Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη ιδιότητα που έχουν ταξινοµηθεί και η ϑεωρία τους µπορεί να συµπεριληφθεί σε ένα ϐιβλίο προπτυχιακού επιπέδου. Στη ϐιβλιογραφία της Θεωρίας Οµάδων έχει επικρατήσει οι αβελιανές οµάδες να ϑεωρούνται ως προσθετικές και αυτό ϑα ακολουθήσουµε εδώ. Είναι χρήσιµο να παρατηρήσουµε ότι αν G είναι µία αβελιανή οµάδα πα- ϱαγόµενη από τα στοιχεία α 1, α 2,..., α n, τότε κάθε στοιχείο της είναι γραµ- µικός συνδυασµός των στοιχείων α 1, α 2,..., α n µε ακεραίους συντελεστές, δηλαδή n G = α 1, α 2,..., α n = { λ i α i λ i Z, 1 i n}. i=1 Βέβαια το παράγον σύνολο της G δεν ορίζεται µοναδικά. Εχουµε ήδη συναντήσει παραδείγµατα τέτοιων οµάδων π.χ. S 3, D 2 4. Κάθε πεπερασµένη αβελιανή οµάδα είναι ϕανερό ότι είναι πεπερασµένα παραγόµενη. Οι οµάδες τάξης 4 µε προσέγγιση ισοµορφίας έχουµε δεί ότι είναι οι Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Επίσης οµάδες που εµπίπτουν στη µελέτη αυτού του κεφαλαίου είναι οι επό- µενες : Z (n) = Z Z Z µε n πλήθους παράγοντες Z Z Z s Z t, για s, t ϕυσικούς αριθµούς. 147

148 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων 6.1 Το ϐασικό ϑεώρηµα Το ϑεώρηµα που ακολουθεί δίνει την ταξινόµηση των πεπερασµένα παραγό- µενων αβελιανών οµάδων και από αυτό προκύπτει ότι περιγράφονται από τις κυκλικές οµάδες, όπως στα παραδείγµατα που αναφέραµε παραπάνω. Θεώρηµα 6.1.1 Κάθε πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα είναι ευθύ άθροισµα πεπερασµένου πλήθους κυκλικών οµάδων. Απόδειξη Εστω G = α 1, α 2,..., α n µία πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα. Θα αποδείξουµε το ϑεώρηµα µε εφαρµογή της µαθηµατικής επαγωγής ως προς το πλήθος των παραγόντων στοιχείων της οµάδας. Αν η οµάδα G παράγεται από ένα µόνον στοιχείο, δηλαδή n = 1, τότε είναι κυκλική και το ϑεώρηµα ισχύει. Ας υποθέσουµε ότι το ϑεώρηµα ισχύει για όλες τις αβελιανές οµάδες που παράγονται από n 1 πλήθους στοιχεία. Θα αποδείξουµε το ϑεώρηµα για τον ϕυσικό αριθµό n. Ας υποθέσουµε ότι για την αβελιανή οµάδα G = α 1, α 2,..., α n από κάθε γραµµικό συνδυασµό λ 1 α 1 + + λ n α n = 0, λ i Z, 1 i n, συνεπάγεται ότι λ i α i = 0, για 1 i n. Τότε από τον Ορισµό 4.2.7 προκύπτει ότι G = α 1 α 2 α n, δηλ. η G είναι ευθύ άθροισµα n πλήθους κυκλικών οµάδων. Μένει, επο- µένως, να εξετάσουµε την περίπτωση που για κάθε παράγον σύνολο, έστω α 1, α 2,..., α n, της G υπάρχουν ακέραιοι αριθµοί λ 1, λ 2,..., λ n τέτοιοι ώστε λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + + λ n α n = 0, χωρίς να ισχύει ότι λ i α i = 0, 1 i n. Οπως αναφέραµε προηγουµένως τα στοιχεία της G είναι γραµµικοί συνδυασµοί µε ακέραιους συντελεστές των διάφορων παραγόντων στοιχείων της G. Μεταξύ αυτών των γραµµικών συνδυασµών υπάρχει ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός που εµφανίζεται ως συντελεστής κάποιου παράγοντος στοιχείου της G. Εστω k 1 ο ϑετικός αυτός ακέραιος. Για κάποιο, λοιπόν, παράγον σύνολο β 1, β 2,..., β n της G ισχύει k 1 β 1 + k 2 β 2 + + k n β n = 0, χωρίς όλα τα k i β i να είναι µηδέν. (6.1.1) Θα αποδείξουµε ότι αν r 1 β 1 + r 2 β 2 + + r n β n = 0 είναι ένας άλλος τέτοιος γραµµικός συνδυασµός στην G µε ακέραιους συντελεστές, τότε k 1 r 1. Εστω ότι r 1 = πk 1 +υ, µε π, υ Z και 0 υ < k 1. Πολλαπλασιάζουµε τη σχέση (6.1.1) επί π και την αφαιρούµε από την r 1 β 1 + r 2 β 2 + + r n β n = 0. Ετσι έχουµε υβ 1 + (r 2 πk 2 )β 2 + + (r n πk n )β n = 0.

Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.1 Το ϐασικό ϑεώρηµα 149 Αν υβ 1 0, τότε καταλήγουµε σε άτοπο λόγω της επιλογής του k 1. Άρα υβ 1 = 0 και 0 υ < k 1. (6.1.2) Από τη σχέση υβ 1 = 0, έπεται ότι το υ είναι πολλαπλάσιο της τάξης του β 1. Ενώ από την επιλογή του k 1, έπεται ότι k 1 ord(β 1 ). Άρα το υ δεν µπορεί να λάβει τις τιµές 0 < υ < k 1. Εποµένως, από τη σχέση (6.1.2) έπεται ότι υ = 0 και συνεπώς k 1 r 1. Στη συνέχεια ϑα αποδείξουµε ότι στη σχέση (6.1.1) k 1 k i, 2 i n. Εστω k 2 = π 2 k 1 + υ 2, για π 2, υ 2 Z και 0 υ 2 < k 1. Παρατηρούµε ότι, αφού τα β 1, β 2,..., β n παράγουν την οµάδα G, το ίδιο συµβαίνει και µε τα στοιχεία β 1 = β 1 + π 2 β 2, β 2,..., β n. Αντικαθιστούµε στη σχέση (6.1.1) το k 1 β 1 µε το k 1 β 1 k 1π 2 β 2 και προκύπτει η σχέση k 1 β 1 + υ 2 β 2 + k 3 β 3 + + k n β n = 0. Με τον τρόπο που αποδείξαµε παραπάνω ότι υ = 0, µπορούµε επίσης να αποδείξουµε ότι υ 2 = 0. Άρα k 1 k 2. Μπορούµε, λοιπόν, να γράψουµε ότι k i = π i k 1, 2 i n, για κατάλληλους ακεραίους αριθµούς π i. Θέτουµε, τώρα, β1 = β 1 + π 2 β 2 + + π n β n. (6.1.3) Παρατηρούµε ότι τα στοιχεία β 1, β 2,..., β n επίσης παράγουν την G. Η σχέση (6.1.1) λόγω της (6.1.3) οδηγεί στην k 1 β 1 = 0. Θα αποδείξουµε, τώρα, ότι αν για κάποιους ακέραιους αριθµούς µ 1, µ 2,..., µ n ισχύει µβ 1 + µ 2 β 2 + + µ n β n = 0, (6.1.4) τότε µ 1 β1 = 0. Πράγµατι, αν αντικαταστήσουµε το β 1 από τη σχέση (6.1.3) στη σχέση (6.1.4) ϐρίσκουµε ένα γραµµικό συνδυασµό των β 1, β 2,..., β n µε ακέραιους συντελεστές στον οποίο ο συντελεστής του β 1 είναι ίσος µε µ 1. Οπως, όµως, αποδείξαµε παραπάνω τότε ϑα ισχύει ότι k 1 µ 1. Ετσι από τη σχέση k 1 β1 = 0 έπεται η σχέση µ 1β1 = 0. Αν, λοιπόν, ϑεωρήσουµε ότι η G παράγεται από το σύνολο β1, β 2,..., β n, τότε το άθροισµα G = β1 + β 2,..., β n είναι ευθύ, αφού από τη σχέση µβ 1 + µ 2 β 2 + + µ n β n = 0 µβ 1 = 0 και µ 2 β 2 + + µ n β n = 0. Άρα G = β 1 β 2,..., β n.

