ΣΥΝΟΔΕΥΤΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος συμπληρώνει την ενότητα «Αξιολόγηση Εργασίας» και στα δύο αντίγραφα και επιστρέφει το ένα στο φοιτητή μαζί με τα σχόλια επί της ΓΕ, ενώ κρατά το άλλο για το αρχείο του μαζί με το γραπτό σημείωμα του Συντονιστή, εάν έχει δοθεί παράταση. Σε περίπτωση ηλεκτρονικής υποβολής του παρόντος εντύπου, το όνομα του ηλεκτρονικού αρχείου θα πρέπει να γράφεται υποχρεωτικά με λατινικούς χαρακτήρες και να ακολουθεί την κωδικοποίηση του παραδείγματος: Π.χ., το όνομα του αρχείου για τη η ΓΕ του φοιτητή ΙΩΑΝΝΟΥ στη ΠΛΗ θα πρέπει να γραφεί: «ioannou_ge_plh.doc». ΥΠΟΒΟΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ονοματεπώνυμο φοιτητή Κωδικός ΘΕ Κωδικός Τμήματος ΠΛΗ Ονοματεπώνυμο Καθηγητή - Σύμβουλου Καταληκτική ημερομηνία παραλαβής σύμφωνα με το ακ. ημερολόγιο (ημέρα Τρίτη) Ακ. Έτος 0-0 Ημερομηνία αποστολής ΓΕ από το φοιτητή α/α ΓΕ Επισυνάπτεται (σε περίπτωση που έχει ζητηθεί) η άδεια παράτασης από το Συντονιστή; 0//0 ΝΑΙ / ΟΧΙ Υπεύθυνη Δήλωση Φοιτητή: Βεβαιώνω ότι είμαι συγγραφέας αυτής της εργασίας και ότι κάθε βοήθεια την οποία είχα για την προετοιμασία της είναι πλήρως αναγνωρισμένη και αναφέρεται στην εργασία. Επίσης έχω αναφέρει τις όποιες πηγές από τις οποίες έκανα χρήση δεδομένων, ιδεών ή λέξεων, είτε αυτές αναφέρονται ακριβώς είτε παραφρασμένες. Επίσης βεβαιώνω ότι αυτή η εργασία προετοιμάστηκε από εμένα προσωπικά ειδικά για τη συγκεκριμένη Θεματική Ενότητα.. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ημερομηνία παραλαβής ΓΕ από το φοιτητή Ημερομηνία αποστολής σχολίων στο φοιτητή Βαθμολογία (αριθμητικά, ολογράφως) Υπογραφή Φοιτητή Υπογραφή Καθηγητή-Συμβούλου
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις της δεύτερης εργασίας αναφέρονται στην ακόλουθη ύλη: Διανυσματικοί χώροι, Χώροι με εσωτερικό γινόμενο Γραμμικοί μετασχηματισμοί Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα-Διαγωνοποίηση πίνακα Τετραγωνικές μορφές Για την κατανόηση της ύλης αυτής μπορείτε να συμβουλευθείτε τα Κεφάλαιο (παράγραφοι.8 -.9) και Κεφάλαια, 4, 5 του συγγράμματος του ΕΑΠ «Γραμμική Άλγεβρα» των Γρ. Καμβύσα και Μ. Χατζηνικολάου. Επίσης μπορείτε να συμβουλευθείτε από το βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη http://edu.eap.gr/pli/pli/students.htm τα ακόλουθα: Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό: Κεφάλαια 6-. Συνοδευτικό Εκπαιδευτικό Υλικό: Γραμμικές Απεικονίσεις, Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, Διαγωνοποίηση, Τετραγωνικές Μορφές. Συμβολισμός: Στα παρακάτω, M n( ) συμβολίζει το σύνολο των n n πινάκων με στοιχεία από το.
