ENOTHTA 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ENOTHT : ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Σώμα Σ μάζας πο κινείται προς τα δεξιά στη θετική κατεύθνση με ταχύτητα μέτρο σγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ακίνητο σώμα Σ διπλάσιας μάζας. Η μεταβολή της ορμής το σώματος Σ κατά την κρούση έχει αλγεβρική τιμή: α) β). 3. 3 γ) 0. Να επιλέξετε το γράμμα πο αντιστοιχεί στη σωστή. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. Εφόσον έχομε κρούση δύο σωμάτων ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής: ά ά p πριν = p µετ p πριν + p πριν = p µετ ολ ολ σσ. Σ πριν Σ + 3 μετά v Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: + 0 = ( + )v = 3v v = () 3 όπο v το μέτρο της ταχύτητας το σσσωματώματος. Η μεταβολή της αλγεβρικής τιμής της ορμής το σώματος Σ κατά την κρούση είναι: µετά πριν µετά πριν () p = p p p = p p p = v p = p = 3 3

Ερώτηση. Ένα σώμα Α πο έχει μάζα και ταχύτητα σγκρούεται με άλλο σώμα Β πο έχει διπλάσια μάζα και ταχύτητα, αντίρροπη της. Από τη κρούση δημιοργείται σσσωμάτωμα πο παραμένει ακίνητο στο σημείο της σύγκροσης. Ο λόγος των μέτρων των ταχτήτων των δύο σωμάτων πριν από την κρούση, είναι: α) /. β). γ). Να επιλέξετε το γράμμα πο αντιστοιχεί στη σωστή. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. Έστω η ταχύτητα το σώματος Α και η ταχύτητα το σώματος Β. Εφόσον έχομε κρούση δύο σωμάτων ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής: πριν µετά πριν πριν µετά pολ = pολ p + p = pσσ Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: = 0 = = = + πριν B 3 μετά

Ερώτηση 3. Δύο σώματα Α και Β, με μάζες και 3 αντίστοιχα, βρίσκονται ακίνητα πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Δίνομε στο σώμα Α αρχική ταχύτητα έτσι ώστε να κινηθεί προς τη θετική φορά και να σγκροστεί κεντρικά και ελαστικά με το ακίνητο σώμα Β. Η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας το σώματος Β μετά την κρούση είναι α). β). γ) 4. Να επιλέξετε το γράμμα πο αντιστοιχεί στη σωστή. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική και το σώμα Β είναι αρχικά ακίνητο. Άρα η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας το σώματος Β μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: = () + Αν αντικαταστήσομε: =, =3, = στον τύπο () προκύπτει: = = = + 3 4 3

Ερώτηση 4. Σώμα Σ μάζας σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ένα δεύτερο ακίνητο σώμα Σ μάζας. Αν ΔΚ είναι η μεταβολή της κινητικής ενέργειας το σώματος Σ και ΔΚ είναι η μεταβολή της κινητικής ενέργειας το σώματος Σ λόγω της ελαστικής κρούσης, τότε ισχύει Κ = Κ Α). Κ β) =. Κ Κ γ) =. Κ Να επιλέξετε το γράμμα πο αντιστοιχεί στη σωστή. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική, άρα η κινητική ενέργεια το σστήματος των δύο σωμάτων διατηρείται: µετά πριν µετ ά µετά πριν πριν µετά πριν µετά πριν Kολ = Kολ K + K =Κ +Κ K Κ + K Κ = 0 K + = = = K K 0 K K K 4

Ερώτηση 5. Σώμα Σ μάζας πο κινείται προς τη θετική κατεύθνση σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερο ακίνητο σώμα Σ μάζας. Η ποσότητα της κινητικής ενέργειας πο έχει μεταφερθεί από τo σώμα Σ στo σώμα Σ μετά την κρούση γίνεται μέγιστη όταν: <. α) =. β) >. γ) Να επιλέξετε το γράμμα πο αντιστοιχεί στη σωστή. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική, το σώμα Σ έχει ταχύτητα μέτρο και το σώμα Σ είναι αρχικά ακίνητο. Άρα η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας το σώματος Σ μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: = () + Επειδή το σώμα Σ είναι αρχικά ακίνητο η ποσότητα της κινητικής ενέργειας πο έχει μεταφερθεί από το σώμα Σ στο Σ μετά την κρούση είναι: 4 µετ ά µετ ά µετά = = = + (+ ) K K K () Η ποσότητα ατή γίνεται μέγιστη όταν: 4 K = K = = µετά πριν () 4 (+ ) (+ ) ( + ) = 4 + + = 4 + = 0 ( ) = 0 = 0 = 5

Ερώτηση 6. Δύο σώματα με μάζες και, εκ των οποίων η κινείται με ταχύτητα πο έχει αλγεβρική τιμή ενώ η είναι ακίνητη, σγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Μετά την κρούση η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας ' το σώματος θα δίνεται από τη σχέση: ' =. α) + + ' =. β) γ) = Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.. Σωστή απάντηση είναι η α. Σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής. p ολ ( πριν) = p ολ ( μετά) p( πριν) + p( πριν) = p( μετά) + p( μετά ) + 0= + ' ' ( ) ' = ' () Επειδή η κρούση είναι ελαστική ισχύει και η Αρχή Διατήρησης της Κινητικής Ενέργειας. K ( πριν) K ( μετά) K + K = K + K ' ' ' ' + 0= + ολ ( ) = ολ = ' ' ( )( ) ' ' + ' = () Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () και παίρνοντας πόψη μας ότι ' και ', προκύπτει: + ' = ' (3) Λύνομε τώρα το σύστημα των εξισώσεων () και (3). 6

( ) ( ) ( ) ( ) (3) () ' ' = + ' = + ' = + ' ' = ( ) + 7

Ερώτηση 7. Ένας μαθητής ισχρίζεται ότι είναι δνατόν η αρχική ορμή ενός σστήματος δύο σωμάτων πο σγκρούονται ελαστικά να είναι μηδέν, και μετά την κρούση η τελική ορμή το σστήματος να είναι μηδέν ενώ η κινητική ενέργεια το σστήματος να είναι διάφορη το μηδενός. Ο παραπάνω ισχρισμός: α) Είναι ψεδής. β) Είναι αληθής. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. Η ορμή είναι μέγεθος διανσματικό. Αφού πριν την κρούση η ορμή το σστήματος είναι μηδέν, ατό σημαίνει ότι οι ορμές των σωμάτων είναι αντίθετες. p ολ ( ) 0 πριν = p ( πριν ) + p ( πριν ) = 0 p ( πριν ) = p ( πριν) Η κινητική ενέργεια είναι μονόμετρο μέγεθος. Σνεπώς η αρχική κινητική ενέργεια το σστήματος είναι διάφορη το μηδενός. K ολ ( πριν ) = K ( πριν ) + K ( πριν ) = + 0 Σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής το σστήματος. p ολ ( πριν) = p ολ ( μετά) 0= p ( μετά) ολ Άρα και μετά την κρούση η ορμή το σστήματος θα είναι μηδέν. Πάλι οι ορμές των σωμάτων θα είναι αντίθετες. p ολ ( πριν) = p ολ ( μετά) 0= p ( μετά) + p ( μετά) p ( μετά) = p ( μετά) Επειδή όμως η κρούση είναι ελαστική, ισχύει και η Αρχή Διατήρησης της Κινητικής Ενέργειας το Σστήματος. K ( πριν) = K ( μετά) ολ ολ Σνεπώς και η τελική κινητική ενέργεια το σστήματος θα είναι διάφορη το μηδενός. 8

Ερώτηση 8. Σώμα μάζας = kg κινείται προς τη θετική κατεύθνση και προσπίπτει με ταχύτητα μέτρο =0 / σε ακίνητη σφαίρα () μάζας και σγκρούεται ελαστικά και κεντρικά με ατή. Μετά την κρούση η () κινείται με ταχύτητα μέτρο =6 / αλλά αντίθετης φοράς από την. Η μάζα το σώματος είναι: α) = kg. β) =/4 kg. γ) =4 kg. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. = u 6 = 0 6 6 = 0 0 4 = 6 ' + + = 4kg Παρατήρηση: Πρέπει να προσέξετε να βάλετε το πρόσημο μείον (-) στην ταχύτητα. 9

Ερώτηση 9. Σε μία ανελαστική κρούση μεταξύ δύο σωμάτων και, εκ των οποίων το είναι αρχικά ακίνητο, το ποσοστό της μεταβιβαζόμενης ενέργειας από το στο δίνεται από τη σχέση: K α) a% = 00%. K K β) a% = 00%. K γ) Kολ a% = 00%. K όπο ΔΚ η μεταβολή της κινητικής ενέργειας το πρώτο σώματος, Κ η κινητική ενέργεια το δεύτερο σώματος και ΔΚ ολ η μεταβολή της κινητικής ενέργειας το σστήματος. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. Προσοχή: Αφού η κρούση των δύο σωμάτων είναι ανελαστική δεν ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Κινητικής Ενέργειας. Η κινητική ενέργεια πο απέκτησε το μετά την κρούση δεν ισούται με την κινητική ενέργεια πο έχασε το. Ένα μέρος μεταφέρθηκε σαν θερμότητα στο περιβάλλον. Από την ενέργεια Κ πο είχε το δόθηκε στο ενέργεια Κ. Από τα 00% a% Με την απλή μέθοδο των τριών προκύπτει: K K a% = 00% 0

