ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑΣ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΉΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΕΠΤΩΝ ΥΔΡΟΤΟΜΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑΣ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΉΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΕΠΤΩΝ ΥΔΡΟΤΟΜΩΝ

Γραμμική θεωρία υδροτομών Θεωρούμε υδροτομή στο είεδο x,, και ομοιόμορφη ροή με ταχύτητα U. Η ροή είναι αράλληλη ρος τον θετικό άξονα των x, και το κέντρο των αξόνων συμίτει με το μέσο της χορδής της υδροτομής όταν αυτή έχει μηδενική γωνία ρόστωσης. Η άνω λευρά της υδροτομής εριγράφεται αό την εξίσωση ( x), ενώ η κάτω λευρά της υδροτομής εριγράφεται αό την εξίσωση ( x). Υοθέτουμε αστρόβιλη διδιάστατη ροή. Εστω φ το δυναμικό της ροής λόγω της αρουσίας της υδροτομής, δηλαδή το ολικό δυναμικό της ροής είναι ϕ Ux + φ. Οι δύο συνιστώσες της ταχύτητας του ρευστού είναι ( U + φ/ x, φ/ ). Το δυναμικό φ ικανοοιεί το ακόλουθο ρόβλημα οριακών τιμών: l φ () Σε κάθε σημείο του εριγράμματος της υδροτομής η ταχύτητα είναι αράλληλη με την εφατομένη της υδροτομής: φ / d ( x), l( x) () U + φ / Μακριά αό την υδροτομή η υδροδυναμική της είδραση τείνει στο μηδέν: φ για x, (3) Τέλος στο άκρο εκφυγής έχουμε την συνθήκη Ktta φ <. Η άνωση άνω στην υδροτομή δίνεται αό την ολοκλήρωση των δυνάμεων λόγω ιέσεων γύρω αό την υδροτομή: F ( p p ) n dl (4) Οου p είναι η ίεση του ρευστού ολύ μακριά αό την υδροτομή, και n ( nx, n) είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο ρος την ειφάνεια της υδροτομής με φορά ρος το ρευστό. Η ροή γύρω αό την αρχή των αξόνων ροκύτει αό την ολοκλήρωση των ροών των δυνάμεων λόγω ιέσεων γύρω αό την υδροτομή: M ( x( p p ) n + ( p p ) n ) dl O x ( p p )( n xn ) dl (5) x

Εφαρμόζοντας την αρχή Bernolli ανάμεσα σε τυχόν σημείο άνω στην υδροτομή και σε σημείο στο άειρο έχουμε: φ φ ( ( ) φ ( ) ) (6) p p ρ U + + x x Θεωρούμε τώρα ότι η υδροτομή είναι λετή, και ότι έχει μικρή κυρτότητα. Υοθέτουμε είσης ότι η γωνία ρόστωσης είναι μικρή. Τότε η θέση της υδροτομής διαφέρει κατά λίγο αό την ροβολή της στον άξονα x, και δικαιολογείται να κάνουμε τις εξής αραδοχές:. Οι ταχύτητες ου ροκαλεί η αρουσία της υδροτομής είναι ολύ μικρότερες αό την ταχύτητα U : φ << U.. Η οριακή συνθήκη () μορεί να εφαρμοστεί στην ροβολή της υδροτομής στον άξονα x, δηλαδή στο, / < x< /, αντί γιά την ραγματική θέση της υδροτομής. Η άνω λευρά της υδροτομής αντικαθίσταται αό την άνω λευρά του άξονα x, ου