Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ, τότε φ(α)χ=φ(λ)χ Ορισμός και πρώτες ιδιότητες χαρακτηριστικού πολυωνύμου Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σχέση ιδιοτιμών με ίχνος και ορίζουσα Όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο Συνιστώμενες ασκήσεις: -4, 7a,b -9, -6, 9, -4 Συμβολισμός: V είναι πεπερασμένης διάστασης -διανυσματικός χώρος, όπου a Αληθεύει ότι το είναι ιδιοτιμή της γραμμικής απεικόνισης 4 4 f :, f ( x, y, z, w) ( x w, y z, z w, x w) ; Αληθεύει ότι το (, 0,, ) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης f :, f ( x, y, z) ( x y,x y z, x y z) c Έστω f : η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από f ( e ) e, f ( e ) e, ή όπου e { e, e} είναι η συνήθης βάση του Να υπολογιστούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της f όταν i) και ii) Δώστε μια γεωμετρική ερμηνεία του αποτελέσματος στο i ) a Έστω 5 5 44 4 και X 5 5 Είναι το X ιδιοδιάνυσμα του ; Είναι το 6 ιδιοτιμή του ; b Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του 0 4 0 Να βρεθούν οι πιθανές ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης f : V V σε κάθε μια από τις επόμενες περιπτώσεις a f, b c f f V f, 0 4 Έστω με ( x ) x x x a Είναι ο αντιστρέψιμος; b Είναι ο ( I)( 4 I) αντιστρέψιμος; c Υπολογίστε την ορίζουσα του 5I d Να βρεθεί το ( x) e Αληθεύει ότι υπάρχει B τέτοιος ώστε k B B για κάποιο θετικό ακέραιο k ;
Ασκήσεις 9 k t t f Αληθεύει ότι υπάρχει ακέραιος k με, όπου είναι ο ανάστροφος του ; 5 Έστω, B, όπου ο είναι αντιστρέψιμος Δείξτε ότι B( x) B( x) (Σημείωση: Ισχύει το συμπέρασμα και χωρίς την υπόθεση ότι ο Α είναι αντιστρέψιμος, βλ άσκηση 7) 6 Έστω αντιστρέψιμος και ( x ) ( ) x x x 0, οπότε 0 0 Δείξτε ότι ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x 0 0 0 7 Έστω και ( x) [ x] a Δείξτε ότι αν το είναι ιδιοτιμή του με αντίστοιχο ιδιοδιάνυμσα X, τότε το ( ) είναι ιδιοτιμή του ( ) με αντίστοιχο διάνυσμα το X b Έστω 0 4 0 Βρείτε (χωρίς να γίνουν πράξεις) μια ιδιοτιμή και ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα του B 8 45 I 8 c Έστω ότι Δείξτε ότι για κάθε ιδιοτιμή του ( ) υπάρχει ιδιοτιμή i του τέτοια ώστε ( i ) a Για ποια a το (,) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης f :, f ( x, y) ( x ay, x y) ; b Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των γραμμικών απεικονίσεων i f :, f ( x, y, z) (4 x,y 5 z, y z), ii g :, f ( x, y, z) (4 x,y 5 z, y z) 9 Δίνεται η γραμμική απεικόνιση f : [ x] [ x], με f x x x x ( ), f ( x ) x, f () x a Βρείτε τα ιδιοδιανύσματα της f και μια βάση για κάθε ιδιόχωρο της f b Αληθεύει ότι η f είναι ισομορφισμός; 4 c Αληθεύει ότι η f 6 f 4 V είναι ισομορφισμός; 4 d Βρείτε δύο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα της f 6 f 4 V 0 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των γραμμικών απεικονίσεων g : [ x] [ x], g( ( x)) x () h : [ x] [ x], h( ( x)) ( x), όπου ( x) είναι η παράγωγος του ( x) Έστω ( a ij ) τέτοιος ώστε για κάθε j,,, ισχύει Έστω a Υπάρχει μη μηδενικό b Αν ο είναι αντιστρέψιμος και X τέτοιο ώστε X X b ij i a ij Δείξτε τα εξής ( ), τότε για κάθε j,,, ισχύει bij i
