Μελέτη Κωδίκων ιόρθωσης Σφαλµάτων Με Μεθόδους Στατιστικής Φυσικής (1)

.. Μελέτη Κωδίκων ιόρθωσης Σφαλµάτων Με Μεθόδους Στατιστικής Φυσικής Χρήστος Καλιαλάκης alala@eee.org, τηλ. 3047704 Περιφερειακό Γραφείο Θεσσαλονίκης, ιεύθυνση Φάσµατος, Εθνική Επιτροπή Τηλεπικοινωνιών και Ταχυδροµείων, ΚΑΘ «Μακεδονία», ΤΚ 5503 Θεσσαλονίκη ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται συνοπτικά µια πλήρης απεικόνιση των κωδίκων διόρθωσης σφάλµατος µε όρους στατιστικής φυσικής µε βάση υπάρχοντα αποτελέσµατα από την διεθνή βιβλιογραφία. Αρχικά παρουσιάζεται η εφαρµογή της µεθοδολογίας σε γραµµικούς και συνελικτικούς κώδικες οι οποίοι απεικονίζονται σε µονοδιάστατη αλυσίδα pn µε εξωτερικό µαγνητικό πεδίο. Το πρόβληµα της αποκωδικοποίησης ανάγεται έτσι στον υπολογισµό της µαγνήτισης του αντίστοιχου πλέγµατος µε την δυνατότητα εφαρµογής της αναλυτικής µεθόδου του Μητρώου Μεταφοράς.. Παρουσιάζονται επιπλέον αποτελέσµατα σε προβλήµατα των κωδίκων Τurbo και LDPC. Στην περίπτωση των κωδίκων LDPC προκύπτει απεικόνιση σε µοντέλο pn µε διαλυµένο γράφο (dlute graph). Στην περίπτωση των κωδίκων Turbo η αντιστοιχία µε την στατιστική φυσική γίνεται βάσει δυο συζευγµένων αλυσίδων pn. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύµφωνα µε το θεώρηµα Shannon (Shannon C.E.,948) υπάρχει η δυνατότητα εύρεσης µεθόδου κωδικοποίησης ώστε η πληροφορία να µεταδοθεί χωρίς σφάλµατα µέσα από ένα θορυβώδες τηλεπικοινωνιακό κανάλι µε ταχύτητα µετάδοσης πληροφορίας που πλησιάζει την χωρητικότητα του καναλιού. Στην πράξη αναπτύχθηκε πλήθος κωδίκων χωρίς κανένας να πλησιάζει το λεγόµενο όριο Shannon. Εξαίρεση αποτελούν οι κώδικες Turbo (Berrou C., 993) και οι κώδικες Low Denty Party Chec (McKay D.,999). Η κλασική προσέγγιση στην θεωρία επικοινωνιών ανάγει το πρόβληµα της κωδικοποίησης της πληροφορίας στην εύρεση κωδίκων σε γράφους (graph theory) και συγκεκριµένα σε γράφους Tanner (Tanner R.M., 98). Στην στατιστική Φυσική αναπτύχθηκαν ανεξάρτητα, µεθοδολογίες για πλέγµατα µε pn τα οποία µοντελοποίησαν µε µεγάλη επιτυχία υλικά τα οποία σε µια ορισµένη θερµοκρασία εµφάνιζαν µετάβαση φάσης. Ειδικό ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα υλικά µε µετασχηµατισµό φάσης τάξηςαταξίας. Η ιδέα για αντιστοιχία πλεγµάτων pn µε κώδικες διόρθωσης σφάλµατος παρουσιάστηκε για την περίπτωση των γραµµικών κωδίκων βάσει της µαθηµατικής δυαδικότητας της Χαµιλτονιανής και της πληροφορίας που περιέχει ένας κώδικας (Sourla N., 989). Ένα βασικό θεωρητικό πρόβληµα στην θεωρία κωδίκων είναι η έλλειψη συστηµατικής µεθόδου υπολογισµού του BER(Bt Error Rate) εξαιτίας