θα συμβολίζουμε με +, και η κάτω λευρά της υδροτομής αντικαθίσταται αό την κάτω λευρά του άξονα x,ου θα συμβολίζουμε με. 3. Εειδή d /, d / <<, μορούμε να θεωρήσουμε ότι n x,: n στην άνω λευρά της υδροτομής και n x, n στην κάτω λευρά. Με βάση τις αραδοχές και η οριακή συνθήκη () αντικαθίσταται αό τις ακόλουθες: φ d U +, x < (7 a) φ dl U, x < (7 b) Η εξίσωση του Laplae και η εξίσωση (3) αραμένουν φυσικά ως έχουν (με μόνη διαφορά ότι η εξίσωση του Laplae ισχύει τώρα σε όλο το είεδο έξω αό το ευθύγραμμο τμήμα, x < / ). Η συνθήκη Ktta αό την άλλη λευρά γράφεται ως εξής: < (8) φ, x / 3

Σχήμα: Το γραμμικοοιημένο ρόβλημα γιά το δυναμικό της υδροτομής. Λόγω της αραδοχής () η εξίσωση Bernolli (6) αλοοείται ως εξής: φ p p ρu x (9) Λόγω της αραδοχής (3) και της εξίσωσης (9) γιά ±, όου φ/ x φ/ l, συμεραίνουμε ότι n φ/ x φ/ l, όου φ / l είναι η αράγωγος αράλληλα ρος την γραμμικοοιημένη θέση της υδροτομής (θυμίζουμε ότι για ± αντίστοιχα φ/ l φ/ x).. Η έκφραση γιά την δυναμική άνωση γράφεται εομένως ως εξής: φ F ( p p ) ndl ρu dl () l Το ολοκλήρωμα στη εξίσωση () υολογίζεται στην γραμμικοοιημένη θέση της υδροτομής και είναι συνεώς ίσο με την κυκλοφορία γύρω αό το ευθύγραμμο τμήμα, x < /. Η εξίσωση () ειβεβαιώνει το γενικό αοτέλεσμα F ρuγ ου έχουμε αοδείξει με την βοήθεια του ου θεωρήματος του Blasis. Ομοίως η εξίσωση γιά την ροή αλοοιείται ως εξής: φ M O ρu x dl l () Οου άλι το ολοκλήρωμα υολογίζεται στην γραμμικοοιημένη θέση της υδροτομής. 4

Η γραμμικοοίηση του ροβλήματος μας αρέχει την διευκόλυνση ότι μορούμε να γράψουμε την λύση του ροβλήματος σαν το άθροισμα των λύσεων δυο εί μέρους ροβλημάτων, ενός συμμετρικού ως ρος τον άξονα των x, και ενός αντισυμμετρικού ως ρος τον άξονα των x. Συγκεκριμένα, γράφουμε το γραμμικοοιημένο δυναμικό ως εξής: φ φ + φ e o () Οου φe, φ o είναι λύσεις της εξίσωσης του Laplae ου ικανοοιούν τις συνθήκη (3). την συνθήκη Ktta στην ακμή εκφυγής, και τις ακόλουθες οριακές συνθήκες άνω σην γραμμικοοιημένη θέση της υδροτομής: φe d ( dl ) U +, x < (3 a ) φe d ( dl ) U, x < (3 b ) φo d ( dl + ) U +, x < (4 a ) φo d ( dl + ) U, x < (4 b ) Αό τις συνθήκες (3a) και (3b) έεται ότι η αράγωγος του φ e ως ρος είναι εριττή συνάρτηση του. Εομένως το φ e είναι άρτια συνάρτηση του (συμμετρικό ως ρος τον άξονα των x ). Ομοίως ροκύτει ότι το φ o είναι εριττή συνάρτηση του (αντισυμμετρικό ως ρος τον άξονα των x ), Βλέουμε δηλαδή ότι η γραμμικοοίηση εέτρεψε το «σάσιμο» του αρχικού ροβλήματος σε δύο εί μέρους ροβλήματα: Το ο