Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx = fx 0 Γραφικά αυτό σηµαίνει ότι δεν ϑα σηκώσουµε το µολύβι απο το χαρτί για να χαράξουµε σε όλο το µήκος τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Ορισµός 1. Μια συνάρτηση f ϑα λέµε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστηµα α, β του πεδίο ορισµού της, αν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του α, β. Μια συνάρτηση f ϑα λέµε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β] του πεδίο ορισµού της, αν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του α, β και : x α x β fx = fα και fx = fβ + 1.1 Παραδείγµατα Παράδειγµα 1 Ολες οι πολυωνυµικές συναρτήσεις είναι συνεχείς αφού : c:\education\ C lycee \module\ 1.8\continuite.tex px = px 0 x x 0 1
Παράδειγµα Ολες οι ϱητές πολυωνυµικές συναρτήσεις είναι συνεχείς αφού : Παράδειγµα 3 Οι συναρτήσεις είναι συνεχείς px x x 0 qx = px 0 qx 0 fx = ηµx gx = συνx hx = a x sx = logx tx = lnx { x 3 για x < Παράδειγµα 4 Η συνάρτηση fx = x, δες σχήµα 1, 5 για x - είναι συνεχής στο διάστηµα, αφού είναι γραµµική στο διάστηµα αυτό, - είναι συνεχής στο διάστηµα [, + αφού είναι πολυωνυµική στο διάστηµα αυτό. - Για να δείξουµε ότι είναι συνεχής σε όλο το σύνολο R, πρέπει να αποδείξουµε ότι είναι συνεχής και στο, δηλαδή : fx = fx = f x x + Πράγµατι : fx = x 3 = 1 και fx = x 5 = 1 x x x + x + Αρα, η f είναι συνεχής. Σχήµα 1: Παράδειγµα 4 1. Αντιπαραδείγµατα Αντιπαράδειγµα 1 Εστω Ex = n αν και µόνο αν n x < n + 1. Πρόκειται για την συνάρτηση που δίνει τον µεγαλύτερο ακέραιο που είναι µικρότερος ή ίσος απο τον πραγµατικό x, δες σχήµα. Η συνάρτηση αυτή δεν είναι συνεχής αφού : x x Ex = 1 Ex = = E +
Σχήµα : Αντιπαράδειγµα 1 Αντιπαράδειγµα Η συνάρτηση fx = συνεχής, δες σχήµα 3. { x + 1 αν x 0 x αν x > 0 επειδή δεν έχει όριο στο 0 δεν είναι Σχήµα 3: Αντιπαράδειγµα Πράγµατι : fx = 1 fx = x 0 x 0 +. x 1 αν x 1 Αντιπαράδειγµα 3 Η συνάρτηση fx = x 1 επειδή δεν είναι συνεχής στο 1, δες 3 αν x = 1 σχήµα 4, αφού :. fx = f1 = 3 x 1 3
Σχήµα 4: Αντιπαράδειγµα 3 1.3 Πράξεις 1. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο x 0, τότε είναι επίσης συνεχείς οι συναρτήσεις : f + g, c f όπου c R, f g, f, f g, ν f. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 και η g συνεχής στο fx 0, τότε είναι συνεχής και η σύνθεσή τους g f στο x 0. Θεώρηµα 1.1 Αν f µια γνησίως ϕθίνουσα γν. αύξουσα στα διαστήµατα α, β], β, γ και συνεχής στο β όπως ϑα δούµε στην απόδειξη, αρκεί να είναι συνεχής δεξιά του β. Τότε η f είναι γνησίως ϕθίνουσα γν. αύξουσα στην ένωση α, β] β, γ = α, γ. Απόδειξη : Εστω f γν. ϕθίνουσα στα διαστήµατα α, β] και β, γ. Για να δείξουµε ότι είναι γν. ϕθίνουσα