ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Οι παραστάσεις A(x), A(x) και γενικότερα η ν A(x) με ν>, ορίζονται, αν και μόνο αν Α(x) 0., όπου ν θετικός ακέραιος ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ A(x) = B(x) Για να επιύσουμε την εξίσωση A(x) = B(x), μπορούμε να εργαστούμε με τρόπους: ος τρόπος: Όπως στο Παράδειγμα της σείδας 8 του Σχοικού βιβίου. Συγκεκριμένα, εργαζόμαστε ως εξής: Η εξίσωση A(x) = B(x) ορίζεται αν και μόνο αν Α(x) 0. Διαδοχικά έχουμε: A(x) = B(x), ( A(x) ) = ( B(x) ) ( B(x) ) A(x) =, () Επιύουμε την (), οπότε: Αν η () είναι αδύνατη, τότε προφανώς και αρχική εξίσωση θα είναι αδύνατη. Αν η () έχει ρίζες, τότε εξετάζουμε, με επαήθευση, ποιες από αυτές είναι ύσεις της αρχικής εξίσωσης. Σχόιο:. Είναι προφανές ότι, αν η () έχει ρίζες, τότε αυτές θα ικανοποιούν τον περιορισμό Α(x) 0.. Ο παραπάνω τρόπος επίυσης διευκούνει το μαθητή να επιύει άρρητες εξισώσεις της μορφής A(x) B(x) =Γ (x) ή και συνθετότερες.

ος τρόπος: Η εξίσωση A(x) = B(x) ορίζεται αν και μόνο αν Α(x) 0. Είναι φανερό ότι οι τιμές του x, για τις οποίες ισχύει Β(x)< 0, αποκείεται να είναι ύσεις της αρχικής εξίσωσης. Επομένως, ψάχνουμε για ύσεις, για τις οποίες θα ισχύει B(x) 0 και, φυσικά, και Α(x) 0. Για τις τιμές του x, για τις οποίες ισχύει B(x) 0 και Α(x) 0, έχουμε: A(x) Σχόιο: = B(x) Α(x)=(B(x)). Αν η εξίσωση ( ) A(x) = B(x) έχει ρίζες, τότε όσες από αυτές ικανοποιούν τον περιορισμό Β(x) 0, θα ικανοποιούν και τον Α(x) 0, άρα θα επαηθεύουν και την αρχική εξίσωση A(x) = B(x).. Ο ος τρόπος κρίνεται αναγκαίο να διδαχτεί, αφού χρησιμοποιείται για την επίυση άρρητων ανισώσεων. Ο μαθητής θα πρέπει να έχει έναν ενιαίο τρόπο επίυσης άρρητων εξισώσεων και ανισώσεων. ος τρόπος: A(x) 0 A(x) = B(x) B(x) 0... A(x) ( B(x) ) = Αν η εξίσωση A(x) ( B(x) ) = έχει ρίζες, τότε όσες από αυτές ικανοποιούν τον περιορισμό Β(x) 0, θα ικανοποιούν και τον Α(x) 0, άρα θα επαηθεύουν και την αρχική εξίσωση A(x) = B(x).

Εφαρμογή Να υθούν οι εξισώσεις: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ α. x=x- (Παράδειγμα της σείδας 8 του σχοικού βιβίου). β. x + x - = x + x - της εξίσωσης α ος τρόπος: Όπως στο σχοικό βιβίο. Να τονιστεί,όμως, ότι, ενώ οι ρίζες 4 και της εξίσωσης x -5x+4=0 ικανοποιούν τον περιορισμό x 0, εντούτοις, όπως διαπιστώνεται με επαήθευση, ρίζα της x = x είναι μόνο το 4. ος τρόπος: Η εξίσωση x = x ορίζεται αν και μόνο αν x 0. Είναι φανερό ότι οι τιμές του x, για τις οποίες ισχύει x-< 0, δηαδή x<, αποκείεται να είναι ύσεις της αρχικής εξίσωσης. Επομένως, ψάχνουμε για ύσεις, για τις οποίες θα ισχύει x και x 0 (αρχικός περιορισμός), δηαδή x Για τις τιμές του x με x έχουμε: x = x x=(x-)..x= ή x=4. H τιμή x=< απορρίπτεται, γιατί δεν ικανοποιεί τον περιορισμό x, ενώ η x=4 είναι δεκτή. ος τρόπος: Έχουμε x 0, () x = x x 0, () = x ( x ) x=(x-)..x= ή x=4. H x= απορρίπτεται,γιατί δεν ικανοποιεί τον περιορισμό (), ενώ η x=4 είναι δεκτή, γιατί τον ικανοποιεί. Σχόιο: Οι ρίζες της εξίσωσης x=(x-) είναι προφανές ότι ικανοποιούν τον περιορισμό (). 4ος τρόπος: Η εξίσωση x = x ορίζεται αν και μόνο αν x 0. Με αυτόν τον περιορισμό θέτουμε x =t t= t - με t 0., t 0, οπότε η εξίσωση γίνεται:

4 t= t - t -t- =0 t= ή t= - Η τιμή t= -<0 απορρίπτεται, γιατί δεν ικανοποιεί τον περιορισμό t 0. Για την τιμή t= 0, έχουμε x =, οπότε x=4. Επομένως, η εξίσωση x = x έχει μια μόνο ρίζα την x= 4. Σχόιο. Καθένας από τους τέσσερις προτεινόμενους τρόπους χρησιμοποιείται για την επίυση ασκήσεων του σχοικού βιβίου. της εξίσωσης β Η εξίσωση x +x-=x +x- ορίζεται αν και μόνο αν x +x- 0. Θέτουμε x +x-=t, οπότε η εξίσωση γράφεται: t =t- Εφαρμογή Να υθεί η εξίσωση: 5+ x = + x. ος τρόπος: 5 + x 0, () 5+ x = + x 5 + x = ( + x ), () () 5+x = +x+x +x x +x 4 = 0 x +x = 0 x +(x ) = 0 x = ή x = Από τις ρίζες αυτές μόνο το επαηθεύει την (), άρα η αρχική εξίσωση έχει μοναδική ρίζα το. ος τρόπος: Η εξίσωση ορίζεται αν και μόνο αν 5+x 0. Με αυτό τον περιορισμό διαδοχικά έχουμε: 5+ x = + x ( ) 5+ x = ( + x) 5+x = +x+x +x x +x 4 = 0, ()

5 Επιύοντας την () είτε με τη βοήθεια του σχήματος Horner είτε κάνοντας το πρώτο μέος γινόμενο, βρίσκουμε ότι x = ή x= Από τις ρίζες αυτές διαπιστώνουμε, με επαήθευση, ότι μόνο το είναι ρίζα της αρχικής εξίσωσης. ος τρόπος: Η εξίσωση 5+ x = + x ορίζεται αν και μόνο αν 5+x 0. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: +x< 0, +x 0. +x< 0 x<-. Είναι προφανές ότι οι τιμές του x με x<- δεν είναι ύσεις της εξίσωσης. +x 0 x -. Για τις τιμές του x με x - και 5+x 0 (αρχικός περιορισμός), δηαδή για x -, έχουμε: + = + 5 x ( x) 5 x x + = + 5+x = +x+x +x x +x 4 = 0 x +x = 0 x +(x ) = 0 x = ή x = Από τις ρίζες αυτές μόνο το επαηθεύει τον περιορισμό x -, άρα η αρχική εξίσωση έχει μοναδική ρίζα το. Εφαρμογή Να υθεί η εξίσωση x x + =5- x x Η εξίσωση ορίζεται αν και μόνο αν x>0. Με αυτό τον περιορισμό θέτουμε x = t >0, οπότε x=t 4 t και, επομένως, η εξίσωση γράφεται: t+ =5-tή t 4 +4t-5=0 t Με τη βοήθεια του σχήματος Horner ή με διάσπαση του 4 ή του 5, βρίσκουμε ότι: t 4 +4t-5=0 (t-)(t +t +t+5)=0 t=, αφού t 0 Για t=, από τη σχέση, x=t παίρνουμε ότι x=.

6 Για το, παρόο που ικανοποιεί τον περιορισμό x>0, επιβάεται να κάνουμε επαήθευση. Με επαήθευση διαπιστώνουμε ότι το είναι ρίζα της αρχικής εξίσωσης. Άρα, η αρχική εξίσωση έχει μια μόνο ρίζα την ρ=. ΕΠΊΛΥΣΗ ΆΡΡΗΤΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΉΣ ΕΞΊΣΩΣΗΣ Παράδειγμα. Να υθεί η εξίσωση: +4x = -x, R Η εξίσωση ορίζεται για κάθε πραγματική τιμή του x, αφού +4x 0 για κάθε x R. Είναι φανερό ότι οι τιμές του x, για τις οποίες ισχύει x < 0, δηαδή x αποκείεται να είναι ύσεις της αρχικής εξίσωσης. Επομένως, ψάχνουμε για ύσεις, για τις οποίες θα ισχύει x Με τον περιορισμό x 4x x, έχουμε: + = ( 4x ) ( x) +4x = x+4x x =. + = +4x = ( x) Αν = 0, τότε η εξίσωση x = είναι αδύνατη. >, Αν 0, τότε x = x = Θα εξετάσουμε για ποιες τιμές του η x = ικανοποιεί τον περιορισμό x 0 0 ( + ) 0 >0, αφού 0 Άρα, η αρχική εξίσωση έχει ρίζα μια μόνο ρίζα την με >0