Ασκήσεις 0 0 0 0 a 0 0 0 a 0 0 a 0 0 a a Δείξτε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι το ( ) ( x a x a0) b Δείξτε ότι αν είναι μια ιδιοτιμή του, τότε το t είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 Έστω f, g : V V δυο γραμμικές απεικονίσεις a Έστω ότι f g g f και v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της f με v ker g Τότε το g( v ) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της f b Έστω v ένα ιδιοδιάνυσμα και της f και της g Τότε για κάθε ( x), ( x) [ x] το v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της ( f ) ( g) 5 Έστω δυο ιδιοτιμές μιας γραμμικής απεικόνισης f : V V με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα u, v Τότε a τα u, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα και b για κάθε a, b {0}, το au bv δεν είναι ιδιοδιάνυσμα της f 6 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του 4 5 0 55 C 0 0 0 0 0 0 0 0 7 Έστω Αποδείξτε ότι οι ακόλουθες ιδιότητες είναι ισοδύναμες a Ο είναι αντιστρέψιμος b O σταθερός όρος του ( x ) είναι μη μηδενικός c Το 0 δεν είναι ιδιοτιμή του 8 Έστω αντιστρέψιμος a Δείξτε ότι το είναι ιδιοτιμή του αν και μόνο αν το είναι ιδιοτιμή του b Έστω ότι ο είναι όμοιος με τον και περιττός Δείξτε ότι το ή το είναι ιδιοτιμή του 44 9 Έστω τέτοιο ώστε ( x ) [ x ], det, Tr ( ) 4 και μια ιδιοτιμή του είναι το i Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του
Ασκήσεις 0 Ξέρουμε ότι όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο Αληθεύει ότι όμοιοι πίνακες έχουν τα ίδια ιδοδιανύσματα; Έστω αντιστρέψιμος Δείξτε ότι αν ο είναι όμοιος με τον, τότε το είναι άρτιος,, και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι της μορφής ( x )( x ), j t Βρείτε τους ιδιόχωρους της γραμμικής απεικόνισης f :,, όπου Θεωρούμε δυο διαγώνιους πίνακες a b, B a b Δείξτε ότι οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες a Οι, B είναι όμοιοι b Υπάρχει μετάθεση S τέτοια ώστε bi a ( i) για κάθε i,, c ( x) B( x) 4 a Έστω Δείξτε ότι ( x ) ( ) x αν και μόνο αν κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με 0 b Να βρεθούν όλοι οι τέτοιοι ώστε ( x ) x 5 Βρείτε το χαρακτηριστικό πoλυώνυμο, τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του a b b b b a b b b b a b b b b a 6 Έστω a, b με a b Δείξτε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του 0 a a a b 0 a a b b 0 a b b b 0 ( ) είναι το a( x b) b( x a) ab 7 Έστω και B Δείξτε ότι ( ) x ( x) ( ) x ( x) (Συνεπώς αν, τότε B ( x) ( x) ) B 8 Έστω a,, a, b,, b και C aib j B B Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη άσκηση ή αλλιώς βρείτε το C ( x ) και τις ιδιοτιμές του C 9 Έστω και 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο, τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Για κάθε ιδιοτιμή του, βρείτε τη διάσταση του -διανυσματικού χώρου X X X
Ασκήσεις 0 Έστω V ένας -διανυσματικός χώρος και f : V V μια γραμμική απεικόνιση Έστω ότι, είναι δυο ιδιοτιμές της f τέτοιες ώστε Θέτουμε V ( ) Ker( f ) και V ( ) Ker( f ) V a Δείξτε ότι V ( ) V ( ) {0 V } b Έστω x V ( ) V ( ) Δείξτε ότι αν το x είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της f, τότε x V ( ) ή x V ( ) B B Έστω, B, C και D Τότε B B a ( x) ( x) ( x) C B B b ( x) ( x) ( x) D ib ib, B είναι όμοιοι, όπου c Αν οι ιδιοτιμές του είναι οι,,, τότε οι ιδιοτιμές του Έστω a, b Δίνεται ότι οι πίνακες Να βρεθούν οι a, b a 0 0 0 a b, B 0 0 b 0 0 Να βρεθεί τo χαρακτηριστικό πολυώνυμο της γραμμικής απεικόνισης είναι οι,,, 0,,0 