Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών "Υπολογιστικά Μαθηµατικά και Πληροφορική" Κατεύθυνση: Τεχνολογίες Πληροφορικής και Επικοινωνιών στην Εκπαίδευση Αριθµητική επίλυση εξισώσεων και παρεµβολή µέσω υπολογιστή για την εκπαιδευτική διαδικασία Αντρέα Αντρέου Α.Μ:367 Μεταπτυχιακή ιπλωµατική Εργασία Επιβλέπουσα: Φλωρεντία Ν. Βάλβη, Επικ. Καθηγήτρια. Πάτρα 2012
Περιεχόµενα 0. Εισαγωγή 3 1.1 Παρουσίαση των Μεθόδων 5 1.1.0 Γενικά 5 1.1.1 Μέθοδος ιχοτόµησης 5 1.1.2 Μέθοδος Regula Falsi - Μέθοδος Τέµνουσας 11 1.1.3 Μέθοδος Newton-Raphson 16 1.2 Παρεµβολή 21 1.2.0 Γενικά 21 1.2.1 Παρεµβολή των προς τα εµπρός διαφορών των Newton-Gregory 22 1.2.2 Παρεµβολή των προς τα πίσω διαφορών των Newton-Gregory 26 2. Παρουσίαση του Λογισµικού Προγράµµατος 28 2.0 Γενικά 28 2.1 Μέθοδος ιχοτόµησης 32 2.2 Μέθοδος Regula Falsi - Μέθοδος Τέµνουσας 39 2.3 Mέθοδος Newton-Rapshon 47 2.4 Παρεµβολή 57 2.5 Βοήθεια και Υποστήριξη 66 3. Εφαρµογή του Λογισµικού Προγράµµατος 69 Βιβλιογραφία 134-2 -
0. Εισαγωγή Η ταχύτητα ανάπτυξης της τεχνολογίας τα τελευταία χρόνια δεν έχει αφήσει ανεπηρέαστο ένα σηµαντικό µέρος του κλάδου των µαθηµατικών και κυρίως των κλάδο της Αριθµητικής Ανάλυσης, η οποία µπορούµε να πούµε ότι θεωρεί σχεδόν απαραίτητη την χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές βοηθούν στην εφαρµογή των µεθόδων της Αριθµητικής Ανάλυσης και στην πληρέστερη κατανόηση αυτών για περαιτέρω ανάπτυξή τους, µέσω διαδραστικών εικόνων, οι οποίες συντελούν στην απεικόνιση των βηµάτων εύρεσης του κάθε αλγοριθµικού τύπου. Το συµπέρασµα είναι λοιπόν ότι οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές, εκτός από την ταχύτητα προσδιορισµού της προσεγγιστικής τιµής στην οποία οδηγεί η κάθε µέθοδος, αποτελούν και αναπόσπαστο κοµµάτι κατά την διδασκαλία των διαφόρων µεθόδων. Η εργασία αυτή αναφέρεται στην αριθµητική επίλυση εξισώσεων και στην παρεµβολή µε την βοήθεια λογισµικού, το οποίο εφαρµόζει τις µεθόδους σε συγκεκριµένες συναρτήσεις µε σκοπό την απεικόνιση και κατανόηση της κάθε µεθόδου, κατά την εκπαιδευτική διαδικασία. Αναφέρεται σε φοιτητές του Α' έτους σπουδών. Ο φοιτητής µε την βοήθεια του καθηγητή καλείται να εφαρµόσει τις οδηγίες του προγράµµατος και να προβεί σε υπολογιστικές ενέργειες που θα τον οδηγήσουν στην κατανόηση του αλγοριθµικού τύπου της κάθε µεθόδου. Κάθε µέθοδος παρουσιάζεται µέσω λογισµικού προγράµµατος για ένα συγκεκριµένο παράδειγµα, ούτως ώστε ο φοιτητής να κατανοήσει πλήρως πώς προκύπτει ο αντίστοιχος αλγοριθµικός τύπος. Επίσης το φύλλο εργασίας, το οποίο είναι απαραίτητο για την διαδικασία του κάθε µαθήµατος και δίνεται µαζί µε το αντίστοιχο λογισµικό, παρακινεί τον φοιτητή να προβεί, µετά προφανώς από την εύρεση του τύπου κάθε µεθόδου, σε δικούς του υπολογισµούς άλλων δοθεισών συναρτήσεων. Το γενικό λογισµικό αρχικά παρουσιάζει την πλήρη και απαραίτητη θεωρία του κάθε µαθήµατος ξεχωριστά, την οποία ο φοιτητής είναι απαραίτητο να γνωρίζει για να ακολουθήσει την διαδικασία του λογισµικού, όπως επίσης, και του αντίστοιχου φύλλου εργασίας. Κάθε µάθηµα διαρκεί περίπου 2 ακαδηµαϊκές ώρες, εκ των οποίων στην πρώτη πρέπει να γίνεται διδασκαλία της θεωρίας από τον διδάσκοντα για καλύτερη χρήση του λογισµικού προγράµµατος. Στην κρίση του διδάσκοντος καθηγητή επαφίεται το ενδεχόµενο συνεργασίας ή όχι των φοιτητών για την - 3 -
εφαρµογή του λογισµικού, όπως επίσης, και για την επίλυση των αντιστοίχων ασκήσεων του φύλλου εργασίας. Το γενικό λογισµικό πρόγραµµα έχει γραφεί σε γλώσσα προγραµµατισµού html µε την βοήθεια του λογισµικού προγράµµατος Dreamweaver, ούτως ώστε να µπορεί να αναγνωρίζεται από κάθε υπολογιστικό σύστηµα και να εµφανίζεται σε εφαρµογές του υπολογιστή, όπως είναι το Microsoft Internet Explorer ή οποιοδήποτε αντίστοιχο πρόγραµµα διαθέτει ο υπολογιστής. Ακόµα, τα λογισµικά εφαρµογής των διαισθητικών απεικονίσεων συµπεριλαµβάνονται στο πακέτο του λογισµικού προγράµµατος και είναι ελεύθερα ανάκτησης ως εκπαιδευτικό λογισµικό. Το λογισµικό που χρησιµοποιείται είναι η ελληνική έκδοση του The Geometer s Sketchpad και το Microsoft Office Excel. Το λογισµικό The Geometer s Sketchpad είναι ένα πρόγραµµα για τη δηµιουργία, διερεύνηση και ανάλυση µιας µεγάλης ποικιλίας µαθηµατικών θεµάτων. Με τη υναµική Γεωµετρία, µπορούν να κατασκευαστούν µαθηµατικά µοντέλα αλληλεπίδρασης, τα οποία ποικίλλουν από τη βασική διερεύνηση σχηµάτων και αριθµών µέχρι την προηγµένη κινούµενη απεικόνιση περίπλοκων συστηµάτων. Τέλος, τα φύλλα εργασίας αναγνωρίζονται από το ελεύθερο επίσης λογισµικό Adobe Reader, το οποίο συναντάται στους περισσότερους σύγχρονους υπολογιστές. - 4 -
1.1 Παρουσίαση των Μεθόδων 1.1.0 Γενικά Ένα από τα κλασικά προβλήµατα των εφηρµοσµένων µαθηµατικών είναι η επίλυση της εξίσωσης f ( x ) = 0, ήτοι η εύρεση µιας ή περισσοτέρων τιµών που µηδενίζουν τη συνάρτηση f ( x ). Ως γνωστόν, αναλυτική έκφραση των τιµών αυτών (ριζών) µπορεί να δοθεί σε πολύ λίγες περιπτώσεις. Άρα αποτελεί επιτακτική ανάγκη η χρησιµοποίηση αριθµητικών µεθόδων για την προσέγγιση των ριζών µιας δοθείσας συνάρτησης. Σε αυτή την περίπτωση οι µέθοδοι είναι επαναληπτικές οπότε ξεκινώντας από µια αρχική εκτίµηση εφαρµόζουµε τον κατάλληλο αλγόριθµο που θα δηµιουργήσει µια ακολουθία αριθµών, η οποία συγκλίνει στη ζητούµενη ρίζα ρ. Στη συνέχεια παρουσιάζουµε τις πιο γνωστές µεθόδους, ήτοι τη µέθοδο της διχοτόµησης, τη Regula Falsi, της τέµνουσας και τη Newton-Raphson. 1.1.1 Μέθοδος ιχοτόµησης (Bolzano) Η µέθοδος της διχοτόµησης βασίζεται κυρίως στο θεώρηµα του Bolzano, το οποίο δίνουµε στη συνέχεια, και γι' αυτό πολλές φορές συναντάµε τη µέθοδο αυτή και ως µέθοδο Bolzano. Θεώρηµα Αν η συνάρτηση ( ) f x είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [, ] a β και ισχύει f ( a) f ( β ) < 0, τότε υπάρχει τουλάχιστον µια ρίζα ρ της συνάρτησης f ( x ) στο διάστηµα αυτό. Αν επιπλέον στο διάστηµα [ a, β ] ισχύει f '( x) 0 για κάθε x [ a, β] είναι µοναδική., η ρίζα αυτή Το θεώρηµα αυτό είναι πολύ χρήσιµο στην διαδικασία του εντοπισµού µιας ρίζας της εξίσωσης f ( x ) = 0. Εφαρµόζοντας την µέθοδο της διχοτόµησης παίρνουµε αρχικά το διάστηµα [, ] a0 β 0 όπου η συνάρτηση f ( x ) είναι συνεχής και ισχύει f ( a0) f ( β 0) < 0, οπότε υπάρχει ρίζα της εξίσωσης f ( x ) = 0, βάσει του παραπάνω θεωρήµατος, στο - 5 -