και στην ένωση α, γ αρκεί να δείξουµε ότι είναι ϕθίνουσα στο [β, γ δηλ. αν β < c < γ τότε fβ > fγ. Ας εκµεταλευτούµε το ότι η f είναι γν. ϕθίνουσα στο β, γ. Εστω β < d < β + c, τότε β + c fd > f > fc > fγ Αλλά η f είναι συνεχής στο β, άρα, Τότε όµως fβ > f β + c > fγ. fd > f d β + d β + β + c Θεώρηµα 1. Αν µία συνάρτηση είναι 1-1 και συνεχής σε ένα διάστηµα τότε είναι γνησίως µονότονη. 4
Θεώρηµα Bolzano Θεώρηµα.1 Εστω συνάρτηση f ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν, 1 η f είναι συνεχής στο [α, β] και ισχύει fα fβ < 0, τότε υπάρχει, ένα τουλάχιστον, x 0 α, β τέτοιο ώστε fx 0 = 0 δες σχήµα 5. Σχήµα 5: Θεώρηµα.1. Συνέπειες του ϑεωρήµατος 1. Υποθέτουµε ότι για την συνάρτηση f ικανοποιούντε οι συνθήκες του ϑεωρήµατος.1: 1 η εξίσωση fx = 0 έχει µια τουλάχιστον ϱίζα, δες σχήµα 5. το γράφηµα της f τέµνει τον άξονα των τετµηµένων, δες σχήµα 5. 3 αν η συνάρτηση είναι γνησίως µονότονη στο [α, β], τότε η εξίσωση fx = 0 έχει ακριβώς µια ϱίζα στο α, β, δες σχήµα 6. 4 αν fα fβ 0 στο διάστηµα [α, β], τότε υπάρχει, ένα τουλάχιστον, x 0 [α, β] τέτοιο ώστε fx 0 = 0.. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σένα διάστηµα και δεν µηδενίζεται στο διάστηµα αυτό, τότε η συνάρτηση αυτή είναι είτε ϑετική είτε αρνητική στο διάστηµα. Άρα : 1 x fx > 0 είτε fx < 0 5
Σχήµα 6: Η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο διάστηµα [α, β]. αν fx 0, x και υπάρχει a : fa > 0 τότε fx > 0, x. 3 αν fx 0, x και υπάρχει a : fa < 0 τότε fx < 0, x. 4 αν x 1 < x δύο διαδοχικές ϱίζες της συνεχούς συνάρτησης fx = 0 στο διάστηµα, τότε η f διατηρεί σταθερό το πρόσηµο στο διάστηµα x 1, x. 6
3 Θεώρηµα ενδοιαµέσων τιµών Θεώρηµα 3.1 Εστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν : 1 η f είναι συνεχής στο [α, β] και fα fβ, τότε για κάθε αριθµό η µεταξύ των fα και fβ υπάρχει x 0 α, β τέτοιο ώστε : fx 0 = η, δες σχήµα 7. Σχήµα 7: Θεώρηµα 3.1. Απόδειξη : Αν υποθέσουµε ότι fα < fβ. Αν η τέτοιο ώστε : fα < η < fβ. Εστω η συνάρτηση gx = fx η. Τότε : 1. η gx είναι συνεχής στο [α, β],. gα gβ < 0 Άρα απο ϑεώρηµα.1, υπάρχει x 0 στο α, β τέτοιο ώστε gx 0 = fx 0 η = 0. Άρα, fx 0 = η. Πόρισµα 3. Η εικόνα f ενός διαστήµατος 1 του µέσω µιας συνεχούς και µη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστηµα, δες σχήµα 8. Ειδικότερα αν το διάστηµα είναι ένα κλειστό διάστηµα, τότε : Πόρισµα 3.3 Η εικόνα f[α, β] µέσω µιας συνεχούς και µη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστηµα έτσι ώστε η συνάρτηση f παίρνει µια ελαχίστη και µια µεγίστη τιµή, δες σχήµα 8. ηλαδή, υπάρχουν x 1, x [α, β] τέτοια ώστε, αν m = fx 1 και fx = M m fx M για κάθε x [α, β] 7