ρόβλημα (δυναμικό φ e ) εριγράφει την ροή γύρω αό μιά συμμετρική διατομή με άχος ίσο με το άχος της δεδομένης υδροτομής hx ( ) ( x) l( x), και με μηδενική γωνία ρόστωσης, Το ο ρόβλημα (δυναμικό φ o ) εριγράφει την ροή γύρω αό μιά διατομή μηδενικού άχους με σχήμα ου ταυτίζεται με την μέση γραμμή κυρτότητας της δεδομένης υδροτομής ( ( x) + ( x))/. l Λογω γραμμικοτητας της εξίσωσης () ως ρος φ / x, η δύναμη άνω στην υδροτομή είναι το άθροισμα των δυνάμεων ου ροκύτουν αό την λύση των δύο διαφορετικών ροβλημάτων. Στο ο ρόβλημα η υδροτομή είναι συμμετρική ως ρος τον άξονα x και έχει μηδενική γωνία ρόστωσης, οότε ανατύσσεται μηδενική άνωση και ροή,. Η άνωση και η ροή ροκύτουν εομένως αό την λύση του ου ροβλήματος. Η έκφραση γιά την άνωση δηλαδή γράφεται: 5

φ φe φo φo F ρu dl ρu ( + ) dl ρu dl (4) l l l l Και ομοίως η έκφραση για την ροή αίρνει την ακόλουθη μορφή: φ x o M O ρu x dl Σε ρώτη ροσέγγιση, ου είναι η γραμμική θεωρία υδροτομών, το άχος της υδροτομής δεν αίζει ρόλο στον ροσδιορισμό άνωσης και ροής. Εικεντρωνόμαστε κατά συνέεια στην λύση του αντισυμμετρικού ροβλήματος. Εστω η ( x) και ηl ( x) οι εξισώσεις της άνω και κάτω λευράς της υδροτομής υό γωνία μηδενικής ρόστωσης. Στην τωρινή της θέση η υδροτομή έχει εριστραφεί κατά γωνία ίση με την γωνία α.κατά συνέεια και οι εφατόμενες στην υδροτομή έχουν εριστραφεί κατά τη ίδια γωνία, δηλαδή μιά τυχούσα εφατομένη με γωνία κλίσης θ έχει τώρα γωνία κλίοης α + θ. Αυτό συνεάγεται την ακόλουθη σχέση ανάμεσα στα dη i / και στα di / (οου i l, ): di tanθ tan α dηi / tanα tan( α θ ) tan( θ α) + tanθ tanα + ( dη / ) tanα + i Μεταχειριζόμαστε το γεγονός ότι dη i / << και το ότι η γωνία α είναι μικρή και καταλήγουμε ότι: d dl dη dη l α α (5 a) (5 b) Εομένως στην γραμμική θεωρία μορούμε να γράψουμε το δυναμικό φ o σαν το άθροισμα δύο δυναμικών, φ, φ α τα οοία ικανοοιούν τις ακόλουθες συνθήκες στη γραμμικοοιημένη θέση της υδροτομής: : φ dη ( dηl + ) U ±, x < (6 a ) φ α αu ±, x < (6 b) Το δυναμικό φ αριστάνει τη γραμμικοοιημένη λύση γιά ροή γύρω αό την υδροτομή υό μηδενική γωνία ρόστωσης, ενώ το δυναμικό φ αριστάνει τη α γραμμικοοιημένη λύση γιά ροή γύρω αό είεδη λάκα υό γωνία ρόστωσης a. 6

