Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής Το θεώρηµα Hellma- Feyma Έστω ένα κβαντικό σύστηµα που περιγράφεται από τη Χαµιλτωνιανή Ĥ. Έστω ότι η Ĥ εξαρτάται από Hˆ Hˆ λ. Από την ίδια παράµετρο λ προφανώς εξαρτώνται οι κάποια παράµετρο λ, ( ) ιδιοσυναρτήσεις ψ ψ ( λ) και οι ιδιοτιµές Ε Ε ( λ) Ĥ λ. είξτε ότι: ( ) Ε Έστω ότι Ĥ ( λ) ψ ( λ) Ε ( λ) ψ ( λ). Στην περίπτωση αυτή: + + ( ) ( ) ( ) ψ ( λ) Ε ( λ) ψ ( λ) ψ λ Ĥ λ ψ λ d d Ĥ + ( λ) Ε ( λ) ψ ( λ) ψ ( λ) Υποθέτοντας ότι οι ιδιοσυναρτήσεις ( ) + ψ ( ) ( ) λ ψ λ d λαµβάνουµε Ĥ ( λ) Ε ( λ) λ έχουµε: d ψ λ είναι κανονικοποιηµένες δηλαδή ότι. Παραγωγίζοντας ως προς την παράµετρο ( ) Ε ( λ) Ĥ λ Εναλλάσσοντας την παραγώγιση ως προς λ µε το σύµβολο της µέσης τιµής καταλήγουµε στη διατύπωση του θεωρήµατος Hellma-Feyma: Ĥ λ ( ) Ε ( λ) Χρησιµοποιώντας τη σχέση: Ε + Ĥ Ψ () Ψ()d ή ισοδύναµα Ĥ λ ( ) Ε ( λ) (θεώρηµα Hellma-Feyma) όπου λ παράµετρος, να δειχθεί ότι στην περίπτωση αρµονικού ταλαντωτή για τη µέση δυναµική ενέργεια ισχύει: 0
Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής E ( + / ) ω V Εν συνεχεία υπολογίστε τη µέση κινητική ενέργεια T καθώς και τις µέσες τιµές των και p. Η Χαµιλτωνιανή του απλού αρµονικού ταλαντωτή είναι: ˆ ˆp H + mωˆ m Εκλέγοντας ως παράµετρο λ την κυκλική συχνότητα ω έχουµε: Ĥ mωˆ ω Επίσης δεδοµένου ότι Ε ( +/ ) ω προκύπτει: Ε ( + / ) ω Συνεπώς, το θεώρηµα Hellma-Feyma δίνει: Ĥ Ε mω ( + / ) ω ω Πολλαπλασιάζοντας τη σχέση αυτή µε ω έχουµε: Φυσικά αφού ( + / ) ω Ε mω V E V, εύκολα προκύπτει ότι για την κινητική ενέργεια θα έχουµε επίσης: Για τα T και p εύκολα βρίσκουµε: p E ( + / ) ω m ( + / ) ω ( + / ) mω mω p ( + / ) ω p ( + / )m ω m Το θεώρηµα virial Με αφετηρία τη σχέση: d A Aˆ A,H ˆ ˆ + dt i t υπολογίστε το ρυθµό µεταβολής της µέσης τιµής p. Αποδείξτε ότι για στάσιµες καταστάσεις καταλήγουµε στο θεώρηµα virial: όπου T είναι η κινητική ενέργεια και V το δυναµικό. T dv d 0
Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής Εφαρµόζουµε τη σχέση που δίνει το ρυθµό µεταβολής της µέσης τιµής θεωρώντας ως Aˆ ˆˆ p.  Προφανώς 0, οπότε οφείλουµε να υπολογίσουµε το µεταθέτη: t A,H ˆ ˆ ˆˆ p ˆ,H θεωρώντας ως: ˆp Hˆ V() ˆ ˆ m + Άρα: ˆp ˆ ˆ ˆp ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ p ˆˆ ˆ ˆ,H p, + V() p, + p,v() m m Υπολογίζουµε τον πρώτο µεταθέτη: ˆp ˆˆ p, { ˆ ˆp ˆ ˆ ˆ ˆ,p,p + p } m m Όµως ˆp ˆ,p 0 ενώ ˆ,p ˆ i i ˆp, οπότε ο πρώτος µεταθέτης ισούται µε: ˆp. m Υπολογίζουµε τώρα το δεύτερο µεταθέτη: ˆˆ p ˆ ˆ ˆ,V() ˆ ˆ ˆp,V() ˆ ˆ,V() ˆ + ˆp Όµως ˆ,V() ˆ ˆ 0 ενώ ˆ dv ˆp,V() ˆ i. d Συνολικά θα έχουµε: d p d p i dv p dv p i dt i m d dt m d Στις στάσιµες καταστάσεις η πυκνότητα πιθανότητας αλλά και όλες οι αναµενόµενες τιµές είναι d p ανεξάρτητες του χρόνου, δηλαδή 0. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα η προηγούµενη σχέση να dt δώσει το θεώρηµα virial: p dv dv T m d d Να αποδειχθεί ότι σε τρισδιάστατο ισότροπο αρµονικό ταλαντωτή ισχύει η σχέση: mω < > ( ν + 3 / ) όπου ν είναι ο συνολικός δονητικός κβαντικός αριθµός. Η Χαµιλτωνιανή του ισότροπου αρµονικού ταλαντωτή είναι: Ĥ + m ω( + y + z ) m Σε τρισδιάστατο ισότροπο αρµονικό ταλαντωτή είναι γνωστό ότι για τις ενεργειακές στάθµες θα ισχύει: 03
Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής όπου: E ( + + + 3/ ) ω ( ν + 3/ ) ω y z i 0,,,...(i,y,z) και ν ο συνολικός δονητικός κβαντικός αριθµός ( ) ν + y + z. Το θεώρηµα virial στις τρεις διαστάσεις γενικεύεται ως εξής: V V V T r V + y + z y z Για το πρόβληµά µας V V V T + y + z mω + mω y + mω z y z Συνεπώς T V T V < > ( ν + 3/ ) ω m mω < > ( ν + 3 / ) Μονοδιάστατα ροβλήµατα και εκφυλισµός Αποδείξτε ότι οι ενεργειακές στάθµες των δέσµιων καταστάσεων σωµατιδίου σε τυχόν µονοδιάστατο δυναµικό δεν είναι ποτέ εκφυλισµένες. E Υποθέτουµε ότι το συµπέρασµα δεν ισχύει και ότι υπάρχουν δύο γραµµικά ανεξάρτητες ιδιοσυναρτήσεις ψ ( ) και ψ () µε την ίδια ενέργεια (εκφυλισµός). Έστω δηλαδή ότι ισχύει: m V (E V) m ψ + ψ Εψ ψ ψ m V (E V) m ψ + ψ Εψ ψ ψ ιαιρώντας κατά µέλη: ψ ψ ψψ ψψ 0 ψ ψ Όµως ισχύει ( ψψ ) ψψ ψψ + ( ψψ ) ψψ + ψψ απ' όπου αφαιρώντας κατά µέλη διαπιστώνουµε ότι: ( ψψ ) ( ψψ ) ψψ ψψ 0 Η ολοκλήρωση της τελευταίας δίνει: ( ψψ ) ( ψψ ) + c Η σχέση αυτή ισχύει για κάθε άρα και για ±, όπου ψ() 0 και ψ() 0, εποµένως: 04
Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής 0 0+ c c 0 οπότε έχουµε: ψ ψ ψ ψ απ' όπου µε εκ νέου ολοκλήρωση λαµβάνουµε: lψ lψ + c ψ cψ 3 Το τελευταίο αποτέλεσµα οδήγησε σε γραµµική εξάρτηση των ψ, ψ µονοδιάστατα δέσµια προβλήµατα δεν είναι εκφυλισµένα. αντίθετα µε την υπόθεση, άρα τα είξτε ότι στα µονοδιάστατα δέσµια προβλήµατα οι ιδιοσυναρτήσεις ψ () της Ĥ µπορούν να εκλεγούν πραγµατικές. Γράφουµε την εξίσωση του Schrödiger Ĥ ψ() E ψ() : d ψ() + ψ V() () E ψ() m d Λαµβάνουµε τη µιγαδική συζυγή της () θεωρώντας πραγµατικό δυναµικό V () V() : d ψ() + V() ψ() E ψ() () m d Οι εξισώσεις () και () δηλώνουν ότι οι ιδιοσυναρτήσεις ψ () και ψ () ικανοποιούν την ίδια εξίσωση του Schrödiger. Όµως στα µονοδιάστατα δέσµια προβλήµατα δεν υπάρχει εκφυλισµός και εποµένως οι ψ () και ψ () θα πρέπει να είναι γραµµικώς εξαρτηµένες. ηλαδή: () ψ() c ψ() (3) Λαµβάνοντας εκ νέου τη µιγαδική συζυγή της (3) θα έχουµε: ψ() c ψ() (4) Πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη τις (3) και (4) έχουµε: Εποµένως: Συνεπώς η (3) δίνει: ψ ψ ψ() ψ() cc () () c c iδ c c e c e i δ ψ iδ ψ() e (), δηλαδή οι ψ () και ψ () i θα διαφέρουν κατά µια αυθαίρετη φάση e δ. Εκλέγοντας δ 0 έχουµε: ψ() ψ() και άρα οι ψ () εκλέγονται πραγµατικές. 05
Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής Χρονική εξέλιξη (ρυθµός µεταβολής) της µέσης τιµής Αποδείξτε τη σχέση που δίνει το ρυθµό µεταβολής της µέσης τιµής: d Α Aˆ A,H ˆ ˆ + dt i t Σύµφωνα µε τον ορισµό της, η µέση τιµή δίνεται από το ολοκλήρωµα: A + Ψ (,t)a ˆ Ψ(,t)d Συνεπώς παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο λαµβάνουµε: d A dt + Ψ (,t)â Ψ (,t)d + t + + Â Ψ (,t) Ψ(,t)d + t ˆ Ψ(,t) Ψ (,t)a d t Υπογραµµίζουµε ότι η πράξη παραγώγισης t εναλλάσσεται µε την ολοκλήρωση ως προς. Το δεύτερο ολοκλήρωµα είναι εξ ορισµού η µέση τιµή 06  t ολοκληρώµατα θα δώσουν A,H ˆ ˆ i. Ψ(,t) Ο όρος λαµβάνεται µέσω της εξίσωσης του Schrödiger: t Ψ(,t) Ψ(,t) H ˆΨ(,t) Ĥ Ψ(,t) i t t i Προφανώς: Εποµένως: Ψ (,t) Ĥ Ψ(,t) t i + +. Αρκεί λοιπόν να δείξουµε ότι τα δύο ( ) ˆˆ Ψ,t AH Ψ(,t)d H ˆΨ(,t) A ˆΨ(,t)d i i + + ˆˆ Ψ (,t)ah Ψ(,t)d Ψ (,t)ha ˆˆ Ψ(,t)d i όπου χρησιµοποιήσαµε την ερµιτιανότητα του τελεστή Ĥ. Το πρώτο ολοκλήρωµα ισούται µε AH και το δεύτερο µε HA. Συνολικά θα λάβουµε: Συνεπώς: { AH HA } A,H ˆ ˆ i i
Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής d A Aˆ A,H ˆ ˆ + dt i t Για ελεύθερο σωµάτιο µάζας m να δειχθεί ότι η ποσότητα G ˆ tp ˆ m ˆ αποτελεί σταθερά της κίνησης. d < G > Για να αποδείξουµε ότι η Ĝ είναι σταθερά της κίνησης θα πρέπει 0 ή ισοδύναµα: dt d < G > Gˆ < G,H ˆ ˆ > + dt i t όπου ˆp Ĥ (για το ελεύθερο σωµάτιο το δυναµικό είναι µηδέν). Άρα: m d < G > tp,p ˆ ˆ m,p ˆ ˆ + < p > dt mi mi d < G > m ˆ, ˆp 0 < > + < p > i < p > + < p > dt i m i d < G > < p > + < p > 0 dt Το ρόβληµα των δύο σωµάτων στην Κβαντική Μηχανική ύο σωµάτια κινούνται σε µία διάσταση υπό την επίδραση δυναµικού V( ), συνάρτησης της σχετικής απόστασής τους. Να δειχθεί ότι η κβαντική Χαµιλτωνιανή του συστήµατος µπορεί να χωρισθεί σε συντεταγµένες κέντρου µάζας m + m X m + m και σχετικής απόστασης. Η Χαµιλτωνιανή Ĥ του συστήµατος θα είναι: Ĥ + V( ) m m Θεωρούµε το µετασχηµατισµό: m + m X, m + m Συνεπώς: X m + + X (m + m ) X Οµοίως: 07
Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής Άρα: και Εποµένως η Χαµιλτωνιανή Ĥ γράφεται: m (m + m ) X m m + + M X M X m m +, M m + m M X M X m m Ĥ + + V() M X m M X M X m M X (m + m ) Ĥ + + V() M X m m Όµως + (όπου µ η ανηγµένη µάζα του συστήµατος) και M m + m. Τελικά, η Ĥ m m µ γράφεται: Ĥ + V() M X µ Ο πρώτος όρος της ανωτέρω σχέσης, περιγράφει την ελεύθερη κίνηση του κέντρου µάζας, ενώ οι δύο επόµενοι όροι περιγράφουν την σχετική κίνηση των δύο σωµατιδίων. ύο σωµατίδια µε µάζες m,m αλληλεπιδρούν µε δυναµικό V(, ) της µορφής: 0, 0 L, σε κάθε άλλη περίπτωση V(, ) Να βρεθούν τα ενεργειακά επίπεδα. Η Χαµιλτωνιανή των δύο αυτών σωµατιδίων θα είναι: ˆ Η + V( ) m m Θέτουµε: m + m, X m + m Με την αλλαγή αυτή µεταβλητών, η Χαµιλτωνιανή γράφεται: Ηˆ + V() µ M X mm όπου µ είναι η ανηγµένη µάζα µ και M είναι η συνολική µάζα M m m m + m +. Είναι φανερό ότι το αρχικό πρόβληµα µπορεί τώρα να διαχωριστεί σε δύο επιµέρους: Στο πρόβληµα της σχετικής κίνησης των δύο σωµατιδίων: 08
Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής ĤR + V() µ Στο πρόβληµα της ελεύθερης κίνησης του κέντρου µάζας: Ĥ C M X Το πρώτο πρόβληµα, λόγω της µορφής του δυναµικού V(), είναι πρόβληµα απειρόβαθου φρέατος δυναµικού µε ενεργειακά επίπεδα E π,,,,... µ L 3 Το δεύτερο πρόβληµα έχει συνεχές ενεργειακό φάσµα µε ιδιοτιµές τις θετικές ποσότητες E CM. Άρα: π E ECM + µ L Συµµετρία των ιδιοσυναρτήσεων σε άρτιο δυναµικό είξτε ότι αν το δυναµικό V() είναι άρτιο, δηλαδή αν V() V( ), τότε οι ιδιοσυναρτήσεις της Ĥ, ψ () θα είναι άρτιες και περιττές. Γράφουµε την εξίσωση του Schrödiger για το δυναµικό V(): Ĥ ψ () E ψ () d ψ() + V() ψ() E ψ() () m d Θέτουµε στην () όπου το (αυτό ισοδυναµεί µε το να δράσει σε όλη την εξίσωση ο τελεστής της parity): 09 d ψ( ) + ψ ψ m d( ) V( ) ( ) E ( ) Όµως V() V( ),d( ) d και άρα d( ) ( d) d. Εποµένως: d ψ( ) + V( ) ψ( ) E ψ( ) () m d Οι () και () υποδεικνύουν ότι ψ( ) c ψ() (3) δεδοµένου ότι δεν υπάρχει εκφυλισµός. Θέτουµε εκ νέου στην (3) όπου το και λαµβάνουµε: ψ() c ψ( ) (4) Πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη τις (3) και (4) έχουµε: Για c η (3) δίνει: ενώ για c ψ() ψ( ) c ψ() ψ( ) c c ± ψ( ) ψ() (άρτιες ιδιοσυναρτήσεις) ψ( ) ψ() (περιττές ιδιοσυναρτήσεις)
Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής Αποδείξτε ότι σε ένα κεντροσυµµετρικό µόριο η µέση τιµή της διπολικής ροπής για οποιαδήποτε ιδιοκατάσταση είναι µηδενική. Είναι αρκετό το γεγονός ότι το δυναµικό V() που περιγράφει το µόριο αυτό θα είναι άρτιο, δηλαδή θα ισχύειv() V( ). Χωρίς να µας απασχολεί η ακριβής µορφή του δυναµικού, γνωρίζουµε ότι οι ιδιοσυναρτήσεις ψ () της Ĥ θα είναι άρτιες και περιττές εναλλάξ. Η µέση τιµή της διπολικής ροπής υπολογίζεται µέσω του ολοκληρώµατος: + d q q ψ() ψ()d Το ολοκλήρωµα αυτό είναι µηδενικό ως ολοκλήρωµα περιττής συνάρτησης σε συµµετρικά άκρα. Πράγµατι το γινόµενο ψ() ψ () είναι σε κάθε περίπτωση µια περιττή συνάρτηση, υπογραµµίζοντας ότι η συνάρτηση f() είναι περιττή. Γενικευµένη σχέση αβεβαιότητας Έστω ΑΒ ˆ, ˆ ερµιτιανοί τελεστές, για τους οποίους ισχύει: Α,B ˆ ˆ id ˆ ( Α)( Β) Αˆ,Bˆ. είξτε ότι : Έστω Cˆ Aˆ + iλβˆ µε ˆ + ˆ+ C A i ˆ + λβ Aˆ iλβˆ αφού οι A,B ˆ ˆ είναι ερµιτιανοί και λ R. Cˆ + C ˆ (Aˆ i λβˆ )(Aˆ + i λβˆ ) Cˆ + ˆ ˆ ˆ C A i ˆAˆ i ˆAˆ Aˆ λβ λβ λβ λβˆ + + + + iλ A, ˆ Βˆ Έστω η δράση του Ĉ πάνω