Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση

Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση

Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται σε άδεια χρήσης Creative Commons. Για υλικό όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Έστω το δευτεροβάθμιο δυναμικό σύστημα m xx + cc xx + kk xx = F(tt) όπου διεγείρεται από μια αρμονική δύναμη της μορφής: FF tt = F 0 cos(ω t) Εύρος διέγερσης Κυκλική συχνότητα διέγερσης Θέλουμε να υπολογίσουμε αναλυτικά την απόκριση xx(tt) όταν είναι γνωστές οι αρχικές συνθήκες xx 0, xx 0 3

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση m xx + cc xx + kk xx = F tt = F 0 cos(ω t) xx(0) = xx 0 xx (0) = uu 0 m xx + cc xx + kk xx = 0 xx(0) = xx 0 xx (0) = uu 0 m xx + cc xx + kk xx = F 0 cos(ω t) xx(0) = xx (0) = 0 xx + 2 ζζ ωω xx + ωω 2 xx = 0 xx(0) = xx 0 xx (0) = uu 0 xx + 2 ζζ ωω xx + ωω 2 xx = f 0 cos(ω t) xx(0) = xx (0) = 0 xx ii (tt) xx ff (tt) xx tt = xx ii tt + xx ff tt 5 4

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Καταρχάς αδιαστατοποιούμε το σύστημα xx + 2 ζζ ωω xx + ωω 2 xx = f 0 cos(ω t) xx(0) = xx (0) = 0 Η απόκριση xx tt στην αρμονική διέγερση ff(tt) από τυχαίες αρχικές συνθήκες xx 0, xx 0 ισούται με το άθροισμα: 1. Της απόκρισης xx ii tt σε αρχικές συνθήκες xx 0, xx 0 χωρίς διέγερση (ff tt = 0). Δεν εξαρτάται από την διέγερση. Υπολογίζεται μέσω των ριζών του χαρακτηριστικού πολυωνύμου (βλέπε προηγούμενες διαλέξεις) 2. Της απόκρισης xx ff tt στην αρμονική διέγερση ff(tt) με μηδενικές αρχικές συνθήκες xx 0 = xx 0 = 0. Αυτή η διάλεξη εστιάζει στην απόκριση xx ff tt 6 5

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Η απόκριση xx ff tt σε αρμονική διέγερση (μηδενικές αρχικές συνθήκες) μπορεί να εκφραστεί ως: xx ff tt = xx h (tt) + xx pp (tt) Για τον υπολογισμό της ειδικής λύσης xx pp (tt), το δυναμικό σύστημα παρουσία της διέγερσης γράφεται ως xx + 2 ζζ ωω xx + ωω 2 xx = f 0 cos(ω t) και αναζητούνται ειδικές λύσεις της μορφής xx pp tt = XX cos Ω t θ Εύρος απόκρισης Διαφορά φάσης 6

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Οι άγνωστοι παράμετροι XX, θ της ειδικής λύσης υπολογίζονται αντικαθιστώντας την xx pp tt στην διαφορική εξίσωση και λύνοντας (Σημειώσεις Βενετσάνου #3.9): Χ = f 0 (ωω 2 Ω 2 ) 2 +(2ζωΩ) 2 θ = tttttt 1 ( 2ζωΩ ωω 2 Ω 2) Παρατήρηση: Οι παράμετροι της ειδικής λύσης (Χ, θ) εξαρτόνται τόσο από την διέγερση (f 0, Ω) όσο και από το σύστημα (ζ, ω) 7