f f f, όπου f :, f ( x, y, z) (0, x, y) 4 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Σε κάθε περίπτωση δώστε μια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα a Αν το είναι ιδιοτιμή του και το είναι ιδιοτιμή του B, τότε το είναι ιδιοτιμή του B b Αν το είναι ιδιοτιμή του και το είναι ιδιοτιμή του B, τότε το είναι ιδιοτιμή του B c Κάθε έχει τουλάχιστον μια πραγματική ιδιοτιμή d Κάθε έχει τουλάχιστον μια πραγματική ιδιοτιμή e Αν το είναι ιδιοτιμή του τότε το είναι ιδιοτιμή του f Αν το είναι ιδιοτιμή του, όπου, τότε το είναι ιδιοτιμή του g Αν ( x) ( x), όπου, B, τότε οι, B είναι όμοιοι B h Έστω ότι οι Α, Β είναι όμοιοι Τότε οι ( ), ( B) είναι όμοιοι για κάθε ( x) [ x] i Υπάρχει με ιδιοτιμές τις 0,,, j Αν v είναι ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης f : V V και v ker f, τότε το 0 είναι ιδιοτιμή της f k Έστω με ( x ) ( x )( x 5) Τότε υπάρχει γραμμική απεικόνιση f : και διατεταγμένη βάση του με f (,0,0) (,0,0) και ( f :, ) l Έστω Αν το είναι ιδιοτιμή του, τότε υπάρχει μη μηδενικό X I με X V X
Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Λύση a Σύμφωνα με τον ορισμό της ιδιοτιμής, το είναι ιδιοτιμή της f αν και μόνο αν υπάρχει μη μηδενικό 4 ( x, y, z, w) με f ( x, y, z, w) ( x, y, z, w) Παρατηρούμε ότι f ( x, y, z, w) ( x, y, z, w) ( x w, y z, z w, x w) ( x, y, z, w) x w x y z y z w z x w w x w 0 z 0 z w 0 x w 0 x z w 0, y 4 Άρα το είναι ιδιοτιμη της f (και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα (0, y,0,0), όπου y 0 ) Υπολογίζοντας βρίσκουμε f (, 0,, ) (,,,) Από τη σχέση αυτή είναι σαφές ότι δεν υπάρχει με f (,0,, ) (,0,,) Άρα το (,0,, ) δεν είναι ιδιοδιανυσμα της f b Έστω και ( z, y, z) Έχουμε ( ) x y 0 f ( x, y, z) ( x, y, z) x ( ) y z 0 x y ( ) z 0 Το σύστημα () έχει μη τετριμμένη λύση ως προς x, y, z αν και μόνο αν 0 det 0 ( ) det ( ) det 0 ( )(( )( ) ) ( ) 0 ( )(( )( ) ) 0 ( )( )( ) 0,, Άρα οι ιδιοτιμές είναι,, Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : y 0 y 0 Για, το σύστημα () γίνεται x y z 0 που ισοδυναμεί με το Οι λύσεις του x z 0 x y z 0 τελευταίου είναι x(, 0, ), x Άρα τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στη είναι τα x(,0, ), x {0} Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : ()
Ασκήσεις 4 x y 0 x y 0 Για, το σύστημα () γίνεται x y z 0 που ισοδυναμεί με το Οι λύσεις x y z 0 x y 0 αυτού είναι x(,, ), x Άρα τα ζητούμενα ιδιοδιανύσματα είναι τα x(,, ), x {0} Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : x y 0 x y 0 Για, το σύστημα () γίνεται x z 0 που ισοδυναμεί με το Οι λύσεις αυτού x z 0 x y z 0 είναι x(,, ), x Άρα τα ζητούμενα ιδιοδιανύσματα είναι τα x(,, ), x {0} c Για (, ) f ( x, y) xf ( e ) yf ( e ) xe ye ( y, x) Έστω Τότε x y έχουμε x y 0 f ( x, y) ( x, y) Ζητάμε μη μηδενικές λύσεις του συστήματος ως προς x, y Έχουμε x y 0 det ( ) i) Έστω Τότε ( ) 0 για κάθε και άρα το παραπάνω σύστημα έχει μόνο τη μηδενική λύση Άρα δεν υπάρχουν ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα της f ii) Έστω Τότε το σύστημα έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν ( ) 0, δηλαδή αν και x y 0 μόνο αν i, i Άρα οι ιδιοτιμές είναι οι i, i Λύνοντας το σύστημα για τις τιμές x y 0 αυτές βρίσκουμε αντίστοιχα τα ιδιοδιανύσματα x( i,), x {0} και x( i,), x {0} Γεωμετρική ερμηνεία του i) Η f παριστάνει στροφή κατά 90 ο στη φορά της κίνησης των δεικτών του ρολογιού Άρα δεν υπάρχει ευθεία U που διέρχεται από το (0,0) τέτοια ώστε f ( U ) U Συνεπώς η f δεν έχει ιδιοδιάνυσμα U f(u) Η ευθεία U δεν απεικονίζεται στον εαυτό της Λύση a Έχουμε 5 5 5 5 0 0 Επειδή, το είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του Έχουμε 0 0