Ερώτηση 0. Κατά τη μετωπική ελαστική κρούση δύο σωμάτων και εκ των οποίων η είναι ακίνητη το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της (επί της αρχικής κινητικής ενέργειάς της) είναι -36%. O λόγος είναι: α) 9 = ή =. 9 β) 4 = ή =. 4 γ) = ή =. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Σωστή απάντηση είναι η α. Είναι γνωστό από τη θεωρία ότι μετά την ελαστική μετωπική κρούση δύο σωμάτων εκ των οποίων το ένα ήταν ακίνητο, τα δύο σώματα θα αποκτήσον ταχύτητες: ' = u + και ' = + u, όπο και ' η αρχική και τελική ταχύτητα αντίστοιχα το αρχικά κινούμενο σώματος μάζας, ενώ και ' η αρχική και τελική ταχύτητα αντίστοιχα το αρχικά ακίνητο σώματος μάζας. Από τα δεδομένα προκύπτει: + + 36 64 64 K( τελ ) = K( αρχ) K( αρχ) K( τελ ) = K( αρχ) ' = 00 00 00 8 8 8 ' =± =± =± 0 0 0 η περίπτωση: 8 =+ 0 0 = 8+ 8 = 8 = 9 9 + 0 =

η περίπτωση: 8 = 0 0 = 8 8 8 = 9 = + 0 = 9

Ερώτηση. Το βλήμα μάζας το σχήματος κινείται παράλληλα με το οριζόντιο επίπεδο και σγκρούεται πλαστικά με το κιβώτιο μάζας Μ πο ισορροπεί με τη βοήθεια μικρού εμποδίο πάνω σε λείο ακλόνητο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ. Αν η ταχύτητα το βλήματος έχει μέτρο, τότε το μέτρο της ταχύτητας το σσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση θα είναι: α) β) γ) V V V K K K = ( + M) ( + M). σνϕ =. ηµϕ =. ( + M) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Σωστή απάντηση είναι η β. Όπως είναι γνωστό, από τον 0 νόμο το Νεύτωνα σε γενικεμένη μορφή προκύπτει: p Σ F= p=σf t pολ ( τελ) pολ ( αρχ ) =ΣF t t p p αρχ + ΣF t () ολ ( τελ ) = ( ) ολ Από τη σχέση () παρατηρούμε ότι η ορμή ενός σστήματος διατηρείται μόνο αν η σνισταμένη των δνάμεων στο σύστημα ή το χρονικό διάστημα πο διαρκεί το φαινόμενο, τείνον στο μηδέν. Στην περίπτωσή μας ατό δεν σμβαίνει γιατί στη διάρκεια της κρούσης αναπτύσσεται μία τεράστια κάθετη αντίδραση από το κεκλιμένο επίπεδο. Μπορούμε όμως να εφαρμόσομε την Αρχή Διατήρησης της Ορμής στον άξονα x x για το μικρό χρονικό διάστημα της κρούσης. 3

pολ ( πριν) = pολ ( μετά) p + p = p + p (x) (x) (x) (x) (x) (x) M M Επιλέγοντας θετική φορά προς τα πάνω, γράφομε την παραπάνω σχέση αλγεβρικά: x ( ) + 0= + M V V K K σνϕ = ( + M) Στον άξονα y y δεν ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής για τος λόγος πο αναφέραμε. 4

ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Σώμα Σ με μάζα = kg και ταχύτητα μέτρο = 0 /, κινείται σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές, προς τη θετική κατεύθνση, όπως στο σχήμα. Το σώμα Σ σγκρούεται με σώμα Σ μάζας = 3kg πο αρχικά είναι ακίνητο. Η κρούση οδηγεί στη σγκόλληση των σωμάτων. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Να πολογίσετε: α) την ταχύτητα το σσσωματώματος πο δημιοργείται μετά την κρούση. β) την απώλεια της μανικής ενέργειας το σστήματος κατά την κρούση. γ) το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας το σώματος Σ πο μεταφέρθηκε στο σώμα Σ. δ) τη μεταβολή της ορμής το σώματος Σ. Σ Σ α) Έστω V η ταχύτητα το σσσωματώματος πο δημιοργείται αμέσως μετά την κρούση. Εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα των δύο σωμάτων: Σ πριν Σ + + μετά v p = p p + p = p πριν μετά πριν πριν μετά () ολ ολ σσ Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η εξίσωση () γράφεται αλγεβρικά: + 0 = (+ )V V = + Με αντικατάσταση προκύπτει kg 0 40 V= V= V= 8 kg + 3kg 5 β) Θεωρούμε ως επίπεδο μηδενικής δναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο. Η απώλεια της μανικής ενέργειας το σστήματος κατά την κρούση είναι: 5

πριν µετ ά ά ά ά U U 0 ά ( πριν U πριν πριν µετ ολ = ολ = ) ( µετ U µετ ) πριν µετ απ µ µ απ ολ ολ ολ ολ απ ολ ολ Ε = Ε Ε Ε = Κ + Κ + Ε = Κ Κ Ε απ = ( + )V Με αντικατάσταση προκύπτει: Ε απ = Kg 0 5kg 8 Ε απ = 400J 60J Ε απ = 40J µετά γ) Η κινητική ενέργεια το σώματος Σ μετά τη κρούση είναι: K = V και η κινητική ενέργεια το σώματος Σ πριν την κρούση είναι: K πριν =. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας το σώματος Σ πο μεταφέρθηκε στο σώμα Σ είναι: K K V µετά = V = πριν Με αντικατάσταση προκύπτει: 3kg 8 µετά K 3 64 = = = 0, 4 ή 4% πριν K 400 kg 0 δ) Η μεταβολή της ορμής το σώματος Σ είναι: p = p p µετά πριν Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: µετά πριν kg p = p p p = V p = kg 8 kg 0 p = 6kg 40 = p 4kg kg Άρα η ορμή το σώματος Σ ελαττώνεται κατά: p = 4 6

Άσκηση. Σώμα μάζας τεντωμένο νήματος μήκος L = 0,9 kg πο είναι προσδεμένο στο άκρο =, αφήνεται ελεύθερο από ύψος h, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν το νήμα βρίσκεται στην κατακόρφη θέση, το σώμα έχει ταχύτητα μέτρο = / και σγκρούεται πλαστικά με βλήμα μάζας = 0,kg και ταχύτητας μέτρο = 48 / με φορά προς το σώμα. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Να πολογίσετε: h α) το ύψος h από το οποίο αφέθηκε ελεύθερο το σώμα μάζας. β) το μέτρο της ταχύτητας το σσσωματώματος πο δημιοργείται μετά την κρούση. γ) το ύψος h' στο οποίο θα φτάσει το σσσωμάτωμα μετά την κρούση. δ) τη μεταβολή της μανικής ενέργειας το σστήματος κατά τη κρούση. Σε τι μορφή ενέργειας μετατράπηκε ατή; Δίνεται: g = 0 /. α) Στο σώμα πριν από την κρούση η μόνη δύναμη πο παράγει έργο είναι το βάρος, πο είναι σντηρητική δύναμη. Άρα ισχύει το θεώρημα διατήρησης της μανικής ενέργειας το οποίο εφαρμόζομε για τις θέσεις Α και Γ το σώματος. (Θεωρούμε ως επίπεδο μηδενικής δναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο πο περνά από το σημείο της σύγκροσης). Eµ. αρχ. = Eµ. τελ. Κ α + Uα =Κ τ + Uτ 0 + gh = + 0 h = g Με αντικατάσταση προκύπτει: h = h = 0, 0 7

β) Έστω v η ταχύτητα το σσσωματώματος πο δημιοργείται αμέσως μετά τη κρούση. Εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα των δύο σωμάτων: = + = πριν µετά πριν πριν µετά pολ pολ p p pσσ Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα αριστερά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: + = (+ )V V = + () Με αντικατάσταση προκύπτει: 0,kg 48 0,9kg 4,8,8 V= V= V= 3 0,9kg + 0,kg γ) Στο σσσωμάτωμα μετά τη κρούση η μόνη δύναμη πο παράγει έργο είναι το βάρος, πο είναι σντηρητική δύναμη. Άρα ισχύει το θεώρημα διατήρησης της μανικής ενέργειας το οποίο εφαρμόζομε για τις θέσεις Γ και Δ. (Θεωρούμε ως επίπεδο μηδενικής δναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο πο περνά από το σημείο της σύγκροσης). V Eµ. αρχ. = Eµ. τελ. Κ α + Uα =Κ τ + U τ (+ )V + 0 = 0 + (+ )gh' h ' = g Με αντικατάσταση προκύπτει: 3 h = h = 0, 45 0 δ) Η απώλεια της μανικής ενέργειας το σστήματος κατά τη κρούση είναι: πριν µετ ά ά ά ά U U 0 ά ( πριν U πριν πριν µετ ολ = ολ = ) ( µετ U µετ ) πριν µετ απ µ µ απ ολ ολ ολ ολ απ ολ ολ Ε = Ε Ε Ε = Κ + Κ + Ε = Κ Κ Ε απ = + ( + )V Με αντικατάσταση προκύπτει: Ε απ = 0,9Kg + 0,kg 48 kg 3 Ε απ =,8J + 5, J 4,5J Ε απ =,5J Η ενέργεια ατή μετατράπηκε κατά την κρούση σε θερμότητα. 8

