TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO 1. CORPOS XEOMÉTRICOS No noso entorno observamos continuamente obxectos de diversas formas: pelotas, botes, caixas, pirámides, etc. Todos estes obxectos son corpos xeométricos. Ao longo de todos os tempos utilizáronse estes corpos no arte e na arquitectura. Os corpos xeométricos son porcións de espazo limitadas por superficies planas ou curvas. Clasificamos, no seguinte esquema, os corpos xeométricos: CORPOS XEOMÉTRICOS POLIEDROS (corpos con caras planas) CORPOS REDONDOS (corpos con caras curvas) POLIEDROS REGULARES PRISMAS CILINDROS ESFERAS PIRÁMIDES CONOS CORPOS ESFÉRICOS 2. POLIEDROS Un poliedro é un corpo xeométrico que está limitado por catro ou máis polígonos. Os principais elementos dun poliedro son: Caras ou polígonos que o limitan. Arestas ou lados das caras. Vértices ou puntos de corte das arestas. Diagonais ou segmentos que unen dous vértices de distintas caras. pág. 1
Dentro deles, faremos a seguinte distinción: diremos que un poliedro é convexo si todas as súas caras se poden apoiar nun plano; cando non ocorre así, dise que o poliedro é cóncavo. Poliedro convexo Poliedro cóncavo 2.1. Poliedros regulares Os poliedros regulares son aqueles que as súas caras son polígonos regulares iguais e en cada vértice concorren o mesmo número de caras. Só existen cinco poliedros regulares. A continuación, podes ver cada un deles coa súa definición: 4 caras 6 caras 8 caras 12 caras 20 caras Triángulos equiláteros Cadrados Triángulos equiláteros Pentágonos Triángulos equiláteros 2.2. Prismas e pirámides Os prismas son poliedros cuxas bases, paralelas entre sí, son dous polígonos iguais e as súas caras laterais son paralelogramos. Un elemento característico dos prismas é a altura ou segmento perpendicular ás súas bases. Podemos clasificar os prismas da seguinte forma: Polos polígonos das súas bases poden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonais, etc. Rectos e oblicuos, segundo que as arestas laterais sexan perpendiculares ou oblicuas ás bases. Regulares ou irregulares. Son regulares aqueles prismas rectos que as súas bases son polígonos regulares; e son irregulares cando falta algunha condición de regularidade. Paralelepípedos son prismas cuxas bases son paralelogramos, logo as súas seis caras son paralelogramos. Os paralelepípedos rectos denomínanse ortoedros, e son o ortoedro (o paralelepípedo rectángulo) e o cubo (ou hexaedro). pág. 2
Prisma pentagonal recto (regular) Base: pentágono regular Prisma cadrangular oblicuo (irregular) Base: cadrado Ortoedro ou paralelelípedo rectángulo Todas as súas caras son rectángulos Cubo ou hexaedro Todas as súas caras son cadrados nun vértice. As pirámides son poliedros que teñen por base un polígono e as súas caras laterais son triángulos que concorren Os elementos máis característicos da pirámide, ademais dos xerais dos poliedros, son: Altura, h, ou distancia do vértice ao plano que contén a base. Apotema lateral, al, é a altura das súas caras laterais. Apotema da base, ab, é a apotema da base. Estes tres elementos forman un triángulo rectángulo que nos resultará moi útil nos cálculos de áreas e volumes. pág. 3
Podemos clasificar as pirámides da seguinte maneira: Polos polígonos das súas bases poden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonais, etc. Rectas e oblicuas. As pirámides rectas son aquelas que teñen por caras laterais triángulos isósceles. Si algunha cara lateral é un triángulo escaleno, a pirámide é oblicua. Regulares ou irregulares. Son regulares aquelas pirámides rectas que teñen por base un polígono regular; e son irregulares cando falta algunha condición d regularidade. 2.3. Teorema de Euler A partir dos seguintes poliedros convexos construímos a táboa que figura máis abaixo. Pirámide cadrangular Pirámide triangular truncada Diamante Poliedro Caras (C) Vértices (V) Arestas (A) C + V - A Pirámide cadrangular 5 5 8 2 Pirámide triangular truncada 5 6 9 2 Diamante 11 11 20 2 C + V - A = 2. Este resultado foi descuberto por Leonhard Euler (1707 1783) e coñécese co nome de teorema de Euler. Teorema de Euler En calquera poliedro convexo verifícase que o número de caras (C ) máis o número de vértices (V ) é igual ao número de arestas (A) máis dous. Nº de caras + Nº de vértices = Nº de arestas + 2 C + V = A + 2 3. CORPOS REDONDOS: CILINDRO, CONO E ESFERA Os corpos redondos de revolución obtéñense ao xirar unha figura plana arredor dun eixe. Os tres corpos de revolución máis sinxelos son o cilindro, o cono e a esfera. pág. 4