150 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Από την υπόθεση της µαθηµατικής επαγωγής η οµάδα β 2,..., β n, αφού α- παράγεται από n 1 πλήθους στοιχεία είναι ευθύ άθροισµα κυκλικών οµάδων και το ϑεώρηµα αποδείχθηκε. Επειδή οι κυκλικές οµάδες είναι γνωστές µε προσέγγιση ισοµορφίας (ϐλ. Θεώρηµα 2.3.11) από το Θεώρηµα (6.1.1) προκύπτει η επόµενη πρόταση. Πρόταση 6.1.2 Μία πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα G είναι ισό- µορφη µε ένα ευθύ άθροισµα Z (s) Z n1 Z nt, (6.1.5) για κατάλληλους ϕυσικούς αριθµούς s, n 1,..., n t που εξαρτώνται από την ο- µάδα G. Ορισµός 6.1.3 Εστω s 0 ένας ακέραιος αριθµός. Το ευθύ άθροισµα s πλήθους αντιγράφων της προσθετικής οµάδας Z λέγεται ελεύθερη αβελιανή οµάδα µε ϐαθµίδα (free abelian of rank) s. Παρατηρήσεις 6.1.4 1. Από την Πρόταση 6.1.2 προκύπτει ότι η οµάδα G έχει υποοµάδα που είναι ισόµορφη µε την Z (s) και λέγεται άπειρο µέρος (infinite part) της G και το πεπερασµένο µέρος (finite part) που είναι η υποοµάδα ισόµορφη µε την Z n1 Z nt και ϐέβαια είναι πεπρασµένη οµάδα τάξης n 1 n 2 n t. 2. Από την Πρόταση 6.1.2 είναι ϕανερό ότι η G παράγεται από στοιχεία πλήθους το πολύ s + t, αφού κάθε προσθετέος είναι κυκλική οµάδα. Οµως, ϑα πρέπει να παρατηρήσουµε ότι ο αριθµός n που εµφανίζεται στο Θεώρηµα 6.1.1 δεν είναι ίσος µε s + t. Από την αποδεικτική διαδικασία του Θεωρήµατος 6.1.1 δεν προκύπτει το πλήθος των κυκλικών οµάδων που αναλύεται η G. Επιπλέον όταν αναφέρουµε ότι µία οµάδα παράγεται από ένα σύνολο στοιχείων δεν εννοούµε ότι δεν υπάρχει παράγον σύνολο της οµάδας µε λιγότερα στοιχεία. 3. Ας παρατηρήσουµε ότι αν p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι ϕυσικοί αριθµοί, τότε Z p Z q Z pq (ϐλ. Πρόταση 4.1.4). Ετσι η οµάδα Z p Z q παράγεται από ένα ακριβώς στοιχείο ως κυκλική. Ακόµη Z p Z q Z p 2 Z pq Z p 2 Z p Z p 2 q. Από τα παραπάνω είναι ϕανερό ότι η ταξινόµηση των πεπερασµένα παραγό- µενων αβελιανών οµάδων δεν ολοκληρώνεται µε το Θεώρηµα 6.1.1. Οµως το

Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.2 Πεπερασµένες αβελιανές οµάδες 151 Θεώρηµα 6.1.1 αποτελεί ένα σηµαντικό ϐήµα προς αυτήν την κατεύθυνση. Η ταξινόµηση των οµάδων που µελετούµε ϑα συνεχιστεί στο επόµενο εδάφιο, όπου ϑα µελετήσουµε τις πεπερασµένες αβελιανές οµάδες. Για το άπειρο µέρος (αν έχει) µίας πεπερασµένα παραγόµενης αβελιανής οµάδας είναι ϕανερό ότι δεν έχουµε κάτι περισσότερο να επισηµάνουµε. Υπάρχει µοναδική µε προσέγγιση ισοµορφίας ελεύθερη αβελιανή οµάδα ϐαθµίδας s 0. Ασκήσεις 1. Να αποδείξετε ότι κάθε υποοµάδα µίας πεπερασµένα παραγόµενης αβελιανής οµάδας είναι επίσης πεπερασµένα παραγόµενη. 2. Να αποδείξετε µε χρήση του Θεωρήµατος 6.1.1 ότι µία πεπεραµένη α- ϐελιανή οµάδα είναι p-οµάδα, για κάποιον πρώτο ϕυσικό αριθµό p, αν και µόνον αν έχει τάξη δύναµη του p. 3. Εστω G µία πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα. Να αποδείξετε ότι το σύνολο των στοιχείων της G µε πεπερασµένη τάξη αποτελεί υποοµάδα της G. 6.2 Πεπερασµένες αβελιανές οµάδες Στο εδάφιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένες αβελιανές οµάδες. Η ταξινόµηση ϑα ολοκληρωθεί µετά από δύο ϐήµατα. Πρώτα ϑα αναλύσουµε την οµάδα σε ευθύ άθροισµα πεπερασµένου πλήθους αβελιανών p-υποοµάδων της, για κάθε πρώτο ϕυσικό αριθµό p που διαιρεί την τάξη της οµάδας. Το δεύτερο ϐήµα ϑα είναι η ταξινόµηση των πεπερασµένων p-οµάδων για έναν πρώτο ϕυσικό αριθµό p. Ετσι ϑα προκύψουν όλες οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης n, για ένα ϕυσικό αριθµό n. Η πρώτη πρόταση που ϑα αποδείξουµε είναι µία ειδική περίπτωση της άσκησης 6.3.3. Πρόταση 6.2.1 Εστω G µία πεπερασµένη αβελιανή οµάδα τάξης n. Για κάθε πρώτο ϕυσικό αριθµό p n, το σύνολο G p των στοιχείων της G µε τάξη δύναµη του p αποτελεί µία p-οµάδα υποοµάδα της G. Απόδειξη Εστω α, β G p, ord(α) = p κ και ord(β) = p λ, για κ, λ Z. Τότε p κ+λ (α + β) = p λ (p κ α) + p κ (p λ β) = 0. Άρα ord(α + β) p κ+λ, δηλ α + β G p, σύµφωνα µε την Πρόταση 2.2.2 ii. και συνεπώς η G p G (ϐλ. Θεώρηµα 2.1.4). Από τον Ορισµό 5.3.10 προκύπτει