Άσκηση 3. Σώμα Σ μάζας κινούμενο προς τη θετική φορά σε λείο οριζόντιο επίπεδο σγκρούεται με ταχύτητα μέτρο = 8 / κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Σ Σ Αμέσως μετά την κρούση, το σώμα μάζας κινείται αντίρροπα με ταχύτητα μέτρο ' 4 / =. Να πολογίσετε: α) το λόγο των μαζών. β) το μέτρο της ταχύτητας το σώματος μάζας αμέσως μετά την κρούση. γ) το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας το σώματος μάζας πο μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας λόγω της κρούσης. δ) την αλγεβρική τιμή της μεταβολής της ορμής των δύο σωμάτων, αν παρατηρείτε; = kg. Τι Δίνεται g = 0 /. α) Ορίζομε θετική φορά προς τα δεξιά. Άρα = 4 /. Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική, το σώμα Σ έχει ταχύτητα μέτρο = 8 / και το σώμα Σ είναι αρχικά ακίνητο. Άρα η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας κρούση δίνεται από τον τύπο: πριν το σώματος Σ μετά την + μετά = + () και η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας το σώματος Σ μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: = + () Ονομάζομε το λόγο = λ οπότε =λ (3) Από τις σχέσεις (), (3) προκύπτει: 9

λ ( λ) λ = = = +λ= λ +λ ( +λ ) +λ λ+ ( ) = λ= + Με αντικατάσταση προκύπτει: 8 ( 4 ) λ= λ= λ= 3 8 + ( 4 ) 4 Δηλαδή 3 = β) Το μέτρο της ταχύτητας το σώματος μάζας αμέσως μετά την κρούση θα πολογιστεί από τη σχέση (): = + Με αντικατάσταση = 3 προκύπτει: = = = + 3 4 (4) 8 και αντικαθιστώντας = 8 / προκύπτει: = = 4 γ) Επειδή το σώμα μάζας είναι πριν την κρούση ακίνητο, το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας το σώματος μάζας πο μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας λόγω της κρούσης είναι: K Κ µετά = πριν Με αντικατάσταση =3 και = 4 / προκύπτει : µετά 3 4 K 3 6 = = = = 0, 75 ή 75% πριν Κ 64 8 δ) Η μεταβολή της ορμής το σώματος Σ είναι: p = p p µετά πριν 0

Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: p = p = 0 p = = 0 kg Με αντικατάσταση προκύπτει: p = kg 4 p = 8 µετά πριν Η μεταβολή της ορμής το σώματος Σ είναι: p = p p Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: p = p = ( ) Είναι = 3 = = kg 3 3 kg οπότε με αντικατάσταση προκύπτει: p = kg ( 4 8) p = -8 3 Παρατηρούμε ότι οι δύο μεταβολές είναι αντίθετες.

Άσκηση 4. Το σώμα μάζας u0 = kg το παρακάτω σχήματος βάλλεται με αρχική ταχύτητα = 0 / πάνω σε οριζόντιο δάπεδο πο παροσιάζει σντελεστή τριβής µ= 0,. Αφού διανύσει απόσταση σώμα μάζας = 9 σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το ακίνητο = 6kg πο είναι αρχικά ακίνητο. Να βρείτε: α) την ταχύτητα το σώματος μάζας λίγο πριν την κρούση. β) τις ταχύτητες των σωμάτων αμέσως μετά την κρούση. γ) το ποσοστό της ενέργειας το σώματος πο μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας. δ) το διάστημα d πο θα διανύσει το σώμα μάζας μέχρι να σταματήσει. Δίνεται η επιτάχνση της βαρύτητας g = 0 /. α) Φαινόμενο 0 : Κίνηση το από το Α στο Γ. Εφαρμόζομε το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας.

K K = W + W + W B N T 0 0 T 80 0 = µ g 0 = µ g =0 µ g 0 T=µ g 0 = + + σν = µ g 0 = 00 0, 0 9 / = 00 36 / = 64 / Γ = 8 / β) Φαινόμενο 0 : Κρούση το με το. Θεωρούμε θετική φορά προς τα δεξιά. Επειδή η κρούση των δύο σωμάτων είναι κεντρική και ελαστική ισχύον οι τύποι: ' = + και ' = + Με αντικατάσταση έχομε: 6 ' = = 8 / + + 6 ' = = 8 / + + 6 ' = 4 / ' = 4 / γ) Λίγο πριν την κρούση το σώμα μάζας είχε κινητική ενέργεια: K = = 8 J K = 64J Αμέσως μετά την κρούση το σώμα μάζας έχει κινητική ενέργεια: K = ' = 6 4 J K = 48J Το ποσοστό της ενέργειας το σώματος πο μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας είναι: K 48 = = e% = 75% K 64 e% 00% 00% δ) Φαινόμενο 3 0 : Κίνηση το από το Γ στο Δ. Εφαρμόζομε το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας. 3

K K = W + W + W Γ B N T 0 ' 0 0 T d 80 ' = µ gd ' = µ gd ' 6 d = = µ g 0, 0 0 T=µ g = + + σ ν d = 4 4

Άσκηση 5. Ένας ξύλινος κύβος μάζας Μ=0,9kg ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα μικρό βλήμα μάζας =0,kg το οποίο, λίγο πριν να σγκροστεί, κινείται με ταχύτητα μέτρο u 0 =50/, σχηματίζοντας με τον ορίζοντα γωνία φ, σφηνώνεται στον κύβο. Να πολογίσετε: α) την ταχύτητα V το σσσωματώματος. β) τη θερμότητα πο αναπτύχθηκε κατά την κρούση. φ u 0 M γ) το ποσοστό της μανικής ενέργειας το βλήματος το οποίο μεταφέρθηκε στον κύβο. δ) τη μεταβολή της ορμής το σστήματος των σωμάτων κατά την κρούση. Δίνονται: ημφ=0,6, σνφ=0,8. α) Η κρούση είναι πλάγια και πλαστική ενώ το σσσωμάτωμα μετά την κρούση θα κινηθεί οριζόντια. Στην οριζόντια διεύθνση δεν ασκούνται εξωτερικές δνάμεις άρα η ορμή το σστήματος των σωμάτων θα διατηρείται σε ατή τη διεύθνση. Στην κατακόρφη διεύθνση ο κύβος δέχεται δύναμη από το δάπεδο άρα σε ατή τη διεύθνση η ορμή το σστήματος των σωμάτων δεν διατηρείται. Για να εξετάσομε την ορμή το σστήματος ανά άξονα αναλύομε την ορμή το ελάχιστα πριν την κρούση σε κάθετες σνιστώσες: φ u ox p p (x) (y) = u σνϕ o = u ηµϕ o u oy u 0 M (+M) V ελάχιστα πρίν την κρούση αμέσως μετά την κρούση Στην οριζόντια διεύθνση η διατήρηση της ορμής το σστήματος των σωμάτων γράφεται: u σνϕ + M o p(x) + pμ (x) = p' (+ M)(x) u oσνϕ= ( + M)V V = V = 4 β) Το ποσό θερμότητας πο αναπτύσσεται ισούται με τη μείωση της μανικής ενέργειας το σστήματος των σωμάτων κατά την κρούση τος. Δηλαδή: 5

Q =Εµ( αρχ ) - Εµ ( τελ) Q = K( αρχ) - Kτελ = u 0 ( + M)V Q = 7J γ) Ο κύβος αποκτά κατά την κρούση ενέργεια: MV άρα το ζητούμενο ποσοστό είναι: MV 0,9 4 J Π % = 00% = 00% = 5, 76% u 0 0, 50 J δ) Η ορμή το σστήματος διατηρείται στον οριζόντιο άξονα όπως εξηγήσαμε προηγομένως. Αντίθετα στον κατακόρφο άξονα δε διατηρείται. Σνεπώς: p= p = p (p + p ) p= p p= u ηµϕ p = 3kg y y(+ M) y() αρχ y(m) αρχ y() αρχ o 6