των πολύπλοκων µεθόδων αποκωδικοποίησης. Η συνέργια στατιστικής φυσικής-θεωρίας κωδίκων διόρθωσης σφαλµάτων είναι ένας αναπτυσσόµενος τοµέας τα τελευταία χρόνια (Worhop, 005). Το θεωρητικό οπλοστάσιο που έχει αναπτυχθεί στην στατιστική φυσική των πλεγµάτων pn µπορεί πλέον να εφαρµοσθεί µε τις κατάλληλες προσαρµογές στο πρόβληµα της κωδικοποίησης για διόρθωση σφαλµάτων. Σηµαντική θέση ανάµεσα στα µοντέλα πλεγµάτων pn κατέχει το µοντέλο Ing (Ma S.K., 985) το οποίο θα χρησιµοποιήσουµε για την µελέτη της κωδικοποίησης και της αποκωδικοποίησης κωδίκων Turbo και LDPC ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ISING Στα µοντέλα αυτά αντιστοιχεί µια Χαµιλτονιανή που εξαρτάται από την αλληλεπίδραση ενός pn µε τα γειτονικά του. Στην πιο γενική του µορφή η ενέργεια γράφεται σύµφωνα µε το µοντέλο Edward- Anderon, = J S S h S () <, j> <, j> j J είναι η παράµετρος σύζευξης πoυ χαρακτηρίζει τηv ένταση µε τηv oπoία αλληλεπιδρούν δυο γειτονικά pn και µπορεί να είναι µια τυχαία µεταβλητή. O δεύτερος όρος είναι η αλληλεπίδραση µε τo εξωτερικό

µαγνητικό πεδίο h. Η άθροιση γίνεται σε όλους τους πρώτους γείτονες. Ο αριθµός των πρώτων γειτόνων ονοµάζεται αριθµός συναρµογής. Στα µοντέλα αυτά είναι απαραίτητο να οριστούν: (α) Η µορφή της σύζευξης J και εποµένως η Χαµιλτονιανή του συστήµατος (β) Η πιθανότητα αλλαγής της κατάστασης ενός pn. Η πιθανότητα αυτή είναι συνήθως η κατανοµή Boltzmann. Μια χρήσιµη περίπτωση είναι το µοντέλο διαλυµένου (dlute) Ing όπου κάποια από τα πλεγµατικά σηµεία είναι κενά και εποµένως ο αριθµός συναρµογής δεν είναι σταθερός αλλά ακολουθεί µια κατανοµή τυχαίας µεταβλητής. ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΩ ΙΚΕΣ ΙΟΡΘΩΣΗΣ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Το βασικό σύστηµα επικοινωνιών φαίνεται στο Σχήµα. Η κωδικοποίηση είναι µια διαδικασία δυο επιπέδων: Βέλτιστη κωδικοποίηση καναλιού µε στόχο ένα ισοδύναµο κανάλι χωρίς θόρυβο. Η κωδικοποίηση πηγής προσαρµόζει την πηγή στο ισοδύναµο κανάλι u ΠΗΓΗ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΠΗΓΗΣ x ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΝΑΛΙΟΥ ΚΑΝΑΛΙ Q Σχήµα : Βασικό Σύστηµα επικοινωνιών ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΝΑΛΙΟΥ ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΠΗΓΗΣ Ας υποθέσουµε ότι έχουµε µια ψηφιακή λέξη αποτελούµενη από M bnt, u = [ u u u... u M ] () Στην περίπτωση κώδικα η ψηφιακή λέξη κωδικοποιείται σε K bnt µε Κ>M ώστε να υπάρχει πλεονασµός. Ο ρυθµός του κώδικα R ορίζεται ως M R = (3) K O κώδικας είναι γραµµικός αν µεταξύ του αρχικού µηνύµατος και της κωδικής λέξης ισχύει: x = Gu ( 4) µε τα επιµέρους bt ελέγχου ισοτιµίας να δίνονται από την σχέση: x = M j= G j u j (5) Στην περίπτωση αυτή το µητρώο G είναι δυαδικό στην µορφή µε διάσταση KxM. Έτσι στην περίπτωση π.