Άσκηση (0 μον.) Δίνονται οι διανυσματικοί υπόχωροι W και W του M ( ): x y W {, x, y, z, w : x y z w}, z w x y W {, x, y, z, w : x w y z 0}. z w i) (8 μον.) Βρείτε βάσεις για τους διανυσματικούς υποχώρους W και W W του M ( ). ii) (4 μον.) Βρείτε τις διαστάσεις των διανυσματικών υποχώρων W και W W. iii) (8 μον.) Δικαιολογήστε γιατί ισχύει M( ) W W, ενώ ο M ( ) δεν είναι το ευθύ άθροισμα των W, W. Δείξτε ότι για τον διανυσματικό υπόχωρο 0 W span{ } ισχύει M( ) W W. 0 0 Άσκηση (0 μον) i) (8 μον.) Αποδείξτε ότι για τα διανύσματα x ( x, x, x) και y ( y, y, y) του η σχέση x y 4x y x y x y x y x y x y x y ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον. ii) (6 μον.) Δίνεται ο διανυσματικός υπόχωρος W x y z x y {(,, ) : 0} του. Βρείτε μία ορθοκανονική βάση του W ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο του. iii) (6 μον.) Βρείτε μία βάση του ορθογωνίου συμπληρώματος, W, ως προς το εσωτερικό γινόμενο που ορίστηκε στο (i). Άσκηση (0 μον.) Α) Να εξετάσετε ποιες από τις ακόλουθες απεικονίσεις είναι γραμμικές : i) ( μον.) ii) ( μον.) iii) ( μον.) f :, με f ( x, y) (x y, x y xy,4x 5 y) g :, με g( x, y, z) ( x y z,x z, x 4 5 z) h M, με h( ) ( x 4y z, z w) : ( ) x y z w Β) Έστω f : γραμμική απεικόνιση για την οποία ισχύουν:
f (,0,0) (,,), f (0,,0) (,0,4) και f (0,0,) (,, 9) i) ( μον.) Βρείτε τον τύπο της f και γράψτε τον πίνακα αναπαράστασης της f ως προς την κανονική βάση του. ii) ( μον.) Βρείτε μία βάση και τη διάσταση της εικόνας της f. iii) ( μον.) Βρείτε μία βάση και τη διάσταση του πυρήνα της f. iv) ( μον.) Βρείτε τις ιδιοτιμές της f. v) ( μον.) Να ορίσετε την απεικόνιση f, αν υπάρχει. Άσκηση 4 (0 μον) Δίνεται ο τετραγωνικός πίνακας A. 6 4 6 i) (8 μον.) Bρείτε το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο. Δεδομένου ότι μία ιδιοτιμή του πίνακα A είναι, βρείτε όλες τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματά του. ii) (4 μον.) Εξετάστε αν ο πίνακας A διαγωνοποιείται. Εάν ναι, βρείτε έναν αντιστρέψιμο πίνακα P και ένα διαγώνιο πίνακα D έτσι ώστε να ισχύει A PDP. iii) (8 μον.) Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο ερώτημα (ή αλλιώς) βρείτε τις ιδοτιμές, και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα B A 6A. Άσκηση 5 (0 μον.) Δίνεται η τετραγωνική μορφή του q x 5x x x x 6x x 4x x i) (4 μον.) Βρείτε τον αντίστοιχο συμμετρικό πίνακα A της q έτσι ώστε q T T x Ax, όπου x x x x. ii) (8 μον.) Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A. iii) (8 μον.) Βρείτε έναν ορθογώνιο πίνακα Q και έναν διαγώνιο πίνακα D, έτσι ώστε να ισχύει T QDQ A. 4