O cilindro é o corpo xeométrico que se obtén ao xirar un rectángulo arredor dun dos seus lados. O cono é o corpo xeométrico que se obtén ao xirar un triángulo rectángulo arredor dun dos seus catetos. A esfera é o corpo xeométrico que se obtén ao xirar un semicírculo arredor do seu diámetro. Detallamos a continuación os elementos máis importantes destes corpos: Cilindro Altura (h) é o segmento que une o centro das dúas bases. É perpendicular a ambas bases. Radio (r) é o radio de cada un dos círculos que forman as súas bases. Xeratriz (g) é o segmento que xera o cilindro. A súa medida coincide coa da altura. Cono Altura (h) é o segmento que une o vértice e o centro da base. É perpendicular á base. Radio (r) é o radio do círculo que forma a súa base. Xeratriz (g) é o segmento que xera o cono. Esfera Radio (r) é o segmento que une o centro cun punto calquera da superficie que limita a esfera. Diámetro (d) é o segmento que une dous puntos da superficie esférica pasando polo centro. 4. ÁREAS DE PRISMAS E PIRÁMIDES RECTAS O desenvolvemento dun prisma recto é un rectángulo (formado polas caras laterais) e os dous polígonos das bases. Un dos lados do rectángulo é o perímetro do polígono da base (PB) e o outro lado é a altura do prisma. Prisma recto e o seu desenrolo A área lateral é igual ao perímetro da base pola altura: A L = P B h A área total é igual á área lateral máis a área das dúas bases: A T = A L + 2 A B pág. 5
da base. O desenvolvemento dunha pirámide recta fórmano varios triángulos isósceles (caras laterais) e o polígono Pirámide recta e o seu desenvolvemento A área lateral obtense sumando a área de todas as caras laterais: A L = suma das áreas das caras laterais A área total obtense sumando á área lateral a área da base: A T = A L + A B 5. ÁREAS DE CILINDROS E CONOS O desenvolvemento dun cilindro é un rectángulo e dous círculos. O rectángulo ten por base a lonxitude da circunferencia e por altura a xeratriz. Cilindro e o seu desenvolvemento A área lateral é, polo tanto: A L = 2πrh A área total é igual á área lateral máis a suma das áreas dos dous círculos: A T =2πrh+ 2πr 2 O desenvolvemento dun cono é un sector circular e un círculo. O arco do sector circular ten de lonxitude 2πr, porque é a lonxitude da circunferencia da base. Cono e o seu desenvolvemento Por conseguinte, a área lateral é igual á área do sector circular: L =. 2 A área lateral é: A L = rg = 2 rg 2 = rg Á área total é igual á área lateral máis a área do círculo da base: = rg+ 2 6. VOLUME DE PRISMAS E CILINDROS O volume do ortoedro obtense multiplicando as súas tres dimensións: pág. 6
Volume del ortoedro = ancho largo alto Como o ancho polo largo é a área da base (AB), resulta: Volume do ortoedro = área da base altura = AB h No caso particular do cubo, as súas tres dimensións son iguais, co que: Volume del cubo = a a a = a 3 Como o volume do ortoedro é igual á área da base (AB) pola altura (h) tense: Vprisma = área da base altura = AB h Vcilindro = área da base altura = AB h Para o cilindro de radio r e altura h, tense en particular: Vcilindro = AB h = πr 2 h O volume dun prisma ou dun cilindro é igual á área da base pola altura: Vcilindro = AB h = πr 2 h Vprisma= AB h 7. VOLUME DE PIRÁMIDES E DE CONOS O volume dunha pirámide é igual a un terzo do volume do prisma da mesma base e altura. Vpirámide triangular = AB h pág. 7
O volume dun cono é igual a un terzo da área da base pola altura. Vcono = AB h= πr2 h 8. VOLUMEN DE LA ESFERA O volume dunha esfera de radio r cumpre a seguinte fórmula: Vesfera = πr3 Exercicios para practicar: 1. Completa a seguinte táboa Base Triangular Cuadrangular Pentagonal Hexagonal Heptagonal Base: 16 lados Base: n lados Primas Pirámides C V A C V A 2. Calcula a área total dun prisma hexagonal regular cuxa arista básica e altura miden ambas 8 cm e o apotema da base é 7. 3. Calcula a área lateral e a área total dunha pirámide hexagonal regular de aresta básica 6 cm e apotema 5 cm, cuxas caras laterais teñen 4 cm de altura. 4. Calcula a área lateral e a área total dun cilindro de 6 cm de diámetro e 8 cm de altura. 5. Calcula a área lateral e a área total dun cono de radio 7 cm y 24 cm de altura. 6. Calcula a área total e o volume dun cubo cuxa aresta mide 20 cm. 7. Calcula o volumen de un prisma cuadrangular regular de 8 cm de altura y aresta básica 5 cm. pág. 8