χ. Κ=4 και Μ=3 το µητρώο G γράφεται ως: G G GM = G. G GM G (6) G G G 3 3 3M GK G4 GKM Οι κωδικές λέξεις ικανοποιούν γραµµικούς περιορισµούς οι οποίοι ονοµάζονται έλεγχοι ισοτιµίας (party chec) µε το αντίστοιχο µητρώο Η, διάστασης MxK : x= 0 (7)

Αντίστοιχα στο παράδειγµα που αντιστοιχεί στο µητρώο (6), το µητρώο Η είναι διάστασης Κ=4,Μ=3: 3 4 = 3 4 (8) 3 3 33 34 Να σηµειωθεί ότι οι πολλαπλασιασµοί είναι modulo. Η αποκωδικοποίηση ενός τέτοιου κώδικα γίνεται µε την µέθοδο Vterb (Proa J, 995) ΙΣΟΜΟΡΦΙΣΜΟΣ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ SPIN ΣΤΗΝ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Χρησιµοποιώντας ένα πλέγµα τύπου Ing µπορεί να γίνει απεικόνιση του µηνύµατος u σε µονοδιάστατο πλέγµα pn µε µεταβλητές ως εξής: u ( ) u = ( 9) Η πρόσθεση στο πεδίο {0,} για τα u ανάγεται σε πολλαπλασιασµό: u + uj j ( 0) Οι κωδικές λέξεις απεικονίζονται στις σταθερές σύζευξης x ( ) x J = ( ) Χρησιµοποιώντας τους ανωτέρω ορισµούς προκύπτει: Gu j j Gu j j M M j j Gu j j Gj J = ( ) = ( ) = ( ) = () j j= j= εδοµένου ότι τα στοιχεία του πίνακα G είναι 0 ή, είναι δυνατό να προκύψει απεικόνιση µε τον πίνακα συνδετικότητας C του πλέγµατος ως εξής: M J G G G = M = C,... M M (3) Επιπλέον µπορεί να γραφεί µέσω του party chec matrx M = JM = M,... MJ JM (4) Ο πίνακας C είναι δυαδικός. Τα στοιχεία του πίνακα C είναι τέτοια ώστε να δίνει ποια από τα συµµετέχουν στον υπολογισµό του bt J. Στη συγκεκριµένη µεθοδολογία τα J παίρνουν τιµές + και -. () () () C C C M () () () C C CM C = (5) (3) (3) (3) C C CM ( K) ( K) ( K) C C CM Γνωρίζοντας τις στατιστικές ιδιότητες του καναλιού, τον κώδικα µέσω του µητρώου Η ή G, καθώς και την έξοδο του καναλιού, απαιτείται να αποκωδικοποιήσουµε το αρχικό µήνυµα της πηγής. Σε κάθε λέξη της πηγής u µπορούµε να αντιστοιχίσουµε µια πιθανότητα P ource ( u r ) µε r να είναι το µήνυµα πριν την αποκωδικοποίηση. Εναλλακτικά µπορούµε να έχουµε φορµαλισµό µε την P code x r. Χρησιµοποιώντας την απεικόνιση στο πλέγµα pn θα πιθανότητα των κωδικών λέξεων ( ) ource code υπολογίσουµε τα P ( J ) και ( ) P J J (Sourla Ν., 003). Η εφαρµογή των µοντέλων Ing βασίζεται στην µαθηµατική δυαδικότητα της πληροφορίας µε την Χαµιλτονιανή του µοντέλου Ing αποτελούµενο από pn : ( ) Ι = log P (6) b Έχοντας εξασφαλίσει ότι ένας κώδικας απεικονίζεται στο πλέγµα τίθεται το ερώτηµα υπολογισµού της πιθανότητας σφάλµατος. Η πιθανότητα σφάλµατος απεικονίζεται στην µαγνήτιση. Για ένα πλέγµα Ing η µαγνήτιση υπολογίζεται ως: N m= exp ( ) (7) Z = [ ] 3