Το ρώτο δυναμικό είναι ιδιότητα της συγκεκριμένης υδροτομής. Το δεύτερο δυναμικό το έχουμε υολογίσει με την θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων και η λύση είναι γνωστή: Δημιουργείται άνωση ίση με ρusinα, το οοίο γιά μικρές γωνίες ρόστωσης αλοοιείται σε ρuα. Κατά συνέεια αν ονομάσουμε F την δυναμική άνωση στην υδροτομή υό μηδενική γωνία ρόστωσης, αό την εξίσωση () και την λύση για κεκλιμένη είεδη λάκα έχουμε ότι: F F U + ρ α (7) Διαρώντας με άνωσης: ρ U/ καταλήγουμε στην ακόλουθη σχέση γιά τον συντελεστή CL CL + α (8) Οου CL F /( ρu ) είναι ο συντελεστής άνωσης γιά μηδενική γωνία ρόστωσης. Η εξίσωση (8) είναι η βασική σχέση της θεωρίας λετών υδροτομών. Ο συντελεστής άνωσης μηδενίζεται γιά όταν η γωνία ρόστωσης άρει την τιμή α /( ) C L. Ο συντελεστής άνωσης γράφεται λοιόν και ως εξής: C α ( α) (9) L Οου α είναι η γωνία μηδενικής άνωσης. Ομοίως καταλήγουμε στην ακόλουθη σχέση γιά την ροή στην λετή υδροτομή: M M + αρu O h 8 () Οου M h είναι η συνισταμένη ροή των υδροδυναμικών δυνάμεων άνω στην υδροτομή ως ρος την αρχή των αξόνων υό μηδενική γωνία ρόστωσης. Αντίστοιχα με την εξίσωση (9) γιά τον συντελεστή άνωσης μορούμε να γράψουμε την ακόλουθη εξίσωση γιά τον συντελεστή ροής: CM CMh + α () Οου CMh Mh /( ρu ) είναι ο συντελεστής ροής υό μηδενική γωνία ρόστωσης. Ενα σημείο ου αξίζει να αναφέρουμε είναι το ότι, όως βρήκαμε αό την λύση γιά είεδη λάκα υό γωνία κλίσης, η ταχύτητα φα είναι άειρη στο άκρο ρόστωσης. Και η ταχύτητα φ αειρίζεται εκεί εειδή ροκύτει αό λύση 7

ροβλήματος υδροτομής με μηδενικό άχος. Η ταχύτητα στο άκρο ρόστωσης δεν θα γίνει φυσικά στην ραγματικότητα άειρη, ενδεχομένως να είναι όμως αρκετά μεγάλη γιά να ροκαλέσει χαμηλές ιέσεις με δυσάρεστα εακόλουθα (σηλαίωση). Είναι κατά συνέεια ειθυμητό η φόρτιση της υδροτομής, δηλαδή η διαφορά ίεσης ανάμεσα στην άνω και στην κάτω λευρά της υδροτομής, να είναι κατά το δυνατόν ομοιόμορφη κατά το μήκος της χορδής. Αυτό είναι μιά ααίτηση κατά τον σχεδιασμό των υδροτομών, δηλαδή ειλογή των χαρακτηριστικών της υδροτομής ώστε να αογεύγονται μεγάλες ανομοιομορφίες στην φόρτιση. Υάρχει μιά συγκεκριμένη τιμή της γωνίας ρόστωσης στην οοία η ταχύτητα στο άκρο ρόστωσης δεν ροκύτει άειρη έστω και αν υοτεθεί ότι το άχος της υδροτομής είναι μηδενικό. Αυτό γίνεται οταν το μροστινό σημείο ανακοής συμίτει με το άκρο ρόστωσης. Η γωνία αυτή λέγεται ιδανική γωνία ρόστωσης. Η οναμασία ιδανική αναφέρεται στο ότι είναι ααλλαγμένη αό το ρόβλημα της δημιουργίας χαμηλών ιέσεων στην ακμή ρόστωσης,. Γιά οοιαδήοτε υδροτομή συμμετρική ως ρος το μέσο της χορδής, η ιδανική γωνία ρόστωσης είναι ίση με μηδέν. Αυτό συμβαίνει ειεδή, λόγω συμμετρίας της υδροτομής υό μηδενική γωνία ρόστωσης, η συνθήκη Ktta ισχύει και στο άκρο ρόστωσης. Λύση του γραμμικοοιημένου ροβλήματος με χρήση διανεμημένης