διάστηµα αυτό. Επίσης θεωρούµε ότι ισχύει '( ) 0 f x, για κάθε x [ a, β ] ώστε η ρίζα στο υπό µελέτη διάστηµα να είναι µοναδική. Θεωρούµε το µέσον του διαστήµατος [, ] ( 0) 0 0 0 x 0 = ( a + β ) 0 0 2 0 0, ούτως a β. Αν f ( x 0) = 0, τότε η ζητούµενη ρίζα είναι ρ = x0. Αν f x, τότε θεωρούµε τα γινόµενα f ( a ) f ( x ) και ( ) ( ) f ( x ) στα άκρα των διαστηµάτων [, ] 0 0 0 0 a x και [ x, ] γινόµενα αυτά είναι αρνητικό και ονοµάζουµε [, ] 1 1 0 0 f x f β των τιµών της 0 0 β, αντίστοιχα. Ένα από τα δύο a β το νέο διάστηµα. Ήτοι, αν f ( a0) f ( x 0) < 0, θέτουµε a1 = a0 και β 1 = x0, αν f ( x0 ) f ( β 0) < 0, θέτουµε a1 = x0 και β1 = β0. Θεωρούµε πάλι το µέσον του νέου διαστήµατος x ( a + β ) 1 1 1 =, και συνεχίζουµε τη διαδικασία µε τον ίδιο τρόπο, οπότε ορίζεται η ακολουθία xk, k = 0,1,... των µέσων των διαστηµάτων, η οποία προσεγγίζει την τιµή της ρίζας ρ. Το ότι η ακολουθία που δηµιουργείται συγκλίνει πάντοτε 2 στη ρίζα ρ αποδεικνύεται εύκολα αν θεωρήσουµε το σφάλµα στο πρώτο βήµα ε 0 για το οποίο ισχύει Στο δεύτερο βήµα θα έχουµε και στο k βήµα ε β a 2 0 0 0 = x0 ρ. β1 a1 β0 a0 ε1 = x1 ρ =, 2 2 2 βk ak β0 a0 ε k = xk ρ =. (1) k+ 1 2 2-6 -
β0 a0 Άρα limε = 0 αφού lim = 0. n k n Επίσης από τη σχέση 1 2 k + 1 ε 2 ( β ) k 1 0 a k+ 0 µπορούµε να πούµε ότι η τάξη σύγκλισης της µεθόδου είναι γραµµική και ότι ο ρυθµός 1 σύγκλισης είναι O 2 k. Από τη σχέση (1) µπορούµε να βρούµε το ελάχιστο πλήθος των επαναλήψεων που απαιτούνται για να προσεγγίσουµε τη ρίζα µε ακρίβεια n δεκαδικών ψηφίων, οπότε έχουµε ε k 1 10 n και 2 k log10 ( β a ) n 0 0. (2) log 2 Πλεονεκτήµατα και Μειονεκτήµατα της Μεθόδου της ιχοτόµησης 1. Είναι η µόνη µέθοδος που συγκλίνει ακόµη και όταν η αρχική τιµή δεν βρίσκεται κοντά στην επιθυµητή προσέγγιση της ρίζας, ήτοι υπάρχει πάντα σύγκλιση στο διάστηµα εφαρµογής της. 2. Ο απαιτούµενος αριθµός επαναλήψεων k που χρειάζονται για την προσέγγιση της ρίζας είναι γνωστός εξ αρχής, βάσει του τύπου (2). 3. εν χρειάζονται περαιτέρω πληροφορίες κατά την εφαρµογή της µεθόδου εκτός από το αλγεβρικό πρόσηµο της f ( x ) σε κάθε σηµείο. 4. Συγκλίνει αργά στην προσεγγιστική τιµή. 5. Σε ορισµένες περιπτώσεις µπορεί να εµφανιστεί καλύτερη προσέγγιση της ρίζας σε µικρότερο αριθµό βηµάτων από τον προκαθορισµένο αριθµό, οπότε τα επιπλέον βήµατα είναι περιττά. - 7 -
Παράδειγµα 1 Να γίνει η καλύτερη δυνατή προσέγγιση της ρίζας α της εξίσωσης f x x x 6 ( ) = 1= 0 µε την βοήθεια της µεθόδου της διχοτόµησης µε ακρίβεια ε = 0.00005. Λύση: Αρχικά προσδιορίζουµε το διάστηµα εφαρµογής της µεθόδου, το οποίο είναι το [ 1,2 ] για το οποίο επαληθεύεται η συνθήκη ( ) ( ) f 1 f 2 < 0 και f '( x) 0 για κάθε x [ 1, 2]. Ακολούθως υπολογίζουµε το πλήθος επαναλήψεων, που απαιτούνται για να βρούµε τη ρίζα µε προσέγγιση 4 δεκαδικών ψηφίων, µε την βοήθεια του τύπου που έχουµε δώσει Οπότε έχουµε, n ( β α) ln10 ( β α) n log10 k. log 2 ln 2 ( ) ln10 4 2 1 ln10 4 9,21034 13, 29 k = = =. ln 2 ln 2 0,69315 Άρα θα χρειαστούν 14 επαναλήψεις της µεθόδου για να επιτευχθεί η επιθυµητή προσέγγιση. Ο Πίνακας 1 δείχνει τις τιµές που λαµβάνονται κατά την εφαρµογή της µεθόδου. - 8 -
Πίνακας 1. Τιµές που προκύπτουν από την εφαρµογή της µεθόδου k a k β k x k ( k ) f a f ( β ) k 0 1.0 2.0 1.5-1.0 61.0 1 1.0 1.5 1.25-1.0 8.89063 2 1.0 1.25 1.125-1.0 1.56470 3 1.125 1.25 1.1875-0.09771 1.56470 4 1.125 1.1875 1.15625-0.09771 0.61665 5 1.125 1.15625 1.14063-0.09771 0.23327 6 1.125 1.14063 1.13281-0.09771 0.06158 7 1.13281 1.14063 1.13672-0.01958 0.06158 8 1.13281 1.13672 1.13477-0.01958 0.02062 9 1.13281 1.13477 1.13379-0.01958 0.00043 10 1.13379 1.13477 1.13428-0.00960 0.00043 11 1.13428 1.13477 1.13452-0.00459 0.00043 12 1.13452 1.13477 1.13464-0.00208 0.00043 13 1.13464 1.13477 1.13470-0.00083 0.00043 14 1.13470 1.13477 1.13474-0.00020 0.00043 Στη 14 η επανάληψη, όπως προκύπτει από τον τύπο (2), επιτυγχάνεται η επιθυµητή ακρίβεια x14 x13 = 1.13474 1.13470 = 0.00004 < 0.00005. Ας θεωρήσουµε τον ορισµό που αναφέρει ότι αν β ( t 1) + x y t < β, t > 0, x 0, x τότε τα x και y συµπίπτουν σε t τουλάχιστον και t + 1 το πολύ ψηφία βάσης β. Στην περίπτωση αυτή παίρνοντας σαν βάση το 10, t = 4, αφού θέλουµε ακρίβεια 4 δ.ψ., και όπου y = 1.13474 την προσεγγιστική τιµή, τότε η ευρεθείσα τιµή συµπίπτει µε την πραγµατική τιµή x = 1.1347241384... σε 4 δ.ψ., που επαληθεύει τον ορισµό. - 9 -
Παράδειγµα 2 Να γίνει προσέγγιση της ρίζας ρ της εξίσωσης [ 1, 2 ] µε τη µέθοδο της διχοτόµησης µε ακρίβεια ε = 0.00005. 3 2 f ( x) = x + 4x 10 = 0 στο διάστηµα Λύση: Κάνοντας έναν αρχικό έλεγχο µέσω του θεωρήµατος Bolzano f ( 1) f ( 2) = ( 5)( 14) = 70 < 0, παρατηρούµε ότι, πράγµατι υπάρχει ρίζα της εξίσωσης στο υπό µελέτη διάστηµα. Ακολούθως υπολογίζουµε τον απαιτούµενο αριθµό βηµάτων για να πετύχουµε την επιθυµητή προσέγγιση ( ) ln10 4 2 1 ln10 4 9,21034 13, 29 k = = =. ln 2 ln 2 0,69315 Οπότε θα πρέπει να γίνουν 14 επαναλήψεις του αλγοριθµικού τύπου της µεθόδου, τα αποτελέσµατα των οποίων φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. Πίνακας 2. k a k β k x k f ( x k ) 0 1.0 2.0 1.5 2.375 1 1.0 1.5 1.25-1.79687 2 1.25 1.5 1.375 0.16211 3 1.25 1.375 1.3125-0.84839 4 1.3125 1.375 1.34375-0.35098 5 1.34375 1.375 1.359375-0.09641 6 1.359375 1.375 1.3671875 0.03236 7 1.359375 1.3671875 1.36328125-0.03215 8 1.36328125 1.3671875 1.365234375 0.000072 9 1.36328125 1.365234375 1.364257813-0.01605 10 1.364257813 1.365234375 1.364746094-0.00799 11 1.364746094 1.365234375 1.364990235-0.00396 12 1.364990235 1.365234375 1.365112305-0.00194 13 1.365112305 1.365234375 1.36517334-0.0009358 14 1.36517334 1.365234375 1.365203858-0.0004319-10 -
x 9 14 Η πραγµατική τιµή της ρίζας είναι ρ=1.365230013..., οπότε παρατηρούµε ότι ρ < x ρ, δηλαδή εµφανίζεται καλύτερη προσέγγιση στο 9 ο βήµα εφαρµογής της µεθόδου από το 14 ο, άρα, στο συγκεκριµένο παράδειγµα, τα επιπλέον βήµατα µπορούσαν να είχαν αποφευχθεί. 