Για τον προγραμματισμό της μελέτης σας υπάρχει το Χρονοδιάγραμμα Μελέτης που περιέχεται στον Οδηγό Σπουδών της ΘΕ. Ο ακόλουθος πίνακας δεν έχει σκοπό να υποκαταστήσει το Χρονοδιάγραμμα Μελέτης αλλά να υποδείξει ορισμένα σημεία του διδακτικού υλικού που σχετίζονται άμεσα με τις ασκήσεις της Εργασίας. Άσκηση Θεωρία Συναφείς Ασκήσεις Άλλες Ασκήσεις Ο σκοπός της άσκησης είναι η εύρεση βάσεων σε διανυσματικούς χώρους. Η σχετική θεωρία υπάρχει στο βιβλίο.5 και κυρίως.6. ΕΔΥ Κεφ 7 Άσκ,4,6, Εργασία 00, Ασκ. Εργασία 008, Ασκ5(ii). ΕΔΥ Κεφ 7 Άσκ,4,7,8,9, ΣΕΥ Κεφ 6, Διανυσματικοί χώροι, ειδικά 6.5 Η άσκηση αναφέρεται σε διανυσματικούς χώρους με εσωτερικό γινόμενο. Η θεωρία περιέχεται στο Κεφ του βιβλίου. Η άσκηση αναφέρεται σε γραμμικούς μετασχηματισμούς. Η σχετική θεωρία υπάρχει στο Κεφ 4 του βιβλίου. ΣΕΥ Κεφ 8, Γραμμικές απεικονίσεις 4 Η άσκηση αναφέρεται στις έννοιες ιδιοτιμές, ιδιοδιανύσματα, και χαρακτηριστικές τους ιδιότητες. Η θεωρία περιέχεται στο Κεφ 5 του βιβλίου, ειδικά 5.-5. και 5.5 ΣΕΥ Κεφ 9, Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα και Κεφ 0, Διαγωνοποίηση Για τις πιθανές ακέραιες ρίζες μονικού πολυωνύμου δείτε: ΣΕΥ «Σημειώσεις στους πραγματικούς και μιγαδικούς αριθμούς»,.7, Πόρισμα.7., Πρόταση.7.0, 5 Για τις πλέον βασικές έννοιες αναφορικά με τις τετραγωνικές μορφές παραπέμπουμε στο Βιβλίο 5.5.. ΕΔΥ Κεφ. ΣΕΥ Κεφ., Πραγματικές τετραγωνικές μορφές ΕΔΥ Κεφ 7 Άσκ,7 Εργασία 005, Ασκ, Εργασία 007, Ασκ, ΕΔΥ Κεφ 8 Άσκ,6. ΣΕΥ Παραδείγματα 8.., 8.. Εργασία 00, Ασκ4. Παραδείγματα 9,0 σελ 74-78 του βιβλίου. ΕΔΥ Κεφ 9, Ασκ 4,7, ΕΔΥ Κεφ 0, Ασκ 8 ΣΕΥ Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα 9.., 9..4, 9.., 9..., 9... ΕΔΥ Κεφ Ασκ, ΣΕΥ Παράδειγμα..,..,..,.. Εργασία 006, Ασκ7 ΕΔΥ Κεφ 8 Άσκ4,5,9 ΣΕΥ Παραδείγματα 8..8, Παράδειγμα. Εργασία 007, Ασκ5 ΕΔΥ Κεφ 0, Ασκ 7,9, 0 ΣΕΥ Παράδειγμα 0.., 0..6, ΣΕΥ 0. όλα τα παραδείγματα. Εργασία 006, Ασκ4 Εργασία 006, Ασκ5Α Εργασία 009, Ασκ Εργασία 00, Ασκ5 Για τις πιθανές ακέραιες ρίζες μονικού πολυωνύμου δείτε: ΣΕΥ «Σημειώσεις στους πραγματικούς και μιγαδικούς αριθμούς», Παραδείγματα.7.6,.7.9,.7.. ΕΔΥ Κεφ, Ασκ Εργασία 008, Ασκ5 ΣΕΥ Ασκήσεις. ( & ), Ασκήσεις. 5
Σημείωση: Οι παραπάνω παραπομπές αναφέρονται στο βιβλίο «Γραμμική Άλγεβρα» των Γρ. Καμβύσα και Μ. Χατζηνικολάου (αναφέρεται ως Βιβλίο στον προηγούμενο πίνακα) και στο υλικό που υπάρχει αναρτημένο στην ιστοσελίδα http://edu.eap.gr/pli/pli/. Για παράδειγμα, η παραπομπή Εργασία 00 Ασκ5β αναφέρεται στην Άσκηση 5β της Εργασίας του ακαδημαϊκού έτους 00-. Όλες οι παραπομπές σε Ασκήσεις του ΕΔΥ αναφέρονται στις Λυμένες Ασκήσεις. 6