HMY Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Παράρτημα Α Μιγαδικοί Αριμοί Οι μιγαδικοί αριμοί είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στον τομέα της ηλεκτρολογίας. Τι είναι οι μιγαδικοί αριμοί (compl numbrs; Ξέρουμε πώς να λύσουμε τετραγωνικές εξισώσεις, π.χ. 64 64 ± 64 ± 8 Μερικές φορές δεν υπάρχουν πραγματικές λύσεις - + 64 64 ± 64? Για να χειριστούμε την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριμού, εισάγουμε το φανταστικό αριμό (imaginary numbr, το οποίο ορίζεται ως Δυνάμεις του φανταστικού αριμού 5 4. 9 ( 6. 5 (Οι μαηματικοί χρησιμοποιούν το σύμβολο i, αλλά αυτό είναι επίσης το σύμβολο για ηλεκτρικό ρεύμα, και ως εκ τούτου, οι ηλεκτρολόγοι μηχανικοί χρησιμοποιούν. 3 4.. 7 8.. 6 7 Από τον ορισμό του, προκύπτει ότι Παρατηρήστε τις κυκλικές ιδιότητες (Συνήως η ετική ρίζα επιλέγεται. ± ( 6 Άσκηση 7 3 3 4
Παράδειγμα 6 + 34 6 ± 36 36 6 ± 6 ± 3± 5 Η προσήκη και η αφαίρεση των μιγαδικών αριμών + a + b c + d ( a + b + ( c + d ( a + c + ( b + d ( + ( + ( ( + ( + ( (4 Ένας αριμός της μορφής a+b ονομάζεται μιγαδικός αριμός a + b (3 μιγαδικός αριμός a πραγματικό μέρος b φανταστικό μέρος a ( b ( Καρτεσιανή μορφή ( a + b ( c + d ( a c + ( b d ( ( ( ( ( ( (5 5 6 Ίσοι μιγαδικοί αριμοί Συζυγής (Compl conugat a + b c + d Για το μιγαδικό αριμό a + b Εάν ( ( και ( ( Το γινόμενο δύο μιγαδικών αριμών a b ο συζυγής είναι (7 + a b + ( ( a + b c + d ( a + b( c + d ac + ad + bc + bd ( ac bd + ( ad + bc (6 ( a + b( a b ( a + b (8 Κααρά πραγματικός 7 8
Το πηλίκο δύο μιγαδικών αριμών a + b c + d Γραφική αναπαράσταση των μιγαδικών αριμών Μπορούμε να τοποετήσουμε κααρά πραγματικούς αριμούς σε μια γραμμή. Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε διανύσματα για αυτούς τους αριμούς a + b c + d a + b c d c + d c d ( ac + bd + ( bc ad c + d (9 - Στο παραπάνω διάγραμμα, μπορούμε να λάβουμε το διάνυσμα του αριμού - περιστρέφοντας το διάνυσμα του κατά μία γωνία π. Αυτό αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασμό με -, που επίσης αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασμό με. Περιστροφή π rad Πολλαπλασιασμό με - - 9 Στη συνέχεια, αν πολλαπλασιάσουμε ξανά με -, επιστρέφουμε στο. Με αυτή τη λογική, πολλαπλασιασμός με α αντιστοιχεί με περιστροφή κατά π/, και πολλαπλασιασμός με 3 - α αντιστοιχεί με περιστροφή κατά 3π/ Περιστροφή π/ rad Πολλαπλασιασμό με - Περιστροφή π rad Πολλαπλασιασμό με 4 Πολλαπλασιασμό με - Περιστροφή 3π/ rad -