152 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων το Ϲητούµενο. Από την Πρόταση 5.3.11 η τάξη της οµάδας G p της παραπάνω Πρότασης είναι δύναµη του p και µάλιστα η µεγαλύτερη δύναµη του p που διαιρεί την τάξη της G. Εποµένως η G p είναι µία Sylow p-υποοµάδα της G. Θεώρηµα 6.2.2 Εστω G µία πεπερασµένη αβελιανή οµάδα τάξης n = p s 1 1 ps 2 2... p st t, όπου p 1, p 2,..., p t είναι διακεκριµένοι πρώτοι ϕυσικοί αριθµοί που διαι- ϱούν την G για κατάλληλους ϑετικούς ακεραίους s 1, s 2...., s t. Τότε G = G p1 G p2 G pt. Απόδειξη Για την απόδειξη ϑα χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα 4.2.8. i. Θα αποδείξουµε ότι κάθε στοιχείο α G έχει την µορφή α = α 1 + α 2 + + α t, α i G pi, 1 i t. (6.2.1) Εστω m = ord(α). Αν κάποιος p {p 1, p 2,..., p t } διαιρεί τον m, τότε το στοιχείο m p α έχει τάξη p (ϐλ. Πρόταση 2.2.5). Αφού m = ord(α) n έπεται ότι m = q r 1 1 qr 2 2 qr λ λ για κάποιο {q 1, q 2,..., q λ } {p 1, p 2,..., p t } και κατάλληλους ϑετικούς ακέραιους r 1, r 2,..., r λ, λ. Από τον Ευκλείδειο αλγόριθµο προκύπτει ότι υπάρχουν ακέραιοι αριθµοί β 1, β 2,..., β λ ώστε β 1 m q r 1 1 + β 2 m q r 2 2 + + β λ m q r λ λ = 1, (6.2.2) αφού οι ϕυσικοί αριθµοί m/q r 1 1,..., m/qr λ λ είναι πρώτοι µεταξύ τους ανά δύο. Από τη σχέση (6.2.2) προκύπτει ότι αν ϑέσουµε τότε ϐλέπουµε ότι α = β 1 m q r 1 1 α + + β λ m q r λ λ α, m α i = β i α, 1 i λ, q r i i α = α 1 + α 2 + + α λ και α i G qi, 1 i λ. Άρα το τυχαίο στοιχείο α G εκφράζεται ως άθροισµα στοιχείων των οµάδων G pi, όπως στη σχέση (6.2.1).

Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.3 Πεπερασµένες αβελιανές p-οµάδες 153 ii. Οι οµάδες G pi G, 1 i t. Πράγµατι, αυτό συµβαίνει γιατί η G είναι αβελιανή οµάδα. iii. Θα αποδείξουµε ότι G pi (G p1 + + G pi 1 + G pi+1 + + G pt ) = (0), 1 i t. (6.2.3) Πράγµατι, στην οµάδα G p1 + +G pi 1 +G pi+1 + +G pt το µόνο στοιχείο τάξης δύναµης του p i είναι το 0, έτσι, εφόσον κάθε στοιχείο της G pi έχει τάξη δύναµη του p i, έπεται ότι η τοµή της σχέσης (6.2.3) ισούται µε το µηδενικό στοιχείο της G. Από τα i),ii) και iii) προκύπτει το ϑεώρηµα. Παρατηρήσεις 6.2.3 1. Οπως παρατηρήσαµε πριν από το Θεώρηµα 6.2.2 κάθε υποοµάδα G pi, 1 i t, της G είναι Sylow p i -υποοµάδα της G και µάλιστα µοναδική ως κανονική, αφού η G είναι αβελιανή οµάδα. Ετσι, το Θεώρηµα 6.2.2 προκύπτει αµέσως από την άσκηση 5.3.7. Η απόδειξη που αναφέραµε στο Θεώρηµα 6.2.2 είναι ανεξάρτητη από το Θεώρηµα Sylow. 2. Από το Θεώρηµα 6.2.2 προκύπτει ότι κάθε πεπερασµένη αβελιανή οµάδα G έχει µοναδική µέγιστη υποοµάδα που περιέχει όλα τα στοιχεία της G που έχουν τάξη αριθµό πρώτον προς τον p. 3. Οι ιδιότητες των πεπερασµένων αβελιανών οµάδων που αναφέρονται στις παραπάνω παρατηρήσεις 1 και 2 δεν είναι ιδιότητες όλων των οµάδων. Για παράδειγµα η οµάδα S 3. Ολα τα στοιχεία της µε τάξη 2 δεν αποτελούν υποοµάδα της S 3. Επίσης οι Sylow υποοµάδες της S 3 δεν είναι όλες κανονικές. Από τη ανάλυση της οµάδας G όπως αναφέρεται στο Θεώρηµα 6.2.2 ϐλέπου- µε ότι προκειµένου να προχωρήσουµε στην ταξινόµηση των πεπερασµένων αβελιανών οµάδων αρκεί να περιοριστούµε στις πεπερασµένες αβελιανές p- οµάδες, δηλ. στις αβελιανές οµάδες µε τάξη δύναµη ενός πρώτου αριθµού p. Αυτό ϑα γίνει στο επόµενο εδάφιο. 6.3 Πεπερασµένες αβελιανές p-οµάδες Εστω G µία αβελιανή οµάδα τάξης p n για έναν πρώτο ϕυσικό αριθµό p. Από το Θεώρηµα 6.1.1 γνωρίζουµε ότι η G αναλύεται σε ευθύ άθροισµα κυκλικών οµάδων. Ετσι έχει νόηµα ο επόµενος ορισµός.