7 Παράδειγμα Να υθεί η εξίσωση: 4x = x, R Η εξίσωση ορίζεται αν και μόνο αν 4x 0. 4x 0 Επομένως: x ή x 4 4 x x x x ή x Άρα θα ψάξουμε για ύσεις εκτός του διαστήματος, - Είναι φανερό ότι οι τιμές του x, για τις οποίες ισχύει x < 0, δηαδή x αποκείεται να είναι ύσεις της αρχικής εξίσωσης. Επομένως, ψάχνουμε για ύσεις, για τις οποίες θα ισχύει x (αρχικός περιορισμός) και >, x ή x Με τους περιορισμούς x 4x x και = ( 4x ) ( x) 4x = x+4x x = +. x ή x έχουμε: = 4x = ( x) Αν = 0, τότε η εξίσωση x = + είναι αδύνατη. Αν 0, τότε x = + x = + Θα εξετάσουμε για ποιες τιμές του η x και x = + ικανοποιεί τους περιορισμούς x ή x

Πρόδρομος Π. Εευθερίου 8 + + 0 0 0, () ( ) (- )=0 =0 ή = ή = -, οπότε οι ύσεις της () φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. 0 ( ) + - + - αηθεύει η () αηθεύει η () + + + 0 ( + ) 0 ( + ) 0 < 0 + + ( ) 0 0 ( ) 0 > 0 Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι τιμές του, για τις οποίες ισχύει: ή + +, () αηθεύει η () αηθεύει η () 0 Από το παρακάτω σχήμα: αηθεύει η () αηθεύει η () αηθεύει η () αηθεύει η () 0 γίνεται φανερό ότι η x = όταν [, 0) [, + ) + x ικανοποιεί τους περιορισμούς: και x ή x Άρα, η αρχική εξίσωση έχει ρίζα μια μόνο ρίζα, την + 4 με [, 0) [, + )

9 ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΡΡΗΤΗΣ ΑΝΙΣΩΣΗΣ Παράδειγμα Να υθεί η ανίσωση x > x Η ανίσωση ορίζεται αν και μόνο αν x 0, δηαδή x. Όμως για κάθε x είναι x 0 και -x<0, επομένως η αρχική ανίσωση είναι αδύνατη. Παράδειγμα Να υθεί η ανίσωση x x Η ανίσωση ορίζεται αν και μόνο αν x 0 ή ισοδύναμα x. Όμως για κάθε x είναι x 0 και -x<0, επομένως η αρχική ανίσωση αηθεύει για κάθε x [, + ) Παράδειγμα Να υθεί η ανίσωση x > x Η ανίσωση ορίζεται αν και μόνο αν x 0 ή ισοδύναμα x. Είναι φανερό ότι οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει x 0 ή ισοδύναμα x, αποκείεται να είναι ύσεις της αρχικής εξίσωσης. Επομένως, υποψήφιες ύσεις είναι οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει x < και x (αρχικός περιορισμός). Δηαδή x< Με τον περιορισμό αυτό έχουμε: x x > ) ( ) x< ή x>5. x > x 4 4x+x >x x 6x+5 >0

0 Οι ύσεις της αρχικής ανίσωσης είναι οι τιμές του x για τις οποίες συναηθεύουν οι ανισώσεις: x< και ( x< ή x>5) 5 Επομένως, οι ύσεις της είναι οι τιμές του x, για τις οποίες ισχύει: x <

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υθούν οι εξισώσεις 4x = x Απάντηση: x= 4x = x Απάντηση: x= x + 9 x = Απάντηση: x= 4 ή x= x 7 + x = Απάντηση: x=. Δίνονται οι συναρτήσεις g(x)= x και f(x) = x. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού τους. ii) Να εξετάσετε αν οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται. iii) Να βρείτε το ευρύτερο διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της g.. Να βρείτε τις κοινές ύσεις των εξισώσεων: 009 x- = x- και x +x = x+ 4. Δίνονται οι συναρτήσεις g(x)= 5 x και f(x) = x+5. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού τους. ii) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων. iii) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση g. iv) Να αποδείξετε ότι στο διάστημα (0, 5) η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της g. v) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f και g.