Ασκήσεις 5 5 5 5 5 det( 6 I4) det 0, 5 5 5 5 γιατί στον τελευταίο πίνακα δυο γραμμές είναι ίσες Άρα το 6 είναι μια ιδιοτιμή του Α b Έχουμε x ( x) det( xi) det 0 x 4 0 x x 4 ( x)det ( x ) ( x ) x και άρα οι ιδιοτιμές είναι, Ιδιoδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : Έχουμε x 0 x x 0 ( I) X 0 0 4 x 0 4x 4x 0 0 x 0 x x 0 και το τελευταίο σύστημα ισοδυναμεί με το x x 0 που έχει λύσεις τις x 0 x x 0 x, x, x x 0 x 0 Άρα τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα x x 0 x, x, x, όπου τουλάχιστον ένα από x 0 τα x, x δεν είναι 0 Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : x 0 x x x 0 ( I) X 0 0 4 x 0 x 4x 0 0 x 0 x 4x 0 x x x 0 x x 0 Οι λύσεις του τελευταίου συστήματος είναι x x x, x x x Άρα τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή είναι τα x x, x {0} x Λύση: Έστω ότι υπάρχει μια ιδιοτιμή λ της f με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα v Τότε f ( v) v, v 0 Επομένως a f v f f v f v f v v ( ) ( ( )) ( ) ( ) Οι πιθανές ιδιοτιμές έχουν ως εξής f f ( v) v v v Αφού v 0, έχουμε V, οπότε
Ασκήσεις 6 b f f f ( v) f ( v) v v v Αφού v 0, έχουμε, οπότε 0, c 0 ( ) 0 0 Αφού v 0, παίρνουμε 0 f f v v 4 Λύση a Όχι, γιατί ο σταθερός όρος του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του είναι 0 (βλ Πρόταση 5 ) b Έχουμε ( x ) x ( x )( x ) και άρα οι ιδιοτιμές του είναι 0,, Αφού το δεν είναι ιδιοτιμή του, έχουμε det( I) 0 Όμοια det( 4 I) 0 Άρα det(( I )( 4 I )) det( I )det( 4 I )) 0 και ο ( I)( 4 I) είναι αντιστρέψιμος c Έχουμε det( 5 I ) det(( 5 I )( I )) det( 5 I ) det( I ) (5) ( ) 600 d Επειδή 0,, είναι ιδιοτιμές του, οι 0,, είναι ιδιοτιμές του (Παράδειγμα 0 ) και επειδή ο είναι πίνακας αυτές είναι όλες οι ιδιοτιμές του Άρα ( x) x( x )( x 4) k k k k e Υπόδειξη: Θεωρήστε ίχνη στη σχέση B B για να λάβετε 0 0, που είναι άτοπο k f Όπως στο d βλέπουμε ότι οι ιδιοτιμές του είναι οι 0,, k και επομένως το δεν είναι ιδιοτιμή του k Όμως το είναι ιδιοτιμή του t 5 Λύση: Από τη σχέση ( B) B έπεται ότι οι B, B είναι όμοιοι και άρα έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο (βλ Πρόταση 8) 6 Λύση: Ξέρουμε ότι 0 det (Πρόταση 5) Επειδή ο είναι αντιστρέψιμος έχουμε det 0 Εργαζόμενοι με ρητές συναρτήσεις και χρησιμοποιώντας ιδιότητες οριζουσών έχουμε ( x) det xi det xi det I x det ( ) det x I det ( ) x det I 0 ( ) 0 x ( ) x x ( ) 0 x ( ) 0 x x x ( ) ( ) 0 0 0 x x x 7 a Βλ Παράδειγμα 0 b Λύση: Λόγω της δεύτερης στήλης του Α (που είναι της μορφής E ), μια ιδιοτιμή αυτού είναι το και ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι το 0 X E 0 8 45 Από το a έπεται ότι μια ιδιοτιμή του B είναι το ( ) ( ) και ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι το X c Λύση: Είναι σαφές ότι ισχύει το ζητούμενο αν το ( x) c είναι σταθερό πολυώνυμο, γιατί τότε ( ) ci και κάθε ιδιοτιμή του ci είναι ίση με το c Ξέρουμε ότι ο έχει τουλάχιστον μια ιδιοτιμή Αν i είναι οποιαδήποτε ιδιοτιμή του, τότε ( i ) Οι παραπομπές της μορφής Θεώρημα, αναφέρονται στο Μέρος ΙΙ του βιβλίου Μια Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Δ Βάρσος, Δ Δεριζιώτης, Ι Εμμανουήλ, Μ Μαλιάκας, Α Μελάς, Ο Ταλέλλη, Εκδόσεις Σοφία, 0, ISBN: 978-960-6706-6-