όπου Ζ είναι η συνάρτηση επιµερισµού. πιθανότητα σφάλµατος αποκωδικοποίησης ανά bt δίνεται µέσα από τον υπολογισµό της µαγνήτισης του αντίστοιχου πλέγµατος pn βασιζόµενοι στην ιδιότητα gauge των πλεγµάτων αυτών (Belonge M.L.,994) ως εξής: m Perr = (8) Η εφαρµογή της µεθόδου του µητρώου µεταφοράς σε µονοδιάστατο πλέγµα δίνει για την µαγνήτιση την λύση: coh( βh)nh( β h) nh( β h) + nh ( βh) + exp(4 βj) m = (9) coh( β h) + nh ( βh) + exp(4 βj) όπου β είναι παράµετρος που σχετίζεται µε την θερµοκρασία του πλέγµατος. Σηµαντικό χαρακτηριστικό των πλεγµάτων τύπου Ing είναι η ύπαρξη διαφορετικών φάσεων που αντιστοιχούν σε συγκεκριµένες θερµοκρασίες µετασχηµατισµού. Συνηθισµένη παράµετρος στα µαγνητικά υλικά είναι η µαγνήτιση. Σε αντιστοιχία ένας κώδικας θεωρούµε ότι µπορεί να βρίσκεται σε µια εκ δυο φάσεων που διακρίνονται από οριακό λόγο σήµατος προς θόρυβο πάνω από τον οποίο η αποκωδικοποίηση του δίνει πάντα µηδέν σφάλµατα. ΣΥΝΕΛΙΚΤΙΚΟΙ ΚΩ ΙΚΕΣ Ας θεωρήσουµε κανάλι, το οποίο χαρακτηρίζεται από µητρώο µεταφοράς Q. Μια κωδική λέξη J λόγω του καναλιού γίνεται J. λέξη J θεωρείται γνωστή εφόσον είναι στην έξοδο του καναλιού πριν την αποκωδικοποίηση. Με δεδοµένη την περίπτωση καναλιού χωρίς µνήµη, κάθε κωδική λέξη είναι ανεξάρτητη από την άλλη, QJ ( J) = qj ( J) (0) Με την χρήση του θεωρήµατος Baye η πιθανότητα να έχουµε στην είσοδο την λέξη J όταν η λέξη στην έξοδο είναι J είναι: q( J J ) ( ) p J J = () q J J J ( ) ή χρησιµοποιώντας τον ορισµό της πληροφορίας (6) προκύπτει ln p ( J J ) = c+ ln q( J J ) = c + hj () όπου η σταθερά h παίζει τον ρόλο της µέγιστης λογαριθµικής πιθανοφάνειας ML (Maxmum Log lelhood). Η σταθερά h δίνεται από την σχέση q( J + ln ) h = (3) q( J ) Χρησιµοποιώντας ισχυρό περιορισµό (hard contrant) για τα pn, η πιθανότητα γράφεται: P( J J ) = c δ ( M... J ;) exp l + hj (4) ή χρησιµοποιώντας ένα χαλαρό περιορισµό (oft contrant), βάσει ιδιότητας της δ συνάρτησης για µεγάλες τιµές, η πιθανότητα γράφεται ως, P( J J ) = c δ ( M... J ;) exp l + hj (5) Επαναλογαριθµίζοντας προκύπτει η τελική Χαµιλτονιανή M J hj = + (6)... l 4

