ΦΥΣ 211 - Διαλ.19 1 q Μια διαφορετική εφαρμογή του φορμαλισμού Lagrange q Ταλαντωτής αποτελεί ένα σύστημα του οποίου μπορούμε να λύσουμε τις εξισώσεις κίνησης Ø σε κάποιο γενικό σύστημα οι εξισώσεις κίνησης αρκετά πολύπλοκες q Μελετούμε ταλαντωτές γιατί είναι μαθηματικά εύκολο; OXI Ø Τα περισσότερα φαινόμενα στην φυσική μπορούν να αναλυθούν με βάση το μοντέλο ενός αρμονικού ταλαντωτή; Ø Οι λύσεις των εξισώσεων κίνησης μπορούν να γραφούν σαν συνάρτηση απλών μαθηματικών συναρτήσεων
ΦΥΣ 211 - Διαλ.19 2 q Θεωρήστε ένα μονοδιάστατο σύστημα: Ø 1 βαθμός ελευθερίας: Ø H Lagrangian είναι συνάρτηση των q q,!q L = L( q,!q ) (αρχικά) L δεν εξαρτάται ακριβώς από τον χρόνο, t q Μια κατάσταση ισορροπίας του συστήματος: q = const = q 0 Ø To σύστημα ξεκινά από μια κατάσταση q 0 q Ισοδύναμο με το να πούμε ότι q ανεξάρτητο του t και παραμένει σε αυτή q Ποιες οι συνθήκες ώστε ένα σύστημα να έχει σαν λύση της εξίσωσης κίνησης αυτή της κατάστασης ισορροπίας? Ø Εξίσωση κίνησης: d dt L!q = L q Ø Διαφορική εξίσωση 2 ης τάξης 2 αρχικές συνθήκες: q t = 0 ( )!q ( t = 0) Ø Λύση που αντιστοιχεί σε κατάσταση ισορροπίας: q = q 0 και!q = 0 Ø Το σύστημα θα παραμείνει σε ισορροπία αν:!!q = 0
q Τι σημαίνει αυτό? L = T V d dt L!q = L q ΦΥΣ 211 - Διαλ.19 3 και για το σύστημά μας: d dt T!q = T q V q συνάρτηση q συνάρτηση!q,!!q συνάρτηση!q q Αλλά σε λύση ισορροπίας:!!q =!q = 0 V ( q) B V q q=qo = 0 q A C q Ποιοτικά δυο διαφορετικές θέσεις ισορροπίας: Ø Α και C: τοπικό ελάχιστο ευσταθής ισορροπία Ø Β: τοπικό μέγιστο ασταθής ισορροπία
q Θεωρήστε μικρή διαταραχή ως προς σημείο ισορροπίας Ø Έστω q = q 0 = 0 V ( q) A B ΦΥΣ 211 - Διαλ.19 4 C q q Αναπτύσουμε την εξίσωση κίνησης ως προς το σημείο q 0 L( q,!q ) q=q0 = L( q 0,!q = 0) +q q L ( q 0,!q ) +!q!q L ( q 0,!q ) +Dq 2 + Eq!q + F!q 2 +! A Bq C!q q Έχουμε δει (1 η κατ οίκον) ότι αν L = L + df εξ. κίνησης αμετάβλητη dt t 2 t Ø Eλαχιστοποίηση της δράσης: S = L dt S = L + df 2 t 1 dt dt t 1 t 2 df S = S + dt dt S = S + F t 2 t 1 ( ) F( t 1 ) δ S = δ S q Γιατί έχει αυτό ενδιαφέρον? Ø Μπορούμε να αγνοήσουμε στο ανάπτυγμα της L όλους τους όρους που περιέχουν ολικά διαφορικά ως προς χρόνο: A, C, E όρος A : d dt ( At) όρος C : d dt ( Cq) όρος E : d dt 1 2 Eq2
q Ψάχνουμε για σημείο ισορροπίας dv dq = 0 q H Lagrangian όμως είναι: L q,!q V ( q) Ø Οι όροι του δυναμικού είναι: Bq + Dq 2 +! A B ΦΥΣ 211 - Διαλ.19 5 ( ) q=q0 = A + Bq + C!q + Dq 2 + Eq!q + F!q 2 +" B = 0 q Επομένως η Lagrangian για μικρή διαταραχή ως προς το σημείοq 0 L q,!q 2F q2 + 1 2!q2 q Έχουμε επίσης αναφέρει ότι οι εξισώσεις κίνησης είναι αμετάβλητες αν η Lagrangian πολ/στεί με κάποια σταθερά: L = kl Ø Οι εξ. κίνησης επομένως είναι αμετάβλητες αν πολ/σω με: 1 2F ( ) q=q0 = Dq 2 + F!q 2 = 2F D Ø Άρα οι εξ. κίνησης περιγράφονται από: L = 1 2 C D F q2 +!q 2 q Δηλαδή: μικρές διαταραχές ως προς ένα τυχαίο σημείο ισορροπίας περιγράφονται μόνο από: D F ένα νούμερο συχνότητα 2 q