1.1.2 Μέθοδος Regula Falsi (εσφαλµένης θέσης) - Μέθοδος Τέµνουσας Οι δύο αυτές µέθοδοι έχουν τον ίδιο αλγοριθµικό τύπο, ο οποίος προκύπτει µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο, ήτοι από ένα ευθύγραµµο τµήµα το οποίο προσεγγίζει το τµήµα της συνάρτησης f ( x ) που ορίζεται στο υπό µελέτη διάστηµα και, φυσικά, πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος Bolzano. Η τοµή του ευθυγράµµου τµήµατος µε τον άξονα xx ' αποτελεί την προσεγγιστική τιµή της ρίζας ρ της συνάρτησης και χωρίζει το διάστηµα σε δύο νέα διαστήµατα. Η διαφορά των δύο µεθόδων έγκειται στο ότι, στη µεν Regula Falsi επιλέγεται σαν νέο διάστηµα εκείνο στο οποίο βρίσκεται η ρίζα, ενώ στη µέθοδο της τέµνουσας όχι. Στην πρώτη µέθοδο αυτό επιτυγχάνεται µέσω ελέγχου βάσει του θεωρήµατος Bolzano, ενώ στην δεύτερη δεν γίνεται έλεγχος, οπότε η ρίζα µπορεί να βρίσκεται εκτός του υπό µελέτη διαστήµατος. ηλαδή στη Regula Falsi επιλέγεται αρχικά ένα διάστηµα (, ) x x που περιέχει τη ρίζα ρ (Σχ. 1). Η ευθεία που διέρχεται από 0 1 τα σηµεία ( x, f ( x )), (, ( )) 0 0 x f x τέµνει τον άξονα xx ' στο x 2, οπότε εφαρµόζεται το 1 1 θεώρηµα Bolzano (όπως στη µέθοδο της διχοτόµησης), για να επιλεγεί εκείνο το διάστηµα από τα ( x0, x2), ( x2, x 1) που βρίσκεται η ρίζα της συνάρτησης, ήτοι το ( x2, x1) στην προκειµένη περίπτωση. Αυτή ακριβώς η διαδικασία ελέγχου δεν εφαρµόζεται στην µέθοδο της τέµνουσας λαµβάνοντας αυθαίρετα ένα αρχικό διάστηµα ( x0, x 1) (Σχ.2) (απεναντίας το x 1 µπορεί να είναι µόνο µια µικρή µετατόπιση του αρχικού σηµείου x 0 ), ούτε κατά τη διάρκεια εφαρµογής της µεθόδου, καθιστώντας έτσι την µέθοδο επιρρεπή σε αποτυχία σύγκλισης. Ωστόσο όταν συγκλίνει, έχει πολύ καλή ταχύτητα σύγκλισης, µεγαλύτερη από αυτήν της Regula Falsi. - 11 -
Σχήµα 1. Σχήµα 2. Για την εύρεση του τύπου των µεθόδων, στις οποίες αναφερόµαστε, εργαζόµαστε ως εξής: Θεωρούµε δύο σηµεία του άξονα xx ' τα οποία καλούµε xk, xk 1, οπότε έχουµε και τις αντίστοιχες τιµές της γραφικής παράστασης της f ( x ), ( ), ( ) αντίστοιχα. Ακολούθως από τα σηµεία ( xk, f ( xk )),( xk 1, f ( xk 1) ) οποία ενώνει τα σηµεία αυτά και η οποία τέµνει το άξονα f x f x, k k 1 φέρουµε την ευθεία, η xx ' στο σηµείο x k + 1. H εν λόγω τέµνουσα ευθεία έχει εξίσωση y = ax+ β, η οποία επαληθεύεται προφανώς από τα σηµεία ( xk, f ( xk )),( xk 1, f ( xk 1) ) και µε αντικατάσταση παίρνουµε τις εξισώσεις f ( xk ) = axk + β και f ( xk 1) = axk 1 + β. Επιλύοντας το σύστηµα των εξισώσεων αυτών λαµβάνουµε τους συντελεστές της ευθείας a και β, a = f ( xk ) f ( xk 1) x x k k 1 οπότε η εξίσωση της τέµνουσας παίρνει τη µορφή Το σηµείο ( ) f ( xk 1) xk f ( xk ) xk 1 και β =, x x f ( x ) f ( x ) f ( x ) x f ( x ) x y = x+ x x x x k k 1 k 1 k k k 1 k k 1 k k 1 k k 1. (1) x,0 k + 1 επίσης επαληθεύει την εξίσωση της τέµνουσας, άρα, αντικαθιστώντας στην (1), έχουµε - 12 -
και από την τελευταία, f ( x ) f ( x ) f ( x ) x f ( x ) x k k 1 k 1 k k k 1 0 = xk+ 1 + xk xk 1 xk xk 1 x k+ 1 = ( ) 1 ( 1) f ( x ) f ( x ) f x x f x x k k k k Προσθαφαιρώντας στη συνέχεια στον αριθµητή την ποσότητα ( ) ακόλουθος τύπος, ο οποίος είναι και ο τελικός τύπος της µεθόδου, k k 1 ( x x ) x = x f ( x ). k k 1 k+ 1 k k f ( xk ) f ( xk 1). k, f x x προκύπτει ο k Πλεονεκτήµατα και Μειονεκτήµατα της Μεθόδου Regula Falsi 1. Η ακολουθία του αλγοριθµικού τύπου συγκλίνει πάντοτε. 2. Είναι ταχύτερη από την µέθοδο της διχοτόµησης (Bolzano). 3. Συγκλίνει µε πιο αργό ρυθµό σε σχέση µε άλλες µεθόδους. Πλεονεκτήµατα και Μειονεκτήµατα της Μεθόδου της Τέµνουσας 1. Έχει ικανοποιητική ταχύτητα σύγκλισης ( 1+ 5) περιπτώσεις είναι ταχύτερη από µεθόδους µε τάξη σύγκλισης 2. 2. Εφόσον οι f '( x ) και f ''( ) 2 1,618. Σε ορισµένες x είναι συνεχείς για κάθε x στο διάστηµα που περιέχει τη ρίζα ρ, και ισχύει f '( ρ) 0, καθώς και οι αρχικές τιµές x 0 και x 1 βρίσκονται αρκετά κοντά στη ρίζα ρ, τότε η ακολουθία τιµών xi, i = 0,1, 2,..., συγκλίνει στη ρίζα. Σύγκλιση της µεθόδου της Τέµνουσας Από τον τύπο της µεθόδου ( ) x = x f x n+ 1 n n xn xn 1 f x f x ( ) ( ) αν αφαιρέσουµε την υπό προσέγγιση ρίζα ρ, έχουµε, n n 1, - 13 -
( ) x ρ = x ρ f x n+ 1 n n ή = f ( x ) x n ε ε ρ ( xn 1 ρ) ( ) ( ) f x f x n n 1 ε n+ 1 ε n n f xn f xn 1 ( ) ( ) Στη συνέχεια θεωρούµε τα αναπτύγµατα κατά Taylor ( ) ( ) ( ) ( ) n. ( x ρ) 2 n 1 ( x ρ) ( ) n f xn f ρ + xn ρ f ' ρ + f '' ρ, 2 2 n 1 f ( xn 1) f ( ) + ( xn 1 ) f '( ) + f ( ) ρ ρ ρ '' ρ 2 2 ε ' '', 2 n ή f ( x ) ε f ( ρ) + f ( ρ) 2 ε n 1 f ( xn 1) ε n 1 f '( ρ) + f ''( ρ) 2 και αντικαθιστώντας στην (1) προκύπτει ε ε n n ( x )( ε ε ) n n n 1 n+ 1 = n = 2 2 ( ε n ε n 1) f '( ρ) + ( ε n ε n 1) ( x ) f n = ε n = f ''( ρ) f '( ρ) + ( ε n + ε n 1) 2 2 ε n ε n f '( ρ) + f ''( ρ) = ε 2 n = f ''( ρ) f '( ρ) + ( ε n + ε n 1) 2 ε nε n 1 f ''( ρ) =. 2 f ' '' ( ρ) + ( ε + ε ) f ( ρ) n f n 1 f '' ( ρ) 2 (1) Όταν τα xn 1 και ε και x n πλησιάζουν τη ρίζα ρ, τα σφάλµατα n 1 µικρές τιµές, οπότε µπορούµε να γράψουµε ε C ε ε, όπου n+ 1 n n 1 ( ρ) ( ρ) ε n παίρνουν πολύ f '' C =. (2) 2 f ' Για να προσδιορίσουµε την τάξη σύγκλισης της µεθόδου ας υποθέσουµε ότι για το σφάλµα ε n + 1 ισχύει - 14 -
n 1 οπότε ανάλογα και για το σφάλµα ε n, έχουµε n a ε + λ ε, (3) ε n λ ε n 1 a ή 1 1 a a n ε n 1 λ ε. (4) Αντικαθιστώντας τα ε n + 1 και ε n 1 από τις (3) και (4), αντίστοιχα, στην (2) πρoκύπτει a 1 1 1 1 1 a a a + a n C n n = C n λ ε ε λ ε λ ε, (5) και εξισώνοντας τους εκθέτες του ε n, παίρνουµε την εξίσωση a 2 a 1= 0, η οποία έχει ρίζες 1± 5 a =. Άρα η τάξη σύγκλισης της µεθόδου της τέµνουσας είναι 2 1+ 5 1.618. Επίσης, από την σχέση (5), εξισώνοντας τους συντελεστές, έχουµε 2 λ C 1 λ a ή C a λ, εφόσον 1 a = 1+, και τελικά a ( ρ) ( ρ) a 1 1 f '' a λ C. 2 f ' Παράδειγµα Με την βοήθεια της µεθόδου Regula Falsi να γίνει η καλύτερη δυνατή προσέγγιση της ρίζας της συνάρτησης 6 ( ) 1 0 f x = x x =. Λύση: Εξετάζουµε την ίδια συνάρτηση και στο ίδιο διάστηµα, όπως και στο Παράδειγµα 1, κυρίως για λόγους σύγκρισης της ταχύτητας του αλγορίθµου της µεθόδου Regula Falsi σε σχέση µε αυτόν της διχοτόµησης. Οπότε λαµβάνουµε τα αποτελέσµατα τα οποία παρατίθενται στον Πίνακα 3. - 15 -
Πίνακας 3. Τιµές που προκύπτουν από την εφαρµογή της µεθόδου n x n ( n) f x x 1 n+ 0 2.0 61.0 1 1.0-1.0 1.0 2 1.0161290-9.154x10-1 0.0161290 3 1.1905778 6.575x10-1 0.1744488 4 1.1176558-1.685x10-1 0.072922 5 1.1325316-2.244x10-2 0.0148758 6 1.1348168 9.536x10-4 0.0022852 7 1.1347236-5.066x10-6 0.0000932 8 1.134724138-4.0x10-9 0.000000538 x n Παρατηρούµε από τα αποτελέσµατα των προσεγγίσεων ότι, η µέθοδος που χρησιµοποιείται εδώ συγκλίνει αρκετά πιο γρήγορα από την µέθοδο της διχοτόµησης. 1.1.3. Μέθοδος Newton-Raphson Η µέθοδος Newton-Raphson αποτελεί την ταχύτερη από τις µεθόδους προσέγγισης ρίζας µιας συνάρτησης και για αυτό το λόγο χρησιµοποιείται συχνότερα σε προβλήµατα επίλυσης εξισώσεων, καθώς και σε συστήµατα µη γραµµικών εξισώσεων. άξονα Για το τύπο της µεθόδου στην οποία αναφερόµαστε, θεωρούµε ένα σηµείο x k του xx ', όπου η τιµή της συνάρτησης f ( x ), η οποία πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος Bolzano, είναι ίση µε f ( x k ). Στο σηµείο ( n, ( n) ) x f x βρίσκουµε την εξίσωση της εφαπτοµένης. Αν a η κλίση αυτής τότε έχουµε την εξίσωση y = ax+ β, η οποία περνά από το σηµείο ( n, ( n) ) ( ) x n + 1,0. Άρα x f x και τέµνει τον άξονα xx ', έστω στο σηµείο ( ) f x = ax + β και 0 = axn+ 1 + β, n n - 16 -