Το εξωτερικό µαγνητικό πεδίο αντιστοιχεί στον θόρυβο του καναλιού. Στην περίπτωση ενός καναλιού χωρίς µνήµη, δηλαδή χωρίς εξάρτηση από τα bnt που µεταδίδονται προηγουµένως, υπάρχει στατιστική ανεξαρτησία του θορύβου από τα bnt. Ο θόρυβος ενός τέτοιου καναλιού συνήθως µοντελοποιείται ως γκαουσιανός ή ως δυαδικό συµµετρικό κανάλι (BSC). Στην περίπτωση γκαουσιανού θορύβου µε διασπορά σ,η συνάρτηση του καναλιού είναι: ( J ) J qg( J J ) = Aexp (7) σ Η αντίστοιχη σταθερά h δίνεται από: gau J h = (8) σ Στην περίπτωση καναλιού τύπου BSC qbsc ( J J ) = ( p) δ + pδ J, J J, (9) J Στην περίπτωση αυτή η σταθερά h είναι BSC J p h = ln p (30) Θεωρούµε τον εξής απλό συνελικτικό κώδικα µε R=/ µε τις κωδικές λέξεις να κατασκευάζονται ως εξής: x = u + u + u (3) x = u + u (3) Με την απεικόνιση σε πλέγµα η αντίστοιχη Χαµιλτονιανή είναι:,, = J τ τ τ + J ττ (33) σ Προκύπτει εποµένως η Χαµιλτονιανή µονοδιάστατης αλυσίδας pn. αποκωδικοποίηση Vterb µπορεί να γίνει µε την µέθοδο του Μητρώου Μεταφοράς για θερµοκρασία Τ=0 ενώ η αποκωδικοποίηση MAP (Maxmum A Poteror probablty) σύµφωνα µε την µεθοδολογία BCJR (Bahl L., 974) αντιστοιχεί στην µέθοδο του Μητρώου Μεταφοράς για θερµοκρασία Τ=. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΚΩ ΙΚΕΣ LDPC Στους κώδικες LDPC (Kabahma Υ., 004), οι κωδικές λέξεις µπορούν να εκφραστούν ως συνάρτηση των µηνυµάτων της πηγής µέσω του πίνακα G. Εφαρµόζοντας το θεώρηµα Baye προκύπτει: q( J ) ( ) p J = (34) q J ( ) Λογαριθµίζοντας την ανωτέρω σχέση: ln p( J ) = c+ ln q( J ) = c + h (35) όπου c,c σταθερές. Επανερχόµαστε στην εκθετική µορφή, ource l P ( J ) = c δ ( C...... ;) exp l + h l (36) l Χρησιµοποιώντας ένα χαλαρότερο περιορισµό για την δ συνάρτηση, προκύπτει: ource l P ( J ) = cexp u C...... exp l h l (37) l 5

πιθανότητα (37) γράφεται ως γινόµενο, ource l P ( J ) = c exp hc... l... l (38) l Στην έκφραση (37) έχει επιβληθεί η απαίτηση οι µεταβλητές pn S να σχετίζονται µε την κωδική λέξη. Λογαριθµίζοντας προκύπτει: l = hc (39)... l... l Σε αυτή την περίπτωση έχουµε µια Χαµιλτονιανή µε εξωτερικό πεδίο που αντιστοιχεί σε µοντέλο pn µε διαλυµένο γράφο (dlute graph) (Sourla Ν., 00) όπου ο πίνακας του κώδικα και άρα ο πίνακας C ορίζει τον βαθµό διάλυσης. Ο µετασχηµατισµός φάσης µερικών κωδικών LDPC διαπιστώθηκε να παρουσιάζει συµπεριφορά όµοια µε πλέγµατα τα οποία έχουν υαλοποιηθεί (Montanar A., 00). ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΚΩ ΙΚΕΣ TURBO Οι κώδικες turbo είναι ένα είδος αναδροµικών συνελικτικών κωδίκων. Για την εφαρµογή του µοντέλου Ing θεωρούµε ότι µια λέξη turbo κατασκευάζεται µε την βοήθεια δυο ενδιάµεσων καταχωρητών (Σχήµα ). ΠΗΓΗ u ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΗΣ Β ΚΩ ΙΚΗ ΛΕΞΗ ΤURBO ΠΗΓΗ v ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΗΣ C Σχήµα : Κατασκευή µιας κωδικής λέξης turbo µε χρήση ενδιάµεσων καταχωρητών. Για την καλλίτερη περιγραφή της µεθοδολογίας, δίνεται η κατασκευή µιας απλής κωδικής λέξης turbo.