µεταβλητής x Αφαίρεση της τιµής της µεταβλητής x Αφαίρεση της µεταβλητής x Εστω ότι, ορίζουµε τη µεταβλητή y που έχει τιµή y = 16 + Sin120 o. y = Sqrt[16] + Sin[120Degree] 4 +?y 3 2 Global y y = 4 + Sqrt[3]/2 Αν χρησιµοποιήσουµε την εντολή Clear, η µεταβλητή y ϑα παραµείνει στο σύστηµά µας, αλλά ϑα της αφαιρεθεί η τιµή. Clear[y]?y Global y Ορίζουµε τη µεταβλητή x = y + 15 όπου το y είναι σύµβολο. x = y +15 15 + y

10.1 Εισαγωγή 303 Η εντολή x=. εκτελεί την ίδια λειτουργία µε την εντολή Clear. x =.?x Global x Ορίζουµε τη µεταβλητή z µε τιµή 52. z = 52 52?z Global z z = 52 Η εντολή Remove όχι απλώς αφαιρεί την τιµή της µεταβλητής από το σύστηµα, αλλά και την ίδια τη µεταβλητή. Remove[z]?z Information :: notfound : Symbol z not found. Οι µεταβλητές που ορίζουµε µπορούν να έχουν σχεδόν οποιοδήποτε όνο- µα. Είναι όµως προτιµότερο να αρχίζει µε µικρό γράµµα. 10.1.4 Πληροφορίες για τις εντολές του Mathematica Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να αντλήσουµε πληροφορίες για εντολές και συναρτήσεις του Mathematica. 1.?αντικείµενο Η εντολή?αντικείµενο µας δίνει γενικές πληροφορίες για το συγκεκριµένο αντικείµενο. Η λειτουργία της εντολής Simplify είναι η απλοποίηση εκφράσεων.

304 Παράρτηµα Β - Mathematica?Simplify "Simplify[expr] performs a sequence of algebraic transformations on expr, and returns the simplest form it finds." 2. Options[αντικείµενο] Με την εντολή Options[αντικείµενο] παίρνουµε πληροφορίες για τα χαρακτηριστικά και τις επιλογές του αντικειµένου (αν υπάρχουν) και τις τρέχουσες τιµές τους. Options[Simplify] {ComplexityFunction Automatic, TimeConstraint 300, Trig True} 3.??αντικείµενο ή Information[αντικείµενο] Με την εντολή??αντικείµενο ή Information[αντικείµενο] παίρνουµε όλες τις πληροφορίες πάνω στο συγκεκριµένο αντικείµενο δηλ. αυτές που µας δίνουν µαζί οι εντολές?αντικείµενο και Options[αντικείµενο].??Simplify "Simplify[expr] performs a sequence of algebraic transformations on expr, and returns the simplest form it finds." Attributes[Simplify] = {Protected} Options[Simplify] = {ComplexityFunction Automatic, TimeConstraint 300,Trig True} Information[Simplify] "Simplify[expr] performs a sequence of algebraic transformations on expr, and returns the simplest form it finds." Attributes[Simplify] = {Protected} Options[Simplify] = {ComplexityFunction Automatic, TimeConstraint 300,Trig True}

10.1 Εισαγωγή 305 4. Names[ όνοµα ] Η εντολή Names[ όνοµα ] εµφανίζει όλα τα αντικείµενα που έχουν το όνοµα ονοµα. Η εντολή Names[ *όνοµα ] παρουσιάζει όλα τα αντικείµενα που το τελευταίο συνθετικό του ονόµατός τους είναι όνοµα κ.τ.λ. Names[ Simplify ] {Simplify} Names[ Simplify ] {FullSimplify, Simplify} 5. Η εντολή?αντικείµενο µπορεί να χρησιµοποιείται σε συνδυασµό µε το χαρακτήρα *.?PlotR PlotRange PlotRegion? dplot FilledPlot ListFilledPlot 10.1.5 Πακέτα του Mathematica Αν και το Mathematica περιλαµβάνει της πολλές ενσωµατωµένες εντολές και συναρτήσεις, συνοδεύεται και από πακέτα τα οποία περιέχουν πρόσ- ϑετες εντολές και πρέπει να ϕορτωθούν στο Mathematica πριν χρησι- µοποιηθούν. Τα πακέτα ϕορτώνονται µε την εντολή << directory packagename όπου directory είναι η τοποθεσία που ϐρίσκεται το πακέτο και packagename το όνοµα του πακέτου. Οταν ϕορτωθεί το πακέτο στο Mathematica µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε όλες τις εντολές που αυτό περιέχει.

306 Παράρτηµα Β - Mathematica Θέλουµε να χρησιµοποιήσουµε την εντολή FilledListPlot η οποία ϐρίσκεται στο πακέτο << Graphics F illedp lot. Αν χρησιµοποιήσουµε την εντολή πριν ϕορτώσουµε το πακέτο το Mathematica δεν την αναγνωρίζει.?filledlistplot Information::"notfound": "Symbol "FilledListPlot" not found." FilledListPlot[1, 3, 2, 5, 2] FilledListPlot[1,3,2,5,2 ] Φορτώνοντας το πακέτο << Graphics F illedp lot το οποίο περιέχει την εν λόγω εντολή, παρουσιάζονται πολλά µηνύµατα λάθους και αν εισάγουµε ξανά την εντολή το αποτέλεσµα παραµένει το ίδιο. << Graphics FilledPlot FilledListPlot::"shdw": "Symbol "FilledListPlot" appears in multiple contexts {"Graphics FilledPlot ", "Global "} ; definitions in context "Graphics FilledPlot " may shadow or be shadowed by other definitions.?filledlistplot "Global FilledListPlot" FilledListPlot[{1, 3, 2, 5, 2}] FilledListPlot[{1,3,2,5,2 }] Σε αυτό το σηµείο υπάρχουν δύο επιλογές : 1. Να επανεκκινήσουµε το Mathematica και να ϕορτώσουµε ξανά το πακέτο. 2. Να χρησιµοποιήσουµε την εντολή Remove για να αφαιρέσουµε την εντολή FilledListPlot και να ξαναπροσπαθήσουµε.

10.1 Εισαγωγή 307 Remove[FilledListPlot] Τώρα η Mathematica µας δίνει το επιθυµητό αποτέλεσµα?filledlistplot "FilledListPlot[data] generates a plot with the area between the x axis and the curve given by the data filled. FilledListPlot[data1, data2,...] generates a plot with the areas between the curves given by data1 and data2, data2 and data3, etc. filled. The shade of the fill and other specifications can be given by the Fills option." FilledListPlot[{1, 3, 2, 5, 2}]; Η εντολή Needs. Ενας άλλος τρόπος προσωρινής εισαγωγής ενός πακέτου ή ενός αρχείου εντολών στη Mathematica είναι η εντολή Needs. Needs[ Context ] Αν ϑέλουµε να χρησιµοποιήσουµε εντολές από το πακέτο PlotField, για παράδειγµα, και αυτή δεν έχει ϕορτωθεί καλούµε την εντολή Needs και στη συνέχεια έχουµε στη διάθεσή µας όλες τις εντολές του πακέτου. Needs[ Graphics PlotField ] Names[ Graphics PlotField ] { ListPlotVectorField, PlotGradientField, PlotHamiltonianField, PlotPolyaField, PlotVectorField }

308 Παράρτηµα Β - Mathematica 10.2 Αριθµητικοί και αλγεβρικοί υπολογισµοί 10.2.1 Αριθµητικές πράξεις Το Mathematica µπορεί να χρησιµοποιηθεί και ως απλή αριθµοµηχανή, αφού υποστηρίζει όλες τις αριθµητικές πράξεις. Πίνακας 10.3. Αριθµητικές πράξεις. x + y x y x y ή xy x/y x y Άθροισµα αριθµών Αφαίρεση αριθµών Πολλαπλασιασµός αριθµών ιαίρεση αριθµών Υψωση σε δύναµη Παράδειγµα: 2 (4.8 5.9 +9.56)/3 2 1.88 Υπενθυµίζουµε ότι, εκτός από το σύµβολο * που δηλώνει πολλαπλασιασµό και το κενό, εκτελεί ακριβώς την ίδια λειτουργία. 2 3 4 24 10.2.2 Ακριβή και προσεγγιστικά αποτελέσµατα Μία κλασσική αριθµοµηχανή πραγµατοποιεί όλους τους υπολογισµούς µε µία συγκεκριµένη ακρίβεια, για παράδειγµα µε ακρίβεια δέκα ψηφία. Με το Mathematica ωστόσο, µπορούµε να πάρουµε τις περισσότερες ϕορές πραγµατικά αποτελέσµατα. Το Mathematica δίνει ένα πραγµατικό αποτέλεσµα για τον αριθµό 2 100, αν και έχει 31 δεκαδικά ψηφία.

10.2 Αριθµητικοί και αλγεβρικοί υπολογισµοί 309 2 100 1267650600228229401496703205376 Επίσης µπορούµε να πάρουµε και προσεγγιστικά αποτελέσµατα χρησι- µοποιώντας στο τέλος της εντολής το //Ν. Η παρακάτω εντολή δίνει το προσεγγιστικό αριθµητικό αποτέλεσµα του 2 100. 2 100//N 1.26765 10 30 Ακόµη µπορούµε να προσδιορίσουµε και τα δεκαδικά ψηφία του προσεγγιστικού αποτελέσµατος. Ας δούµε σαν παράδειγµα τον υπολογισµό της σταθεράς π. N[Pi] 3.14159 N[Pi, 20] 3.1415926535897932385 Πίνακας 10.4. Αριθµητική τιµή έκφρασης. expr//n ή N[expr] N[expr,n] Προσεγγιστική αριθµητική τιµή της expr. Αριθµητική τιµή της expr υπολογιζόµενη µε ακρίβεια n ψηφίων. 10.2.3 Αλγεβρικοί υπολογισµοί Ενα από τα σηµαντικότερα χαρακτηριστικά του Mathematica είναι ότι µπορεί εξίσου καλά µε τους αριθµητικούς υπολογισµούς να κάνει και αλγεβρικούς, δηλαδή µπορεί να χειριστεί αλγεβρικές εκφράσεις όπως ακριβώς τους αριθµούς.

310 Παράρτηµα Β - Mathematica Για παράδειγµα η αλγεβρική έκφραση 3 x 2 x+2 4 x 2 γράφεται από το Mathematica ως εξής 2 x x 2 10.2.4 Χρησιµοποίηση προηγούµενων αποτελεσµάτων Οταν κάνουµε υπολογισµούς πολλές ϕορές χρειαζόµαστε κάποιο προηγούµενο αποτέλεσµα. Στο Mathematica το προηγούµενο αποτέλεσµα συµβολίζεται µε το σύµβολο %. Πίνακας 10.5. Συµβολισµοί προηγούµενων αποτελεσµάτων. % Το τελευταίο αποτέλεσµα που έχει παραχθεί %% Το προτελευταίο αποτέλεσµα %%... %(k ϕορές) Το k στο προηγούµενο αποτέλεσµα Εστω το πρώτο αποτέλεσµα. 77 +4 2 +5/6 563 6 Προσθέτουµε στο αποτέλεσµα αυτό τον αριθµό 10. % +10 623 6 Χρησιµοποιούµε τα δύο προηγούµενα αποτελέσµατα για να παράγουµε ένα νέο. 3 % + % 2 + %% 402721 36

10.2 Αριθµητικοί και αλγεβρικοί υπολογισµοί 311 10.2.5 Εξισώσεις Σε προηγούµενο υποκεφάλαιο αναφέραµε τον τελεστή = για την ανάθεση τιµής σε µία µεταβλητή. Εδώ ϑα δούµε τον τελεστή ==, ο οποίος ελέγχει αν δύο εκφράσεις είναι ίσες και δίνει αποτέλεσµα True ή False. Ελέγχουµε αν το 4 2 είναι 16 και το αποτέλεσµα είναι True. 4 2 == 16 True Είναι πολύ σηµαντική η διάκριση µεταξύ των τελεστών = και ==. Ο τελεστής = χρησιµοποιείται για την ανάθεση τιµής σε µια µεταβλητή, ενώ ο τελεστής == χρησιµοποιείται για τον έλεγχο της ισότητας δύο εκ- ϕράσεων. Πίνακας 10.6. Οι τελεστές = και ==. x = y Αναθέτει στη µεταβλητή x την τιµή y. x == y Ελέγχει αν τα x και y είναι ίσα. Αναθέτουµε στο x την τιµή 128. x = 128 128 Ελέγχουµε αν η τιµή του x είναι 128 και το αποτέλεσµα είναι αληθές. x == 128 True αλλά η τιµή του x είναι 128 και όχι 138 x == 138 False

312 Παράρτηµα Β - Mathematica Πίνακας 10.7. Σχετικοί Τελεστές. x == y Ισότητα µεταξύ x και y x! = y Ανισότητα (x y) µεταξύ x και y x > y x < y x >= y x <= y Μεγαλύτερο µεταξύ x και y Μικρότερο µεταξύ x και y Μεγαλύτερο ή ίσο x y µεταξύ x και y Μικρότερο ή ίσο x y µεταξύ x και y 10.2.6 Σχετικοί και λογικοί τελεστές Ελέγχουµε αν το 32 είναι µικρότερο από το 1 και το αποτέλεσµα είναι False. 32 < 1 False Οι αριθµοί 5, 6 και 8 είναι άνισοι και παίρνουµε την τιµή True. 5! = 6! = 8 True Οταν το Mathematica δεν γνωρίζει αν η πρόταση είναι αληθής ή ψευδής, τότε επιστρέφει την ίδια την πρόταση. x > y x > y Και οι δύο εκφράσεις δίνουν αποτέλεσµα True και το τελικό αποτέλεσµα είναι True. 7 > 4&&2! = 3 True Οι λογικοί τελεστές είναι όλοι διπλοί χαρακτήρες ==, &&,.

10.3 Μετατροπές αλγεβρικών εκφράσεων 313 Πίνακας 10.8. Λογικοί τελεστές.!p not p&&q&&... and (p q...) p q... or p q... Xor[p, q,...] exclusive or Ο τελεστής If αποτελεί εντολή υπό συνθήκη και προσφέρει δύο επιλογές. Στο παράδειγµα που ακολουθεί, αν η πρόταση είναι αληθής επιστρέφει x, αλλιώς επιστρέφει y. If[10 > 8,x,y] x Πίνακας 10.9. Ο τελεστής If. If[p,then, else] Αν το p είναι αληθές δίνει "then", ενώ αν το p είναι ψευδές δίνει "else". 10.3 Μετατροπές αλγεβρικών εκφράσεων 10.3.1 Μετατροπές πολυωνυµικών αλγεβρικών εκφράσεων Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι γραφής της ίδιας αλγεβρικής έκφρασης. Για παράδειγµα, η έκφραση (1 + x) 2 µπορεί να γραφεί 1 + 2x + x 2. Το Mathematica περιλαµβάνει ένα µεγάλο αριθµό εντολών για τη µετατροπή των αλγεβρικών εκφράσεων σε διάφορες µορφές. Η εντολή Expand αναπτύσσει µια αλγεβρική έκφραση σε άθροισµα όρων. Expand[(1 +x) 2]

314 Παράρτηµα Β - Mathematica Πίνακας 10.10. Εντολές µετατροπής πολυωνυµικών αλγεβρικών εκφράσεων. Expand[Expr] Factor[Expr] PowerExpand[Expr] Αναπτύσσει γινόµενα και δυνάµεις δίνοντας το αποτέλεσµα ως άθροισµα όρων Γράφει την έκφραση ως γινόµενο ελαχίστων παραγόντων Αναπτύσσει όλες τις δυνάµεις γινοµένων 1 + 2x + x 2 Η εντολή Factor δίνει γινόµενο παραγόντων και µετατρέπει την έκφραση στην προηγούµενη µορφή της. Factor[1 +2 x+x 2] (1 + x) 2 Η εντολή Factor συνήθως δίνει πιο απλοποιηµένες εκφράσεις, αλλά υπάρχουν και περιπτώσεις που το αποτέλεσµά της είναι αρκετά πολύπλοκο. Factor[x 10 1] ( 1 + x)(1 + x)(1 x + x 2 x 3 + x 4 )(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 ) Σ αυτή την περίπτωση η Expand δίνει την απλούστερη µορφή της έκ- ϕρασης. Expand[%] ( 1 + x 10 ) Το Mathematica δεν αναπτύσσει αυτόµατα µη-ακέραιες δυνάµεις γινοµένων.υπάρχει ειδική εντολή, η PowerExpand, η οποία εφαρµόζει τις ιδιότητες των δυνάµεων και αναπτύσσει τέτοιου είδους εκφράσεις. Sqrt[x y] xy PowerExpand[%] x y

10.3 Μετατροπές αλγεβρικών εκφράσεων 315 PowerExpand[Log[(x y) n]] n(log[x] + Log[y]) Οταν έχουµε εκφράσεις µιας µεταβλητής, τότε µπορούµε να τη γράψουµε ως άθροισµα παραγόντων, γινόµενο παραγόντων κ.τ.λ. Οταν όµως έχουµε εκφράσεις πολλών µεταβλητών, υπάρχει µια ευρήτερη επιλογή των πιθανών µορφών της έκφρασης. Το Mathematica διαθέτει επιπλέον εντολές για τη µετατροπή εκφράσεων πολλών µεταβλητών σε νέες µορ- ϕές. Πίνακας 10.11. Εντολές µετατροπής εκφράσεων πολλών µεταβλητών. Collect[Expr, x] Συγκεντρώνει ίδιες δυνάµεις του x. FactorTerms[Expr,x] Αφαιρεί όρους που δεν εξαρτώνται από το x. Εστω µια αλγεβρική έκφραση δύο µεταβλητών v = Expand[(3 +2 x) 2(x +2 y) 2] 9x 2 + 12x 3 + 4x 4 + 36xy + 48x 2 y + 16x 3 y + 36y 2 + 48xy 2 + 16x 2 y 2 Η εντολή Collect αναπτύσσει την έκφραση v ως προς x. Collect[v, x] 4x 4 + 36y 2 + x 3 (12 + 16y) + x 2 (9 + 48y + 16y 2 )+ x(36y + 48y 2 ) Εδώ ακολουθούµε την ίδια διαδικασία ως προς y. Collect[v, y] 9x 2 + 12x 3 + 4x 4 + (36x + 48x 2 + 16x 3 )y+ (36 + 48x + 16x 2 )y 2 Η εντολή Factor αφαιρεί τους παράγοντες της έκφρασης v που δεν εξαρτώνται από τη µεταβλητή y.

316 Παράρτηµα Β - Mathematica FactorTerms[v, y] (9 + 12x + 4x 2 )(x 2 + 4xy + 4y 2 ) 10.3.2 Απλοποίηση αλγεβρικών εκφράσεων Υπάρχουν πολλές περιπτώσεις που ϑέλουµε να γράψουµε µια αλγε- ϐρική έκφραση στην απλούστερη µορφή του Mathematica περιέχει δύο εντολές που απλοποιούν αλγεβρικές εκφράσεις χρησιµοποιώντας αλγε- ϐρικούς µετασχηµατισµούς. Πίνακας 10.12. Εντολές απλοποίησης αλγεβρικών εκφράσεων. Simplify[Expr] Προσπαθεί να ϐρει την απλούστερη µορφή της έκφρασης expr εφαρµόζοντας τυποποιηµένους αλγεβρικούς µετασχηµατισµούς FullSimplify[Expr] Προσπαθεί να ϐρει την απλούστερη µορφή της έκφρασης expr εκτελώντας συνθετότερες αλγεβρικές πράξεις Η εντολή Simplify γράφει την έκφραση x 2 + 2x + 1 σε παραγοντική µορφή, απλούστερη. Simplify[x 2 +2x +1] (1 + x) 2 Ενώ αφήνει την έκφραση x 10 1 σε παραγοντική µορφή, γιατί η ανεπτυγµένη µορφή της είναι πιο πολύπλοκη. Simplify[x 10 1] ( 1 + x 10 ) Η εντολή Simplify προσπαθεί µε τυποποιηµένους αλγεβρικούς µετασχη- µατισµούς να απλοποιήσει τη δοθείσα έκφραση. Ωστόσο, πολλές ϕορές η προσπάθειά της αποτυγχάνει και πρέπει να χρησιµοποιήσουµε την εντολή FullSimplify, η οποία έχει µεγαλύτερες δυνατότητες. Simplify[(x 2 +y 2)/(Sqrt[x 2 +y 2 +1] 1)]

10.3 Μετατροπές αλγεβρικών εκφράσεων 317 x 2 + y 2 1 + 1 + x 2 + y 2 Η εντολή Simplify δεν µπορεί να απλοποιήσει την έκφραση, αλλά η FullSimplify τη µετατρέπει σε µια απλούστερη µορφή. FullSimplify[(x 2 +y 2)/(Sqrt[x 2 +y 2 +1] 1)] 1 + 1 + x 2 + y 2 10.3.3 Μετατροπές ϱητών αλγεβρικών εκφράσεων Οι πολύπλοκες αλγεβρικές εκφράσεις µπορούν συνήθως να γραφούν µε πολλές µορφές. Το Mathematica παρέχει ένα µεγάλο αριθµό εντολών για τη µετατροπή εκφράσεων από τη µία µορφή στην άλλη. Οι πιο συνηθισµένες εντολές είναι οι Expand, Factor και Simplify. Υπάρχουν όµως και άλλες πιο εξειδικευµένες εντολές, αυτές µπορεί να χρησιµοποιηθούν για παράδειγµα σε ϱητές εκφράσεις και ϑα τις δούµε στη συνέχεια. Πίνακας 10.13. Εντολές µετατροπής ϱητών αλγεβρικών εκφράσεων. Numerator[expr] Denominator[expr] ExpandNumerator[expr] ExpandDecominator[expr] ExpandAll[expr] F actor[expr] Together[expr] Ο αριθµητής της έκφρασης. Ο παρονοµαστής της έκφρασης. Αναπτύσσει µόνο τους αριθµητές Αναπτύσσει µόνο τους παρονοµαστές Αναπτύσσει και τους αριθµητές και τους παρονοµαστές Παραγοντοποιεί αριθµητή και παρονο- µαστή Συγκεντρώνει όλους τους όρους µε κοινό παρονοµαστή Apart[expr] Χωρίζει την έκφραση σε κλάσµατα µε απλούς παρονοµαστές Cancel[expr] Απαλείφει τους κοινούς παράγοντες αριθµητή και παρονοµαστή

318 Παράρτηµα Β - Mathematica Εστω η ακόλουθη ϱητή έκφραση, η οποία µπορεί να µετατραπεί σε πολλές διαφορετικές µορφές. e = (x 1) 2 (2 +x)/((1 +x) (x 3) 2) ( 1 + x 2 ) 2 (2 + x) ( 3 + x) 2 (1 + x) Αν ϑέλουµε να πάρουµε τον αριθµητή της έκφρασης χρησιµοποιούµε την εντολή Numerator, ενώ για τον παρονοµαστή την εντολή Denominator. Η εντολή Denominator επιστρέφει την τιµή 1, όταν η έκφραση δεν είναι ϱητή. Numerator[e] ( 1 + x 2 ) 2 (2 + x) Denominator[e] ( 3 + x) 2 (1 + x) Η εντολή Expand αναπτύσσει τον αριθµητή του κλάσµατος, αλλά αφήνει τον παρονοµαστή σε παραγοντική µορφή. Expand[e] 2 ( 3 + x) 2 (1 + x) 3x ( 3 + x) 2 (1 + x) + x 3 ( 3 + x) 2 (1 + x) Η εντολή ExpandAll αναπτύσσει όλους τους όρους του κλάσµατος ExpandAll[e] 2 9 + 3x 5x 2 + x 3 3x 9 + 3x 5x 2 + x 3 + x 3 9 + 3x 5x 2 + x 3 Η εντολή Together συγκεντρώνει όλους τους όρους µε κοινό παρονοµαστή. Together[%] 2 3x + x 3 9 + 3x 5x 2 + x 3 Η εντολή Apart χωρίζει την έκφραση σε κλάσµατα µε απλούς παρονο- µαστές.

10.3 Μετατροπές αλγεβρικών εκφράσεων 319 Apart[%] 1 + 5 ( 3 + x) 2 + 19 4( 3 + x) + 1 4(1 + x) Η εντολή Factor παραγοντοποιεί τα πάντα και σ αυτή την περίπτωση δίνει την αρχική µορφή της έκφρασης. Factor[%] ( 1 + x) 2 (2 + x) ( 3 + x) 2 (1 + x) Ορίζουµε την έκφραση t για να δούµε τις διαφορές των εντολών Expand, ExpandAll, ExpandNumerator και ExpandDecominator. t = (1 +x) 2/(1 x) +3x 2/(1 +x) 2 + (2 x) 2 (2 x) 2 + 3x2 (1 + x)2 + (1 + x) 2 1 x Η εντολή ExpandNumerator αναπτύσσει µόνο τον αριθµητή κάθε όρου της έκφρασης. ExpandNumerator[t] 4 4x + x 2 + 3x2 1 + 2x + x2 + (1 + x) 2 1 x Η ExpandDecominator αναπτύσσει τον παρονοµαστή κάθε όρου. ExpandDenominator[t] (2 x) 2 + (1 + x)2 1 x + 3x 2 1 + 2x + x 2 Η εντολή Expand αναπτύσσει τον αριθµητή κάθε όρου και διαιρεί όλους τους όρους µε τον κατάλληλο παρονοµαστή. Expand[t] 4 + 1 1 x 4x + 2x 1 x + x2 + x2 1 x + 3x2 (1 + x) 2 Η ExpandAll αναπτύσσει και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή όλων των όρων της έκφρασης.

320 Παράρτηµα Β - Mathematica ExpandAll[t] 4 + 1 1 x 4x + 2x 1 x + x2 + x2 1 x + 3x 2 1 + 2x + x 2 Η εντολή Cancel απαλείφει τους κοινούς παράγοντες αριθµητή και παρονοµαστή και δέχεται επιπλέον επιλογές, όπως η Extension και η Trig. Οι προεπιλεγµένες τιµές των επιλογών αυτών είναι αντίστοιχα None και False. Απαλείφουµε τους κοινούς παράγοντες σε κάθε κλάσµα. Cancel[(x 2 4x)/(x 2 x) + (x 2 +3x 4)/(x 2 1)] 4 + x 1 + x + 4 + x 1 + x Για να απαλείψουµε τους κοινούς παράγοντες σ αυτή την έκφραση πρέπει να ϑέσουµε Extension Automatic. Cancel[(2 x 2)/(Sqrt[2] x)] 2 x 2 2 x Cancel[(2 x 2)/(Sqrt[2] x)],extension Automatic 2 + x Η επιλογή Trig True επιτρέπει στην Cancel να ϑεωρήσει τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις σαν εκθετικές, όπως ϑα δούµε στη συνέχεια και να τις χειριστεί ανάλογα. Με την προεπιλεγµένη τιµή για την Trig η Cancel επιστρέφει την τριγωνοµετρική έκφραση ανέπαφη. Cancel[(Sin[x] 2 Cos[x] 3)/(Sin[2x] Cos[4x])] Cos[x] 3 Csc[2x]Sec[4x]Sin[x] 2 Cancel[(Sin[x] 2 Cos[x] 3)/(Sin[2x] Cos[4x])], Trig True] 1 2 Cos[x]2 Sec[4x]Sin[x]

10.3 Μετατροπές αλγεβρικών εκφράσεων 321 Πίνακας 10.14. Εντολές µετατροπής τριγωνοµετρικών αλγεβρικών εκφράσεων. T rigexpand[expr] T rigf actor[expr] TrigReduce[expr] T rigt oexp[expr] ExpT ot rig[expr] Μετατρέπει τριγωνοµετρικές εκφράσεις σε άθροισµα όρων Αναπτύσσει τριγωνοµετρικές εκφράσεις σε γινό- µενο παραγόντων Συµπτύσσει τριγωνοµετρικές εκφράσεις χρησιµοποιώντας πολλαπλές γωνίες Μετατρέπει τριγωνοµετρικές συναρτήσεις σε εκθετικές Μετατρέπει εκθετικές συναρτήσεις σε τριγωνοµετρικές 10.3.4 Μετατροπές τριγωνοµετρικών αλγεβρικών εκφράσεων Αναπτύσσουµε την τριγωνοµετρική έκφραση, ώστε όλες οι συναρτήσεις να έχουν όρισµα x. TrigExpand[Tan[x] Cos[2x]] Cos[x]Sin[x] Sin[x] 2 Tan[x] Χρησιµοποιούµε τριγωνοµετρικές ταυτότητες για να παράγουµε µία παραγοντική µορφή της έκφρασης. TrigFactor[%] (Cos[x] Sin[x])(Cos[x] + Sin[x])Tan[x] Συµπτύσσουµε την έκφραση χρησιµοποιώντας πολλαπλές γωνίες. TrigReduce[%] 1 Sec[x](Sin[x] Sin[3x]) 2 Μπορούµε να µετατρέψουµε τριγωνοµετρικές συναρτήσεις σε εκθετικές και το αντίστροφο. TrigToExp[Sec[x]] 2 E Ix + E Ix

322 Παράρτηµα Β - Mathematica ExpToTrig[%] Sec[x] 10.4 Συναρτήσεις και µετασχηµατισµοί Οπως είδαµε το Mathematica περιλαµβάνει κάποιες ϐασικές ενσωµατωµένες συναρτήσεις,όπως είδαµε, και επιτρέπει στο χρήστη να ορίσει τις δικές του συναρτήσεις. 10.4.1 Ορισµός συνάρτησης Με την εντολή αυτή ορίζουµε τη συνάρτηση f µε δύο γενικά ορίσµατα. f[x_,y_] := x 2 +y 2 Τώρα µπορούµε να την καλέσουµε µε οποιαδήποτε ορίσµατα. f[4, 8] 80 Ο ορισµός της f ϕαίνεται µε την παρακάτω εντολή?f Global f f [x_,y_] := x 2 + y 2 Τα ονόµατα που χρησιµοποιούµε για τις συναρτήσεις ϑεωρούνται σύµβολα και είναι προτιµότερο να αποφεύγουµε την χρήση ονοµάτων που αρχίζουν µε κεφαλαίο για να µην προκαλέσουµε σύγχυση, επειδή όλες οι ενσωµατωµένες εντολές του Mathematica αρχίζουν µε κεφαλαίο γράµ- µα. Μπορούµε να διαγράψουµε την τιµή οποιασδήποτε µεταβλητής χρησι- µοποιώντας την εντολή Clear. Clear[f] Τώρα η µεταβλητή f δεν αντιστοιχεί στη συνάρτηση.?f

10.4 Συναρτήσεις και µετασχηµατισµοί 323 Global f Εκτός από τον τελεστή := στον ορισµό της συνάρτησης µπορούµε σε ορισ- µένες περιπτώσεις να χρησιµοποιήσουµε και =, δηλαδή να την ορίσουµε ως απλή µεταβλητή, όπως ϑα δούµε στην επόµενη παράγραφο. 10.4.2 Αµεσοι και έµµεσοι ορισµοί Υπάρχουν δύο τρόποι για να ορίσουµε τις µεταβλητές στο Mathematica (1) lhs=rhs και (2) lhs:=rhs. Η ϐασική διαφορά µεταξύ των δύο τύπων ορισµού των µεταβλητών αφορά το πότε η έκφραση υπολογίζεται. Στην lhs=rhs ο ορισµός γίνεται άµεσα δηλαδή το rhs υπολογίζεται τη στιγ- µή που υπολογίζεται η έκφραση. Η lhs:=rhs είναι έµµεσος ο ορισµός δηλαδή το rhs υπολογίζεται κάθε ϕορά που Ϲητείται η τιµή της lhs. Πίνακας 10.15. Άµεσοι και έµµεσοι ορισµοί. lhs = rhs lhs:=rhs Το rhs υπολογίζεται όταν γίνεται η απόδοση τιµής Το rhs υπολογίζεται κάθε ϕορά που Ϲητείται η τιµή του lhs Εστω ότι χρησιµοποιούµε τον τελεστή := για να ορίσουµε τη συνάρτηση h. h[x_] := Expand[(1 +x) 2] Επειδή χρησιµοποιήθηκε ο τελεστής := ο ορισµός παραµένει σε µία µη υπολογισµένη µορφή.?h Global h h[x_] := Expand[(1 + x) 2 ] Αν κάναµε την ανάθεση τιµής µε τον τελεστή = το δεξιό µέλος της έκ- ϕρασης ϑα υπολογιζόταν αµέσως και το αποτέλεσµα ϑα ήταν η τιµή της g. g[x_] = Expand[(1 +x) 2]

324 Παράρτηµα Β - Mathematica 1 + 2x + x 2?g Global g g[x_] = 1 + 2x + x 2 Οταν εκτελούµε την h η εντολή Expand πραγµατοποιείται. h[y +2] 9 + 6y + y 2 Η g απλά τοποθετεί το όρισµα y+2 στην ήδη υπολογισµένη έκφραση και δίνει διαφορετικό αποτέλεσµα, το οποίο ϐέβαια µετά από πράξεις συµπίπτει µε αυτό της h. g[y +2] 1 + 2(2 + y) + (2 + y) 2 Μπορούµε λοιπόν, να χρησιµοποιήσουµε και τους δύο τελεστές στον ορισµό συναρτήσεων, αλλά έχουν διαφορετικό νόηµα. Για το λόγο αυτό πρέπει να είµαστε προσεκτικοί και να χρησιµοποιούµε τον κατάλληλο τελεστή ανά περίπτωση. 10.4.3 Ειδικός ορισµός συνάρτησης Σε προηγούµενη παράγραφο ορίσαµε τη συνάρτηση στο Mathematica χρησιµοποιώντας τον τελεστή :=. Οπως έχουµε ήδη δει µπορούµε να χρησιµοποιούµε και τον τελεστή = κατά περίπτωση. Εδώ ϑα εξετάσουµε τον ορισµό συνάρτησης, η οποία για συγκεκριµένες τιµές των ορισµάτων της µπορεί να ξεφύγει από τον κανόνα και να πάρει άλλες τιµές. Ο ορισµός f[x_] = x 2 καθορίζει ένα πρότυπο για την f έτσι ώστε όποτε καλείται µε οποιοδήποτε όρισµα f[oρισµα] η τιµή της είναι όρισµα 2. Ο ορισµός f[a]=b δηλώνει ότι, για τη συγκεκριµένη τιµή a η τιµή της συνάρτησης είναι b. Εστω η τιµή της παραγοντικής συνάρτησης µε όρισµα 1 f[1] = 1 1

10.4 Συναρτήσεις και µετασχηµατισµοί 325 Πίνακας 10.16. Ορισµοί συνάρτησης. f[x] = value f[x_] = value Ορισµός της f για ένα συγκεκριµένο όρισµα x Ορισµός της f για οποιοδήποτε όρισµα Και ο γενικός ορισµός της παραγοντικής συνάρτησης f[n_] := n f[n 1] Ο πλήρης ορισµός της παραγοντικής συνάρτησης περιλαµβάνει και το γενικό και το µερικό ορισµό?f Global f f [1] = 1 f [n_] := n f [n 1] Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε αυτούς τους ορισµούς για να ϐρούµε την τιµή της παραγοντικής συνάρτησης µε οποιοδήποτε όρισµα. f[12] 479001600 10.4.4 Η σειρά των ορισµών Οταν δίνεται µία σειρά ορισµών στο Mathematica, µερικοί είναι πιο γενικοί από τους άλλους. Το Mathematica προσπαθεί να τοποθετήσει τους εδικούς ορισµούς πριν τους γενικούς για να µην υπάρχει επικάλυψη. Εστω ο γενικός ορισµός της f που είναι η παραγοντική συνάρτηση. f[x_] := x f[x 1] και ο ορισµός για την ειδική περίπτωση x = 1. f[1] = 1

326 Παράρτηµα Β - Mathematica 1 Η Mathematica τοποθετεί την ειδική περίπτωση πριν από τη γενική.?f Global f f [1] = 1 f [x_] := x f [x 2] Οταν δεν είναι ξεκάθαρο ποιος ορισµός είναι πιο γενικός, τότε διατηρείται η σειρά την οποία χρησιµοποιεί ο χρήστης κατά την εισαγωγή των ορισµών. Οι παρακάτω ορισµοί δεν έχουν συγκεκριµένη σειρά γενικά και το Mathematica τους αποθηκεύει µε τη σειρά εισαγωγής τους. ln[x_y_] := ln[x] + ln[y] ln[x_ n_] := n ln[x]?ln Global ln ln[(x_) (y_)] := ln[x] + ln[y] ln[(x_) n_ ] := n ln[x] Αυτός ο κανόνας είναι ειδική περίπτωση για τον log[x_y_] και το Mathematica τον τοποθετεί πριν από τους γενικούς κανόνες. ln[2 x_] := ln[x] +ln2?ln Global ln ln[2 (x_)] := ln[x] + ln2 ln[(x_) (y_)] := ln[x] + ln[y] ln[(x_) n_ ] := n ln[x] Αν και σε πολλές περιπτώσεις το Mathematica µπορεί να αναγνωρίσει πότε ένας κανόνας είναι πιο γενικός από κάποιον άλλο, αυτό δεν είναι πάντοτε δυνατό. Για αυτό είναι προτιµότερο η σειρά που δίνουµε τους ορισµούς να είναι από τον ειδικότερο στο γενικότερο.

10.4 Συναρτήσεις και µετασχηµατισµοί 327 10.4.5 Κανόνες µετασχηµατισµών Οταν το Mathematica µετατρέπει µία έκφραση όπως η x+x στην 2x αντιµετωπίζει την µεταβλητή x ως σύµβολο που αντιστοιχεί σε οποιαδήποτε έκφραση. Συχνά ϑέλουµε να αντικαταστήσουµε ένα σύµβολο όπως το x µε µία συγκεκριµένη τιµή. Η τιµή µπορεί να είναι αριθµός ή µία άλλη έκφραση. Για να αντικαταστήσουµε στην έκφραση 1+2x το σύµβολο x µε µία συγκεκριµένη τιµή, χρησιµοποιούµε έναν κανόνα µετατροπής (µετασχηµατισµού ) του Mathematica. Expression /.rule Εδώ χρησιµοποιουµε τον κανόνα µετασχηµατισµού x 3 στην έκφραση 1+ 2x. 1 +2x/.x 3 7 Μπορούµε να αντικαταστήσουµε το x µε οποιαδήποτε έκραση έστω 2 y. 1 +x+x 2/.x 2 y 3 + (2 y) 2 y Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και ένα σύνολο κανόνων που ορίζονται σαν λίστα (x +y)(x y) 2/.{x 3,y 4} 7 Πίνακας 10.17. Αντικαταστάσεις µεταβλητών. expr/.x value expr/.{x xval, y yval} Αντικατάσταση του x από την τιµή value στην έκφραση expr. Πολλές αντικαταστάσεις µεταβλητών

328 Παράρτηµα Β - Mathematica Είδαµε πως µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε κανόνες µετασχηµατισµών της µορφής x value για να αντικαταστήσουµε σύµβολα µε συγκεκριµένες τιµές. Οι κανόνες µετασχηµατισµών όµως στο Mathematica µπορούν να χρησιµοποιηθούν όχι µόνο για σύµβολα αλλά και για εκφράσεις. Χρησιµοποιώντας τον κανόνα x 3, το x παίρνει την τιµή 3 1 +f[x] +f[y]/.x 3 1 + f [3] + f [y] Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε κανόνες µετασχηµατισµών και για την f[x], χωρίς όµως να επηρεάζεται η f[y]. 1 +f[x] +f[y]/.f[x] p 1 + p + f [y] Το f[t_] είναι ένα πρότυπο που συµβολίζει τη συνάρτηση f µε οποιοδήποτε όρισµα και εδώ η αντικατάσταση επηρεάζει και το f[x] και το f[y] 1 +f[x] +f[y]/.f[t_] t 2 1 + x 2 + y 2 10.4.6 Αµεσοι και έµµεσοι κανόνες µετασχηµατισµών Οπως ακριβώς και στις άµεσες και έµµεσες αποδόσεις τιµών σε µεταβλητές µπορούµε να έχουµε και άµεσους και έµµεσους κανόνες µετασχη- µατισµών. Πίνακας 10.18. Άµµεσοι και έµµεσοι κανόνες µετασχηµατισµών. lhs > rhs lhs :> rhs Το rhs υπολογίζεται όταν δίνεται ο κανόνας Το rhs υπολογίζεται όταν χρησιµοποιείται ο κανόνας Το δεξιό µέλος του κανόνα υπολογίζεται όταν δίνεται ο κανόνας. f[x_] > Expand[(1 +x) 2]