154 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Ορισµός 6.3.1 Μία πεπερασµένη αβελιανή οµάδα τάξης p n, όπου p είναι ένας πρώτος αριθµός, λέµε ότι είναι τύπου (type) (p s 1, p s 2,..., p s t) αν είναι ισόµορφη µε το ευθύ άθροισµα κυκλικών οµάδων τάξεων p s i, 1 i t και 1 s1 s 2 s t. Από τον Ορισµό 6.3.1 προκύπτει ότι, τότε n = s 1 + s 2 + + s t, δηλ. ο τύπος της αβελιανής οµάδας G αντιστοιχεί σε µία προσθετική ανάλυση του ϕυσικού αριθµού n. Θα αποδείξουµε ότι ο τύπος της αβελιανής p-οµάδας G ορίζεται µοναδικά για την οµάδα G. Πριν από αυτό είναι χρήσιµη η επόµενη πρόταση. Πρόταση 6.3.2 Εστω G µία αβελιανή p-οµάδα µε τύπο (p s 1, p s 2,..., p s t). Τότε η υποοµάδα pg = {pα α G} έχει τύπο (p s 1 1, p s 2 1,..., p st 1 ). Απόδειξη Εύκολα ο αναγνώστης µπορεί να αποδείξει ότι το σύνολο pg είναι υποοµάδα της G. Από την υπόθεση G G 1 G 2 G t, όπου G i = α i µε ordα i = p s i, 1 i t. Παρατηρούµε ότι pg i = pα i και ord(pα i ) = p s i 1, 1 i t. Άρα και ο τύπος της είναι pg pα 1... pα t (p s 1 1, p s 2 1,..., p st 1 ). Παραδείγµατα 6.3.3 1. Εστω G Z p Z p Z p 2, όπου p είναι ένας πρώτος. Τότε pg Z p. 2. Ας υποθέσουµε ότι G είναι µία αβελιανή οµάδα για την οποία ισχύει pg = {0}, για έναν πρώτο ϕυσικό αριθµό. Αυτό σηµαίνει ότι η τάξη κάθε µη µηδενικού στοιχείου της G είναι p. Η G γίνεται ένας Z p -διανυσµατικός χώρος µε πράξη Z p G G, (κ, α) κα, όπως εύκολα µπορεί να ελέγξει ο αναγνώστης. Αν, τώρα, υποθέσουµε ότι η οµάδα G είναι πεπερασµένη τότε ο τύπος της είναι (p, p,..., p), αφού κάθε µη µηδενικό στοιχείο της G είναι τάξης p. Το επόµενο ϑεώρηµα αποδεικνύει ότι ο τύπος µίας πεπερασµένης αβελιανής οµάδας είναι µία αναλλοίωτός της.

Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.3 Πεπερασµένες αβελιανές p-οµάδες 155 Θεώρηµα 6.3.4 Εστω p ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός και G µία πεπερασµένη αβελιανή p-οµάδα. Η G είναι ευθύ άθροισµα πεπερασµένου πλήθους κυκλικών p-οµάδων. Αν ο τύπος της οµάδας G είναι (p s 1, p s 2,..., p s t), τότε η ακολουθία των ϕυσικών αριθµών s 1, s 2,..., s t ορίζεται µοναδικά. Απόδειξη Εστω G µία πεπερασµένη αβελιανή οµάδα και G = p n. Από το Θεώρηµα 6.1.1 προκύπτει ότι η G είναι ευθύ άθροισµα κυκλικών οµάδων και εφόσον η G είναι p-οµάδα έπεται ότι οι προσθετέοι της είναι επίσης p-οµάδες. Ερχόµαστε, τώρα, στο δεύτερο σκέλος του Θεωρήµατος. Θα αποδείξουµε επαγωγικά ως προς την τάξη της G την µοναδικότητα του τύπου της. Για την περίπτωση που η G είναι τετριµµένη το συµπέρασµα προκύπτει άµεσα. Εστω ότι η µοναδικότητα του τύπου ισχύει για p-οµάδες µε τάξη µικρότερη της G και ϑα την αποδείξουµε για την οµάδα G. Ας υποθέσουµε ότι η G έχει δύο τύπους και ας τους παραστήσουµε µε τον ακόλουθο τρόπο για την καλύτερη παρακολούθηση της απόδειξης : (p, p,..., p, p λ 1, p λ 2,..., p λν ) και (p, p,..., p, p κ 1, p κ 2,..., p κτ ) (6.3.1) t ν σ τ µε 1 < λ 1 λ 2 λ ν, 1 < κ 1 κ 2... κ τ και t ν + λ 1 + λ 2 + + λ ν = n = σ τ + κ 1 + κ 2 + + κ τ. (6.3.2) Θεωρούµε τώρα την pg G. Η pg έχει τάξη αυστηρά µικρότερη της G και σύµφωνα µε την Πρόταση 6.3.2 οι αντίστοιχοι τύποι της είναι οι (p λ 1 1, p λ 2 1,..., p λν 1 ) και (p κ 1 1, p κ 2 1,..., p κτ 1 ). Για τους τύπους αυτούς ισχύει ότι 1 λ 1 1 λ ν 1, 1 κ 1 1 κ τ 1 και ϐέβαια ταυτίζονται από την υπόθεση της µαθηµατικής επαγωγής. Επο- µένως ν = τ και λ 1 = κ 1,..., λ ν = κ ν. (6.3.4) Επίσης από τις σχέσεις (6.3.2) και (6.3.4) ισχύει ότι t ν = σ ν t = σ. Άρα οι δύο τύποι της G που αναφέρονται στις σχέσεις (6.3.1) είναι ίσοι, γεγονός που αποδεικνύει τη µοναδικότητα του τύπου της G και αποδεικνύει το Θεώρηµα.