εκ των οποίων παίρνουµε ( ) ( ) f x = a x x +. n n n 1 Οπότε αντικαθιστώντας την κλίση a της ευθείας µε την παράγωγο '( ) f f ( xn) '( x ) n = x x, n n+ 1 από την οποία προκύπτει ο γνωστός αλγοριθµικός τύπος f ( xn ) x = n 1 x + n f '( x ). n f x έχουµε n Η µέθοδος Newton-Raphson αποτυγχάνει να συγκλίνει σε τρεις περιπτώσεις. 1. Όταν η παράγωγος σε κάποια επανάληψη µηδενιστεί. Τότε δεν είναι πλέον δυνατός ο προσδιορισµός του x k + 1 (Σχ. 3). Σχήµα 3. Πρώτη περίπτωση αποτυχίας 2. Όταν η συνάρτηση αλλάζει πρόσηµο σε δύο σηµεία π.χ. τα x k και x k + 1, ενώ η παράγωγός της στα σηµεία αυτά έχει την ίδια τιµή. Σε αυτή την περίπτωση, η µέθοδος Newton-Raphson εισέρχεται σε ένα κλειστό βρόχο, από τον οποίο δεν µπορεί να εξέλθει παρά µόνο, όταν εξαντληθούν οι επαναλήψεις που έχει δηλώσει ο χρήστης για την εύρεση της ρίζας (Σχ. 4). - 17 -
Σχήµα 4. εύτερη περίπτωση αποτυχίας της µεθόδου 3. Όταν η συνάρτηση προσεγγίζει ασυµπτωτικά το 0 και έχει γίνει λανθασµένη επιλογή αρχικού σηµείου. Σ αυτή την περίπτωση η µέθοδος Newton µπορεί να αποµακρύνεται από την ρίζα της συνάρτησης (Σχ. 5). Σχήµα 5. Τρίτη περίπτωση αποτυχίας της µεθόδου Πλεονεκτήµατα και Μειονεκτήµατα της Μεθόδου Newton-Raphson 1. Το κυριότερο πλεονέκτηµα της µεθόδου είναι η µεγάλη ταχύτητα σύγκλισης (2 ης τάξης), η οποία ξεπερνά την ταχύτητα σύγκλισης πολλών άλλων µεθόδων. 2. Η µέθοδος είναι επιρρεπής σε ταλαντώσεις. 3. εν υπάρχει εγγύηση ότι η µέθοδος θα συγκλίνει. - 18 -
4. Απαιτεί σε κάθε ρίζα, η παράγωγος να είναι µη µηδενική, αλλιώς η µέθοδος αποτυγχάνει. Aν µηδενιστεί, τότε τείνει στο άπειρο η προσεγγιστική τιµή της ρίζας και δεν µπορούµε να την επανεκκινήσουµε. 5. Είναι απαραίτητος ο υπολογισµός της παραγώγου. Για την αντιµετώπιση των ανωτέρω µειονεκτηµάτων ελέγχουµε αρχικά την µοναδικότητα της ρίζας στο διάστηµα, όπου θα γίνει η εφαρµογή, µε θεωρήµατα, τα οποία έχουν αναφερθεί στην µέθοδο της διχοτόµησης, και κατόπιν εξετάζουµε την περίπτωση σύγκλισης στην ρίζα. Σύγκλιση της µεθόδου Έστω Ι ένα διάστηµα στο οποίο υπάρχει ρίζα της f ( x ) και ισχύει: η συνάρτηση f ( x ) είναι συνεχής και υπάρχουν οι παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης f '( x ) και f ''( x ) συνεχείς, µε f '( x) 0. Αν g( x) ( x) '( x) = f x f και η g απεικονίζει το Ι στο Ι, τότε η ακολουθία που παράγεται από τον αλγόριθµο Newton-Raphson συγκλίνει στη ρίζα ρ. ηλαδή ικανή συνθήκη για την σύγκλιση είναι η ακολουθία x, k = 1, 2,..., που παράγεται από τον αλγόριθµο να ανήκει στο διάστηµα Ι. Αφ' ετέρου, εφόσον έχουµε εντοπίσει µία απλή ρίζα της f ( x ) είναι δυνατόν να βρούµε διάστηµα ώστε η ακολουθία που παράγεται να συγκλίνει όπως προκύπτει από τα ακόλουθα. Θεωρούµε το ανάπτυγµα Taylor ( ) ( ) ( ) ( ) ( x x ) 2 ( ξ) ξ ( ) ( ) 0 f x = f x0 + x x0 f ' x0 + f '', min x, x0, max x, x0 2, f ( x0) θέτοντας x = ρ και x0 = x1, από τον τύπο του αλγορίθµου στην πρώτη f ' x επανάληψη, προκύπτει άρα ( ) 0 ( ξ ) ( x ) f '' x = ( x ), min (, x ), max (, x ), 2 0 1 ρ 0 ρ ξ0 0 0 2 f ' ρ ρ 0 ε = ε 2 1 0 f '' 2 f ' ( ξ0) ( x ) 0. k - 19 -
Οι f '( x ) και f ''( ) M 1 και 2 x, αφού είναι συνεχείς στο Ι, είναι και φραγµένες, άρα υπάρχουν M, τέτοια ώστε f '( x) M1 > 0 και f ( x) M 2 M 2 µελέτη διάστηµα, οπότε θέτοντας M =, έχουµε 2M 1 2 1 M ε 0, '', για όλα τα x στο υπό ε (1) το οποίο αποδεικνύει την δεύτερης τάξης σύγκλιση της µεθόδου Newton-Raphson. Η σχέση (1) µπορεί να γραφτεί ( ) ε M ε ε < M β a ε 1 0 0 0, όπου a και β τα άκρα του διαστήµατος. Για να έχουµε σύγκλιση πρέπει M ( a) 1 β <. Η τελευταία σχέση µας δίνει τη δυνατότητα εύρεσης του διαστήµατος, στο οποίο έχουµε M σύγκλιση. ηλαδή, αν ( β ) 1 a, διχοτοµούµε το αρχικό διάστηµα και, µε τη βοήθεια του θεωρήµατος Bolzano, επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία, µέχρις ότου εγκλωβίσουµε τη ρίζα σε ένα διάστηµα για το οποίο θα ισχύει M ( a ) 1 β <. n n n Παράδειγµα Με την βοήθεια του τύπου των Newton-Raphson να γίνει η καλύτερη δυνατή προσέγγιση της ρίζας της συνάρτησης ( ) 6 f x = x x 1= 0. Λύση: Όπως και στο παράδειγµα της προηγούµενης µεθόδου η εφαρµογή γίνεται στο διάστηµα [ 1,2 ], όπου ισχύει η µοναδικότητα της ρίζας της συνάρτησης, και επαληθεύεται ο έλεγχος σύγκλισης. Οπότε ξεκινώντας την εφαρµογή του τύπου από το σηµείο x 0 και εφόσον ρ = 1.1347241384... προκύπτει ο Πίνακας 4. - 20 -
Πίνακας 4. Τιµές που προκύπτουν από την εφαρµογή της µεθόδου n x n ( n) f x ε = ρ xn 0 2.0 61.0-8.653x10-1 1 1.680628273 19.85-5.459x10-1 2 1.430738989 6.147-2.960x10-1 3 1.254970957 1.652-1.202x10-1 4 1.161538433 2.9433x10-1 -2.681x10-2 5 1.136353274 1.683x10-2 -1.629x10-3 6 1.134730528 6.574x10-5 -6.390x10-6 7 1.134724138-4.0x10-9 0.0 Από τον τελευταίο πίνακα παρατηρούµε τη µεγάλη ταχύτητα σύγκλισης της µεθόδου Newton-Raphson σε σχέση µε τις προηγούµενες µεθόδους. Ωστόσο παίζει πολύ σηµαντικό ρόλο η επιλογή της αρχικής τιµής x 0 για την ταχύτητα και τη σύγκλιση της µεθόδου. 1.2 Παρεµβολή 1.2.0 Γενικά Παρεµβολή είναι η διαδικασία εκείνη κατά την οποία, όταν µας δίνονται οι τιµές µιας συνάρτησης f ( x ) σε ορισµένα σηµεία, προσπαθούµε να βρούµε την τιµή (ή τιµές) αυτής σε σηµεία που δεν έχουν δοθεί. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι προσέγγισης του προβλήµατος αυτού. ένας από αυτούς είναι η πολυωνυµική παρεµβολή. Στην περίπτωση αυτή, αν 0, 1,..., k x x x τα σηµεία και ( ) ( ) ( ) f x0, f x1,..., f x k οι αντίστοιχες τιµές της συνάρτησης, οι οποίες µας δίνονται, προσπαθούµε να βρούµε µια άλλη συνάρτηση p( x ), η οποία να πλησιάζει όσο το δυνατό περισσότερο την f ( ) ισχύει ( ) ( ), 0,1,..., p x = f x i = k. i i x και για την οποία να - 21 -