Άσκηση 6. Ένας ξύλινος κύβος μάζας M εκτατού νήματος μήκος L = 4,5kg είναι δεμένος στο άκρο ενός αβαρούς και μη = 0,, το άλλο άκρο το οποίο είναι δεμένο σε οροφή. Ο κύβος ηρεμεί με το νήμα κατακόρφο. Ένα βλήμα μάζας = 0,5kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα u0 = 0 / και σγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με τον κύβο. Να πολογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητα το σσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β) το ποσό θερμότητας πο αναπτύσσεται κατά την κρούση των σωμάτων. γ) τη μέγιστη ανύψωση πο επιτγχάνει το σσσωμάτωμα μετά την κρούση. δ) την τάση το νήματος αμέσως μετά την κρούση των σωμάτων. Δίνεται g = 0 /. α) Κατά την κρούση η ορμή το σστήματος των σωμάτων διατηρείται σταθερή, άρα: p + p = p' Μ (+ M) L T (Γ) u0 + 0 = ( + M)V V = u 0 M (+) () (M+) V h ελάχιστα πρίν την κρούση W ολ ελάχιστα μετά την κρούση β) Το ποσό θερμότητας Q πο αναπτύσσεται κατά την κρούση είναι ίσο με τη μείωση της μανικής ενέργειας το σστήματος των σωμάτων. Άρα: Q =Εµ( αρχ ) - Ε µ ( τελ) Η κρούση διαρκεί ελάχιστα, άρα η δναμική ενέργεια το σστήματος δε μεταβάλλεται. Σνεπώς: Q = Kαρχ - Kτελ = u 0 ( + M)V Q = 90J γ) Στο σχήμα η θέση (Γ) είναι το ψηλότερο σημείο πο φτάνει το σσσωμάτωμα μετά την κρούση, άρα η ταχύτητα το σε ατή τη θέση μηδενίζεται στιγμιαία. Εφαρμόζομε το Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας από τη θέση (Α) έως τη θέση (Γ): Κ Κ = W + W () (+ M)( Γ ) (+ M)( Α) w T Η τάση το νήματος είναι κάθετη στην τροχιά το σσσωματώματος άρα W T =0. H () γράφεται: 7

V g 0 ( + M)V = ( + M)gh h = h = 0, () Άρα το νήμα γίνεται οριζόντιο, αφού h=l. δ) Το σσσωμάτωμα μετά την κρούση διαγράφει τμήμα κκλικής τροχιάς, άρα η σνισταμένη των δνάμεων πο δέχεται το σσσωμάτωμα στην ακτινική διεύθνση έχει το ρόλο της κεντρομόλο δύναμης. Σνεπώς αμέσως μετά την κρούση θα ισχύει: V V Σ F = Fκ Τ W ολ = ( + M) T = ( + M)g + ( + M) T = 50N L L 8

Άσκηση 7. Μικρή σφαίρα Σ, μάζας u = kg πο κινείται πάνω σε λείο επίπεδο με ταχύτητα = 0 / σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ μάζας Να πολογίσετε: α) τις ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση. = 8kg. β) τη μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας καθώς και τη μεταβολή της ορμής το σστήματος των σφαιρών. γ) τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας το σώματος Σ. δ) το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ πο μεταφέρθηκε κατά την κρούση στη σφαίρα Σ. α) Στην περίπτωση ατή αντιμετωπίζομε την κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών, εκ των οποίων η μία είναι αρχικά ακίνητη. Στην περίπτωση ατή οι εξισώσεις πο εφαρμόζομε είναι: (+) u u = + = u + u (Σ ) πριν την κρούση u (Σ ) u μετά την κρούση u 8 u = 0 u = 6 8+ u = 0 u = 4 8+ Το πρόσημο (-) της u δηλώνει ότι η σφαίρα Σ μετά την κρούση κινείται προς τα αριστερά. β) Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας Σ πολογίζεται ως εξής: P = P P P = u u P = kg 6 0 P = 3kg Αντίστοιχα για τη μεταβολή της σφαίρας Σ έχομε: P = P P P = u 0 P = 8kg 4 = 3kg Για τη μεταβολή της ορμής το σστήματος των σφαιρών έχομε: 9

P = P+ P P = 3kg + 3kg P = 0 ολ ολ ολ Το αποτέλεσμα είναι αναμενόμενο αφού η ορμή το σστήματος των σωμάτων διατηρείται, άρα θα πρέπει: Pολ = 0 γ) Η κινητική ενέργεια της σφαίρας Σ μεταβλήθηκε κατά: Κ =Κ Κ = u u Κ = kg 6 0 Κ = 64J δ) Η κρούση είναι ελαστική άρα η μείωση της ενέργειας το Σ κατά την κρούση ισούται με την ενέργεια πο μεταφέρεται στο Σ. Το ζητούμενο ποσοστό ισούται με: Κ Κ Κ 64J Π = = = Π = % 00% 00% 00% % 64% Κ u 00J 30

ΘΕΜΑ Δ Πρόβλημα. Σφαίρα Σ μάζας = κινείται με ταχύτητα μέτρο = 6 / και σγκρούεται με άλλη σφαίρα Σ μάζας =, πο είναι αρχικά ακίνητη. Η κρούση είναι έκκεντρη και ελαστική και η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Μετά την κρούση, η σφαίρα Σ κινείται με ταχύτητα διεύθνση κάθετη στη διεύθνση της. Να πολογιστεί: πο έχει α) το μέτρο και η διεύθνση της ταχύτητας της σφαίρας Σ, μετά την κρούση. β) το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας Σ, μετά την κρούση. γ) το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας μάζας πο μεταβιβάστηκε στη σφαίρα μάζας λόγω της κρούσης. δ) το μέτρο της μεταβολής της ορμής της σφαίρας Σ κατά τη κρούση, αν = kg. Δίνεται η μαθηματική ιδιότητα ηµ θ + σν θ =. α) Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η πορεία των δύο σφαιρών μετά την έκκεντρη κρούση. Αναλύομε την ταχύτητα σε δύο σνιστώσες οι οποίες έχον μέτρα: x = σνθ και y = ηµθ Εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ορμής για κάθε άξονα χωριστά: x x: p = p p + p = p + p πριν µετά πριν πριν µετ ά µετά ολ.x ολ.x.x.x.x.x Σ Σ x +y θ +x y' y θ x Επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: 0 0 = + = + x = x = = σνθ () y y: x p = p p + p = p + p πριν µετά πριν πριν µετ ά µετά ολ.y ολ.y.y.y.y.y Επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα πάνω, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: 3

0 = = y = y = = = ηµθ () y y Υψώνομε τις σχέσεις () και () στο τετράγωνο και τις προσθέτομε κατά μέλη: + = 4 σν θ+ 4 ηµ θ + = 4 ( σν θ+ηµ θ) + = 4 (3) Επειδή η κρούση είναι ελαστική η κινητική ενέργεια το σστήματος διατηρείται. πριν µετά πριν πριν µετ ά µετά Kολ = Kολ K + K = K + K + 0 = + = + (4) Προσθέτομε κατά μέλη τις σχέσεις (4) και (3): 6 6 3 + = + 6 = 3 = = = = 3 3 3 3 6 3 ο σνθ σνθ σνθ θ= 4 3 () = = = 30 β) Αφαιρούμε κατά μέλη τις σχέσεις (3) και (4): = = = = = = 3 γ) Επειδή η σφαίρα μάζας είναι ακίνητη πριν τη κρούση, το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας μάζας πο μεταβιβάστηκε στη σφαίρα μάζας λόγω της κρούσης είναι: µετά 3 K = = = = ή 66,7% πριν 3 6 = Κ δ) Εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ορμής: p + p = p + p p = p + p πριν πριν µετ ά µετά πριν µετ ά µετά p πριν ολ = p µετά ολ 3

p p p p p p µετά πριν µετ ά µετ ά = = = Δηλαδή η μεταβολή της ορμής της σφαίρας Σ έχει αντίθετη κατεύθνση από την ταχύτητα και μέτρο p = Με αντικατάσταση =kg και = 3 προκύπτει: p = kg 3 kg p = 4 3 33

Πρόβλημα. Σώμα Σ μάζας = 4kg βρίσκεται ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιο ελατηρίο, το άλλο άκρο το οποίο είναι ακλόνητα στερεωμένο. Ένα δεύτερο σώμα Σ μάζας = kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρο = 0 / και σγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το Σ. Να πολογίσετε: α) τις ταχύτητες των δύο σωμάτων μετά την κρούση. β) το μέτρο της μεταβολής της ορμής το σώματος Σ. γ) το ποσοστό της κινητικής ενέργειας το σώματος Σ πο μεταφέρθηκε στο σώμα Σ. δ) τη μέγιστη σσπείρωση Δl το ελατηρίο. Σ Σ Δίνεται η σταθερά το ελατηρίο N k = 00 α) Ορίζομε θετική φορά προς τα + δεξιά. Η κρούση είναι κεντρική και Σ ελαστική, το σώμα Σ έχει ταχύτητα Σ μέτρο =0/ και το σώμα Σ είναι αρχικά ακίνητο. Άρα η αλγεβρική τιμή πριν μετά της ταχύτητας μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: = + () και η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας το σώματος Σ μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: = () + 4 3 Με αντικατάσταση προκύπτει: = 0 = 0 = 6 + 4 5 προς τα αριστερά όπως στο σχήμα) (έχει φορά και = 0 = 4 5 β) Η μεταβολή της ορμής το σώματος Σ : p = p p µετά πριν 34

Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: p = p = 0 p = = 0 kg Με αντικατάσταση προκύπτει: p = 4kg 4 p = 6 Επειδή η αλγεβρική τιμή της μεταβολής της ορμής είναι θετική, τατίζεται με το μέτρο. γ) Η κινητική ενέργεια το Σ μετά την κρούση είναι: K µετ ά = Επειδή το σώμα Σ αρχικά ήταν ακίνητο, το ποσοστό της κινητικής ενέργειας το σώματος Σ πο μεταφέρθηκε στο σώμα Σ, είναι: µετά 4kg 4 K 4 6 = = = = 0, 64 ή 64% πριν Κ 00 kg 0 δ) Κατά τη σμπίεση το ελατηρίο όλη η κινητική ενέργεια το σώματος Σ μετατρέπεται σε δναμική ενέργεια στο ελατήριο: K = Uελ = k l l= k και με αντικατάσταση = 4kg, = 4 και N k = 00 προκύπτει: = 4kg l 4 l 4 l 0,8 Ν = 00 0 = 35