στροβιλότητας. Η αρουσία υδροτομής αμελητέου άχους ροκαλεί αύξηση της ταχύτητας του ρευστού στην άνω λευρά της υδροτομής και μείωση της ταχύτητας του ρευστού στην κάτω λευρά. Αυτό μορεί να μοντελοοιηθεί με μιά κατανομή στροβιλότητας άνω στην γραμμικοοιημένη θέση της υδροτομής. Θεωρούμε μιά δίνη αειροστής έντασης dγ στην θέση ( ξ,). Ως γνωστόν το εδίο ταχυτήτων ου δημιουργεί η δίνη δίνεται αό την σχέση: dγ d idv i ( x ξ + i) () Θεωρούμε τώρα ότι όλο το τμήμα ( /, /) καλύτεται αό τέτοιες δίνες διαφορετικής έντασης. Το συνολικό εδίο ταχυτήτων ροκύτει αό την ολοκλήρωση της () ως ρος ξ: / dγ( ξ ) iv i x ξ + i / (3) Θέτουμε dγ ( ξ) γξ ( ), όου γ(ξ) είναι στροβιλότητα/μήκος, και λέγεται υκνότητα στροβιλότητας. Διαχωρίζοντας ραγματικό και φανταστικό μέρος έχουμε ότι: / γξ ( ) ( x ξ) + / (4) 8

/ γξ ( )( x ξ) v ( x ξ) + / (5) Γιά να εφαρμόσουμε την οριακή συνθήκη στην γραμμικοοιημένη θέση της υδροτομής ρέει ρώτα να βρούμε το όριο των (4) και (5) γιά ±. Χρησιμοοιούμε ένα δείκτη + γιά τιμές μεγεθών στην λευρά +, και ένα δείκτη γιά τιμές μεγεθών στην λευρά. Συγκεκριμένα έχουμε ότι: + γ γ (6 a) (6 b) v / γξ ( ) v x ξ + / (7) Οι εξισώσεις (6a), (6b) μορούν να αοδειχθούν ως εξής: Για μικρό, αλλά όχι μηδέν, κάνουμε την αντικατάστασηξ x + s στην (4), οότε ds, και θέτοντας s (( / ) + x) /, s (( / ) x) / έχουμε ότι: s s γ( x + s) γ( x) ds γ( x) s ds Ar tan s s ( + s ) + s s s γ ( x ) / / ( tan( x ) tan( + Ar + Ar x )) Παίρνουμε τώρα τα όριο γιά + ροκύτει η (6a)., ενώ αίρνοντας το όριο γιά, ροκύτει η (6b). Η αόδειξη της (7) είναι μάλλον ροφανής. Υενθυμίζουμε όμως ότι το λόγω της ύαρξης ανώμαλου σημείου στην θέση ξ x, το ολοκλήρωμα στο δεξιό μέλος της (7) ρέει να ερμηνευτεί σαν η «κυρία τιμή» του ολοκληρώματος: / x ε / γξ ( ) ( ) ( ) lim [ γξ γξ + x ξ x ξ x ξ ] / ε / x+ ε Αό την αρχή του Bernolli η διαφορά ίεσης ανάμεσα στην κάτω και στην άνω λευρά της υδροτομής δίνεται αό την σχέση: p p ρu ( ) + + Αντικαθιστώντας τις (6a) και (6b) βρίσκουμε ότι: 9

p p ρuγ + (8) Η διαφορά ίεσης ανάμεσα στην κάτω και στην άνω λευρά της υδροτομής είναι κατά συνέεια κατ ευθείαν ανάλογη με την υκνότητα στροβιλότητας γ, και γι αυτό η τελευταία λέγεται και «φόρτιση» της υδροτομής. Ολοκληρώνοντας την διαφορά ίεσης και την ροή της έχουμε ότι: / / / / F ( p p ) ρu γ( x), M x( p p ) ρu xγ( x) + O + / / / / Αό την ρώτη εξίσωση και την γενική σχέση F ρuγ ροκύτει ότι η κυκλοφορία γύρω αό την υδροτομή είναι το ολοκλήρωμα της γ : / Γ γ ( x) (9) / Εφαρμογή της οριακής