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Η ομογενής λύση xx h (tt) ισούται με xx h tt = cc 1 ee λλ1tt + cc 2 ee λλ 2tt όπου λλ 1,2 είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λλ 2 + 2 ζζ ωω λλ + ωω 2 = 0 Η συνολική λύση είναι xx ff tt = cc 1 ee λλ1tt + cc 2 ee λλ2tt +XX cos Ω t θ xxff tt = cc 1 λλ 1 ee λλ1tt +cc 2 λλ 2 ee λλ2tt XX Ω sin Ω t θ Οι σταθερές cc 1, cc 2 υπολογίζονται από τις Α.Σ. xx(0) = xx (0) = 0 : xx ff 0 = 0 cc 1 + cc 2 = XX cos θ xx ff 0 = 0 cc 1 λλ 1 + cc 2 λλ 2 = XX Ω sin θ 8

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Στην γενική περίπτωση, λύνοντας για τα cc 1, cc 2 και αντικαθιστώντας στην σχέση της xx h tt προκύπτει η ομογενής λύση: XX xx h tt = [(Ω ss λλ 2 λλ θθ λλ 2 cc θθ ) ee λλ1tt + (λλ 1 cc θθ Ω ss θθ ) ee λλ2tt ] 1 όπου cc θθ = cos (θθ) και ss θθ = sin θθ Στην περίπτωση υποκρίσιμης απόσβεσης (0<ζ<1) τότε (σημειώσεις Βενετσάνου #3.9) η ομογενής λύση μπορεί να γραφεί ως: xx h tt = Α ee ζζζζtt sin ωω nn tt + φφ οπου οι σταθερές Α και φφ υπολογίζονται από τις Α.Σ. ως: φφ = tttttt 1 ωω nn Χ cos θθ ( Χ cos θθ ζ ω Ω Χ sin θθ ) Α = Χ cos (θθ) sin (φφ) 9

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Στην περίπτωση υποκρίσιμης απόσβεσης (0<ζ<1) τότε (σημειώσεις Βενετσάνου #3.9) η συνολική λύση (απόκριση σε αρμονική διέγερση) είναι: xx ff tt = xx h tt + xx pp tt = Α ee ζζζζtt sin ωω nn tt + φφ + XX cos Ω t θ όπου οι σταθέρές υπολογίζονται ως: Χ = f 0 (ωω 2 Ω 2 ) 2 +(2ζωΩ) 2 θ = tttttt 1 ( 2ζωΩ ωω 2 Ω 2) φφ = tttttt 1 ωω nn Χ cos θθ ( Χ cos θθ ζ ω Ω Χ sin θθ ) Α = Χ cos (θθ) sin (φφ) Παρατήρηση: σε ευσταθή συστήματα (ζ>0) η ομογενής λύση (μεταβατική απόκριση) τείνει στο 0 μετά από πεπερασμένο χρόνο, και μένει η μόνιμη απόκριση (ειδική λύση), η οποία είναι αρμονική συνάρτηση, ίδιας συχνότητας Ω με την διέγερση (Επόμενο slide) 10

Μόνιμη Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση H συνολική απόκριση είναι: xx ff tt = xx h tt + xx pp (tt) Σε ευσταθή συστήματα xx h (tt) 0 σε πεπερασμένο χρόνο (μεταβατική απόκριση). Η μόνιμη απόκριση περιλαμβλανει μόνο την xx pp (tt) xx h (tt) xxxx ff ff (tt) + = xx pp (tt) 12 11

Μόνιμη Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Η μόνιμη απόκριση xx (tt) του γραμμικού συστήματος xx + 2 ζζ ωω xx + ωω 2 xx = ff(tt) σε μια αρμονική διέγερση ff(tt) = f 0 cos Ω t είναι μια αρμονική συνάρτησηxx pp (tt) = XX cos Ω t θ Η μόνιμη απόκριση έχει την ίδια κυκλική συχνότητα Ω με την διέγερση Το μέτρο XX και η διαφορά φάσης θ ως προς την διέγερση εξαρτώνται από το σύστημα (ζζ, ωω) και από την συχνότητα διέγερσης Ω 12