ΦΥΣ 211 - Διαλ.19 6 q Ορίζουμε σαν συχνότητα διαταραχής: ω 2 = D F Ø ω πραγματικός αριθμός αν: D F < 0 Ø ω μιγαδικός αριθμός αν: D F > 0 q Οι εξισώσεις κίνησης θα είναι: d L dt!q = L q d 1 ( dt!q 2!q2 ω 2 q 2 ) = 1 ( q 2!q2 ω 2 q 2 )!!q = ω 2 q!!q + ω 2 q = 0 q Ποιες είναι οι λύσεις αυτής της διαφορικής εξίσωσης? Ø ω πραγματικός: D F < 0 q( t) = Acos( ωt) + Bsin( ωt) ü Οι λύσεις ταλαντώνονται ως προς q = 0 με συχνότητα ω ü Το σημείο ισορροπίας είναι ευσταθές (το μέγεθος της διαταραχής ως προς q παραμένει σταθερό) q( t) = Ae + ω t + Be ω t ü H διαταραχή αυξάνει με την πάροδο του χρόνου εκτός και αν Α=0 Ø ω μιγαδικός: D F > 0!!q ω 2 q = 0 ü Το σημείο ισορροπίας είναι ασταθές
Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 211 - Διαλ.19 7 q Έχουμε δει άπειρες φορές το πρόβλημα των αρμονικών ταλαντωτών: Ø Μάζες σε ελατήρια q Είναι τόσο σημαντικό φυσικό πρόβλημα? ΟΧΙ q Ας πάρουμε ένα σύστημα γύρω από μια θέση ισορροπίας του Ø Για ευσταθή ισορροπία και στο όριο μικρών διαταραχών v Το σύστημα περιγράφεται σαν ένας ταλαντωτής ü Οχι μόνο για μάζες σε ελατήρια ü Εκκρεμές (μικρή διαταραχή ως προς την θέση ισορροπίας) ü Μόρια (διαταραχή ως προς την θέση ηρεμίας τους) ü Κβαντικό πεδίο (διαταραχή σωματιδίων γύρω από την αναμενόμενη τιμή του κενού του χωροχρόνου) ü Κβαντομηχανικά συστήματα που δέχονται μικρές διαταραχές ως προς την κατάσταση ηρεμίας τους q Θα δούμε αργότερα συστήματα με N βαθμούς ελευθερίας Ø Για μικρές διαταραχές γύρω από μια ευσταθή κατάσταση, περιγράφονται από Ν αρμονικούς ταλαντωτές
ΦΥΣ 211 - Διαλ.19 8 Λύσεις εξίσωσης κίνησης αρµονικού ταλαντωτή q Η εξίσωση κίνησης αρμονικού ταλαντωτή:!!q + ω 2 q = 0 Με λύσεις της μορφής: q t q Ιδιότητες της εξίσωσης κίνησης: ( ) = Acos( ωt) + Bsin( ωt) Ø Γραμμική Δ.Ε. (ως προς q και χρονικές παραγώγους του q) v O γραμμικός συνδυασμός δυο λύσεων είναι λύση της Δ.Ε. Αν sin(ωt) και cos(ωt) είναι λύσεις sin(ωt)+cos(ωt) είναι λύση v Μια λύση πολ/μενη με σταθερά είναι επίσης λύση της Δ.Ε. ( ( )) Ø Συνήθως γράφουμε την λύση της Δ.Ε. με την μορφή: q = Asin ω t ϕ ü A: το πλάτος της ταλάντωσης ü φ: φάση της ταλάντωσης προσδιορισμός των Α και φ προσδιορίζει την κίνηση Ø Δυο αρχικές συνθήκες απαραίτητες για τον προσδιορισμό κίνησης Ø Οι διαστάσεις του ω είναι: [ω ] = [Τ] 1 Ø Αν επιλέξουμε κατάλληλη χρονική συντεταγμένη: ω=1 ( ) π.χ. t = ωt q = Asin t ϕ
ΦΥΣ 211 - Διαλ.19 9 Λύσεις εξίσωσης κίνησης αρµονικού ταλαντωτή q Trick για λύση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων: Ø Αντί να μελετώ πραγματικές λύσεις μπορώ να κοιτάξω μιγαδικές q( t) complex λύση της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης Ø Το πραγματικό και μιγαδικό μέρος της λύσης είναι επίσης λύση q Οι μιγαδικές λύσεις της γραμμικής Δ.Ε. Ø Α C : το μιγαδικό πλάτος A C = Ae iωϕ q Αν η γραμμική Δ.Ε. είναι πραγματική και η συζυγής μιγαδική είναι επίσης λύση!!q + ω 2 q = 0 είναι: q = A c e iωt q complex είναι λύση τότε