10.4 Συναρτήσεις και µετασχηµατισµοί 329 f [x_] > 1 + 2x + x 2 Το δεξιό µέλος του κανόνα διατηρείται µη υπολογισµένο και υπολογίζεται κάθε ϕορά που χρησιµοποιείται ο κανόνας. f[x_] :> Expand[(1 +x) 2] f [x_] : Expand[(1 + x) 2 ] 10.4.7 Περιορισµοί στους ορισµούς και στους κανόνες µετασχηµατισµών Το Mathematica παρέχει ένα γενικό µετασχηµατισµό για τον καθορισ- µό περιορισµών στους ορισµούς και στους κανόνες µετασχηµατισµών. Πρέπει να τοποθετηθεί ο τελεστής συνθήκης /; στο τέλος του ορισµού ή του κανόνα µετασχηµατισµού για να καθορίσει ότι, αυτός ισχύει µόνο όταν η συνθήκη είναι αληθής. Definition or Rule /; Condition ίνουµε έναν ορισµό στη συνάρτηση f που ισχύει όταν το n είναι ϑετικό. f[n_/;n > 0] := n! Ο ορισµός που δώσαµε για την f ισχύει µόνο, όταν το όρισµα είναι ϑετικό. f[6] +f[ 4] 720 + f [ 4] Ενας ισοδύναµος τρόπος ορισµού είναι: h[n_] := n!/;n > 0 και πάλι ο ορισµός που δώσαµε για την h ισχύει µόνο όταν το όρισµα είναι ϑετικό. h[6] +h[ 4] 720 + h[ 4] Οταν χρησιµοποιούµε περιορισµό σε κανόνα µετασχηµατισµού δεν ξ- εχνάµε να τοποθετούµε σε παρενθέσεις το κοµµάτι της έκφρασης που αφορά τον περιορισµό. f[3] +f[ 8] +f[0]/.(f[x_]/;x >= 0) k 2k + f [ 8]

330 Παράρτηµα Β - Mathematica 10.4.8 Ορισµός πολύκλαδων συναρτήσεων Οι πολύκλαδες συναρτήσεις στο Mathematica µπορούν να οριστούν χρησιµοποιώντας περιορισµούς /; ή αν πρόκειται για δίκλαδες συναρτήσεις τον τελεστή If. Θέλουµε να ορίσουµε τη συνάρτηση x 2 αν x > 0 f(x) = x 3 αν x 0 Χρησιµοποιώντας τον περιορισµό /; η συνάρτηση ϑα µπορούσε να οριστεί ως εξής : Clear[h] Ορίζουµε το ϑετικό µέρος της συνάρτησης. h[x_] := x 2/; x > 0; Με την ίδια διαδικασία, ορίζουµε τη συνάρτηση για αρνητικές τιµές του x. h[x_] := x 3/; x <= 0; Πειραµατιζόµαστε µε τη συνάρτηση h για µια αρνητική και µια ϑετική τιµή της µεταβλητής x. h[ 5] 125 h[5] 25 Η συνάρτηση f µπορεί να οριστεί επίσης χρησιµοποιώντας τον τελεστή If. Clear[g] g[x_] := If[x > 0, x 2, x 3] Ας δούµε τις τιµές της συνάρτησης g για µια αρνητική και µια ϑετική τιµή της µεταβλητής x.

10.5 Επίλυση εξισώσεων 331 g[ 5] 125 g[5] 25 Οι συναρτήσεις h και g µπορούν να σχεδιαστούν και να αντιµετωπιστούν ως µια οποιαδήποτε απλή συνάρτηση. 10.5 Επίλυση εξισώσεων 10.5.1 Επίλυση εξισώσεων µιας µεταβλητής Μία έκφραση της µορφής x 2 + 4 x 2 == 0 αποτελεί για το Mathematica µία εξίσωση όπως ήδη έχουµε αναφέρει. Πολύ συχνά πρέπει να λύσουµε εξισώσεις όπως την προηγούµενη. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε πολλές εντολές του Mathematica για την επίλυση εξισώσεων. Αυτές ϑα τις δούµε αναλυτικά στη συνέχεια. Η εντολή Roots δίνει τις λύσεις µιας πολυωνυµικής εξίσωσης µιας µεταβλητής. Εστω η συµβολική εξίσωση x 2 +4x == 2 4x + x 2 == 2 Roots[Equation, var] Χρησιµοποιούµε την εντολή Roots για να ϐρούµε τις λύσεις της εξίσωσης. Ο τελεστής είναι ο τελεστής Or. Roots[%,x] x == 2 6 x == 2 + 6 Το αποτέλεσµα που παράγεται από την εντολή Roots έχει τη µορφή x == r 1 x == r 2. Η έκφραση αυτή αποτελεί µια λογική πρόταση που δηλώνει ότι, το x έχει την τιµή r 1 ή την τιµή r 2.

332 Παράρτηµα Β - Mathematica Η εντολή ToRules µετατρέπει το αποτέλεσµα της Roots που είναι µια λογική πρόταση σε λίστα τιµών (λίστα κανόνων µετασχηµατισµού). {ToRules[%]} {{x 2 6 }, {x 2 + 6 }} Μπορούµε τώρα να χρησιµοποιήσουµε τη λίστα τιµών του x σε οποιαδήποτε έκφραση το περιέχει. x 2 +a x/.% {( 2 6) 2 + ( 2 6)a,( 2 + 6) 2 + ( 2 + 6)a} Η εντολή Solve παράγει απευθείας λίστα τιµών και όχι λογική πρόταση. Solve[equations,vars] Παίρνουµε δύο λύσεις της εξίσωσης x 2 + 4x 2 = 0, οι οποίες δίνονται σε µορφή λίστας. Solve[x 2 +4 x 2 == 0,x] {{x 2 6 }, {x 2 + 6 }} Μπορούµε να πάρουµε και τις αριθµητικές τιµές των λύσεων. N[%] {{x 4.44949 }, {x 0.44949 }} Μπορούµε να πάρουµε µία λίστα των ακριβών λύσεων του x εφαρµόζοντας τους κανόνες που προέκυψαν από την εντολή Solve χρησιµοποιώντας τον τελεστή αντικατάστασης. x/.% { 4.44949,0.44949 } Μπορούµε επίσης να εφαρµόσουµε τους κανόνες αντικατάστασης σε οποιαδήποτε έκφραση περιλαµβάνει το x. x 3 +8x/.%% { 123.687,3.68673 }

10.5 Επίλυση εξισώσεων 333 Η εντολή Solve δίνει, όπου είναι εφικτό, σαφείς εκφράσεις για τις λύσεις των εξισώσεων. Για αλγεβρικές εξισώσεις µιας µεταβλητής και µέχρι τετάρτου ϐαθµού το Mathematica δίνει ακριβείς λύσεις. Solve[x 4 5x 2 3 == 0,x] 1 {{x I 2 ( 5 + 1 37)}, {x I 2 ( 5 + 37)}, 1 {x 2 (5 + 37)}, {x 1 2 (5 + 37)}} Λύνει επίσης κάποιες εξισώσεις µεγαλύτερου ϐαθµού, όπως x 5 = 1, Solve[x 5 == 1,x] {{x 1 }, {x ( 1) 1/5 }, {x ( 1) 2/5 }, {x ( 1) 3/5 }, {x ( 1) 4/5 } Υπάρχουν όµως και εξισώσεις για τις οποίες το Mathematica δεν µπορεί να ϐρει ακριβείς εκφράσεις και χρησιµοποιεί την εντολή Root για να παρουσιάσει το αποτέλεσµα. Solve[2 4 x+x 5 == 0,x] {{x Root[2 4#1 + #1 5 &,1]}, {x Root[2 4#1+ #1 5 &,2]}, {x Root[2 4#1 + #1 5 &,3]}, {x Root[2 4#1 + #1 5 &,4]}, {x Root[2 4#1 + #1 5 &,5]}} Βέβαια δεν µπορούµε να υπολογίσουµε την ακριβή έκφραση των λύσεων, αλλά µπορούµε να προσδιορίσουµε τις αριθµητικές λύσεις. N[%] {{x 1.51851 }, {x 0.508499 }, {x 1.2436 }, {x 0.116792 1.43845I }, {x 0.116792 + 1.43845I }} Η εντολή Root[f,n] δίνει τη n-οστή ϱίζα της εξίσωσης f[x] == 0, όταν η f είναι συνάρτηση της µορφής (# 5 2#+1)&. (Στη ϑέση του x υπάρχει το σύµβολο #), Root[f,k]

334 Παράρτηµα Β - Mathematica Εδώ η εντολή Root δίνει τη 1 n ϱίζα του πολυωνύµου 4x 5 2x + 24. rs = Root[24 2#1 +4#1 5 &,1] Root[12 #1 + 2#1 5 &,1] Το πρώτο µέρος της έκφρασης του αποτελέσµατος µπορεί να µετατραπεί στη µορφή ενός πολυωνύµου µιας µεταβλητής. First[rs][x] 12 x + 2x 5 Επίσης, µπορούµε να δούµε και την αριθµητική προσέγγιση του αποτελέσµατος. N[rs] 1.4643 Αν ϑέλουµε αριθµητικές λύσεις σε µιά εξίσωση, είναι προτιµότερο να χρησιµοποιούµε τη συνάρτηση NSolve, η οποία δίνει αριθµητικές προσεγγίσεις για όλες τις ϱίζες µιας πολυωνυµικής εξίσωσης. NSolve[x 3 x+11 == 0,x] {{x 2.37365 }, {x 1.18682 1.79601I }, {x 1.18682 + 1.79601I }} Σε µιά εξίσωση της µορφής 2x = 0, είναι προφανές ότι η λύση είναι x 0. Οµως στην περίπτωση ax = 0 η λύση δεν είναι τόσο απλή. Αν το α είναι διάφορο του µηδενός, τότε η λύση είναι x 0, αλλά στην περίπτωση a = 0 το x ϑα µπορούσε να είναι ένας οποισδήποτε αριθµός. Η εντολή Solve δίνει τη γενική λύση της εξίσωσης. Solve[ax +b == 0,x] {{x b a }} Η εντολή Roots προσδιορίζει τη γενική λύση. Roots[ax +b == 0,x]

10.5 Επίλυση εξισώσεων 335 x == b a Χρησιµοποιώντας την εντολή Reduce παίρνουµε την πλήρη λίστα όλων των πιθανών λύσεων της εξίσωσης. Στο αποτέλεσµα χρησιµοποιούνται οι τελεστές and και or. Reduce[ax b == 0,x] b == 0&&a == 0 a 0&&x == b a Πίνακας 10.19. Εντολές επίλυσης εξίσωσης. Roots[lhs == rhs, x] Solve[lhs == rhs, x] NSolve[lhs == rhs, x] Reduce[lhs == rhs, x] Βρίσκει τις ϱίζες της εξίσωσης. Βρίσκει τη γενική λύση της εξίσωσης, δίνοντας το αποτέλεσµα σε λίστα κανόνων. Βρίσκει τις αριθµητικές λύσεις της εξίσωσης. Βρίσκει όλες τις πιθανές λύσεις της εξίσωσης και δίνει το αποτέλεσµα σε λογικές προτάσεις. 10.5.2 Επίλυση συστήµατος εξισώσεων Μπορούµε επίσης να χρησιµοποιήσουµε το Mathematica για να λύσουµε συστήµατα εξισώσεων. Πρέπει ϐέβαια να καθορίσουµε τις εξισώσεις και τις µεταβλητές για τις οποίες αναζητούµε λύση. Εστω ένα σύστηµα εξισώσεων που ϑέλουµε να λυθούν ως προς x και y. Solve[{ax +y == 0,2x + (1 a)y == 1}, {x,y}] 1 {{x 2 + a a 2,y a 2 a + a 2 }} Υπάρχουν και περιπτώσεις που οι λύσεις του συστήµατος είναι περισσότερες από µία και δίνονται ως λίστες αντικατάστασης ως προς x και y. Solve[{x 2 +y 2 == 1,x +3y == 0}, {x,y}]