Σχήµα 8: Πορίσµατα 3. και 3.3. Παρατηρήσεις 3.1 Είναι εύλογο να αναρωτηθούµε αν το ότι η εικόνα ενός διαστήµατος είναι διάστηµα διαµέσου µιας συνάρτησης, είναι αποτέλεσµα της συνέχειας της συνάρτησης στο διάστηµα αυτό ή όχι. Πράγµατι, αν η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο διάστηµα δεν συνεπάγεται ότι η εικόνα f δεν είναι διάστηµα! Ας προσέξουµε τα δύο σχήµατα : στο σχήµα 9 η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο διάστηµα και για την συγκεκριµµένη συνάρτηση, το ϑεώρηµα 3.1 δεν ισχύει, αφού για το σηµείο η της εικόνας f,δεν υπάρχει x 0 έτσι ώστε fx 0 = η. Αλλά δεν είναι υπεύθυνη η ασυνέχεια για αυτό, όπως δείχνει το παράδειγµα της συνάρτησης στο σχήµα 10! Σχήµα 9: Σηµείωση 3.1, περίπτωση ασυνέχειας και µονοτονίας. 1 Το είναι ένα διάστηµα,, του R ανν : α, β, α β, {t, α t β}. 8
Στο σχήµα 10 απεικονίζεται η συνάρτηση { ηµ 1 αν x 0 x λ, λ [ 1, 1] αν x = 0 Σχήµα 10: Σηµείωση 3.1, περίπτωση ασυνέχειας και µη µονοτονίας, το πόρισµα 3. ισχύει. Η συνάρτηση fx δεν είναι συνεχής στο 0, παλινδροµεί µεταξύ 1 και 1, ενώ αν οποιοδήποτε διάστηµα που δεν περιέχει το 0, η εικόνα f είναι διάστηµα. Επίσης αν I οποιοδήποτε διάστηµα που περιέχει το 0, η εικόνα fi είναι διάστηµα υποσύνολο του [ 1, 1]. Εποµένως, στο παράδειγµα αυτό, η εικόνα διαστήµατος είναι διάστηµα αλλά, η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο 0. Η εξήγηση είναι απλή. Είναι γνωστό στην ανάλυση ότι : Αν I ένα διάστηµα του συνόλου R και f : I R µια µονότονη συνάρτηση έτσι ώστε fi να είναι διάστηµα, τότε η f είναι συνεχής. Ετσι στο σχήµα 9 ϐλέπουµε µια συνάρτηση η οποία είναι µεν µονότονη αλλά το f δεν είναι διάστηµα του R, ενώ στο σχήµα 10, η συνάρτηση δεν είναι µονότονη αλλά f είναι διάστηµα του R. Και στις δύο περιπτώσεις η συνάρτηση δεν είναι συνεχής. 3.1 Το Συνολο τιµών µιας συνεχούς συνάρτησης Εστω f µια συνεχής συνάρτηση µε πεδίο ορισµού. Τότε : 9
Γνησίως Αύξουσα Γνησίως Φθίνουσα Πεδίο Ορισµού Σύνολο Τιµών Σύνολο Τιµών = α, β f = x α +fx, x β fx f = x β fx, x α +fx = [α, β] f = [fα, fβ] f = [fβ, fα] ] = α, β] f = x α +fx, fβ f = [ fβ, x α +fx 10
4 Ασκήσεις α x 1 + β x + 1 1. ίνεται συνάρτηση fx =, x 0. Να ϐρείτε τις τιµές των α, β R για x τις οποίες η γραφικά παράσταση της f διέρχεται απο τα σηµεία A1, και B 1,. Στη συνέχεια για τις παραπάνω τιµές των α και β, να µελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση : { fx αν x 0 gx = αν x = 0. Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [a, b] R, ώστε Να αποδείξετε ότι : α fa a fb b < 0. fa fb + a b < a fb + b fa ϐ Η εξίσωση fx = x έχει µια τουλάχιστον λύση στο a, b. 3. α Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το ϑεώρηµα των ενδιαµέσων τιµών ΘΕΤ. ϐ Περιγράψτε µε ένα σχήµα το ϑεώρηµα. γ Ποιά είναι η σχέση µε το ϑεώρηµα του Bolzano. δ Ποιά είναι τα πορίσµατα του ϑεωρήµατος ΘΕΤ. ε Να διατυπώσετε το ϑεώρηµα µεγίστης και ελαχίστης τιµής ΘΜΕ. ϝ Αν f είναι συνεχής στο [a, b], τότε ποιο είναι το σύνολο τιµών της Περιγράψτε µε το γράφηµα µια τέτοια συνάρτηση. 4. Εστω η συνεχής συνάρτηση f : [a, b] R, µε 0 < a < b. Αν m η ελαχίστη τιµή της f, να αποδείξετε ότι : α m afa + bfb a + b M ϐ Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ [a, b] τέτοιο ώστε fξ = afa + bfb. a + b 5. Αποδείξτε ότι : αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και δεν µηδενίζεται σ αυτό, δηλαδή fx 0, για κάθε x, τότε αυτή είναι ή ϑεική για κάθε x ή αρνητική για κάθε x, δηλαδή διατηρεί στεθερό πρόσηµο στο διάστηµα. 6. Να ϐρεθεί το πρόσηµο της συνάρτησης fx = ηµx συνx, για τις διάφορες τιµές του x [0, π]. 7. ίνεται συνάρτηση f : R R, η οποία είναι συνεχής και ικανοποιεί τη σχέση f 3 x 3x fx + x 6 + 1 = 0, για κάθε x R 1 α Να αποδειχθεί ότι fx 0 για κάθε x R. 11
ϐ Να ϐρεθεί το f0. γ Να αποδειχθεί ότι fx < 0 γαι κάθε x R. 8. Μπορείτε να ϐρείτε δύο τουλάχιστον τρόπους για να δείξετε ότι η εξίσωση x8 + 1 x 1 + x1 + x = 0 έχει µια τουλάχιστον ϱίζα στο διάστηµα 1, ; 9. Να ϐρεθεί η συνεχής συνάρτηση f : R R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις f1 > 1 και f x xfx e x = 0 για κάθε x R. 10. Εστω συνεχής συνάρτηση f : R R µε f 1 = 1, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f fx + x 6 fx = 0 για κάθε x R. Να ϐρεθούν οι τιµές f1 και f0. 11. Υποθέτουµε ότι υπάρχει συνάρτηση f : [0, 1] R µε f0 = 1 και f1 = 3, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f 3 x 4fx = x + 1 για κάθε x [0, 1]. Να αποδειχθεί ότι η f δεν είναι συνεχής. 1. Να ϐρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : R R, οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση f x 4fx 5 = 0 για κάθε x R. 13. α Να ϐρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης fx = ηµx 1 x, x 0, π ϐ Να δείξετε ότι η εξίσωση xηµx = 1 x έχει µια ακριβώς ϱίζα στο 0, π 14. Εστω f πραγµατική συνάρτηση έτσι ώστε xfx 1 συνx, x R. α αποδείξτε ότι x 0 fx = 0, ϐ Αν η f είναι συνεχής στο 0 να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση διέρχεται απο την αρχή των αξόνων. 15. ίδεται η συνάρτηση fx = 9 x + ln x e x 1 x 1 x 1. α Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της f. ϐ Να υπολογίσετε το x 1 fx, γ Εχει νόηµα να εξετάσουµε τη συνέχεια της f στο x 0 = 5 δ Να εξεταστεί η συνέχεια της f στο διάστηµα 0, 1. Υπόδειξη : α D f = 0, 1 1, 3]. ϐ x 1 fx =. γ Οχι. δ Είναι άθροισµα συνεχών συναρτήσεων στο 0, 1. 16. α Αποδείξτε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση f : R Z είναι αναγκαστικά σταθερή. ]. ]. 1