πρώτα, χρησιµοποιούµε µια βοηθητική κωδική λέξη b τέτοια ώστε: x = b + b (40) () x = u (4) b = u + b + b (4) Εποµένως οι λέξεις της πηγής δίνονται ως u = b + b + b (43) Σε δεύτερο στάδιο χρησιµοποιούµε µια δεύτερη ενδιάµεση κωδική λέξη c που σχετίζεται µε µια αντιµετάθεση v της αρχικής λέξης u. vj = up() (44) Λόγω της αντιµετάθεσης, η κωδική λέξη c συνδέεται και µε την αρχική λέξη ως εξής: c = u + c + c (45) Έτσι µπορούµε να θεωρήσουµε την εξής εξίσωση περιορισµού στις δυο ενδιάµεσες λέξεις των καταχωρητών: j = Permutaton() (46) v = c + c + c = uj = b + b + b (47) Για την απεικόνιση µε πλέγµατα των λέξεων b και c, επιλέγουµε δυο πλέγµατα µε µεταβλητές pn τ και : b ( ) b τ = (48) c = ( ) c (49) 6

µε τους περιορισµούς = τ τ τ (50) Ειδικά στην περίπτωση των turbo κωδίκων εφαρµόζεται η απεικόνιση σε Χαµιλτονιανή της reg πιθανότητας των λέξεων των καταχωρητών P ( J J ) (Montanar Α. and Sourla N, 000). Η αντίστοιχη Χαµιλτονιανή σε γκαουσιανό θόρυβο είναι η εξής: = J... ττ l τ + J... τ l τ + J... l (5) σ Οι δυο πρώτοι όροι αντιστοιχούν στην αλυσίδα pn τ ενώ ο τρίτος όρος στην αλυσίδα. Η σύζευξη επιτυγχάνεται µέσω των σταθερών J. Εποµένως οι κώδικες Turbo αντιστοιχούν σε δυο συζευγµένες αλυσίδες pn. Πεπερασµένα τέτοια συστήµατα αντιµετωπίζονται µε βάση την µέθοδο RSB (Replca Symmetry Breang). Βασική έννοια για την εφαρµογή της µεθόδου είναι η επικάλυψη(overlap) µεταξύ διαφορετικών καταστάσεων των πλεγµάτων (Nhmor., 00). Αν η διάταξη του πλέγµατος που αντιστοιχεί στην αρχική λέξη της πηγής και η διάταξη που αντιστοιχεί στην λέξη που έχει δηµιουργηθεί µετά την αποκωδικοποίηση τότε η επικάλυψη ορίζεται ως: ˆ ' Μ= Ν (5) ιαπιστώθηκε ότι και οι κώδικες Turbo εµφανίζουν κάποιο µετασχηµατισµό φάσης, χωρίς όµως να προσδιορισθεί η τάξη του (Montanar A., 000). ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Παρουσιάστηκε µε βάση την υπάρχουσα βιβλιογραφία η δυνατότητα µελέτης βέλτιστων κωδίκων για τηλεπικοινωνιακά κανάλια µέσω εννοιών από πλέγµατα pn. Συνοπτικά η αντιστοιχία εννοιών φαίνεται στον Πίνακα α/α Θεωρία επικοινωνιών Μοντέλα Ing. Ψηφιακή λέξη Ν bt Πλέγµα N από pn. Λέξη Κώδικα Μεταβλητή σύζευξης J 3. Κώδικας διόρθωσης Σφάλµατος Χαµιλτονιανή 4. Γεννήτρια κώδικα G Πίνακας συνδετικότητας C 5. Ρυθµός Κώδικα Κ/Μ Λόγος τάξης πίνακα συνδετικότητας προς αριθµό συναρµογής 6. Λόγος Σήµατος προς Θόρυβο Ε/Ν J /σ 7. Αποκωδικοποίηση ML (MAP) Εύρεση βασικής κατάστασης 8. Πιθανότητα σφάλµατος ανά bt Μαγνήτιση 9. Συνελικτικοί κώδικες Μονοδιάστατο µοντέλο 0. LDPC κώδικες ιαλυµένο µονοδιάστατο µοντέλο. Turbo κώδικες Συζευγµένες αλυσίδες. Αποκωδικοποίηση Vterb