σε µια συνάρτηση: Ĉ Ψ Φ Φ Φ 0 Cˆ Ψ Cˆ Ψ 0 Ψ Cˆ + Cˆ Ψ 0 ˆ A ˆ Ψ Ψ + λ Ψ Β Ψ + iλ Ψ A, ˆ Βˆ Ψ 0 Α λ Β iλ A, ˆ Βˆ + + 0 Β λ D λ + Α 0 Η τελευταία έκφραση είναι τριώνυµο ως προς λ. Για να είναι το τριώνυµο µεγαλύτερο ή ίσο µε το µηδέν θα πρέπει η διακρίνουσα να είναι µικρότερη ή ίση µε το µηδέν. ηλαδή: Οι διασπορές των µεγεθών είναι: D 4 Α Β 0 Α Β ( Α) Α Α, ( Β) B B Χωρίς βλάβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι: 0 D 4
Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής Έτσι: Άρα Α Β 0 ( Α) Α και ( Β) B D D A,B ˆ ˆ ( Α)( Β) ( Α)( Β) 4 i ( Α)( Β) A,B ˆ ˆ Να αποδειχθεί ότι το γινόµενο αβεβαιότητας των τετραγώνων της θέσης και της ορµής ( )( p ) είναι πάντα µεγαλύτερο από το p + p. Θα εφαρµόσουµε τη γενικευµένη αρχή της αβεβαιότητας: ( Α )( Β ) ΑΒ ˆ, ˆ θεωρώντας ως A και Β p. Αρκεί λοιπόν να υπολογίσουµε το µεταθέτη ηλαδή: Όµως: διότι ˆ,p ˆ i. Άρα: διότι ως γνωστόν i. Συνεπώς: ˆ,p ˆ ˆ ˆ,p ˆ + ˆ,p ˆ ˆ ˆ,p ˆ ˆ,p ˆ ˆp + ˆp ˆ,p ˆ i ˆp ip + ip p + p ( )( p ) p + p ˆ,p. υναµικά ου διαφέρουν κατά µια σταθερά είξτε ότι αν ένα δυναµικό V() αυξηθεί κατά µία σταθερή ποσότητα V 0 για κάθε τιµή του, τότε οι λύσεις της ανεξάρτητης από το χρόνο εξίσωσης του Schrödiger δε µεταβάλλονται. Ποια µεταβολή υφίστανται οι ιδιοτιµές της ενέργειας; (α) Η εξίσωση του Schrödiger γράφεται: () V() () E () m ψ + ψ ψ
Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής Προσθέτουµε και στα δύο µέλη την ποσότητα V 0 ψ() οπότε και λαµβάνουµε: () V() V () E V () m ψ + + ψ + 0 0 ψ Όπως γίνεται άµεσα φανερό οι ιδιοσυναρτήσεις ψ () επαληθεύουν και τη νέα εξίσωση του Schrödiger µε το «αυξηµένο» κατά V 0 δυναµικό, ενώ οι ενέργειες E του αρχικού προβλήµατος αυξάνονται κατά V 0. Ένα σωµατίδιο µάζας m κινείται στο µονοδιάστατο δυναµικό V, L V() 0 0 < <, > L και < 0 Υπολογίστε τις ιδιοτιµές και τις ιδιοσυναρτήσεις. Ποια θα πρέπει να είναι η τιµή της σταθεράς V 0, ώστε η θεµελιώδης ενέργεια να ισούται µε µηδέν; Το πρόβληµα αυτό περιγράφει την κίνηση σωµατιδίου υπό την επίδραση του δυναµικού: το οποίο έχει ελαττωθεί οµοιόµορφα κατά V 0 H εξίσωση του Schrödiger για, L V() 0 0 < <, > L και < 0 0 L, παραλείποντας το σταθερό όρο θα είναι () E () m ψ ψ µε συνοριακές συνθήκες τις ψ( 0) 0, ψ( L) 0. Οι ιδιοσυναρτήσεις θα είναι Οι αντίστοιχες ιδιοτιµές της ενέργειας είναι π ψ () si, 3,,, L L π E, 3,,, ml Επαναφέροντας το σταθερό όρο, εύκολα βρίσκουµε: π E V 0, 3,,, ml Για να ισούται µε το µηδέν η θεµελιώδης ενέργεια θα πρέπει π π E V0 0 V0 ml ml
Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής Στάσιµες καταστάσεις και ελάχιστο του δυναµικού ˆp Αποδείξτε ότι ένα σωµατίδιο µε Χαµιλτωνιανή Hˆ Tˆ + Vˆ V() m + καταστάσεις µε ενέργεια µικρότερη από το ελάχιστο του δυναµικού. δεν έχει στάσιµες Αποδεικνύουµε αρχικά ότι σε στάσιµες καταστάσεις ισχύει: < Ĥ > Ε Πράγµατι αν Ĥψ Eψ, τότε < Hˆ > ψ Hˆ ψ ψ Eψ E Όµως ισχύει ψ ψ άρα Έχουµε λοιπόν Ĥ ψ ψ E Ο τελεστής της κινητικής ενέργειας ˆT είναι: Συνεπώς: όπου: E < T > + < V > E E V < T > d ˆp ˆT m m d dψ d( Ψ ) T Ψ < > d Ψ d m d m d dψ Ψ d Εποµένως: + < T > Ψ dψ Ψ Ψ Ψ dψ m m - Υποθέτοντας ότι το σωµατίδιο περιγράφεται από κυµατοσυνάρτηση Ψ ( ) τέτοια ώστε lim Ψ() ± Συνεπώς: 0 λαµβάνουµε: dψ dψ dψ T d < > 0 d > m d d m 0 d E V > 0 E > < V > V Εποµένως για στάσιµες καταστάσεις η ενέργεια πρέπει να είναι µεγαλύτερη του ελάχιστου του δυναµικού.( Η περίπτωση E Vmi θα παραβίαζε την αρχή της απροσδιοριστίας!) mi Χρησιµοποιώντας τα παραπάνω συµπεράσµατα αποδείξτε ότι για κίνηση στο δυναµικό: λ k V(), λ,k > 4 4 0 3
Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής δεν υπάρχει στάσιµη κατάσταση µε ενέργεια µικρότερη από k / 4 λ. Το συγκεκριµένο δυναµικό λ k V() 4 4 παρουσιάζει ελάχιστο εκεί όπου η πρώτη παράγωγος µηδενίζεται: 3 dv() 4λ k 3 0 λ k 0 ( λ k) 0 d 4 Τα πιθανά ακρότατα θα εντοπίζονται λοιπόν στα σηµεία: 0 και ± k / λ Μέσω της δεύτερης παραγώγου µελετούµε το είδος των ακρότατων: Για 0: dv() 3 λ k d dv() k < 0. Άρα το σηµείο 0 είναι σηµείο µεγίστου. d dv() k Για ± k /λ : 3λ k k > 0. Άρα τα σηµεία ± k /λ είναι σηµεία d λ ελαχίστου. Συνεπώς το ελάχιστο του δυναµικού θα είναι: k kk k Vmi V( ± λ k / λ) 4λ λ 4λ Με βάση το προηγούµενο συµπέρασµα: δηλαδή: E > V mi k E > 4λ Σχέση αβεβαιότητας ενέργειας χρόνου Να αποδειχθεί η σχέση αβεβαιότητας ενέργειας χρόνου Ε t. ιατυπώνουµε κατ αρχήν τη γενικευµένη σχέση αβεβαιότητας για ένα φυσικό µέγεθος Α και την ενέργεια Ε κάποιου συστήµατος: Α Ε A,H ˆ ˆ Η χρονική µεταβολή της µέσης τιµής κάποιου µεγέθους δίνεται από την εξίσωση του ρυθµού µεταβολής: d A Aˆ A,H ˆ ˆ + dt i t  Θεωρώντας ότι ο τελεστής δεν εξαρτάται εκπεφρασµένα από το χρόνο t 0 βρίσκουµε ότι: 4
Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής Συνεπώς: Ο όρος t Α d A /dt Α d A /dt ˆ d A A,Hˆ i dt d A Α Ε i, i dt d A Α Α Ε Ε dt d A / dt έχει διαστάσεις χρόνου και κατά συνέπεια µπορούµε να θέσουµε:. Το φυσικό νόηµα αυτής της αντικατάστασης είναι το ακόλουθο: ως t ορίζουµε το χρονικό διάστηµα που απαιτείται ώστε ένα φυσικό µέγεθος A να µεταβληθεί κατά Α, αν ο στιγµιαίος ρυθµός µεταβολής του είναι d A. Άρα dt Ε t Θεωρώντας ότι η ισχυρή πυρηνική αλληλεπίδραση συµβαίνει µε την ανταλλαγή πιονίων µεταξύ των νουκλεονίων ενός πυρήνα και αν η εµβέλεια του µεσονικού πεδίου είναι περίπου ίση µε το µέγεθος του νουκλεονίου ( ~ 4, fm), να υπολογιστεί η µάζα του πιονίου καθώς και ο χρόνος (διάρκεια) της αλληλεπίδρασης. Θα χρησιµοποιήσουµε την αρχή αβεβαιότητας