ϐ Αποδείξτε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση f : R Q είναι αναγκαστικά σταθερή. Υπόδειξη : α Με άτοπο. Αν fa < fb µε fa, fb Z, τότε απο ϑεώρηµα ενδοιαµέσων τιµών 3.1, επειδή fa < fa + 1 < fb, c a, b : fc = fa + 1 ο οποίος όµως δεν είναι ακέραιος! ϐ Με άτοπο, επειδή ανάµεσα απο δύο διακριτούς ϱητούς υπάρχει πάντα ένας άρρητος. Αν fa < fb µε fa, fb Q, τότε απο ϑεώρηµα ενδοιαµέσων τιµών, επειδή fa < fa + fb 1 + < fb, απόδειξη εύκολη, c a, b : fc = fa + fb 1 +, αλλά ο αριθµός d = fa + fb 1 + είναι άρρητος, επειδή fa d d fb =. 17. Αν ϐρεθούν αριθµοί α και β έτσι ώστε η παρακάτω συνάρτηση [ ] fx :, 3 R να ικανοποιεί τις υποθέσεις του ϑεωρήµατος Bolzano: 3 αx + 1 3α, 1 + α x 1 fx = 3x + β, 1 < x 1 x + 5β, 1 < x 3 Υπόδειξη : Πρώτον α 1. Πρέπει fx να είναι συνεχής στο 1, άρα : ή β = 1. Για β = 1 πρέπει : + 1 = = x 1 +3x 3 αx + 1 3α α = x 1 1 + α 1 + α Άρα, στο 1 είναι συνεχής για όλα τα α 1. + β = + 5β x 1 +3x x 1 + x Επίσης, f f3 < 0 α + 5α + 1 < 0, δηλαδή : α, 5 1, +. x 18. Εστω η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f = fx fy, x, y R. είξτε ότι αν η y συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 = 1 τότε είναι συνεχής στο R +. Υπόδειξη : Για x = y = 1 παίρνουµε, f1 = 0. Πρέπει : Άρα, fx x 1 x 0 x = u = f u 1 x 0 u fx = f1 = 0 x 1 = fx 0 fu = fx 0 f1 = fx 0 u 1 13
19. Εστω f συνάρτηση συνεχής στο διάστηµα [0, 1] για την οποία ισχύει 0 < fx 1 για κάθε x [0, 1]. είξτε ότι η εξίσωση f x fx + x = 0 έχει µια τουλάχιστον ϱίζα στο διάστηµα [0, 1. 0. Αν f, g : [α, β] [α, β] συνεχείς συναρτήσεις, δείξτε ότι υπάρχει ξ [α, β] µε f gξ + g fξ = ξ. 1. α Να ϐρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησεις fx = εφx + x, x [ ϐ Να λύσετε την εξίσωση x + 1συνx + ηµx = 0, στο 0, π. [ 0, π.. Εστω συνάρτηση f συνεχής στο [a, b] και x 1, x,..., x ν [a, b]. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ [a, b] τέτοιο ώστε fξ = fx 1 + fx + + fx ν ν 3. Εστω συνάρτηση f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [a, b]. Να αποδείξετετ ότι υπάρχει µοναδικό ξ a, b τέτοιο ώστε a + b fa + fb + f fξ = 3 4. ίνεται η συνάρτηση fx = x 5 + x + 1 α Αποδείξτε ότι η f αντιστρέφεται και να υπολογίσετε το f 1 3. ϐ Αποδείξτε ότι η f 1 είναι γνησίως αύξουσα στο R. γ Να λύσετε τις εξισώσεις fx = 35, f 1 =. δ Να ϐρείτε τα κοινά σηµεία των C f και C f 1 µε την ευθεία y = x. 5 ε Να λύσετε την εξίσωση ηµx 1 + ηµx = 1. ϝ Να λύσετε την ανίσωση f f 1 1 x + 1 1 < f 1 1. 5. Εστω η συνεχής f : R R για την οποία ισχύει για κάθε x 0: α Να ϐρείτε τον τύπο της f για κάθε x R. ϐ Αποδείξετε ότι fx = 1. x + γ Αποδείξτε ότι η εξίσωση fx x fx + ηµx = x ηµ 1 x x x + 1 = 0 έχει µια τουλάχιστον ϑετική ϱίζα. 14