Πρόβλημα 3. Το σώμα μάζας = kg το παρακάτω σχήματος, ακομπάει χωρίς να έχει προσδεθεί 4 στο ελεύθερο άκρο οριζόντιο ιδανικού ελατηρίο σταθεράς k = 0 N /. Το ελατήριο είναι σμπιεσμένο σε σχέση με το φσικό το μήκος κατά = 0, με τη βοήθεια νήματος. Κάποια στιγμή το νήμα κόβεται και το σώμα μάζας σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το αρχικά ακίνητο σώμα μάζας = 4kg. Το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο. To μετά την κρούση κινείται σε μη λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης 0 ϕ= 30 πο παροσιάζει τριβές με σντελεστή τριβής ολίσθησης 3 µ=. 5 Α. Να πολογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητας το σώματος λίγο πριν την κρούση το με το σώμα. β) τις ταχύτητες των σωμάτων αμέσως μετά την ελαστική τος κρούση. γ) το διάστημα πο θα διανύσει το μέχρι να σταματήσει. Β. Θα επιστρέψει το στη βάση το κεκλιμένο επιπέδο, αν ποτεθεί ότι το μήκος το κεκλιμένο επιπέδο είναι αρκετά μεγάλο για την κίνηση το σώματος; Δίνεται η επιτάχνση βαρύτητας g = 0 /. Α. α) Φαινόμενο 0 : Ταλάντωση το. Το σώμα μάζας για όσο χρόνο βρίσκεται σε επαφή με το ελατήριο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η επαφή το με το ελατήριο χάνεται στο φσικό μήκος πο σμπίπτει με τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. 36

Εφαρμόζομε την Αρχή Διατήρησης Ενέργειας Ταλάντωσης. E () = E (M) ολ K() + U() = K(M) + U(M) ( ) D= k 0+ D l = + 0 k = l ολ = 4 0 0, / = 0 / β) Φαινόμενο 0 : Κρούση το με το. Θετική φορά λαμβάνεται ατή προς τα αριστερά. Επειδή η κρούση των δύο σωμάτων είναι κεντρική και ελαστική ισχύον οι τύποι: ' = + και ' = + Με αντικατάσταση έχομε: 4 ' = = 0 / + + 4 ' = = 0 / + + 4 ' = 6 / ' = 4 / γ) Φαινόμενο 3 0 : Κίνηση το στο κεκλιμένο επίπεδο. Εφαρμόζομε το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για το από τη θέση Γ έως τη θέση Δ. 37

K K = W + W + W Γ g N Τρ 0 h= ηµϕ 0 ' = gh + 0 + Τ σν80 0 / ' = g / ηµϕ+ 0 µ g / σνϕ ' = g ( ηµϕ + µσνϕ) ' = g ( ηµϕ + µσνϕ) 6 = 3 3 0 + 5 6 = 8 0 0 = Β. Όταν το σώμα σταματήσει, η τριβή ολίσθησης μετατρέπεται ακαριαία σε στατική τριβή και αντιτίθεται στην σνιστώσα g x πο έχει την τάση να ξαναθέσει σε κίνηση το σώμα. Αν η g x είναι μεγαλύτερη της μέγιστης τιμής της στατικής τριβής το σώμα θα επανέλθει στη βάση το κεκλιμένο επιπέδο. Αν η g x είναι μικρότερη ή ίση της μέγιστης τιμής της στατικής τριβής το σώμα δεν θα επανέλθει στη βάση το κεκλιμένο επιπέδο και θα σταματήσει οριστικά. Σε ατή την περίπτωση στο σώμα θα ασκείται η στατική τριβή πο θα είναι ίση με το g x και όχι η μέγιστη τιμή της στατικής τριβής. Έλεγχος: gx = gηµϕ = 4 0 N = 0N 3 3 Τ στ(ax) = µ gσνϕ = 4 0 = N 5 Αφού η g x είναι μεγαλύτερη της μέγιστης τιμής της στατικής τριβής το σώμα θα επανέλθει στη βάση το κεκλιμένο επιπέδο. 38

Πρόβλημα 4. Ένα σώμα μάζας Μ= 35kg ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρφο ιδανικού ελατηρίο σταθεράς k = 0N /, το άλλο άκρο το οποίο είναι ακλόνητα στερεωμένο σε οροφή. Κάποια στιγμή ένα βλήμα μάζας =5 kg βάλλεται από απόσταση h = 3, κάτω από το σώμα Μ με αρχική ταχύτητα μέτρο 0 = 6 / και με φορά προς τα πάνω και σγκρούεται πλαστικά με το σώμα μάζας Μ. Να πολογίσετε: α) Το μέτρο της ταχύτητας το βλήματος λίγο πριν την κρούση. β) Το μέτρο της ταχύτητας το σσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. γ) Τη θερμότητα πο αναπτύχθηκε κατά την διάρκεια της κρούσης. δ) Τη μέγιστη σσπείρωση το ελατηρίο από την αρχική το θέση. Δίνεται η επιτάχνση της βαρύτητας g = 0 /. Σ F = 0 Mg F = 0 Mg = kα Θ. Ι Mg α= (*) k ελ α) Φαινόμενο 0 : Κίνηση το από το Α προς το Γ. Θ.Μ.Κ.Ε. για το : K Γ K = W 0 g 0 = gh = gh = 56 0 3, / = 64 4 64 / = 64 3 / = 8 3 / () 39

β) Φαινόμενο 0 : Πλαστική κρούση -Μ. Α.Δ.Ο (λίγο πριν λίγο μετά την κρούση) pολ ( πριν) = pολ ( μετά) p + p = p + p ' ' M M Επιλέγοντας θετική φορά προς τα πάνω, γράφομε την παραπάνω σχέση αλγεβρικά: u 40 3 = ( + M)VK VK = VK = / + M 40 VK = 3 / () γ) Q= Kολ = K ολ ( αρχ) K ολ ( τελ ) (3) Η αρχική κινητική ενέργεια το σστήματος είναι: ( ) αρχ = + = = (4) K ολ ( ) 0 5 8 3 J 480J Η τελική κινητική ενέργεια το σστήματος είναι: ( ) K ολ ( τελ ) = ( + M)V K = (5 + 35) 3 J = 0 3J K ολ ( τελ ) = 60J (5) ( ) = Q = 40J (4),(5) (3) Q 480 60 J δ) Φαινόμενο 3 0 : Σσπείρωση το ελατηρίο. Θ.Μ.Κ.Ε για το σσσωμάτωμα από το Γ Δ K KΓ = W(+ M)g + WF ελ 0 ( + M)V K = ( + M)gx + kα k( α x) (*) ( + M)V K = ( + M)gx + kα kα kx + kαx Mg ( + M)V K = ( + M)gx kx + k x k ( + M)VK = gx kx kx + gx ( + M)VK = 0 0x + 50x 40 3 = 0 x + 5x 6 = 0 x = 6 x = απορρίπτεται δεκτή 40

Πρόβλημα 5. Το σώμα το διπλανού σχήματος έχει μάζα άκρο κατακόρφο μη εκτατού νήματος μήκος = 0,8. Σώμα μάζας = 0, kg κινείται με ταχύτητα 0 και σγκρούεται πλαστικά με το σώμα Μ. Να πολογίσετε: Μ= 4,8kg και ισορροπεί δεμένο στο κάτω O α) Την ελάχιστη ταχύτητα πο πρέπει να έχει το σώμα ώστε μετά την πλαστική τος κρούση, το σσσωμάτωμα να διαγράψει μία πλήρη κκλική τροχιά (να κάνει ανακύκλωση). β) Το μέτρο της μεταβολής της ορμής της μάζας πριν και μετά την κρούση. 0 l M γ) Την τάση Τ 0 το νήματος πριν την κρούση. δ) Την τάση Τ το νήματος αμέσως μετά την κρούση. Δίνεται η επιτάχνση βαρύτητας g = 0 /. α) Φαινόμενο 0 : Πλαστική κρούση -M. Α.Δ.Ο (λίγο πριν - λίγο μετά) pολ ( πριν) = pολ ( μετά) p + p = p + p ' ' M M ( ) u = + M V 0 K ( + ) ( + ) M VK 0, 4,8 VK 0 = = 0 = 5VK () 0, Φαινόμενο 0 : Κίνηση σσσωματώματος από το Α στο Γ. 4