Μια τέτοια συνάρτηση µπορεί να είναι ένα πολυώνυµο για το λόγο ότι τα πολυώνυµα είναι εύκολα στη χρήση τους, αφού είναι συνεχείς συναρτήσεις και παραγωγίζονται και ολοκληρώνονται εύκολα. Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούµε µε δύο τύπους πολυωνυµικής παρεµβολής α. τον τύπο των προς τα εµπρός διαφορών των Newton-Gregory και β. τον τύπο των προς τα πίσω διαφορών των Newton-Gregory, οι οποίοι στηρίζονται στην έννοια των πεπερασµένων διαφορών. Οι προς τα εµπρός πεπερασµένες διαφορές ορίζονται από τις σχέσεις ( i) ( i+ 1) ( i), f ( x ) f ( x ) f ( x ) f x = f x f x 2 i = i+ 1 i n n 1 n 1 και γενικά ( ) ( ) ( ) ενώ για τις προς τα πίσω πεπερασµένες διαφορές έχουµε f xi = f xi+ 1 f xi, i = 0,1,..., k 1, ( i) ( i) ( i 1), f ( x ) f ( x ) f ( x ) f x = f x f x 2 i = i i 1 n n 1 n 1 και ( ) ( ) ( ) f x, 1,...,. i = f xi f xi 1 i = k Με τις ανωτέρω σχέσεις δηµιουργούµε τον πίνακα των προς τα εµπρός και προς τα πίσω διαφορών, αντίστοιχα, από όπου παίρνουµε τις απαιτούµενες τιµές για τους τύπους παρεµβολής των Newton-Gregory.,, 1.2.1 Παρεµβολή των προς τα εµπρός διαφορών των Newton-Gregory. Έστω f ( x ) η υπό µελέτη συνάρτηση, οι τιµές της οποίας µας δίνονται για ένα συγκεκριµένο πλήθος ισαπεχουσών τιµών του πεδίου ορισµού αυτής και h το βήµα της πινακοποίησης, δηλαδή της διαφοράς µεταξύ δύο διαδοχικών τιµών της ανεξάρτητης µεταβλητής x. Καλούµε x 0 την αµέσως µικρότερη από τη ζητούµενη τιµή της x και ορίζουµε το λόγο x θ = x 0, θ ( 0,1 ) h. - 22 -
Τότε ο τύπος πολυωνυµικής παρεµβολής των προς τα εµπρός διαφορών των Newton-Gregory έχει τη µορφή θ θ 2 θ n pn ( x) = f ( x0) + f ( x0 ) + f ( x0 ) +... + f ( x0 ) + Rn+ 1( x), 1 2 n όπου R ( ) n+ 1 x είναι η διόρθωση n+ 1 n ( n+ 1 f ) ( ξ) ( i ), i= 0 ( n+ 1 )! R ( x) = x x µε ξ Ι, όπου Ι = min ( x, x,..., x ), max ( x, x,..., x ) 0 n 0 n, διάστηµα στο οποίο η f ( x ) έχει παραγώγους µέχρι n+ 1 τάξης και µάλιστα συνεχείς. Παράδειγµα 1 4 2 Να γίνει προσέγγιση της τιµής f ( 1.83) της συνάρτησης ( ) 3 f x = x x + x µε την βοήθεια του τύπου των προς τα εµπρός διαφορών των Newton-Gregory, αφού πρώτα γίνει καταγραφή των τιµών της συνάρτησης για ισαπέχοντα σηµεία του διαστήµατος [ 1.4, 2.3 ] µε βήµα h = 0.1 και αφού υπολογιστούν οι αντίστοιχες διαφορές. Λύση: Ο Πίνακας 5 απεικονίζει τις τιµές της συνάρτησης για τα σηµεία xi = x0 + ih, i = 0,1,...,9, h = 0.1, x 0 = 1.4, όπως επίσης και τις προς τα εµπρός διαφορές αυτών, µέχρι και 5 ης τάξης, οι οποίες σύµφωνα µε σχετικό θεώρηµα βρίσκονται ίσες µε 0. - 23 -
Πίνακας 5. Προς τα εµπρός διαφορές x f ( x ) f ( x) 2 f ( x) 3 f ( x) 4 f ( x) 5 f ( x) 1.40-0.6384 0.4509000 1.50-0.1875 0.2102000 0.6611000 0.0372000 1.60 0.4736 0.2474000 0.0024000 0.9085000 0.0396000 0.0000000 1.70 1.3821 0.2870000 0.0024000 1.1955000 0.0420000 0.0000000 1.80 2.5776 0.3290000 0.0024000 1.5245000 0.0444000 0.0000000 1.90 4.1021 0.3734000 0.0024000 1.8979000 0.0468000 0.0000000 2.00 6.0000 0.4202000 0.0024000 2.3181000 0.0492000 0.0000000 2.10 8.3181 0.4694000 0.0024000 2.7875000 0.0516000 2.20 11.1056 0.5210000 3.3085000 2.30 14.4141 Επιλέγουµε την αµέσως µικρότερη της x = 1.83 τιµή από τον πίνακα των προς τα εµπρός διαφορών, η οποία είναι η x 0 = 1.80 και αφού υπολογίσουµε τον λόγο x x0 1.83 1.80 θ = = = 0.3, h 0.1 βρίσκουµε το πολυώνυµο παρεµβολής των προς τα εµπρός διαφορών των Newton- Gregory 2 3 4 p4( x) f ( x0) θ f ( x0 ) θ f ( x0 ) θ f ( x0 ) θ = + + + + f ( x0 ), 1 2 3 4-24 -
από το οποίο αντικαθιστώντας παίρνουµε 0.3 0.3 2 0.3 3 0.3 4 f ( 1.83 ) f (1.80) + f (1.80) + f (1.80) + f (1.80) + f (1.80) = 1 2 3 4 = 2.9984312. Παράδειγµα 2 Αν f ( x) = x να βρεθεί η f ( 3.25), όταν δίνονται οι f ( 3.1 ), f ( 3.2 ), f ( ) f ( 3.4 ), ( 3.5) f. 3.3, Λύση: Ο Πίνακας 6 απεικονίζει τις τιµές της συνάρτησης για τα σηµεία xi = x0 + ih, i = 0,1, 2,3, 4, h = 0.1, x = 3.1, όπως επίσης και τις προς τα εµπρός διαφορές αυτών, µέχρι και 4 ης τάξης. 0 Πίνακας 6. x f ( x ) f ( x) 2 f ( x) 3 f ( x) 4 f ( x) 3.1 1.76068 0.02817 3.2 1.78885-4.3x10-4 0.02774 0.1x10-4 3.3 1.81659-4.2x10-4 0.1x10-4 0.02732 0.2x10-4 3.4 1.84391-4x10-4 0.02692 3.5 1.87083 Επιλέγουµε την τιµή x = 3.2, αµέσως µικρότερη από την τιµή x = 3.25, της οποίας ζητάµε την τιµή της συνάρτησης, και υπολογίζουµε τον λόγο x x0 3.25 3.2 θ = = = 0.5. h 0.1 Το πολυώνυµο παρεµβολής των προς τα εµπρός διαφορών των Newton-Gregory τότε έχει τη µορφή - 25 -
2 3 p3( x) f ( x0) θ f ( x0 ) θ f ( x0 ) θ = + + + f ( x0 ), 1 2 3 από το οποίο αντικαθιστώντας παίρνουµε 0.5 0.5 2 0.5 3 f ( 3.25 ) f (3.2) + f (3.2) + f (3.2) + f (3.2) = 1.80277. 1 2 3 Αν επιλέξουµε το σηµείο x = 3.1 έχουµε και από τον τύπο παίρνουµε x x0 3.25 3.1 θ = = = 1.5, h 0.1 2 3 4 p4( x) f ( x0) θ f ( x0 ) θ f ( x0 ) θ f ( x0 ) θ = + + + + f ( x0 ), 1 2 3 4 1.5 1.5 2 1.5 3 1.5 4 f ( 3.25 ) f (3.1) + f (3.1) + f (3.1) + f (3.1) + f (3.1) = 1 2 3 4 = 1.803097. Για την πραγµατική τιµή έχουµε 3.25 = 1.8027756.... Άρα παρατηρούµε ότι, αν και στη δεύτερη εφαρµογή χρησιµοποιούµε περισσότερες πληροφορίες, ήτοι τον όρο διαφοράς τέταρτης τάξης, η πρώτη εφαρµογή, όπου παίρνουµε το αµέσως προηγούµενο σηµείο του πίνακα σαν 0 x, οπότε θ ( 0,1), προσεγγίζει καλύτερα την πραγµατική τιµή. 1.2.2 Παρεµβολή των προς τα πίσω διαφορών των Newton-Gregory. Στην περίπτωση παρεµβολής των προς τα πίσω διαφορών των Newton-Gregory καλούµε x 0 την αµέσως µεγαλύτερη από τη ζητούµενη τιµή x και θεωρούµε το λόγο x θ = x 0, θ ( 0,1 ). h Ο τύπος σε αυτή την περίπτωση έχει τη µορφή θ θ 2 θ n pn ( x) = f ( x0) + f ( x0 ) + f ( x0) +... + f ( x0 ) + Rn+ 1( x), 1 2 n όπου η διόρθωση R ( ) n+ 1 x ορίζεται όπως στην προηγούµενη περίπτωση. - 26 -
Η ουσιαστική διαφορά των δυο τύπων είναι ότι ο πρώτος τύπος, των προς τα εµπρός διαφορών, δίνει καλύτερα αποτελέσµατα, όταν χρησιµοποιείται για την εύρεση κάποιας τιµής, η οποία βρίσκεται στην αρχή του πίνακα διαφορών, διότι τότε µπορούµε να έχουµε περισσότερους όρους, οπότε γίνεται καλύτερη προσέγγιση, σε αντίθεση µε τον τύπο των προς τα πίσω διαφορών, ο οποίος εφαρµόζεται καλύτερα στο τέλος του πίνακα διαφορών για τον ίδιο προφανώς λόγο. Επίσης, το θ µπορεί να πάρει τιµές εκτός του διαστήµατος ( 0,1 ), όταν επιλέξουµε κάποια τιµή του πίνακα µικρότερη του x για τον τύπο των προς τα εµπρός διαφορών, ή µεγαλύτερη του x για τον τύπο των προς τα πίσω διαφορών. Παράδειγµα Γίνεται εφαρµογή του ιδίου παραδείγµατος που χρησιµοποιήθηκε για τον τύπο παρεµβολής των προς τα εµπρός διαφορών των Newton-Gregory για λόγους σύγκρισης. Λύση: Ο πίνακας που απεικονίζει τις προς τα πίσω διαφορές είναι ο ίδιος µε αυτόν του Παραδείγµατος 1 της προηγούµενης µεθόδου. Βρίσκουµε τον λόγο x0 x 1.90 1.83 θ = = = 0.7, h 0.1 όπου ως x 0 χρησιµοποιείται η αµέσως επόµενη από την x = 1.83 τιµή του πίνακα, οπότε ο τύπος των προς τα πίσω διαφορών των Newton-Gregory δίνει 2 3 4 p4( x) f ( x0 ) θ f ( x0) θ f ( x0 ) θ f ( x0 ) θ = + + + + f ( x0 ), 1 2 3 4 θ θ 2 θ 3 θ 4 f ( 1.83 ) f (1.90) + f (1.90) + f (1.90) + f (1.90) + f (1.90) = 1 2 3 4 = 2.9984312. Παρατηρούµε ότι τα δύο αποτελέσµατα των προς τα εµπρός και προς τα πίσω διαφορών είναι τα ίδια για την τιµή f ( 1,83). Και τούτο διότι η δοθείσα συνάρτηση f ( ) x είναι πολυώνυµο τετάρτου βαθµού, οπότε τα δύο πολυώνυµα ταυτίζονται, άρα και οι τιµές τους. - 27 -