Ασκήσεις 7 Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι deg ( x) Έστω μια ιδιοτιμή του ( ) με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα X Από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας (βλ Θεώρημα 5) υπάρχουν c,,, k, c 0, τέτοια ώστε ( x) c( x )( x ) Άρα έχουμε ( ) I c( I )( k I ) και από ( ( ) I ) X 0 παίρνουμε c( I )( I ) X 0 Επειδή X 0 και c 0, συμπεραίνουμε ότι κάποιος πίνακας i I έχει ορίζουσα ίση με 0 Άρα το i είναι ιδιοτιμή του Έχουμε ( i ) Σημείωση: Βλ Θεώρημα 6 για ένα ισχυρότερο αποτέλεσμα a 8 a Λύση Έστω Έχουμε f (,) (,) Παρατηρούμε ότι το τελευταίο σύστημα έχει λύση ως προς αν και μόνο αν a bαπάντηση Υπάρχει μοναδική ιδιοτιμή 4 και το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων είναι {( x,0,0) x 0} Οι ιδιοτιμές είναι 4, i, i με αντίστοιχα σύνολα ιδιοδιανυσμάτων τα { x(,0,0) x 0},{ x(0, i,) x 0}, k { x(0, i,) x 0} k 9 Λύση a Εύκολα επαληθεύεται ότι τα σύνολο { v, v, v } είναι βάση του [ x] (πώς;) όπου v x x, v x, v Επειδή f ( v ) x x v 0v 0 v, f ( v ) x ( x ) 0v v v, f ( v) x ( x ) 0v v v, ο πίνακας της f ως προς την προηγούμενη διατεταγμένη βάση είναι 0 0 0 0 To χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι x 0 0 det 0 x ( x)(( x) ) ( x)( x)( x) 0 x και επομένως οι ιδιοτιμές της f είναι οι,, Ενδεικτικά υπολογίζουμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή Είναι βολικό να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω βάση για παραστάσεις πολυωνύμων Έστω λοιπόν ( x) av bv cv [ x] με f ( ( x)) ( x) Έχουμε f ( ( x)) f ( av bv cv ) af ( v ) bf ( v ) cf ( v ) a( v ) b( v v ) c( v v ) ( a) v ( b c) v ( b c) v Άρα από την ισότητα f ( ( x)) ( x) παίρνουμε a a b c b b c c
Ασκήσεις 8 και επομένως a 0, b c υτό σημαίνει ότι τα ιδιοδιανύσματα της f που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή είναι τα bv bv b( x ) b bx b, b {0} και μια βάση του ιδιόχωρου V f () είναι το { v v}, Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχουν στην ιδιοτιμή είναι τα av, b {0}, και μια βάση του ιδιόχωρου V f () είναι το { v }, και τα ιδιοδιανύματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή είναι τα bv, {0}, bv b και μια βάση του ιδιόχωρου V f () είναι το { v v} b Επειδή το 0 δεν είναι ιδιοτιμή της f, η f είναι ισομορφισμός c Επειδή οι,, είναι ιδιοτιμες της f, καθεμιά από τις (), (), () είναι ιδιοτιμή της ( f ) Για 4 4 4 ( x) x 6x 4, το () 0 είναι ιδιοτιμή της f 6 f 4 V Άρα η f 6 f 4 V δεν είναι ισομορφισμός d Ξέρουμε ότι κάθε ιδιοδιάνυσμα της f είναι ιδιοδιάνυσμα της ( f ), για κάθε ( x) [ x] Συνεπώς κάθε δύο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα της f παραμένουν γραμμικά ανεξάρτητα 4 ιδιοδιανύσματα της f 6 f 4 V Μια επιλογή τέτοιων είναι, για παράδειγμα, τα v v, v όπως είδαμε στο υποερώτημα a Ότι αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα έπεται από το ότι αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές της f Φυσικά και με άμεσο υπολογισμό επαληθεύεται ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα 0 a Οι ιδιοτιμές είναι 0, με αντίστοιχα σύνολα ιδιοδιανυσμάτων τα { ax bx c [ x] a b c 