Στατική VS Αρμονική Διέγερση Έστω το αδιαστατοποιημένο σύστημα: xx + 2 ζζ ωω xx + ωω 2 xx = ff(tt) Απόκριση σε στατική διέγερση: Διέγερση: ff tt = ff 0 uu ss (tt) Απόκριση: xx ss tt = xx h (tt) + xx pp (tt), όπου xx pp tt = ωω 2 ff 0 uu ss (tt) Μόνιμη απόκριση: xx ss ssss (tt) = ωω 2 ff 0 Απόκριση σε αρμονική διέγερση: Διέγερση: ff tt = ff 0 cccccc(ωtt) Απόκριση: xx ff tt = xx h (tt) + xx pp (tt), όπου xx pp tt = XX cos Ω t θ Μόνιμη απόκριση: xx ff ssss (tt) = XX cos Ω t θ Και στις δύο περιπτώσεις, μετά την μεταβατική απόκριση xx h (tt) 0 οπότε η μόνιμη απόκριση ισούται με την xx pp (tt) 13

Στατική VS Αρμονική Διέγερση Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης H = xx ff ssss (tt) xx ss ssss (tt) To εύρος της μόνιμης απόκρισης λόγω μιας αρμονικής δύναμης μέτρου ff 0 To εύρος της μόνιμης απόκρισης λόγω μιας στατικής δύναμης μέτρου ff 0 πράξεις... H = xx ff ssss (tt) xx ss ssss (tt) = XX ωω 2 ff 0 = f 0 (ωω 2 Ω 2 ) 2 +(2ζωΩ) 2 ωω 2 ff 0 H = 1 (1 q 2 ) 2 +(2ζqq) 2 qq = Ω ωω 15 14

Στατική VS Αρμονική Διέγερση Όταν 0<ζ<1, ο συντελεστής H(qq) έχει 3 περιοχές: Στατική περιοχή: όταν qq 1 τότε H(qq) 1 Κυριαρχούν οι ελαστικές δυνάμεις Περιοχή συντονισμού: όταν qq 1 τότε H qq > 1 Μέγιστη τιμή H mmmmmm = H qq = 1 2ζζ 2 εξαρτάται από ζ Περιοχή υψηλών διεγέρσεων: όταν qq 1 τότε H(qq) 0 Κυριαρχούν οι αδρανιακές δυνάμεις Γραφική παράσταση της H(qq) σε ένα σύστημα 1 Β.Ε. υποκρίσημης απόσβεσης (0<ζ<1) 16 15

Στατική VS Αρμονική Διέγερση Όταν 0<ζ<1, η μορφή του H(qq) εξαρτάται δραματικά από τον λόγο απόσβεσης ζ Ελάττωση ζ αύξηση qq pppppppp προς το 1, & αύξηση H mmmmmm Όταν ζ 0, τότε qq pppppppp 1 & H mmmmmm σε συστήματα μικρής απόσβεσης πρέπει να αποφεύγεται η Ω = ω 16

Διαφορά φάσης Στην μόνιμη κατάσταση, η απόκριση σε αρμονική διέγερση είναι xx pp tt = XX cos Ω t θ Εύρος απόκρισης (περιγράφεται μέσω του συντελεστή H) 1.5 1 0.5 0-0.5-1 stimulation f(t) response x(t) -1.5 0 20 40 60 80 100 time Διαφορά φάσης Aπόκριση xx pp tt ενός δευτεροβάθμιου συστήματος (ζ=0.25, ω=1 rad/sec) σε μια αρμονική διεγερση συχνότητας Ω=0.25 rad/sec και πλάτους ff 0 = 1 18 17

Διαφορά φάσης Διαφορά φάσης: πόσο υστερεί χρονικά η αρμονική απόκριση ως προς την διέγερση Όταν 0<ζ<1, η θ(q) είναι αύξουσα συνάρτηση του q Όταν qq 1 τότε θ 0 Όταν qq 1 τότε θ ππ/2 Όταν qq 1 τότε θ ππ Η μετάβαση γύρω από το qq = 1 είναι πιο έντονη για μικρότερα ζ 19 18