ενέργειας χρόνου: E t Θα ερµηνεύσουµε ως Ε την επιπλέον ενέργεια που εµφανίζεται λόγω της παρουσίας του ενδιάµεσου φορέα και ως t τον χρόνο που διαρκεί αυτή η παραβίαση. ηλαδή: E mc και t c (l είναι η εµβέλεια της αλληλεπίδρασης ενώ υποθέτουµε ότι ο φορέας κινείται µε την ταχύτητα του φωτός c). Αντικαθιστώντας στην αρχή αβεβαιότητας έχουµε: Συνεπώς: mcl c l m 5 lc c 97, 37MeV fm m m 40MeV / c lc 4, fmc Ο χρόνος διάρκειας της αλληλεπίδρασης θα είναι t E mc c 97, 37MeV fm 3 4 t t 046, 0 s 46, 0 s 40MeV c 8 40MeV 3 0 m/s
Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής Προβλήµατα σε δύο ή τρεις διαστάσεις Ένα σωµατίδιο που κινείται στο επίπεδο (, y) αισθάνεται δυναµικό: είξτε ότι : ( ) ( ) + ( ) V,y V V y. (α) οι ιδιοσυναρτήσεις της Χαµιλτωνιανής γράφονται ως γινόµενο, Ψ (,y) X( ) Y ( y) (β) οι ιδιοτιµές γράφονται ως άθροισµα E E + Ey όπου X( ), Y ( y ) είναι οι ιδιοσυναρτήσεις των µονοδιάστατων προβληµάτων και E,E y οι αντίστοιχες ιδιοτιµές. Η εξίσωση του Schrödiger για το σωµατίδιο αυτό είναι ĤΨ(,y) EΨ(,y) (,y) Ψ(,y) Ψ + V,y + V y,y E,y m m y Έστω ότι Ψ (,y) X( ) Y ( y). Αντικαθιστώντας έχουµε: ( ) Ψ( ) ( ) Ψ( ) Ψ( ) Y y Y y + V X Y y + V y X Y y E X Y y m m Ψ,y X Y y λαµβάνουµε ( ) Χ ( ) Χ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ιαιρώντας την ανωτέρω σχέση µε ( ) ( ) ( ) X ( ) Y ( y) ( ) ( ) m X( ) m Y ( y) X ( ) Y ( y) V ( ) ( ) m X( ) m Y ( y) + V + V y E + V y + E Παρατηρούµε ότι το πρώτο µέλος εξαρτάται αποκλειστικά από τη µεταβλητή, ενώ το δεύτερο από τη µεταβλητή y. Για να είναι τα δύο µέλη ίσα θα πρέπει να ισούνται µε µια σταθερά έστω E. Άρα το αρχικό πρόβληµα έχει διαχωριστεί σε δύο επιµέρους µονοδιάστατα προβλήµατα: X ( ) + V ( ) E X ( ) + V( ) X( ) EX( ) m X m ( ) Y ( y) V ( y) Y ( y) EY y ( y) m +, όπου Ey E E X,Y y επαληθεύουν αντίστοιχες µονοδιάστατες εξισώσεις του Τα παραπάνω αποδεικνύουν ότι οι ( ) ( ) Schrödiger µε ιδιοτιµές Ε θα είναι το άθροισµα των E, E y. E, E : η συνολική Ψ (,y) θα είναι το γινόµενο των ( ) ( ) y X,Y y, ενώ η Να γραφεί η Χαµιλτωνιανή του ατόµου του He εάν αγνοήσουµε την άπωση e e. Ποια η 6
Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής θεµελιώδης ενεργειακή στάθµη; Προφανώς για δύο ηλεκτρόνια θα ισχύει: e e Ĥ m m r r, όπου αγνοήσαµε τον απωστικό όρο µεταξύ των ηλεκτρονίων e / r. Με την προϋπόθεση αυτή, παρατηρούµε ότι η Ĥ γράφεται ως: Hˆ Hˆ + Hˆ e, όπου Ĥ i i, i, m r ηλαδή, η Ĥ του He γράφεται ως άθροισµα δύο Χαµιλτωνιανών όπου η κάθε µια περιγράφει ένα e εντός του πεδίου Coulomb ενός υδρογονοειδούς µε Z. Κατά συνέπεια, η θεµελιώδης ενέργεια του ατόµου He θα ισούται µε: 4 4 4 mz e mz e 4me E, 08, ev Τονίζουµε ότι η πειραµατική τιµή της θεµελιώδους ενέργειας