156 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Ο τύπος της αβελιανής οµάδας τάξης p n για έναν πρώτο αριθµό p και ένα ϑετικό ακέραιο n καθώς και η σπουδαιότητα αυτής της έννοιας για τον χα- ϱακτηρισµό των οµάδων, όπως αυτή προκύπτει από το Θεώρηµα 6.3.4, µας οδηγεί στην ανάγκη του επόµενου ορισµού. Ορισµός 6.3.5 Εστω n 1 ένας ϕυσικός αριθµός. ιαµέριση (partition) του n καλούµε µία ακολουθία ϕυσικών αριθµών s 1, s 2,..., s t µε τις ιδιότητες 1 s 1 s 2 s t και n = s 1 +s 2 + +s t. Τη διαµέριση αυτήν τη συµβολίζουµε ως (s 1, s 2,..., s t ). Παραδείγµατα 6.3.6 1. Εστω G µία αβελιανή οµάδα τάξης p 3. Οι δυνατοί τύποι της G σύµφωνα µε το Θεώρηµα 6.3.4 είναι (p, p, p), δηλ. G Z p Z p Z p, (p, p 2 ), δηλ. G Z p Z p 2, p 3, δηλ. G Z p 3. Στο επόµενο ϑεώρηµα προσδιορίζεται το πλήθος των µη ισόµορφων αβελιανών οµάδων τάξης p n για έναν πρώτο ϕυσικό αριθµό p σε σχέση µε τις δυνατές διαµερίσεις του ϕυσικού αριθµού n. Θεώρηµα 6.3.7 Εστω p ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός και n ένας ϕυσικός αριθµός. Το πλήθος των µη ισόµορφων αβελιανών οµάδων τάξης p n είναι ίσο µε το πλήθος των διαµερίσεων του ϕυσικού αριθµού n. Απόδειξη Ας συµβολίσουµε µε A = {[G] G αβελιανή οµάδα τάξης p n }, δηλαδή το σύνολο των κλάσεων των ισόµορφων αβελιανών οµάδων τάξης p n και µε Β το σύνολο των διαµερίσεων του ϕυσικού αριθµού n. Θεωρούµε την αντιστοιχία f A B, [G] (s 1, s 2,..., s t ), όπου G Z p s 1 Z p s 2 Z p s t Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι η f είναι αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση.

Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.4 Ταξινόµηση των π.π. αβελιανών οµάδων 157 Παραδείγµατα 6.3.8 1. Το πλήθος των µη ισόµορφων αβελιανών οµάδων τάξης p 4 είναι όσο το πλήθος των (διακεκριµένων) διαµερίσεων του 4. Οι διαµερίσεις του 4 είναι οι : (4), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 3). Ετσι οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης p 4 είναι πλήθους 4 και είναι οι : Z p 4, Z p Z p Z p Z p, Z p Z p Z p 2, Z p Z p 3 Ασκήσεις 1. Να υπολογίσετε τις µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης p 5, όπου p είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός. 2. Να αποδείξετε ότι η προσθετική οµάδα ενός πεπερασµένου σώµατος είναι τύπου (p, p,..., p). 3. Να αποδείξετε ότι µία αβελιανή οµάδα τάξης p k και τύπου (p k 1, p k 2,..., p k t), όπου p είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός, περιέχει p t 1 στοιχεία τάξης p. 6.4 Ταξινόµηση των πεπερασµένα παραγόµενων αβελιανών οµάδων Στο εδάφιο αυτό ϑα συνδυάσουµε τα συµπεράσµατα των προηγουµένων δύο εδαφίων για να οδηγηθούµε στην ταξινόµηση των πεπερασµένων αβελιανών οµάδων. Θα ξεκινήσουµε µε ένα παράδειγµα. Να υπολογίσουµε όλες τις µη ι- σόµορφες οµάδες τάξης 36. Παρατηρούµε ότι 36 = 2 2 3 2. Σύµφωνα µε το Θεώρηµα 6.2.2 κάθε τέτοια οµάδα αναλύεται σε ευθύ άθροισµα G 2 G 3, όπου G 2 είναι η µοναδική Sylow 2-υποοµάδα της τάξης 2 2 και ανάλογα ορίζεται η G 3 µε τάξη 3 2. Οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης 2 2 είναι οι διαµερίσεις του 2, οι οποίες είναι : (1, 1) και 2. Οι οµάδες αυτές είναι οι : Z 2 Z 2 και Z 2 2. Οµοια οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης 3 2 είναι οι Z 3 Z 3 και Z 3 2. Εποµένως οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης 36 είναι οι :