Εισαγωγή στην Απόκριση Συχνότητας Έστω ένα γραμμικό δυναμικό σύστημα. Έστω ότι στο σύστημα ασκείται μια διέγερση uu(tt), η οποία προκαλεί απόκριση yy(tt) σε κάποιο μέγεθος ενδιαφέροντος uu(tt) Γραμμικό Δυναμικό Σύστημα yy(tt) Έστω αρμονική διέγερση uu tt = UU 0 cos Ω t Tότε η απόκριση (μόνιμη κατάσταση) θα είναι επίσης αρμονική συνάρτηση y tt = YY 0 cos Ω t + θ της ιδίας συχνότητας Ω 20 19

Εισαγωγή στην Απόκριση Συχνότητας Τα YY 0, θ είναι συναρτήσεις της συχνότητας διέγερσης Ω. Αυτή η σχέση εκφράζεται μέσω της μιγαδικής συνάρτησης απόκρισης συχνότητας Η uu yy (jω) Περιγράφει μια σχέση εισόδου-εξόδου σε ένα σύστημα uu tt = UU 0 cos Ω t Γραμμικό Δυναμικό Σύστημα y tt = YY 0 cos Ω t + θ YY 0 = Η uu yy (jω) UU 0 θ = Η uu yy (jω) Μέτρο του μιγαδικού αριθμού Η uu yy (jω) Γωνία του μιγαδικού αριθμού Η uu yy (jω) 21 20

Εισαγωγή στην Απόκριση Συχνότητας Δύο τρόποι για τον υπολογισμό της μιγαδικής συνάρτησης Η uu yy jω 1. Αναλυτικός υπολογισμός της αρμονικής ειδικής λύσης yy(tt) λόγω της αρμονική διέγερσης uu(tt) σαν συνάρτηση Αυτό περιγράφηκε παραπάνω με τον υπολογισμό της xx pp tt = XX cos Ω t θ σε αρμονική είσοδο ff tt = cos Ω t. Σε αυτή τη περίπτωση Η ff xx (jω) = Χ και Η ff xx jω = θ 2. Υπολογισμός από την αντίστοιχη συνάρτηση μεταφοράς Η uu yy (s) Πολύ πιο έυκολος τρόπος Περισσότερα σε επόμενες διαλέξεις 22 21

Εισαγωγή στην Απόκριση Συχνότητας Στο προηγούμενο παράδειγμα xx + 2 ζζ ωω xx + ωω 2 xx = ff(tt) ff tt = f 0 cos(ω t) Γραμμικό Δυναμικό Σύστημα xx tt = XX cos Ω t + θ Χ f 0 = 1 (ωω 2 Ω 2 ) 2 +(2ζωΩ) 2 θ = tttttt 1 ( 2ζωΩ ωω 2 Ω 2) Σε αυτή τη περίπτωση Η ff xx jω = Η απόδειξη για αυτό το αποτέλεσμα σε επόμενη διάλεξη 1 ωω 2 Ω 2 +2ζωΩjj 23 22

Εφαρμογή 1: Κραδασμοί σε Μηχανή Λόγω Aζυγοσταθμίας Σε περιστρεφόμενους άξονες οι οποίου δεν είναι εντελώς ζυγοσταθμισμένοι προκαλούνται δυνάμεις αζυγοσταθμίας F t = F 0 cos Ω t = MM rr Ω 2 cos Ω t Κυκλική συχνότητα διέγερσης ισούται με κυκλική συχνότητα περιστροφής άξονα Το μέγεθος της δύναμης είναι ανάλογο της αζυγοστάθμητης μάζας MM rr και του τετραγώνου της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής Ω της ατράκτου Δύναμη που ασκείται κατά τον κατακόρυφο άξονα λόγω της αζυγοστάθμητης μάζας MM rr που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα Ω 24 23