Εφαρμόζομε το Θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας. K K = W + W Γ (+ M)g T ' ( + M)V K ( + M)V K = ( + M)g + 0 V = V + 4g V = V + 4g () ' ' K K K K Φαινόμενο 3 0 : Σνθήκη ανακύκλωσης στο σημείο Γ. Σ F = F R K ' V ' K VK in T= 0 T+ ( M+ ) g = ( M+ ) V = g V = g = 0 0,8 / V =,8 / (3) ' ' ' K K K (3) () VK,8 4 0 0,8 /,8 7, / 9 / VK 3 / = + = + = = (4) (4) () u 0 = 5 3 / u 0 = 75 / β) Το μέτρο της ορμής της μάζας πριν την κρούση είναι: p = u 0 = 0, 75kg / p = 5kg / Το μέτρο της ορμής της μάζας μετά την κρούση είναι: = K = p p V 0, 3kg / = 0,6kg / Το μέτρο της μεταβολής της ορμής το κατά την κρούση είναι: p = p p = 0,6 5 kg / p = 4,4kg / γ) Επειδή αρχικά το σώμα μάζας Μ ισορροπούσε: Σ F = 0 T0 Mg = 0 T 0 = Mg T0 = 4,8 0N T 0 = 48N δ) Το σσσωμάτωμα αμέσως μετά την κρούση μπαίνει σε κκλική κίνηση. Προσοχή: Η τάση το νήματος δεν ισούται με το βάρος το σσσωματώματος ( T ( M+ ) g) και η σνισταμένη της τάσης και το βάρος είναι η κεντρομόλος δύναμη. 4

VK VK (4) Σ FR = FK T ( M+ ) g = ( M+ ) T= ( M+ ) g+ ( M+ ) 9 T = 50 + 5 N 0,8 T = 300N 43

Πρόβλημα 6. Κατακόρφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k, έχει το κάτω άκρο το δεμένο στο έδαφος και στο άνω άκρο το έχομε δέσει μικρό σώμα Σ μάζας =3kg. Το σώμα ισορροπεί με το ελατήριο σσπειρωμένο κατά d=0,3. Στην ίδια κατακόρφο με τον άξονα το ελατηρίο και σε ύψος d 0 =0, πάνω από το Σ αφήνομε ένα μικρό σώμα Σ μάζας =kg. Τα δύο σώματα σγκρούονται κεντρικά και πλαστικά. Το σσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. α) Να πολογίσετε την ταχύτητα το σσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση των σωμάτων. β) Να πολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς το ελατηρίο και την περίοδο ταλάντωσης πο θα εκτελέσει το σσσωμάτωμα. γ) Να πολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης το σσσωματώματος. δ) Να γράψετε την εξίσωση της επιτάχνσης το σσσωματώματος σε σχέση με το χρόνο, θεωρώντας θετική φορά κατακόρφη προς τα επάνω και λαμβάνοντας ως χρονική στιγμή t=0 τη στιγμή αμέσως μετά την κρούση. Δίνεται: g=0/ α) Για την κίνηση το Σ, εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ενέργειας: Eµ( αρχ ) = Eµ( τελ) = gd0 = gd0 = Κατά την κρούση η ορμή το σστήματος διατηρείται άρα αν u η ταχύτητα το σσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση, τότε: = (+ ) = 0,5 β) Στην αρχική θέση ισορροπίας, Θ.Ι. (), πριν την κρούση των σωμάτων ισχύει: g Σ = = = = = d F 0 Fελ Ww 0 kd g 0 k k 00 Επειδή D=k ισχύει ότι: N 44

rad k = (+ ) ω ω= 5 Άρα: π T = = 0, 4π ω γ) Στην περίπτωση πλαστικής κρούσης σωμάτων, όπο το ένα είναι δεμένο στο άκρο ελατηρίο, αν το ελατήριο είναι κατακόρφο ή πλάγιο, το σσσωμάτωμα έχει νέα θέση ισορροπίας. Αν στη νέα θέση ισορροπίας το ελατήριο είναι σσπειρωμένο κατά Δl, θα πρέπει: Σ F= 0 F W = 0 k = ( + )g = 0,4 ελ ολ Σνεπώς αμέσως μετά την κρούση το σσσωμάτωμα βρίσκεται σε σχέση με τη νέα θέση ισορροπίας σε απομάκρνση μέτρο: y0 = d = 0,. Η ενέργεια της ταλάντωσης ισούται: E = K + U = (+ ) + ky0 E = J δ) Η επιτάχνση το ( + ) περιγράφεται από την εξίσωση Από την ενέργεια ταλάντωσης το σσσωματώματος έχομε: α = ω ηµ ( ω t + ϕ 0). E = k = 0, Η απομάκρνση το ( + ) περιγράφεται από την y= ηµ ( ω t + ϕ 0). Την t = 0 είναι (S.I.): π π y = y0 0, ηµϕ 0 = 0, ηµϕ 0 = ηµ ϕ 0 = rad ή ϕ 0 = 4 4 Όμως (θετική φορά προς τα πάνω) < 0 σνϕ 0 < 0. Άρα ϕ 0 = Σνεπώς, η ζητούμενη εξίσωση είναι: 3π α = ω Αηµ ( ω t + ϕ0) α =, 5 ηµ (5t + ) (S.I.) 4 3π rad 4 3π rad 4 Ημερομηνία τροποποίησης: 9/07/0 45

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΚΡΟΥΣΕΙΣ - ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ΕΝΟΤΗΤΑ : ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Ένας παρατηρητής κινείται με σταθερή ταχύτητα εκπέμπει κύματα σχνότητας f και μήκος κύματος Α προς ακίνητη πηγή ήχο πο Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται τα ητικά κύματα να διαδίδονται με ταχύτητα η οποία είναι κατά 0% μεγαλύτερη από ατήν πο αντιλαμβάνεται όταν είναι ακίνητος. λ. Η σχνότητα το ήχο πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής f Α και η σχνότητα σνδέονται με τη σχέση f α) f = Α,f. β) f = Α, f. f =, 05f. γ) Να επιλέξετε τη σωστή λύση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή λύση είναι η α. Εφαρμόζομε τη θεμελιώδη εξίσωση της κματικής για τον κινούμενο παρατηρητή και για έναν ποθετικό ακίνητο παρατηρητή. Για τον ακίνητο παρατηρητή: =λ f Για τον κινούμενο παρατηρητή: f (Α) =λα Διαιρούμε κατά μέλη τις δο προηγούμενες σχέσεις και θέτοντας είναι ακίνητη) βρίσκομε ότι: λ Α =λ (επειδή η πηγή λf λ ( ) = = = f, f f f,f

Επομένως σωστή λύση είναι η α. Σημαντική παρατήρηση Η ταχύτητα το ήχο πο αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής ταχύτητα το παρατηρητή (Α) εξαρτάται από την Α και είναι ανεξάρτητη από την ταχύτητα της πηγής. Ισχύει: Όταν παρατηρητής πλησιάζει την πηγή: (Α) = + Α () Όταν παρατηρητής απομακρύνεται από την πηγή: (Α) = Α (), όπο η ταχύτητα το ήχο όπως τη μετρά ένας ακίνητος παρατηρητής.

Ερώτηση. Μια ητική πηγή βρίσκεται μεταξύ δο ακίνητων παρατηρητών Α και Β. Η πηγή εκπέμπει ητικά κύματα πο έχον μήκος κύματος λ και σχνότητα παρατηρητής Α αντιλαμβάνεται τα ητικά κύματα να έχον μήκος κύματος Επομένως: ) α) η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή Α. β) η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή Α. γ) η πηγή είναι ακίνητη. ) Ο παρατηρητής Β αντιλαμβάνεται ήχο με μήκος κύματος: i) λ B =, λ. ii) λ B =,λ. iii) λ B =λ. Να επιλέξετε τις σωστές απαντήσεις. Να δικαιολογήσετε τις επιλογές σας. f. O λ = 0,9λ Α ) Σωστή λύση είναι η α. ) Σωστή λύση είναι η ii. ) Όταν μια ητική πηγή κινείται προς έναν παρατηρητή ατός αντιλαμβάνεται μήκος κύματος μικρότερο από ατό πο θα αντιλαμβανόταν αν η πηγή ήταν ακίνητη. Στην περίπτωση μας έχομε λ = 0,9λ, άρα η πηγή S πλησιάζει τον παρατηρητή. Α ) Η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή, άρα το μήκος κύματος πο ατός αντιλαμβάνεται βρίσκεται από τη σχέση: λ =λ T () Α όπο δηλώνει την ταχύτητα της πηγής. Η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή B, άρα το μήκος κύματος πο ατός αντιλαμβάνεται βρίσκεται από τη σχέση: λ B =λ + T () 3

Προσθέτομε κατά μέλη τις () και () και έχομε: λ =λ T Α λ Α +λ Β = λ λ B =λ + T 0, 9λ +λ = λ λ =,λ Β Β Επομένως σωστό είναι το ii. Σημαντική παρατήρηση Το μήκος κύματος πο αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής εξαρτάται μόνο από την ταχύτητα της πηγής και είναι ανεξάρτητο από την ταχύτητα το παρατηρητή. Ισχύει: Αν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή με ταχύτητα τότε ο αντιλαμβάνεται μήκος κύματος λ Α =λ T (δηλαδή λ Α <λ ). παρατηρητής ν η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή με ταχύτητα, τότε ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται μήκος κύματος λ Α =λ + T (δηλαδή λ Α >λ ). 4