Αλγόριθµος Τranfer Matrx Τ= 3. Αποκωδικοποίηση BCJR Αλγόριθµος Τranfer Matrx Τ=0 4. Κατώφλι σφάλµατος Θερµοκρασία µετασχηµατισµού ΠΙΝΑΚΑΣ : Αντιστοίχιση Κωδίκων ιόρθωσης Σφάλµατος µε Μοντέλα Ing Επιπλέον αναλύθηκε η εφαρµογή του µοντέλου Ing σε κώδικες LDPC και κώδικες Turbo. Η απόδειξη της τάξης του µετασχηµατισµού φάσης των κωδικών αυτών παραµένει ανοιχτό πρόβληµα. Επίσης θέµατα που δεν έχουν ακόµη επιλυθεί µε συστηµατικό θεωρητικό τρόπο όπως η πολυπλοκότητα της αποκωδικοποίησης και η κατασκευή κωδικών µε εξαιρετικά χαµηλό BER αλλά µε µεσαίο µέγεθος κωδικών λέξεων θα µπορούσαν να εξεταστούν µε τη νέα µεθοδολογία (Stepanov M.G., 005). ήλωση: Το παρόν άρθρο απηχεί απόψεις του συγγραφέα και δεν εκφράζει απόψεις της ΕΕΤΤ. 7

ΑΝΑΦΟΡΕΣ. Shannon C.E.,(948), A Mathematcal Theory of Communcaton, Bell Sytem Techncal Journal, vol. 7, pt. I, pp. 379-43 and pt. II, pp.63-656.. Berrou C., Glaveux A., and Thtmajhma P.,(993), Near Shannon Lmt Error Correctng and Decodng: Turbo Code, Proceedng of Internatonal Conference Communcaton, pp. 064-070, 993. 3. MacKay, D., (999), Good Error Correctng Code Baed On Very Spare Matrce, IEEE Tranacton on Informaton Theory, 45 (), pp. 399-43. 4.Tanner R.M., (98), A Recurve Approach To Low Complexty Code, IEEE Tranacton on Informaton Theory, 7 (9), pp. 5333-547. 5. Sourla N.,(989), Spn-Gla Model a Error-Correctng Code, Nature 338, pp.693-695. 6. Ma, S.K.,(985), Stattcal Phyc, World Scentfc. 7. Worhop(005), Applcaton of Stattcal Phyc to Codng Theory, Lo Alamo Natonal Laboratore, Santa-Fe, New Mexco, 0- Jan. 8. Proa J.,(995), Dgtal Communcaton, 3 rd Edton, McGraw ll. 9. Sourla N., (00), Stattcal Mechanc and Capacty Approachng Code, http://arxv.org/condmat/006570. 0.Belonge M.L.,(994), Spn Glae and Error Correctng Code, TDA Progre Report 4-8..Bahl L, Coce J, Jelne F., and Ravv J. (974), Optmal Decodng of Lnear Code for Mnmzng Symbol Error Rate, IEEE Tranacton on Informaton Theory, IT-0,pp. 48-87.. Kabahma Υ. and Saad D., (004), Stattcal Mechanc of LDPC code, J. Phy. A: Math.Gen. 37, R R43. 3. Montanar A.,(00), Glay Phae of Gallager Code, Eur. Phy. J. B, 3,. 4. Montanar A. and Sourla N.,(000), Stattcal Mechanc of Turbo code, Eur. Phy. J. B, 8,07-9 5.Nhmor.,(00), Complex and Non-Complex Phae Structure n Model of Spn Glae and Informaton Proceng, http://www.arxv.org/cond-mat/ab/00/. 6.Montanar A.,(000), Turbo code: The phae tranton, Eur. Phy. J. B, 8,. 7.Stepanov M.G., Chernya V., Cherov M, Vac B., (005), Dagno of weanee n modern error correcton code a phyc approach, http://www.arxv.org/cond-mat/ab/0506037/. 8