0, ( a, b, c) (0,0,0)}, { bx [ x] b 0} b Υπάρχει μοναδική ιδιοτιμή, το 0, και το σύνολο των αντίστοιχων ιδιοδιανυσμάτων είναι { ax bx c [ x] a b 0, c 0} a Λύση: Αρκεί να δειχτεί ότι το είναι ιδιοτιμή του Παρατηρούμε ότι το είναι ιδιοτιμή του καθότι από τον πολλαπλασιασμό πινάκων έχουμε a i i t a i i Από την Πρόταση έπεται ότι το είναι ιδιοτιμή του b Υπόδειξη: Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη σχέση, δείξτε ότι Υπόδειξη: a Χρησιμοποιείστε επαγωγή και το ανάπτυγμα ορίζουσας του det( xi ) b a a 0 a a 0 0 Υπόδειξη: Ένας τρόπος λύσης είναι να παρατηρήσουμε ότι ο πίνακας της άσκησης είναι ο ανάστροφος ενός πίνακα της προηγούμενης άσκησης και να εφαρμόσουμε την Πρόταση Απάντηση: ( ) ( x ) 4 Υπόδειξη για το b: Με τρόπο όπως στο Παράδειγμα 0, αποδεικνύεται ότι ( f )( v) ( ) v, όπου v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή t 5 Λύση: a Έστω ότι au bv 0, ()
Ασκήσεις 9 όπου a, b Τότε επειδή η f είναι γραμμική έχουμε 0 f (0) f ( au bv) af ( u) bf ( b) au bv δηλαδή, au bv 0 () Από την () παίρνουμε au bv 0 οπότε αφαιρώντας τη () παίρνουμε b( ) v 0 Επειδή v 0 (το v είναι ιδιοδιάνυσμα), έχουμε b( ) 0 και επειδή παίρνουμε b 0 Τότε από την () έχουμε au 0, οπότε a 0 αφού u 0 b: Έστω ότι υπάρχουν a, b, με f ( au bv) ( au bv) Έχουμε f ( au bv) af ( u) bf ( v) au bv και άρα au bv au bv Από το προηγούμενο ερώτημα τα u, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα και επομένως παίρνουμε a a, b b Αν ήταν a 0 και b 0, τότε θα είχαμε, άτοπο από την υπόθεση Δείξαμε ότι δεν υπάρχει στοιχείο της μορφής au bv, όπου a, b {0}, που είναι ιδιοδιάνυσμα της f B 6 Υπόδειξη : Ο D είναι της μορφής D, όπου, B, 0 C ( x) ( x) ( x) (βλ Πρόταση 4) Με πράξεις βρίσκουμε D C ( x) x x 4, C ( x) ( x )( x 5 x) C και ξέρουμε ότι 7 Υπόδειξη: Ξέρουμε ότι ο σταθερός όρος του ( x ) είναι το γινόμενο των ιδιοτιμών του (Πρόταση 5 και Πρόταση 6) 8 Υπόδειξη για το b: Στη λύση της άσκησης 6 είδαμε ότι ( ) ( ) (det ) ( ) x Δείξτε ότι από την προηγούμενη σχέση έπεται ότι αν ( x ) ( x )( x ), i, τότε ( x) ( x)( x) Άρα αν,, είναι οι ιδιοτιμές του, τότε,, είναι πάλι οι n ιδιοτιμές του (με ενδεχομένως άλλη σειρά) Χρησιμοποιήστε την εξής παρατήρηση: Αν X είναι ένα πεπερασμένο σύνολο με περιττό πλήθος στοιχείων και f : X X μια απεικόνιση τέτοια ώστε f X, τότε υπάρχει x X με f ( x) x 9 Βλ Παράδειγμα μετά το Πόρισμα 7 x x 0 0 Απάντηση: Όχι γενικά Για παράδειγμα, οι πίνακες, είναι όμοιοι, το 0 0 ιδιοδιάνυσμα του πρώτου και όχι του δεύτερου (Αποδείξτε τους ισχυρισμούς αυτούς) είναι Λύση: Επειδή ο είναι όμοιος με τον έχουμε det det( ) Αλλά det( ) ( ) det, οπότε det ( ) det Επειδή det 0, έχουμε ( ), δηλαδή ο είναι άρτιος, Επειδή ο είναι όμοιος με τον έχουμε ( x) ( x) σύμφωνα με την Πρόταση 8, δηλαδή ( x ) det( xi ) Αλλά
Ασκήσεις 0 det( xi ) det( ( xi )) ( ) det( xi ) det( xi ) ( x) Άρα ( x) ( x) Από την τελευταία σχέση έπεται ότι αν ( x ) x a x a x a 0, τότε ai 0 για κάθε περιττό i Άρα υπάρχει μονικό πολυώνυμο ( x) [ x] βαθμού, τέτοιο ώστε ( x ) ( x ) Από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας υπάρχουν,,, τέτοια ώστε ( x) ( x )( x ) Επίσης υπάρχουν,, τέτοια ώστε ( x ) ( x ) ( x )( x ) Σημείωση: Μια άλλη λύση θα δούμε στις Ασκήσεις4,, Άρα Απάντηση: Οι ιδιόχωροι είναι οι () t t V, V ( ), δηλαδή το σύνολο των συμμετρικών πινάκων