336 Παράρτηµα Β - Mathematica {{x 3 10,y 1 10 }, {x 3 10,y 1 10 }} Χρησιµοποιούµε τις λύσεις για να υπολογίσουµε την έκφραση x + y που έχει δύο τιµές. x +y/.% 2 2 { 5, 5 } Το Mathematica µπορεί να λύσει οποιοδήποτε σύστηµα γραµµικών εξισώσεων. Μπορεί επίσης να λύσει και κάποιες κατηγορίες πολυωνυµικών εξισώσεων. Ακόµη κι αν δεν µπορέσει να λύσει µε ακρίβεια το σύστηµα των εξισώσεων τις µετατρέπει σε µια απλούστερη µορφή. Οταν δεν προσδιορίσουµε τις µεταβλητές για τις οποίες ϑέλουµε λύσεις, η εντολή Solve προσπαθεί να δώσει λύσεις για όλες τις µεταβλητές. Solve[{x +y == 1,x 3y == 2}] {{x 5 4,y 1 4 }} Οταν εργαζόµαστε µε συστήµατα εξισώσεων πολλών µεταβλητών είναι χρήσιµο πολλές ϕορές να αναδιοργανώνουµε τις εξισώσεις απαλείφοντας κάποιες από τις µεταβλητές. Η εντολή που χρησιµοποιεί το Mathematica για την απαλοιφή µεταβλητών από ένα σύστηµα εξισώσεων είναι η Eliminate. Eliminate[equations, vars] Απαλειφουµε το y από τις δύο εξισώσεις και παίρνουµε µία εξίσωση ως προς x. Eliminate[{a x+y == 0,2 x+(1 a) y == 1},y] (2 a + a 2 )x == 1) Γνωρίζουµε ότι υπάρχουν συστήµατα που δεν έχουν λύσει. Στις περιπτώσεις αυτές η εντολή Solve επιστρέφει {} για να δείξει ότι το σύνολο των λύσεων είναι κενό. Solve[{x == 1,x == 2},x] { }

10.5 Επίλυση εξισώσεων 337 Για τις εξισώσεις x = 1,x = a δεν υπάρχει λύση για όλες τις τιµές του a εκτός της 1. Solve[{x == 1,x == a},x] { } Για την τιµή a = 1 οι εξισώσεις έχουν λύση, αλλά η εντολή Solve δίνει µόνο τις γενικές λύσεις στις εξισώσεις και παραβλέπει όλες τις λύσεις που υπόκεινται σε περιορισµούς. Σ αυτή την περίπτωση είναι προτιµότερο να χρησιµοποιήσουµε την εντολή Reduce, η οποία εµφανίζει όλες τις πιθανές λύσεις, ακόµη και αυτές που απαιτούν ειδικές συνθήκες και παραµέτρους. Για τις εξισώσεις x = 1,x = a υπάρχει µία λύση όταν a = 1. Το αποτέλεσµα δείχει ότι, και οι δύο προτάσεις πρέπει να είναι αληθείς για να ισχύει η λύση. Reduce[{x == 1,x == a},x] x == 1&&a == 1 Πίνακας 10.20. Εντολές επίλυσης συστήµατος εξισώσεων Solve[{lhs 1 == rhs 1, lhs 2 == rhs 2,...}, {x, y,...}] Eliminate[{lhs 1 == rhs 1, lhs 2 == rhs 2,...}, {x,...}] Reduce[{lhs 1 == rhs 1, lhs 2 == rhs 2,...}, {x, y,...}] Λύνει ένα σύστηµα εξισώσεων ως προς x,y,... Απαλείφει τα x,.. από ένα σύστηµα εξισώσεων. ίνει ένα σύνολο απλών εξισώσεων, περιλαµβάνοντας όλες τις πιθανές λύσεις του συστήµατος εξισώσεων. 10.5.3 Απόρριψη µιγαδικών λύσεων Το Mathematica διαθέτει ένα πακέτο, την "Miscellaneous RealOnly ", για την αποφυγή µιγαδικών λύσεων στα αποτελέσµατα των εντολών της. Φορτώνοντας αυτό το πακέτο, όταν υπάρχουν και µιγαδικές λύσεις, εµ- ϕανίζεται ένα µήνυµα και τη ϑέση του µιγαδικού αποτελέσµατος καταλαµβάνει η έκφραση "NonReal".

338 Παράρτηµα Β - Mathematica Θέλουµε να λύσουµε την εξίσωση x 3 = 8. Η εξίσωση έχει και µιγαδικές λύσεις, τις οποίες το Mathematica εµφανίζει αυτόµατα. Solve[x 3 == 8] {{x 2 }, {x 1 I 3 }, {x 1 + I 3 }} Αν επιθυµούµε µόνο τις πραγµατικές λύσεις, µπορούµε να χρησι- µοποιήσουµε τη πακέτο "Miscellaneous RealOnly ". Needs[ Miscellaneous RealOnly ] Solve[x 3 == 8] NonReal :: warning : NonReal number encountered. {{x 2 }, {x NonReal}, {x NonReal}} 10.6 Ολοκλήρωση συναρτήσεων Η ενσωµατωµένη εντολή Integrate µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό αόριστων και ορισµένων ολοκληρωµάτων. Η εντολή Integrate[f[x], x] υπολογίζει το αόριστο ολοκλήρωµα της συνάρτησης f µε µεταβλητή ολοκλήρωσης την x, ενώ η εντολή Integrate[f[x], {x, a, b}] b υπολογίζει το ορισµένο ολοκλήρωµα a f(x)dx. Μπορούµε επίσης, για τον συµβολισµό του ολοκληρώµατος να χρησιµοποιήσουµε εικονίδια της παλλέτας BasicInput αντί της εντολής Integrate. Η παλλέτα BasicInput µπορεί να προσπελασθεί από τις επιλογές του File, ή Palettes,BasicInput. Η συνάρτηση Integrate αντιµετωπίζει οποιαδήποτε µεταβλητή, διαφορετική από τη µεταβλητή ολοκλήρωσης, ως σταθερά. Η µεταβλητή a ϑεωρείται ανεξάρτητη του x.

10.6 Ολοκλήρωση συναρτήσεων 339 Integrate[a x 2,x] ax 3 3 Η µεταβλητή ολοκλήρωσης µπορεί να είναι οποιαδήποτε έκφραση, η οποία δεν περιέχει σαφείς µαθηµατικές πράξεις. Integrate[x b[x] 2,b[x]] 1 3 xb[x]3 Η εντολή Intergate χρησιµοποιείται και στον υπολογισµό ορισµένων ολοκληρωµάτων, αλλά είναι απαραίτητος ο καθορισµός των ορίων ολοκλήρωσης, τα οποία µπορούν να περιέχουν και το άπειρο. Εστω το ορισµένο ολοκλήρωµα b a log(x)dx. Integrate[Log[x], {x, a, b}] a( 1 + Log[a]) + b( 1 + Log[b]) Επίσης, το ορισµένο ολοκλήρωµα Integrate[Exp[ x 2], {x, 0, Infinity}] π 2 Ο υπολογισµός ολοκληρωµάτων είναι πολύ πιο δύσκολος από τον υπολογισµό παραγώγων. Ενα από τα κύρια προβλήµατα είναι ο καθορισµός των συναρτήσεων που ϑα χρειαστούν για τον υπολογισµό ενός δεδοµένου ολοκληρώµατος. Κατά τον υπολογισµό των παραγώγων, το αποτέλεσµα περιέχει συναρτήσεις του ίδιου είδους ή απλούστερες µε αυτές που χρησιµοποιούνται στην αρχική έκφραση. Στην περίπτωση όµως των ολοκληρωµάτων αυτό δεν ισχύει. Εκεί, το αποτέλεσµα µπορεί να περιέχει πολύπλοκες συναρτήσεις. Αυτό το ολοκλήρωµα µπορεί να υπολογιστεί χρησµιοποιώντας το ίδιο είδος συναρτήσεων µε τη δοθείσα έκφραση. Integrate[Log[x] 2, x] 2x 2xLog[x] + xlog[x] 2

340 Παράρτηµα Β - Mathematica Αλλά γι αυτό το ολοκλήρωµα είναι απαραίτητη η ειδική συνάρτηση LogIntegral. Integrate[Log[Log[x]], x] xlog[log[x]] LogIntegral[x] Το Mathematica περιέχει πολλές συναρτήσεις, µέσω των οποίων µπορεί να υπολογιστεί ένας µεγάλος αριθµός ολοκληρωµάτων. Υπάρχουν όµως και περιπτώσεις που ϕαινοµενικά απλά ολοκληρώµατα δεν µπορούν να επιλυθούν σε όρους απλών συναρτήσεων. ίνουµε ως παράδειγµα ένα ϕαινοµενικά απλό αόριστο ολοκλήρωµα, το οποίο όµως δεν µπορεί να επιλυθεί µε απλές συναρτήσεις.στις περιπτώσεις αυτές το Mathematica επιστρέφει το ολοκλήρωµα στην αρχική του µορφή. Integrate[Sin[x]/Log[x], x] Sin[x] Log[x] dx Επίσης, δεν µπορεί να δώσει λύση και στο ορισµένο ολοκλήρωµα Integrate[Sin[x]/Log[x], {x, 0.5, 0.8}] 0.8 0.5 Sin[x] Log[x] dx Μπορούµε όµως να πάρουµε ένα αριθµητικό αποτέλεσµα µε την εντολή Ν. N[%] 0.471969 Οταν η ακριβής τιµή ενός ορισµένου ολοκληρώµατος είναι αδύνατο να υπολογιστεί, όπως στην προηγούµενη περίπτωση, µπορούµε να χρησι- µοποιήσουµε µια άλλη εντολή του Mathematica για να ϐρούµε προσεγγιστικό αποτέλεσµα, αυτή είναι το NIntegrate. NIntegrate[f[x], {x, a, b}]

10.6 Ολοκλήρωση συναρτήσεων 341 Integrate[Sin[x]/Log[x], {x, 0.5, 0.8}] 0.471969 Ο υπολογισµός των ακριβών και προσεγγιστικών τιµών των πολλαπλών ολοκληρωµάτων γίνεται και πάλι µε τις εντολές Integrate και NIntegrate αντίστοιχα. Σε κάθε περίπτωση µπορούµε να χρησιµοποιούµε το σύµβολο αντί της εντολής Integrate, αφού δίνουν το ίδιο αποτέλεσµα. Integrate[Exp[x] +x Exp[y],y,x] E y x 2 + E x y 2 (Exp[x] +x Exp[y])dxdy E y x 2 2 + E x y Εδώ, ϕαίνεται ο υπολογισµός του ορισµένου διπλού ολοκληρώµατος a b 0 0 dxd(x2 + y 2 ). Integrate[x 2 +y 2, {x,0,a}, {y,0,b}] a 3 b 3 + ab3 3 Το y ολοκλήρωµα υπολογίζεται πρώτο. Τα όριά του µπορούν να εξαρτώνται από την τιµή του x. Integrate[x 2 +y 2, {x,0,a}, {y,0,x}] a 4 3 Χρησιµοποιώντας την εντολή NIntegrate παίρνουµε την αριθµητική τιµή του προηγούµενου ορισµένου ολοκληρώµατος NIntegrate[x 2 +y 2, {x,0,1}, {y,0,1}] 0.666667 Η ίδια διαδικασία χρησιµοποιείται και για τον υπολογισµό των τριπλών και γενικότερα πολλαπλών ολοκληρωµάτων.

342 Παράρτηµα Β - Mathematica Πίνακας 10.21. Τύποι ολοκληρωµάτων. Integrate[f,x] Integrate[f,x, y] Integrate[f, {x, x a, x b }] Integrate[f, {x, x a, x b }, {y, y a, y b }] N[Integrate[f, {x, x a, x b }]] NIntegrate[f, {x, x a, x b }] NIntegrate[f, {x, x a, x b }, {y, y a, y b },...] Το αόριστο ολοκλήρωµα fdx Το διπλό αόριστο ολοκλήρωµα fdxdy Το ορισµένο ολοκλήρωµα x b x a fdx Το διπλό ορισµένο ολοκλήρωµα xb yb x a y a fdxdy Προσεγγιστική λύση του ορισµένου ολοκληρώµατος Προσεγγιστική λύση του ορισµένου ολοκληρώµατος Προσεγγιστική λύση του πολλαπλού ορισµένου ολοκληρώµατος 10.7 Λίστες Οι λίστες αποτελούν έναν τρόπο συλλογής αντικειµένων και στο Mathematica παριστάνονται σαν σύνολα στοιχείων που περικλείονται µέσα σε άγκιστρα {...} και χωρίζονται µεταξύ τους µε κόµµα. Οι λίστες µπορούν να οριστούν απευθείας από το χρήστη ή να παραχθούν χρησιµοποιώντας τις εντολές Table,Array και Range του Mathematica τις οποίες ϑα εξετάσουµε στη συνέχεια. Για παράδειγµα, µπορούµε να δηµιουργήσουµε µία λίστα αριθµών. {1,2,3,4,5} {1,2,3,4,5 } Οι εντολές Table, Array και Range µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την παραγωγή της ίδιας λίστας αριθµών. Table[i{i, 5}] {1,2,3,4,5 } Range[5] {1,2,3,4,5 }

10.7 Λίστες 343 i[x_] := x; Array[i, 5] {1,2,3,4,5 } 10.7.1 ηµιουργία λίστας αντικειµένων Table[f[i], {i,n}] ηµιουργία λίστας της µορφής {f[1],...,f[n]}. Table[f[i], {i,n,m}] ηµιουργία λίστας της µορφής {f[n],f[n + 1],...,f[m 1],f[m]}. Array[f, n] ηµιουργία της λίστας {f[1],...,f[n]}. Range[n] ηµιουργία της λίστας αριθµών {1, 2,..., n}. Range[n 1,n 2 ] ηµιουργία της λίστας αριθµών n 1,n 1 + 1,...,n 2 1,n 2. Οι εντολές Table και Array µπορούν να δώσουν και τη λίστα τιµών µιας συνάρτησης f, ενώ η εντολή Range δηµιουργεί λίστες αριθµών. Table[Sin[n/5], {n, 0, 4}] { [ ] [ 1 2 0,Sin,Sin 5 5 ],Sin [ ] [ ]} 3 4,Sin 5 5 10.7.2 Εφαρµογή συναρτήσεων στα στοιχεία λίστας Ενσωµατωµένες συναρτήσεις. Οι περισσότερες από τις συναρτήσεις που είναι ενσωµατωµένες στο Mathematica µπορούν να εφαρµοστούν