Διάγραμμα Argand Διάγραμμα Argand - Προσήκη μιγαδικών αριμών ( ( 3 3+ 3+ 4 3+ -4+ + 4-4 ( ( - 4- --3 3 4 Διάγραμμα Argand - Αφαίρεση μιγαδικών αριμών Διάγραμμα Argand Πολική μορφή -3+3 ( 3 + 3 + 6 3 Η πολική μορφή ενός μιγαδικού αριμού αντιπροσωπεύει τον αριμό υπό μορφή τού μήκους του r και την γωνιά στο διάγραμμα Αrgand. y + y -(-+6 --3 ( r + y y tan mod( arg( μέτρο γωνία ( r cos 5 ( y r sin 6
+ y r cos + r sin + y r y tan ( ( ( Εκετική μορφή 3 4 5 + + + + + +...! 3! 4! 5!! παραγοντικός 3 5 7 9 4 6 8 sin + +... cos + +... 3! 5! 7! 9!! 4! 6! 8! ( + r ( y r cos r sin r cos sin (3 + + 3 4 ( ( ( ( + + + +! 3! 4! 5! 3 4 5 + + +...! 3! 4! 5! 5 +... cos + sin (4 7 + y r sin cos + r r (5 8 Το γινόμενο δύο μιγαδικών αριμών Το πηλίκο δύο μιγαδικών αριμών r r cos + r sin r r r cos + r sin ( r cos + r sin( r cos + r sin r r ( cos cos sin sin + r r ( sin cos + cos sin r r [ cos( + + sin( + ] r r r ( + r r ( + + (6 9 r r cos + r sin r r ( r cos + r sin ( r cos r sin ( r cos + r sin ( r cos r sin r r ( cos cos + cos cos + ( sin cos cos sin r r r r [ cos( + sin( ] ( (7 r r r cos + r sin / / ( /
Συζυγής (Compl conugat Για το μιγαδικό αριμό a + b a b r r ο συζυγής είναι (8 y + y r r ( r ( r (9 Κααρά πραγματικός y y r Ασκήσεις ( Βρείτε τις πολικές συντεταγµένες (r, των ακολούων µιγαδικών αριµών: (i -, (ii, (iii+ ( Βρείτε το µιγαδικό αριµό a+bαπό τις δεδοµένες πολικές συντεταγµένες: (i (,π/3, (ii (3,, (iii (½,π (3 Εάν +3και - υπολογίστε τα ακόλουα (i +, (ii -, (iii /, (iv ( Θεώρημα του d Moivr cos + sin n n n ( ( n sin( n cos + Τύπος του Eulr (4 Για π σχεδιάστε τις παραστάσεις στο µιγαδικό επίπεδο των πιό κάτω : (i, (ii -, (iii + (5 Βρείτε: (i (+/(3-5 (ii / cos + sin cos sin 3 π 4
Ημιτονοειδές σήμα A πλάτος ( t π T ω περίοδος ωt φ ω t ( φ cos ωt + cos sinωt ( ωt + φ + sin( ωt + φ t s ( φ ( t A Acos( ωt + φ + Asin( ωt + φ ( φ [ s( t ] [ A ] Acos( ωt + φ ( t φ μετατόπιση φάσης ( t Acos( ω t +φ 5 A ( φ A A ( φ ωt + φ 6 A A ( φ ( φ Διάγραμμα φάσορα A A φ ωt ωt A φ A Μιγαδικός αριμός φάσορας (phasor A A A φ πλάτος μετατόπιση φάσης A t A φ 7 8
Διαφόριση Παράδειγμα s ( φ ( t A Acos( ωt + φ + Asin( ωt + φ ( t v di L πηνίο ds d ω ω [ Acos( ωt + φ + Asin( ωt + φ ] ( Asin ( ωt + φ + Acos( ωt + φ [ Acos( ωt + φ + Asin( ωt + φ ] i ωt ωt ( t I v( t V ωt V ω L I ωt di ωi ωt ω A ωt V ω L I d n d ( n ω n ω 9 V I ωl διαστάσεις των ohms 3 Παράδειγμα i ( t i dv C ωt ωt ( t I v( t V πυκνωτής dv ωv ωt ωt I ω C V ωt I ω C V V I ωc διαστάσεις των ohms 3