158 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων i. Z 2 Z 2 Z 3 Z 3 ii. Z 2 Z 2 Z 3 2 ii. Z 2 2 Z 3 Z 3 iv. Z 2 2 Z 3 2 Παρατηρούµε ακόµη ότι i. Z 2 Z 2 Z 3 Z 3 Z 2 Z 3 Z 2 Z 3 Z 6 Z 6, γιατί (2, 3) = 1, και εποµένως η οµάδα Z 2 Z 3 είναι κυκλική. Οµοια ii. Z 2 Z 2 Z 3 2 Z 2 Z 2 3 2, iii. Z 2 2 Z 3 Z 3 Z 3 Z 2 2 3 και iv. Z 2 2 Z 3 2 Z 36. Βλέπουµε, λοιπόν, ότι οι προσθετέοι για κάθε µία από τις ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης 36 µπορούν να επιλεγούν έτσι ώστε η τάξη του ενός προσθετέου να διαιρεί την τάξη του επόµενου. Παρατηρούµε ότι οι τάξεις των προσθετέων για τις οµάδες i. έως iv., δηλαδή οι : (6, 6), (2, 2 3 2 ), (3, 2 2 3), (36) ώστε 6 6, 2 2 3 2, 3 2 2 3, 36 ορίζονται µοναδικά. Ετσι µπορούµε να οδηγηθούµε στο επόµενο ϑεώρηµα εφαρµόζοντας και το Θεώρηµα 6.1.1. Θεώρηµα 6.4.1 (Θεµελιώδες Θεώρηµα των πεπερασµένα παραγόµενων (π.π.) αβελιανών οµάδων). Εστω G µία πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα. Τότε G Z (s) Z m1 Z m2 Z mτ, (6.4.1) για ϕυσικούς αριθµούς s, m 1, m 2,..., m τ που ορίζονται µοναδικά για την G και ικανοποιούν τις συνθήκες s 0, 2 m 1, m i m i+1, 1 i τ 1.

Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.4 Ταξινόµηση των π.π. αβελιανών οµάδων 159 Απόδειξη Σύµφωνα µε το Θεώρηµα 6.1.1 (ϐλ. επίσης Πρόταση 6.1.2) ισχύει ότι G = A Π, όπου A Z s είναι το άπειρο µέρος της G και είναι µία ελεύθερη αβελιανή οµάδα µε πεπερασµένη ϐαθµίδα, έστω s 0, και Π είναι το πεπερασµένο µέρος της G, έστω τάξης n <. Ας υποθέσουµε ότι n = t p s i i i=1 είναι η ανάλυση του n σε γινόµενο διακεκριµένων πρώτων p 1, p 2,..., p t. Τότε Π = G p1 G pt, όπου G pi είναι η Sylow p i -υποοµάδα της Π (ϐλ. Θεώρηµα 6.2.2). Κάθε οµάδα G pi, 1 i t, αναλύεται σε ευθύ άθροισµα κυκλικών οµάδων µε µοναδικό τρόπο σύµφωνα µε τον τύπο της (ϐλ. Θεώρηµα 6.3.4). Τώρα µπορούµε να εφαρµόσουµε την τεχνική που είδαµε στο παράδειγµα της αρχής του εδαφίου αυτού και οδηγούµαστε στην απόδειξη του Θεωρήµατος. Ας παρατηρήσουµε µόνον ότι αν µας δοθούν πεπερασµένου πλήθους δυνάµεις πρώτων αριθµών, µπορούµε να διατάξουµε γινόµενα αυτών ώστε ο πρώτος εξ αυτών να διαιρεί τον δεύτερο, ο δεύτερος τον τρίτο κ.ο.κ. Ορισµός 6.4.2 Ο αριθµός s στη σχέση (6.4.1) λέγεται ελεύθερη ϐαθµίδα ή Betti αριθµός της οµάδας G. Οι ϕυσικοί αριθµοί m 1, m 2,..., m τ της σχέσης (6.4.1) λέγονται αναλλοίωτοι παράγοντες (invariant factors) της G. Η α- νάλυση της οµάδας G, όπως δίνεται στη σχέση (6.4.1) λέγεται ανάλυση της G κατά τους αναλλοίωτους παράγοντές της (docomposition in invariant factors). Παραδείγµατα 6.4.3 1. Θα υπολογίσουµε τις µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης p 2 q 4 και ϑα τις αναλύσουµε κατά τους αναλλοίωτους παράγοντες κάθε µίας. Οι προσθετικές αναλύσεις του 2 είναι : και του 4: (2), (1, 1) (4), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 3), (2, 2). Άρα σύµφωνα µε το Θεώρηµα 6.4.1 οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες p 2 q 4 είναι οι :