και το σύνολο των αντισυμμετρικών πινάκων αντίστοιχα Υπόδειξη: Οι συνεπαγωγές a b, b c είναι άμεσες Για τη c a, έστω ότι ( x) B ( x) Τότε οι, B έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές Οι ιδιοτιμές του είναι οι a, a,, a και οι ιδιοτιμές του B είναι οι b, b,, γιατί οι, B είναι διαγώνιοι πίνακες Άρα υπάρχει μετάθεση S τέτοια ώστε b για κάθε i,, i b a ( i) O πίνακας είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης f : f ( e ) a e, i,,, i i i όπου { e, e,, e } είναι μια διατεταγμένη βάση του Έχουμε ( i) ( i) ( i) i ( i) f ( e ) a e b e Άρα ο πίνακας B είναι ο πίνακας της ίδιας γραμμικής απεικόνισης f : διατεταγμένη βάση { e, e, e } του Συνεπώς οι, B είναι όμοιοι a b 4 Απάντηση για το b: c a, όπου () (), ( ) a bc που ορίζεται από ως προς τη 5 Υπόδειξη: Το ( x ) μπορεί να υπολογιστεί με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών και στηλών του πίνακα xi (Για παράδειγμα, ξεκινήστε προσθέτοντας στην πρώτη στήλη του xi κάθε άλλη στήλη Στη συνέχεια μετατρέψτε τον πίνακα σε άνω τριγωνικό αφαιρώντας την πρώτη γραμμή από κάθε άλλη γραμμή) Απάντηση: Το χαρακτηριαστικό πολυώνυμο είναι ( x ) ( ) ( x a ( ) b )( x a b ), οι ιδιοτιμές είναι a ( ) b (με πολλαπλότητα ) και a b (με πολλαπλότητα ), και οι ιδιόχωροι είναι V ( ) E E και
Ασκήσεις V ( ) E E, E E,, E E, όπου E,, E είναι η συνήθης βάση του 6 Υπόδειξη: Πρώτα εφαρμόστε στον xi την ακολουθία στοιχειωδών πράξεων γραμμών,,, και δείξτε αναπτύσσοντας την ορίζουσα του προκύπτοντος πίνακα ότι det( xi ) ( x a)det( xi ) ( ) a( x b), Στη συνέχεια, εργαζόμενοι με στήλες δείξτε ότι det( xi ) ( x b)det( xi ) ( ) b( x a), Από τις δυο σχέσεις προκύπτει το ζητούμενο Σημείωση: Η δεύτερη σχέση προκύπτει άμεσα εφαρμόζοντας την πρώτη σχέση στον ανάστροφο του xi 7 Υπόδειξη: Δείξτε την εξής ισότητα ( ) ( ) πινάκων B xi I 0 I 0 xi 0 xi B I B I 0 B xi 8 Λύση a ος τρόπος Έστω και B b b a Τότε από τον πολλαπλασιασμό πινάκων έχουμε C B και ο B είναι ο πίνακας ( Tr( C)) ( a b a b ) Από την προηγούμενη άσκηση παίρνουμε x ( ) ( ) x ( x) B B B( ) ( ) x B( x) ( ) x ( x Tr( C)) ( ) x ( x Tr( C)), δηλαδή ( x ) ( ) x C ( x Tr ( C )) Άρα: Αν Tr( C) 0, τότε υπάρχει μοναδική ιδιοτιμή, το 0 (με πολλαπλότητα ) Αν Tr( C) 0, τότε οι ιδιοτιμές είναι 0 (με πολλαπλότητα ) και Tr( C) ab a b (με πολλαπλότητα ) a ος τρόπος Έστω και B b b a Τότε από τον πολλαπλασιασμό πινάκων έχουμε C B και ο B είναι ο πίνακας ( Tr( C)) ( a b a b ) Επίσης C ( B) B ( TrC) C Θεωρούμε ότι C Από C ( TrC) C έπεται ότι αν είναι μια ιδιοτιμή του C, τότε 0 ή TrC Επειδή το άθροισμα των ιδιοτιμών του C είναι ίσο με TrC (Πρόταση 7), συμπεραίνουμε ότι οι ιδιοτιμές του C είναι οι 0,,0,TrC Άρα ( x ) ( ) x C ( x Tr ( C )) Σημείωση: Ένας άλλος τρόπος απόδειξης του ( x ) ( ) x C ( x Tr ( C )) προκύπτει με βάση την άσκηση 6 ii) του βιβλίου 9 Λύση: Έστω ο δοσμένος πίνακας Αναπτύσσοντας την ορίζουσα του