2. Παρουσίαση του Λογισµικού Προγράµµατος 2.0 Γενικά Αριθµητική Ανάλυση είναι ο κλάδος των Μαθηµατικών που ασχολείται µε την επινόηση, την µελέτη και την σύγκριση προσεγγιστικών µεθόδων για την επίλυση προβληµάτων που προκύπτουν στις Φυσικές Επιστήµες, στην Τεχνολογία, και στα Μαθηµατικά γενικώς, και για τα οποία είτε δεν υπάρχει ή είναι χρονοβόρα η αναλυτική τους έκφραση. Μερικά τέτοια προβλήµατα είναι: Η επίλυση µη γραµµικών εξισώσεων και συστηµάτων Η κατασκευή παρεµβολικών συναρτήσεων Η επίλυση συνήθων και µερικών ιαφορικών Εξισώσεων Ο υπολογισµός ολοκληρωµάτων και παραγώγων Γραµµικός Προγραµµατισµός κ.α. Στην παρούσα διπλωµατική εργασία παρουσιάζουµε αριθµητικές µεθόδους για την προσεγγιστική λύση εξισώσεων, καθώς και για την εύρεση της τιµής µιας συνάρτησης, σε κάποιο ή κάποια σηµεία αυτής, µε την βοήθεια λογισµικού, έτσι ώστε οι φοιτητές του Α έτους να έχουν άµεση αντίληψη αυτών. Γενικά µια εξίσωση της µορφής f ( x ) = 0, όπου η συνάρτηση f ( x ) είναι µη γραµµική, δεν µπορεί να λυθεί ακριβώς (αναλυτικά) εκτός αν υπάρχει εύκολος τύπος που δίνει την λύση, όπως για παράδειγµα ο τύπος που δίνει τις λύσεις ενός δευτεροβάθµιου πολυωνύµου. Πολλές φορές µάλιστα, ακόµα και όταν δίνεται η αναλυτική έκφραση των λύσεων, είναι τόσο πολύπλοκη που είναι προτιµότερο να υπολογισθούν οι ρίζες χρησιµοποιώντας αριθµητικές µεθόδους. Οι µέθοδοι που παρουσιάζουµε δηµιουργούν µια ακολουθία αριθµών xk, k = 0,1, 2,..., η οποία συγκλίνει µε κατάλληλες προϋποθέσεις σε µία ρίζα της εξίσωσης. Το πόσο γρήγορα συγκλίνει εξαρτάται από την µέθοδο που εφαρµόζουµε. Συγκεκριµένα, παρουσιάζουµε τέσσερις µεθόδους προσέγγισης της ρίζας µιας συνάρτησης, ήτοι της διχοτόµησης, τη Regula Falsi, της τέµνουσας και των Newton-Raphson. Επίσης δίνουµε τους τύπους παρεµβολής µε πεπερασµένες διαφορές, ήτοι των προς τα εµπρός και προς τα πίσω διαφορών των - 28 -
Newton-Gregory, για την εύρεση της τιµής µιας συνάρτησης σε ένα σηµείο αυτής, όταν δίνονται οι τιµές σε άλλα σηµεία του πεδίου ορισµού της. Αρχικά εµφανίζεται στους φοιτητές η σχετική θεωρία, η οποία έχει ως ακολούθως (Εικ.1): Αριθµητική Επίλυση Εξισώσεων Κλασικό πρόβληµα των στοιχειωδών µαθηµατικών είναι η εύρεση µιας τιµής ρ τέτοιας ώστε, για µια συνάρτηση f ( x ), x ( a, β ), να ισχύει f ( ) 0 ρ =. Για το σκοπό αυτό δηµιουργείται µια ακολουθία x0, x1,..., x k,..., ανάλογα µε την µέθοδο, η οποία τείνει στην προσεγγιστική τιµή της ρίζας της εξίσωσης. Τα βασικά ερωτήµατα που καλούµαστε να απαντήσουµε κατά την ανάπτυξη των διαφόρων µεθόδων είναι 1. Κάτω από ποιες συνθήκες συγκλίνει µια µέθοδος 2. Ποιά πρέπει να είναι η αρχική τιµή x 0, ώστε η ακολουθία να συγκλίνει, 3. Αν συγκλίνει, ποιά είναι η ταχύτητα σύγκλισης. Παρεµβολή µε Πεπερασµένες ιαφορές Υπάρχει µια ολόκληρη κατηγορία µαθηµατικών προβληµάτων, αλλά και προβληµάτων της καθηµερινής ζωής, στα οποία απαιτείται να εκτιµήσουµε πια είναι η κατάσταση ενός φαινόµενου στο ενδιάµεσο διάστηµα δύο µετρήσεων (Παρεµβολή) ή να προβλέψουµε την εξέλιξη µιας διαδικασίας (Πρόβλεψη), αν έχουµε συγκεκριµένα δεδοµένα µιας παρατήρησης. Για παράδειγµα, αν ένας µετεωρολογικός σταθµός καταγράφει τη µεταβολή της θερµοκρασίας κάθε µια ώρα θα µπορούσαµε να υπολογίσουµε ποιά είναι η θερµοκρασία σε µια τυχαία χρονική στιγµή (π.χ. στις 12:15) ή να προβλέψουµε ποιά θα είναι η θερµοκρασία στις 20:00, αν έχουµε µετρήσεις µόνο ως τις 19:00. Στα µαθηµατικά πολλές φορές απαιτείται η εύρεση µιας συνάρτησης, δηλαδή ενός κανόνα του οποίου ακολουθούν ζεύγη δοθέντων σηµείων. Άλλοτε πάλι, αν γνωρίζουµε τη µορφή µιας πολύπλοκης συνάρτησης, είναι προτιµότερο να την αντικαταστήσουµε µε µια απλούστερη συνάρτηση, την οποία στη συνέχεια µπορούµε ευκολότερα να χρησιµοποιήσουµε στους υπολογισµούς µας π.χ. για να ολοκληρώσουµε ή να παραγωγίσουµε κλπ. Φυσικά, θα πρέπει η νέα απλούστερη συνάρτηση να αποτελεί κατά - 29 -
το δυνατόν σωστή αναπαράσταση της ακριβούς, και γι' αυτό σε κάθε περίπτωση είναι σηµαντικό να γνωρίζουµε το σφάλµα, το οποίο δηµιουργείται από αυτή την αντικατάσταση. Η απλούστερη συνάρτηση είναι το πολυώνυµο και γι' αυτό όλες οι µέθοδοι που αναπτύσσονται εδώ έχουν ως σκοπό τον προσδιορισµό ενός πολυωνύµου, το οποίο υπακούει σε συγκεκριµένους κανόνες. Η σελίδα εισαγωγής έχει την µορφή της Εικόνας 1. Εικόνα 1 Αρχική θεωρία Ακολούθως ο φοιτητής καλείται να µεταφερθεί στην επόµενη σελίδα του λογισµικού προγράµµατος, όπου παρουσιάζονται υπό µορφή κουµπιών οι µέθοδοι που θα µελετήσει στο µάθηµα. οπότε επιλέγοντας κάθε µία από τις µεθόδους µε την σειρά που του παρουσιάζονται ξεκινά την πλοήγησή του στις σελίδες τους όπου, αφού διαβάσει την αρχική θεωρία, καλείται να µεταβεί στο λογισµικό εφαρµογής της µεθόδου - 30 -
και στο αντίστοιχο φύλλο εργασίας. Η σελίδα παρουσίασης των µεθόδων έχει την µορφή της Εικόνας 2. Εικόνα 2 Αρχική σελίδα λογισµικού Όταν ο φοιτητής διέρχεται µε το ποντίκι του υπολογιστή πάνω από κάθε µέθοδο του εµφανίζεται µία απεικόνιση της αντίστοιχης µεθόδου όπως για παράδειγµα στην Εικόνα 3. - 31 -
Εικόνα 3. Επίσης, κάτω από τα κουµπιά των µεθόδων όπως παρατηρούµε εµφανίζεται µία απεικόνιση της µεθόδου Newton-Raphson, η οποία µεταβάλλεται παρουσιάζοντας όλα τα βήµατα εύρεσης του αντίστοιχου αλγοριθµικού τύπου. Σκοπός της απεικόνισης είναι η εποπτική κατανόηση από τον φοιτητή της µεθόδου, ο οποίος σε αυτή τη φάση δεν γνωρίζει την σχετική θεωρία. 2.1 Μέθοδος διχοτόµησης (Bolzano) Αρχικά εµφανίζεται η θεωρία µέσω του λογισµικού προγράµµατος που χρησιµοποιεί ο φοιτητής (Εικ.4). Μέθοδος ιχοτόµησης Σκοπός µας εδώ είναι η εύρεση µιας οποιασδήποτε απλής πραγµατικής ρίζας ρ της εξίσωσης f ( x ) = 0, όπου f µια συνεχής συνάρτηση µε πραγµατικούς συντελεστές. Μια από τις µεθόδους που επιλύουν το πρόβληµα αυτό είναι η µέθοδος της διχοτόµησης. - 32 -