συνθήκης (6a) οδηγεί στην εξής σχέση: / γξ ( ) dm v( ξ,) U (3) x ξ / Οου dm (/ )( d / + dl / ) είναι η εξίσωση της κλίσης της μέσης γραμμής κυρτότητας. Η εξίσωση (3) λέγεται γραμμική ολοκληρωτική εξίσωση. Ολοκληρωτική εειδή ο άγνωστος (η υκνότητα στροβιλότητας γ) βρίσκεται δεξια αό το σύμβολο ολοκλήρωσης και γραμμική εειδή είναι υψωμένος στην ρώτη δύναμη. Γενικά μιά ολοκληρωτική εξίσωση ειλύεται ροσεγγίζοντας την με ένα σύνολο αλγεβρικών εξισώσεων ου ροκύτουν αό τον αριθμητικό υολογισμό του ολοκληρώματος. Η ολοκληρωτική εξίσωση (3) ανήκει στην (μικρή) υοκατηγορία ολοκληρωτικών εξισώσεων των οοίων η λύση μορεί να εκφραστεί σε κλειστή μορφή. Αοδεικνύεται στην θεωρία ολοκληρωτικών εξισώσεων ότι η λύση της (3) δίνεται αό την εξής σχέση: / / v( ξ,)(( / ) ξ ) γ( x) { + Γ} (3) ξ / (( / ) x ) x / Οου Γ είναι η κυκλοφορία γύρω αό την υδροτομή (εξ. (9)), η οοία είναι άγνωστη. Οως είχαμε κάνει και στο ρόβλημα υολογισμού της άνωσης σε είεδη λάκα υό κλίση, γιά τον υολογισμό της Γ θα εικαλεστούμε την συνθήκη του Ktta, (Η αόδειξη της (3) αραλείεται). Η τιμή της υκνότητας στροβιλότητας ου ροκύτει είναι άειρη και στα δύο άκρα x ± /. Αυτό συνεάγεται ότι και η ταχύτητα αειρίζεται στα δύο άκρα. Η αειρία

στο άκρο εκφυγής μορεί να ααλειφθεί αν, εικαλούμενοι την συνθήκη του Ktta, ειλέξουμε την κυκλοφορία Γ έτσι ώστε η αράσταση μέσα στις αγγύλες στην εξίσωση (3) να μηδενίζεται στο άκρο εκφυγής. Θέτουμε x / στην αράσταση μέσα στις αγγύλες της (3) και βρίσκουμε ότι αυτό γίνεται γιά την ακόλουθη τιμή της Γ : / / v(,)(( / ) ) / dm / ξ / / d / / ξ ξ + ξ Γ d U (3) ξ ξ ξ Η συνθήκη Ktta ειτρέει, όως και στην ερίτωση της είεδης λάκας υό κλίση, τον ροσδιορισμό της τιμής της κυκλοφορίας Γ. Είναι διδακτικό να εαληθεύσουμε μέσω της (3) το αοτέλεσμα γιά την κυκλοφορία γύρα αό είεδη λάκα υό κλίση, ου είναμε λύσει με σύμμορφη αεικόνιση. Η είεδη λάκα υό κλίση α αντιστοιχεί σε dm / α. Αντικαθιστούμε στην (3) και βρίσκουμε ότι: Γ αu / / /+ ξ / ξ Το ολοκλήρωμα στο δεξιό μέλος υολογίζεται σχετικά εύκολα με την αντικατάσταση ξ s /, s. Προκύτει ότι Γ α, ου συμφωνεί γιά μικρές γωνίες με το αοτέλεσμα ου βρήκαμε με την μέθοδο της σύμμορφης αεικόνισης. Αντικαθιστούμε την τιμή της Γ και την τιμή του v( ξ,) αό την (3) στην εξίσωση (3) και βρίσκουμε την ακόλουθη σχέση γιά την υκνότητα γ: / U / x dm /+ ξ γ( x) (33) / + x ξ x / ξ / Η υκνότητα στροβιλότητας τώρα μηδενίζεται στο άκρο εκφυγής, λόγω της συνθήκης Ktta. Γιά την άνωση βρίσκουμε ότι: / / dm /+ ξ F ρu γ ρu (34) / ξ / / Οότε ο συντελεστής άνωσης δίνεται αό την σχέση: C L / 4 dm /+ ξ d ξ / ξ / (35) Η ροή γύρω αό την αρχή των αξόνων ροκύτει ίση με:

/ / dm M O ρu γ( x) x ρu ( / ) ξ (36) / / Γιά υδροτομές συμμετρικές ως ρος τον άξονα των η κλίση dm / είναι εριττή συνάρτηση του x γιά μηεδενική γωνία ρόστωσης, οότε η ροή μηδενίζεται. Ο συντελεστής ροής δίνεται αό την σχέση: / 4 dm CM ξ / ( / ) (38) Το κέντρο ίεσης της υδροτομής βρίσκεται σε αόσταση M / F C / C αό το κέντρο της χορδής. O L M Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε μιά υδροτομή με αραβολικό σχήμα. Τότε γιά μηδενική γωνία ρόστωσης η κλίση της μέσης γραμμής κυρτότητας δίνεται αό την σχέση: dm dηm bx Οου b σταθερά. Η μέγιστη κυρτότητα της υδροτομής είναι ίση με b /8. Στην ερίτωση αυτή αό τις εξισώσεις (33), (35), και (36) ροκύτουν τα ακόλουθα αοτελέσματα: γ ( x) Ub(( ) x ) CL C Mh. b / Παρατηρούμε ότι γιά μηδενική γωνία ρόστωσης η συνθήκη Ktta ικανοοιείται λόγω συμμετρίας και στο άκρο ρόστωσης. Είλυση της ολοκληρωτικής εξίσωσης με την χρήση σειράς Forier Η ακριβής λύση της εξίσωσης (3) ααιτεί τον υολογισμό μερικών όχι και τόσο αλών ολοκληρωμάτων. Εναλλακτικά η εξίσωση (3) μορεί να ειλυθεί με την βοήθεια της θεωρίας σειράς Forier ου οδηγεί σε ολύ αλές εκφράσεις γιά τον συντελεστή άνωσης και τον συντελεστή ροής.

Πρώτα μετασχηματίζουμε της εξίσωση (3) ορίζοντας ξ / osθ, x / osϕ, όου θϕ, στο διάστημα (, ), οότε ( / )sinθdθ : U d m γ sin θdθ (39) osθ osϕ Ως γνωστόν στο άκρο εκφυγής έχουμε την συνθήκη Ktta ου ειβάλλει μηδενισμό της στροβιλότητας, ενώ στο άκρο ρόστωσης η στροβιλότητα έχει ανώμαλο σημείο. Η συμεριφορά της στροβιλότητας στο ανώμαλο σημείο είναι γνωστή, είναι η ίδια με αυτήν ου είδαμε στη άκρο ρόστωσης είεδης λάκας υό κλίση. Μορούμε εομένως να αραστήσουμε την στροβιλότητα σαν μιά ημιτονική σειρά Forier αρκεί να την ομαλοοιήσουμε ρώτα στο άκρο ρόστωσης αφαιρώντας ένα όρο ανάλογο με την στροβιλότητα είεδης λάκας υό κλίση, δηλαδή ανάλογο με tan( θ / ). Γράφουμε εομένως γιά την στροβιλότητα γ θ UA tan U A sin( nθ) (4) + n n Ολοι οι όροι στο δεξιό μέλος της εξίσωσης (4) ικανοοιούν την συνθήκη Ktta. Ο ρώτος όρος είναι ανάλογος με την στροβιλότητα είεδης λάκας υό κλίση και αειρίζεται στο άκρο ρόστωσης. Η σταθερά αναλογίας A είναι τέτοια ώστε η αράσταση γ + UA tan( θ / ) να μηδενίζεται στο άκρο ρόστωσης. Στην ειδική ερίτωση ου έχουμε είεδη λάκα υό κλίση, όως έχουμε δεί, A α, όου α είναι η γωνία ρόστωσης. Γιά τους συντελεστές An στην εξίσωση (4) ισχύει εομένως ότι: θ UAn ( γ UA tan )sin( nθ) dθ (4) + Θα χρηθσιμοοιήσουμε τώρα τη εξίσωση (39) γιά να λύσουμε γιά τους άγνωστους A, A, A,... Αντικαθιστούμε την εξίσωση (4) στην (39) και εναλλάσσοντας ολοκλήρωση και άθροιση βρίσκουμε ότι: dm tan( θ / )sinθ sin( nθ)sinθ ( A dθ A dθ) (4) osθ osϕ osθ osϕ n n Μεταχειριζόμαστε τις τριγωνομετρικές σχέσεις tan( θ / )sinθ osθ και sin( nθ)sinθ os(( n ) θ) os(( n+ ) θ) οότε η εξίσωση (4) γίνεται: 3

dm osθ os(( n ) θ ( A dθ A dθ osθ osϕ + osθ osϕ n os(( n + ) θ ) + A dθ ) (43) osθ osϕ n Ολα τα ολοκληρώματα ου εμφανίζονται στο δεξιό μέλος της εξίσωσης (43) είναι της μορφής os( nθ) dθ /(osθ os ϕ). Τα ολοκληρώμτα αυτά μορούν να υολογιστούν σε κλειστή μορφή και ορίζουν τις λεγόμενες συναρτήσεις του Glaert G : n os( nθ) sin( nϕ) Gn ( ϕ) dθ (44) osθ osϕ sinϕ. H αόδειξη της εξίσωσης (44) γίνεται χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες αρκεί να αρατηρήσουμε ότι οι συναρτήσεις Gn ικανοοιούν την ακόλουθη αναδρομική σχέση: Gn+ + Gn osϕgn (45) Μεταχειριζόμαστε τώρα την εξίσωση (44) γιά να υολογίσουμε τα ολοκληρώματα στην (43) και βρίσκουμε ότι: dm ( A ( G G ) A ( G G )) (46) n n n+ n Παρατηρούμε τώρα (α) ότι G, G, και (β) χρησιμοοιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα sin(( n ) θ) sin(( n+ ) θ) sinθos( nθ) ισχύει ότι: sin( n ) θ sin( n+ ) θ) Gn Gn+ ( ) os( nθ) sinθ sinθ Κατά συνέεια η εξίσωση (46) αλοοιείται ως εξής: d m + n A A os nθ (46 a) n Βλέουμε δηλαδή ότι άγνωστοι A, A, A,... είναι ίσοι με τους συντελεστές της συνημιτονικής σειράς της συνάρτησης dm /, θεωρούμενης σαν συνάρτησης της μεταβλητής θ στο διάστημα (, ). 4

Σύμφωνα με την θεωρία σειρών Forier, οι άγνωστοι A, A,... μορούν να υολογισθούν αό τις ακόλουθες σχέσεις: d A m dθ (47) dm An os( nθ) dθ, n,,... (48) Οι συντελεστές άνωσης και ροής μορούν να εκφραστούν ολύ αλά συναρτήσει των (γνωστών λέον) συντελεστών A, A, A,... : / θ CL γ ( UA tan U An sin( nθ ))sin θdθ U + U / n ( A A) (49) / θ CM x os ( AU tan U Ansin( n ))sin d U γ θ + θ θ θ U / n ( A A) (5) Γιά τις εξισώσεις (49) και (5) χρησιμοοιήθηκαν οι ακόλουθες σχέσεις: θ θ tan sin θdθ, tan sinθosθdθ sin( kθ )sin( nθ ) dθ, αν n k,, αν n k Εύκολες εαληθεύσεις των εξισώσεων (49) και (5) μορούν να γίνουν με τις εξής εριτώσεις (όου το αοτέλεσμα μας είναι γνωστό): () Είεδη λάκα υό κλίση, οότε A α, A A () Παραβολικό τόξο με μέγιστη κυρτότητα b /8 υό μηδενική γωνία ρόστωσης, οότε A b, A A A3. (3) Παραβολικό τόξο με μέγιστη κυρτότητα b /8 υό γωνία ρόστωσης α, οότε A α, A b, A A3 5