160 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων i. Z p 2 Z q 4 Z p 2 q 4 ii. Z p 2 Z q Z q Z q Z q Z q Z q Z q Z p 2 q iii. Z p 2 Z q Z q Z q 2 Z q Z q Z p 2 q 2 iv. Z q 2 Z q 2 Z q 2 Z q Z p 2 q 2 v. Z p Z p Z q 4 Z p Z pq 4 vi. Z p Z p Z q Z q Z q Z q Z q Z q Z pq Z pq vii. Z p Z p Z q Z q Z q 2 Z q Z pq Z pq 2 viii. Z p Z p Z q2 Z q 2 Z pq 2 Z pq 2. Ας δούµε τώρα µία ενδιαφέρουσα εφαρµογή του Θεωρήµατος 6.4.1, που είναι το περιεχόµενο της επόµενης πρότασης. Πρόταση 6.4.4 Η πολλαπλασιαστική οµάδα ενός πεπερασµένου σώµατος είναι κυκλική. Απόδειξη Εστω F ένα πεπερασµένο σώµα µε F = p n, όπου p είναι ένας πρώτος αριθµός για n 1 ϕυσικός αριθµός (ϐλ. Παράρτηµα Γ1). Η πολλαπλασιαστική οµάδα F του σώµατος F έχει p n 1 στοιχεία και ϐέβαια είναι αβελιανή. Εποµένως, σύµφωνα µε το Θεώρηµα 6.4.1 αναλύεται κατά τους αναλλοίωτους παράγοντές της σε ευθύ γινόµενο κυκλικών οµάδων F α 1 α 2 α s, για κάποιον ϕυσικό αριθµό s και α i F, 1 i s, ώστε και α i = ord(α i ), 1 i s ord(α i ) ord(α i+1 ), 1 i s 1, δηλ. οι αναλλοίωτοι παράγοντες της F είναι οι ord(α i ), 1 i s. Αυτό, όµως, σηµαίνει ότι η τάξη κάθε στοιχείου του F διαιρεί την τάξη του στοιχείου α s. Εστω ord(α s ) = r. Αφού ord(α) r, για κάθε στοιχείο α F, έπεται ότι α r = 1. Άρα κάθε στοιχείο του F είναι ϱίζα του πολυωνύµου x r 1 F [x] και επειδή το x r 1 έχει το πολύ r ϱίζες στο F, προκύπτει ότι p 1 r. Οµως, ο r ως τάξη ενός στοιχείου της οµάδας F (του στοιχείου α s ) πρέπει να διαιρεί την τάξη της F, δηλ. r (p 1) και συνεπώς r p 1. Εποµένως r = p 1. Συµπεραίνουµε, λοιπόν, ότι υπάρχει ένα στοιχείο α s F µε ord(α s ) = F. Εποµένως, η F είναι κυκλική οµάδα και F = α s.

Κεφάλαιο 6 Εδάφιο 6.4 Ταξινόµηση των π.π. αβελιανών οµάδων 161 Ασκήσεις 1. Να υπολογίσετε τις µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης : i. 96, ii. 360, iii. 200 2. Να υπολογίσετε τους αναλλοίωτους παράγοντες των αβελιανών οµάδων µε τάξη 180. 3. Εστω n = t i=1 p e i i η ανάλυση του ϕυσικού αριθµού n σε γινόµενο διακεκριµένων πρώτων. Να αποδείξετε ότι Z n Z p e 1 1 Z p e t t. 4. Να αποδείξετε ότι αν η τάξη µίας πεπερασµένης αβελιανής οµάδας δεν διαιρείται από το τετράγωνο ϕυσικού αριθµού, τότε είναι κυκλική. 5. Να αποδείξετε ότι µία πεπερασµένη µη κυκλική αβελιανή οµάδα περιέχει µία υποοµάδα τύπου (p, p) για κάποιον πρώτο ϕυσικό αριθµό. 6. Να υπολογίσετε πόσα στοιχεία τάξης p 2 έχει η οµάδα Z p Z p 2, όπου p είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός.

162 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων