3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την τιµή της f () όταν το παίρνει αυθαίρετα µεγάλες ϑετικές τιµές ή αλλιώς όπως ϑα λέµε η ανεξάρτητη µεταβλητή τείνει στο +. Είναι προφανές ότι αν στο κλάσµα / ο παρανοµαστής γίνεται όσο µεγάλος ϑετικός αριθµός ϑέλουµε ( + ), το κλάσµα / γίνεται αντίστοιχα όσο µικρός ϑετικός αριθµός ϑέλουµε (y 0 + ), δηλαδή η τιµή της f () τείνει να γίνει 0 από ϑετικές τιµές. Επειδή η f () είναι περιττή συνάρτηση, το γράφηµά της είναι συµµετρικό ως προς την αρχή των αξόνων κι έχουµε αντίστοιχες διαπιστώσεις όταν το παίρνει πολύ µεγάλες αρνητικές τιµές ( ). Σε αυτή την περίπτωση η τιµή της f () γίνεται πολύ κοντά στο 0 από αρνητικές τιµές. Είναι τώρα ϕυσικό να αναζητήσουµε την τιµή της συνάρτησης όταν το παίρνει τιµές κοντά στο 0 από αριστερά ( < 0) και δεξιά ( > 0), γνωρίζοντας ϐέβαια ότι 0 / D(f ). Με παρόµοιες διαπιστώσεις όπως προηγουµένως και από το σχήµα συµπεραίνουµε ότι όταν το 0 + τότε f () +, και αντίστοιχα όταν το 0, τότε f (). Από την παραπάνω ανάλυση ανακύπτει το αρχικό ερώτηµα για ποιά σηµεία µπορούµε να αναζητούµε πως συµπεριφέρονται οι τιµές µιας συνάρτησης f (). Ορισµός 3.. Ενα σηµείο 0 ονοµάζεται σηµείο συσσώρευσης του πεδίου ορισµού της f () αν και µόνο αν σε κάθε περιοχή ϖ( 0 ) του 0, υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο του D(f ) 28
διαφορετικό από το 0, δηλαδή ϖ( 0 ) D(f ) { 0 }. Για παράδειγµα, αφού η συνάρτηση f () = /, ορίζεται στο διάστηµα (0, + ) το οποίο είναι µια περιοχή του +, τότε το σηµείο + είναι σηµείο συσσώρευσης του D(f ), και έχει νόηµα να αναζητούµε τις οριακές τιµές της f () καθώς το τείνει στο +. Το σηµείο συσσώρευσης του D(f ) µπορεί να ανήκει στο D(f ), αλλά µπορεί να µήν ανήκει στο D(f ). Για παράδειγµα το 0 είναι σηµείο συσσώρευσης του D(f ) της συνάρτησης f () = /, αλλά δεν ανήκει στο πεδίο ορισµού της D(f ). Για να µπορούµε να εξετάσουµε αν υπάρχει η οριακή τιµή συνάρτησης f () κα- ϑώς 0, πρέπει και αρκεί το 0 να είναι σηµείο συσσώρευσης του D(f ), κι όχι απαραίτητα σηµείο του D(f ). Με πιό απλά λόγια, όταν αναζητάµε τις οριακές τιµές µιας συνάρτησης f () καθώς το τείνει στο 0 µας ενδιαφέρει τι συµβαίνει µε τις τιµές της f () σε κάθε γειτονιά του 0, αλλά όχι ακριβώς πάνω στο 0, το οποίο σηµείο 0 ενδεχοµένως να µην ανήκει καν στο πεδίο ορισµού D(f ) της f (). Ορισµός 3.2. Ενα σηµείο 0, το οποίο δεν είναι σηµείο συσσώρευσης του D(f ) λέγεται µεµονωµένο σηµείο του D(f ). ηλαδή, ένα σηµείο 0 λέγεται µεµονωµένο σηµείο του πεδίου ορισµού D(f ) της f () αν και µόνο αν (i) 0 D(f ) και (ii) υπάρχει περιοχή του 0, έστω ϖ( 0 ), τέτοια ώστε το µοναδικό κοινό σηµείο της ϖ( 0 ) µε το πεδίο ορισµού D(f ) να είναι το 0, δηλαδή ϖ( 0 ) D(f ) = { 0 }. Σύµφωνα µε τον ορισµό ένα µεµονωµένο σηµείο του D(f ), αναγκαστικά ανήκει στο D(f ). Για παράδειγµα, το σηµείο 0 = είναι µεµονωµένο σηµείο του πεδίου ορισµού της f () µε τύπο { ln, αν > 0, f () =, αν =, αφού D(f ) και υπάρχει περιοχή του, (για ( ) - y παράδειγµα το ανοικτό διάστηµα I = ( ε, + ε), µε κάθε 0 < ε < ) όπου το µοναδικό κοινό σηµείο του διαστήµατος I µε το πεδίο ορισµού D(f ) της f () είναι το σηµείο 0 =. 3.2 Οριακή τιµή συνάρτησης όταν + Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = 2 + όπου D(f ) = (, 3) ( 3, + ) = + 3 R { 3}. Ορίζεται λοιπόν το διάστηµα ( 3, + ) οπότε µπορούµε ν αναζητήσουµε που άρα ϑα περιέχει άπειρα σηµεία του D(f ), αφού αυτό συµβαίνει για κάθε περιοχή ( 0 ε, 0 + ε), µε ε R, 29
Σχήµα : Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = 2 + +3. τείνουν οι τιµές της f () καθώς το τείνει στο +. Εχουµε f () = 2 + + 3 (2 + /) = ( + 3/) = 2 + + 3 2 + 0 + 0 = 2 = 2 Ορισµός 3.3. Αν υπάρχει πραγµατικός αριθµός L τέτοιος που οι τιµές της συνάρτησης f () να είναι αυθαίρετα κοντά στην τιµή L, καθώς το παίρνει αυθαίρετα ϑετικά µεγάλες τιµές ( + ), ϑα λέµε ότι το όριο της f () είναι ο αριθµός L, και ϑα γράφουµε f () = L Σχήµα 2: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = 3 + 2. 30
Ας ϑεωρήσουµε τώρα την συνάρτηση f () = 3 + 2 όπου D(f ) = R. Άρα µπορούµε να αναζητήσουµε το όριο της f () καθώς το απειρίζεται ϑετικά. Είναι προφανές ότι όταν το +, τότε η f () +. Ορισµός 3.4. Θα λέµε ότι η f () έχει όριο το + ( ) καθώς το + αν και µόνο αν οι τιµές της f () γίνονται αυθαίρετα ϑετικά (αρνητικά) µεγάλες όταν το +, και ϑα γράφουµε Παράδειγµα 3.5. Θέλουµε να ϐρούµε το = ±. f () για την συνάρτηση f () = 3 2 + + 2 2 D(f ) = R {, } = (, ) (, ) (, + ), άρα ορίζεται στο διάστηµα (, + ) και συνεπώς µπορούµε να µιλάµε για το f (). Εχουµε f () = 3 2 + + 2 2 = 2 (3 + + 2 2 ) 2 ( 2 ) = 3 + + 2 2 2 3 + 0 + 0 0 = 3 = 3 Άρα f () = 3. Παράδειγµα 3.6. Θέλουµε να ϐρούµε το + 3 f () για την συνάρτηση f () = 2 4 D(f ) = R { 2, 2} = (, 2) ( 2, 2) (2, + ), άρα ορίζεται στο διάστηµα (2, + ) και συνεπώς µπορούµε να µιλάµε για το f (). Εχουµε f () = + 3 2 4 = ( + 3 ) 2 ( 4 2 ) = + 3 4 2 0 + 0 0 = 0 = 0 Άρα f () = 0. Παράδειγµα 3.7. Θέλουµε να ϐρούµε το f () για την συνάρτηση f () = 2 2 + + D(f ) = R { } = (, ) (, + ), άρα ορίζεται στο διάστηµα (, + ) και συνεπώς µπορούµε να µιλάµε για το f (). Εχουµε f () = 2 2 + + = 2 (2 + ( + ) = 2 + 2 2 + 2 ) + 2 + 0 + 0 = + 2 = + Άρα f () = +. 3
Παράδειγµα 3.8. Θέλουµε να ϐρούµε το f () για την συνάρτηση f () = 2 + 2 D(f ) = { R : 2+ 2 0} = { R : 2 2 0} = { R : 2} = [, 2]. Άρα το f () δεν υπάρχει γιατί υπάρχει µια περιοχή του + στη οποία η f () δεν ορίζεται, π.χ. η (2, + ). Παράδειγµα 3.9. Θέλουµε να ϐρούµε το f () για την συνάρτηση f () = sin D(f ) = R, άρα µπορούµε να αναζητήσουµε το f (). Ας πάµε στο ϑετικό άπειρο µε δυο διαφορετικούς τρόπους : a) = 2 n π b) = 2 n π + π/2, n = 0,, 2, 3... Πράγµατι, χρησιµοποιώντας την Αρχιµήδεια ιδιότητα των πραγµατικών µπορούµε να συµπε- ϱάνουµε εύκολα ότι καθώς το n διατρέχει τους ϕυσικούς αριθµούς, οι πραγµατικοί αριθµοί και µας οδηγούν σε οποιονδήποτε µεγάλο ϑετικό πραγµατικό ϑέλουµε, δηλαδή + και +. Οµως : Συνεπώς το sin = sin(2 n π) = 0, sin = sin(2 n π + π/2) = sin δεν υπάρχει, αφού αν υπήρχε ϑα έπρεπε 3.3 Οριακή τιµή συνάρτησης όταν sin = + sin. Ορισµός 3.0. Αν υπάρχει πραγµατικός αριθµός L στον οποίο η f () παίρνει τιµές αυθαίρετα κοντά στον L, καθώς το, λέµε ότι η f () έχει όριο το L και γράφουµε f () = L Ορισµός 3.. Αν η f () παίρνει αυθαίρετα µεγάλες ϑετικές (αρνητικές) τιµές καθώς το, λέµε ότι η f () έχει όριο το + ( αντίστοιχα) και γράφουµε f () = ± Παρατήρηση 3.2. Για να µπορούµε να µιλάµε για το όριο της f () όταν το, αρκεί η f να ορίζεται σε διάστηµα της µορφής (, a). Παράδειγµα 3.3. Εστω f () = 2 2 + 3 +, µε πεδίο ορισµού D(f ) = R. µπορούµε να αναζητήσουµε το όριο f (). Εχουµε Συνεπώς Άρα = +. f () = 2 ( + 3 + 2 ) (+ ) ( + 0 + 0) = + 32
Παράδειγµα 3.4. Εστω f () =, µε πεδίο ορισµού D(f ) = R { 2} = (, 2) + 2 ( 2, + ). Αφού η f ορίζεται στο διάστηµα (, 2) µπορούµε να αναζητήσουµε το όριο f (). Σε αυτό το διάστηµα για πολύ µεγάλα αρνητικά έχουµε ότι < 0, άρα = ( ) και διάφορα από το 2, 2, οπότε f () = + 2 = ( ) + 2 = ( + /) ( + 2/) = + / + 2/ + 0 + 0 = Άρα =. 3.4 Οριακή τιµή συνάρτησης όταν 0 R Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση µε τύπο f () = κι ας αναζητήσουµε που τείνουν οι τιµές της f καθώς το πλησιάζει το σηµείο 3, που είναι σηµείο συσσώρευσης του D(f ). Εχουµε f () = 3 3 2 άρα f () = 3 3 2 Ας ϑεωρήσουµε τώρα την συνάρτηση µε τύπο { f () = 2 αν 2 αν = 2 κι ας αναζητήσουµε το όριο της f καθώς το 2. Μας ενδιαφέρει η συµπεριφορά της f στην περιοχή του = 2 κι όχι τι γίνεται µε την τιµή της συνάρτησης ακριβώς για = 2. ηλαδή µας ενδιαφέρει τι τιµές παίρνει η f καθώς το 2 σε ένα διάστηµα της µορφής (a, 2) (2, b), µε a < 2 < b. Σηµειώνουµε ότι µπορεί η f () να µην ορίζεται για = 2 αλλά το 2 f () να υπάρχει! 2 = 4. Οπότε η απάντηση στο προηγούµενο ερώτηµα είναι ότι Ορισµός 3.5. Θα λέµε ότι το όριο της συνάρτησης f () είναι ο πραγµατικός αριθµός L κα- ϑώς η αναξάρτητη µεταβλητή τείνει στον πραγµατικό αριθµό 0 αν και µόνο αν οι τιµές της f () γίνονται αυθαίρετα κοντινές στο L για κάθε περιοχή του 0 αλλά µε 0. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση µε τύπο f () = f καθώς 2. D(f ) = R {2} = (, 2) (2, + ) κι ας αναζητήσουµε το όριο της ( 2) 2 Σε κάθε περιοχή (a, 2) (2, b) έχουµε ότι ( 2) 2 0, κι επειδή ( 2) 2 > 0 έχουµε ( 2) +. 2 Ορισµός 3.6. Θα λέµε ότι το όριο της f είναι το +, ( ) καθώς το 0 αν οι τιµές της f () γίνονται αυθαίρετα µεγάλες ϑετικά (αρνητικά) καθώς το στο πεδίο ορισµού D(f ) πλησιάζει το 0 και αυτό συµβαίνει σε κάθε περιοχή του 0 µε 0. 33
3.4. Πλευρικά όρια Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f µε τύπο { f () = 2 αν 2 αν > µε D(f ) = R κι ας αναζητήσουµε το όριο της f () καθώς το τείνει στο σηµείο. Μπορούµε να πλησιάσουµε το = από δυο περιοχές την (a, ) και την (, b) όπου a < < b. Αν πλησιάσουµε το µε > λέµε ότι έχουµε το της f από δεξιά του, + f () κι αν < λέµε ότι έχουµε το όριο της f από αριστερά του, f () Σχήµα 3: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (). Ορισµός 3.7. Θα λέµε ότι η f έχει όριο το L R (ή ± ) καθώς το τείνει στο 0 από δεξιά αν οι τιµές της f γίνονται αυθαίρετα κοντά στο L (ή ϑετικά-αρνητικά µεγάλες) καθώς το πλησιάζει αυθαίρετα κοντά το 0 σε κάθε περιοχή µε > 0. Το όριο αυτό το σηµειώνουµε µε + 0 = L (ή ± ) Ορισµός 3.8. Θα λέµε ότι η f έχει όριο το L R (ή ± ) καθώς το τείνει στο 0 από αριστερά αν οι τιµές της f γίνονται αυθαίρετα κοντά στο L (ή ϑετικά-αρνητικά µεγάλες) καθώς το πλησιάζει αυθαίρετα κοντά το 0 σε κάθε περιοχή µε < 0. Το όριο αυτό το σηµειώνουµε µε 0 = L (ή ± ) Τα όρια που ορίσαµε προηγουµένως λέγονται πλευρικά όρια της f (). Παρατήρηση 3.9. Αν η f ορίζεται στο διάστηµα (a, 0 ) αλλά όχι στο ( 0, b) τότε < 0 οπότε έχει νόηµα να αναζητούµε µόνο το όριο 0 f () = µε D(f ) = (, ) και άρα 0 f () = 0 f () = 0 f () = 0 f (). Για παράδειγµα, 34
Παρατήρηση 3.20. Αν η f ορίζεται σε διάστηµα (, 0 ) ( 0, b) κι έχουµε + 0 f () = l 2 µε l l 2 τότε δεν υπάρχει το 0 f (). 0 f () = l, Παρατήρηση 3.2. Αν κάποιο πλευρικό όριο έχει νόηµα αλλά δεν υπάρχει τότε είναι ϕανερό ότι δεν υπάρχει και το 0 f (). Παρατήρηση 3.22. Εστω ότι η f ορίζεται σε διάστηµα (, 0 ) ( 0, b). Τότε 0 f () = l είναι ισοδύναµο µε το να συµβαίνει 0 f () = + 0 f () = l. Παράδειγµα 3.23. Εστω η συνάρτηση f () = + 3 κι ας αναζητήσουµε το όριο f (). Επειδή το D(f ) = (, ) (, + ) έχει νόηµα να αναζητήσουµε το όριο αριστερά και δεξιά του =. Στην περιοχή (, + ), τότε > 0 και + 3 > 0, άρα + 3 f () = + = + Σε µια περιοχή ( ε, ) µε ε πολύ µικρό τότε < 0 και + 3 > 0 άρα + 3 f () = = Αφού f () + f (), το όριο f () δεν υπάρχει. Σχήµα 4: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () του παραδείγµατος 3.23. Παράδειγµα 3.24. Εστω τώρα η συνάρτηση f () = + 3 κι ας αναζητήσουµε το όριο ( ) 2 f (). Επειδή το D(f ) = (, ) (, + ) έχει νόηµα να αναζητήσουµε το όριο αριστερά και δεξιά του =. 35
Σε αυτή την περίπτωση όµως ( ) 2 > 0 και + 3 > 0 σε κάθε περιοχή κοντά στο αλλά µε, οπότε + 3 + 3 f () = = + f () = ( ) 2 + + ( ) = + 2 και αφού f () = + f () = +, τότε f () = +. Σχήµα 5: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () του παραδείγµατος 3.24. Παράδειγµα 3.25. Εστω η συνάρτηση f () = 2 f (). 2 4. Να ϐρεθεί (αν υπάρχει) το όριο 2 3 + 2 3.5 Ιδιότητες ορίων Επειδή οι παρακάτω ιδιότητες ορίων ισχύουν τόσο όταν 0 R, δηλαδή σε πραγµατικό αριθµό, όσο και όταν ±, ϑα συµβολίζουµε µε R το σύνολο R {, + }. Ετσι αν το τείνει στο 0 που µπορεί να είναι πραγµατικός αριθµός ή + ή ϑα γράφουµε 0 R.. Αν f () = l R και g() = l 2 R, τότε (f () ± g()) = l ± l 2, εκτός από τις περιπτώσεις : (+ )+( ), ( )+(+ ), (+ ) (+ ), ( ) ( ). 2. Αν το f () υπάρχει και δεν υπάρχει το (f () ± g()) 3. Αν δεν υπάρχει το f () και δεν υπάρχει το µπορεί να υπάρχει ή να µην υπάρχει. 36 g(), τότε δεν υπάρχει το g(), τότε το (f () ± g())
Για παράδειγµα, το δεν υπάρχει και το δεν υπάρχει αλλά για την συνάρτηση f () + g() = + = + = το όριο καθώς το τείνει στο 0 0 0 είναι. 4. Αν f () = l R και g() = l 2 R, τότε (f () g()) = l l 2, εκτός από τις περιπτώσεις : 0 (+ ), (+ ) 0, 0 ( ), ( ) 0. f () 5. Αν f () = l R και g() = l 2 R, τότε g() = l, εκτός από l 2 + τις περιπτώσεις : +, +, +,, + 0, 0, 0 0, l 0 όπου l (απροσδιόριστες µορφές). R, l 0, 0 Σηµειώνουµε ότι ισχύει + = 0, και 0 = 0. 6. Αν για κάθε που ανήκει στην περιοχή του 0 R και 0 έχουµε f () g() και g() = 0, τότε f () = 0 7. Εστω ότι για κάθε που ανήκει στην περιοχή του 0 R µε 0 έχουµε f () g(). Αν αν f () = +, τότε g() =, τότε g() = +, ενώ f () =. 8. Αν για κάθε που ανήκει στην περιοχή του 0 R µε 0 έχουµε f () g() και f () = l R, g() = l 2 R, τότε f () g(), ή ισοδύναµα l l 2. 9. (Θεώρηµα ισοσυγκλινουσών συναρτήσεων ή ϑεώρηµα παρεµβολής.) Αν για κάθε που ανήκει στην περιοχή του 0 R µε 0 έχουµε h() f () g() και h() = g() = l R τότε f () = l. 0. Αν f () = l R, τότε f () = l.. Αν f () = 0 και η g() είναι ϕραγµένη στην περιοχή του 0, δηλαδή g() M, τότε (f () g()) = 0. Οι προηγούµενες ιδιότητες ισχύουν ακόµα κι όταν έχουµε γνήσιες ανισότητες (<, αντί ). 37
3.6 Βασικά όρια συναρτήσεων. k = k 0, k N. 2. a k = a k 0, k N. 3. Αν f () = a k k + a k k + +a + a 0 πολυώνυµο, τότε f () = f ( 0). 4. k = +, k N. 5. k = + αν k άρτιος ϕυσικός, k = αν k περιττός ϕυσικός. 6. ± 7. 0 + = 0 και γενικότερα = +, 0 ± = 0, k N. k =, άρα το δεν υπάρχει. 0 8. sin = sin 0, cos = cos 0 9. tan = tan 0 µε 0 k π + π/2, k Z. 0. cotan = cotan 0 µε 0 k π, k Z. sin. 0 =. 2. a = a 0 µε a > 0, 0 R. 3. a = +, a = 0 αν a >, a = 0, a = + αν 0 < a <, 4. 0 log = log 0, 0 > 0. 5. log = +, log = log =. 0 + 0 sin Παρακάτω ϑα αποδείξουµε το ϐασικό όριο, δηλαδή ότι =, όπου το µέτρο 0 τόξου σε ακτίνια. Θεωρούµε τον τριγωνοµετρικό κύκλο του σχήµατος. Επειδή ο κύκλος είναι τριγωνοµετρικός ισχύουν ΟΑ = ΟΒ =, Β = sin, Ο = cos, ΑΓ = tan. Επιπλέον παρατηρούµε ότι εµδαδό τριγώνου ΟΑΒ < εµδαδό κυκλικού τοµέα ΟΑΒ < εµδαδό τριγώνου ΟΑΓ ( ) 38
sin Σχήµα 6: 0 =, όπου το µέτρο τόξου σε ακτίνια. Οµως οπότε η ανισότητα ( ) γίνεται εµδαδό τριγώνου ΟΑΒ = 2 ΟΑ Β = 2 sin εµδαδό κυκλικού τοµέα ΟΑΒ = π ΟΑ 2 2 π = 2 εµδαδό τριγώνου ΟΑΓ = 2 ΟΑ ΑΓ = 2 tan 2 sin < 2 < sin tan sin < < tan cos < 2 < (0, π/2) Αν ( π/2, 0) τότε cos( ) < sin( ) <, ή ισοδύναµα cos < sin <, οπότε cos < sin < ( π/2, 0) (0, π/2) ( ) Επειδή 0 cos = cos 0 =, και 0 =, εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα των ισοσυγκλινουσών συναρτήσεων (ϑεώρηµα παρεµβολής) στην ανισότητα ( ), έχουµε ότι sin 0 =. 39
3.7 Ασκήσεις Ασκηση. Αν υπάρχουν, να υπολογισθούν τα παρακάτω όρια : a) π/2 sin, b) π sin, c) sin, d) e) sin( ), f ) 0 2 sin( ), g) sin( ), h) 0 Απ. a) 2/π, b) 0, c) 0, d) 0, e) 0, f ) +, g), h). sin, tan. Ασκηση 2. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν τα όρια : a) cos, b) sin( ), c) 0 0, d) 0 sin. Ασκηση 3. Αν υπάρχουν, να ϐρεθούν τα παρακάτω όρια : 2 + 3 2 + 2 a), b), c) 2 2 + 3 2, d) 0 2 + ( ). Απ. a), b) /2, c) 0, d). Ασκηση 4. Αν υπάρχουν, να ϐρεθούν τα παρακάτω όρια : a), b) ( 2 + ), c) ( 2 + + ). Απ. a) /2, b) 0, c) +. Ασκηση 5. ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο + αν, f = + αν < < 0, αν > 0. Να ϐρεθούν, αν υπάρχουν, τα όρια : a) f (), Απ. a) εν υπάρχει, b), c) 3. b) f (), 0 c) f () 4 Ασκηση 6. Να προσδιορισθεί ο πραγµατικός αριθµός a, έτσι ώστε το όριο να είναι πραγµατικός αριθµός. Απ. Για a = το όριο είναι /2. ( 2 + + a ), 40