Ασκήσεις x 0 0 0 x 0 xi 0 x 0 0 0 x ως προς την πρώτη γραμμή έχουμε x 0 0 x det( xi ) x det ( ) det x 0 0 x 0 0 x 0 0 Αναπτύσσουμε τις δυο ορίζουσες στο δεξιό μέλος ως προς την τελευταία γραμμή και έχουμε det( xi ) x det( xi ) det( xi ) ( ) ( ) ( ) ( ) Με βάση την προηγούμενη σχέση, μια εύκολη επαγωγή στο δίνει det( xi ) ( x ) ( x ) για κάθε, δηλαδή ( x) ( x) ( x ) Άρα οι ιδιοτιμές είναι, και η καθεμιά έχει πολλαπλότητα Λύνοντας το σύστημα ( I ) X 0 για βλέπουμε ότι ο αντίστοιχος ιδιόχωρος παράγεται από το σύνολο E E, E E,, E E, όπου E,, E είναι η συνήθης βάση του Όμοια, για βλέπουμε ότι ο αντίστοιχος ιδιόχωρος παράγεται από το E E, E E,, E E Αν τότε a ( E E ) a( E E ) a ( E E ) 0, ai, a E a E a E a E a E a E 0 και επειδή τα E,, E είναι γραμμικά ανεξάρτητα παίρνουμε a a a 0 Δηλαδή το E E, E E,, E E είναι γραμμικά ανεξάρτητο Επομένως είναι μια βάση του ιδιόχωρου που αντιστοιχεί στο Όμοια, το σύνολο E E, E E,, E E είναι μια βάση του ιδόχωρου που αντιστοιχεί στο Άρα καθένας από τους ιδιόχωρους έχει διάσταση Σημείωση: Μπορεί να δοθεί άλλη λύση που βασίζεται στην παρατήρηση ότι I (άσκηση) 0 Λύση a v V ( ) V ( ) f ( v) v v ( ) v 0 v 0 καθώς b Έστω x u v, u V ( ), v V ( ) Έστω ότι το x είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της f, δηλαδή x 0 V και f ( x) x για κάποιο Επειδή f ( x) f ( u v) f ( u) f ( v) u v έχουμε x u v u v u v ( ) u ( ) v V ( ) V ( ) οπότε από το προηγούμενο υποερώτημα παίρνουμε ( ) u ( ) v 0 V Αν ήταν u 0 V και v 0 V, τότε θα είχαμε 0, άτοπο Άρα u 0 V ή v, οπότε αντίστοιχα ισχύει x v V ( ) ή x u V ( ) 0 V
Ασκήσεις a Λύση: Με στοιχειώδεις πράξεις γραμμών στον πίνακα C xi (αφαιρούμε τις γραμμές,,,v από τις γραμμές v, v,, v αντίστοιχα) έχουμε xi B xi B det( C xi ) det det B xi B ( xi ) xi B xi B det B xi B xi Με στοιχειώδεις πράξεις στηλών στον τελευταίο πίνακα (προσθέτουμε στις στήλες,,,v τις στήλες v, v,, v αντίστοιχα) έχουμε xi B xi B B det det B xi B xi B xi ( B xi ) B xi B xi B det det( B xi )det( B xi ) 0 B xi ( x) ( x) B B b Υπόδειξη: Τροποποιήστε κατάλληλα την απόδειξη του a c Προκύπτει άμεσα από το a για B Υπόδειξη: Από την Πρόταση 8 έχουμε ( x) ( x) Απάντηση: a b 0 Απάντηση: ( x) x f 4 Απάντηση 0 0 0 a Λ Παράδειγμα: Το είναι ιδιοτιμή του, το είναι ιδιοτιμή του, αλλά το 0 0 0 0 0 0 0 δεν είναι ιδιοτιμή του 0 0 0 0 0 0 0 b Λ Παράδειγμα: Το είναι ιδιοτιμή του, το είναι ιδιοτιμή του, αλλά το 0 0 0 00 0 0 0 δεν είναι ιδιοτιμή του 0 00 0 0 0 c Λ Παράδειγμα: Ο δεν έχει ιδιοτιμή (στο ) αφού το χαρακτηριστικό 0 πολυώνυμό του είναι το x d Σ Πράγματι, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι περιττού βαθμού και έχει πραγματικούς συντελεστές Από την Πρόταση 8 έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα e Σ Έπεται από το Παράδειγμα 0 για και ( x) x Έχουμε () f Λ Παράδειγμα: 0 0 B
Ασκήσεις 4 0 g Λ Παράδειγμα: I και 0 B Τότε ( x) B ( x) ( x ), αλλά οι 0, B δεν είναι όμοιοι γιατί αν υπήρχε αντιστρέψιμος P με B P P, τότε B P IP I, άτοπο h Σ Απόδειξη: Από την υπόθεση υπάρχει αντιστρέψιμος P με B P P Με μια άμεση επαγωγή αποδεικνύεται ότι k k B P P για κάθε θετικό ακέραιο k (πως;) Έστω ότι ( x) a n nx ax a0 Τότε n n ( B) a B a B a I a P P a P P a P P n n n 0 0 n 0 P ( a a a I ) P P ( ) P, δηλαδή ( B) P ( ) P και άρα οι ( ), ( B) είναι όμοιοι i Λ Πράγματι, το πολυώνυμο ( x ) έχει βαθμό και άρα δεν μπορεί να έχει περισσότερες από ρίζες στο j Σ Πράγματι, έχουμε v 0 και f ( v) 0 0v k Λ Έστω ότι υπάρχουν f και με τις δοσμένες ιδιότητες Από f (,0,0) (,0,0) έχουμε ότι το είναι μια ιδιοτιμή της f και άρα είναι μια ιδιοτιμή του ( f :, ) σύμφωνα με την Πρόταση 6 Αλλά το δεν είναι ρίζα του ( x ) ( x )( x 5) l Σ Αφού το είναι ιδιοτιμή του, το ( ) είναι ιδιοτιμή του Άρα υπάρχει μη μηδενικό X με X X