1.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Oµάδας 1.i) Να βρείτε την ερίοδο, τη µέγιστη τιµή και την ελάχιστη τιµή της αρακάτω συνάρτησης και στη συνέχεια να την αραστήσετε γραφικά. f(x) = ηµ x+ Η συνάρτηση f(x) = ηµ x+ είναι της µορφής f(x) = ρηµ(x + φ), άρα έχει µέγιστη τιµή, ελάχιστη και η γραφική της αράσταση ροκύτει αό οριζόντια µετατόιση της h(x) = ηµx (διακεκοµένης) ρος τα αριστερά κατά µονάδες. Περίοδος αυτής είναι η Τ = ( ) f( x) = ηµ x+ - Ο h( x) = ηµ ( x) - 1.ii) Να βρείτε την ερίοδο, τη µέγιστη τιµή και την ελάχιστη τιµή της αρακάτω συνάρτησης και στη συνέχεια να την αραστήσετε γραφικά. f(x) = ηµ x Η συνάρτηση f(x) = ηµ x είναι της µορφής f(x) = ρηµ(x + φ), άρα έχει µέγιστη τιµή 1, ελάχιστη 1 και η γραφική της αράσταση ροκύτει αό οριζόντια f( x) = ηµ ( x- ) 1 g x ( ) = ηµ x ( ) µετατόιση της h(x) = ηµx (διακεκοµµένης) ρος τα δεξιά κατά µονάδες. Περίοδος αυτής είναι η Τ = -1
.i) Να γράψετε στη µορφή f(x) = ρηµ(x + φ) τη συνάρτηση f(x) = Είναι της µορφής f(x) = αηµx + βσυνx µε α = και β = 1 ηµx συνx συνφ = α +β = + 1= = α = ρ Άρα f(x) = ηµ(x ) 6 β 1 = ρ φ = 6.ii) Να γράψετε στη µορφή f(x) = ρηµ(x + φ) τη συνάρτηση f(x) = ηµx + συνx Είναι της µορφής f(x) = αηµx + βσυνx µε α = 1 και β = 1 α 1 συνφ = = = ρ Άρα f(x) = ηµ x+ β 1 = = ρ φ =.iii) Να γράψετε στη µορφή f(x) = ρηµ(x + φ) τη συνάρτηση f(x) = ηµx συνx Είναι της µορφής f(x) = αηµx + βσυνx µε α = 1 και β = α +β = 1+ = = α 1 συνφ = = ρ Άρα f(x) = ηµ x+ β = ρ φ =
.iv) Να γράψετε στη µορφή f(x) = ρηµ(x + φ) τη συνάρτηση f(x) = ηµx συνx. Είναι της µορφής f(x) = αηµx + βσυνx µε α = 1 και β = 1 α 1 συνφ = = = ρ Άρα f(x) = ηµ x β 1 = = ρ φ =.i) Να µελετήσετε και να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f(x) = ηµx συνx Αό την άσκηση.i) έχουµε f(x) = ηµ x 6 Η συνάρτηση µας είναι της µορφής f(x) = ρηµ(x + φ), άρα έχει µέγιστη τιµή, ελάχιστη και η γραφική της αράσταση ροκύτει αό οριζόντια µετατόιση της g(x) = ηµx (διακεκοµένης) ρος τα δεξιά κατά µονάδες. 6 g x ( ) = ηµ x ( ) - 6 f( x) = ηµ ( x- 6)
.ii) Να µελετήσετε και να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f(x) = ηµx + συνx Αό την άσκηση.ii) έχουµε f(x) = ηµ x+ Η συνάρτηση µας είναι της µορφής f(x) = ρηµ(x + φ), άρα έχει µέγιστη τιµή, ελάχιστη και η γραφική της αράσταση ροκύτει αό οριζόντια µετατόιση της g(x) = ηµx (διακεκοµένης) ρος τα αριστερά κατά µονάδες. ( ) f( x) = ηµ x+ - g x ( ) = ηµ x ( ).iii) Να µελετήσετε και να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f(x) = ηµx συνx Αό την άσκηση.iii) έχουµε f(x) = ηµ x+ Η συνάρτηση µας είναι της µορφής f(x) = ρηµ(x + φ), άρα έχει µέγιστη τιµή, ελάχιστη και η γραφική της αράσταση ροκύτει αό οριζόντια µετατόιση της g(x) = ηµx (διακεκοµένης) ρος τα αριστερά κατά µονάδες. f( x) = ηµ x+ - - ( ) g x ( ) = ηµ x ( )
5.iii) Να µελετήσετε και να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f(x) = ηµx συνx Αό την άσκηση.iv) έχουµε f(x) = ηµ x Η συνάρτηση µας είναι της µορφής f(x) = ρηµ(x + φ), άρα έχει µέγιστη τιµή, ελάχιστη και η γραφική της αράσταση ροκύτει αό οριζόντια µετατόιση της g(x) = ηµx (διακεκοµένης) ρος τα δεξιά κατά µονάδες. f( x) = ηµ ( x- ) - / g x ( ) = ηµ x ( ).i) Να λύσετε την εξίσωση ηµx συνx = Θέτουµε f(x) = ηµx συνx Είναι της µορφής f(x) = αηµx + βσυνx µε α = και β = 1 συνφ = α +β = + 1= = α = ρ β 1 = ρ φ = 6 Άρα f(x) = ηµ x 6 Η δοσµένη εξίσωση γίνεται ηµ x 6 = ηµ x 6 = 1 ηµ x 6 = ηµ x = k + 6 x = k + + 6 x = k + 6 x = k +, k Z
6.ii) Να λύσετε την εξίσωση συνx ηµx = 1 Θέτουµε f(x) = συνx ηµx = ηµx + συνx Είναι της µορφής f(x) = αηµx + βσυνx µε α = 1 και β = 1 α 1 συνφ = = = ρ Άρα f(x) = ηµ(x + ) Η δοσµένη εξίσωση γίνεται β 1 = = ρ ηµ x+ = 1 ηµ x+ = 1 = ηµ x+ = ηµ x + = k + φ = ή x + = k + x = k + x = k ή ή x = k + x = k x = k ή x = k, k Z
7.iii) Να λύσετε την εξίσωση ηµx + 6συνx + = 0 Θέτουµε f(x) = ηµx + 6συνx Είναι της µορφής f(x) = αηµx + βσυνx µε α = και β = 6 α +β = + 6 = 8= συνφ = α 1 = = ρ β 6 = = = ρ φ = Άρα f(x) = ηµ(x + ) Η δοσµένη εξίσωση γίνεται ηµ x+ + = 0 ηµ x + = ηµ x+ = 1 ηµ x+ = 1 = = ηµ = ηµ x + = k ή x + = k + + x = k ή x = k + + x = k 7 1 ή x = k + 11 1, k Z
8 Β Oµάδας 1. Να υολογίσετε τη γωνία ω του διλανού σχήµατος, έτσι ώστε να ισχύει (ΜΑ) + (ΜΒ) = 6 Είναι (ΜΒ) = ηµω και (ΜΑ) = συνω Άρα ηµω + συνω = 6 ηµω + συνω = Θέτουµε f(ω) = ηµω + συνω Α 6 Μ ω (1) Είναι της µορφής f(ω) = αηµω + βσυνω µε α = 1 και β = 1 α 1 συνφ = = = ρ Άρα f(ω) = ηµ ω+ β 1 = = ρ Η εξίσωση (1) γίνεται ηµ ω+ = 6 φ = ηµ ω+ = 6 = = = ηµ ω + = ή ω + = Β ω = ή ω = ω = 1 ή ω = 5 1
9. Μια µάρα ΑΒ µήκους m τοοθετείτε οριζόντια µεταξύ δύο κάθετων τοίχων. Για µεγαλύτερη αντοχή ρέει να τοοθετηθεί, έτσι ώστε το (ΟΑ) + (ΟΒ) να γίνει µέγιστο. i) Να εκφράσετε το (ΟΑ) + (ΟΒ) ως συνάρτηση του θ. ii) Να βρείτε την τιµή του θ για την οοία το (ΟΑ) + (ΟΒ) γίνεται µέγιστο και να ροσδιορίσετε το µέγιστο αυτό. i) Είναι (ΟΑ) = συνθ και (ΟΒ) = ηµθ άρα (ΟΑ) + (ΟΒ) = συνθ + ηµθ Θέτουµε f(θ) = ηµθ + συνθ Είναι της µορφής f(θ) = αηµθ + βσυνθ µε α = 1 και β = 1 Α θ Ο (ΟΑ) + (ΟΒ) = (ηµθ + συνθ) (1) α 1 β 1 συνφ = = = = = ρ ρ φ = Άρα f(θ) = ηµ θ+ (1) (ΟΑ) + (ΟΒ) = ηµ θ+ ii) Το άθροισµα (ΟΑ) + (ΟΒ) γίνεται µέγιστο όταν γίνει µέγιστο το ηµ θ+ δηλαδή όταν ηµ θ+ θ + = θ =. Η τιµή αυτού του µέγιστου είναι Β