344 Παράρτηµα Β - Mathematica ξεχωριστά σε καθένα από τα στοιχεία µιας λίστας. Οι ενσωµατωµένες αυτές συναρτήσεις έχουν την ιδιότητα Listable. Η λογαριθµική συνάρτηση Log έχει την ιδιότητα Listable όπως µ- πορούµε να διαπιστώσουµε και εφαρµόζεται σε κάθε στοιχείο της λίστας. Attributes[Log] {Listable, NumericFunction, Protected} Log[{E 5,E 10,3,7}] {5,10,Log[3],Log[7]} Αν λοιπόν, η f είναι µια ενσωµατωµένη συνάρτηση και η εντολή f[list] επιστρέψει {f[list[[1]]],f[list[[2]]],...,f[list[[n]]]}, όπου list η λίστα µε στοιχεία list[[i]] και 1 i n, τότε η f έχει την ιδιότητα Listable. Ενας τρόπος για να εξετάσουµε αν, µια ενσωµατωµένη συνάρτηση διαθέτει αυτή την ιδιότητα, είναι η εντολή Attributes[f] Συναρτήσεις ορισµένες από τον χρήστη. Η εφαρµογή µιας ορισ- µένης από τον χρήστη συνάρτησης f στα στοιχεία µιας λίστας γίνεται εφαρµόζοντας την εντολή Map. Η f εφαρµόζεται σε κάθε στοιχείο της λίστας ξεχωριστά. Map[f, {a,b,c}] {f [a],f [b],f [c]} 10.7.3 Απόσπαση µέρους µιας λίστας Ο χειρισµός των στοιχείων µιας λίστας γίνεται µε ειδικές εντολές του Mathematica και υπάρχει η δυνατότητα της απόσπασης συγκεκριµένου στοιχείου µιας λίστας, µιας οµάδας στοιχείων κ.τ.λ. Θα εξετάσουµε όλες αυτές τις περιπτώσεις χρησιµοποιώντας µια συγκεκριµένη λίστα στην οποία ϑα εφαρµόσουµε τις υπάρχουσες εντολές. Εστω η λίστα list, η οποία περιέχει δέκα τυχαία στοιχεία. list = {a,b,c,d,e,f,g,h,j,k} {a,b,c,d,e,f,g,h,j,k}

10.7 Λίστες 345 Για το τελευταίο στοιχείο της λίστας χρησιµοποιούµε την εντολή Last. Last[list] k Για το πέµπτο στοιχείο της λίστας, όπως και για οποιοδήποτε άλλο, δηλώνουµε τη ϑέση του στοιχείου ή χρησιµοποιούµε την εντολή Part. list[[5]] e Part[list, 5] e Ενώ, αν ϑέλουµε δύο στοιχεία list[[{1,6}]] {a,f} Επίσης µπορούµε να πάρουµε τα τέσσερα πρώτα ή τα τέσσερα τελευταία στοιχεία της λίστας µε την εντολή Take. Take[list, 4] {a,b,c,d} Take[list, 4] {g,h,j,k} Η εντολή Rest αφαιρεί το πρώτο στοιχείο της λίστας και η εντολή Drop αφαιρεί ένα ή περισσότερα στοχεία από την αρχή της λίστας. Rest[list] {b,c,d,e,f,g,h,j,k} Drop[list, 2] {c,d,e,f,g,h,j,k}

346 Παράρτηµα Β - Mathematica Πίνακας 10.22. Εντολές απόσπασης στοιχείων λίστας. First[list] Last[list] list[[n]] ή Part[list,n] Take[list,n T ake[list, n] Rest[list] Drop[list, n] Drop[list, n] Το πρώτο στοιχείο της λίστας Το τελευταίο στοιχείο της λίστας Το n-οστό στοιχείο της λίστας Τα πρώτα n στοιχεία της λίστας Τα τελευταία n στοιχεία της λίστας Η λίστα χωρίς το πρώτο στοιχείο Η λίστα χωρίς τα n πρώτα στοιχεία Η λίστα χωρίς τα n τελευταία στοιχεία 10.7.4 Μεταβολή µιας λίστας Μία λίστα στοιχείων µπορεί να τροποποιηθεί, δηλαδή να προστεθούν ή να αφαιρεθούν στοιχεία, όπως και να ενωθεί µε µια άλλη λίστα στοιχείων. Το Mathematica περιέχει ένα σύνολο εντολών για τον χειρισµό αυτών των διεργασιών σε λίστες. list1 = {a,b,c}; list2 = {1,2,3}; Εστω η λίστα list 1, εάν ϑέλουµε να προσθέσουµε νέα στοιχεία στην αρχή, στο τέλος και σε ενδιάµεση ϑέση της λίστας και να διαγράψουµε κάποιο στοιχείο της λίστας, τότε πληκτρολογούµε: Prepend[list 1,new] {new,a,b,c} Append[list 1,new] {a,b,c,new} Insert[list 1,new,2] {a,new,b,c} Insert[list 1,new, 2]

10.8 Πίνακες 347 {a,b,new,c} Delete[list 1,2] {a,c} Η συννένωση των list 1 και list 2 γίνεται µε την εντολή Join. Join[list 1,list 2 ] {a,b,c,1,2,3 } Πίνακας 10.23. Εντολές µεταβολής των στοιχείων λίστας. Prepend[list,e] Append[list,e] Insert[list,e, i] Insert[list,e, i] Delete[list, i] Join[list 1, list 2,...] Προσθέτει το στοιχείο e στην αρχή της λίστας. Προσθέτει το στοιχείο e στο τέλος της λίστας. Προσθέτει το στοιχείο e στη ϑέση i της λίστας. Προσθέτει το στοιχείο e στη ϑέση i της λίστας, µετρώντας από το τέλος της λίστας. ιαγράφει το στοιχείο που ϐρίσκεται στη ϑέση i της λίστας. Ενώνει τις λίστες list 1, list 2,... και δηµιουργεί µία νέα λίστα. 10.8 Πίνακες Στούς πίνακες ορίζονται και εκτελούνται πράξεις µε τη ϐοήθεια των λιστών. Ενας πίνακας µπορεί να ϑεωρηθεί σαν µια λίστα µε στοιχεία λίστες που αντιστοιχούν στις γραµµές του πίνακα. Για παράδειγµα, ένας πίνακας 2 2 µπορεί να ϑεωρηθεί ως λίστα δύο άλλων λιστών. Ο πίνακας ( ) a b c d µπορεί να δηλωθεί ως

348 Παράρτηµα Β - Mathematica pinakas = {{a,b}, {c,d}}; Οι εντολές που ήδη έχουµε αναφέρει στο υποκεφάλαιο των λιστών µ- πορούν να χρησιµοποιηθούν και στην περίπτωση των πινάκων. Για να έχουµε τη γραµµή ενός πίνακα αρκεί να δηλώσουµε τη ϑέση της στον πίνακα. pinakas[[2]] {c,d} Ενώ, για να πάρουµε ένα συγκεκριµένο στοιχείο του πίνακα πρέπει να δηλώσουµε τη ϑέση του ως προς γραµµή και στήλη. pinakas[[2,1]] {c} 10.8.1 ηµιουργία πινάκων Οι πίνακες, όπως και οι λίστες µπορούν να δηµιουργηθούν µε πολλές εντολές του Mathematica. Πίνακας 10.24. Εντολές δηµιουργίας πινάκων. Table[f, {i, m}, {j, n}] Array[f, {m, n}] ηµιουργεί έναν πίνακα m n όπου f είναι µια συνάρτηση των i και j, η οποία δίνει την τιµή του αντίστοιχου στοιχείου του πίνακα. ηµιουργεί έναν πίνακα m n τα στοιχεία του οποίου είναι της µορφής f[i, j]. Εστω ότι, ϑέλουµε να δηµιουργήσουµε έναν πίνακα 2 2 µε στοιχεία a[i,j]. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις εντολές Table ή Array. pinak1 = Table[a[i,j], {i,2}, {j,2}] {{a[1,1],a[1,2]}, {a[2,1],a[2,2]}} pinak2 = Array[a, {2, 2}]

10.8 Πίνακες 349 {{a[1,1],a[1,2]}, {a[2,1],a[2,2]}} Οι πίνακες που προκύπτουν µπορούν να προβληθούν µε πολλούς τρόπους χρησιµοποιώντας εντολές που καθορίζουν τη µορφή παρουσίασης. Η δεδοµένη µορφή είναι η µορφή λίστας. Πίνακας 10.25. Μορφές προβολής πίνακα. TableForm[matrix] MatrixForm[matrix] Προβολή σε µορφή απλού πίνακα Προβολή σε µορφή αλγεβρικού πίνακα TableForm[pinak1] a[1, 1] a[1, 2] a[2, 1] a[2, 2] MatrixForm[pinak1] α[1,1] α[1,2] α[2,1] α[2,2] Οι εντολές TableForm και MatrxiForm διαθέτουν επιπλέον επιλογές που αφορούν την προβολή του πίνακα, ενώ υπάρχει η δυνατότητα αλλαγής της στοίχισης των στηλών, του κενού µεταξύ των στηλών κ.τ.λ. 10.8.2 Είδη πινάκων Εκτός από τις γενικές εντολές για τη δηµιουργία πινάκων (Table,Array) υπάρχουν και εντολές για τη δηµιουργία πινάκων µε συγκεκριµένη δοµή, όπως ο µοναδιαίος ή ο διαγώνιος πίνακας. Η εντολή DiagonalMatrix δηµιουργεί έναν πίνακα µε µηδενικά στοιχεία εκτός από τα στοιχεία της διαγωνίου, που αντιστοιχούν στα στοιχεία της λίστας που δηλώνουµε. DiagonalMatrix[{1, 2, 3}]

350 Παράρτηµα Β - Mathematica Πίνακας 10.26. Είδη πινάκων. DiagonalMatrix[list] ιαγώνιος πίνακας µε στοιχεία διαγωνίου τα στοιχεία της λίστας. IdentityMatrix[n] Μοναδιαίος πίνακας n n. T able[0, {m}, {n}] T able[random[ ], {m}, {n}] T able[if[i >= j, 1, 0], {i, m}, {j, n}] T able[if[i <= j, 1, 0], {i, m}, {j, n}] Μηδενικός πίνακας. Πίνακας τυχαίων αριθµών. Κάτω τριγωνικός πίνακας. Άνω τριγωνικός πίνακας. {{1,0,0 }, {0,2,0 }, {0,0,3 }} Η εντολή IdentityMatrix παράγει έναν µοναδιαίο πίνακα µε καθορισ- µένες διαστάσεις. IdentityMatrix[3] {{1,0,0 }, {0,1,0 }, {0,0,1 }} Σε συνδυασµό µε τη συνάρτηση Random, η εντολή Table µπορεί να δηµιουργήσει πίνακα τυχαίων αριθµών. Table[Random[ ], {2}, {2}] {{0.0560708,0.6303 }, {0.359894,0.871377 }} Επιλογή τυχαίων αριθµών. Η εντολή Random εµφανίζει τυχαίους αριθµούς και µπορεί να χρησιµοποιηθεί σε συνδιασµό µε την εντολή Table για τη δηµιουργία πίνακα τυχαίων αριθµών. Ανάλογα µε τα ορίσµατά της µπορεί να δώσει συγκεκριµένο τύπο αριθµών (Ακεραίων, Πραγµατικών, Μιγαδικών κ.τ.λ.) ή ακόµη και να περιορίσει το διάστηµα επιλογής τους. Θεωρείται δεδοµένο ότι, κάθε ϕορά που καλείται η εντολή Random το αποτέλεσµα είναι διαφορετικό.

10.8 Πίνακες 351 Πίνακας 10.27. Εντολές επιλογής τυχαίων αριθµών. Random[ ] Random[Real,x max] Random[Real, {x min, x max}] Random[type, range, n] Τυχαίος πραγµατικός αριθµός στο διάστηµα [0, 1]. Τυχαίος πραγµατικός αριθµός στο διάστηµα [0, x max]. Τυχαίος πραγµατικός αριθµός στο διάστηµα [x min, x max]. Τυχαίος n-ψήφιος αριθµός τύπου type, στο διάστηµα range. Random[Integer] 0 ή 1 µε πιθανότητα 1 2. Random[Integer, {i min, i max}] Τυχαίος ακέραιος αριθµός στο διάστηµα [i min, i max]. 10.8.3 Λειτουργίες πινάκων Αντίστροφος πίνακας. Το Mathematica διαθέτει την εντολή Inverse[m], όπου m ένας τετραγωνικός πίνακας, για την εύρεση του αντιστρόφου πίνακα. Οταν ο πίνακας είναι άγνωστος ϑεωρείται ότι, η ορίζουσά του είναι µη-µηδενική. Εστω ο πίνακας 2 2 m = {{a,b}, {c,d}}; MatrixForm[m] ( ) a b c d Βρίσκουµε τον αντίστροφο πίνακα, ϑεωρώντας ότι η ορίζουσα ad bc είναι διάφορη του µηδενός. Inverse[m] {{ d bc + ad, b bc + ad } {, c bc + ad, }} a bc + ad Πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα m µε τον αντίστροφό του πρέπει να προκύψει ο µοναδιαίος πίνακας.

352 Παράρτηµα Β - Mathematica %. m {{ bc bc + ad + } { ad bc + ad,0, bc 0, bc + ad + }} ad bc + ad Χρησιµοποιώντας την εντολή Together για να απαλείψουµε τους παρονοµαστές, προκύπτει ο µοναδιαίος πίνακας. Together[%] {{1,0 }, {0,1 }} Στην περίπτωση που ο πίνακας έχει ορίζουσα µηδενική, συνεπώς δεν αντιστρέφεται, το Mathematica επιστρέφει το ανάλογο µήνυµα και τον αρχικό πίνακα. Ανάστροφος πίνακας. Η εντολή T ranspose[pinak] αναστρέφει έναν πίνακα pinak, m n δίνοντας έναν πίνακα n m. Το στοιχείο a ij του αρχικού πίνακα γίνεται το στοιχείο a ji του ανάστρο- ϕου. ίνουµε το ακόλουθο παράδειγµα: p = {{1,2,3}, {4,5,6}}; MatrixForm[p] ( ) 1 2 3 4 5 6 MatrixForm[Transpose[p]] 1 4 2 5 3 6 Ορίζουσες. Η εντολή Det[m] δίνει την ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα m m, ενώ η εντολή Minors[m,k] δίνει έναν πίνακα που περιέχει τις ορίζουσες όλων των υποπινάκων k k του πίνακα m. Εστω ο τετραγωνικός πίνακας 3 3, pin1. Βρίσκουµε την ορίζουσά του. pin1 = {{1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,7}}; Det[pin1] 6

10.9 ιανύσµατα 353 Για τον πίνακα pin2, 3 2 ϐρίσκουµε τις ορίζουσες όλων των 2 2 υποπινάκων του. pin2 = {{1,2}, {3,4}, {5,6}}; Minors[pin2, 2] {{ 2 }, { 4 }, { 2 }} 10.9 ιανύσµατα Τα διανύσµατα στο Mathematica παριστάνονται ως λίστες αριθµών ή µεταβλητών. Για παράδειγµα, ο ορισµός vector = {1,2,3}; δηλώνει ένα διάνυσµα µε συντεταγµένες 1, 2, 3 ως προς x, y και z αντίστοιχα. 10.9.1 Πράξεις µεταξύ διανυσµάτων Οι συνήθεις πράξεις µεταξύ διανυσµάτων (πρόσθεση δύο διανυσµάτων, πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα) δεν παρουσιάζουν κάποια ιδιαιτερότητα ως προς τις εντολές. Clear[a, b] a = {1,2,3}; b = {4,5,6}; a +b {5,7,9 } 5 a {5,10,15 }

354 Παράρτηµα Β - Mathematica Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Το εσωτερικό γινόµενο διανυσ- µάτων µπορεί να παρασταθεί µε τρεις τρόπουσ: 1. Με χρήση της τελείας ανάµεσα στα διανύσµατα v 1. v 2... a. b 32 2. Με χρήση της ενσωµατωµένης εντολής Dot[v 1,v 2,...] Dot[a, b] 32 3. Με χρήση της εντολής DotProduct[v 1,v 2,...] που περιέχεται στο πακέτο Calculus VectorAnalysis << Calculus VectorAnalysis DotProduct[a, b] 32 Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Για το εξωτερικό γινόµενο διανυσ- µάτων υπάρχουν δύο εντολέσ: 1. Η ενσωµατωµένη εντολή Cross[v 1,v 2,...] Cross[a, b] { 3,6, 3 } 2. Η εντολή CrossProduct[v 1,v 2,...] που περιέχεται στο πακέτο Calculus VectorAnalysis << Calculus VectorAnalysis CrossProduct[a, b] { 3,6, 3 }

10.9 ιανύσµατα 355 Μοναδιαίο διάνυσµα - Κανονικοποίηση διανύσµατος. Το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος a = {a 1,a 2,a 3 } υπολογίζεται χρησιµοποιώντας την εντολή N ormalize[vector], η οποία περιέχεται στο πακέτο LinearAlgebra Orthogonalization. Εστω το διάνυσµα a, {a 1,a 2,a 3 }. << LinearAlgebra Orthogonalization Clear[a, a1, a2, a3] a = {a1,a2,a3}; Normalize[a] a1 { a1 2 + a2 2 + a3, 2 a2 a1 2 + a2 2 + a3 2, a3 a1 2 + a2 2 + a3 2 } Μετατροπές διανυσµάτων. Οι µετατροπές διανυσµάτων από δισδιάστατο χώρο σε τρισδιάστατο και αντίστροφα είναι πολλές ϕορές απαραίτητες για να γίνουν οι πράξεις µεταξύ δύο διανυσµάτων. Για τις λειτουργίες αυτές χρησιµοποιούµε και πάλι εντολές των λιστών. Για την µετατροπή διανύσµατος δισδιάστατου χώρου σε διάνυσµα του τρισδιάστατου χρησιµοποιούµε την εντολή Join. Clear[a, b] a = {1,2}; b = Join[a, {0}] {1,2,0 } Για την µετατροπή διανύσµατος τρισδιάστατου χώρου σε διάνυσµα του δισδιάστατου χρησιµοποιούµε την εντολή Drop. Clear[a, b] a = {1,2,0}; b = Drop[a, {3}] {1,2 } ή εναλλακτικά b = Drop[a, 1] {1,2 }

356 Παράρτηµα Β - Mathematica 10.10 Σχεδίαση συναρτήσεων µιας µεταβλητής Η εντολή που χρησιµοποιείται για το σχεδιασµό πραγµατικών συναρτήσεων µιας µεταβλητής είναι η Plot, η οποία παράγει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο διάστηµα [a,b]. Plot[f[x], {x,x min,x max }] Το Mathematica µας πληροφορεί για τη ϐασική σύνταξη της εντολής Plot µε την?plot.?plot Plot[f, {x,x min,x max }] generates a plot of f as a function of x from x min to x max. Plot[{f 1,f 2,...}, {x,x min,x max }] plots several functions f i. Παράδειγµα 1 Clear[f] f[x_] := Sin[x]; Plot[f[x], {x, π,π}]; 1 0.5-3 -2-1 1 2 3-0.5 Σχήµα 10.1. Η γραφική παράσταση της Sin(x) από x = 0 έως x = 2π. -1

10.10 Σχεδίαση συναρτήσεων µιας µεταβλητής 357 10.10.1 Επιλογές της Plot Το Mathematica διαθέτει κάποιες προεπιλογές για το σχεδιασµό των γραφικών παραστάσεων, οι οποίες µπορούν να επαναπροσδιοριστούν από τον χρήστη. Κάθε επιλογή έχει ένα καθορισµένο όνοµα και µια προεπιλεγµένη τιµή, ως τελευταία ορίσµατα στην εντολή Plot µπορούµε να συµπεριλάβουµε µία διαδοχή κανόνων του τύπου option value για να προσδιορίσουµε τις τιµές των διαφόρων επιλογών. Κάθε µη επαναπροσδιοριζόµενη επιλογή ϑεωρείται ότι έχει την προεπιλεγµένη τιµή. Plot[f[x], {x,x min,x max },option value] Η εντολή Plot διαθέτει πολλές επιλογές. Οι σηµαντικότερες από αυτές είναι: Πίνακας 10.28. Επιλογές της εντολής Plot. Ονοµα Επιλογής Προεπιλεγµένη Τιµή 1 AspectRatio GoldenRatio Axes Automatic AxesLabel None AxesOrigin Automatic DisplayFunction $DisplayFunction Frame False PlotLabel None PlotRange Automatic PlotStyle Automatic PlotPoints 25 Ας δούµε λεπτοµερέστερα τις πιο συνηθισµένες επιλογές που είναι κοινές για τις περισσότερες εντολές σχεδίασησ: AspectRatio αριθµός : ίνει την αναλογία του µήκους του άξονα x ως προς τον άξονα y. Η προεπιλεγµένη τιµή είναι 1/GoldenRatio. Η χρυσή τοµή (GoldenRatio) είναι µία ενσωµατωµένη σταθερά του Mathematica µε προσεγγιστική τιµή 1.61803. Η επιλογή αυτή είναι χρήσιµη όταν ϑέλουµε να ελέγξουµε την κλίµακα της γραφικής παράστασης.

358 Παράρτηµα Β - Mathematica Axes True : Τοποθετεί άξονες στη γραφική παράσταση. Η προεπιλεγµένη τιµή είναι False (δεν υπάρχουν άξονες). AxesLabel { ετικέτα του άξονα X, ετικέτα του άξονα Y } : Τοποθετεί ετικέτες στους άξονες x και y. AxesOrigin {x, y} : Το κέντρο των αξόνων µετατοπίζεται στο σηµείο (x,y). DisplayFunction Identity : Χρησιµοποιείται για να αποτρέψει την εµφάνιση της γραφικής παράστασης σαν αποτέλεσµα της εντολής Plot. Frame True : Σχεδιάζει ένα πλαίσιο γύρω από το γράφηµα. PlotLabel λεζάντα : Τοποθετεί µία επιγραφή πάνω από το γράφηµα. PlotRange {y min,y max } ή All ή {{x min,x max }, {y min,y max }} : Η πρώτη επιλογή προσδιορίζει την περιοχή {y min,y max } που ϑα εµφανιστεί το γράφηµα. Με την PlotRange All εµφανίζεται όλο το γράφηµα. Με την εντολή PlotRange[{x min,x max }, {y min,y max }] εµφανίζεται το γράφηµα στο ορθογώνιο που ορίζουν τα τέσσερα σηµεία. PlotStyle : Είναι µια επιλογή που προσδιορίζει την εµφάνιση του γραφήµατος. Η εντολή Plot[f[x], {x,x min,x max },PlotStyle GrayLevel[w]], όπου w ένας αριθµός µεταξύ 0 και 1, εµφανίζει το γράφηµα σε αποχρώσεις του γκρι. Η τιµή w = 0 αντιπροσωπεύει το µαύρο και w = 0 το λευκό χρώµα. Η εντολή Plot[f[x], {x,x min,x max },PlotStyle RGBColor[r,g,b]}, όπου r,g,b αριθµοί µεταξύ 0 και 1, εµφανίζει το γράφηµα σε διάφορες αποχρώσεις. Η τιµή RGBColor[1,0,0] αντιπροσωπεύει το κόκκινο, RGBColor[0,1,0] το πράσινο και RGBColor[0,0,1] το µπλέ.

10.10 Σχεδίαση συναρτήσεων µιας µεταβλητής 359 Ενα γράφηµα µε διακεκοµµένη γραµµή µπορεί να παραχθεί µε την επιλογή όπου a,b,c,... αριθµοί. PlotStyle Dashing[{a,b,c,...}], PlotPoints Αριθµός : Ο ελάχιστος αριθµός σηµείων που χρησι- µοποιεί το Mathematica για να σχεδιάσει τη συνάρτηση. Παράδειγµα 2 Ας δούµε πως επιδρούν οι επιλογές της Plot στη γραφική παράσταση που δηµιουργήσαµε στο παράδειγµα 1. Plot[Sin[x], {x,0,2 Pi},AxesLabel { X, Y }, AxesOrigin {0.5, 0.5}] Y 1 0 1 2 3 4 5 6 X 0-0.5-1 Σχήµα 10.2. Η γραφική παράσταση της sin x κάνοντας χρήση των επιλογών AxesLabel και AxesOrigin. Plot[Sin[x], {x,0,2 Pi},AspectRatio 1,PlotStyle {RGBColor[0,0,1],Dashing[{0.01}]}]; Μία πλήρης λίστα µε όλες τις διαθέσιµες επιλογές της εντολής Plot µπορούµε να πάρουµε µε την εντολή Options [Plot]. Options[Plot] 1 { AspectRatio GoldenRatio, Axes Automatic, AxesLabel None, AxesOrigin Automatic, AxesStyle Automatic, Background

360 Παράρτηµα Β - Mathematica 1 0,5-0,5 1 2 3 4 5 6-1 Σχήµα 10.3. Η γραφική παράσταση της sin x κάνοντας χρήση των επιλογών AspectRatio και PlotStyle. Automatic, ColorOutput Automatic, Compiled True, Default Color Automatic, Epilog {}, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle Automatic, FrameTicks Automatic, GridLines None, ImageSize Automatic, MaxBend 10, PlotDivision 30, PlotLabel None, PlotPoints 25, PlotRange Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, Prolog {}, RotateLabel True, Ticks Automatic, DefaultFont : $ DefaultFont, DisplayFunction : $ DisplayFunction, FormatType : $ FormatType, TextStyle : $ TextStyle } 10.10.2 Σχεδίαση λίστας συναρτήσεων Η εντολή Plot µπορεί να χρησιµοποιηθεί και στη σχεδίαση πολλών συναρτήσεων f, g, h,... ταυτόχρονα, σε συγκεκριµένο όµως διάστηµα (a,b). Plot[{f[x],g[x],h[x],...}, {x,x min,x max }] Παράδειγµα 3 Clear[f, g] f[x_] := Sin[x]; g[x_] := Cos[x]; Plot[{f[x],g[x]}, {x,0,2 Pi},PlotStyle {RGBColor[0,0,1], RGBColor[0,1,0]}];

10.10 Σχεδίαση συναρτήσεων µιας µεταβλητής 361 1 0.5 1 2 3 4 5 6-0.5-1 Σχήµα 10.4. Η γραφική παράσταση των συναρτήσεων sin x και cos x. 10.10.3 Σχεδίαση πολύκλαδων συναρτήσεων µιας µεταβλητής Οι πολύκλαδες συναρτήσεις σχεδιάζονται στο Mathematica µε τον ίδιο τρόπο όπως και οι µονόκλαδες. Ανεξάρτητα από τον τρόπο ορισµού της συνάρτησης (µε χρήση περιορισµού ή της εντολής If) το γραφικό αποτέλεσµα παραµένει το ίδιο, όπως ϐλέπουµε στο παράδειγµα 4. Παράδειγµα 4 Clear[f 1,f 2 ] f 1 [x_] := x 2 /;x 0 f 1 [x_] := x 2 /;x < 0 f 2 [x_] := If[x >= 0,x 2, x 2 ] Plot[f 1 [x], {x, 3,3},AspectRatio 1]; Plot[f 2 [x], {x, 3,3},AspectRatio 1]; 10.10.4 Η εντολή Evaluate Σε ορισµένες περιπτώσεις είναι προτιµότερο να υπολογίζουµε τις τιµές της συνάρτησης πριν αρχίσει το Mathematica το σχεδιασµό της γραφικής παράστασης. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη συνάρτηση Evaluate µέσα στην Plot για να µη ϕτάσουµε σε µηνύµατα λάθους του τύπου "machine size real numbers" και κενές γραφικες παραστάσεις. Η συνάρτηση Plot µετατρέπεται στην Plot[Evaluate[f[x]], {x,x min,x max }]

362 Παράρτηµα Β - Mathematica 2 1-3 -2-1 1 2 3-1 -2 Σχήµα 10.5. Η γραφική παράσταση των συναρτήσεων f 1 ή f 2 10.11 Επανασχεδιασµός γραφικών παραστάσεων. Το Mathematica διατηρεί τις πληροφορίες για κάθε γράφηµα που σχεδιάζουµε έτσι ώστε, να µπορούµε αργότερα να το αναπαράγουµε και µε άλλες επιλογές. Απαραίτητη ϐέβαια προϋπόθεση είναι η αποθήκευση του γραφήµατος σε µία µεταβλητή ή η χρήση του συµβόλου %.?Show "Show[graphics, options] displays two and three dimensional graphics, using the options specified. Show[g1, g2,... ] shows several plots combined." Οι εντολές που χρησιµοποιούνται για τον επανασχεδιασµό των γραφηµάτων είναι : Show[plot] Show[plot, options ] Show[plot1,plot2,...] Show[GraphicsArray[{{plot1,plot2,...},...}]] Παράδειγµα 5 Clear[f, g] f[x_] := Sin[x];

10.11 Επανασχεδιασµός γραφικών παραστάσεων. 363 g[x_] := Cos[x]; plot1 = Plot[f[x], {x, 0, π}, PlotStyle {RGBColor[1, 0, 0], Dashing[{0.01}]}, DisplayFunction Identity]; plot2 = Plot[g[x], {x,0,2 Pi},PlotStyle {RGBColor[0,0,1]}, DisplayFunction Identity]; Show[{plot1, plot2}, DisplayFunction $DisplayFunction, PlotLabel Example4 ]; 1 0,5-0,5 1 2 3 4 5 6-1 Σχήµα 10.6. Το κοινό διάγραµµα των συναρτήσεων sin x στο διάστηµα (0, π) και cos x στο διάστηµα (0, 2π). plot3 = Plot[Tan[x], {x, 1, 1}, DisplayFunction Identity]; Show[GraphicsArray[{{plot1,plot2}, {plot3}}]]; Σχήµα 10.7. Οι γραφικές παραστάσεις των sin x, cos x και tan x.

364 Παράρτηµα Β - Mathematica 10.12 Παραµετρική σχεδίαση συναρτήσεων µιας µεταβλητής Η εντολή ParametricPlot χρησιµοποιείται για τη σχεδίαση δισδιάστατων παραµετρικών γραµµών όταν τα x και y δίνονται συναρτήσει µιας τρίτης παραµέτρου t. Ετσι η εντολή ParametricPlot[{x[t],y[t]}, {t,t min,t max }] σχεδιάζει τη γραµµή που δίνεται ως x=x(t), y=y(t),t min t t max. Παράδειγµα 6 Clear[x, y] x[t_] := Sin[t]; y[t_] := Sin[2 t]; ParametricPlot[{x[t],y[t]}, {t,0,2 π}]; 1 0.5-1 -0.5 0.5 1-0.5 Σχήµα 10.8. Η παραµετρική σχεδίαση της καµπύλης x = sin t, y = sin 2t. -1 10.12.1 Επιλογές της ParametricPlot Options[ParametricPlot] 1 { AspectRatio GoldenRatio, Axes Automatic, AxesLabel None, AxesOrigin Automatic, AxesStyle Automatic, Background Automatic, ColorOutput Automatic, Compiled True, Default Color Automatic, Epilog {}, Frame False, FrameLabel

10.12 Παραµετρική σχεδίαση συναρτήσεων µιας µεταβλητής 365 None, FrameStyle Automatic, FrameTicks Automatic, GridLines None, ImageSize Automatic, MaxBend 10., PlotDivision 30., PlotLabel None, PlotPoints 25, PlotRange Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, Prolog {}, RotateLabel True, Ticks Automatic, DefaultFont : $ DefaultFont, DisplayFunction : $ DisplayFunction, FormatType : $ FormatType, TextStyle : $ TextStyle } Οι περισσότερες επιλογές της ParametricPlot είναι όµοιες µε αυτές της Plot, τις οποίες έχουµε ήδη αναλύσει. Η µόνη παρατήρηση που µ- πορούµε να κάνουµε αφορά την επιλογή AspectRatio. Παρατηρούµε στο επόµενο παράδειγµα, ότι ϑέτοντας στην επιλογή AspectRatio Automatic διατηρείται το πραγµατικό σχήµα της καµπύλης που ϑέλουµε να σχεδιάσουµε. Παράδειγµα 7 p1 = ParametricPlot[{2 +3 Cos[t],1 +3 Sin[t]}, {t,0,2 π}, DisplayFunction Identity]; p2 = ParametricPlot[{2 +3 Cos[t],1 +3 Sin[t]}, {t,0,2 π}, DisplayFunction Identity, AspectRatio Automatic]; Show[GraphicsArray[{p1, p2}]]; 4 3 2 1-1 -1 1 2 3 4 5-2 4 3 2 1-1 1 2 3 4 5-1 -2 Σχήµα 10.9. Η γραφική παράσταση της καµπύλης x = 2 + 3cos t, y = 1 + 3sin t κάνοντας χρήση της επιλογής AspectRatio.

366 Παράρτηµα Β - Mathematica 10.13 Το πακέτο Graphics FilledPlot Η ϐιβλιοθήκη Graphics Filledplot περιλαµβάνει τις εξής εντολές : 1. την εντολή FilledPlot που σχεδιάζει µια συνάρτηση f[x] γεµίζοντας το κενό µεταξύ της καµπύλης και του οριζόντιου άξονα. Η εντολή αυτή µπορεί να σχεδιάσει πολλές συναρτήσεις γεµίζοντας τα κενά µεταξύ των καµπυλών µε διαφορετικά χρώµατα. FilledPlot[f[x], {x,x min,x max }] FilledPlot[{f 1 [x],f 2 [x],...}, {x,x min,x max }] 2. την εντολή FilledListPlot που σχεδιάζει καµπύλες που δίνονται ως σηµεία γεµίζοντας το κενό µεταξύ της καµπύλης και του οριζόντιου άξονα µε διάφορα χρώµατα. FilledListPlot[{y 1,y 2,...}] FilledListPlot[{{x 1,y 1 }, {x 2,y 2 },...}] Παράδειγµα 8 << Graphics FilledPlot Clear[fpl 1,fpl 2 ] fpl 1 = FilledPlot[Sin[x], {x,0,2 π},displayfunction Identity]; fpl 2 = FilledPlot[{Sin[x],Cos[x],x 2 /12}, {x,0,2 π}, DisplayFunction Identity]; Show[GraphicsArray[{{fpl 1,fpl 2 }}]]; 10.13.1 Επιλογές της FilledPlot Options[FilledPlot] { Fills Automatic, Curves Back, AxesFront True, AspectRatio 1 GoldenRatio, Axes Automatic, AxesLabel None, AxesOrigin Automatic, AxesStyle Automatic, Background Automatic, ColorOutput Automatic, Compiled True, DefaultColor Automatic, Epilog {}, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle

10.13 Το πακέτο Graphics FilledPlot 367 Σχήµα 10.10. (α) Η γραφική σχεδίαση της sin x µε την εντολή FilledPlot. (ϐ) Η γραφική σχεδίαση των sin x, cos x, x 2 /12 µε την FilledPlot. Automatic, FrameTicks Automatic, GridLines None, ImageSize Automatic, MaxBend 10., PlotDivision 30., PlotLabel None, PlotPoints 25, PlotRange Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, Prolog {}, RotateLabel True, Ticks Automatic, DefaultFont : $ DefaultFont, DisplayFunction : $ DisplayFunction, FormatType : $ FormatType, TextStyle : $ TextStyle } Οι περισσότερες επιλογές της συνάρτησης FilledPlot είναι όµοιες µε της Plot. Οι πιο χαρακτηριστικές επιλογές της δίνονται στον ακόλουθο πίνακα : Πίνακας 10.29. Οι επιλογές της εντολής FilledPlot. Επιλογές Προεπιλογή Περιγραφή Fills Automatic Καµπύλες και στυλ που χρησιµοποιούνται για το γέµισµα των περιοχών σχεδίασης Curves Back Ο τρόπος παρουσίασης των γραµµών Παράδειγµα 9 << Graphics FilledPlot Clear[flp1, flp2] flp1 = FilledPlot[{x 2 /18,Cos[x],Sin[x]}, {x,0,2 Pi},Fills {{{1,Axis},GrayLevel[.8]}, {{2,3},RGBColor[1,0,1]}}, Curves Front, DisplayFunction Identity];

368 Παράρτηµα Β - Mathematica flp2 = FilledPlot[{Cos[x],Sin[x]}, {x,0,2 Pi},Fills {{{1,Axis},GrayLevel[.9]}, {{2,3},RGBColor[0,0,1]}}, Curves None, DisplayFunction Identity]; Show[GraphicsArray[{{flp1,flp2}}]]; Σχήµα 10.11. Η γραφική σχεδίαση των sin x, cos x, x 2 /18 κάνοντας χρήση των επιλογών της εντολής FilledPlot. 10.13.2 Επιλογές της FilledListPlot Options[FilledListPlot] { Curves Back, Fills Automatic, AxesFront True, Plot 1 Style Automatic, AspectRatio GoldenRatio, Axes Automatic, AxesLabel None, AxesOrigin Automatic, AxesStyle Automatic,Background Automatic, ColorOutput Automatic,DefaultColor Automatic, Epilog {}, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle Automatic, FrameTicks Automatic, GridLines None,ImageSize Automatic, PlotLabel None, PlotRange Automatic, PlotRegion Automatic,Prolog {}, RotateLabel True, Ticks Automatic, DefaultFont : $ DefaultFont, DisplayFunction : $ DisplayFunction, FormatType : $ FormatType, TextStyle : $ TextStyle } Μία χαρακτηριστική επιλογή της FilledListPlot είναι η AxesFront που µ- πορεί να πάρει τιµές True ή False και σχεδιάζει τους άξονες της γραφικής παράστασης στο ϕόντο ή στο παρασκήνιο. Παράδειγµα 10 << Graphics FilledPlot

10.14 Το πακέτο Graphics ImplicitPlot 369 Clear[flp1, flp2] flp1 = FilledListPlot[{1, 3, 2, 5, 2}, DisplayFunction Identity]; flp2 = FilledListPlot[{{1,2}, {3,1}, {4, 3}, {5,3}, {6,5}}, Fills RGBColor[1, 0, 0], DisplayFunction Identity]; Show[GraphicsArray[{{flp1,flp2}}]]; Σχήµα 10.12. Σχεδίαση καµπυλών που δίνονται ως σηµεία µε την εντολή FilledListPlot. 10.14 Το πακέτο Graphics ImplicitPlot Η εντολή ImplicitPlot που περιλαµβάνεται στηο αντίστοιχο πακέτο χρησιµοποιείται για τη σχεδίαση πεπλεγµένων συναρτήσεων. Συγκεκριµένα έχει τις δυνατότεσ: 1. Σχεδιάζει τη λύση της εξίσωσης eqn χρησιµοποιώντας τη µέθοδο Solve, µε το x να κυµαίνεται από x min έως x max. ImplicitPlot[eqn, {x,x min,x max }] 2. Σχεδιάζει τη λύση της eqn αποφεύγοντας τα σηµεία m 1,m 2,... ImplicitPlot[eqn, {x,x min,m 1,m 2,...,x max }] 3. Σχεδιάζει τη λύση της eqn χρησιµοποιώντας τη µέθοδο ContourPlot. ImplicitPlot[eqn, {x,x min,x max }, {y,y min,y max }] 4. Σχεδιάζει τη λύση των eqn 1,eqn 2,... ImplicitPlot[{eqn 1,eqn 2,...},ranges,options]