6. α Αν f, g δύο συναρτήσεις µε πεδιο ορισµού το R, τότε η ισότητα fx gx = 0 για κάθε x R, δεν συνεπάγεται κατ ανάγκη ότι fx = 0 ή gx = 0 για κάθε x R! Μπορείτε να δώσετε ένα παράδειγµα ; ϐ Αν η συνάρτηση f : R R είναι συνεχής και ισχύει : fx 4 fx + = 0 για κάθε x R. i. Αποδείξτε ότι η f είναι σταθερή. fx = 4 για κάθε x R ii. Αποδείξτε ότι : ή fx = για κάθε x R 7. ίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστηµα [1, 5] και για την οποία ισχύουν : f5 = 1 και fx f fx = 7 για κάθε x [1, 5]. α Να υπολογίσετε το x + f1 x 3 x + 1 f5 x. + 1 ϐ Αν x 1 fx = 7 αποδείξτε ότι η C f διέρχεται απο ένα σηµείο µε τεταγµένη 3. γ Εστω η συνάρτηση gx = x fx 13 συνπx, x [1, 5]. Αποδείξτε ότι η C g τέµνει σε ένα τουλάχιστον σηµείο τον άξονα x x µε τετµηµένη στο διάστηµα 4, 5. 8. Εστω η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το διάστηµα [a, b] και οι µιγαδικοί αριθµοί z = a + i fa, w = b i fb µε ab 0 και fa fb 0, για τους οποίους ισχύει : w + z = w z. α Αποδείξτε ότι ο αριθµός w z είναι ϕανταστικός. ϐ Να υπολογίσετε το όριο fax 3 fbx + 5 x fbx + fax 3. γ Αποδείξτε ότι η C f τέµνει τον άξονα x x τουλάχιστον σε ένα σηµείο. 9. έσµη Ι, 1995 Εστω µια συνάρτηση f : R R συνεχής στο [a, b] και οι µιγαδικοί αριθµοί z = a + ifa, W = fb + ib µε ab 0. Αν w + z = w z να αποδειχθεί ότι η εξίσωση fx = 0 έχει µια τουλάχιστον ϱίζα στο διάστηµα [a, b]. 30. ιαγωνισµός ΜΙΤ 00. ύο κύκλοι έχουν διαµέτρους ίσες µε r και διάκεντρο r. Εστω Er το εµβαδόν του κύκλου µε την µικρότερη ακτίνα που µπορεί να περιέχει τους δύο αυτούς κύκλους. Να ϐρεθεί το όριο Er r + r 15
31. Εστω ο µιγαδικός z = a + bi, ab 0. Θεωρήστε την συνάρτηση f : [a, b] R, µε fx 0, x [a, b]. Υποθέστε ότι z + 1 z α z = 1. ϐ Ο αριθµός w = i i + z i z = fa. Αποδείξτε ότι : είναι πραγµατικός. γ Η εξίσωση x fa + xfb fb = 0 έχει µια τουλάχιστον ϱίζα στο διάστηµα 0, 1. x = fy 3. Αν f είναι µια ϕθίνουσα συνεχή πραγµατική συνάρτηση, δείξτε ότι το σύστηµα y = fz z = fx έχει µια µοναδική λύση. 33. Η συνάρτηση f ικανοποιεί τη σχέση : Είναι τότε η f συνεχής στο x 0 ; h 0 [ fx 0 + h fx 0 h ] = 0 34. ίνεται η συνάρτηση f : R R, τέτοια ώστε : x R ισχύει ft 1 = 4t 3 + 1t gt + 1. ηµx gx Θεωρούµε τη συνάρτηση g µε gx = f f f. Να ϐρεθεί το x 0 x. Υπόδειξη : Θέτω x = t 1, οπότε η σχέση γράφεται : Οπότε f f fx = 4x 3 + 3x ή fηµx = 4ηµ 3 x + 3ηµx = ηµ 3x f ηµx = f ηµ9x = ηµ7x. Άρα, ηµ7x x 0 x = 7 ηµ7x x 0 7x = 7 1 = 7 35. Να δείξετε ότι 0 60 < ηµ0 < 1 60. Υπόδειξη : Θεώρηµα Bolzano στην συνάρτηση fx = 8x 3 6x + 3. 16