Εφαρμογή: ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις () αλές αρμονικές ταλαντώσεις, ου έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροίας και εξισώσεις: x1 ( t) = 0.1 ηµ 99 t (S.I.) ( ) ηµ ( ) x t = 0. 101 t (S.I.) x ( t) = 0.1 ηµ 99 t+ 6 (S.I.) Να υολογιστούν: Α. Η εξίσωση ου εριγράφει το είδος της κίνησης του σώματος. Β. Ο αριθμός των διελεύσεων του σώματος αό τη θέση ισορροίας του σε χρονικό διάστημα Δt=1sec. Γ. Η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t 0 =0. 1
Λύση Α. Εειδή έχουμε τρεις ταλαντώσεις ου εκτελεί ταυτόχρονα το σώμα μας, θα εργαστούμε με ζεύγη. Συνθέτουμε ρώτα τις δύο ταλαντώσεις (x 1, x ) με την ίδια συχνότητα (ω=ω 1 =ω =99rad/s) χρησιμοοιώντας τις σχέσεις της ρώτης ερίτωσης σύνθεσης ταλαντώσεων. Στην άσκησή μας αρουσιάζουν και οι δύο Α.Α.Τ. αρχική φάση: ( ) ηµ ( ω ) x t = A t+, 1 1 0,1 ( ) = ηµ ( ω + ) x t A t 0, Συγκρίνοντας τις αραάνω εξισώσεις με τις αντίστοιχες εξισώσεις της εκφώνησης: Έχουμε ότι: x1 ( t) = 0.1 ηµ 99 t (S.I.), x ( t) = 0.1 ηµ 99 t+ 6 (S.I.) Α 1 =0.1m, A = 0.1 m ω=ω 1 =ω =99 rad/s 0,1 = rad 0, = 6 rad Άρα, εειδή φ 0,1 < φ 0, ροηγείται φασικά η x (ή αντίστοιχα καθυστερεί η x 1 ), οότε: = = rad 0, καϑ. 0,1 = = 6 rad 0, ρο. 0, Η εξίσωση της σύνθεσης των x 1, x θα είναι είσης Α.Α.Τ με εξίσωση: Όου: ( ) ( ) ( ) x1, t = A1, ηµ ωt+ 0, καϑ. + ϑ (1) Α 1,., το λάτος ταλάντωσης ου θα ροκύψει αό τη σύνθεση των x 1, x ω, η κοινή γωνιακή συχνότητα (ω=ω 1 =ω ) των δύο Α.Α.Τ. t, η χρονική στιγμή φ 0,καθ. η γωνία της καθυστερούμενης Α.Α.Τ. θ, η γωνία ου σχηματίζει η σύνθεση των δύο με την καθυστερούμενη Α.Α.Τ
Χρησιμοοιώντας τις σχέσεις της σύνθεσης ταλαντώσεων με ίδια συχνότητα, υολογίζουμε το λάτος Α 1, και τη γωνία θ: A = A + A + A A συν () 1, 1 1 όου φ, η διαφορά φάσης των x 1, x : = 0,. 0,. rad ρο καϑ = Αντικαθιστώντας στη σχέση () έχουμε ότι: Α 1, =0.m Υολογίζουμε κατόιν, τη γωνία θ ου θα σχηματίζει η σύνθεση των x 1, x με την καθυστερούμενη Α.Α.Τ.: A ηµ = = = rad A + A συν ρο. εφϑ εφϑ ϑ Αντικαθιστώντας στη σχέση (1): καϑ. ρο. ( ) ( ) ( καϑ ) 1, 1, 0,. A1, = 0. m, 0, καϑ. = rad 99 rad ω=, ϑ= rad sec x t = A ηµ ωt+ + ϑ x1, ( t) = 0. ηµ 99 t + ( ) ηµ ( ) x1, t = 0. 99 t () Στο διανυσματικό διάγραμμα ου ακολουθεί, φαίνεται ότι η σύνθεση των x 1, x βρίσκεται άνω στον άξονα των φάσεων:
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στην ερίτωση ου έχουν και οι δύο ειμέρους ταλαντώσεις αρχική φάση, η γωνία θ ου υολογίζουμε έχει ως αναφορά την καθυστερούμενη ταλάντωση και όχι τον άξονα των φάσεων, οότε η αρχική φάση της σύνθεσης (φ 0 ) θα υολογιστεί αν στη γωνία θ ου βρίσκουμε, αθροίσουμε και την αρχική φάση της καθυστερούμενης: οότε, στην ερίτωσή μας: = + ϑ 0 0, καϑ. = + = + = 0 0, καϑ. = rad 0 0, καϑ. ϑ 0 ϑ= rad γι' αυτό το λόγο, τελικά η σύνθεση των x 1, x βρίσκεται άνω στον άξονα των φάσεων Στη συνέχεια, θα εργαστούμε με το ζεύγος ταλαντώσεων x 1, και x : x 1, (t)=0. ημ(99t) (S.I.) x (t)=0. ημ(101t) (S.I.) Εφόσον οι δύο ταλαντώσεις έχουν ίδιο λάτος και διαφορετική συχνότητα ταλάντωσης, είμαστε στη δεύτερη ερίτωση σύνθεσης ταλαντώσεων (και ιο ειδικά, εφόσον ω 1 ω έχουμε διακρότημα), με στοιχεία: A=Α 1, =Α =0.m ω 1, =99 rad/s ω =101 rad/s Εφαρμόζουμε τη σχέση του διακροτήματος και έχουμε: ( ) ω ω ω + ω = 1, 1, x t A συν t ηµ t ( ) 0.4 συν ( ) ηµ ( 100 ) x t = t t (S.I.) 4
Η τελευταία σχέση είναι και η τελική εξίσωση ου εριγράφει την κίνηση του σώματος (διακρότημα), την οοία ανααριστά το ακόλουθο διάγραμμα: Β. Η κίνηση του σώματος είναι διακρότημα, με συχνότητες: f f ω 99 99 Hz = 1, = = 1, ω 101 101 Hz = = = Υολογίζουμε την ερίοδο του διακροτήματος: T δ 1 = Tδ = 1sec f f 1 Παρατηρούμε ότι το χρονικό διάστημα ου μας έδωσε η εκφώνηση, ισούται με την ερίοδο του διακροτήματος. Εομένως αρκεί να βρούμε όσες φορές εαναλαμβάνεται η εριοδική κίνηση του σώματος σε μία ερίοδο διακροτήματος. Γι αυτό το λόγο υολογίζουμε την ερίοδο της κίνησης του σώματος: ω1+ ω ω= = 100rad T = s T = 0.0sec ω Όως αρατηρούμε και αό το αρακάτω διάγραμμα, για να βρούμε τον αριθμό των ταλαντώσεων σε μία ερίοδο διακροτήματος, αρκεί να βρούμε όσες φορές εαναλαμβάνεται η T σε χρόνο T δ : 5
N T 1 = = N = 50 T 0.0 δ ταλ. ταλ. Εομένως, αό τη θέση ισορροίας θα έχει διλάσιες διελεύσεις αό τον αριθμό των ταλαντώσεων (αφού σε κάθε μία ταλάντωση διέρχεται δύο φορές αό τη Θ.Ι.): Ν διελ. = Ν ταλ. = 50=100 Γ. Η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t 0 =0 μορεί να υολογιστεί και με την αρχή της εαλληλίας: υ = υ1+ υ + υ (4) Υολογίζουμε τις ταχύτητες τη χρονική στιγμή t 0 =0: t0 = 0 9.9 υ1( t) = 0.1 99 συν 99 t υ1 9.9 συν m = = (S.I.) s t0 = 0 ( t) ( t) ( ) υ = 0. 101 συν 101 υ = 0. συν 0 = 0. m s t0 = 0 9.7 υ( t) = 0.1 99 συν 99 t υ1 9.9 συν m + = = 6 6 s Αντικαθιστούμε στην (4) και έχουμε: υ=40 m/s ειμέλεια: Λοΐζος Σέργης Μιχάλης Γλύτης 6