Έστω, f ( x ) µια συνάρτηση ορισµένη και συνεχής σ' ένα διάστηµα [, ] τιµές f ( a ) και f ( β ) να έχουν αντίθετα πρόσηµα ( ( ) ( ) 0) a β, µε τις f a f β < και όπου υπάρχει µια και µόνο ρίζα της εξίσωσης f ( x ) = 0. Παίρνοντας αυτό σαν αρχικό διάστηµα το διχοτοµούµε και επιλέγουµε το διάστηµα εκείνο από τα δύο, όπου στα άκρα του η συνάρτηση έχει αντίθετα πρόσηµα, έτσι ώστε να ισχύει το θεώρηµα του Bolzano και να υπάρχει σ' αυτό η ζητούµενη ρίζα ρ. Η διχοτόµηση του διαστήµατος που επιλέγεται συνεχίζεται, άρα και η σµίκρυνση αυτού. Το πλάτος του τελικού διαστήµατος καθορίζεται από το κριτήριο τερµατισµού ε. Αν θεωρήσουµε σαν προσέγγιση της ρίζας το µέσον του εκάστοτε διαστήµατος, η ακολουθία η οποία δηµιουργείται τείνει στη ζητούµενη ρίζα. Η µέθοδος της διχοτόµησης είναι η µόνη µέθοδος µε την οποία είναι δυνατόν να γνωρίζουµε προκαταβολικά το ελάχιστο απαιτούµενο πλήθος επαναλήψεων για την εύρεση της ρίζας ρ µε µια δεδοµένη ακρίβεια ε. Ο τύπος που δίνει το ελάχιστο απαιτούµενο πλήθος επαναλήψεων είναι log( β0 a0)10 n log 2 k Η παραπάνω θεωρία εµφανίζεται στην οθόνη του υπολογιστή µε την µορφή που παρουσιάζεται στην Εικόνα 4. - 33 -
Εικόνα 4 Θεωρία µεθόδου διχοτόµησης Στο σηµείο αυτό ο χρήστης έχει τη δυνατότητα µετάβασης ανά πάσα στιγµή στην αρχική σελίδα του προγράµµατος µέσω του κουµπιού που βρίσκεται στο κάτω µέρος κάθε σελίδας, όπως φαίνεται και στην Εικόνα 4. Ακολούθως ο φοιτητής καλείται να µεταβεί στο φύλλο εργασίας της µεθόδου, όπως επίσης και στο αντίστοιχο πρόγραµµα εφαρµογής, µέσω των κουµπιών που βρίσκονται κάτω από την θεωρία της σελίδας. Το αντίστοιχο φύλλο παρατίθεται στη συνέχεια. - 34 -
Φύλλο εργασίας 1 Προσέγγιση της ρίζας συνάρτησης της µορφής f(x)=αx 2 -b µε την βοήθεια της µεθόδου της ιχοτόµησης. Άσκηση 1 Αποδείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον µια ρίζα µεταξύ των σηµείων Η και Θ του άξονα xx ' (Εικ.5). (Υπόδειξη: Το θεώρηµα Bolzano µας βοηθά να αποδείξουµε την ύπαρξη µιας τουλάχιστον ρίζας σε ένα διάστηµα [ a, β ], όπου ισχύει f ( a) f ( β ) < 0 ). Πατώντας το κουµπί «Μέσο διαστήµατος [ Η, Θ ]» διαιρείται το διάστηµά µας δια του 2 και εφαρµόζεται παράλληλα το θεώρηµα Bolzano για τα δυο υποδιαστήµατα που δηµιουργούνται. Επιλέγουµε βάση του θεωρήµατος τα διαστήµατα που µας εµφανίζουν αρνητικό αποτέλεσµα γινοµένου των τιµών της συνάρτησης στα άκρα τους. Άσκηση 2 ίνεται η τριτοβάθµια εξίσωση x x+ =. Αφού δειχθεί ότι έχει µοναδική ρίζα ρ 3 2 8 5 0 στο διάστηµα ( 0,1 ), να βρεθεί προσεγγιστικά η ρίζα αυτή µε την µέθοδο της διχοτόµησης µε τρία βήµατα. Άσκηση 3 Η εξίσωση 2 x x = 0, 2 3 1 έχει µία και µόνο πραγµατική ρίζα ρ στο διάστηµα [ 0,1 ]. Να υπολογιστεί το ελάχιστο πλήθος των επαναλήψεων που απαιτείται για να βρεθεί η ρίζα ρ µε προσέγγιση δύο (2) δ.ψ. εφαρµόζοντας τη µέθοδο της διχοτόµησης και στη συνέχεια να υπολογιστεί η ρίζα. Άσκηση 4 Με την βοήθεια του προγράµµατος εφαρµογής να βρείτε µια προσέγγιση τετραγωνισµού του κύκλου ακτίνας R = 1. - 35 -
Μετά από την παράδοση του φύλλου εργασίας στον φοιτητή ξεκινά η διαδικασία εφαρµογής του λογισµικού, το οποίο εµφανίζεται στην οθόνη του υπολογιστή πατώντας το κουµπί «Πρόγραµµα Εφαρµογής», που βρίσκεται στο κάτω αριστερό µέρος κάθε σελίδας, και η οποία παραθέτει τη θεωρία κάθε µεθόδου. Το πρόγραµµα είναι η ελληνική έκδοση του The Geometer s Sketchpad και χρησιµοποιεί συναρτήσεις της µορφής ( ) =, όπου οι συντελεστές έχουν την δυνατότητα να µεταβάλλονται µε την 2 f x ax b βοήθεια του µεταβολέα, ενός δηλαδή κουµπιού µε το οποίο ο φοιτητής µπορεί να µεταβάλλει τους συντελεστές της συνάρτησης δηµιουργώντας έτσι την συνάρτηση, της οποίας θέλει να προσεγγίσει τις αντίστοιχες ρίζες, αν φυσικά υπάρχουν και είναι πραγµατικές. Το λογισµικό πρόγραµµα καλεί τον φοιτητή µέσω ενός κουµπιού να επιλέξει το διάστηµα εκείνο στο οποίο το γινόµενο των τιµών της συνάρτησης στα άκρα είναι αρνητικό. Ακολούθως, το πρόγραµµα διχοτοµεί το διάστηµα αυτό και η διαδικασία επαναλαµβάνεται τρεις φορές. Τελικά προκύπτει η ζητούµενη προσεγγιστική τιµή της ρίζας της συνάρτησης, δηλαδή το σηµείο στο οποίο η συνάρτηση τέµνει τον άξονα των xx '. Το λογισµικό πρόγραµµα εφαρµογής της µεθόδου δίνεται στην τελική του µορφή στην Εικόνα 5. - 36 -
Εικόνα 5 Τελική µορφή λογισµικού µεθόδου διχοτόµησης Το µάθηµα υπολογίζεται να διαρκεί 2 ακαδηµαϊκές ώρες και µαζί µε το λογισµικό παραδίνεται στον εκάστοτε διδάσκοντα µαζί µε τις ακόλουθες υποδείξεις, οι οποίες αφορούν την χρήση και την διδασκαλία του µαθήµατος. - 37 -
Θεµατική ενότητα Προσέγγιση ρίζας δευτεροβάθµιας εξίσωση µε την βοήθεια της µεθόδου της διχοτόµησης. Εκπαιδευτικό Λογισµικό Sketcpad 4.0 greek ιδακτικοί Στόχοι 1. Γεωµετρική εφαρµογή της µεθόδου της διχοτόµησης από τους φοιτητές για εποπτική κατανόηση της µεθόδου. 2. Σταδιακή εφαρµογή του θεωρήµατος Bolzano από τον φοιτητή για κατανόηση της γεωµετρικής ερµηνείας της µεθόδου. Προαπαιτούµενες γνώσεις για το αντικείµενο Γεωµετρία Γ Λυκείου, γραµµική απεικόνιση συνάρτησης, Θεώρηµα Bolzano. Προαπαιτούµενες γνώσεις για τη χρήση του λογισµικού Οι φοιτητές πρέπει να έχουν εξοικειωθεί στη σωστή χρήση του εκπαιδευτικού λογισµικού sketchpad. Οργάνωση τµήµατος Η δραστηριότητα πραγµατοποιείται στο εργαστήριο Η/Υ του Πανεπιστηµίου. Οι φοιτητές δουλεύουν µπροστά στον υπολογιστή και είναι χωρισµένοι σε οµάδες των δύο ατόµων. Ο καθηγητής κάνει παρεµβάσεις σε κάθε οµάδα και βοηθάει τους περισσότερο αδύναµους φοιτητές, έτσι ώστε να µπορούν όλες οι οµάδες να συµβαδίζουν χρονικά. ιδακτικό υλικό α) Ηλεκτρονικός υπολογιστής, β) εκπαιδευτικό λογισµικό Sketchpad. ιάρκεια µαθήµατος 2 διδακτικές ώρες - 38 -
2.2 Μέθοδος Regula Falsi και Μέθοδος Τέµνουσας Στο µάθηµα που ακολουθεί θα επιχειρήσουµε την διδασκαλία των µεθόδων Regula Falsi και τέµνουσας µέσω του λογισµικού εφαρµογής. Όπως έχει προαναφερθεί ο φοιτητής σε κάθε µάθηµα πατώντας το αντίστοιχο κουµπί της µεθόδου, ανοίγει µπροστά του ένα παράθυρο µε την απαραίτητη θεωρία, που πρέπει να γνωρίζει, πριν προβεί σε οποιαδήποτε περαιτέρω εφαρµογή της συγκεκριµένης µεθόδου που µελετά. Ακολούθως, παρατίθεται η θεωρία που εµφανίζεται στον φοιτητή καθώς και η εποπτική εικόνα (Εικ.6α, 6β) που θα έχει κατά την είσοδό του στο παράθυρο της µεθόδου. Μέθοδος Regula Falsi και Μέθοδος Τέµνουσας Η µόνη διαφορά που παρουσιάζουν οι δύο µέθοδοι είναι ο έλεγχος ύπαρξης ρίζας στο κάθε διάστηµα εφαρµογής του αλγοριθµικού τύπου της µεθόδου Regula Falsi µέσω του θεωρήµατος Bolzano, ενώ στην µέθοδο της τέµνουσας δεν γίνεται κανένας έλεγχος. εν υπάρχει κάποια άλλη διαφορά µιας και ο τύπος των δύο µεθόδων είναι ο ίδιος, οπότε αναφερόµαστε κυρίως στην µέθοδο Regula Falsi για να αποφύγουµε την αποτυχία εφαρµογής της µεθόδου. Η µέθοδος Regula Falsi χρησιµοποιεί τις δύο προηγούµενες προσεγγίσεις x n, x n-1 µίας ρίζας προκειµένου να υπολογίσει την επόµενη x n + 1 προσέγγιση. Θεωρώντας ότι η συνάρτηση, της οποίας θέλουµε να υπολογίσουµε τη ρίζα, είναι της µορφής του Σχήµατος 6, έχουµε τις διαδοχικές προσεγγίσεις x2, x 3,... µέχρι να υπολογιστεί η ρίζα µε την απαιτούµενη από τον χρήστη ακρίβεια και οι οποίες υπολογίζονται ως κατωτέρω: - 39 -