Ερώτηση 3. Μια ητική πηγή κινούμενη με σταθερή ταχύτητα πλησιάζει και προσπερνά ακίνητο παρατηρητή. Οι σχνότητες το ήχο πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής καθώς η πηγή τον πλησιάζει και καθώς απομακρύνεται από ατόν είναι f και f αντίστοιχα. Οι δύο σχνότητες σνδέονται με τη σχέση f = f. Η ταχύτητα σχέση: της πηγής και η ταχύτητα διάδοσης το ήχο σνδέονται με τη α) β) γ) =. 3 =. =. 4 Να επιλέξετε τη σωστή λύση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή πρόταση είναι η α. Η σχνότητα f πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής καθώς η πηγή τον πλησιάζει βρίσκεται από τη σχέση: f = f Η σχνότητα f πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής καθώς η πηγή απομακρύνεται από ατόν βρίσκεται από τη σχέση: f = + f Σύμφωνα με την εκφώνηση f = f, οπότε με αντικατάσταση παίρνομε: f= f f = f + ( ) = + = + = 3 = 3 5

Άρα σωστή πρόταση είναι η α. 6

Ερώτηση 4. Μια πηγή κινούμενη με ταχύτητα = απομακρύνεται από κινούμενο παρατηρητή ο 0 οποίος κινείται με ταχύτητα Α = κατεθνόμενος προς την πηγή. 40 Η πηγή εκπέμπει ήχο σχνότητας f, μήκος κύματος ταχύτητα. λ, ο οποίος κινείται στον αέρα με α) Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο πο έχει ταχύτητα διάδοσης ως προς ατόν 39 ( ) =. 40 0 β) Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο πο έχει μήκος κύματος λ Α = λ. 4 γ) Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο πο έχει σχνότητα f = f 4 Να επιλέξετε τη σωστή λύση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή λύση είναι η γ. Η πρόταση α είναι λάθος διότι έχομε παρατηρητή πο κατεθύνεται προς ητική πηγή. Στην περίπτωση ατή η ταχύτητα διάδοσης το ήχο ως προς τον παρατηρητή (Α) είναι μεγαλύτερη από τη και όχι μικρότερη όπως δίνεται. (Βλέπε και παρατήρηση παραδείγματος, θέμα Β) Η πρόταση β είναι λάθος, διότι έχομε πηγή πο απομακρύνεται από παρατηρητή. Στην περίπτωση ατή το μήκος κύματος πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής, λ Α, είναι μεγαλύτερο από λ και όχι μικρότερο όπως δίνεται. (Βλέπε και παρατήρηση παραδείγματος, θέμα Β). Για την πρόταση γ έχομε: 7

Για τον κινούμενο παρατηρητή γράφομε τη θεμελιώδη εξίσωση της κματικής ως εξής: =λ f f = λ () () ή () Με βάση την παρατήρηση της Παράδειγμας (), επειδή ο παρατηρητής κατεθύνεται προς την πηγή η ταχύτητα διάδοσης το ήχο ως προς τον παρατηρητή βρίσκεται από τη σχέση () = + Με βάση την παρατήρηση της Παράδειγμας (), επειδή η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή το μήκος κύματος πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής λ Α βρίσκεται από τη + σχέση: λ =λ + T = + ή λ = f f f Με αντικατάσταση στη σχέση () των (Α) και λ παίρνομε: Α 4 + f = f = f f = f f = f + +Α 40 40 + + + f 0 0 4 40 4 f = f f = f 4 4 40 Επομένως σωστή λύση είναι η γ. 8

Ερώτηση 5. Μια ακίνητη πηγή ήχο εκπέμπει ήχο σχνότητας f. Ένας παρατηρητής πλησιάζει την πηγή κινούμενος με σταθερή ταχύτητα. Η πηγή εκπέμπει διάστημα t. ήχο για τα οποία ισχύει: N = N. α) S Ο παρατηρητής σε χρονικό διάστημα t N S μέγιστα ήχο σε χρονικό θα αντιλαμβάνεται N μέγιστα N > N. β) S N < N. γ) S Να επιλέξετε τη σωστή λύση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή πρόταση είναι η β. Για τη σχνότητα πο εκπέμπει η πηγή ισχύει: f N = t Για τη σχνότητα f πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής ισχύει: f N = t Το χρονικό διάστημα N N N f = = f f N f t στις παραπάνω σχέσεις είναι κοινό, επομένως: Επειδή ο παρατηρητής πλησιάζει προς την πηγή έχομε f S < f, άρα: N N N N < < Άρα, σωστή πρόταση είναι η β. 9

Ερώτηση 6. Πηγή κινείται με ταχύτητα =, όπο η ταχύτητα το ήχο ως προς τον αέρα. 0 Μπροστά από την πηγή, σε μεγάλη απόσταση, πάρχει ακίνητο κατακόρφο εμπόδιο (τοίχος) στο οποίο ο ήχος μπορεί να ανακλαστεί. Ανάμεσα στην πηγή και στο εμπόδιο πάρχει ένας παρατηρητής Α ο οποίος κατεθύνεται προς το εμπόδιο με ταχύτητα 0 =. Η πηγή εκπέμπει ήχο σχνότητας f S. Ο ήχος μετά την ανάκλαση το στον κατακόρφο τοίχο γίνεται αντιληπτός από τον παρατηρητή με σχνότητα f. Οι δύο σχνότητες σνδέονται με τη σχέση: f 0 = f. 9 α) f 9 = f. 8 β) f = f. 8 γ) Να επιλέξετε τη σωστή λύση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή επίσης. Σωστή λύση είναι η γ. Η σχνότητα f πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής προέρχεται από το εμπόδιο. Η σχνότητα πο εκπέμπει ένα εμπόδιο σμπίπτει πάντα με τη σχνότητα πο θα ανίχνεε επίσης δέκτης πο βρίσκεται πάνω το. Άρα πρέπει να βρούμε πρώτα τη σχνότητα f B πο ανιχνεύει το εμπόδιο. Έχομε ακίνητο παρατηρητή (το εμπόδιο) και πηγή πο το πλησιάζει, άρα η σχνότητα f B βρίσκεται από τη σχέση: 0 f = f f = f f = f f = f B B B B 9 9 0 0 0

Η σχνότητα το ανακλώμενο ήχο πο ακούει ο παρατηρητής είναι f και η κατάλληλη σχέση πο την πολογίζει θα έχει πηγή ακίνητη (το εμπόδιο πο εκπέμπει f B ) και παρατηρητή πο πλησιάζει την πηγή, δηλαδή f = + Α f B Με αντικατάσταση επίσης f B παίρνομε: + f = f f = f f = f +Α 0 0 0 0 0 9 9 9 0 f = f f = f. 0 9 8 Άρα σωστή λύση είναι η γ. Σημαντική παρατήρηση Όταν το κύμα σναντά εμπόδιο, το εμπόδιο σμπεριφέρεται ως δετερογενής πηγή κμάτων και τα επανεκπέμπει με σχνότητα ίδια με ατή πο τα δέχτηκε. Όμως, όπως το εμπόδιο μπορεί να είναι ακίνητο ή κινούμενο, έτσι και η δετερογενής πηγή κμάτων μπορεί να είναι επίσης ακίνητη ή κινούμενη.

ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Ένας παρατηρητής και ένα περιπολικό (πηγή ήχο) αφού σναντηθούν στον ίδιο εθύγραμμο δρόμο σνεχίζον να κινούνται απομακρνόμενοι ο ένας από τον άλλον με σταθερές ταχύτητες. Οι ταχύτητες τος είναι αντίστοιχα Α = 0 και = 0. Καθώς απομακρύνονται ο ένας από τον άλλον, το περιπολικό εκπέμπει ήχο σχνότητας f διάστημα t = 6, 4. Για τον παρατηρητή να βρεθεί: α) η ταχύτητα διάδοσης το ήχο πο αντιλαμβάνεται. β) το μήκος κύματος το ήχο πο ακούει. γ) η σχνότητα το ήχο πο αντιλαμβάνεται. δ) η χρονική διάρκεια t το ήχο πο ακούει. = 350Hz για χρονικό Δίνεται η ταχύτητα το ήχο στον αέρα = 340. α) Έχομε παρατηρητή πο απομακρύνεται από ητική πηγή, άρα για την ταχύτητα το ήχο πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής ισχύει: (Α) = Α (Α) = 30 (Βλέπε και παρατήρηση παραδείγματος, θέμα Β). β) Έχομε πηγή πο απομακρύνεται από παρατηρητή, άρα για το μήκος κύματος πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής ισχύει (βλέπε και παρατήρηση παραδείγματος, θέμα Β) T λ =λ + λ =λ + f

+ 350 λ = + λ = λ = = f f f 350 γ) Έχομε παρατηρητή πο απομακρύνεται από ητική πηγή και πηγή πο απομακρύνεται από παρατηρητή, άρα η σχνότητα το ήχο πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής δίνεται από τη σχέση f = Α f και αντικαθιστώντας παίρνομε: + 340 0 f = 350Hz f = 30Hz 340 + 0 δ) Ο αριθμός των μεγίστων N πο εκπέμπει η πηγή δίνονται από τη σχέση N = f t Ο αριθμός των μεγίστων N = f t. N πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής δίνονται από τη σχέση Όμως όσα μέγιστα παραχθούν από την πηγή, τόσα θα φθάσον στον παρατηρητή, f t 350 6,4 δηλαδή N = NS f t = f t t = t = t = 7 f 30 3