Εφαρμογή 1: Κραδασμοί σε Μηχανή Λόγω Αζυγοσταθμίας Είναι απίθανο να εξαλειφθούν όλες πηγές αζυγοσταθμίας Αρμονικές δυνάμεις F t λόγω αζυγοσταθμίας προκαλούν κραδασμούς στην μηχανή: αρμονική απόκριση xx t Συχνότητα των κραδασμών xx t ταυτίζεται με συχνότητα διέγερσης Ω Το εύρος των κραδασμών xx t εξαρτάται από την συχνότητα Ω από μηχανικές ιδιότητες της κατασκευής, της έδρασης της Μας ενδιαφέρει η μόνιμη απόκριση σε αρμονικές διεγέρσεις των οποίων η συχνότητα Ω εξαρτάται από την συχνότητα περιστροφής των περιστροφόμενων αξόνων της μηχανής Πηγή αρμονικής δύναμης Έδραση μηχανής 2524

Εφαρμογή 1: Κραδασμοί σε Μηχανή Λόγω Αζυγοσταθμίας Απλούστερο μοντέλο: m-c-k Περιγράφει πως η δύναμη αζυγοσταθμίας F(tt) προκαλεί μετατοπίσεις xx(tt) (κραδασμούς) σε κάποιο σημείο F(tt) Σύστημα m-c-k xx(tt) Επιταχυνσιόμετρα: μετρούν την επιτάχυνση xx tt = XX Ω 2 cos Ω t θ Το εύρος XX μπορεί να εκτιμηθεί μετρώντας το εύρος της επιτάχυνσης XX Ω 2 για διάφορες γωνιακές ταχύτητες περιστροφής (σημειώσεις Βενετσάνου #4.7) 25

Εφαρμογή 2: Απόκριση γραμμικού συστήματος σε περιοδικές διεγέρσεις Παράδειγμα: Υπολογίστε την απόκριση της κατακόρυφης κίνησης του αμαξώματος ενός αυτοκινήτου όταν κινείται πάνω από μια σειρά από άπειρα σαμαράκια με σταθερή ταχύτητα Περιοδική διέγερση (όχι αρμονική) xx ff (tt) Ανάρτηση Η xxff xx jω xx(tt) 27 26

Εφαρμογή 2: Απόκριση γραμμικού συστήματος σε περιοδικές διεγέρσεις Η διέγερση xx ff (tt) είναι μια περιοδική συνάρτηση η περίοδος Τ εξαρτάται από την ταχύτητα του αυτοκινήτου Ανάλυση Fourier: μια περιοδική συνάρτηση xx ff (tt) μπορεί να εκφραστεί σαν ένα άθροισμα αρμονικών συναρτήσεων όπου xx ff tt = 1 2 αα 0 + AA nn sin (nn ωω 0 tt + φφ nn ) ωω 0 = 2ππ/Τ AA nn = αα nn 2 + bb nn 2 φφ nn = tttttt 1 ( αα nn bb nn ) nn=1 αα nn = 2 TT bb nn = 2 TT TT 0 TT 0 xx ff tt cos (nn ωω 0 tt)dddd xx ff tt sin (nn ωω 0 tt)dddd 28 27

Εφαρμογή 2: Απόκριση γραμμικού συστήματος σε περιοδικές διεγέρσεις Η απόκριση μόνιμης κατάστασης που προκαλεί η xx ff (tt) υπολογίζεται μέσω της αρχής της επαλληλίας xx tt = 1 2 αα 0Η xxff xx 0 + CC nn sin (nn ωω 0 tt + φφ nn + ψψ nn ) nn=1 CC nn = AA nn Η xxff xx j nn ωω 0 ψψ nn = Η xxff xx j nn ωω 0 28

Χρηματοδότηση Το Έργο Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα του ΕΜΠ υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρηματικού Προγράμματος Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.