Σχήµα 6 Γεωµετρική ερµηνεία µεθόδου της Regula Falsi Βήµα 1 ο Επιλέγουµε δύο σηµεία 0, 1 υπάρχει ρίζα στο διάστηµα (, ) x x τέτοια ώστε ( ) ( ) f x f x <, δηλαδή 0 1 0 x0 x 1. Υπολογίζουµε σαν προσέγγιση της ρίζας το 2 το σηµείο τοµής της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία ( 0, ( 0) ),( 1, ( 1) ) τον x -άξονα και δίνεται από την εξίσωση ( x x ) x = x f ( x ). 1 0 2 1 1 f ( x1 ) f ( x0) x, ήτοι x f x x f x µε Αν f ( x 2) = 0 τότε το x 2 είναι η ζητούµενη ρίζα και σταµατάει η διαδικασία. Αυτή η περίπτωση όµως σπάνια συµβαίνει στην πράξη. - 40 -
Βήµα 2 o Eπαναλαµβάνουµε την διαδικασία όπως στο 1 ο βήµα για να βρούµε τη νέα προσέγγιση x 3, και συνεχίζουµε σύµφωνα µε τον τύπο ( x x ) x = x f ( x ), k k 1 k+ 1 k k f ( xk ) f ( xk 1) µέχρις ότου ικανοποιηθεί ένα από τα επόµενα κριτήρια τερµατισµού. Κριτήρια τερµατισµού 1. Όταν η απόλυτη τιµή της διαφοράς µεταξύ δύο διαδοχικών εκτιµήσεων xk, x k + 1 είναι µικρότερη από την επιθυµητή ακρίβεια ε που έχει δηλώσει ο χρήστης, τότε θεωρούµε ότι έχουµε φτάσει στην προσέγγιση της ρίζας. Εποµένως θα ισχύει x x ε <. k+ 1 k f x =. 2. Όταν η τιµή x k είναι ρίζα της συνάρτησης f ( x ), δηλαδή ισχύει ότι ( k ) 0 3. Όταν οι επαναλήψεις που έχει δηλώσει ο χρήστης για την εύρεση της ρίζας εξαντληθούν. Σε ότι αφορά τη µέθοδο της τέµνουσας δεν απαιτείται έλεγχος για να καθοριστεί το επόµενο βήµα (π.χ. να προσδιοριστεί νέο διάστηµα εγκλωβισµού της ρίζας), ενώ η µέθοδος Regula Falsi, την οποία και µελετάµε, απαιτεί εφαρµογή του θεωρήµατος Bolzano για έλεγχο ύπαρξης ρίζας σε κάθε διάστηµα που εξετάζουµε. Για το λόγο αυτό δεν υπάρχει εγγύηση ότι θα συγκλίνει. Αν συγκλίνει η µέθοδος της τέµνουσας είναι ταχύτερη από τη µέθοδο διχοτόµησης. O φοιτητής έχει επίσης την δυνατότητα εκµάθησης των πλεονεκτηµάτων και µειονεκτηµάτων της µεθόδου πατώντας το αντίστοιχο κουµπί στο κάτω µέρος της οθόνης. Η σελίδα τότε έχει τη µορφή: Πλεονεκτήµατα και Μειονεκτήµατα της Μεθόδου Regula Falsi 1. Η ακολουθία του αλγοριθµικού τύπου συγκλίνει πάντοτε. 2. Είναι ταχύτερη από την µέθοδο της διχοτόµησης (Bolzano). 3. Συγκλίνει µε πιο αργό ρυθµό σε σχέση µε άλλες µεθόδους. Πλεονεκτήµατα και Μειονεκτήµατα της Μεθόδου της Τέµνουσας 1. Όταν συγκλίνει, έχει αρκετά ικανοποιητική ταχύτητα σύγκλισης. - 41 -
2. Επειδή η ρίζα δεν εγκλωβίζεται σε διάστηµα, δεν υπάρχει εγγύηση ότι η µέθοδος θα συγκλίνει. Ακολούθως, όπως έχει προαναφερθεί, παρατίθεται η µορφή της σελίδας, η οποία εµφανίζεται στην οθόνη του υπολογιστή που χρησιµοποιεί ο φοιτητής ως διαδραστική εικόνα. Εικόνα 6α Θεωρία µεθόδου Regula Falsi. - 42 -
Εικόνα 6β Μετά από την σύντοµη αλλά βασική θεωρία οι φοιτητές που χρησιµοποιούν το λογισµικό καλούνται από τον διδάσκοντα καθηγητή, αφού ανοίξουν το ακόλουθο φύλλο εργασίας της µεθόδου, να αρχίσουν να εφαρµόζουν ένα προς ένα τα βήµατα, τα οποία τους υποδεικνύει το φύλλο. - 43 -
Φύλλο εργασίας 2 Προσέγγιση ρίζας συνάρτησης της µορφής f(x)=αx 2 -b µε την βοήθεια των µεθόδων Regula Falsi και Τέµνουσας. Θεωρούµε δυο σηµεία του άξονα xx ' απ όπου διέρχονται δυο κάθετες ευθείες και τέµνουν την γραφική παράσταση στα σηµεία Η και Θ (Εικ. 7). Πατώντας το πρώτο κουµπί παρατηρούµε την εµφάνιση της διερχόµενης ευθείας από τα σηµεία Η και Θ, η οποία τέµνει την γραφική παράσταση και τον άξονα xx '. Άσκηση 1 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που τέµνει την γραφική παράσταση στα σηµεία Η και Θ και των άξονα xx ' στο σηµείο Μ, αφού γίνει έλεγχος µέσω του θεωρήµατος Bolzano ύπαρξης ρίζας στο υπό µελέτη διάστηµα. Άσκηση 2 Να θεωρηθεί η τετµηµένη του σηµείου Η ως x. Βάση αυτών και των τιµών τους να βρεθεί η τέµνουσα ευθεία. k 1 x k και η τετµηµένη του σηµείου Θ ως Άσκηση 3 Να θεωρηθεί το σηµείο τοµής της τέµνουσας ευθείας της άσκησης 2 µε τον άξονα ως k 1 x +, να αντικατασταθεί στην εξίσωση της ευθείας και να επιλυθεί ως προς x k + 1 για να προκύψει ο τύπος της µεθόδου µετά από πράξεις. xx ' Άσκηση 4 Εφαρµόζοντας τον τύπο της µεθόδου Regula Falsi να γίνει µια προσέγγιση της 3 2 µε 3 ακρίβεια ε = 10 και να εξηγήσετε γιατί µπορεί να αποτελέσει µια προσέγγιση επίλυσης του ήλιου προβλήµατος διπλασιασµού του κύβου. Άσκηση 5 Με την βοήθεια του προγράµµατος εφαρµογής να βρείτε µια προσέγγιση τετραγωνισµού του κύκλου ακτίνας R = 1. - 44 -
O φοιτητής µαζί µε το φύλλο εργασίας είναι απαραίτητο να έχει στην οθόνη του υπολογιστή του το πρόγραµµα εφαρµογής της µεθόδου Regula Falsi, ούτως ώστε να ενεργεί παράλληλα µε τα βήµατα του αντίστοιχου φύλλου εργασίας. Η Eικόνα 7 απεικονίζει την µορφή του λογισµικού προγράµµατος, όπου ο φοιτητής ολοκληρώνει πλήρως την εφαρµογή των βηµάτων του φύλλου εργασίας. Εικόνα 7 Τελική µορφή λογισµικού µεθόδου Regula Falsi. Το πρόγραµµα εφαρµογής είναι γραµµένο στην ελληνική έκδοση του λογισµικού προγράµµατος «The Geometer s Sketchpad», το οποίο περιλαµβάνεται στο πακέτο του γενικού λογισµικού. Επίσης παρέχεται και στο διαδίκτυο δωρεάν σε όποιον επιθυµεί να προβεί στη χρήση του. Ο εκάστοτε διδάσκων καθηγητής θα έχει στην διάθεσή του το ακόλουθο φύλλο για περαιτέρω συµβουλές, ενέργειες και παρακινήσεις, οι οποίες αφορούν το µάθηµα και τον τρόπο εφαρµογής του µέσω του λογισµικού προγράµµατος. - 45 -
Θεµατική ενότητα Προσέγγιση ρίζας δευτεροβάθµιας εξίσωση µε την βοήθεια της µεθόδου Regula Falsi. Εκπαιδευτικό Λογισµικό Sketcpad 4.0 greek ιδακτικοί Στόχοι Γεωµετρική εφαρµογή της µεθόδου Regula Falsi από τους φοιτητές για εποπτική κατανόηση του προσεγγιστικού τύπου της µεθόδου. Μεταβολή των συντελεστών της εξίσωσης ( ) = µέσω του µεταβολέα 2 f x ax b για πρακτική εξάσκηση σε διάφορες συναρτήσεις της µορφής αυτής Προαπαιτούµενες γνώσεις για το αντικείµενο Γεωµετρία Γ Λυκείου, Θεώρηµα Μέσης Τιµής του διαφορικού λογισµού, Θεώρηµα Bolzano, Κλίση ευθείας, Εξίσωση ευθείας. Προαπαιτούµενες γνώσεις για τη χρήση του λογισµικού Οι φοιτητές πρέπει να έχουν εξοικειωθεί στη σωστή χρήση του υπολογιστή που διατίθεται στο εκπαιδευτικό λογισµικό Sketchpad. Οργάνωση τµήµατος Η δραστηριότητα πραγµατοποιείται στο εργαστήριο Η/Υ του Πανεπιστηµίου. Οι φοιτητές δουλεύουν µπροστά στον υπολογιστή και είναι χωρισµένοι σε οµάδες των δύο ατόµων. Ο καθηγητής κάνει παρεµβάσεις σε κάθε οµάδα και βοηθάει στην εφαρµογή του προγράµµατος. ιδακτικό υλικό α) Ηλεκτρονικός υπολογιστής, β) Εκπαιδευτικό λογισµικό Sketchpad. ιάρκεια µαθήµατος 2 διδακτικές ώρες. - 46 -