Άσκηση. Ένας παρατηρητής κατεθύνεται προς ακίνητο ατοκίνητο με σταθερή ταχύτητα Α = 0. Πίσω από τον παρατηρητή και στην εθεία ατοκινήτο - παρατηρητή πάρχει ακίνητη επιφάνεια στην οποία ο ήχος μπορεί να ανακλαστεί. ) Ο οδηγός το ατοκινήτο κορνάρει εκπέμποντας ητικά κύματα σχνότητας fs = 00Hz. Να βρεθούν: α) Η σχνότητα το ήχο πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής και πο προέρχεται απεθείας από την κόρνα το ατοκινήτο. β) Η σχνότητα το ανακλώμενο ήχο πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. ) Ο παρατηρητής προσπερνά το ατοκίνητο και καθώς απομακρύνεται από ατό κινούμενος πάντα με την ίδια ταχύτητα Α, ο οδηγός το ατοκινήτο ξανακορνάρει για χρονικό διάστημα 3,. Να βρεθούν: α) Πόση είναι τώρα η σχνότητα το απεθείας αλλά και το ανακλώμενο ήχο πο ακούει ο παρατηρητής; β) Πόσο μετατοπίστηκε ο παρατηρητής στο χρονικό διάστημα πο άκογε την κόρνα το ατοκινήτο; Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης το ήχο στον αέρα = 340. Α) α) Έχομε παρατηρητή πο πλησιάζει ακίνητη πηγή, άρα η σχνότητα το ήχο πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής και πο προέρχεται απεθείας από την κόρνα το ατοκινήτο είναι 4

+ 340 + 0 360 f = f f = 00Ηz f = 00Η z = 080Hz 340 340 Α β) Για να βρούμε την σχνότητα το ανακλώμενο ήχο πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σκεφτόμαστε ως εξής: Θεωρούμε ότι πηγή ήχο είναι η ανακλώσα επιφάνεια. Έχομε παρατηρητή πο απομακρύνεται από ακίνητη πηγή, άρα η σχνότητα το ήχο πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι f = Α f B (), όπο f B η σχνότητα το ήχο πο εκπέμπεται από την ανακλώσα επιφάνεια. Όμως η σχνότητα το ήχο f B πο εκπέμπεται από ατήν είναι ίση με την σχνότητα το ήχο πο ακούει ένας παρατηρητής B πο βρίσκεται (κολλημένος) στην επιφάνεια. Η επιφάνεια όμως είναι ακίνητη και η πηγή είναι ακίνητη, άρα για τον παρατηρητή B δεν πάρχει φαινόμενο Doppler και η σχνότητα f B πο αντιλαμβάνεται είναι ίση με τη σχνότητα της πηγής, δηλαδή f = f = Β 00 Η z. Αντικαθιστώντας στη σχέση () έχομε: 340 0 fβ = 00Η z = 960Hz. 340 ) α) Έχομε παρατηρητή πο απομακρύνεται από ακίνητη ητική πηγή, άρα η σχνότητα το απεθείας ήχο πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητης είναι: 340 0 f = f f = 00Η z = 960Ηz 340 Α S Για τον ήχο από ανάκλαση έχομε πάλι παρατηρητή πο απομακρύνεται από ακίνητη ητική πηγή, άρα θα αντιλαμβάνεται και από ανάκλαση την ίδια σχνότητα f = 960Η z β) Ο παρατηρητής μετατοπίστηκε κατά x t ( ) =, Α όπο t η χρονική διάρκεια πο ακούει τον ήχο από την πηγή ο παρατηρητής. Ο αριθμός των μεγίστων N S πο εκπέμπει η πηγή δίνονται από τη σχέση NS fs ts =. 5

Ο αριθμός των μεγίστων N = f t. N πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής δίνονται από τη σχέση Όμως όσα μέγιστα παραχθούν από την πηγή, τόσα θα φθάσον στον παρατηρητή, δηλαδή N = NS. Άρα f t 00 3, f t = f t t = t = = 3, 4 f 960 Με αντικατάσταση στη σχέση () παίρνομε x = 68 6

Άσκηση 3. Δύο ατοκίνητα () και () κινούνται εθύγραμμα και ομόρροπα με ταχύτητες = 40 / και = 0 / αντίστοιχα. Τα ατοκίνητα πλησιάζον προς κατακόρφο τοίχο στη βάση το οποίο έχομε τοποθετήσει έναν ανιχνετή ητικών κμάτων. Κάποια χρονική στιγμή κατά την οποία το ατοκίνητο () προπορεύεται το (), ο οδηγός το () πιέζει την κόρνα το, η οποία εκπέμπει ήχο σχνότητας f = 640Hz. Να πολογίσετε τη σχνότητα το ήχο πο: α) καταγράφει ο ανιχνετής στη βάση το τοίχο. β) αντιλαμβάνεται ο οδηγός το ατοκινήτο () απεθείας από το ατοκίνητο (). γ) ανακλάται από τον τοίχο, όπως την αντιλαμβάνεται ο οδηγός το ατοκινήτο (). δ) ανακλάται από τον τοίχο, όπως την αντιλαμβάνεται ο οδηγός το ατοκινήτο (). Δίνεται η ταχύτητα το ήχο στον ακίνητο αέρα = 340 /. α) Ο ανιχνετής (ο οποίος έχει το ρόλο το παρατηρητή) είναι ακίνητος ( Α =0) και η ητική πηγή πλησιάζει με ταχύτητα. Σνεπώς η ανιχνεόμενη σχνότητα ισούται με: 340 f = f f = 640Hz f = 680Hz 340 0 7

β) Στην περίπτωση ατή ο παρατηρητής κινείται προς την πηγή με ταχύτητα και η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή με ταχύτητα. Άρα ο οδηγός το () αντιλαμβάνεται σχνότητα: + 380 f = f f = 640Hz f 676Hz + 360 γ) Ο τοίχος λειτοργεί ως ακίνητη ητική πηγή ( S =0) σχνότητας f = 680Hz. Ο παρατηρητής () πλησιάζει την πηγή με ταχύτητα,άρα ο ήχος από ανάκλαση πο + 380 αντιλαμβάνεται έχει σχνότητα: f = f f = 680Hz 340 f = 760Hz δ) Ομοίως με το (γ) ο παρατηρητής () πλησιάζει την πηγή με ταχύτητα ενώ ο τοίχος λειτοργεί ως ακίνητη ητική πηγή σχνότητας f αντιλαμβάνεται λόγο ανάκλασης σχνότητα: = 680Hz. Άρα ο οδηγός το (), + 360 f = f f = 680Hz f = 70Hz 340 8

ΘΕΜΑ Δ Πρόβλημα. Ένας παρατηρητής βρίσκεται ανάμεσα σε δο ακίνητες και πανομοιότπες πηγές κμάτων Π και Π οι οποίες εκπέμπον κύματα ίδιας σχνότητας f = 50Hz. Ο παρατηρητής κινείται με σταθερή ταχύτητα Α πλησιάζοντας την πηγή Π και απομακρνόμενος από την πηγή Π. Οι ήχοι πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής έχον f 43 σχνότητες f και f για τις οποίες ισχύει = f 4 Να βρεθούν: α) η ταχύτητα Α το κινούμενο παρατηρητή. β) η σχνότητα το κάθε ήχο πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. γ) η σχνότητα των διακροτημάτων το σύνθετο ήχο πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. δ) η μετατόπιση το παρατηρητή στο χρονικό διάστημα πο παρεμβάλλεται μεταξύ 3 μεγιστοποιήσεων το πλάτος το σύνθετο ήχο πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης το ήχο στον αέρα = 340. α) Ο παρατηρητής πλησιάζει την ακίνητη πηγή πο αντιλαμβάνεται ισχύει: Π, άρα για τη σχνότητα το ήχο f () f () + = Α f () Ο παρατηρητής απομακρύνεται από την ακίνητη πηγή Π, άρα για τη σχνότητα f() το ήχο πο αντιλαμβάνεται ισχύει f () = Α f () 9

Με διαίρεση κατά μέλη έχομε: f +Α 43 +Α = = 43( Α) = 4( +Α) f 4 Α 43 43 Α = 4 + 4Α = 85Α Α =. 85 Άρα: Α = 4 ec Α β) Από τις σχέσεις () και () βρίσκομε: + Α 340 + 4 f() = f = 50Hz = 56Hz 340 Α 340 4 f() = f = 50Hz = 504Hz 340 γ) Σημαντική παρατήρηση: Όταν στο ατί μας φτάσον ήχοι ίδιο πλάτος( έντασης) με σχνότητες πο διαφέρον λίγο μεταξύ τος τότε το τύμπανό μας ταλαντώνεται περιοδικά με μέγιστα και παύσεις. Η αξομείωση ατή της έντασης το ήχο είναι το διακρότημα και ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς ή μεγιστοποιήσεις της έντασης (πλάτος) το ήχο είναι η περίοδος το διακροτήματος. f = f f f = Hz δ δ δ) Το χρονικό διάστημα μεταξύ 3 μεγιστοποιήσεων το πλάτος είναι περίοδοι διακροτήματος, δηλαδή: t = Tδ = όπο Τ δ = = ec. f δ Ο παρατηρητής κινείται ομαλά με ταχύτητα Α = 4. Επομένως θα έχει διανύσει απόσταση x =Α t = 4 0