10.i) Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της συνάρτησης f(x) = 5ηµx + 1συνx + Θέτουµε g(x) = 5ηµx + 1συνx. Τότε f(x) = g(x) +. Η g είναι της µορφής g(x) = αηµx + βσυνx µε α = 5 και β = 1 α +β = 5+ 1= 169 = 1 Μέγιστη τιµή της g είναι 1 και ελάχιστη 1. Εοµένως Μέγιστη τιµή της f είναι 1 + = 16 και ελάχιστη 1 + = 10.ii) Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της συνάρτησης f(x) = συνx(ηµx + συνx) f(x) = συνx(ηµx + συνx) f(x) = (συνxηµx + συν x) f(x) = (ηµx + 1 + συνx) f(x) = (ηµx + συνx + 1) Θέτουµε g(x) = ηµx + συνx. Τότε f(x) = (g(x) + 1)) Η g είναι της µορφής g(x) = αηµx + βσυνx µε α = 1 και β = 1 Μέγιστη τιµή της g είναι και ελάχιστη.. Εοµένως Μέγιστη τιµή της f είναι ( + 1) = + και ελάχιστη ( + 1) = +
11. Να λύσετε την εξίσωση ηµx( συνx ηµx) = 1 ηµx( συνx ηµx) = 1 ηµx συνx ηµ x = 1 ηµx (1 συνx) = 1 ηµx 1 + συνx = 1 ηµx + συνx = (1) Το ρώτο µέλος είναι της µορφής αηµx + βσυνx µε α = και β = 1 + 1= = συνφ = α = ρ β 1 = ρ φ = 6 (1) ηµ x+ 6 = ηµ x+ 6 = ηµ x+ 6 = ηµ x + = k + 6 x = k + 6 ή ή x + 6 = k + x = k + 6 x = k + 1 ή x = k + 7 1 x = k + ή x = k + 7, k Z
1 5. Με συρµατόλεγµα µήκους 0m εριφράσσουµε τµήµα γης σχήµατος ορθογωνίου τριγώνου. Αν η υοτείνουσα είναι h m και η µια οξεία γωνία θ rad 0 i) να αοδείξετε ότι h = ηµθ+συνθ+1 ii) για οια τιµή του θ το h αίρνει τη µικρότερη τιµή και οια είναι αυτή; i) x = h ηµθ, y = h συνθ x + y + h = 0 h ηµθ + h συνθ + h = 0 h(ηµθ + συνθ + 1) = 0 0 h = ηµθ+συνθ+1 ii) Θέτουµε f(θ) = ηµθ + συνθ. 0 Τότε h = f ( θ ) + 1 Το f(θ) είναι της µορφής f(θ) = αηµθ + βσυνθ µε α = 1 και β = 1 θ h y x συνφ = α 1 = = ρ Άρα f(θ) = ηµ(θ + ) β 1 = = ρ φ = To h αίρνει τη µικρότερη τιµή, όταν το f(θ) = ηµ θ+ αίρνει τη µεγαλύτερη, δηλαδή όταν ηµ θ+ = 1, δηλαδή όταν θ + =, δηλαδή θ =. Εοµένως, η µικρότερη τιµή του h είναι 0.1+ 1 = 0 + 1 = 0( 1) = 0( 1) ( + 1)( 1)
1 6. Στο διλανό σχήµα: i) Να δείξετε ότι η ερίµετρος Ρ του τριγώνου ΜΚΟ ισούται µε Ρ = 1 + ηµθ + συνθ. ii) Για οια τιµή του θ το Ρ αίρνει τη µεγαλύτερη τιµή και οια είναι αυτή; i) Ονοµάζουµε ω τη γωνία ˆ ΚΟΜ Αό το ισοσκελές τρίγωνο ΟΑΜ, έχουµε Αλλά ω = θ + Άρα ω = θ Β ˆ ΟΜΑ = θ.. ˆ ΟΜΑ σαν εξωτερική του τριγώνου ΟΑΜ. Αό το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΜ, έχουµε ΜΚ = 1 ηµω = ηµθ και ΚΟ = 1 συνω = συνθ Ρ = ΟΜ + ΜΚ + ΚΟ = 1 + ηµθ + συνθ M K 1 ω O θ 1 Α ii) Θέτουµε f(θ) = ηµθ + συνθ. Τότε Ρ = 1 + f(θ) Το f(θ) είναι της µορφής f(θ) = αηµθ + βσυνθ µε α = 1 και β = 1 συνφ = α 1 = = ρ Άρα f(θ) = ηµ(θ + ) β 1 = = ρ φ = Το Ρ αίρνει τη µεγαλύτερη τιµή, όταν το f(θ) = ηµ θ+ µεγαλύτερη τιµή, δηλαδή όταν ηµ θ+ = 1 θ + = αίρνει τη θ = θ = 8 Η µεγαλύτερη αυτή τιµή είναι 1 + f 8 = 1 + ηµ + 8 = 1 + ηµ = 1 + 1 = 1 +