είναι E 786, ev. Η διαφορά αυτή οφείλεται κατά κύριο λόγο στο ότι αγνοήθηκε η θετική ενέργεια αλληλεπίδρασης ηλεκτρονίου ηλεκτρονίου. Το κοµβικό θεώρηµα (ή θεώρηµα της ταλάντωσης) Υποθέτουµε ότι ταξινοµούµε τις διακριτές ιδιοτιµές κατά αύξουσα σειρά: Ε < Ε <... Ε < Ε <... + 0 και έστω ψ, ψ,... ψ, ψ... 0 + οι αντίστοιχες ιδιοκαταστάσεις. είξτε ότι η -οστή ιδιοκατάσταση εµφανίζει κοµβικά σηµεία και κατά συνέπεια η θεµελιώδης δεν εµφανίζει κόµβους. (Κοµβικό καλείται το σηµείο εκείνο στο οποίο µια συνάρτηση µηδενίζεται ή ακριβέστερα αλλάζει πρόσηµο). i Η ύπαρξη κοµβικών σηµείων αυξάνει την καµπυλότητα της ιδιοσυνάρτησης ή ισοδύναµα ελαττώνει το µήκος κύµατος. Αυτό οδηγεί σε αύξηση της ενέργειας και κατά συνέπεια η ιδιοσυνάρτηση χαµηλότερης ενέργειας (η θεµελιώδης), δεν πρέπει να εµφανίζει κόµβους. Ας υποθέσουµε τώρα ότι η ψ εµφανίζει κάποιο πλήθος κοµβικών σηµείων, δύο εκ των οποίων θα τα καλέσουµε 0 και α. Οι καταστάσεις ψ καιψ + θα επαληθεύουν τις σχετικές εξισώσεις του Schrödiger: V m ψ + ψ Ε ψ V m ψ + + ψ + Ε + ψ + Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση µε ψ +, τη δεύτερη µε ψ και αφαιρώντας εν συνεχεία κατά µέλη, βρίσκουµε: m ψ ψ ψψ ( Ε Ε ) ψψ + + + + 7
Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής Με λίγη παρατηρητικότητα η προηγούµενη σχέση γράφεται m ( ψ ψ ψψ ) ( ) Ε Ε ψψ + + + + Ολοκληρώνοντας µε άκρα 0 και α έχουµε Αλλά ψ( 0) ψ( α) 0, οπότε α ( ψ ψ ψψ ) ( ) α m Ε Ε ψψ + + 0 + + 0 α ( ψ ψ ) ( ) α m Ε Ε ψψ + 0 + + 0 Επειδή τα σηµεία 0 και α είναι κοµβικά σηµεία της ψ, συµπεραίνουµε ότι η ψ θα έχει συγκεκριµένο πρόσηµο µεταξύ των δύο αυτών σηµείων (θα είναι πχ θετική) ενώ η παράγωγός της θα είναι θετική στο 0 (διότι από τις αρνητικές τιµές περνά στις θετικές) και αρνητική στο α (διότι από τις θετικές τιµές περνά στις αρνητικές). Ας υποθέσουµε επιπλέον τώρα ότι η ψ + δεν εµφανίζει κόµβους µεταξύ των 0 και α, οπότε θα είναι πχ θετική. Σε αυτήν όµως την περίπτωση, η ποσότητα ( ψ ψ m πρόσηµο ενώ η ποσότητα ( ) α Ε Ε ψψ + + 0 d d d ) α + 0 θα έχει αρνητικό θετικό. Αυτό καταρρίπτει την τελευταία υπόθεση ότι η ψ + δεν εµφανίζει κόµβους µεταξύ των 0 και α. Άρα η ψ + θα εµφανίζει ένα επιπλέον κοµβικό σηµείο σε σχέση µε την ψ. Στα επόµενα σχήµατα απεικονίζονται δύο ιδιοσυναρτήσεις Ψ( ), Φ ( ) κάποιου διατοµικού µορίου. Ποια αντιστοιχεί σε υψηλότερη ενεργειακή στάθµη; Περιγράφει κάποια από αυτές τη θεµελιώδη κατάσταση; Ψ( ) Φ( ) Παρατηρούµε ότι η Ψ () εµφανίζει ένα κοµβικό σηµείο ενώ η Φ () τρία. Εποµένως, µε βάση το κοµβικό θεώρηµα, περισσότερο ενεργειακά διεγερµένη είναι η Φ ( ). Σηµειώνουµε επίσης ότι καµία από τις δύο δεν περιγράφει τη θεµελιώδη κατάσταση, δεδοµένου ότι αυτή δεν πρέπει να εµφανίζει κόµβους. 8